高等数学IIB-第2次离线作业

高等数学IIB

第2次作业

二、主观题(共7道小题)

7. 设22z u v =+，而,u x y v x y =+=- , 求

,z z x y

∂∂∂∂ 解：代入可得:2

2

2

2

2

2

()()2()z u v x y x y x y =+=++-=+

所以 4x z x '

=

4y z y '=

8. 设2x y z e -=, 而sin x t =，3y t =, 求

dz dt

解：代入可得 3

2sin 2x y

t t z e

e --==

3

sin 22(cos 6)t t t z e t t '-=-

9. 求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值.

解：由 (,)420x f x y x '

=-=

(,)420y f x y y '=--=

得 2,2x y ==-

所以 (,)2

(,)0(,)2

xx xy

yy A f x y B f

x y C f x y ''''''==-====-

且 240

AC B A -=><

故(2,2)16448f -=--=是极大值.

10. 求函数22(,)(6)(4)f x y x x y y =--的极值。

解：由 2

(,)(62)(4)0x f x y x y y '=--=

得 3x = 或 0y =

或 4y =

再由 2(,)(6)(42)0y f x y x x y '=--= 得 0x = 或 6x = 或 2y =

容易看出只有得3x =和2y =可能是极值点 经判断可知(3,2)36f =是极大值。

11. 计算下列二重积分:

(1)

(32)D

x y d σ+∬ , 其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；

解：222

2

2

2220

2032[63()

](224)3

x x I dx

x ydy x x y dx x x dx --=+=-+=-++=

⎰⎰⎰⎰ (2)

3

23(3)D

x

x y y d σ++∬ , 其中D 是矩形闭区域:01,01x y ≤≤≤≤

解：

1

1

1

11

1

3

2

3

3

2

30

11

322413

2000

(3)(3)

1131[(3)]()12424I dx x x y y dy dx x dy x ydy y dy x x y y dx x x dx =++=++=+⋅+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

(3)

cos()D

x y d σ+∬ , 其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域.

解：

000000

00

cos()cos()[sin()]1

(sin 2sin )[cos 2cos ]2

2x x x I dx x y dy dx x y d x y x y dx

x x dx x x πππ

π

π=+=+++=-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）=

12. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:

(1)(24)(536)L

x y dx y x dy -+++-∮

，其中L 为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；

解：设 D 为由分段光滑曲线 L 围成, 令24,536P x y Q y x =-+=+- ， 显然， P 、Q 在 D 上具有一阶连续偏导数，L 取向为 D 的正向边界曲线。

原式1

(

)[3(1)]432122D

D

Q P dxdy dxdy x y ∂∂=

-=--=⋅⋅⋅=∂∂∬∬ (2)2

2

()(sin )L

x y dx x y dy --+⎰

其中L

是在圆周y 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。

解：令22

,(sin )P x y Q x y =-=-+

则

1P Q y x

∂∂=-=∂∂ 因此原曲线积分与路径无关，取L : y=x,0≤x ≤1

则原式1

22

11sin 2(2sin )1324

L

Pdx Qdy x x x dx =+=--=

--+

⎰⎰

sin 27

46=- 13. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性：

（1）2

13

n n n ∞

=∑

解：22

112(1)311()33n n n n u n n u n n

++++=⋅=⋅

21111

lim

lim ()133n n n n

u n u n +→∞→∞+=⋅=<

根据比值审敛法可知该收敛。

（2）

1

1

2

n n n

∞

-=∑

解：11121122n n n n u n n u n n

-+++=⋅=⋅

1111lim

lim 122n n n n

u n u n +→∞→∞+=⋅=<

根据比值审敛法可知该级数收敛。

（3）

1

(

)21

n

n n n ∞

=+∑

解：因为21

lim lim 1212

n n n n n →∞

→∞===<+

所以根据根值审敛法知该级数收敛。