高三(文理)：第3次课 -基本初等函数教案 导学案

（一）指数函数
1、根式
（1）概念：若n
x a =（*
∈>N n n 且1
），则称x 为a 的n 次方根，”是方根的记号。

（2）a 的n 次方根的性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是
0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根。

①
n
a =
② n 为奇数，n n a =a ； n 为偶数，n n a =|a |=⎩
⎨⎧<-≥.0,,0,
a a a a
2、有理数指数幂 （1）分数指数幂的意义：
①
)0(10R a a a ∈≠=且 （注：00无意义）
② )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n
m
；
③ )1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
（2）有理数指数幂的运算性质
① (0,,)r
s
r s
a a a a r s R +⋅=>∈； ② (0,,)r s r s a a a a r s R -÷=>∈
③ ()
(0,,)s
r rs a a a r s R =>∈； ④ ()(,0,)r
r r ab a b a b r R =⋅>∈
3.指数函数的图象与性质
例题精讲
【题型一、根式化简】
【例1】化简
（1）77)2
(-；（2）6
2
5
6
2-5+
+.
【题型二、分数指数幂】
【例2】计算化简
3
4
2
1
4
1
32
2
3
)
(
a
b
b
a
ab
b
a
(a、b>0)的结果是()
A.
b
a B．a
b C.
a
b D．a
2b
【题型三、条件求值】
【例3】已知求下列各式的值
（1）1-
+a
a（2）
2
1
2
1
2
3
2
3
-
-
-
-
a
a
a
a
【题型四、指数函数性质】
【例4】（1）函数y=(a2-3a+3)a x是指数函数，则有a=
（2）函数1
()1(0,1)
x
f x a a a
-
=->≠的图象恒过定点．
(3) 函数y＝a x－
1
a(a>0，且a≠1)的图像可能是()
(4)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【题型五、比较大小】
【例5】a=
4
1
2
1-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
，b=
6
1
3
1-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
，c=
3
1
5
1-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
的大小关系是
,3
2
1
2
1
=
+-a
a
【题型六、解不等式】 【例6】（1）解不等式：2
1<2x+1
<4 （2）已知的取值范围求x a a a a x x x ),1,0(61
32≠><++-
【题型七、单调性】 【例7】确定f (x )=)
1()3
2(+x x 的单调区间及值域；
【题型八、最值】
【例8】已知x ∈[-3,2]，求f(x)=12141+-x
x 的最小值与最大值
【题型九、奇偶性】
【例9】已知定义域为R 的函数f(x)=a
b
x x ++-+122是奇函数。

（1）求a ，b 的值；（2）证明：f(x)在R 上为减函数；（3）若对任意的t ∈R,不等式f(t 2-2t)+f(2t 2-k)<0恒成立，求k 的取值范围 课堂小结
1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．
3．画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝
⎛⎭⎫－1，1a . 4．熟记指数函数y ＝10x ，y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫110x
，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．
巩固训练
1.下列结论正确的个数是 ( )
①当a <0时，2
32)(a ＝a 3； ②n
a n ＝|a |；
③函数y ＝2
1)2(-x －(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )
A ．a <b <1<c <d
B ．a <b <1<d <c
C ．b <a <1<c <d
D ．b <a <1<d <c 3．若a >1，b >0，且a b ＋a －
b ＝22，则a b －a
－b
的值等于 ( )
A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2
4．函数f (x )＝a x －
b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0 5.已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )．
6.若函数f(x)=a x -b (a>0且a ≠1)的图象不经过第二象限，则,a b 满足的条件是
7.a=5
253⎪⎭
⎫ ⎝⎛，b=5
352⎪⎭
⎫ ⎝⎛，c=5
252⎪⎭
⎫ ⎝⎛的大小关系是 8.求函数2
32
()2x x f x -
++=的单调区间及其值域
9.求下列函数的定义域与值域
（1）4
12-=x y （2）x
y --=)3
2( （3）11
210
-+=x x y
10.已知函数)10(2
1
11)(≠>+-=
a a a x f x 且 （1）判断函数)(x f 的奇偶性 （2）探索函数)(x f 的单调区间
（二）对数函数
1、对数的基本概念 （1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，
记作b N a
=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式.
（2）常用对数：N 10
log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .
（3）指数式与对数式的关系：log x
a a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）
（4）对数恒等式：()010log >≠>=N a a N a N a ，且
2、对数的性质
（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a
3、对数的运算性质
（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么
①N M MN a a
a log log )(log +=； ②N M N
M
a a a
log log log -=；③M n M a n a log log = （2）换底公式：b
N
N a a b log log log =
推论：①
b N N b log 1log =
； ② b m
n
b a n a m log log =； ③ 1log log =⋅a b b a 4、对数函数的图象与性质
5、反函数性质：指数函数)1,0(≠>=a a a y x
与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其图象关
于直线x y =对称。

【题型一、指数式与对数式的互换】
【例1】(1)已知===+n
m a a a n m 2,3log ,2log 则________. 【题型二、换底公式】
【例2】3128x
y
==，则
11
x y
-=
【题型三、对数的运算性质】
【例3】计算：（1）5
log -177
（2）)5log 9(log 2
1
224
-
（3）2
.1lg 100
lg 8lg 27lg -+ （4）3log 333558log 932log 2log 2-+-
【题型四、对数方程的求解】
【例4】若方程βαβα⋅=⋅+++，求，的两根是05lg 7lg lg )5lg 7(lg )(lg 2
x x
【题型五、定义域】
【例5】求下列函数的定义域
（1）)34(log 5.0-=x y （2)54(log 2
2--=x x y
【题型六、值域】
【例6】求下列函数的值域
（1）)4(log 2
+=x y （2）)23(log 2
2
1x x y -+=
【题型七、比较大小】
【例7】比较下列各组数的大小 （1）9.0log ,7.0log ,8.0log 8.09.09.0 （2）3
1log ,3log ,2log 423
【题型八、单调性】
【例8】讨论函数的单调性)23(log 3.0x y -=
【题型九、对数函数的图像应用】
【例9】当0＜x ≤1
2时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )．
A.⎝
⎛⎭⎫0，
22 B.⎝⎛⎭
⎫2
2，1 C ．(1，2) D ．(2，2)
【题型十、反函数】
【例10】（1）已知函数）的图像过点（4,1b a y x
+=，其反函数的图像过点（2,0），则a = b =
（2）已知=+-=
-)5
4(,3131)(1f x f x x 则
【题型十一、解不等式】
【例11】解不等式：(1)2log )1(2
1+x )26(log 2
1x -≥ (2)log x
3
2>1
规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在
利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． 课堂小结
(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．
(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
1． 2log 510＋log 50.25的值为 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b
＝2，则m 的值为 ( )
A.10
B ．10
C ．20
D ．100
3．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝x
)2
1(；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为 ( )
A.124
B.112
C.18
D.38
4．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (1
3
)＝0，则满足)(log 8
1x f >0的x 的取值范围是 ( )
A ．(0，＋∞)
B ．(0，1
2
)∪(2，＋∞)
C ．(0，18)∪(12，2)
D ．(0，1
2
)
5．已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是 .
（三）二次函数与幂函数
1．五种常见幂函数的图像与性质
2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图像和性质
（2）规律总结
所有幂函数y x α
=在()0,x ∈+∞上都有定义
①当0α>时，图象都过点()0,0和()1,1，且在第一象限为增函数； ②当01α<<时，曲线上凸，当1a >时，曲线下凹；
③当0α<时，幂函数图象过点()1,1，且在第一象限内为减函数； ④当1α=时，图象为过点()0,0和()1,1的直线；
⑤当0α=时，y x α
=表示过点()1,1且平行于x 轴的直线（除去点()0,1）.
【题型一、幂函数的概念与基本性质】
【例1】当()0,x ∈+∞时，幂函数y =()211m m m x ----为减函数，则实数m =（ ）
.2A m = .1B m =- .2C m =或1m =-
.D m ≠【解析】A Q 函数()211m y m m x --=--是幂函数，则211m m --=即220m m --=，
解得1m =-或2m =，当1m =-时，幂函数为()0
0y x x =>，此函数是常值函数，没有单调性；当2m =时，
幂函数为3
y x -=，在区间()0,+∞是减函数.
【变式训练1】幂函数()f x =()
22
3
1m m m m x
+---⋅在()0,+∞上为增函数，则m =___________.
【例2】给出以下5个幂函数：①2
y x -=；②45y x =；③54y x =；④23
y x =；⑤45
y x -
=， 其中定义域为R 的是 （ ）
.A 只有①② .B 只有②③ .C 只有②④ .D 只有④⑤
【解析】C 函数221y x x
-==的定义域为
{}0x x ≠，函数45y
x ==R ，函数5
4y x ==中的自变量x 满足50x ≥，解得0x ≥，故该函数的定义域为
{}0x x ≥，
函数23
y x ==
R ，函数45
y x
-
==
中的自变量x 满足0x ≠，故函数45
y x
-
=的定义域为
{}0x x ≠.
【变式训练2】设11,1,,32
α⎧⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，则使函数y x α
=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为
（ ）
.1A ，3 .1B -，1 1
.2
C ，3 .1
D -，1，3
【题型二、幂函数的图像性质】
【例3】下面4个图象都是幂函数的图象，函数23
y x
-=的图象是 （ ）
【解析】B
23
3
2
y x
x
-
==
Q 定义域为{}
0x x ≠，排除A 、C ，又函数23
y x
-
=为偶函数，排除D ，故选B .
【变式训练3】如图1所示，1C 、2C 、3C 为幂函数y x α
=在第一象限的图象，则解析式中的指数α依次可以取 （ ）
4.
3A ，2-，34 .2B -，34，43
.2C -,43，34 3.4D ，4
3
，2-
【点评】成为幂函数的充分条件是系数为1，此外对于幂函数的基本性质（如定义域、单调性、奇偶性、图象形状）的处理一般是根据幂函数指数的结构进行辨别，尤其在判断幂函数的定义域与奇偶性时，一般是将分数指数幂化为根式，负分数指数幂化为相应正分数指数幂倒数，从而根据相关定义进行判断.
【题型三、利用幂函数的性质比较大小】
【例4】（吉林省汪清县第六中学2012届高三第一次月考）三个数20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =之间的大小关系是 （ ）
.A a c b << .B a b c << .C b a c << .D b c a << 【解析】C 20.30a =>Q ，22log 0.3log 10b =<=，即0b <，0.32c =，
Q 函数0.3y x =和2y x =在区间()0,+∞上均为增函数，故220.30.20.31112<==<，
01b a c ∴<<<<，即b a c <<.
【变式训练4】设15
log 3a =，0.2
13b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，1
32c =，则 （ ）
.A b a c << .B c b a << .C c a b << .D a b c <<
【点评】比较大小的常用方法是利用函数单调性，常用的有指数函数、对数函数以及幂函数的单调性，在判别指数式结构的大小时，一般是利用指数函数或相应幂函数的单调性进行比较，当结构不相同时，有时需要结构中间值0与1建立大小关系进而确定各数的大小关系.
【题型四 二次函数的图象及应用】
【例5】 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )
(2)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )
A ．a 2－2a －16
B ．a 2＋2a －16
C ．－16
D ．16
【方法技巧】 (1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)
11
图1C 3
C 2
C 1
O y
x
而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．
【题型五二次函数的图像与性质】
角度一轴定区间定求最值
【例6】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
角度二轴动区间定求最值
2．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
角度三轴定区间动求最值
3．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．
【方法技巧】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
①轴定区间定、②轴动区间定、③轴定区间动，
不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．
巩固训练
1．如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±1
2
四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n
值依次为 ( )
A ．－2，－12，12，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
2．已知函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1
；④y ＝2
1x .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )
A ．②①③④
B ．②③①④
C ．④①③②
D ．④③①②
3．设α∈{－1,1，1
2
，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 ( )
A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－1,1,3
4．与函数y ＝x
x ＋1
的图象形状一样的是 ( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝log 2x
C ．y ＝1
x D ．y ＝x ＋1
5．已知点(
3
3
，33)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式是 ( )
A ． f (x )＝x 3
B ．f (x )＝x
－3
C ．f (x )＝2
1x
D ．f (x )＝2
1-x
6.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论： ①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③
7. 已知f (x )＝x 2－2ax ，求f (x )的最小值
课后作业
1、函数f (x )＝223
x x a
m +-+ (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.
2、把函数y ＝f (x )的图像向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x 的图像，则( )
A ．f (x )＝2x ＋
2＋2
B ．f (x )＝2x ＋
2－2 C ．f (x )＝2x －
2＋2
D ．f (x )＝2x －
2－2
3、下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ( )
A ．幂函数
B ．对数函数
C ．指数函数
D ．余弦函数 4、函数y ＝a |x |(a >1)的图像是 ( )
5、函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞U D ．(,)-∞+∞ 6、下列命题中正确的是 ( )
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝x n 当n >0时是增函数；
⑤幂函数y ＝x n 当n <0时在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． A ．①和④ B ．④和⑤ C ．②和③ D ．②和⑤
6．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．
7、已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题：
①若x >1，则f (x )>1；②若0<x <1，则0<f (x )<1；
③当x >0时，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f (x 1)x 1<f (x 2)
x 2
.
其中正确的命题序号是________．
8、若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________． 9、（1）已知)(x f 的定义域为[0,1],求函数)]3([log 2
1x f -的定义域
（2）已知函数)]1[lg(+=x f y 的定义域为（0，99]，求函数)]2([log 2+=x f y 的定义域
10、设a 、b 、c 为正数，且c
b
a
643==，求证：
b
a c 122+=
11、若函数2
2log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围。

12、已知函数的图像关于原点对称且)1,0(1
1log )(≠>--=a a x mx
x f a （1）求m 的值
（2）判断函数上的单调性在),1()(+∞x f。