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2015张老师江苏高考数学应用题题型归纳

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2015年江苏高考数学试卷带详解

2015年江苏高考数学试卷带详解

2015江苏高考理科数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题．．卡相应．．．位置．．上．. 1. (15江苏高考)已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B 中元素的个数为_____.【参考答案】5【测量目标】集合并集及其运算. 【试题分析】{1,2,3,4,5}A B =，A B ∴中的元素个数为5.2. (15江苏高考)已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，那么这组数据的平均数为_____. 【参考答案】6【测量目标】平均数的计算. 【试题分析】1(465876)66x =+++++=，∴这组数的平均数为6.3. (15江苏高考)设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为_____. 【参考答案】5【测量目标】复数的基本运算. 【试题分析】2z =222345z =+=,5z ∴=.4. (15江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_____.第4题图【参考答案】7【测量目标】流程图.【试题分析】 (1)1S =，18I =<，23S S =+=，34I I =+=； (2)48I =<，25S S =+=，37I I =+=；（3）78I =<，27S S =+=，310I I =+=； (4)8I >，print S ，S =7； ∴输出的结果S 为7.5. (15江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_____.【参考答案】56【测量目标】随机事件与概率. 【试题分析】 从中随机一次摸出2只球的所有可能出现的结果为：（白，红），（白，黄1）， （白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）总共有6种可能，显然2只球颜色不同有5种可能. 56P ∴=. 6. (15江苏高考)已知向量()2,1=a ，()1,2=-b ，若(9,8)(,)m n m n +=-∈R a b ，则m n -的值为_____. 【参考答案】-3【测量目标】平面向量的坐标运算.【试题分析】 m n +a b (2,2)m n m n =+-(9,8)=-，29,28.m n m n +=⎧⎨-=-⎩∴，得25m n =⎧⎨=⎩，3m n ∴-=-.7. (15江苏高考)不等式224x x-<的解集为_____.【参考答案】(1,2)- 【测量目标】解不等式. 【试题分析】224xx-<，即2222xx-<22x x ∴-<，得12x -<<，∴解集为(1,2)-.8. (15江苏高考)已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为_____. 【参考答案】3【测量目标】两角和与差的正切公式. 【试题分析】tan tan()βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++127311(2)7+==+-.tan 3β∴=.9. (15江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_____. 【参考答案【测量目标】圆柱、圆锥的体积计算. 【试题分析】221196=54+28=33V ⋅⋅⋅⋅⋅总πππ，设新的底面半径为r ，则有：+=V V V 锥柱总，2211968433r r ∴⋅⋅+⋅⋅⋅=πππ，解得r =10. (15江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_____.【参考答案】()2212x y -+=【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的标准方程. 【试题分析】圆心到切线210mx y m ---=的距离为r，r ∴====2，∴最大的半径，∴半径最大圆的标准方程为()2212x y -+=.11. (15江苏高考)设数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+*()n ∈N ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为_____. 【参考答案】2011【测量目标】数列的通项和性质. 【试题分析】11n n a a n +-=+，即1n n a a n -=+，又11a =，1(1)1232n n n n a a n n -+∴=+==++++=， 1112()1n a n n ∴=-+前10项的和为101ii a ==∑1111112(1)22331011-+-+-+-12(1)11=-=2011. 12. (15江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点.若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为______.【参考答案】2【测量目标】双曲线的几何性质.【试题分析】设p 点坐标为()00,x y ，则点P 到直线10x y -+=的距离d=001x y =-+，又p 在双曲线上，即()()22000000 1.x y x y x y -=-+= 从而00001x y x y -=+.∴d=00112x y ⋅++22，dc ∴.13. (15江苏高考)已知函数()ln f x x =，20,01,()42, 1.x g x x x <⎧⎪=⎨-->⎪⎩则方程()()1f x g x +=实根的个数为_____.【参考答案】4【测量目标】方程的根.【试题分析】根据题意ln ,01,()ln , 1.x x f x x x -<⎧=⎨>⎩，220,01,()2,12,6, 2.x g x x x x x <⎧⎪=-<⎨⎪->⎩22ln ,01,()()ln 2,12,ln 6, 2.x x f x g x x x x x x x ⎧-<<⎪⎪+=+-⎨⎪+->⎪⎩分情况讨论：当01x <时，()()1f x g x +=有1个解1x e=，∴此时有一个根.当12x<时，()()f x g x +单调递增，且(1)(1)1f g +=，(2)(2)2ln 21f g +=->，∴此时有一个根.当2x >时，()()f x g x +先减后增，且(2)(2)2ln 21f g +=->，(2.3)(2.3)1f g +<，∴此时()()f x g x +与1y =有两个交点，即()()1f x g x +=有两个根.综上，方程()()1f x g x +=的实根共有4个.14．(15江苏高考)设向量(cos ,sin cos )666k k k k =+πππa (0,1,2,,12)k =，则1110()k k k +=∑a a 的值为_____. 【参考答案】【测量目标】向量的乘积运算和数列的求和. 【试题分析】(cos,sin cos )666k k k +⋅πππ(1)(1)(1)(cos ,sin cos )666k k k ++++πππ(1)(1)(1)cos cos sin sin cos sin 666666k k k k k k +++=⋅+⋅+⋅ππππππ(1)(1)sin cos cos cos 6666k k k k +++⋅+⋅ππππ(1)coscos 66k k +=ππ(1)(1)sin sin cos cos 6666k k k k ++⎡⎤+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ππππ (1)(1)cos sin sin cos 6666k k k k ++⎡⎤+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ππππ (1)coscos cos sin()66636k k k +=⋅+++πππππ. 1110()k k k +=∴⋅=∑a a 111111000(1)cos cos cos sin()66636k k k k k k ===+⋅+++∑∑∑πππππ.11(1)coscos 66k k k =+⋅=∑ππsin()36k +ππ以1111,1,,,1,2222---为周期循环，110sin()0.36k k =+=∑ππ110cos6k ==∑π，1110()0k k k +=∴⋅==∑a a . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (15江苏高考)（本小题满分14分）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =. （1）求BC 的长；（2）求sin 2C 的值.【测量目标】(1)余弦定理的应用； (2)正弦定理的应用.【试题解析】（1）由余弦定理知，2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，所以BC =(2)由正弦定理知，sin sin AB BC CA =,所以21sin sin 7AB C A BC =⋅==. 因为AB BC <,所以C为锐角，则cos C ===. 故sin 2C 2sin cosC C =⋅2777=⨯=.16. (15江苏高考)（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =.设1AB 的中点为D .11B C BC E =.求证：（1）DE ∥平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥.第16题图【测量目标】(1)线面平行的判定；(2)线线垂直的判定和性质.【试题解析】证明：（1）由题意知，E 为1B C 的中点，又D 为1AB 的中点，因此//DE AC . 又因为DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE //平面11AAC C . （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC .因为AC ⊂ 平面ABC ，所以1AC CC ⊥.又因为AC BC ⊥,1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂ 平面11BCC B ，1BCCC C =，所以AC ⊥平面11BCC B .又因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥.因为1BC CC =，所以矩形11BCC B 是正方形，因此11BC B C ⊥. 因为1,AC B C ⊂平面1B AC ,1AC B C C =，所以1BC ⊥平面1B AC .又因为1AB ⊂平面1B AC ，所以11BC AB ⊥. 17．(15江苏高考)（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为1l ，2l ，山区边界曲线为C .计划修建的公路为l . 如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到1l ，2l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到1l ，2l 的距离分别为20千米和2. 5千米.以2l ，1l 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy . 假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中,a b 为常数）模型.(1)求,a b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.第17题图【测量目标】(1)利用导数研究函数的极值和单调性； (2)直线与曲线的位置关系.【试题解析】 （1）由题意知，点,M N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5.将其分别代入2a y xb =+，得40,25 2.5.400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩ （2）①由（1）知，21000y x=(520)x ，则点P 的坐标为21000(,)t t，设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x '=-，则l 的方程为2310002000()y x t t t-=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0,)B t .故22233000()()()2t f t t =+62434102t t⨯=+[]5,20t ∈. ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-.令()0g t '=.解得102t = 当(5,102t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()102,20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数. 从而，当102t =()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =.答：当t =l的长度最短，最短长度为. 18. (15江苏高考)（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于,P C ,若2PC AB =，求直线AB 的方程.【测量目标】(1)椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆的位置关系.【试题解析】（1）由题意，得2c a =且23a c c+=.解得a =1c =，则1b =. 所以椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）当AB x ⊥轴时，AB =又3CP =,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k xk x k +-+-=，则1,2x =.C 的坐标为2222(,)1212k k k k -++，且AB ==22)12k k +=+.若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意.从而0k ≠，故直线PC 的方程为22212()1212k k y x k k k +=--++，则P 点的坐标 2252(2,)(1+2)k k k +-，从而(()2223112k PC k k+=+.因为2PC AB =，所以(())222223111212k k kk k++=++，解得 1.k =±此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+.19. (15江苏高考)（本小题满分16分） 已知函数32()f x x ax b =++ (,)a b ∈R （1）试讨论()f x 的单调性；（2）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()33,3(1,)(,)22-∞-+∞，求c 的值. 【测量目标】(1)利用导数研究函数的单调性；(2)函数的零点.【试题解析】（1）2()32f x x ax '=+，令()0f x '=，解得10x =，223ax =-. 当0a =时，因为()230(0)f x x x '=>≠，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()2(,)0,3a x ∈-∞-+∞时，()0f x '>，2(,0)3ax ∈-时，()0f x '<.所以函数()f x 在2(,)3a -∞-，()0,+∞上单调递增，在2(,0)3a-上单调递减； 当0a <时，()2,0(,)3a x ∈-∞-+∞时，()0f x '>，2(0,)3ax ∈-时，()0f x '<.所以函数()f x 在(),0-∞，2(,)3a -+∞上单调递增，在2(0,)3a-上单调递减.（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为(0)f b =，324()327a f ab -=+，则函数()f x 有三个零点等价于324(0)()()0327a f f b a b ⋅-=+<，从而30,40.27a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或30,40.27a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<.设34()27g a a a c =-+.因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是()33,3(1,)(,)22-∞-+∞，则在(),3-∞-上()0g a <，且在33(1,)(,)22+∞上()0g a >均恒成立.从而(3)10g c -=-且3()102g c =-因此1c =.此时，32()1f x x ax a =++-2(1)(1)1x x a x a ⎡⎤=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则2(1)10x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以()2214(1)230a a a a ∆=---=+->，且()21(1)10a a ---+-≠，解得()33,3(1,)(,)22a ∈-∞-+∞.综上 1c =.20. (15江苏高考)（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列.(1)证明：31242,222a a a a，，依次构成等比数列； (2)是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列？并说明理由.【测量目标】(1)等比数列的判定；(2)等差数列、等比数列的性质； (3)等差、等比数列的性质.【试题解析】（1）证明：因为112222n n n n a a a da ++-== (1,2,3)n =是同一个常数，所以31242,222a a a a，，依次构成等比数列. （2）令1a d a +=，则1234,,,a a a a 分别为,,,2a d a a d a d -++(,2,0)a d a d d >>-≠. 假设存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列，则43()()a a d a d =-+，且()624(2)a d a a d +=+.令d t a=，则31(1)(1)t t =-+，且()()64112t t +=+ 1(1,0)2t t -<<≠ ，化简得32220()t t +-=*，且21t t =+.将21t t =+代入()*式，2(1)2(1)2313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-，显然14t =-不是上面方程的解.矛盾，所以假设不成立.因此不存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列.（3）假设存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列.则22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n k n k a d a d a d +++++=+.分别在两个等式的两边同除以2()1n k a +及()221n k a +，并令1d t a =1(,0)3t t >-≠，则22()(12)(1)n k n k t t +++=+，且32(2)(1)(13)(12)n k n kn k t t t +++++=+.将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++ ，且()ln(1)(3)ln(13)2(2)ln(12)n k t n k t n k t +++++=++.化简得[][]2ln(12)ln(1)2ln(1)ln(12)k t t n t t +-+=+-+，且[][]3ln(13)ln(1)3ln(1)ln(13)k t t n t t +-+=+-+.再将这两式相除，化简得ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++ . ()** 令()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++，则2222(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1+)()(1)(12)(13)t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-++++⎣⎦'=+++.令222()(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1+)t t t t t t t ϕ=++-++++，则[]()6(13)ln(13)2(12)ln(12)(1)ln(1)t t t t t t t ϕ'=++-+++++.令()1()t t ϕϕ'=，则[]1()63ln(13)4ln(12)ln(1)t t t t ϕ'=+-+++.令()21()t t ϕϕ'=.则212()0(1)(12)(13)t t t t ϕ'=>+++.由12(0)(0)(0)(0)0g ϕϕϕ====，2()0t ϕ'>知21(),(),(),()t t t g t ϕϕϕ在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调.故()g t 只有唯一零点0t =.即方程()**只有唯一解0t =，故假设不成立.所以不存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列.数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4-1:几何证明选讲](15江苏高考)（本小题满分10分）如图，在ABC △中，AB AC =，ABC △的外接圆O 的弦AE 交BC 于点D .求证：ABD AEB △∽△.第21题-A 图【测量目标】三角形相似的判定和弧长与圆周角、弦长的相互关系.【试题解析】证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠.又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠，又BAE ∠为公共角，可知ABD AEB △∽△. B.[选修4-2:矩阵与变换] (15江苏高考)（本小题满分10分）已知,x y ∈R .向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α是矩阵10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.【测量目标】矩阵的特征值与特征向量之间相互关系. 【试题解析】由已知，得=2αα-A ，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则122x y -=-⎧⎨=⎩即，所以矩阵1120-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A .从而矩阵A 的特征多项式()(2)(1)f λλλ=+-.所以矩阵A 的另一个特征值为1.C.[选修4-4:坐标系与参数方程] (15江苏高考)（本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程为2sin()404ρθπ--=，求圆C 的半径.【测量目标】极坐标与直角坐标之间的相互转化.【试题解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C的极坐标方程为2(sin cos )4022ρθθ--=.化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=.则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=.即()()22116x y -++=，所以圆C. D.[选修4-5:不等式选讲] (15江苏高考)（本小题满分10分） 解不等式232x x ++.【测量目标】解含绝对值的不等式.【试题解析】解:原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--⎩或32332x x ⎧-⎪⎨⎪+⎩解得x5-或13x-.综上，原不等式的解集是1|53x xx⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (15江苏高考) (本小题满分10分)如图(1)，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==. （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值； （2）点Q 是线段BP 上的动点.当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.第22题图(1【测量目标】(1)两平面所成二面角的余弦值； (2)两直线所成角的大小.【试题解析】以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图(2)所示的空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P .第22题图（2）(1)因为AD ⊥平面PAB .所以AD 是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD =.因为(1,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-.设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =m ，则0PC ⋅=m ，0PD ⋅=m ，即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，解得1z =，1x =.所以(1,1,1)=m 是平面PCD 的一个法向量. 从而cos ,AD <>m AD AD ⋅=mm=PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为3. (2)因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2)BQ BP λλλ==- ()01λ，又()0,1,0CB =-，则CQ CB BQ =+(),1,2λλ=--，又()0,2,2DP =-，从而cos ,CQ DP <>CQ DP CQ DP⋅==.设12t λ+=，[]1,3t ∈，则2cos ,CQ DP <>=2225109t t t -+2215209()99t =-+910.当且仅当95t =.即25λ=时，cos ,CQ DP <>的最大值为.因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值.又因为BP ==255BQ BP ==. 23. (15江苏高考)（本小题满分10分） 已知集合{}1,2,3X =，{}1,2,3,,n Y n =()n *∈N ，设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除,a ,}n a X b Y ∈∈令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值； （2）当6n时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【测量目标】(1)集合的基本性质；(2)数学归纳法的运用. 【试题解析】(1)(6)13f =.(2)当6n时，2(),6,23112(+),6+1,2322(),62,23()12(),63,2312(),64,23122(),6+523n n n n t n n n n t n n n n t f n t n n n n t n n n n t n n n n t *⎧+++=⎪⎪--⎪++=⎪⎪-⎪+++=+⎪=∈⎨-⎪+++=+⎪⎪-⎪+++=+⎪⎪--+++=⎪⎩N （）. 下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，66(6)6+2++=1323f =，结论成立； ②假设(6)n k k=时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则6(1)5k t =-+，此时有12(1)()32323k k f k f k k --+=+=++++ 11(1)223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有(1)()12123k kf k f k k +=+=++++ (1)1(1)1(1)223k k k +-+-=++++，结论成立； 3）若162k t +=+.则6+1k t =，此时有11(1)()22223k k f k f k k --+=+=++++ (1)(1)2(1)223k k k ++-=++++，结论成立； 4）若163k t +=+.则6+2k t =，此时有2(1)()22223k k f k f k k -+=+=++++ ()()11112+23k k k +-+=+++，结论成立；5）若164k t +=+.则6+3k t =，此时有1(1)()22223k kf k f k k -+=+=++++ ()()()11112+23k k k ++-=+++，结论成立；6）若165k t +=+.则6+4k t =，此时有1(1)()12123k k f k f k k -+=+=++++。

2015年高考真题——数学(江苏卷) 解析版

2015年高考真题——数学(江苏卷) 解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.解析：{}5,4,3,2,1=⋃B A ，故答案5 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 解析：66678564=+++++，故答案63.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 解析：设z=a+bi,，则()i bi a 432+=+化为i abi b a 43222+=+-，所以⎩⎨⎧==-42322ab b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ，所以z 的模为522=+b a ，故答案54.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.解析：第一次：S=1+2=3，I=1+3=4；第二次：S=3+2=5，I=4+3=7；第三次：S=5+2=7，I=7+3=10；因为10>8，所以程序结束，故S=75.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2-1，=b ，若()()R n m b n a m ∈-=+,89，，则m-n 的值为______. 解析：因为()()R n m b n a m ∈-=+,89，，所以⎩⎨⎧-=-=+8292n m n m ，所以352-=-⎩⎨⎧==n m n m ，7.不等式224x x-<的解集为________.解析：因为224x x-<，所以()()2102102222<<-<-+<--<-x x x x x x x ，，，，故解析为()21，-8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. S ←1 I ←1While I<8 S ←S+2 I ←I+3 End While Print S解析：()[]()()3757152711271tan tan 1tan tan tan tan ==⨯-+=++-+=-+=αβααβααβαβ，故答案3 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

2015江苏高考数学试题详细解析

2015江苏高考数学试题详细解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 解析一．填空题：（70分）1. 已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B U 中元素个数为_____5______。

因为{}12345A B =U ，，，，，所以A B U 中元素个数为5个。

2. 已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数是__6________。

因为1(4+6+5+8+7+6=66x =），所以平均数为6. 3. 设复数z 满足234z i =+，（i 是虚数单位），则z 的模是。

设z a bi =+，则22()234a b abi i -+=+，由22324a b ab ⎧-=⎨=⎩解得21a b =±⎧⎨=±⎩，故z ==4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为______7__________。

112233441,1,3,45,77,97S I S I S I S I S ==→==→==→==→=输出5. 袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，这2只球颜色不同的概率为_______56_________。

任取2只球颜色相同的概率为22241=6C P C =同，则5=6P 异。

6. 已知向量(2,1)a =r ，(1,2)b =-r ，若(9,8),(,)ma nb m n R +=-∈r r ，则m n -的值为_____3-_____。

因为2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，所以25m n =⎧⎨=⎩3m n ⇒-=- 7. 不等式224x x -<的解集为__(1,2)x ∈-_____________。

由于 ()2x f x =单调递增，所以原不等式等价于2212x x x -<⇒-<<8. 已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为_________3_________。

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015 年江苏省高考数学试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，共计 70 分）1．（ 5 分）（2015?江苏）已知会集A={1， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则会集A∪B中元素的个数为 5 ．考并集及其运算．点：专会集．题：分求出 A∪B，再明确元素个数析：解解：会集 A={1 ，2， 3} ， B={2， 4，5} ，则 A∪B={1， 2， 3， 4，5} ；答：因此 A∪B中元素的个数为 5；故答案为： 5点题观察了会集的并集的运算，依照定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题评：2．（ 5 分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6．考众数、中位数、平均数．点：专概率与统计．题：分直接求解数据的平均数即可．析：解解：数据4， 6，5， 8， 7，6，答：那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．点本题观察数据的均值的求法，基本知识的观察．评：3．（ 5 分）（2015?江苏）设复数 z 满足 z2=3+4i （ i 是虚数单位），则 z 的模为．考复数求模．点：专数系的扩大和复数．题：分直接利用复数的模的求解法规，化简求解即可．析：解解：复数z 满足 z2 =3+4i ，答：可得 |z||z|=|3+4i|==5，∴|z|= ．故答案为：．点本题观察复数的模的求法，注意复数的模的运算法规的应用，观察计算能力．评：4．（ 5 分）（2015?江苏）依照以下列图的伪代码，可知输出的结果S 为7．考伪代码．点：专图表型；算法和程序框图．题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环获取的析：退出循环，输出S 的值为 7．解解：模拟执行程序，可得答：S=1， I=1I ，S 的值，当 I=10时不满足条件I＜8，满足条件I ＜ 8，S=3， I=4满足条件I ＜ 8，S=5， I=7满足条件I ＜ 8，S=7， I=10不满足条件I ＜ 8，退出循环，输出S 的值为7．故答案为： 7．点本题主要观察了循环构造的程序，正确判断退出循环的条件是解题的要点，属于基础评：题．5．（ 5 分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不相同的概率为．考古典概型及其概率计算公式．点：专概率与统计．题：分依照题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．析：解解：依照题意，记白球为A，红球为 B，黄球为12 C、C ，则答：一次取出 2 只球，基本事件为AB、 AC1、 AC2、 BC1、 BC2、 C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不相同的是AB、 AC1、 AC2、 BC1、 BC2共 5 种；因此所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题观察了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（ 5 分）（2015?江苏）已知向量=（ 2，1）， =（ 1，﹣ 2），若m+n=（9，﹣ 8）（ m，n∈R），则 m﹣ n 的值为﹣3．考平面向量的基本定理及其意义．点：专平面向量及应用．题：分直接利用向量的坐标运算，求解即可．析：解解：向量 =（ 2，1）， =（1，﹣ 2），若 m+n=（ 9，﹣ 8）答：可得，解得m=2，n=5，∴m﹣ n=﹣ 3．故答案为：﹣3．点本题观察向量的坐标运算，向量相等条件的应用，观察计算能力．评：7．（ 5 分）（2015?江苏）不等式2＜ 4 的解集为（﹣ 1，2）．考指、对数不等式的解法．点：专函数的性质及应用；不等式的解法及应用．题：分利用指数函数的单调性转变成x2﹣ x＜ 2，求解即可．析：解解；∵ 2＜ 4，答：2∴x﹣ x＜ 2，即 x2﹣ x﹣ 2＜ 0，解得：﹣ 1＜ x＜2故答案为：（﹣1， 2）点本题观察了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．评：8．（ 5 分）（2015?江苏）已知tan α=﹣ 2， tan （α +β） =，则 tan β的值为3．考两角和与差的正切函数．点：专三角函数的求值．题：分直接利用两角和的正切函数，求解即可．析：解解： tan α=﹣ 2，tan （α +β） =，答：可知 tan （α +β） ==，即 =，解得 tan β =3．故答案为： 3．点本题观察两角和的正切函数，基本知识的观察．评：9．（ 5 分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成整体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考棱柱、棱锥、棱台的体积．点：专计算题；空间地址关系与距离．题：分由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，析：由前后体积相等列式求得 r ．解解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．答：设新圆锥和圆柱的底面半径为r ，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点本题观察了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．评：10．（ 5 分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（ 1， 0）为圆心且与直线mx﹣ y﹣2m﹣ 1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为22．（ x﹣ 1） +y =2考圆的标准方程；圆的切线方程．点：专计算题；直线与圆．题：分求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．析：解解：圆心到直线的距离d==≤，答：∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（22x﹣ 1） +y =2．故答案为：（ x﹣1）2 +y2=2．点本题观察所圆的标准方程，观察点到直线的距离公式，观察学生的计算能力，比较基评：础．11．（ 5 分）（2015?江苏）设数列{a n} 满足a1=1，且a n+1﹣ a n =n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考数列的求和；数列递推式．点：专等差数列与等比数列．题：分数列 {a n} 满足a1=1，且a n+1﹣ a n=n+1（ n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂析：解答：项求和”即可得出．解：∵数列 {a n} 满足 a1 =1，且 a n+1﹣ a n=n+1（n∈N*），∴当 n≥2时， a n=（ a n﹣ a n﹣1）+ +（ a2﹣ a1） +a1=+n++2+1=．当 n=1 时，上式也建立，∴a n=．∴=2．∴数列 {} 的前 n 项的和 S n===．∴数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．点本题观察了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，评：观察了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线 x2﹣ y2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒建立，则实数 c 的最大值为．考双曲线的简单性质．点：专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 x± y=0，c 的最大值为直线x﹣ y+1=0 与直线 x﹣ y=0析：的距离．解解：由题意，双曲线 x2﹣ y2=1 的渐近线方程为 x±y=0，答：因为点 P 到直线 x﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒建立，因此 c 的最大值为直线 x﹣y+1=0 与直线 x﹣ y=0 的距离，即．故答案为：．点本题观察双曲线的性质，观察学生的计算能力，比较基础．评：13．（ 5 分）（2015?江苏）已知函数 f （ x） =|lnx| ，g（ x）=，则方程 |f（ x） +g（ x）|=1实根的个数为4．考根的存在性及根的个数判断．点：专综合题；函数的性质及应用．题：分：由 |f（ x） +g（ x） |=1 可得 g（ x）=﹣ f （ x）± 1，分别作出函数的图象，即可得出析：结论．解解：由 |f（ x） +g（ x） |=1 可得 g（ x） =﹣ f （x）± 1．答：g（ x）与 h（ x）=﹣ f （ x）+1 的图象以下列图，图象有两个交点；g（ x）与φ（ x）=﹣ f （ x）﹣ 1 的图象以下列图，图象有两个交点；因此方程 |f （ x）+g（ x）|=1 实根的个数为4．故答案为： 4．点本题观察求方程 |f （ x） +g（ x） |=1 实根的个数，观察数形结合的数学思想，观察学评：生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（ 5 分）（2015?江苏）设向量=（ cos ，sin+cos ）（ k=0，1， 2，， 12），则（ a k?a k+1）的值为．考数列的求和．点：专等差数列与等比数列；平面向量及应用．题：分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性析：即可得出．解解： =+答：=++++=++=++，∴（ a k?a k+1）=+++++++ +++++++ +=+0+0=．故答案为： 9．点本题观察了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的评：周期性，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（ 14 分）（2015?江苏）在△ ABC 中，已知A B=2， AC=3，A=60°．（1）求 BC的长；（2）求 sin2C 的值．考余弦定理的应用；二倍角的正弦．点：专解三角形．题：分（ 1）直接利用余弦定理求解即可．析：（ 2）利用正弦定理求出 C的正弦函数值，尔后利用二倍角公式求解即可．解222﹣2AB?ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，解：（ 1）由余弦定理可得： BC=AB+AC答：因此 BC=．（2）由正弦定理可得：，则 sinC=== ，∵AB＜ BC，∴C 为锐角，则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2×=．点本题观察余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解评：题的要点．ABC﹣ A1B1C1中，已知AC⊥BC， BC=CC1，设AB1 16．（ 14 分）（2015?江苏）如图，在直三棱柱的中点为D， B1 C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2） BC1⊥AB1．考直线与平面平行的判断；直线与平面垂直的性质．点：专证明题；空间地址关系与距离．题：分（ 1）依照中位线定理得DE∥AC，即证 DE∥平面 AA1C1C；析：（ 2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面 ABC，即证 AC⊥CC1；再证明 AC⊥平面 BCC1B1，即证 BC1⊥AC；最后证明 BC1⊥平面 B1AC，即可证出 BC1⊥AB1．解证明：（1）依照题意，得；答： E 为 B1C 的中点， D 为 AB1的中点，因此DE∥AC；又因为 DE?平面 AA1C1C， AC? 平面 AA1C1C，因此 DE∥平面 AAC C；11（ 2）因为棱柱ABC﹣ A1B1C1是直三棱柱，因此 CC1⊥平面 ABC，因为 AC? 平面 ABC，因此 AC⊥CC1；又因为 AC⊥BC，CC1? 平面 BCC1B1，BC? 平面 BCC1B1，BC∩CC1=C，因此 AC⊥平面 BCC1B1；又因为 BC ? 平面平面BCCB ，111因此 BC1⊥AC；因为 BC=CC1，因此矩形BCC1B1是正方形，因此 BC1⊥平面 B1AC；又因为 AB1 ? 平面 B1AC，因此 BC1⊥AB1．点本题观察了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的地址关系，也观察了空间想象评：能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（ 14 分）（2015?江苏）某山区外面有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改进山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区界线的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1， l 2，山区界线曲线为 C，计划修建的公路为 l ，以下列图， M， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1， l 2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N到 l 1， l 2的距离分别为 20 千米和千米，以 l 2，l 1在的直线分别为 x， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 吻合函数 y=（其中 a， b 为常数）模型．（1）求a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t ．①请写出公路 l 长度的函数分析式 f （ t ），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短求出最短长度．考函数与方程的综合运用．点：专综合题；导数的综合应用．题：分（ 1）由题意知，点 M， N的坐标分别为（ 5， 40），（ 20，），将其分别代入y=，建立方析：程组，即可求 a，b 的值；（ 2）①求出切线 l 的方程，可得A， B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数分析式 f （ t ），并写出其定义域；②设 g（ t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l的长度最短，并求出最短长度．解解：（ 1）由题意知，点 M，N 的坐标分别为（ 5， 40），（20，），答：将其分别代入 y=，得，解得，（2）①由（ 1）y= （5≤x≤20）， P（ t ，），∴y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣ =﹣（ x﹣ t ）设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A， B 点，则 A（， 0）， B（ 0，），∴f （ t ） ==，t ∈[5 ， 20] ；②设 g（ t ） =，则 g′（ t ） =2t ﹣ =0，解得 t=10 ，t ∈（ 5， 10）时， g′（ t ）＜ 0，g（ t ）是减函数； t ∈（ 10， 20）时， g′（ t ）＞ 0，g（ t ）是增函数，进而 t=10 时，函数g（ t ）有极小值也是最小值，∴g（ t ）min=300，∴f （ t ）min=15，答： t=10 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 千米．点本题观察利用数学知识解决实责问题，观察导数知识的综合运用，确定函数关系，正评：确求导是要点．18．（ 16 分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 +=1（ a＞b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于A， B 两点，线段AB的垂直均分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线AB的方程．考直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．点：专直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：解答：（ 1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c 的方程，解得a，c，再由 a，b，c系，可得b，进而获取椭圆方程；（ 2）谈论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可获取所求直线的方程．解：（ 1）由题意可得，e==，且 c+=3，解得 c=1， a=，2则 b=1，即有椭圆方程为+y =1；的关当 AB与 x 轴不垂直，设直线 AB： y=k（ x﹣ 1）， A（ x1， y1）， B（x2，y2），将 AB方程代入椭圆方程可得（ 1+2k2） x2﹣ 4k2x+2（k2﹣ 1） =0，则 x1+x2=， x1x2 =，则 C（，），且 |AB|=?= ，若 k=0，则 AB 的垂直均分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k≠0，故 PC：y+=﹣（ x﹣）， P（﹣ 2，），进而 |PC|= ，由 |PC|=2|AB| ，可得 =，解得 k=±1，此时 AB的方程为 y=x ﹣ 1 或 y=﹣ x+1．点本题观察椭圆的方程和性质，主要观察椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，评：运用韦达定理和弦长公式，同时观察两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）（2015?江苏）已知函数 f （x） =x3+ax2+b（ a，b∈R）．（1）试谈论 f （ x）的单调性；（2）若 b=c﹣ a（实数 c 是与 a 没关的常数），当函数 f （x）有三个不相同的零点时， a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），求 c 的值．考利用导数研究函数的单调性；函数零点的判判定理．点：专综合题；导数的综合应用．题：分（ 1）求导数，分类谈论，利用导数的正负，即可得出 f （ x）的单调性；析：（ 2）由（ 1）知，函数 f （x）的两个极值为 f （ 0） =b， f （﹣） =+b，则函数 f （ x）有三个不相同的零点等价于 f （ 0）f （﹣） =b（ +b）＜ 0，进一步转变成 a＞ 0 时，﹣ a+c ＞ 0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（a） =﹣ a+c，利用条件即可求 c 的值．解解：（ 1）∵ f （ x） =x3+ax2+b，答：2∴f ′（ x） =3x +2ax ，令 f ′（ x） =0，可得 x=0 或﹣．a=0 时， f ′（ x）＞ 0，∴ f （ x）在（﹣∞， +∞）上单调递加；a＞ 0 时， x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时， f ′（ x）＞ 0，x∈（﹣， 0）时， f ′（ x）＜0，∴函数 f （ x）在（﹣∞，﹣），（ 0，+∞）上单调递加，在（﹣，0）上单调递减；a＜ 0 时， x∈（﹣∞， 0）∪（﹣， +∞）时， f ′（ x）＞ 0，x∈（ 0，﹣）时， f ′（ x）＜0，∴函数 f （ x）在（﹣∞， 0），（﹣， +∞）上单调递加，在（0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f （x）的两个极值为 f （ 0） =b， f （﹣） =+b，则函数f （ x）有三个不相同的零点等价于 f （ 0） f （﹣） =b（+b）＜ 0，∵b=c﹣ a，∴a＞ 0 时，﹣ a+c＞ 0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（ a） =﹣ a+c，∵函数 f （ x）有三个不相同的零点时， a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（ 1，）∪（， +∞），∴在（﹣∞，﹣3）上， g（ a）＜ 0 且在（ 1，）∪（， +∞）上g（ a）＞ 0 均恒建立，∴g（﹣ 3） =c﹣1≤0，且 g（） =c﹣1≥0，∴c=1，322此时 f （ x） =x +ax +1﹣ a=（ x+1） [x +（ a﹣ 1） x+1﹣ a] ，2∴x+（ a﹣ 1） x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴△ =（ a﹣ 1）2﹣ 4（1﹣ a）＞ 0，且（﹣ 1）2﹣（ a﹣ 1） +1﹣a≠0，解得 a∈（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），综上 c=1．点本题观察导数知识的综合运用，观察函数的单调性，观察函数的零点，观察分类谈论评：的数学思想，难度大．20．（ 16 分）（2015?江苏）设 a1， a2， a3． a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明： 2， 2， 2， 2 依次构成等比数列；234（2）可否存在 a1， d，使得 a1，a2， a3， a4依次构成等比数列并说明原由；（3）可否存在 a1， d 及正整数 n， k，使得 a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列并说明原由．考等比关系的确定；等比数列的性质．点：专等差数列与等比数列．题：分（ 1）依照等比数列和等差数列的定义即可证明；析：（ 2）利用反证法，假设存在a1， d 使得 a1， a22， a33， a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，获取结论；（ 3）利用反证法，假设存在n n+k n+2k n+3ka1， d 及正整数 n， k，使得 a1，a2， a3， a4依次n n+2k2（ n+k）n+k n+3k 构成等比数列，获取 a1（ a1+2d）=（ a1+2d），且（a1+d）（ a1+3d） =（ a1+2d）2 （n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理获取ln （ 1+3t ） ln （1+2t） +3ln （ 1+2t ）ln （1+t ） =4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不行立．解解：（ 1）证明：∵ ==2 d，（ n=1， 2， 3，）是同一个常数，答：∴2， 2， 2， 2 依次构成等比数列；（2）令 a1 +d=a，则 a1， a2， a3， a4分别为 a﹣d， a， a+d， a+2d（a＞ d， a＞﹣ 2d，d≠0）假设存在 a1， d 使得 a1， a22，a33， a44 依次构成等比数列，43624则 a =（ a﹣d）（ a+d），且（ a+d） =a （ a+2d），令 t= ，则 1=（ 1﹣ t ）（ 1+t ）3，且（ 1+t ）6 =（1+2t ）4，（﹣＜ t ＜ 1，t≠0），化简得 t 3+2t 2﹣ 2=0（ * ），且 t 2=t+1 ，将 t 2=t+1 代入（ * ）式，2t （ t+1 ） +2（ t+1 ）﹣ 2=t +3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然 t= ﹣不是上面方程的解，矛盾，因此假设不行立，因此不存在a1， d，使得 a1， a2 2， a33， a44依次构成等比数列．（3）假设存在 a1， d 及正整数 n， k，使得 a1n， a2n+k， a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则 a1n（a1+2d）n+2k=（ a1+2d）2（n+k），且（ a1+d）n+k（ a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以 =a12（n+k）， a12（n+2k），并令 t= ，（ t ＞， t ≠0），n+2k 2（ n+k） n+k n+3k 2（ n+2k）则（ 1+2t ） =（ 1+t ），且（ 1+t ）（ 1+3t ） =（ 1+2t ），将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （ 1+2t ） =2（ n+k） ln （ 1+t ），且（ n+k） ln （ 1+t ） +（ n+3k） ln （1+3t ） =2（ n+2k）ln （ 1+2t ），化简得， 2k[ln （1+2t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ） ] ，且 3k[ln （ 1+3t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[3ln （ 1+t ）﹣ ln（1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ） ln （1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （ 1+t ） =4ln （1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ）令 g（ t ）=4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+3t ）ln （ 1+2t ）+3ln （1+2t ）ln （ 1+t ），则g′（ t ）=[ （ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2ln （ 1+2t ）+3（1+t ）2 ln （ 1+t ）] ，令φ（ t ） =（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2ln （ 1+2t ） +3（ 1+t ）2ln （ 1+t ），则φ′（ t ） =6[ （ 1+3t ）ln （1+3t ）﹣ 2（ 1+2t ） ln （ 1+2t ） +3（1+t ）ln （1+t ）] ，令φ 1（t）=φ′（t），则φ 1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（ t ）=φ1′（ t ），则φ2′（ t ） =＞0，由 g（ 0）=φ（ 0）=φ1（ 0）=φ2（ 0） =0，φ2′（ t ）＞ 0，知 g（ t ），φ（ t ），φ1（ t ），φ2（ t ）在（﹣， 0）和（ 0，+∞）上均单调，故 g（ t ）只有唯一的零点t=0 ，即方程（ ** ）只有唯一解t=0 ，故假设不行立，n n+k n+2k n+3k因此不存在a1， d 及正整数n，k，使得 a1， a2，a3，a4依次构成等比数列．点本题主要观察等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，观察代数评：推理、转变与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 4-1 ：几何证明选讲】21．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在△ ABC 中， AB=AC，△ ABC的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC于点 D．求证：△ ABD∽△ AEB．考相似三角形的判断．点：专推理和证明．题：分直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．析：解答：点证明：∵ AB=AC，∴∠ ABD=∠C，又∵∠ C=∠E，∴∠ ABD=∠E，又∠ BAE可知：△ ABD∽△ AEB．本题观察圆的基本性质与相似三角形等基础知识，观察逻辑推理能力．是公共角，评：【选修 4-2 ：矩阵与变换】22．（ 10 分）（2015?江苏）已知 x ，y ∈R ，向量 =是矩阵的属于特色值﹣ 2 的一个特色向量，求矩阵 A 以及它的另一个特色值．考 特色值与特色向量的计算．点：专 矩阵和变换．题：分 利用 A=﹣ 2，可得 A=，经过令矩阵 A 的特色多项式为 0 即得结论．析：解解：由已知，可得A=﹣ 2，即 ==，答： 则，即，∴矩阵 A=，进而矩阵 A 的特色多项式 f （λ） =（λ +2）（λ﹣ 1），∴矩阵 A 的另一个特色值为1．点 本题观察求矩阵及其特色值，注意解题方法的积累，属于中档题．评：【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】23．（2015?江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 ρ 2+2ρsi n （θ﹣）﹣ 4=0，求圆 C 的半径． 考 简单曲线的极坐标方程．点：专 计算题；坐标系和参数方程．题：分 先依照 x=ρ cos θ， y=ρ sin θ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．析：解解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin （θ﹣）﹣ 4=0，可得 ρ2﹣ 2ρcos θ +2ρ sin θ﹣答： 4=0，化为直角坐标方程为x 2+y 2﹣ 2x+2y ﹣ 4=0，化为标准方程为（22x ﹣ 1） +（ y+1） =6，圆的半径 r= ．点本题主要观察把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关评： 键是利用公式 x=ρ cos θ， y=ρ sin θ，比较基础，[ 选修 4-5 ：不等式选讲】24．（2015?江苏）解不等式 x+|2x+3| ≥2．考 绝对值不等式的解法． 点： 专 不等式．题：分思路 1（公式法）：利用|f （ x ）| ≥g （ x ）? f （x ）≥ g （ x ），或 f （ x ）≤﹣ g （ x ）；析：思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“ x≥”“ x＜”进行谈论求解．解解法 1：x+|2x+3| ≥2变形为 |2x+3| ≥2﹣ x，答：得 2x+3≥2﹣ x，或 2x+3≥﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为 {x|x ≥，或 x≤﹣ 5} ．解法 2：令 |2x+3|=0 ，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+（ 2x+3）≥ 2，即 x≥，因此 x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3）≥ 2，即 x≤﹣ 5，因此 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为 {x|x ≥，或 x≤﹣ 5} ．点本题观察了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常有的方法，无论用哪评：种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： |f （x）| ≥g（ x） ? f （x）≥ g（ x），或 f （ x）≤﹣ g（ x）； |f （ x）| ≤g（ x）? ﹣ g（ x）≤ f （ x）≤ g（ x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ ABC=∠BAD=，PA=AD=2， AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；（2）点 Q是线段 BP上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．点：专空间地址关系与距离；空间角．题：分以 A 为坐标原点，以AB、AD、 AP所在直线分别为x、y、 z 轴建系 A﹣ xyz ．析：（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；2（2）利用换元法可得 cos ＜，＞≤，结合函数 y=cosx 在（ 0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以 A 为坐标原点，以AB、 AD、AP所在直线分别为x、 y、 z 轴建系 A﹣ xyz 如图，由题可知B（ 1，0， 0）， C（ 1， 1，0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）．（ 1）∵ AD⊥平面 PAB，∴ =（ 0， 2， 0），是平面PAB的一个法向量，∵=（ 1， 1，﹣ 2）， =（ 0， 2，﹣ 2），设平面 PCD的法向量为 =（x， y， z），由，得，取 y=1，得 =（ 1，1， 1），∴cos＜，＞ ==，∴平面 PAB与平面 PCD所成两面角的余弦值为；（ 2）∵ =（﹣ 1，0， 2），设 =λ =（﹣λ， 0， 2λ）（0≤λ≤1），又 =（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣λ，﹣ 1， 2λ），又 =（ 0，﹣ 2， 2），进而 cos ＜，＞ ==，设 1+2λ =t ，t ∈[1 ， 3] ，则 cos 2＜，＞ ==≤，当且仅当 t= ，即λ =时， |cos ＜，＞ | 的最大值为，DP所成角获取最小值．因为 y=cosx 在（ 0，）上是减函数，此时直线 CQ与又∵ BP==，∴ BQ=BP=．点本题观察求二面角的三角函数值，观察用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的评：积累，属于中档题．*26．（ 10 分）（2015?江苏）已知会集 X={1 ，2，3} ，Y n={1 ，2，3，，n）（n∈N），设S n={（ a，b） |a 整除 b 或整除 a，a∈X，B∈Y n} ，令 f （n）表示会集 S n所含元素的个数．（1）写出 f （ 6）的值；（2）当 n≥6时，写出 f （ n）的表达式，并用数学归纳法证明．考数学归纳法．点：专综合题；点列、递归数列与数学归纳法．题：分（ 1） f （ 6） =6+2++=13；析：（ 2）依照数学归纳法的证明步骤，分类谈论，即可证明结论．解解：（ 1） f （ 6）=6+2++=13；答：（ 2）当 n≥6时， f （ n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6 时， f （ 6）=6+2++=13，结论建立；②假设 n=k（k≥6）时，结论建立，那么 n=k+1 时， S k+1在 S k的基础上新增加的元素在（ 1，k+1），（2， k+1），（ 3， k+1）中产生，分以下状况谈论：1）若 k+1=6t ，则 k=6（ t ﹣ 1）+5，此时有 f （ k+1）=f （k）+3=（ k+1）+2++，结论建立；2）若 k+1=6t+1 ，则 k=6t+1 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +1=k+2+++1=（ k+1） +2++，结论建立；3）若 k+1=6t+2 ，则 k=6t+1 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；4）若 k+1=6t+3 ，则 k=6t+2 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；5）若 k+1=6t+4 ，则 k=6t+3 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；6）若 k+1=6t+5 ，则 k=6t+4 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均建立．点本题观察数学归纳法，观察学生分析解决问题的能力，正确归纳是要点．评：。

2015年江苏省高考数学试卷解析

2015年江苏省高考数学试卷解析

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m ﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m ﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f （x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+ ++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c ＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln （1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a 整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

2015高考数学真题 江苏解析

2015高考数学真题 江苏解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题解析1. 解析 由并集的运算知识知{}1,2,3,4,5AB =，故集合A B 中元素的个数为5．2. 解析 解法一：对数据进行整理，4，5，6，6，7，8，观察易知平均数为6x =．解法二：平均数()146587666x =+++++=． 3. 解析 解法一：设i z a b =+，,a b ∈R ，则()()2222i 2i 34i z a b a b ab =+=-+=+，从而22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，即2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而z == 解法二：由题意2234i 5z z ==+==，故z =．4. 解析故输出的结果S 为．5. 解析 解法一：1只白球设为a ，1只红球设为b ，2只黄球设为c ，d ，则摸球的所有情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6件，满足题意的事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，共5件，故概率为56P =．解法二（理科做法）：从反面考查，反面情况为摸出的2只球颜色相同，故2224C 51C 6P =-=． 6. 解析 由题意m n +a b()()2,11,2m n =+-()2,2m n m n =+-()9,8=-，从而2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，故3m n -=-．评注 也可以将m n -用2m n +与2m n -线性表示，如()()1322355m n m n m n -=++-=-． 7. 解析 由题意22242x x-<=，根据2x y =是单调递增函数，得22x x -<，即()()22210xx x x --=-+<，故不等式的解集为()1,2-或写成{}12x x -<<均可．评注 题是不难，但是解集是集合，估计又要有考生忘记了．8. 解析 解法一：()tan tan βαβα=+-()()tan tan 1tan tan αβααβα+-=++⋅127317+==-． 解法二：()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++=-⋅2tan 112tan 7ββ-+==+，故tan 3β=．解法三：()tan tan αβαβ=+-()()tan tan 1tan tan αββαββ+-=++⋅1tan 7211tan 7ββ-==-+，故t a n 3β=． 9. 解析 原来的总体积为()()22154283V =⨯π⨯⨯+π⨯⨯1963π=，设新的半径为r ，故变化后体积()()221'483V r r =⨯π⨯⨯+π⨯⨯22819633r ππ==， 计算得27r=，从而r =10. 解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d=== 设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ， 所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d 的最大值为11. 解析 解法一：可以考虑算出前10项，但运算化简较繁琐．解法二：由题意得212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=，()*2,n n ∈N …故累加得1234n a a n -=++++…，从而1+234n a n =++++…()12n n +=， 当1n =时，满足通项．故()1211211n a n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++⎝⎭()*n ∈N ， 则有123101111a a a a ++++...1111121+2231011⎛⎫=⨯--++- ⎪⎝⎭ (120211111)⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭． 12. 解析 解法一（几何意义）：即找到P 到直线10x y -+=的最小距离（或取不到），该值即为实数c 的最大值． 已知双曲线221xy -=的渐近线为0x y ±=，易知10x y -+=与0x y -=平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数c的最大值为2d ==． 解法二（纯粹代数法）：设双曲线右支上的任一点为()00,x y ，则22001x y -=，且01x …，从而d c =>恒成立，因为22001y x =-，1︒若00y …时，则d ==，构造()0011f x x ==+，则()011f x +=>，从而d =>=． 2︒若00y <时，则d ===，根据单调递增性，其最小值为01x =．综上所述：2c…，即实数c=．解法三（参数方程，酌情掌握）：因为双曲线右支下部的点到直线的距离不可能为最小值，不妨设设双曲线右支上部的一点为1sec cos sin tan cos x y ααααα⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，0,2απ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．从而d=1sin 1α-+==先研究1sin sin 1cos cos 0αααα--=--， 式子sin 1cos 0αα--表示221x y +=，(]0,1x ∈，[)0,1y ∈上的点与点()0,1间的斜率，易知[)sin 11,0cos 0αα-∈--，从而1sin 12d α-+⎛= ⎝，故2c …，即实数c2=．评注 解法二是观察到已知直线与双曲线的渐近线互相平行，典型的寻求几何关系进行切入；解法二中也可设001x y c -+=，研究直线与双曲线右支相切的状态． 解法三先排除一部分的情况，这在解法二中也同样适用． 13. 解析 解法一（逐步去绝对值）：1︒当01x <…时，()()f xg x +ln 0ln 1x x =+==，故ln 1x =±，e x =（舍）或1e x =，即在(]0,1上有一解为1ex =． 2︒当1x >时，ln 0x >，故()ln ln f x x x ==，()()2ln 421f x g x x x +=+--=，①当12x <<时，2ln 21x x -+=，不妨设()2ln 2h x x x =-+，()2112'20x h x x x x-=-=<对()1,2x ∈恒成立， 故()hx 单调递减，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，()()max 11h x h ==，根据绝对值函数的性质分析，在()1,2x ∈上有一解；②当2x …时，2ln 61x x +-=，不妨设()2ln 6m x x x =+-，则()1'20m x x x=+>对[)2,x ∈+∞恒成立，故()mx 单调递增，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，又()612e e1m =>，根据绝对值函数的性质分析，在[)2,x ∈+∞上有两解．综上所述：方程()()1f x g x +=实根的个数为4．解法二（直接去绝对值）：设()()()hx f x g x =+，则()22ln ,01ln 2,12ln 62x x h x x x x x x x -<⎧⎪=+-<<⎨⎪+-⎩……，下仿照解法一分析．或者通过分析()1hx =±的解亦可．解法三（图像转化）：因为()()1f x g x +=， 所以()()1f x g x +=±，从而()()1g x f x =±-，即()()1gx f x =-或()()1g x f x =--．先分别画出()f x 与()g x 的图形，如图所示：得到图形中弯折、端点部位的具体值，然后分别研究()()1g x f x =-与()()1g x f x =--的图像，如下图所示，易见共有4个交点．()()1g x f x =-图形分析 ()()1g x f x =--图形分析评注 此题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决，从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精确取值．同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年．14.解析 解法一（强制法）：由题意得()()0cos0,sin0cos01,1=+=a，1122⎛⎫+= ⎪⎝⎭a ，212⎛= ⎝⎭a ，()30,1=a，412⎛=- ⎝⎭a，5⎛= ⎝⎭a ，()61,1=--a，7122⎛⎫=- ⎪⎝⎭a，811,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ，()90,1=-a ，1011,22⎛⎫= ⎪⎝⎭a，11122⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，()121,1=a .从而()11+1011111122222222k k k =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=++⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑a a12⎛++++ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭12⎛+++ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222222⎛⎫⎛⎫-+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=（恰当整理化简即可）.解法二（部分规律法）：由题意6cos ,sin cos 666k k k k +πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+π+π++π⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cos ,sin cos 666k k k k πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭a ，从而671k k k k +++=a a a a ，即1k k +a a 的结果呈现以6T =为周期的变化，故()11+1kk k =⋅∑a a ()0112233445562=⨯++a a +a a a a a a +a a +aa =.解法三（通用规律法）：由题意得：()()()1111cos ,sin cos cos ,sin cos 666666k k k k k k k k ++π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ()()()111coscos sin cos sin cos 666666k k k k k k +π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()111coscos cos cos sin sin 666666k k k k k k +π+π+π⎡⎤πππ=++⎢⎥⎣⎦()()()()1111coscos cos sin cos cos sin 66666666k k k k k k k k +π+π+π+π⎡⎤ππππ=+-++⎢⎥⎣⎦ ()()()111coscos sin sin cos cos 666666k k k k k +π+π+π⎡⎤πππ=+++⎢⎥⎣⎦11cossin cos 626262626k k k k k ⎤πππππ=-++⎥⎣⎦1sin sin 6626k k k ⎤πππ+-⎥⎣⎦22111sin cos cos 1cos 2662626k k k k ⎛ππππ⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭211sin 1cos 432622k k ⎛ππ=++-+ ⎝⎭1cos131322k k π+⎛π=++-+ ⎝⎭12sin 43434k k π+π=++， sin 3k y π=，cos 3k y π=的周期为263T π==π，在一个周期内其和为0， 故()11+1012k k k =⋅==∑a a 解法四（部分规律法）：()()()1111cos ,sin cos cos ,sin cos 666666k k k k k k k k ++π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ()()()()1111coscos cos sin cos cos sin 66666666k k k k k k k k +π+π+π+π⎡⎤ππππ=+-++⎢⎥⎣⎦ ()()11coscos cos sin 66666k k k k +π+π⎡⎤πππ=+++⎢⎥⎣⎦⎝⎭则()()11111111+10001cos cos sin 26636kk k k k k k k k ====+ππππ⎛⎫⋅=+++ ⎪⎝⎭∑∑∑aa ， 设()1coscos 66n n n b +ππ=， 由诱导公式()()334coscos 66n n n b ++π+π=()1sin sin 66n n +ππ=，故()()311sin sin cos cos 6666n n n n n n b b ++π+πππ+=+cos 62π==， 从而分组求和()111coscos 666k k k =+ππ==∑ 设sin 36nn c ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由诱导公式()33sin sin 3636n n n n c c ++π⎛⎫πππ⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故30n nc c ++=，从而分组求和11sin 036k k =ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭∑．又1112k ===()11+10k k k =⋅=∑a a 评注 解法一、二虽然足够复杂，但只要罗列清楚并逐步解决，就会发现其实比较简单，从一般法角度进行解决思路难寻，便可以从具体值的角度思考，这给了江苏考区的大部分普通考生以希望． 解法三侧重对三角公式的化简，侧重从一般的角度找到问题的突破口．但解法三中化化简()1coscos 66k k +ππ使用积化和差简化过程，即()()21cos +cos166cos cos =662k k k +ππ+ππ，但高中阶段该公式已不要求掌握，因此此题顺利化简确实也比较麻烦． 解法四在解法三的基础之上进行了优化，不化到最简形式也可解决问题． 也有学生考虑构造cos ,sin cos 666kk k k πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a =cos ,sin +0,cos 666k k k πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+k k =b c ，则k b 和+1k b 都是单位向量且夹角为6π，即+12k k ⋅=b b ． 15. 解析（1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC =（2）222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅==，因为()0,C ∈π，故sin C ==， 故sin 22sin cos C C C =⋅27==． 评注可不化简，有时候会利于下面的运算．16. 解析 （1）因为四边形11BCC B 是矩形，所以E 是1BC 的中点，又D 是1AB 的中点， 因此DE 是1BCA △的中位线，故DE AC ∥， 又DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE ∥平面11AAC C ． （2）因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C =，从而AC ⊥平面11BCC B ，因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥．因为1BC CC =，E 为1BC 的中点，所以11BC CB ⊥， 因为1ACCB C =，所以1BC ⊥平面1ABC ，又因为1AB ⊂平面1ABC ，所以11BC AB ⊥．17. 解析（1）由题意2ay x b=+过()5,40M ，()20,2.5N ， 故4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）① 由题意，曲线C 为21000y x =，易知21000,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32000'y x =-， 故曲线C 在点P 处的切线斜率为32000k t =-， 故曲线C 在点P 处的切线方程为()2310002000y x t t t-=--，化简即3220003000y x t t =-+，令0x =，则23000y t =；令0y =，则32t x =． 故()f t ==()520t 剟． ② 设()24900000094t t g t +=，则()536000000'92g t t t +=-66581092t t -⨯+=⨯， 令()'0g t >，则66810t >⨯，即()()332200t >，从而2200t>，即t >因此()g t在t ⎡∈⎣上单调递减，在(25t ⎤∈⎦上单调递增，故当t=()(min f t f ===评注 第（2）②问或用基本不等式解决，2224490000009900000099=+488t t t t t ++…3900==2527=6754⨯⨯，当且仅当24900000098t t =， 即66810t =⨯，即t =“=”，故公里l的最短距离为18. 解析（1）由题意得232a c cc e a⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故a =，即222a c =，从而1c =，a =，1b =，故椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）解法一（正设斜率）：若AB 的斜率不存在时，则AB 方程为1x =，此时AB =，易知此时32CP AB =≠，不满足题意；当AB 的斜率为0时，此时亦不满足题意；因此AB 斜率存在且不为0，不妨设AB 斜率为k ，则AB 方程()1y k x =-，不妨设()11,Ax y ，()22,B x y ，联立直线AB 与椭圆，即()22221x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒()()2222124220k x k x k +-+-=， 因为点()1,0F在椭圆内，故0∆>恒成立，所以212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故12A B x =-==)22112kk +=+， 又1PCk k=-，21222212C x x k x k +==+，故C P x PC -=222212k k ⎫=+⎪+⎭= 因为2PC AB =)22112k k+=+，2=，即()(22231k +=，整理得424296188kk k k ++=+，即42210k k -+=，即()2210k-=，解得1k =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法二（反设）：由题意，直线AB 的斜率必不为0，故设直线方程为1x my =+， 不妨设()11,Ax y ，()22,B x y ，与椭圆联立22122x my x y =+⎧+=⎨⎩，整理得()222210m y my ++-=，因为点()1,0F 在椭圆内，故0∆>恒成立，故1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，因此12AB y =-==)2212m m +=+， 则C 点的纵坐标为12222y y mm +=-+， 于是C 点的横坐标为222122m m m m ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭， 又CP AB ⊥，故CP k m =-，所以2CP =+=， 因为2PC AB =)2212m m +=+， 化简得()()222381m m +=+，即42210mm -+=，化简得21m =，计算得1m =±， 从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法三（中点弦）：不妨设()00,Cx y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差()()()()1212121212x x x x y y y y +-=-+-， 故1212ABy y k x x -=-()12122x xy y +=-+002x y =-，又001AB CF y k k x ==-，故000021x y y x -=-，即()200021y x x =--， 设'A ，'B 分别是A ，B 两点在右准线上的投影，则由圆锥曲线统一定义得'AF e AA =，'BFe BB =， 故()''AB AF FB e AA BB=+=+)1242xx =--)0422x =-)02x =-， 因0012A P B Ck x k y -==，故PC 方程为()00002y y y x x x -=-，即0002yx y x y =-，联立2x =-，得00042,y P y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 从而PC =)022AB x ==-，即()()0002220082242y y x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝+⎭，所以()()00222200024822x y x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝+⎭，又()200021y x x =--， 从而()()()()22200000282212x x x x x +=---+，即()()000220282122x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-+，故()()()0020202282x x x x =+-+-， 因为02x ≠，故()()2000822x x x =-+，整理得20091240x x -+=，故()20320x -=，解得023x =，回代()200021y x x =--，得013y =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法四（几何性质，网友解答）：不妨设直线AB 的倾斜角为α，则AF=BF=222cos 1sin AB αα==-+①，作椭圆的右准线'l ，过C 作y 轴的垂线，分别交左、 右准线于M ，H ， 分别过A ，B 作右准线'l 的垂线分别 交'l 于'A ，'B ，过A 作'BB 的垂线交'BB 于N ，由PC AB ⊥，易得ABN CPM △△∽，故xFA CPM α∠=∠=，sin CMPC α=②，由图CM MH CH =-()1''2MH AA BB =-+()12MH AF BF e =-+12MH AB e=-，由2PC AB =及②得2sin CM AB α=，即12sin 2MH AB CM AB eα-==，x42sin 2AB AB α-=，即2sin 4AB α⎛= ⎝⎭，代入①得22sin 421sin αα⎛+= +⎝⎭，整理22sin 10αα-+=，即)210α-=，解得sin 2α=，所以4απ=或43π， 即1k =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．评注 第（2）问实属常规运算，不少为计算过的学生认为此题比较难，也有人认为必须要挖掘中点 弦（设而不求，不能直接使用结论）与焦半径公式解决，其实计算而来只觉得化简始终是这一题 要解决的问题，何时该作何化简？需要考虑什么问题？为何要这么处理？这么处理下面是否好解 决？我得到式子是否足够美观，是否对称，是否可约？这一直是解析几何问题解决过程中需要的 思考．利用中点弦设参解决固然简单，但找到关系方为上策．在解决的过程中有些类似弦长，比如PC ，可以选用弦长公式解决，未必求出P 之坐标用两点之间距离解决，这些都需要考生在考上上临场反应，说白了，就是平时积累的结果．19. 解析（1）由题意，()2'32f x x ax =+233x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1︒当203a -=，即0a =时，()2'30f x x =…对x ∈R 恒成立，故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；2︒当203a ->，即0a <时，令()2'303f x x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则0x <或23x a >-， 所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；3︒当203a -<，即0a <时，令()2'303f x x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则23x a <-或0x >，所以()f x 的单调递增区间为23,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）解法一：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-，由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a <时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=>⎩极小极大恒成立， 从而3427c a a c a⎧<-+⎪⎨⎪>⎩对(),3a ∈-∞-恒成立， 构造()3427g a a a =-+，则()24'109g a a =-+<对(),3a ∈-∞-恒成立， 故()ga 单调递减，从而()()31g a g >-=，故31c -剟．3︒当0a >时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=<⎩极大极小恒成立， 从而3427c a ac a⎧>-+⎪⎨⎪<⎩对331,,22a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 构造()3427g a a a =-+， 则()22449'1994g a a a ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭433922a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0ga >，则312a <<，故()ga 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则()312g a g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，从而11c c ⎧⎨⎩……，即1c =． 综上得1c =．解法二：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-， 由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a ≠时，若函数()f x 有三个不同的零点，则只需保证()203f f f a f ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝-⎭极大极小()34027a c a c a ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭，又实数a 的解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此13a =-，21a =，332a =是方程()34027a c a c a ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭的三个实数根， 易知该方程必有一根a c =， 从而若3c =-时，则()3433027a a a ⎛⎫----=⎪⎝⎭，验证知21a =不为其根，故舍； 若1c =时，则()3411027a a a ⎛⎫+--=⎪⎝⎭，验证知13a =-，332a =是其根，验证不等式()3411027a a a ⎛⎫+--<⎪⎝⎭，即()()()232310a a a +--<， 即()()()232310a a a +-->，其解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足题意；若32c =时，则343302722a a a ⎛⎫⎛⎫+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，验证知21a =不为其根，故舍．综上得1c =．解法三：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-，由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a <时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=>⎩极小极大，从而34027a c a a c⎧+-<⎪⎨⎪<⎩，根据a 的取值范围可知：3a =-是方程34027a c a +-=的根，因此1c =． 3︒当0a >时，若1c =，则根据函数()f x 有三个不同的零点，则必有()324032700f fa a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=<⎩极大极小，即()()232301a a a ⎧+->⎪⎨>⎪⎩． 因此解得3a <-或312a <<或32a >，符合题意． 综上得1c =．评注 （2）的解法一将该问题转化到恒成立解决；解法二将问题统一归类转化到不等式的解集，进 而转化到等式（方程）的根；解法三亦是将问题转化到不等式的解集问题进行解决． 20. 解析（1）由题意11a a =，21a a d =+，312a a d =+，413a a d =+，故121122222a d da a a +==，3211222222a d d d a a a ++==，31413222222d da a a a d ++==，而120a ≠且20d ≠，从而31242,2,2,2a a a a 时以12a 为首项，2d为公比的等比数列．（2）解法一：假设存在满足条件的1,a d ， 从而11a a =，()2221a a d =+，()33312a a d =+，()44413a a d =+，若满足题意，的须使43213624324a a a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即4321332324a a a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即()()()()()4311132111223a d a a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩①②，化简得3223411122311264030a d a d a d d a d a d d ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩， 因为0d ≠，故32231112211264030a a d a d d a a d d ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1a t d =， 从而转化为32226410310t t t t t ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩③④，由④得231t t =--，代入③得()22316410t t t t --++-=，化简得到210t -=，即12t =，易见12t =不满足④式，故方程组无解，即不存在满足条件的1,a d ． 解法二：假设存在满足条件的1,a d ，若需满足条件，则必有43213a a a =成立，即为了方便，不妨设1a a d =-，2a a =，3a a d =+，易知10a a d=->，即a d >，从而()()34a a d a d =-+，即()()422222a a da ad d =-++4322223422aa d a d a d ad d =++---，整理得334220a d ad d --=，因为0d ≠，故设a t d=，则32210t t --=，构造()3221g t t t =--，则()2'320g t t =->对()1,t ∈+∞恒成立，由()110g=-<，()2110g =>知()1,2t ∈．另外，还需有624324a a a =，即32324a a a =，即()()322a d a a d +=+，整理得2230a d ad d +-=，仿照上面的步骤即210t t +-=，解得()11,2t =或()21,2t =，因此不满足题意． 综上论证：不存在满足条件的1,a d ．解法三（取对数降为线性）：假设存在满足条件的1,a d ，由1a ，2a ，3a ，4a 均为正数， 因此2341234,,,a a a a 均为正数，所以2341234ln ,ln ,ln ,ln a a a a 构成等差数列， 即1234ln ,2ln ,3ln ,4ln a a a a 构成等差数列，不妨设通项为pn q +，1,2,3,4n =，由于1234,,,a a a a 构成等差数列，且公差为d ()0d ≠，故设其通项为n a dn a =+，1,2,3,4n =，从而()lnn dn a pn q +=+，即()ln q dn a p n+=+对1,2,3,4n =均成立，不妨设()()ln qf x dx a p x =+--，从而()()222'd q dx pdx qa f x dx a x dx a x++=+=++， 因为0d ≠，0x >，0dx a +>， 所以函数()'f x 至多有两个零点，即()f x 在()0,x ∈+∞上至多有三个单调区间，从而()f x 至多会有三个零点，这与1,2,3,4x =都是()f x 的零点相矛盾，因此不存在满足条件的1,a d ．（3）解法一（取对数降为线性）：假设存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n kn k n k a a a a +++依次成等比数列，因为231234,,,n n k n k n k a a a a +++都是整数， 所以231234ln ,ln ,ln ,ln nn kn k n ka a a a +++构成等差数列，即()()()1234ln ,ln ,2ln ,3ln n a n k a n a n k a +++构成等差数列，设期通项为sm t +，1,2,3,4m =，不妨设数列1234,,,a a a a 的通项为ma dm a =+，1,2,3,4m =，0d ≠，所以()()1ln n m k dm a sm t +-+=+⎡⎤⎣⎦，即()ln sm tdm a km n k++=+-对1,2,3,4m =恒成立，不妨设n k c -=，令()()ln sx tg x dx a kx c+=+-+，则()()()()2's kx c k sx t dg x dx a kx c +-+=-++()2d sc kt dx a kx c -=-++ ()()()()()22d kx c kt sc dx a dx a kx c ++-+=++()()()()22222dk x dkc ktd scd x c d kt sc adx a kx c ++-++-=++，因为0d ≠，0x >，0dx a +>，0kx c +≠， 所以函数()'g x 至多有两个零点，即()g x 在()0,x ∈+∞上至多有三个单调区间，从而()gx 至多会有三个零点，这与1,2,3,4x =都是()g x 的零点相矛盾，因此不存在满足条件的1,a d ，使得231234,,,nn kn k n k a a a a +++依次成等比数列．解法二（多次求导，省考试院提供）：假设存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,nn kn k n ka a a a +++依次成等比数列，则()()()()()()()22111322111232n k n k n n k n k n k a a d a d a d a d a d +++++⎧+=+⎪⎨++=+⎪⎩， 分别在上述两个等式的两边同时除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =1,03t t ⎛⎫>-≠ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()2232212111312n k n k n k n k n k t t t t t +++++⎧+=+⎪⎨++=+⎪⎩， 将上述两个等式两边取对数，得()()()()()()()()()()2ln 122ln 1ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t n k t n k t ++=++⎧⎪⎨+++++=++⎪⎩ 化简得()()()()()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 123ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t k t t n t t ⎧+-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎨+-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩，上述两式相除得()()()()()()()()ln 12ln 12ln 1ln 12ln 13ln 12ln 1ln 12t t t t t t t t +-++-+=+-++-+， 化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（*）， 令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1gt t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 1'11213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦=+++， 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1h t t t t t t t =++-+++++， 则()()()()()()()'613ln 13212ln 121ln 1h t t t t t t t =++-+++++⎡⎤⎣⎦.令()()()()()()()()'613ln 13212ln 121ln 1m t h t t t t t t t ==++-+++++⎡⎤⎣⎦， 则()()()()'63ln 134ln 12ln 1m t t t t =+-+++⎡⎤⎣⎦， 令()()()()()'63ln 134ln 12ln 1n t m t t t t ==+-+++⎡⎤⎣⎦， 则()()()()12'011213n t t t t =>+++，由()()()()00000g h m n ====，()'0n t >，知()n t ，()m t ，()h t ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调，故()gt 只有唯一的零点0t =，即方程（*）只有唯一解0t =，故假设不成立．所以不存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,nn kn k n ka a a a +++依次成等比数列．评注 第（1）问可以探究并证明2n a nb =是等比数列．证明：因为112222n n nn a a a d a ++-==，因此2n a n b =以112a b =为首项，2d 为公比的等比数列． 第（2）问解法一其实就是通过两元关系找到方程组的解，解高次方程最好的办法就是不断降幂迭代，衔接教材中有一道题就是降幂迭代思维，例：设12x =，求4221x x x ++-的值． 解析因为264x -=32-=，故()223321x x ==-+，即210x x +-=.即12x =是方程210x x +-=的一个根，故4221xx x ++-()22121x x x =-++-22x =()21x =-22x =-)21=-3=-【1】或者也可以对方程组()()()()()4311132111223a d a a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩①②， 将②代入①得()()()4211113a d a a d a d +=++，化简即()()321113a d a a d +=+，进而探求1a 与d 的关系，由②可直接得到1a 与的关系，验证关系不一致即可证明不存在，如同解法二类似．【2】为了简化运算，参考标准可以选为2a 与d ，如同解法二类似．但解法二也可以利用迭代，例如解法二涉及32221010t t t t ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，转换后即()21210t t t ---=，即2210t --=，方程无解．【3】降幂迭代的方向可以不同（部分迭代和全部迭代），仅是步骤复杂程度变化，但结论不变，．如处理解法一得到的式子还可以是32226410310t t t t t ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩③④，由④得231t t =--，代入③得()()231631410t t t t --+--+-=，即261670t t ++=，再次迭代，即()6311670t t --++=，解得12t =，同理推翻．【4】如果直接由624324a a a =可以推证2310t t ++=，其中1a t d=．解得t =1a =或1a =，当1302a -=>时，易知0d <，此时413302a a d -=+=<，不满足题意；当1302a -=>时，易知0d <，此时413302a a d +=+=<，不满足题意． 可以直接推翻结论．【5】构造的时候也可以构造成1dt a =，如省考试院公布的标准答案． 解法二是通过论证判定方程组解的范围不一致（一个求解范围，一个是确定值）进行否定，具 有一定的风险，因为对解的限制要求较高，若两解差的精度较小，则难以通过此法判定． 因此，往后此类试题也可以考查两方程均无法解出确定则，则我们可以通过降幂迭代或者判定 解得范围解决．解法三是从构造方程研究函数零点角度解决． 但数学翻译语言：“函数()'f x 至多有两个零点，则()f x 至多有三个单调区间”是不成立的，因为()f x 在无定义的地方可能会间断，将某一单调区间拆成两个，但此题有限制，因此成立．数学翻译语言：“()f x 至多有三个单调区间，则()f x 至多会有三个零点”是正确的．【6】也有老师从函数的凹凸性给予解释．（2）假设存在参数可以是其成等比数列，那么我们可以构造出下面的对应等式关系：1a bq =，222a bq =，333a bq =，444a bq =，,0q b >，1b ≠，所以1nn a qb =()1,2,3,4n =关于n 的函数是一致凹或凸的，所以()11,a 与()44,a 的连线 必不与 ()22,a ，()33,a 的连线重合．这是与等差数列对应点在直线上是矛盾的，故不存在1,a d 满足要求． （3）依据题意构造等式关系如下：1n n a bq =，2'n k n k a b q ++=，233'n k n k a b q ++=，354'n kn k a b q ++=，'k b bq =， 所以11'n a qb =，12'n ka qb +=，133'n ka qb +=，154'n ka qb +=，假设存在，那么坐标上三点()2,n k a +，()33,n k a +，()45,n k a +共线，依据函数图像凹凸性，知其不成立，因此不存在． 21（A ）. 解析 由题意E C ∠=∠，又AB AC =，故ABC C ∠=∠，所以ABC E ∠=∠， 又BADBAE ∠=∠，所以ABD AEB △△∽．21（B ）. 解析 由题意112012x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎦⎣⎦⎣⎦⎣，所以122x y -=-⎧⎨=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，故1120-⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A ． 所以()112f λλλ+-=-()12λλ=+-22λλ=+-， 令()0f λ=，则12λ=-，21λ=，所以它的另一个特征值为1λ=．21（C ）. 解析由题意得sin 422θθθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以()22sin cos 40ρρθθ+--=，即22sin 2cos 40ρρθρθ+--=，从而222240xy y x ++--=，即()()22116x y -++=，故圆C．21（D ）. 解析当32x -…时，化简得332x +…，解得13x -…，故13x -…； 当32x <-时，化简得32x --…，解得5x -…，故5x -…． 故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．22. 解析 由PA ⊥平面ABCD ，2ABC BAD π∠=∠=， 故AB ，AD ，AP 两两垂直，所以建立如右图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,2P，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()1,0,0B ．（1）易知BC ⊥平面PAB ，故平面PAB 的一个法向量为 ()0,1,0BC =．又()1,1,2PC=-，()0,2,2PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则PC ⊥n ，PD ⊥n ，所以20220PC x y z PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，取1z =，则1y =，1x =，故()1,1,1=n ，因此cos ,BC BC BC ⋅===⋅n n n， 易知平面PAB 与平面PCD 所成二面角为锐二面角，故其余弦值为3． （2）因()0,2,2DP =-，设BQ BP λ=，[]0,1λ∈．所以CQ CB BQ=+CB BP λ=+()()0,1,01,0,2λ=-+-(),1,2λλ=--，因此cos ,CQ DPCQ DP CQ DP⋅=⋅=2=设()()222151f λλλ+=+2244151λλλ++=+， 所以()()()()()2222845110441'51f λλλλλλλ++-++=+()()222210251λλλ-+-=+()()()222522151λλλ--+=+， 令()'0f λ>，则25λ<，所以函数()f λ在20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当25λ=时，()f λ有最大值，即cos ,CQ DP 有最大值，此时直线CQ 与DP 所成的角最小，故5BQ =． 评注 也可以假设Q 点的坐标解决．在求解cos ,CQ DP 的最大值时，也可以处理成：2cos ,2CQ DP =12t λ=+，则[]1,3t ∈，所以2cos ,CQ DP===所以当1105299t ==⨯，29105t t-+取最小值， 此时cos ,CQ DP 取最大值，此时直线CQ 与DP 所成的角最小，即9125t λ==+，解得25λ=，故BQ =． 23. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．1234567891011121314151617186162636465661k k k k k k k k +++++++共………………组组第带标记的表示为3的倍数或约数（其实1是奇葩，其余的都是3的倍数），带标记的表示为2的倍数或约数，而则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数（即为6的倍数或约数，此题不作研究）．这样研究6n k =()*k ∈N 时，可直接得()()()()63121112f n k k k k =++++=+，当63n k =+()*k ∈N 时，可直接得()()()()63311211117f n k k k k =+++++++=+．这就是此题的本质，以6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究． 解析 （1）当6n =时，{}1,2,3X=，{}1,2,3,4,5,6n Y =，(),a b 可取()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,6，共13个，故()613f =．（2）当6n …时，()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65k n k k n k k n k f n k n k k n k k n k k +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N ， 证明：1︒当1k =时，枚举可得()613f =，()714f =，()816f =，()918f =，()1020f =，()1121f =，符合通式；2︒假设k t =时，成立，即()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65t n t t n t t n t f n t n t t n t t n t t +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N 成立，则当1k t =+时，此时66n t =+，此时()6f n +比()f n 多出有序数对11个，即多出()1,61t +，()1,62t +，()1,63t +，()1,64t +，()1,65t +，()1,66t +，()2,62t +，()2,64t +，()2,66t +，()3,63t +，()3,66t +，从而()()()6111112f n f n t +=+=++，符合通式；另外，当67n t =+，68n t =+，69n t =+，610n t =+，611n t =+，同理可证，综上，即()()()()()()()()*1112,661113,671115,6861117,691119,61011110,611t n t t n t t n t f n t n t t n t t t n t ++=+⎧⎪++=+⎪⎪++=+⎪+=⎨++=+⎪⎪++=+⎪++=+⎪∈⎩N ， 即当1k t =+时也成立． 例如61n k =+时，16n k -=，则()111711311366n n f n k -+=+=⨯+=，综上所述：()()*1112,66117,616118,626119,6361110,646115,656n n k n n k n n k f n n n k n k k n n n k +⎧=⎪⎪+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪=⎨+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪⎪+=+⎪⎩∈N ．评注 【1】（网友提供）在看各地的评析时，也有人用取整函数进行表达，即当6n …时，()1123n n f n n ⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦223n n n ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1︒可以验证6,7,8,9,10,11n =时均成立；2︒假设6n k m =+()*,0,1,2,3,4,5k m ∈=N 时成立，即()6666223k m k m f k m k m ++⎡⎤⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则当()61n k m =++，()61f k m ++⎡⎤⎣⎦()6632f k m =++++66621123k m k m k m ++⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()666123223k m k m k m ++⎡⎤⎡⎤=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()616161223k m k m k m ++++⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()61n k m =++时也成立．综上所述：当6n …，*n ∈N 时，()223n n f n n ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均成立．【2】省考试院提供的结果形式为：()()*2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n k n n n n k n n n n k f n n n n n k n n n n n n k k n n k ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎭⎩∈⎝N ，归纳证明也是从元增加角度推导．其实此题与南京2015三模数学加试23极为相似． （2015南京三模23）已知集合A 是集合{}123,nP n =⋯，，，()*3,n n ∈N …的子集，且A 中恰有 3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为()f n ．（1）求()3f ，()4f ；（2）求()f n （用含n 的式子表示）．解析 （1）()13f =，()42f =．（2）设*03,,3n A m m p p p ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N …， *1131,,3n A m m p p p +⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭N …，*2232,,3n A m m p p p +⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭N …，它们所含元素的个数分别记为0A ，1A ，2A ．①当3n k =时，则102k A A A ===．12k =，时，()()313C k kf n ==； 3k …时，()()33132333C C 22kkf k n k k =+=-+． 由于3n k =， 从而()321111863f n n n n=-+，3n k =，*k ∈N ．②当31n k =-时，则01A k =-，12A k A ==．2k =时，()()52214n f f ==⨯⨯=； 3k =时，()()81133220f f n ==++⨯⨯=；3k >时，()()23311113C 2C C C k k k kf n --=++32353122k k k =-+-； 由于13n k +=，从而()32111418639f n n n n =-+-，31n k =-，*k ∈N ． ③当32n k =-时，101k A A ==-，2A k =．2k =时，()()42112n f f ==⨯⨯=； 3k =时，()()7132213f n f ==+⨯⨯=；3k >时，()()23311112C C C C k kk k f n --=++32395222k k k =-+-； 由于23n k +=，从而()32111218639f n n n n =-+-，32n k =-，*k ∈N ． 所以()32*32*32*111,3,18631114,31,186391112,32,18639n n n n k k f n n n n n k k n n n n k k ⎧-+=∈⎪⎪⎪=-+-=-∈⎨⎪⎪-+-=-∈⎪⎩N N N ．。

2015高考数学真题 江苏数学真题解析

2015高考数学真题 江苏数学真题解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题解析1. 解析 由并集的运算知识知{}1,2,3,4,5AB =，故集合A B 中元素的个数为5．2. 解析 解法一：对数据进行整理，4，5，6，6，7，8，观察易知平均数为6x =．解法二：平均数()146587666x =+++++=． 3. 解析 解法一：设i z a b =+，,a b ∈R ，则()()2222i 2i 34i z a b a b ab =+=-+=+，从而22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，即2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而z == 解法二：由题意2234i 5z z ==+==，故z =．4. 解析故输出的结果S 为．5. 解析 解法一：1只白球设为a ，1只红球设为b ，2只黄球设为c ，d ，则摸球的所有情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6件，满足题意的事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，共5件，故概率为56P =．解法二（理科做法）：从反面考查，反面情况为摸出的2只球颜色相同，故2224C 51C 6P =-=． 6. 解析 由题意m n +a b()()2,11,2m n =+-()2,2m n m n =+-()9,8=-，从而2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，故3m n -=-．评注 也可以将m n -用2m n +与2m n -线性表示，如()()1322355m n m n m n -=++-=-． 7. 解析 由题意22242x x-<=，根据2x y =是单调递增函数，得22x x -<，即()()22210xx x x --=-+<，故不等式的解集为()1,2-或写成{}12x x -<<均可．评注 题是不难，但是解集是集合，估计又要有考生忘记了．8. 解析 解法一：()tan tan βαβα=+-()()tan tan 1tan tan αβααβα+-=++⋅127317+==-． 解法二：()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++=-⋅2tan 112tan 7ββ-+==+，故tan 3β=．解法三：()tan tan αβαβ=+-()()tan tan 1tan tan αββαββ+-=++⋅1tan 7211tan 7ββ-==-+，故t a n 3β=． 9. 解析 原来的总体积为()()22154283V =⨯π⨯⨯+π⨯⨯1963π=，设新的半径为r ，故变化后体积()()221'483V r r =⨯π⨯⨯+π⨯⨯22819633r ππ==， 计算得27r=，从而r =10. 解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d=== 设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ， 所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d 的最大值为11. 解析 解法一：可以考虑算出前10项，但运算化简较繁琐．解法二：由题意得212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=，()*2,n n ∈N …故累加得1234n a a n -=++++…，从而1+234n a n =++++…()12n n +=， 当1n =时，满足通项．故()1211211n a n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++⎝⎭()*n ∈N ， 则有123101111a a a a ++++...1111121+2231011⎛⎫=⨯--++- ⎪⎝⎭ (120211111)⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭． 12. 解析 解法一（几何意义）：即找到P 到直线10x y -+=的最小距离（或取不到），该值即为实数c 的最大值． 已知双曲线221xy -=的渐近线为0x y ±=，易知10x y -+=与0x y -=平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数c的最大值为2d ==． 解法二（纯粹代数法）：设双曲线右支上的任一点为()00,x y ，则22001x y -=，且01x …，从而d c =>恒成立，因为22001y x =-，1︒若00y …时，则d ==，构造()0011f x x ==+，则()011f x +=>，从而d =>=． 2︒若00y <时，则d ===，根据单调递增性，其最小值为01x =．综上所述：2c…，即实数c=．解法三（参数方程，酌情掌握）：因为双曲线右支下部的点到直线的距离不可能为最小值，不妨设设双曲线右支上部的一点为1sec cos sin tan cos x y ααααα⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，0,2απ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．从而d=1sin 1α-+==先研究1sin sin 1cos cos 0αααα--=--， 式子sin 1cos 0αα--表示221x y +=，(]0,1x ∈，[)0,1y ∈上的点与点()0,1间的斜率，易知[)sin 11,0cos 0αα-∈--，从而1sin 12d α-+⎛= ⎝，故2c …，即实数c2=．评注 解法二是观察到已知直线与双曲线的渐近线互相平行，典型的寻求几何关系进行切入；解法二中也可设001x y c -+=，研究直线与双曲线右支相切的状态． 解法三先排除一部分的情况，这在解法二中也同样适用． 13. 解析 解法一（逐步去绝对值）：1︒当01x <…时，()()f xg x +ln 0ln 1x x =+==，故ln 1x =±，e x =（舍）或1e x =，即在(]0,1上有一解为1ex =． 2︒当1x >时，ln 0x >，故()ln ln f x x x ==，()()2ln 421f x g x x x +=+--=，①当12x <<时，2ln 21x x -+=，不妨设()2ln 2h x x x =-+，()2112'20x h x x x x-=-=<对()1,2x ∈恒成立， 故()hx 单调递减，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，()()max 11h x h ==，根据绝对值函数的性质分析，在()1,2x ∈上有一解；②当2x …时，2ln 61x x +-=，不妨设()2ln 6m x x x =+-，则()1'20m x x x=+>对[)2,x ∈+∞恒成立，故()mx 单调递增，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，又()612e e1m =>，根据绝对值函数的性质分析，在[)2,x ∈+∞上有两解．综上所述：方程()()1f x g x +=实根的个数为4．解法二（直接去绝对值）：设()()()hx f x g x =+，则()22ln ,01ln 2,12ln 62x x h x x x x x x x -<⎧⎪=+-<<⎨⎪+-⎩……，下仿照解法一分析．或者通过分析()1hx =±的解亦可．解法三（图像转化）：因为()()1f x g x +=， 所以()()1f x g x +=±，从而()()1g x f x =±-，即()()1gx f x =-或()()1g x f x =--．先分别画出()f x 与()g x 的图形，如图所示：得到图形中弯折、端点部位的具体值，然后分别研究()()1g x f x =-与()()1g x f x =--的图像，如下图所示，易见共有4个交点．()()1g x f x =-图形分析 ()()1g x f x =--图形分析评注 此题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决，从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精确取值．同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年．14.解析 解法一（强制法）：由题意得()()0cos0,sin0cos01,1=+=a，1122⎛⎫+= ⎪⎝⎭a ，212⎛= ⎝⎭a ，()30,1=a，412⎛=- ⎝⎭a，5⎛= ⎝⎭a ，()61,1=--a，7122⎛⎫=- ⎪⎝⎭a，811,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ，()90,1=-a ，1011,22⎛⎫= ⎪⎝⎭a，11122⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，()121,1=a .从而()11+1011111122222222k k k =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=++⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑a a12⎛++++ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭12⎛+++ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222222⎛⎫⎛⎫-+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=（恰当整理化简即可）.解法二（部分规律法）：由题意6cos ,sin cos 666k k k k +πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+π+π++π⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cos ,sin cos 666k k k k πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭a ，从而671k k k k +++=a a a a ，即1k k +a a 的结果呈现以6T =为周期的变化，故()11+1kk k =⋅∑a a ()0112233445562=⨯++a a +a a a a a a +a a +aa =.解法三（通用规律法）：由题意得：()()()1111cos ,sin cos cos ,sin cos 666666k k k k k k k k ++π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ()()()111coscos sin cos sin cos 666666k k k k k k +π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()111coscos cos cos sin sin 666666k k k k k k +π+π+π⎡⎤πππ=++⎢⎥⎣⎦()()()()1111coscos cos sin cos cos sin 66666666k k k k k k k k +π+π+π+π⎡⎤ππππ=+-++⎢⎥⎣⎦ ()()()111coscos sin sin cos cos 666666k k k k k +π+π+π⎡⎤πππ=+++⎢⎥⎣⎦11cossin cos 626262626k k k k k ⎤πππππ=-++⎥⎣⎦1sin sin 6626k k k ⎤πππ+-⎥⎣⎦22111sin cos cos 1cos 2662626k k k k ⎛ππππ⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭211sin 1cos 432622k k ⎛ππ=++-+ ⎝⎭1cos131322k k π+⎛π=++-+ ⎝⎭12sin 43434k k π+π=++， sin 3k y π=，cos 3k y π=的周期为263T π==π，在一个周期内其和为0， 故()11+1012k k k =⋅==∑a a 解法四（部分规律法）：()()()1111cos ,sin cos cos ,sin cos 666666k k k k k k k k ++π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ()()()()1111coscos cos sin cos cos sin 66666666k k k k k k k k +π+π+π+π⎡⎤ππππ=+-++⎢⎥⎣⎦ ()()11coscos cos sin 66666k k k k +π+π⎡⎤πππ=+++⎢⎥⎣⎦⎝⎭则()()11111111+10001cos cos sin 26636kk k k k k k k k ====+ππππ⎛⎫⋅=+++ ⎪⎝⎭∑∑∑aa ， 设()1coscos 66n n n b +ππ=， 由诱导公式()()334coscos 66n n n b ++π+π=()1sin sin 66n n +ππ=，故()()311sin sin cos cos 6666n n n n n n b b ++π+πππ+=+cos 62π==， 从而分组求和()111coscos 666k k k =+ππ==∑ 设sin 36nn c ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由诱导公式()33sin sin 3636n n n n c c ++π⎛⎫πππ⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故30n nc c ++=，从而分组求和11sin 036k k =ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭∑．又1112k ===()11+10k k k =⋅=∑a a 评注 解法一、二虽然足够复杂，但只要罗列清楚并逐步解决，就会发现其实比较简单，从一般法角度进行解决思路难寻，便可以从具体值的角度思考，这给了江苏考区的大部分普通考生以希望． 解法三侧重对三角公式的化简，侧重从一般的角度找到问题的突破口．但解法三中化化简()1coscos 66k k +ππ使用积化和差简化过程，即()()21cos +cos166cos cos =662k k k +ππ+ππ，但高中阶段该公式已不要求掌握，因此此题顺利化简确实也比较麻烦． 解法四在解法三的基础之上进行了优化，不化到最简形式也可解决问题． 也有学生考虑构造cos ,sin cos 666kk k k πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a =cos ,sin +0,cos 666k k k πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+k k =b c ，则k b 和+1k b 都是单位向量且夹角为6π，即+12k k ⋅=b b ． 15. 解析（1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC =（2）222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅==，因为()0,C ∈π，故sin C ==， 故sin 22sin cos C C C =⋅27==． 评注可不化简，有时候会利于下面的运算．16. 解析 （1）因为四边形11BCC B 是矩形，所以E 是1BC 的中点，又D 是1AB 的中点， 因此DE 是1BCA △的中位线，故DE AC ∥， 又DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE ∥平面11AAC C ． （2）因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C =，从而AC ⊥平面11BCC B ，因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥．因为1BC CC =，E 为1BC 的中点，所以11BC CB ⊥， 因为1ACCB C =，所以1BC ⊥平面1ABC ，又因为1AB ⊂平面1ABC ，所以11BC AB ⊥．17. 解析（1）由题意2ay x b=+过()5,40M ，()20,2.5N ， 故4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）① 由题意，曲线C 为21000y x =，易知21000,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32000'y x =-， 故曲线C 在点P 处的切线斜率为32000k t =-， 故曲线C 在点P 处的切线方程为()2310002000y x t t t-=--，化简即3220003000y x t t =-+，令0x =，则23000y t =；令0y =，则32t x =． 故()f t ==()520t 剟． ② 设()24900000094t t g t +=，则()536000000'92g t t t +=-66581092t t -⨯+=⨯， 令()'0g t >，则66810t >⨯，即()()332200t >，从而2200t>，即t >因此()g t在t ⎡∈⎣上单调递减，在(25t ⎤∈⎦上单调递增，故当t=()(min f t f ===评注 第（2）②问或用基本不等式解决，2224490000009900000099=+488t t t t t ++…3900==2527=6754⨯⨯，当且仅当24900000098t t =， 即66810t =⨯，即t =“=”，故公里l的最短距离为18. 解析（1）由题意得232a c cc e a⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故a =，即222a c =，从而1c =，a =，1b =，故椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）解法一（正设斜率）：若AB 的斜率不存在时，则AB 方程为1x =，此时AB =，易知此时32CP AB =≠，不满足题意；当AB 的斜率为0时，此时亦不满足题意；因此AB 斜率存在且不为0，不妨设AB 斜率为k ，则AB 方程()1y k x =-，不妨设()11,Ax y ，()22,B x y ，联立直线AB 与椭圆，即()22221x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒()()2222124220k x k x k +-+-=， 因为点()1,0F在椭圆内，故0∆>恒成立，所以212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故12A B x =-==)22112kk +=+， 又1PCk k=-，21222212C x x k x k +==+，故C P x PC -=222212k k ⎫=+⎪+⎭= 因为2PC AB =)22112k k+=+，2=，即()(22231k +=，整理得424296188kk k k ++=+，即42210k k -+=，即()2210k-=，解得1k =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法二（反设）：由题意，直线AB 的斜率必不为0，故设直线方程为1x my =+， 不妨设()11,Ax y ，()22,B x y ，与椭圆联立22122x my x y =+⎧+=⎨⎩，整理得()222210m y my ++-=，因为点()1,0F 在椭圆内，故0∆>恒成立，故1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，因此12AB y =-==)2212m m +=+， 则C 点的纵坐标为12222y y mm +=-+， 于是C 点的横坐标为222122m m m m ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭， 又CP AB ⊥，故CP k m =-，所以2CP =+=， 因为2PC AB =)2212m m +=+， 化简得()()222381m m +=+，即42210mm -+=，化简得21m =，计算得1m =±， 从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法三（中点弦）：不妨设()00,Cx y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差()()()()1212121212x x x x y y y y +-=-+-， 故1212ABy y k x x -=-()12122x xy y +=-+002x y =-，又001AB CF y k k x ==-，故000021x y y x -=-，即()200021y x x =--， 设'A ，'B 分别是A ，B 两点在右准线上的投影，则由圆锥曲线统一定义得'AF e AA =，'BFe BB =， 故()''AB AF FB e AA BB=+=+)1242xx =--)0422x =-)02x =-， 因0012A P B Ck x k y -==，故PC 方程为()00002y y y x x x -=-，即0002yx y x y =-，联立2x =-，得00042,y P y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 从而PC =)022AB x ==-，即()()0002220082242y y x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝+⎭，所以()()00222200024822x y x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝+⎭，又()200021y x x =--， 从而()()()()22200000282212x x x x x +=---+，即()()000220282122x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-+，故()()()0020202282x x x x =+-+-， 因为02x ≠，故()()2000822x x x =-+，整理得20091240x x -+=，故()20320x -=，解得023x =，回代()200021y x x =--，得013y =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法四（几何性质，网友解答）：不妨设直线AB 的倾斜角为α，则AF=BF=222cos 1sin AB αα==-+①，作椭圆的右准线'l ，过C 作y 轴的垂线，分别交左、 右准线于M ，H ， 分别过A ，B 作右准线'l 的垂线分别 交'l 于'A ，'B ，过A 作'BB 的垂线交'BB 于N ，由PC AB ⊥，易得ABN CPM △△∽，故xFA CPM α∠=∠=，sin CMPC α=②，由图CM MH CH =-()1''2MH AA BB =-+()12MH AF BF e =-+12MH AB e=-，由2PC AB =及②得2sin CM AB α=，即12sin 2MH AB CM AB eα-==，x42sin 2AB AB α-=，即2sin 4AB α⎛= ⎝⎭，代入①得22sin 421sin αα⎛+= +⎝⎭，整理22sin 10αα-+=，即)210α-=，解得sin 2α=，所以4απ=或43π， 即1k =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．评注 第（2）问实属常规运算，不少为计算过的学生认为此题比较难，也有人认为必须要挖掘中点 弦（设而不求，不能直接使用结论）与焦半径公式解决，其实计算而来只觉得化简始终是这一题 要解决的问题，何时该作何化简？需要考虑什么问题？为何要这么处理？这么处理下面是否好解 决？我得到式子是否足够美观，是否对称，是否可约？这一直是解析几何问题解决过程中需要的 思考．利用中点弦设参解决固然简单，但找到关系方为上策．在解决的过程中有些类似弦长，比如PC ，可以选用弦长公式解决，未必求出P 之坐标用两点之间距离解决，这些都需要考生在考上上临场反应，说白了，就是平时积累的结果．19. 解析（1）由题意，()2'32f x x ax =+233x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1︒当203a -=，即0a =时，()2'30f x x =…对x ∈R 恒成立，故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；2︒当203a ->，即0a <时，令()2'303f x x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则0x <或23x a >-， 所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；3︒当203a -<，即0a <时，令()2'303f x x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则23x a <-或0x >，所以()f x 的单调递增区间为23,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）解法一：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-，由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a <时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=>⎩极小极大恒成立， 从而3427c a a c a⎧<-+⎪⎨⎪>⎩对(),3a ∈-∞-恒成立， 构造()3427g a a a =-+，则()24'109g a a =-+<对(),3a ∈-∞-恒成立， 故()ga 单调递减，从而()()31g a g >-=，故31c -剟．3︒当0a >时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=<⎩极大极小恒成立， 从而3427c a ac a⎧>-+⎪⎨⎪<⎩对331,,22a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 构造()3427g a a a =-+， 则()22449'1994g a a a ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭433922a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0ga >，则312a <<，故()ga 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则()312g a g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，从而11c c ⎧⎨⎩……，即1c =． 综上得1c =．解法二：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-， 由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a ≠时，若函数()f x 有三个不同的零点，则只需保证()203f f f a f ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝-⎭极大极小()34027a c a c a ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭，又实数a 的解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此13a =-，21a =，332a =是方程()34027a c a c a ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭的三个实数根， 易知该方程必有一根a c =， 从而若3c =-时，则()3433027a a a ⎛⎫----=⎪⎝⎭，验证知21a =不为其根，故舍； 若1c =时，则()3411027a a a ⎛⎫+--=⎪⎝⎭，验证知13a =-，332a =是其根，验证不等式()3411027a a a ⎛⎫+--<⎪⎝⎭，即()()()232310a a a +--<， 即()()()232310a a a +-->，其解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足题意；若32c =时，则343302722a a a ⎛⎫⎛⎫+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，验证知21a =不为其根，故舍．综上得1c =．解法三：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-，由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a <时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=>⎩极小极大，从而34027a c a a c⎧+-<⎪⎨⎪<⎩，根据a 的取值范围可知：3a =-是方程34027a c a +-=的根，因此1c =． 3︒当0a >时，若1c =，则根据函数()f x 有三个不同的零点，则必有()324032700f fa a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=<⎩极大极小，即()()232301a a a ⎧+->⎪⎨>⎪⎩． 因此解得3a <-或312a <<或32a >，符合题意． 综上得1c =．评注 （2）的解法一将该问题转化到恒成立解决；解法二将问题统一归类转化到不等式的解集，进 而转化到等式（方程）的根；解法三亦是将问题转化到不等式的解集问题进行解决． 20. 解析（1）由题意11a a =，21a a d =+，312a a d =+，413a a d =+，故121122222a d da a a +==，3211222222a d d d a a a ++==，31413222222d da a a a d ++==，而120a ≠且20d ≠，从而31242,2,2,2a a a a 时以12a 为首项，2d为公比的等比数列．（2）解法一：假设存在满足条件的1,a d ， 从而11a a =，()2221a a d =+，()33312a a d =+，()44413a a d =+，若满足题意，的须使43213624324a a a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即4321332324a a a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即()()()()()4311132111223a d a a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩①②，化简得3223411122311264030a d a d a d d a d a d d ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩， 因为0d ≠，故32231112211264030a a d a d d a a d d ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1a t d =， 从而转化为32226410310t t t t t ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩③④，由④得231t t =--，代入③得()22316410t t t t --++-=，化简得到210t -=，即12t =，易见12t =不满足④式，故方程组无解，即不存在满足条件的1,a d ． 解法二：假设存在满足条件的1,a d ，若需满足条件，则必有43213a a a =成立，即为了方便，不妨设1a a d =-，2a a =，3a a d =+，易知10a a d=->，即a d >，从而()()34a a d a d =-+，即()()422222a a da ad d =-++4322223422aa d a d a d ad d =++---，整理得334220a d ad d --=，因为0d ≠，故设a t d=，则32210t t --=，构造()3221g t t t =--，则()2'320g t t =->对()1,t ∈+∞恒成立，由()110g=-<，()2110g =>知()1,2t ∈．另外，还需有624324a a a =，即32324a a a =，即()()322a d a a d +=+，整理得2230a d ad d +-=，仿照上面的步骤即210t t +-=，解得()11,2t =或()21,2t =，因此不满足题意． 综上论证：不存在满足条件的1,a d ．解法三（取对数降为线性）：假设存在满足条件的1,a d ，由1a ，2a ，3a ，4a 均为正数， 因此2341234,,,a a a a 均为正数，所以2341234ln ,ln ,ln ,ln a a a a 构成等差数列， 即1234ln ,2ln ,3ln ,4ln a a a a 构成等差数列，不妨设通项为pn q +，1,2,3,4n =，由于1234,,,a a a a 构成等差数列，且公差为d ()0d ≠，故设其通项为n a dn a =+，1,2,3,4n =，从而()lnn dn a pn q +=+，即()ln q dn a p n+=+对1,2,3,4n =均成立，不妨设()()ln qf x dx a p x =+--，从而()()222'd q dx pdx qa f x dx a x dx a x++=+=++， 因为0d ≠，0x >，0dx a +>， 所以函数()'f x 至多有两个零点，即()f x 在()0,x ∈+∞上至多有三个单调区间，从而()f x 至多会有三个零点，这与1,2,3,4x =都是()f x 的零点相矛盾，因此不存在满足条件的1,a d ．（3）解法一（取对数降为线性）：假设存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n kn k n k a a a a +++依次成等比数列，因为231234,,,n n k n k n k a a a a +++都是整数， 所以231234ln ,ln ,ln ,ln nn kn k n ka a a a +++构成等差数列，即()()()1234ln ,ln ,2ln ,3ln n a n k a n a n k a +++构成等差数列，设期通项为sm t +，1,2,3,4m =，不妨设数列1234,,,a a a a 的通项为ma dm a =+，1,2,3,4m =，0d ≠，所以()()1ln n m k dm a sm t +-+=+⎡⎤⎣⎦，即()ln sm tdm a km n k++=+-对1,2,3,4m =恒成立，不妨设n k c -=，令()()ln sx tg x dx a kx c+=+-+，则()()()()2's kx c k sx t dg x dx a kx c +-+=-++()2d sc kt dx a kx c -=-++ ()()()()()22d kx c kt sc dx a dx a kx c ++-+=++()()()()22222dk x dkc ktd scd x c d kt sc adx a kx c ++-++-=++，因为0d ≠，0x >，0dx a +>，0kx c +≠， 所以函数()'g x 至多有两个零点，即()g x 在()0,x ∈+∞上至多有三个单调区间，从而()gx 至多会有三个零点，这与1,2,3,4x =都是()g x 的零点相矛盾，因此不存在满足条件的1,a d ，使得231234,,,nn kn k n k a a a a +++依次成等比数列．解法二（多次求导，省考试院提供）：假设存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,nn kn k n ka a a a +++依次成等比数列，则()()()()()()()22111322111232n k n k n n k n k n k a a d a d a d a d a d +++++⎧+=+⎪⎨++=+⎪⎩， 分别在上述两个等式的两边同时除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =1,03t t ⎛⎫>-≠ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()2232212111312n k n k n k n k n k t t t t t +++++⎧+=+⎪⎨++=+⎪⎩， 将上述两个等式两边取对数，得()()()()()()()()()()2ln 122ln 1ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t n k t n k t ++=++⎧⎪⎨+++++=++⎪⎩ 化简得()()()()()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 123ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t k t t n t t ⎧+-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎨+-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩，上述两式相除得()()()()()()()()ln 12ln 12ln 1ln 12ln 13ln 12ln 1ln 12t t t t t t t t +-++-+=+-++-+， 化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（*）， 令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1gt t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 1'11213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦=+++， 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1h t t t t t t t =++-+++++， 则()()()()()()()'613ln 13212ln 121ln 1h t t t t t t t =++-+++++⎡⎤⎣⎦.令()()()()()()()()'613ln 13212ln 121ln 1m t h t t t t t t t ==++-+++++⎡⎤⎣⎦， 则()()()()'63ln 134ln 12ln 1m t t t t =+-+++⎡⎤⎣⎦， 令()()()()()'63ln 134ln 12ln 1n t m t t t t ==+-+++⎡⎤⎣⎦， 则()()()()12'011213n t t t t =>+++，由()()()()00000g h m n ====，()'0n t >，知()n t ，()m t ，()h t ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调，故()gt 只有唯一的零点0t =，即方程（*）只有唯一解0t =，故假设不成立．所以不存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,nn kn k n ka a a a +++依次成等比数列．评注 第（1）问可以探究并证明2n a nb =是等比数列．证明：因为112222n n nn a a a d a ++-==，因此2n a n b =以112a b =为首项，2d 为公比的等比数列． 第（2）问解法一其实就是通过两元关系找到方程组的解，解高次方程最好的办法就是不断降幂迭代，衔接教材中有一道题就是降幂迭代思维，例：设12x =，求4221x x x ++-的值． 解析因为264x -=32-=，故()223321x x ==-+，即210x x +-=.即12x =是方程210x x +-=的一个根，故4221xx x ++-()22121x x x =-++-22x =()21x =-22x =-)21=-3=-【1】或者也可以对方程组()()()()()4311132111223a d a a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩①②， 将②代入①得()()()4211113a d a a d a d +=++，化简即()()321113a d a a d +=+，进而探求1a 与d 的关系，由②可直接得到1a 与的关系，验证关系不一致即可证明不存在，如同解法二类似．【2】为了简化运算，参考标准可以选为2a 与d ，如同解法二类似．但解法二也可以利用迭代，例如解法二涉及32221010t t t t ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，转换后即()21210t t t ---=，即2210t --=，方程无解．【3】降幂迭代的方向可以不同（部分迭代和全部迭代），仅是步骤复杂程度变化，但结论不变，．如处理解法一得到的式子还可以是32226410310t t t t t ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩③④，由④得231t t =--，代入③得()()231631410t t t t --+--+-=，即261670t t ++=，再次迭代，即()6311670t t --++=，解得12t =，同理推翻．【4】如果直接由624324a a a =可以推证2310t t ++=，其中1a t d=．解得t =1a =或1a =，当1302a -=>时，易知0d <，此时413302a a d -=+=<，不满足题意；当1302a -=>时，易知0d <，此时413302a a d +=+=<，不满足题意． 可以直接推翻结论．【5】构造的时候也可以构造成1dt a =，如省考试院公布的标准答案． 解法二是通过论证判定方程组解的范围不一致（一个求解范围，一个是确定值）进行否定，具 有一定的风险，因为对解的限制要求较高，若两解差的精度较小，则难以通过此法判定． 因此，往后此类试题也可以考查两方程均无法解出确定则，则我们可以通过降幂迭代或者判定 解得范围解决．解法三是从构造方程研究函数零点角度解决． 但数学翻译语言：“函数()'f x 至多有两个零点，则()f x 至多有三个单调区间”是不成立的，因为()f x 在无定义的地方可能会间断，将某一单调区间拆成两个，但此题有限制，因此成立．数学翻译语言：“()f x 至多有三个单调区间，则()f x 至多会有三个零点”是正确的．【6】也有老师从函数的凹凸性给予解释．（2）假设存在参数可以是其成等比数列，那么我们可以构造出下面的对应等式关系：1a bq =，222a bq =，333a bq =，444a bq =，,0q b >，1b ≠，所以1nn a qb =()1,2,3,4n =关于n 的函数是一致凹或凸的，所以()11,a 与()44,a 的连线 必不与 ()22,a ，()33,a 的连线重合．这是与等差数列对应点在直线上是矛盾的，故不存在1,a d 满足要求． （3）依据题意构造等式关系如下：1n n a bq =，2'n k n k a b q ++=，233'n k n k a b q ++=，354'n kn k a b q ++=，'k b bq =， 所以11'n a qb =，12'n ka qb +=，133'n ka qb +=，154'n ka qb +=，假设存在，那么坐标上三点()2,n k a +，()33,n k a +，()45,n k a +共线，依据函数图像凹凸性，知其不成立，因此不存在． 21（A ）. 解析 由题意E C ∠=∠，又AB AC =，故ABC C ∠=∠，所以ABC E ∠=∠， 又BADBAE ∠=∠，所以ABD AEB △△∽．21（B ）. 解析 由题意112012x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎦⎣⎦⎣⎦⎣，所以122x y -=-⎧⎨=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，故1120-⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A ． 所以()112f λλλ+-=-()12λλ=+-22λλ=+-， 令()0f λ=，则12λ=-，21λ=，所以它的另一个特征值为1λ=．21（C ）. 解析由题意得sin 422θθθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以()22sin cos 40ρρθθ+--=，即22sin 2cos 40ρρθρθ+--=，从而222240xy y x ++--=，即()()22116x y -++=，故圆C．21（D ）. 解析当32x -…时，化简得332x +…，解得13x -…，故13x -…； 当32x <-时，化简得32x --…，解得5x -…，故5x -…． 故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．22. 解析 由PA ⊥平面ABCD ，2ABC BAD π∠=∠=， 故AB ，AD ，AP 两两垂直，所以建立如右图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,2P，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()1,0,0B ．（1）易知BC ⊥平面PAB ，故平面PAB 的一个法向量为 ()0,1,0BC =．又()1,1,2PC=-，()0,2,2PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则PC ⊥n ，PD ⊥n ，所以20220PC x y z PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，取1z =，则1y =，1x =，故()1,1,1=n ，因此cos ,BC BC BC ⋅===⋅n n n， 易知平面PAB 与平面PCD 所成二面角为锐二面角，故其余弦值为3． （2）因()0,2,2DP =-，设BQ BP λ=，[]0,1λ∈．所以CQ CB BQ=+CB BP λ=+()()0,1,01,0,2λ=-+-(),1,2λλ=--，因此cos ,CQ DPCQ DP CQ DP⋅=⋅=2=设()()222151f λλλ+=+2244151λλλ++=+， 所以()()()()()2222845110441'51f λλλλλλλ++-++=+()()222210251λλλ-+-=+()()()222522151λλλ--+=+， 令()'0f λ>，则25λ<，所以函数()f λ在20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当25λ=时，()f λ有最大值，即cos ,CQ DP 有最大值，此时直线CQ 与DP 所成的角最小，故5BQ =． 评注 也可以假设Q 点的坐标解决．在求解cos ,CQ DP 的最大值时，也可以处理成：2cos ,2CQ DP =12t λ=+，则[]1,3t ∈，所以2cos ,CQ DP===所以当1105299t ==⨯，29105t t-+取最小值， 此时cos ,CQ DP 取最大值，此时直线CQ 与DP 所成的角最小，即9125t λ==+，解得25λ=，故BQ =． 23. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．1234567891011121314151617186162636465661k k k k k k k k +++++++共………………组组第带标记的表示为3的倍数或约数（其实1是奇葩，其余的都是3的倍数），带标记的表示为2的倍数或约数，而则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数（即为6的倍数或约数，此题不作研究）．这样研究6n k =()*k ∈N 时，可直接得()()()()63121112f n k k k k =++++=+，当63n k =+()*k ∈N 时，可直接得()()()()63311211117f n k k k k =+++++++=+．这就是此题的本质，以6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究． 解析 （1）当6n =时，{}1,2,3X=，{}1,2,3,4,5,6n Y =，(),a b 可取()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,6，共13个，故()613f =．（2）当6n …时，()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65k n k k n k k n k f n k n k k n k k n k k +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N ， 证明：1︒当1k =时，枚举可得()613f =，()714f =，()816f =，()918f =，()1020f =，()1121f =，符合通式；2︒假设k t =时，成立，即()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65t n t t n t t n t f n t n t t n t t n t t +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N 成立，则当1k t =+时，此时66n t =+，此时()6f n +比()f n 多出有序数对11个，即多出()1,61t +，()1,62t +，()1,63t +，()1,64t +，()1,65t +，()1,66t +，()2,62t +，()2,64t +，()2,66t +，()3,63t +，()3,66t +，从而()()()6111112f n f n t +=+=++，符合通式；另外，当67n t =+，68n t =+，69n t =+，610n t =+，611n t =+，同理可证，综上，即()()()()()()()()*1112,661113,671115,6861117,691119,61011110,611t n t t n t t n t f n t n t t n t t t n t ++=+⎧⎪++=+⎪⎪++=+⎪+=⎨++=+⎪⎪++=+⎪++=+⎪∈⎩N ， 即当1k t =+时也成立． 例如61n k =+时，16n k -=，则()111711311366n n f n k -+=+=⨯+=，综上所述：()()*1112,66117,616118,626119,6361110,646115,656n n k n n k n n k f n n n k n k k n n n k +⎧=⎪⎪+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪=⎨+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪⎪+=+⎪⎩∈N ．评注 【1】（网友提供）在看各地的评析时，也有人用取整函数进行表达，即当6n …时，()1123n n f n n ⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦223n n n ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1︒可以验证6,7,8,9,10,11n =时均成立；2︒假设6n k m =+()*,0,1,2,3,4,5k m ∈=N 时成立，即()6666223k m k m f k m k m ++⎡⎤⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则当()61n k m =++，()61f k m ++⎡⎤⎣⎦()6632f k m =++++66621123k m k m k m ++⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()666123223k m k m k m ++⎡⎤⎡⎤=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()616161223k m k m k m ++++⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()61n k m =++时也成立．综上所述：当6n …，*n ∈N 时，()223n n f n n ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均成立．【2】省考试院提供的结果形式为：()()*2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n k n n n n k n n n n k f n n n n n k n n n n n n k k n n k ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎭⎩∈⎝N ，归纳证明也是从元增加角度推导．其实此题与南京2015三模数学加试23极为相似． （2015南京三模23）已知集合A 是集合{}123,nP n =⋯，，，()*3,n n ∈N …的子集，且A 中恰有 3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为()f n ．（1）求()3f ，()4f ；（2）求()f n （用含n 的式子表示）．解析 （1）()13f =，()42f =．（2）设*03,,3n A m m p p p ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N …， *1131,,3n A m m p p p +⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭N …，*2232,,3n A m m p p p +⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭N …，它们所含元素的个数分别记为0A ，1A ，2A ．①当3n k =时，则102k A A A ===．12k =，时，()()313C k kf n ==； 3k …时，()()33132333C C 22kkf k n k k =+=-+． 由于3n k =， 从而()321111863f n n n n=-+，3n k =，*k ∈N ．②当31n k =-时，则01A k =-，12A k A ==．2k =时，()()52214n f f ==⨯⨯=； 3k =时，()()81133220f f n ==++⨯⨯=；3k >时，()()23311113C 2C C C k k k kf n --=++32353122k k k =-+-； 由于13n k +=，从而()32111418639f n n n n =-+-，31n k =-，*k ∈N ． ③当32n k =-时，101k A A ==-，2A k =．2k =时，()()42112n f f ==⨯⨯=； 3k =时，()()7132213f n f ==+⨯⨯=；3k >时，()()23311112C C C C k kk k f n --=++32395222k k k =-+-； 由于23n k +=，从而()32111218639f n n n n =-+-，32n k =-，*k ∈N ． 所以()32*32*32*111,3,18631114,31,186391112,32,18639n n n n k k f n n n n n k k n n n n k k ⎧-+=∈⎪⎪⎪=-+-=-∈⎨⎪⎪-+-=-∈⎪⎩N N N ．。

2015年江苏高考数学卷分析(总体分析)

2015年江苏高考数学卷分析(总体分析)

2015年高考数学（江苏卷）试题分析一、考试形式及试卷结构（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分。

必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟。

（二）考试题型1．必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成。

其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分。

2．附加题附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答。

填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题形式组成。

容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2。

附加题部分由容易题、中等题和难题形式组成。

容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1。

二、试卷概述一卷部分（即文理同卷部分），总体上说，试题的难易程度适中。

填空题（1-14题），与过去7年（08年-14年）相比，前12题相对较容易，第13题与去年的第13题考查的一样，即函数与方程的零点问题，难度高于去年，且易错；第14题较难。

分析如下：1-9题，比较容易。

并且前五道题是最容易拿分且每年必考的集合、统计、复数、算法与概率。

这45分应该是很多考生可以轻而易举拿到的分数。

10-12题，难度适中。

第10题与2012年的第13题相类似，且更加容易，直接考查直线与圆相切，之后用函数思想和基本不等式解决问题；第11题，考查累加法求通项及裂相相消求和；作为数列填空题出在第11题的位置，而且又比较简单，也应该是可以拿分的题目；第12题，考查双曲线的渐近线与平行直线之间的距离问题，知识点较简单，考法比较新颖，与往年这个位置的解析几何相比，难度不大，且运算量较小。

2015江苏省高考数学试题(卷)与答案解析Word版

2015江苏省高考数学试题(卷)与答案解析Word版

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．那么这组数据的平均数为：3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．|z||z|=|3+4i|=故答案为：4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．．故答案为：．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．解：向量，m+n，解得7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．28．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．=，=9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：则新圆锥和圆柱的体积和为：，解得：故答案为：10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．d=，，11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．=+2+1=．．{．{项的和为故答案为：．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．的距离，即故答案为：13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（ak •a k+1）的值为．答=+：+，++++++．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．×=7．==cosC==×16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．y=，利用导数，确定单调性，即可求出当y=，，y=，，﹣（）=t=10，）时，10时，函数=15时，公路1518．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．=，=3，，即有椭圆方程为+y==（）==（）|PC|==19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．（﹣+b（﹣+b时，时，=或﹣．，﹣）∪（，））上单调递增，在（﹣）∪（﹣，，﹣）时，（﹣，）上单调递减；（﹣+b（﹣（时，时，），，）∪（，（）∪（20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．）证明：∵=2，，，依次构成等比数列；t=（﹣＜，不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，t=，[＞）在（﹣，三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．A=，可得=2，即，即A=【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．ρ﹣[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．”“＜，或．时，原不等式化为，≥时，原不等式化为【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．，＞≤，，∴=，=，得，，得=，＞=；）∵=λ==，则===，＞=，＞≤，即=，的最大值为，BP==，∴BP=26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．+=13=6+2+=13．=6+2+=13+2+，+1=k+2++ ++2=k+2++ ++2=k+2++ ++2=k+2++ ++2=k+2++ +。

2015年高考数学江苏卷含答案解析

2015年高考数学江苏卷含答案解析

．
������ ← 1
������ ← 1
While ������ < 8
������ ← ������ + 2
������ ← ������ + 3
End While
Print ������
（第 4 题）
5. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只球，1 只红球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这
半径最大的圆的标准方程为
．
答案：(������ − 1)2 + ������2 = 2． 建议解法：直线 ������������ − ������ − 2������ − 1 = 0 经过定点 (2, −1)． 当圆与直线相切于点 (2, −1) 时，圆的半径最大，此时半径 ������ 满足 ������2 = (1 − 2)2 + (0 + 1)2 = 2．
11.
设数列 {������������} 满足 ������1
= 1，且 ������������+1 − ������������
=
������
+
1（������
∈
������∗），则数列
{
1 ������������
}
前
10
项的和为
．
答案：2101 ．
建议解法：首先
������������+1
．
答案：√5． 建议解法：因为 |������|2 = |������2| = √32 + 42 = 5，所以 |������| = √5．
S 数学 I 试卷 第 1 页（共 11 页）
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 ������ 为

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B 中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答： 解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B 中元素的个数为5；故答案为：5点评： 题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．考点： 众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6． 故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z 满足z 2=3+4i （i 是虚数单位），则z 的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答： 解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I ＜8，S=3，I=4满足条件I ＜8，S=5，I=7满足条件I ＜8，S=7，I=10不满足条件I ＜8，退出循环，输出S 的值为7． 故答案为：7．点评： 本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计．分析： 根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解解：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为答： C 1、C 2，则一次取出2只球，基本事件为AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2、C 1C 2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评： 本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）（m ，n ∈R ），则m ﹣n 的值为 ﹣3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答： 解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评： 本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2） ．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： 利用指数函数的单调性转化为x 2﹣x ＜2，求解即可．解答： 解；∵2＜4，∴x 2﹣x ＜2，即x 2﹣x ﹣2＜0，解得：﹣1＜x ＜2故答案为：（﹣1，2）点评： 本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为 3 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答： 解：tanα=﹣2，tan （α+β）=，可知tan （α+β）==，即=， 解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离．分析： 由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，由前后体积相等列式求得r ．解答： 解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r ， 则新圆锥和圆柱的体积和为：． ∴，解得：．故答案为：．点评： 本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 （x ﹣1）2+y 2=2 ．考点：圆的标准方程；圆的切线方程． 专题：计算题；直线与圆．分析： 求出圆心到直线的距离d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答： 解：圆心到直线的距离d==≤， ∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x ﹣1）2+y 2=2．故答案为：（x ﹣1）2+y 2=2．点评： 本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为．考数列的求和；数列递推式．点：专题：等差数列与等比数列．分析： 数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），利用“累加求和”可得a n =．再利用“裂项求和”即可得出． 解答： 解：∵数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），∴当n≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=+n+…+2+1=． 当n=1时，上式也成立， ∴a n =． ∴=2． ∴数列{}的前n 项的和S n ===． ∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评： 本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ．考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线方程为x±y=0，c 的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x ﹣y=0的距离． 解答： 解：由题意，双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立， 所以c 的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x ﹣y=0的距离，即． 故答案为：．点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f （x ）=|lnx|，g （x ）=，则方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为 4 ．考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：综合题；函数的性质及应用． 分析： ：由|f （x ）+g （x ）|=1可得g （x ）=﹣f （x ）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论． 解答： 解：由|f （x ）+g （x ）|=1可得g （x ）=﹣f （x ）±1．g （x ）与h （x ）=﹣f （x ）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4．点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、析： 积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解答： 解：=+=++++=++ =++，∴（a k •a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点： 余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形． 分析： （1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答： 解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===， ∵AB＜BC ，∴C 为锐角， 则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC 1⊥AC；最后证明BC 1⊥平面B 1AC ，即可证出BC 1⊥AB 1．解答： 证明：（1）根据题意，得；E 为B 1C 的中点，D 为AB 1的中点，所以DE∥AC；又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE∥平面AA 1C 1C ；（2）因为棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ， 所以AC⊥CC 1； 又因为AC⊥BC， CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1， BC∩CC 1=C ，所以AC⊥平面BCC 1B 1； 又因为BC 1⊂平面平面BCC 1B 1， 所以BC 1⊥AC；因为BC=CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形， 所以BC 1⊥平面B 1AC ； 又因为AB 1⊂平面B 1AC ， 所以BC 1⊥AB 1．点本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与评：平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用． 专题：综合题；导数的综合应用． 分析： （1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a ，b 的值；（2）①求出切线l 的方程，可得A ，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式f （t ），并写出其定义域； ②设g （t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路l 的长度最短，并求出最短长度．解答： 解：（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P （t ，），∴y′=﹣，∴切线l 的方程为y ﹣=﹣（x ﹣t ）设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，则A （，0），B （0，）， ∴f （t ）==，t ∈[5，20]；②设g （t ）=，则g′（t ）=2t ﹣=0，解得t=10，t ∈（5，10）时，g′（t ）＜0，g （t ）是减函数；t ∈（10，20）时，g′（t ）＞0，g （t ）是增函数，从而t=10时，函数g （t ）有极小值也是最小值，∴g（t ）min =300， ∴f（t ）min =15，答：t=10时，公路l 的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程．考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）运用离心率公式和准线方程，可得a ，c 的方程，解得a ，c ，再由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答： 解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（2）当AB⊥x 轴，AB=，CP=3，不合题意； 当AB 与x 轴不垂直，设直线AB ：y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将AB 方程代入椭圆方程可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2（k 2﹣1）=0， 则x 1+x 2=，x 1x 2=，则C （，），且|AB|=•=， 若k=0，则AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC ：y+=﹣（x ﹣），P （﹣2，）， 从而|PC|=， 由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB 的方程为y=x ﹣1或y=﹣x+1．点本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离评： 心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ）．（1）试讨论f （x ）的单调性；（2）若b=c ﹣a （实数c 是与a 无关的常数），当函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c 的值．考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题： 综合题；导数的综合应用．分析： （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f （x ）的单调性；（2）由（1）知，函数f （x ）的两个极值为f （0）=b ，f （﹣）=+b ，则函数f （x ）有三个不同的零点等价于f （0）f （﹣）=b （+b ）＜0，进一步转化为a ＞0时，﹣a+c ＞0或a ＜0时，﹣a+c ＜0．设g （a ）=﹣a+c ，利用条件即可求c 的值．解答： 解：（1）∵f（x ）=x 3+ax 2+b ， ∴f′（x ）=3x 2+2ax ，令f′（x ）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x ）＞0，∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a ＞0时，x ∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x ）＞0，x ∈（﹣，0）时，f′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a ＜0时，x ∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，x ∈（0，﹣）时，f′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f （x ）的两个极值为f （0）=b ，f （﹣）=+b ，则函数f （x ）有三个不同的零点等价于f （0）f （﹣）=b （+b ）＜0，∵b=c﹣a ，∴a＞0时，﹣a+c ＞0或a ＜0时，﹣a+c＜0．设g （a ）=﹣a+c ，∵函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， ∴在（﹣∞，﹣3）上，g （a ）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g （a ）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c ﹣1≤0，且g （）=c ﹣1≥0，∴c=1，此时f （x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（x+1）[x 2+（a ﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x 2+（a ﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a ﹣1）2﹣4（1﹣a ）＞0，且（﹣1）2﹣（a ﹣1）+1﹣a≠0，解得a ∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， 综上c=1．点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a 1，a 2，a 3．a 4是各项为正数且公差为d （d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列？并说明理由．考点： 等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析： （1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明； （2）利用反证法，假设存在a 1，d 使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列，得到a 1n （a 1+2d ）n+2k =（a 1+2d ）2（n+k ），且（a 1+d ）n+k （a 1+3d ）n+3k =（a 1+2d ）2（n+2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t ）ln （1+2t ）+3ln （1+2t ）ln （1+t ）=4ln （1+3t ）ln （1+t ），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答： 解：（1）证明：∵==2d ，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a 1+d=a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a﹣d ，a ，a+d ，a+2d （a ＞d ，a ＞﹣2d ，d≠0） 假设存在a 1，d 使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4=（a ﹣d ）（a+d ）3，且（a+d ）6=a 2（a+2d ）4，令t=，则1=（1﹣t ）（1+t ）3，且（1+t ）6=（1+2t ）4，（﹣＜t ＜1，t≠0），化简得t 3+2t 2﹣2=0（*），且t 2=t+1，将t 2=t+1代入（*）式，t （t+1）+2（t+1）﹣2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．（3）假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k （1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln （1+2t ）+3（1+t ）2ln （1+t ），则φ′（t ）=6[（1+3t ）ln （1+3t ）﹣2（1+2t ）ln （1+2t ）+3（1+t ）ln （1+t ）]，令φ1（t ）=φ′（t ），则φ1′（t ）=6[3ln （1+3t ）﹣4ln （1+2t ）+ln （1+t ）]，令φ2（t ）=φ1′（t ），则φ2′（t ）=＞0，由g （0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t ）＞0，知g （t ），φ（t ），φ1（t ），φ2（t ）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g （t ）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x ，y ∈R ，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算． 专题：矩阵和变换． 分析： 利用A =﹣2，可得A=，通过令矩阵A 的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A =﹣2，即==， 则，即， ∴矩阵A=， 从而矩阵A 的特征多项式f （λ）=（λ+2）（λ﹣1）， ∴矩阵A 的另一个特征值为1．点评： 本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C 的半径．考点： 简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析： 先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答： 解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x+2y ﹣4=0，化为标准方程为（x ﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析： 思路1（公式法）：利用|f （x ）|≥g（x ）⇔f （x ）≥g（x ），或f （x ）≤﹣g （x ）；思路2（零点分段法）：对x 的值分“x≥”“x ＜”进行讨论求解． 解答： 解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x ， 得2x+3≥2﹣x ，或2x+3≥﹣（2﹣x ），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=． ①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥， 所以x≥； ②x＜时，原不等式化为x ﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f （x ）|≥g（x ）⇔f （x ）≥g（x ），或f （x ）≤﹣g （x ）；|f（x ）|≤g（x ）⇔﹣g （x ）≤f（x ）≤g（x ）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知PA⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．考点： 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： 以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A ﹣xyz ．（1）所求值即为平面PAB 的一个法向量与平面PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos 2＜，＞≤，结合函数y=cosx 在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答： 解：以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A ﹣xyz 如图，由题可知B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB ，∴=（0，2，0），是平面PAB 的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向评： 量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n ={1，2，3，…，n ）（n ∈N *），设S n ={（a ，b ）|a 整除b 或整除a ，a ∈X ，B ∈Y n }，令f （n ）表示集合S n 所含元素的个数．（1）写出f （6）的值；（2）当n≥6时，写出f （n ）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析： （1）f （6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f （6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f （k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立． 综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均成立． 点评： 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

2015年江苏省高考数学试卷附详细解析

2015年江苏省高考数学试卷附详细解析

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．那么这组数据的平均数为：3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．|z||z|=|3+4i|=故答案为：4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．．故答案为：．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．解：向量，m+n，解得7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．28．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．=，=9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：则新圆锥和圆柱的体积和为：，解得：故答案为：10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．d=，，11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．=+2+1=．．{．{项的和为故答案为：．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．的距离，即故答案为：13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．答=：+，++++++．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．×=7．==cosC==×16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．y=，利用导数，确定单调性，即可求出当y=，，y=，，﹣（）=t=10，）时，10时，函数=15时，公路1518．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．=，=3，，即有椭圆方程为+y==（）==（）|PC|==19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．（﹣+b（﹣+b时，时，=或﹣．，﹣）∪（，））上单调递增，在（﹣）∪（﹣，，﹣）时，（﹣，）上单调递减；（﹣+b（﹣（时，时，），，）∪（，（）∪（20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．）证明：∵=2，，，依次构成等比数列；t=（﹣＜，不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，t=，[＞）在（﹣，三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．A=，可得=2，即，即A=【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．ρ﹣[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．”“＜，或．时，原不等式化为，≥时，原不等式化为【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．，＞≤，，∴=，=，得，，得=，＞=；）∵=λ==，则===，＞=，＞≤，即=，的最大值为，BP==，∴BP=26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．+=13=6+2+=13．=6+2+=13+2+，+1=k+2++++2=k+2++++2=k+2++++2=k+2++++2=k+2+++参与本试卷答题和审题的老师有：sdpyqzh；qiss；w3239003；742048；sxs123；刘长柏；孙佑中；双曲线；whgcn；cst；尹伟云（排名不分先后）菁优网2015年7月21日。

2015张老师江苏高考数学应用题题型归纳

2015张老师江苏高考数学应用题题型归纳

应用题题型归纳在备考中，需要重点关注以下几方面问题：1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；2.加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；3.对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视；4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题5.熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答.一、利润问题1、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．2某小商品2014年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2015年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。

（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。

（2）设2k a =，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2015年的收益比2014年至少增长20%？3.近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是). 记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.(1)试解释(0)C的实际意义, 并建立F关于x的函数关系式;(2)当x为多少平方米时, F取得最小值?最小值是多少万元?4.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x≤≤元时,一年的销售量为2(10)x-万件．（Ｉ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式()L x；（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值．5.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？二、与几何图形有关的实际问题1、 如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？ABDCPβα第1题图2.某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得 EF ‖AB ，EF ⊥ED ，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，设求△DEF 边长的最小值．3. （2012南京二模）在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式cos 1y x =-),此时门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?变式：（2011盐城二模）如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数[]8,4),2||,0,0)(sin(∈<>>+=x A x A y πϕωϕω时的图象，图象的最高点为)338,5(B ，DF ⊥OC ，垂足为F. (Ⅰ)求函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式；（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 PMFE ， 问点P 落在曲线OD 上何处时，水上 乐园的面积最大？5.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米， BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方）表示成关于x 的函数； （2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．D C（第5题）变式（2015南京二模17题）．右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD ，上部是圆AB ，该圆弧所在的圆心为O ，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH （其中E ，F 在圆弧AB 上，G ，H 在弦AB 上）。

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应用题题型归纳在备考中，需要重点关注以下几方面问题：1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；2.加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；3.对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视；4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题5.熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答.一、利润问题1、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．2某小商品2014年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2015年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。

（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。

（2）设2k a =，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2015年的收益比2014年至少增长20%？3.近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是). 记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.(1)试解释(0)C的实际意义, 并建立F关于x的函数关系式;(2)当x为多少平方米时, F取得最小值?最小值是多少万元?4.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x≤≤元时,一年的销售量为2(10)x-万件．（Ｉ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式()L x；（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值．5.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？二、与几何图形有关的实际问题1、 如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？ABDCPβα第1题图2.某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得 EF ‖AB ，EF ⊥ED ，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，设求△DEF 边长的最小值．3. （2012南京二模）在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式cos 1y x =-),此时门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t .(1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?变式：（2011盐城二模）如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数[]8,4),2||,0,0)(sin(∈<>>+=x A x A y πϕωϕω时的图象，图象的最高点为)338,5(B ，DF ⊥OC ，垂足为F. (Ⅰ)求函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式；（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 PMFE ， 问点P 落在曲线OD 上何处时，水上 乐园的面积最大？5.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米， BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方）表示成关于x 的函数； （2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．D C（第5题）变式（2015南京二模17题）．右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD ，上部是圆AB ，该圆弧所在的圆心为O ，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH （其中E ，F 在圆弧AB 上，G ，H 在弦AB 上）。

过O 作AB OP ⊥，交AB 于M ，交EF 于N ，交圆弧AB 于P ，已知5.6,10==MP OP （单位：m ）,记通风窗EFGH 的面积为S （单位：2m ）（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设()POF rad θ∠=，将S 表示成θ的函数； (ii)设()MN x m =，将S 表示成x 的函数；（2）试问通风窗的高度MN 为多少时？通风窗EFGH 的面积S 最大？变式：（2015南京三模）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记AOP ＝， ∈(0，π)．（1）当 ＝23 时，求点P 距地面的高度PQ ； （2）试确定 的值，使得MPN 取得最大值．PBN ACDGOF EHM第17题图AMNBO PQ6.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为21,y y 且翻转前后的比例系数相同都为k ）(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为107.如图，,A B 为相距2km 的两个工厂，以AB 的中点O 为圆心，半径为2km 画圆弧。

MN 为圆弧上两点，且,MA AB NB AB ⊥⊥ ，在圆弧MN 上一点P 处建一座学校。

学校P 受工厂A 的噪音影响度与AP 的平方成反比，比例系数为1，学校P 受工厂B 的噪音影响度与BP 的平方成反比，比例系数为4。

学校P 受两工厂的噪音影响度之和为y ，且设AP xkm = 。

（1）求()y f x = ，并求其定义域；（2）当AP 为多少时，总噪音影响度最小？8.如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤．（1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？N9.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为： y =1128000x 3－380x+8 (0＜x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？10. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为2m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应 在离起跳点A 处水平距h m （h ≥1）时达到距水面最大高度4m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．（1）当h =1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围．。

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