隐函数存在定理
14-6隐含数定理
( iii ) 在D内存在连续的偏导数F y ( x , y ); ( iv ) F y ( x0 , y0 ) 0,
则在点P0的某邻域U ( P0 ) D内, 方程F ( x, y ) 0 唯一确定了一个定义在 某区间( x0 , x0 )内
的函数y f ( x ), 使得
10 f ( x0 ) y0 , x ( x0 , x0 )时
( x, f ( x )) U ( P0 )且F ( x, f ( x )) 0;
2 0 f ( x )在( x0 , x0 )内连续.
证明 : 由条件( iv ), 不妨设F y x0 , y0 0,
所以
Fx ( x , y ) y f ' ( x ) lim x 0 x Fy ( x, y)
且 f ' ( x )在 ( x0 , x0 )内连续.
若方程F ( x , y ) 0 存在连续可微隐函数, 则对 F ( x, y ) 0 复合函数求导 可得 ,
若函数F ( x, y, z )满足下列条件:
(i ) 函数F在以P0 ( x0 , y0 , z0 )为内点的某一区域
D R 上连续;
3
(ii ) F ( x0 , y0 , z0 ) 0;
( iii ) 在D内存在连续的偏导数Fx , F y , Fz ;
(iv ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0,
2010／04／28
§14.6 隐函数定理
显函数
y 2 x,
zx y .
2 2
隐函数 F : X Y R, F ( x , y ) 0
如对于 x I X , 恒有唯一确定的 J Y , y 它与x一起满足F ( x, y ) 0, 就称F ( x, y ) 0
第16章隐函数存在定理
隐函数存在定理
• 第一节 隐函数存在定理
函数相关
一、F(x,y)=0 情形
定理 1 设函数 F ( x , y )满足： （1） 在区域D :| x x | a,| y x | b上，F , F 连续； （2） F ( x0 , y0 ) 0， （ 3） F y ( x 0 , y 0 ) 0 ，
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
0 0 x y
则（1）方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内唯 一确定一个函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 )， （2）y=f(x)在 x 0 邻域内连续 (3) y=f(x)在 x 0 邻域内具有连续导数，且
dy F ( x, y) . dx F ( x, y)
存在,具有对各变元的连续偏导数.那么
D( y1 , y2 ,, yn ) D( x1 , x2 ,, xn ) 1. D( x1 , x2 ,, xn ) D( y1 , y2 ,, yn )
这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广.
dy dx 1 dx dy
于是，在( x0 , y0 ,0)附近，曲面必与平面相交， 其交线是唯一的，并且还是一条z=0面上的 光滑曲线。
1 2 n
(1)在区域D :| x x | a ( i 1,2,...,n), | y y | b
0 i i 0
6-8 隐函数存在定理概要
的z f ( x, y), 满足z0 f ( x0 , y0 )，F ( x, y, f ( x, y)) 0 z Fy Fx z 且 x F y Fz z
注意：定理1可推广到n个自变量的情况： 由F ( x1 , , xn , y ) 0确定的隐函数y f ( x1 , x2 , xn ) 满足条件时，有
Fxk y x k F y
例4
z z 已知 x y z 4z 0, 求 2 、 x x y
2
2
2
2
2
解一：利用定理2 解 令 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4z 则
Fx 2 x,
Fy 2 y ,
Fz 2z 4
x y z 1
2 2 2
可解出
或
z 1 x2 y2 z 1 x2 y2
隐函数
隐函数存在定理1
设F ( x , y )在点P ( x0 , y0 )的某邻域内满足： F F 1. , 连续 x y
2.F ( x0 , y0 ) 0 但Fy( x0 , y0 ) 0. 则F ( x , y ) 0 在某邻域内 唯一确定一个 具有连续导数
Fx Gx u 1 (F , G ) Fu x J ( x, v ) Gu Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F , G ) Gu G x x J (u, x )
Fy u 1 (F , G ) Gy y J ( y, v ) Fu v 1 (F , G ) Gu y J (u, y ) Fv Gv Fy Gy
的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )，F ( x, f ( x )) 0
隐函数存在定理
换句话说, 存在函数 y f (x), 定义在
(x0 , x0 ) 上, 当 x (x0 , x0 ) 时, 有
(x, f (x)) U (P0 ), F(x, f (x)) 0, 且 y0 f (x0 ); (2) y f (x) 在 (x0 , x0 ) 上连续; (3) y f (x) 在 (x0 , x0 )上有连续的导
F(x, f (x), g(x)) 0,G(x, f (x), g(x)) 0.
例5 点 (1,1,2)在方程 x2 ( y 2 z 2 ) 5 及
(x z)2 y 2 2 所表示的曲面上, 证明在这点
的一个邻域内, 两曲面的交线能用形如
z
f (x), y
g(x)
注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与 因变量的取值范围. 例如, 由方程 x2 y2 1 可确定如下两个隐函数
y 1 x2 , x [1,1], y [0,1],
y 1 x2 , x [1,1], y [1,0].
注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方 程 F(x, y, z) 0 确定的隐函数 z f (x, y).
这表明两曲面的交线在点 (1,1,2)附近能用形 如 z f (x), y g(x) 的一对方程表示.
u 1 (F,G) , u 1 (F,G) , x J (x, v) y J ( y, v)
v 1 (F,G) , v 1 (F,G) . x J (u, x) y J (u, y)
例4 问在点 (0,1) 附近是否存在连续可微函 数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足 f (0,1) 1, g(0,1) 1, 且
§16.1隐函数存在定理
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
隐函数存在定理概要
在这样的条件下,显然在点( x0 , y0 ,0)的附近,曲面 z F ( x
, y) 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的
曲线 y f ( x) (在 z 0 平面上).
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 (0,1) 这一点 及其某个邻域内唯一地确定了一个函数
y 1 x2 ,
这个函数在 x 0 的近旁连续,并具有连续导数.同样在
(0,1) 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数
y 1 x2 ,
面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦
即在什么条件下,曲面 z F ( x, y) 与平面相交,其交线是唯 一的并且又是光滑( x, y) 是光滑曲面, 定 理的条件 (2) 又表明曲面在 z 0 平面上有一个交点( x0 , y0 ,0) 定理的条件 (3) 告诉我们,曲面在交点 ( x0 , y0 ,0) 处沿 y 轴方 向看,曲面是单调的(若 Fx ( x0 , y0 ) 0 则它是单调增加的,若
例 考察方程
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
二、多变量情形
上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明 方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 F ( x1 , x2 ,, xn ; y ) 满足以下条件:
(1) 在区域 D : xi xi( 0 ) ai , y y ( 0) b (i 1,2,, n)
1 隐函数存在定理
第16章第1节隐函数存在定理
(2) y f x 在O x0 , 内连续;
5
§16.1. 隐函数存在定理
(3) y f x 在O x0 , 内具有连续导数, 且 Fx x , y y' （隐函数求导公式） . Fy x , y
证明： 由条件(1), F x, y 在D上必连续.
xyz
这种形式的函数称为显函数.但在不少场合常会 遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对 应法则是由一个方程式所决定的.这种形式的函数称 为隐函数.
2
§16.1. 隐函数存在定理
例1: 设有方程F x, y x2 y2 1 0.
它在 0， 1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 上半圆）
设 x， x x是O x0 , 内任意两点，记 y f x ,
由函数y f x 的定义可知
y y f x x .
F x , y 0, 所以
F x x , y y 0.
0 F x x , y y F x , y
9
§16.1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
设x1是O x0 , 内任意一点, 记y1 f x1 。
F x1 , y1 0, F x1 , y1 0.
0，由刚才证明知
又由F x , y 的连续性可知一定存在x1的某 一邻域O x1 , 内成立着
让y在 y0 b, y0 b 内变化, 显然有
Fy x0 , y 0
y0 b y y0 b
隐函数存在定理
隐函数存在定理注: ∧P 读作P roof .定理1 设),(y x F 满足下列条件：i) x F ,y F 在D :a x x ≤-∧||,b y y ≤-∧||上连续; ii) 0),(=∧∧y x F (通常称为初始条件); iii) 0),(≠∧∧y x F y . 则有以下三个结论:(1)0>∃α, 使得在点),(∧∧∧y x P 的某一个邻域内, 方程0),(=y x F 唯一地确定了一个定义在区间),(αα+-∧∧x x 内的隐函数)(x f y =, 满足)(∧∧=x f y .换句话说, 存在定义在),(αα+-∧∧x x 内的函数)(x f y =, 满足0)](,[≡x f x F , 且)(∧∧=x f y ;(2))(x f y =在),(αα+-∧∧x x 上连续;(3))(x f y =在),(αα+-∧∧x x 上有连续的导数, 且),(),()(y x F y x F x f y x -='.定理2 设函数),,,,(21y x x x F n 满足下列条件:i) 偏导数),,2,1(n i F i x =和y F 在D :),,2,1(||n i a x x i i i =≤-∧,b y y ≤-∧||上连续, 其中0>b ,),,2,1(0n i a i =>;ii) 0),,,,(21=∧∧∧∧y x x x F n ; iii) 0),,,,(21≠∧∧∧∧y x x x F n y . 则有以下结论成立:(1)存在),,,(21∧∧∧∧n x x x Q 的一个邻域)(∧Q O , 使得在点),,,,(21∧∧∧∧∧y x x x P n 的某个邻域内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 唯一地确定了一个定义在)(∧Q O 的n 元隐函数),,,(21n x x x f y =, 满足),,,(21∧∧∧∧=n x x x f y .换句话说, 存在函数),,,(21n x x x f y =,∈),,,(21n x x x )(∧Q O , 使得当∈),,,(21n x x x )(∧Q O 时,,,,,[21n x x x F ),,,(21n x x x f 0]≡,且),,,(21∧∧∧∧=n x x x f y ;(2)),,,(21n x x x f y =在)(∧Q O 内连续;(3)),,,(21n x x x f y =在)(∧Q O 内有连续的偏导数, 且n i y x x x F y x x x F f n x n x x i i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=.定理3 设函数),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 满足:i) 在点),,,(∧∧∧∧∧v u y x P 的某个邻域U 内, F ,G 对各变元均有一阶连续偏导数; ii) 0)(=∧P F ,0)(=∧P G (称为初始条件); iii) 0),(),(≠∂∂=∧∧PPv u G F J.则有以下结论成立:(1)在点∧P 的某个邻域U ⊂∆内, 方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 唯一地确定一组函数),(y x u u =,),(y x v v =,它们定义在),(∧∧y x 的某个邻域D 内, 当D y x ∈),(时,∆∈),,,(v u y x ,满足),(∧∧∧=y x u u ,),(∧∧∧=y x v v ,且D y x y x v y x u y x G y x v y x u y x F ∈⎩⎨⎧≡≡),(,0)],(),,(,,[,0)],(),,(,,[; (2)),(y x u u =及),(y x v v =在D 内连续;(3)),(y x u u =及),(y x v v =在D 内有关于x ,y 的偏导数, 且),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂, ),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂, ),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂, ),(),(1y u G F J y v ∂∂-=∂∂.定理4 设函数组),(y x u u =,),(y x v v =满足i) 在),(∧∧∧y x P 的某邻域D 内对x ,y 有连续偏导数; ii) ),(∧∧∧=y x u u ,),(∧∧∧=y x v v ; iii) 0),(),(≠∂∂=∧∧PPv u G F J.则在),(∧∧∧y x Q 的某邻域D '内存在唯一一组反函数),(v u x x =,),(v u y y =使得(1)),(∧∧∧=v u x x ,),(∧∧∧=v u y y ,且当D v u '∈),(时D y x ∈),(,有)],(),,([v u y v u x u u ≡, )],(),,([v u y v u x v v ≡;(2)),(v u x x =,),(v u y y =在D '内存在连续的一阶偏导数, 且y v J u x ∂∂=∂∂1, yu J v x ∂∂-=∂∂1, x v J u y ∂∂-=∂∂1, xu J v y ∂∂=∂∂1.推论1 在定理4的条件下有1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂y x v u v u y x .推论2 设函数组),(y x u u =,),(y x v v =在开集D 内有连续偏导数, 且在D 内),(),(y x v u ∂∂恒不为零, 则由函数组定义的映射)(:D T D T →的像集)(D T 是uv 平面上的开集.推论3 在推论2的条件下, 设D E ⊂是任一有界闭集, 则它的像集))()((D T E T ⊂也是有界闭集, 且E 的内点映射为)(E T 的内点, E 的边界点映射为)(E T 的边界点映射.定理5 设有n 个m n +元函数),,,,,,,(2121n m i y y y x x x F ),,2,1(n i =,满足i) 在点),,,,,,,(2121∧∧∧∧∧∧∧n m y y y x x x P 的某邻域U 内有对各变元的连续偏导数; ii) n i P F i ,,2,1,0)( ==∧; iii) .0),,,(),,,(2121≠∂∂=∧Pn n y y y F F F J则有以下结论成立:(1) 在∧P 的某邻域内, 方程组0),,,,,,(121=n m i y y x x x F ,n i ,,2,1 =,唯一地确定函数组),,,(21m i i x x x f y =,n i ,,2,1 =,它们定义在),,,(21∧∧∧m x x x 的某邻域D 内, 使得),,,(21∧∧∧∧=m i i x x x f y ,n i ,,2,1 =,且当D x x x m ∈),,,(21 时有恒等式0)],,,(,),,,,(,,,,[2121121≡m n m m i x x x f x x x f x x x F ;(2) 这组函数),,2,1(n i f i =在D 内连续;(3) 这组函数),,2,1(n i f i =在D 内对个变元有连续的偏导数, 且对j x ),,2,1(n j =的偏导数可由下面方程组解出:02211=∂∂∂∂++∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂jn n i j i j i j i x fy F x f y F x f y F x F ),,2,1(n j =.。
8-5隐函数存在定理及求导法则
解
令 F ( x, y) x y 1 则 F 2 x, Fy 2 y, x
2 2
F ( 0 ,1 ) 0 , F y ( 0 , 1 ) 2 0 ,
y 1 0 在 点 ( 0 ,1 ) 的 某 邻 域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函 数 y f ( x )．
高等数学（下）
在 J 0的条件下，
u u x v x y
y x y x
xu yv x y
2 2
,
x v x y x y
高等数学（下）
u v y x
yu xv x
2
y
2
,
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv yu x y
y f ( x )， 它 满 足 条 件 y0 f ( x0 )， 并 有 dy Fx . 隐函数的求导公式 dx Fy
高等数学（下）
例１ 验证方程 x
2
y 1 0 在 点 ( 0 ,1 ) 的 某 邻
2
域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的 隐 函 数 y f ( x)， 并 求 这 函数 的 一 阶和 二 阶 导 数在 x 0的值.
1 f 1 (
整理得
y z y
1 ) f 2 x ( y z
y z
),
z
1 f 1 xy f 2 f 1 xz f 2
.
高等数学（下）
例5 已知
xy xf ( z ) yg ( z ), x f ( z ) y g ( z ) 0 .
隐函数存在定理
∂x ∂x ′ ′ • 0 = f1 ⋅ ( +1) + f2 ⋅ ( yz + xz ) ∂y ∂y ′ f1′ + xz f2 ∂x =− ′ f1′ + yz f2 ∂y
内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 方法2. 代公式 方法3. 利用微分形式不变性
思考与练习
设 求
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提示: 提示 z = f (x + y + z , xyz) ∂z ∂z ∂z ′ = f1′ ⋅ (1+ ) + f2 ⋅ ( yz + xy ) • ∂x ∂x ∂x ′ f1′ + yz f2 ∂z = ′ ∂x 1− f1′ − xy f2 f1′⋅ ( ∂x +1) + f2 ⋅ ( yz ∂x + xy ) ′ • 1= ∂z ∂z ∂z
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5.设函数 例5. 邻域内有连续的偏导数,且 1) 证明函数组
在点(u,v) 的某一
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数. 解: 1) 令 F(x, y, u, v) ≡ x − x (u, v) = 0
F Fv 系数行列式 J = u ≠ 0, 故得 Gu Gv
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∂u 1 ∂(F, G) =− ∂x J ∂( x, v )
∂v 1 ∂(F, G) =− ∂x J ∂( u, x )
同样可得
∂u 1 ∂(F, G) =− ∂y J ∂( y , v ) ∂v 1 ∂(F, G) =− ∂y J ∂( u , y )
隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理是微积分中的一个重要定理，它提供了一种判断隐函数是否存在的方法。
然而，这个定理的几何解释却不是很直观。
隐函数存在定理告诉我们，如果一个函数在某个点处满足一定的条件，那么它就可以被表示为两个变量之间的函数，即隐函数。
这个定理的几何解释需要从曲线的切线和法线入手。
考虑一个曲线y=f(x)，在某个点(x0,y0)处的切线和法线。
如果这个点处的斜率不存在或为0，那么这个曲线就不能被表示为y=f(x)的形式。
但是，如果这个点处的斜率存在且不为0，那么我们就可以通过求解斜率和函数值的关系式，得到一个关于x和y的方程，从而表示曲线为隐函数。
具体来说，如果在点(x0,y0)处曲线的斜率存在且不为0，那么曲线在这个点处的切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
又因为曲线在点(x0,y0)处的法线垂直于切线，所以法线的斜率为-k/1=-k。
因此，在这个点处曲线的法线方程可以表示为
y-y0=-k(x-x0)。
我们可以将这个法线方程写成y=f(x)，从而得到一个关于x和y 的方程，即f(x)=y0-k(x-x0)。
因此，我们成功地将曲线表示为了一个隐函数。
总之，隐函数存在定理的几何解释可以通过曲线的切线和法线来理解。
如果一个点处的曲线既有切线又有法线，并且斜率存在且不为0，那么这个曲线就可以被表示为一个隐函数。
8-5隐函数存在定理及求导法则65299
v 1 (F ,G) Fu Fy y J (u, y) Gu Gy
Fu Fv Gu Gv
Fu Fv , Gu Gv
Fu Fv . Gu Gv
河海大学理学院《高等数学》
变量数-方程数=自变量数
隐函数存在定理 3 设
(1) F(x, y, z) 、 G(x, y, z) 在点 P( x0, y0, z0 ) 的某一邻
域内有对各个变量的连续偏导数;
(2) F(x0, y0, z0) 0 ,G( x0, y0, z0 ) 0;
(3)雅可比行列式 F F
J
(F,G) ( y, z)
dy dx
Fx Fy
x y
y x
.
Th1可以推广至三元及以上：
河海大学理学院《高等数学》
用隐函数求导公式时须注意:
1.用隐函数求导公式求导,在分子中出现对函 数变量求导数时,函数作为常数.
2.不用隐函数求导公式求导,只是用思想方法 求导,当出现对函数变量求导数时,函数作为 中间变量,
(3)雅可比行列式
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
0.
P u v P
河海大学理学院《高等数学》
则方程组 F ( x, y,u,v) 0、G( x, y, u,v) 0 在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定
一组单值连续且具有连续偏导数的函数
河海大学理学院《高等数学》
例１ 验证方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
数学分析课件：14_6 隐函数定理
( y0 , y0 )的隐函数 y f ( x). 若记 : U(P0 ) ( x0 , x0 ) ( y0 , y0 ),
则 y f ( x) 满足10的各项要求,即为所求.
20 f ( x)在( x0 , x0 )内连续.
证明 : 由条件(iv), 不妨设Fy x0 , y0 0,
1. 先证隐函数y f ( x)的存在性和唯一性 由条件(iii ), Fy在D内连续, 由连续函数的 局部保号性, 存在P0的某一闭的方邻域
x0 , x0 y0 , y0 D
2008／04／15
§14.6 隐函数定理
显函数 y 2x, z x2 y2 . 隐函数 F : X Y R, F ( x, y) 0
如对于 x I X , 恒有唯一确定的y J Y , 它与x一起满足F ( x, y) 0, 就称F ( x, y) 0 确定了一个定义在I上, 值域含于J的隐函数.
所确定的隐函数 y f ( x)在 ( x0 , x0 )内
有连续的导函数，且
分析 : ......
f '( x) Fx ( x, y) Fy(x, y)
证明 :
设 x, x x ( x0 , x0 ), 则 y f ( x), y y f ( x x)( y0 , y0 ). F ( x, y) 0, F ( x x, y y) 0.
由保号性，存在 x 的某邻域 ( x , x )
x0 , x0 , 使得x属于该邻域时,
F ( x, y ) 0, F ( x, y ) 0. 因此存在唯一的y,使得F ( x, y) 0, | y y | ,
隐函数有关定理及其应用
1 隐函数1.1隐函数的定义设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程(,)0F x y = ()1若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为(),,,f x y x I y J =∈∈则成立恒等式(,())0F x f x ≡,x I ∈.例如方程10xy y +-=能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理定理1 若满足下列条件1）(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; 2）00(,)0F x y =;3）(,)y F x y 在D 内连续;4）0,()0y o F x y ≠.则在0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在00(,)x x αα-+内的隐函数()y f x =,使得00001(),(,)f x y x x x αα=∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡. 02()f x 在00(,)x x αα-+内连续.这里有几点需要注意，i ）定理的条件只是充分的,ii ）.定理的条件（3）,（4）还可减弱.iii ）定理的条件（3）,（4）换为：x F 连续,0()0x F P ≠,则可确定隐函数()x f y =.1.3. 隐函数的可导条件定理2 若(1)(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; (2)(,)F x y ;(3)(,)(,)y x F x y F x y 在D 内连续;(4)0()0y F P ≠.则(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =,在00(,)x x αα-+内有连续的导数,且 ()xyF f x F '=-.若已知(,)0F x y =存在连续可微的隐函数()y f x =,利用复合函数求导法则,也求出'()f x .例 1 讨论笛卡儿叶形线3330x y axy +-=所确定的函数()yf x =的一阶与二阶导数解 由隐函数定理知,在使得23()0y F y ax =-≠的点(,)x y 附近,方程确定隐函数()y f x =.方程两边对x 求导并整理可得,22ay x y y ax -'=- 2()0y ax -≠ .两边再对x 求导,并将上式代入可得：3232()a xyy y ay ''=--.例2 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐数及其偏导数.解 (0,0,0)0,(0,0,0)10z F F ==-≠且,,x y z F F F F 处处连续,因此在原点(0,0,0)附近能惟一地确定连续可微的隐函数(,)z f x y =,且可求得它的偏导数如下：32213x z x y F yz z F xyz ∂+=-=∂- , 322313y z y z F xz y F xyz∂+=-=∂-. 2.隐函数组2.1 隐函数组概念设(,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 为定义在4R 上的四元函数.若存在2D R ⊂,对任意(,)x y D ∈,都有惟一确定的,u v ,使(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩成立,则在D 上定义了两个函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.称它们是由方程确定的隐函数组.2.2 隐函数组存在条件定理3 若（1） (,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 在以00000(,,,)P x y u v =为内点的区域4V R ⊂内连续（2） 00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==;（3） 在V 内,,F G 有连续的偏导数;（4）(,)(,)F G J U V ∂=∂在点0P 不等于零. 则在点0P 的某一邻域0()U P V ⊂内,方程组惟一地确定了定义点000(,)Q x y 的某一邻域0()U Q 内的两个二元隐函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.使得1. 000000(,),(,),u f x y v g x y ==(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡(,,(,),(,))0.G x y f x y g x y ≡.2 .(,),(,)u f x y v g x y ==在0()U Q 内有连续的偏导数,且：1(,)1(,),,(,)(,)u u x F G F G J x v y J y v ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂1(,)1(,),(,)(,)v v x y F G F G J u x J u y ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂例3 讨论方程组2222(,,,)0(,,,)10F x y u v u v x yG x y u v u v x y ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩ 在点0(2,1,1,2)P 的邻域能确定怎样的隐函数组,并求其偏导数.解 00()()0F P G P ==且2,1,2,2.x y u v x F x F F u F v G y =-=-===-,,y G x =- 1,1u v G G =-=.在点0P 处的所有雅可比行列式中仅有(,)0(,)F G x v ∂=∂因此,仅有(,)x v 不能断定能否作为以(,)y u 为自变量的隐函数.除此之外,在点0P 附近,任意两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如,要求(,),(,)x f u v y g u v ==的偏导数,对方程组分别关于,u v 求偏导数,得22010u u u u u xx y yx xy --=⎧⎨---=⎩, 22010v v v v v xxy xy yx --=⎧⎨--=⎩分别解之,得221,2u xu x x y +=- 221;2v xvx x y -=- 222,2u x yu y x y +=--222.2v x yvy x y -=-3 隐函数的几何应用本节的重点是掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面以及求曲面的切平面与法线．3.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 (,)0F x y =,F 在000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理的条件.隐函数 ()y f x =在0x 的导数 '000()()/()x y f x F P F P =-.曲线在0x 的切线方程为0000()()()()0x y F P x x F P y y -+-=.法线方程为0000()()()()0y x F P x x F P y y ---=.例4 求曲线 332()90x y xy +-=在(2,1)处的切线与法线. 解 设33(,)2()9F x y x y xy =+-,则2269,69x y F x y F y x =-=-处处连续, 且(2,1)15,(2,1)12x y F F ==-.因此曲线在(2,1)处的切线与法线分别为5460,x y --=及45130x y +-=3.2 空间曲线的切线与法平面设有空间曲线 []0:(),(),(),,,L x x t y t z z t t P L αβ===∈∈.且 []000000000(,,)((),(),()),,P x y z P x t y t z t t αβ=∈.再设L 为光滑曲线.在L 上任取一点0000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆,则割线 0P P 的方程为00,x x y yz z x y z ---==∆∆∆因此：00o x x y y z zx y z z t t---==∆∆∆∆∆∆令 0t ∆→,则由L 为光滑曲线知,0p p →.所以L 在0p 的切线方程是000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''.过0p 与切线垂直的平面称为L 在0p 的法平面,其方程为 000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.(,,)0:(,,)0F x y z LG x y z =⎧⎨=⎩ 且在0000(,,)P x y z 的某一个邻域内满足隐函数组定理的条件（不妨设0(0(,)P x y ∂≠∂F,G)） 方程组在0P 附近确定惟一连续可微的隐函数组：(),()x z y z ϕψ==.则()()x z y z z z ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.且 (,)(,),(,)(,)x z F G d z y F G d x y ∂∂=-∂∂ (,)(,)(,)(,)y z F G d x z F G d x y ∂∂=∂∂ 所以L 在0P 的切线方程是000(,)(,)(,)(,)(,)(,)x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. 例5：求曲线22222250x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在(3,4,5)处的切线与法平面. 解：令22222250,F x y z G x y z =++-=+-.在(3,4,5)处,6,x F = 8,y F = 10,z F = 6,x G = 8,y G = 10z G =- (,)160,(,)F G y z ∂=-∂ (,)120,(,)F G z x ∂=∂ (,)0(,)F G x y ∂=∂ 所求切线为3451601200x y z ---==- . 所求法平面为430x y -= .3.3空间曲面的切平面与法线设曲面S 的方程是：0000(,,)0,(,,)F x y z P x y z S =∈.在0()U p 内满足隐函数定理的条件,不妨设0()0z F p ≠.方程在0p 附近确定隐函数 (,)z f x y =,且0000()(,),()x x z F p f x y F p =- 0000()(,)()y y z F p f x y F p =-由此得S 在0p 处的切平面为000000()()()()()()0y x z F P x x F P y y F P z z -+-+-=.法线为000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==.例6．求曲面：222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面与法线方程. 解：设222(,,)236F x y z x y z =++-,则在(1,1,1)处,2,4,6x y z F F F ===. 因此,切平面方程2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=即236x y z ++=. 所得法线方程：111123x y z ---==.。
第十八章 隐函数存在定理
第十八章 隐函数存在定理§1 隐函数存在定理引例：221x y y +=⇒=(1,0)U ∀±的点，不能显化，是使0y F =的点。
定理1 （一元隐函数存在定理）若(,)F x y 满足1）00(,)0F x y =；2）00{(,)|||,||}D x y x x a y y b =-≤-≤内(,)F x y 连续且连续偏导,y x F F ； 3）00(,)0y F x y ≠，则有i) 在00(,)x y 附近由(,)0F x y =唯一确定隐函数0(),(,)y f x x O x ρ=∈满足(,())0F x f x =，00()y f x =；ii) ()y f x =在0(,)x O x ρ∈连续； iii) ()y f x =在0(,)x O x ρ∈连续导数，且(,)(,)x y F x y dydx F x y =-。
证明 设0y F >1）存在性 由连续函数y F 保号性，在00{(,)|||,||}D x y x x a y y b =-≤-≤上(,)0y F x y >，在固定的0x ，0(,)F x y 在00[,]y y ββ-+↑（严格），又00(,)0F x y =，从而0000(,)0,(,)0F x y F x y ββ-<+>，由(,)F x y 连续，0ρ∃>，在00,x x x ρρ-<<+ 0y y β=+上0(,)0F x y β+>；在00,x x x ρρ-<<+0y y β=-上0(,)0F x y β-<。
对00(,)x x x ρρ∀∈-+，(,)F x y 是y 在00[,]y y ββ-+上连续函数，则0(,)0F x y β-<0(,)0F x y β+>，由零点定理，00(,)y y y ββ∃∈-+，使得(,)0F x y =，由0y F >知唯一，从而有0(),(,)y f x x O x ρ=∈满足(,())0F x f x =，00()y f x =； 2）连续性 设00(,)x x x ρρ∀∈-+，对0ε∀>，由(,)0(())F x y y f x ==知(,)0F x y ε-<，(,)0F x y ε+>，则由前面讨论可知，0(,)x O x ρ∈时相应的隐函数满足()(),f x y y εε∈-+，即|()()|f x f x ε-<，连续。
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0,
证明略
定理3的推广
考虑方程组：
设方程组 两边对 x 求导得 系数行列式
有隐函数组
则
在点P 的某邻域内 故得
同样可得
例4 由方程组 能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求
解
方程组两边对 x 求导，并移项得
方程组两边对 x 求导，并移项得 用克莱姆法则解方程组
方程组两边对 y 求导，并移项得 解得
补例
设
u f(ux,v v g(u - x,
y) v2 y)
求 u , v . x x
其中f , g具有一阶连续偏导数,
注意：明确哪些是自变量，哪 些是因变量，是几元的.
解
u x
f1
(
u x
x u)
f
2
v x
v
x
u g1( x
1)
g2
2vy
v x
解以 u为, 未v知数的方程组，得 x x
思考与练习
设
求
提示: •
•
•
解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
由d y, d z 的系数即可得 习题6-8 (2) (4);3.5.7.8.10..11.
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 及求导方法问题 .
研究其连续性、可微性
1. 一个方程的情况
定理1 设 F x, y在一点 P0 x0, y0 的邻域内有定
义.且满足下列条件:
1 F x0, y0 0;
(2) Fx (x, y)及Fy (x, y)连续，且 Fy (x, y) 0,
则在 x0 的某个邻域 x0 , x0 内存在一个
函数y=f(x) , 使得 y0 f x0 且
F x, f x 0, xx0 , x0 ,
并且 y f x在x0 , x0 内有连续的导
在点
及v
的xv一0使x个得邻域内存在u唯0一的u一对x0可且微及满函足v数0方程组v
x0
,
u ux
F x,u x,vx 0,
G
x,
u
x
,v
x
0,
u u x 及v的导v 函x 数由下列方程组
求出
F x
F u
du dx
F v
dv dx
0,
G
x
G u
du dx
G v
Байду номын сангаас
dv dx
z Fx , x Fz
z Fy . y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
则 两边对 x 求偏导
同样可得
例2
解法1
利用公式.
令
则
解法2 利用隐函数求导 方程两端关于x求偏导，得
方程两端关于y求偏导，得
说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求 偏导时，将z视作x,y的函数：z=z(x,y).
行列式称作F,G的雅可比行列式.
定理3 设F x,u,v及G x,u,v在一点 x0,u0,v0 的某个 邻域内有连续的一阶偏导数,且 F x0,u0,v0 0, G x0,u0,v0 0, 又设F,G的雅可比行列式
J DF,G Fu Fv Du,v Gu Gv
在点x0,u0,v0 处不等于0, 则
内有连续的偏导数, 且
F x0, y0, z0 0; Fz x0, y0, z0 0,
则在点x0, y0 的某个邻域内,方程 F x, y, z 0
唯一确定一个隐函数 z z x, y, 满足
F x, y, z x, y 0, z x0, y0 =z0,
且 z x, y 有连续偏导数:
例3 求由方程
解
设u=x-y,v=y-z.
为了方便起见,引入记号
2. 方程组的情况
可确定隐函数u=u(x),v=v(x)? 先介绍线性代数中的克莱姆法则 二元一次方程组
u=u(x),v=v(x) 克莱姆法则告诉我们：二元一次方程 组有惟一解
我们的问题相当于解方程组 方程组有惟一解
方程组有惟一解 当F及G 是一般函数时，需要下列条件
u x v x
uf1(2 yvg2 1) f2 g1 (xf1 1)(2 yvg2 1) f2 g1
g1(xf1 uf1 1)
xf1 12 yvg2 1 f2 g1
内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式
函数
f
x
Fx Fy
x, x,
y y
y f x.
定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解令 ① ② ③
由 定理1 可知, 导的隐函数
则 连续 ,
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且
定理2 设F x, y, z在点 M0 x0, y0, z0 的某邻域