四年级容斥原理

四年级名校第四讲容斥原理

教学目标：

1掌握容斥原理的基本解题方法。

2能简单的画出容斥原理的图。

3培养学生的逻辑思维能力。

教学重点

用画图的方法去解容斥原理。

教学难点

在做较复杂的容斥原理的题的时，如何用画图的方法去解答。

教学过程：

导入：

在我们日常生活中经常会碰到重复的时候，比如我们的爱好。像老师既喜欢做数学题也喜欢看小说。但是可能有些人就只喜欢做数学题，也可能只喜欢看小说，或者又喜欢看小说又喜欢看电视。引导学生说说自己的爱好。其实这个东西也包含了我们数学中的知识。今天我们就来学习与之有关的容斥原理。（出示课题）

新授：

例1两个面积是16平方厘米的正方形摆在桌面上，他们盖住的面积有32平方厘米吗？如果充电的部分是4平方厘米，则他们盖住的面积是多少平方厘米？

T：这2个正方形的面积和是2个16平方厘米就是32厘米，但是中间有盖住的部分，那么他们的总面积可能有32厘米么？因为有盖住的部分所以不可能。

T：接下来我们再来看下面的问题，如果盖住的部分是4平方厘米。我们来看一看盖住的部分是4平方厘米，是哪一部分是4平方厘米。我们来看一看如果我把2个正方形的面积总和都算出来这个重复的部分的4平方厘米我算了几次？2次。

T：事实上如果我们要计算盖住的面积那么我们重复的部分算几次就够了呢？1次，多算了依次怎么办？减掉就可以了。16＋16－4＝28（平方厘米）

练习：演练一

例2实验小学四（1）班同学参加语文和数学兴趣小组，参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有34人，其中有15人两个小组都参加。这个班共有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

T：我们来观察一下题目，这里面有没有例1时重复的部分呢？有，就是2个兴趣小组都参加的人。

T：那我们是不是可以画一个跟例差不多的图呢？中间的部分就是重叠的处分，我们可以反着画。那么就是重复的部分就是15人。参加数学跟语文兴趣小组的将2个都参加的人重复算了2次，减去一次就可以了。

练习：演练二

例3全班同学共有45人，老师说：“语文作业做完的同学请举手。”结果有30人举手，老师又问：“数学作业做完了同学请举手。”又有20人举手。老师又问：“语文数学一门作业都没完整的请举手。”结果没人举手，有多少同学两门功课都做完？

T：我们来看看将老师提问2次举手的人数加起来，20＋30＝50（人）但是我们全班同学只有45人，为什么会多呢？因为我们把2个作业都做了个同学算了2次。

T：那么我们来看一看多算了几个同学呢？50－45＝5（人）这5个人就是2门都完成了的。

练习：演练三

例4一个班有55名学生，订阅《小学数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的人有5人。（1）订阅报纸总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？

T：仔细的读题看一看，我们是不是很快的就可以求出订阅报纸的总人数？就跟我们的例1是一样的。9＋12－5＝16（人）引导学生自己画图

T：我们要求两种报纸都没订的人有多少个，那么是不是就是把订阅了报纸的人去掉就可以了呢？55－16＝39（人）

练习：演练四

例5四（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：求全班人数

短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球17 18 15 6 6 6 2

T：这题一看跟刚才我们做的题目有什么区别呢？刚才都是2种，而现在又3种。

T：那我们应该怎么办呢？跟上几题是一样的第一步我们来画图，这时我们就可以选择将图反过画。原来是我们先将总人数画出来再画重复的部分，也就是我们先画重复的2人，那么短跑跟游泳都参加的去掉3项都参加的就是6－2＝4（人）依次类推。（请同学一个一个的说。）最后将不重复的部分一个一个加起来就是全班人数了。

练习：演练五

例6某班42名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21人，参加美术小组的有25人，有17人即参加数学小组有参加美术小组，有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人？

T：这时我们看看这题跟上面的题目有什么一样的部分？都是3种。

T：又有什么不一样的部分呢？已知条件不同，上一题是全班人数不知道，3种都参加的知道，这题是全班人数知道3中都参加的人数不知道。

T：那么我们是不是也能一样跟上一题一样反着画呢？不行发现不够减说明什么？那么我们就将这一题的图画出来。说明这里面每个同学都至少参加了2样比赛，那么我们来看一看把所有的人都加起来29＋21＋25这里面减掉重复的再用全班人数去减掉，那么剩下的就是3个都参加的。

练习：演练六

总结：我们今天学了容斥原理，最重要的是读清楚题目。然后将图画清楚，如果发现图不好画的时候。我们可以将图反着将数字填上去会更简单。

板书：

容斥原理

画图

家庭作业：巩固练习