解三角形数列不等式

必修5解三角形数列不等式【选择题】1．设,,a b c R ∈，且a b >，则 （ ）A ．ac bc >B ．11a b<C ．33a b >D ．22a b >⒉ 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则5a =（ ）A ．6-B ．4-C ．2-D ．2 3．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 ⒋ 若点(,)x y 位于曲线y x = 与2y =所围成的封闭区域， 则2x y -的最小值为（ ）A ．－2B ．－6C ．0D ．25．在等比数列{}n a 中，若2nn a =，则7a 与9a 的等比中项为（ ）A ．8aB ．8a -C ．8a ±D ．前3个选项都不对6．关于x 的不等式2260x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2110x x -=，则a =（ ）A ．2B ．5C ．52D ．32⒎ 已知正项等比数列{}n a 满足2014201320122a a a =+14a =，则116()m n+的最小值为（ ）A ．23B ．2C ．4D ．6 8．△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，且公比为q ，则sinCsin q A+的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．(1,2C ．()1,+∞D ．)1A ．2015-B ．2014-C ．2014D ．2015【填空题】11．若数列}{n a 中，762++-=n n a n ，则其前n项和n S 取最大值时，=n __________.12．在ABC ∆中，060,B AC ∠== ，则3AB BC +的最大值为 . 13．已知关于x 的不等式()()2440ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 ．14．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1sin cos ,24sin CB A==，且ABC S ∆=，则______.b =15．对于正项数列{}n a ，定义122n nnH a a na =++⋅⋅⋅+为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为n nH =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________。

【解答题】16．已知等比数列{}n a 中，1a a =，2a b =，3a c =，,,a b c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且3cos 4B =. （1）求数列{}n a 的公比q ； （2）设集合{}22A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式.解：（1）依题意知2b ac =， ……………………………………………………1分由余弦定理得222113cos ()2224a cb ac B ac c a +-==⋅+-= ………………………3分 而2c q a =，则22q =或212q =； …………………………………………………5分 又∵在△ABC中，,,0a b c >，∴q =2q = …………………6分（2）∵22x x <，∴4240x x -<，即()2240x x ⋅-<，∴22x -<<且0x ≠，………8分又x N ∈，∴{}1A =，∴11a =， ………………………………………………10分 从而∴1n n a -=或1n n a -=。

………………………………………………12分 17.在△ABC 中，,,a b c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+⋅++⋅。

（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判断△ABC 的形状.解：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+⋅++ ……………2分即222a b c bc =++ …………① ∴2221cos 22b c a A bc +-==-，……………4分 又0A π<<， ∴23A π= ………………………………………………6分（2）由①得222sin sin sin sin sin A B C B C =++⋅………………………………………8分又sin sin 1B C +=，故1sin sin 2B C == ……………………………………10分又090,090B C <<<<，∴B C = ………………………………………11分故△ABC 是等腰的钝角三角形。

………………………………………12分18．已知21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭。

（1）当12a =时，解不等式()0f x ≤；（2）若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤。

解: （1）当12a =时，有不等式25()102f x x x =-+≤， ………………2分∴()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭……………4分（2）∵不等式()1()0f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当1a a >时，有01a <<，∴不等式的解集为1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； ……………7分 当1a a<时，有1a >，∴不等式的解集为1xx a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； ……………10分 当1a a =时，有1a =，∴不等式的解集为{}1． ……………………………12分19．已知数列{}n a 满足：12n n a a a n a +++=-，其中*n N ∈。

（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）令(2)(1)n n b n a =--，求数列{}n b 的最大项。

证：（Ⅰ）当1n =时，111a a =-，∴112a =， ……………………………1分 又12111n n a a a n a +++++=+- ……………………………2分∴111n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=+，∴111(1)2n n a a +-=- ……………4分 又1112a -=-，∴数列{}1n a -是首项为12-，公比为12的等比数列；………6分（2）由（1）知，11111()()()222n nn a --=-⨯=-∴2(2)(1)2n n n n b n a -=-⋅-=， ∴1111223222n n n n n n n nb b ++++----=-= ………8分当3n <时，10n n b b +->，即123b b b << …………………………………9分 当3n =时，43b b = ……………………………10分 当3n >时，10n n b b +-<，即456b b b >>> ……………………………11分∴数列{}n b 的最大项为4318b b == ……………………………13分20．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且(1OB =百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OA 、OC 满足∠AOC ＝75°，∠AOB ＝30°，∠BOC ＝45°，设(36)OA x x =≤≤百米，OC y =百米。

（1）试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；（2）当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值。

解: （1）结合图形可知，BOC AOB AOC S S S ∆∆∆+=．于是，((1111sin301sin 45sin 75222x y xy ︒+︒=︒， 解得)36y x =≤≤． ……………………………6分 21.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：2*1113,332,(1)n n a a a n n n N n n +==+++-∈+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：1211112n a a a +++<。

解：（1）因为2111332()1n n a a n n n n +-=++--+， …………………2分 所以11121111111()3(332)()1n n n n k kk k k a a aa k k kk ---+====+-=+++--+∑∑∑ …………………5分 31(1)1133(1)(21)32(1)(1)62n n n n n n n n n n-=+⨯--+⨯+---=++………………………………………8分（2）因为4222222221111()1(1)(1)(1)211n n n n a n n n n n n n n n n n n ====-+++-++-+-+++， ………………………………………10分所以22111111111()[1]2112(1)12nn k k ka k k k k n n ===-=-<-+++++∑∑ ……………13分参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内. ⒗ （本小题满分12分）解：（1）依题意知2b ac =， ……………………………………………………1分由余弦定理得222113cos ()2224a cb ac B ac c a +-==⋅+-= ………………………3分 而2c q a =，则22q =或212q =； …………………………………………………5分又∵在△ABC 中，,,0a b c >， ∴q =2q = …………………6分（2）∵22x x <，∴4240x x -<，即()2240x x ⋅-<，∴22x -<<且0x ≠，………8分又x N ∈，∴{}1A =，∴11a =， ………………………………………………10分从而∴1n n a -=或12n n a -=。