解三角形数列不等式

必修5解三角形数列不等式

【选择题】

1．设,,a b c R ∈，且a b >，则 （ ）

A ．ac bc >

B ．

11a b

<

C ．33

a b >

D ．22

a b >

⒉ 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则5a =（ ）

A ．6-

B ．4-

C ．2-

D ．2 3．在△ABC 中，若222

sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状为（ ）

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定 ⒋ 若点(,)x y 位于曲线y x = 与2y =所围成的封闭区域， 则2x y -的最小值为（ ）

A ．－2

B ．－6

C ．0

D ．2

5．在等比数列{}n a 中，若2n

n a =，则7a 与9a 的等比中项为（ ）

A ．8a

B ．8a -

C ．8a ±

D ．前3个选项都不对

6．关于x 的不等式2260x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2110x x -=，则a =（ ）

A ．2

B ．5

C ．52

D ．

32

⒎ 已知正项等比数列{}n a 满足2014

201320122a a a =+14a =，则11

6()m n

+的最小值为（ ）

A ．

2

3

B ．2

C ．4

D ．6 8．△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，且公比为q ，则sinC

sin q A

+的取值范围为（

）

A ．()0,+∞

B ．(1,2

C ．()1,+∞

D ．)1

A ．2015-

B ．2014-

C ．2014

D ．2015

【填空题】

11．若数列}{n a 中，762

++-=n n a n ，则其前n

项和n S 取最大值时，=n __________.

12．在ABC ∆中，060,B AC ∠== ，则3AB BC +的最大值为 . 13．已知关于x 的不等式()()2440ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，

则当n 最小时实数a 的值为 ．

14．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1sin cos ,24sin C

B A

=

=，且ABC S ∆=，

则______.b =

15．对于正项数列{}n a ，定义122n n

n

H a a na =

++⋅⋅⋅+为{}n a 的“光阴”值，

现知某数列的“光阴”值为

n n

H =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________。 【解答题】

16．已知等比数列{}n a 中，1a a =，2a b =，3a c =，,,a b c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的

对边，且3

cos 4

B =

. （1）求数列{}n a 的公比q ； （2）设集合{}

2

2A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列

{}n a 的通项公式.

解：（1

）依题意知2

b a

c =， ……………………………………………………1分

由余弦定理得222113

cos ()2224

a c

b a

c B ac c a +-=

=⋅+-= ………………………3分 而2c q a =，则22q =或2

12

q =； …………………………………………………5分 又∵在△ABC

中，,,0a b c >，

∴q =2

q = …………………6分

（2）∵2

2x x <，∴4240x x -<，即()2240x x ⋅-<，∴22x -<<且0x ≠，………8分

又x N ∈，∴{}1A =，∴11a =， ………………………………………………10分 从而∴1n n a -=或1

n n a -=。 ………………………………………………12分 17.在△ABC 中，,,a b c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+⋅++⋅。

（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判断△ABC 的形状.

解：（1）由已知，根据正弦定理得2

2(2)(2)a b c b c b c =+⋅++ ……………2分

即2

2

2

a b c bc =++ …………① ∴2221

cos 22

b c a A bc +-=

=-，……………4分 又0A π<<， ∴2

3

A π= ………………………………………………6分

（2）由①得222

sin sin sin sin sin A B C B C =++⋅………………………………………8分

又sin sin 1B C +=，故1

sin sin 2

B C == ……………………………………10分

又090,090B C <<<<，∴B C = ………………………………………11分

故△ABC 是等腰的钝角三角形。 ………………………………………12分

18．已知2

1()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝

⎭

。