四年级容斥原理
【详解】四年级下第19讲_容斥原理
第十九讲 容斥原理1. 例题1答案：6；11；17 详解：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域． （1）3620506+-=人．（2）小高去过其中的12景，那么只有墨莫一个去过的景有18126-=景，墨莫共去过6511+=景．（3）这里要把重复的区域去掉两次才是只看过一部的，共有12218217+-⨯=人．2. 例题2答案：55详解：画出文氏图，游泳和长跑这两项比赛会有重叠，要区别游泳的男生和游泳女生，且这两部分不会重叠，这时我们用一条直线把一个区域分成两部分，这两部分没有重叠．如果不考虑性别，参加长跑比赛的人有15090240+=人，参加游泳比赛的人有12070190+=人．总人数是305人，那么游泳和长跑都参加的人有240190305125+-=人，其中男生有110人，那么两样都参加的女生有12511015-=人．那么只参加游泳的女生有701555-=人．此题的方法不唯一，也可以看图算出男生有120150110160+-=人，那么女生有305160145-=人．只参加游泳的人有1459055-=人．3. 例题3 答案：96详解：首先画出文氏图，找到相应的数字所表示的区域．计算股票之和把张、王、李股票数相加664023129++=，其中129支股票中G 、E 、F 算了两次，H 算了三次．去掉这些重复计算的区域（G 、E 、F 去掉一次，H 去掉两次），1291713990---=，发现G 、E 、F 去掉了一次，但H 去掉了三次，最后还要把H 加上一次．90696+=90+6=96支．游泳长跑男生 女生 15090120 70110 305张66王40李231713 9 6 A B C E FGH4. 例题4答案：33人；9人详解：（1）难点是至少答对二道题的学生指的是哪个区域．至少答对二道题的区域是指这些重叠的区域A 、B 、C 、D ，那么王老师班上有10648533++++=人．（2）通过画文氏图，D =1，A =3，835++=-=B D C ，答对第3道题的同学有549+=人．5. 例题5答案：24人详解：遇到倍数关系时，一般情况下设最小的为“1”，有倍数关系的就好办了．这里面设3项活动都参加的人数为“1”，那么文艺小组人数为“8”，既参加数学也参加文艺的人数为“2”，既参加文艺又参加语文小组人数为“3”．方法一：根据文氏图可求出总人数为2420"8""2""3"10"1"34"4"46++---+=+=，那么"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．方法二：数学有24人参加，语文有20人参加，既参加数学又参加语文的有10人，所以参加语文和数学至少一门的人有24201034+-=人，那么只参加文艺的人有463412-=人，这部分人有"4"12=，"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．6. 例题6答案：6根详解：要想三项都会的人尽量少，那么要让会游泳、骑自行车、乒乓球的人尽量分散开来．画图如下，最后可得至少有4名学生三项都会．第3道 第2道 10 64 BCA D第1道 数24语20文“8”“3”“2” “1”10 2748用直线长度表示会游泳的人数 ①7. 练习1答案：83简答：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域．42561583+-=人．8. 练习2答案：70简答：如果不考虑性别，参加数学竞赛的人有12080200+=人，参加语文竞赛的人有80120200+=人．总人数是260人，那么数学和语文都参加的人有200200260140+-=人，其中男生有75人，那么两样都参加的女生有1407565-=人．那么只参加一科竞赛的女生有()()80651206570-+-=人．数学语文男生 女生80120120 8075 260 48272112②骑自行车的人数尽量不和游泳的人重复，故接着游泳的后面画2721481236 4 同理，会乒乓球的人可再接着骑自行车的人后面画 ③9. 练习3答案：89平方分米简答：三个对象容斥原理：403627574289++---+=平方分米．10. 练习4答案：150人简答：如图，只订阅一种报刊的是E 、F 、G 三部分，共600人；只订阅两种报刊的是A 、B 、C 三部分，共200分，三种报刊都订阅的是D ，有50人，所以订报刊的人一共有60020050850++=人，学校有一共有1000人，所以没有订报的人有1000850150-=人．11. 作业1答案：21简答：利用容斥原理，32395021+-=人．12. 作业2答案：19简答：先求出至少会一样的人数，再求两样都不会的人数．()461417419-+-=人．13. 作业3答案：17 简答：利用三个对象之间的容斥原理，共()151********++-+++=种糕点．14. 作业4答案：9简答：根据容斥原理，共有()11092515880209-++--=人．15. 作业5答案：12人简答：画出文氏图，先求出至少参加一个小组的人数．至少参加一个小组的人有92513035138++-=人．一个小组都没参加的有15013812-=人．数学报 文艺 E FG BCA D少年报。
四年级容斥原理范文
四年级的学生主要学习数学的基础知识和简单的计算方法，容斥原理不属于四年级的数学内容。
但是，我可以为您提供有关容斥原理的简单介绍，以便您更好地理解这个概念。
容斥原理是集合论中的一种计数方法，它用于解决多个集合的组合问题。
具体来说，容斥原理用于计算多个集合的交集、并集和差集的元素个数。
在理解容斥原理之前，我们需要先了解一些相关的概念。
1.集合：集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
2.元素：元素是集合中的个体。
3.交集：两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
4.并集：两个或多个集合中所有元素组成的集合。
5.差集：一个集合中不包含另一个集合中的元素所构成的集合。
在使用容斥原理解决问题时，我们通常需要考虑多个集合之间的关系，并利用这些关系来求解问题。
容斥原理的基本思想是，通过抵消重复计算来获得正确的结果。
具体来说，对于多个集合A、B、C...的并集，我们需要计算这些集合中的元素个数；但是，由于不同的集合之间可能存在重复的元素，所以我们需要减去这些重复计算的元素个数，以获得正确的结果。
以三个集合为例，容斥原理的计算公式如下：A∪B∪C，=，A，+，B，+，C，-，A∩B，-，A∩C，-，B∩C，+，A∩B∩C其中，A，表示集合A中元素的个数，A∩B，表示在集合A和集合B 中同时出现的元素个数，依此类推。
通过容斥原理的计算公式，我们可以计算出多个集合的并集的元素个数，从而解决一些相对复杂的计数问题。
综上所述，虽然容斥原理不属于四年级数学的内容范围，但了解容斥原理可以帮助我们扩展数学思维，解决更复杂的问题。
希望上述内容对您有所帮助。
小学四年级奥数 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。
)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
1．先包含——A＋B重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；2．再排除——A＋B－A∩B把多加了1次的重叠部分A∩B减去。
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B 类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。
用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。
1．先包含——A＋B＋CA∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。
2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。
3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C例1一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。
例250名同学面向老师站成一行。
老师先让大家从左至右按1、2、3、…、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？求1～2009这2009个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？例3在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？例4如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。
专题26 容斥原理—四年级数学思维拓展精编讲义(原卷)
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题26 容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
【典例分析01】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
【典例分析02】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
Nab Nb Na 知识精讲典例分析【典例分析03】某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
【典例分析04】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
四年级下第19讲《容斥原理》教学课件
下节课见！
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数学知识点
mathematics
知识精讲
这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题，研究这种问题通常需要画出
示意图(如喝茶与喝咖啡的图)，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理
公式.
如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B就会算多了，而多算的正好是部分③，只要把多
作业1：一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书， 借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，请问：语文、数学两种课外书都借的有 多少人？
巩固提升
mathematics
作业2：六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的 4人，请问两样都不会的有多少人?
“包含”着瓜子壳；如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳， 用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.
瓜子壳
瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳， 两者各不相关，但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，
瓜子仁
各部分之间会有重叠；比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶 或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡， 喝茶的
求各个部分的数量呢？一定要记得将求出来的数及时填入图中适当的位置.
数学知识点
mathematics
知识精讲
例题3实际上就是三个对象的包含与排除问题，三个对象的容斥原理如下：
A、B、C总数=A+B+C-A、B重叠-B、C重叠-C、A重叠+A、B、C重叠
怎么理解这个公式呢？我们还是利用文氏图来说明.
四年级奥数(40讲)《举一反三》第35讲 容斥原理
第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
四年级上册 第4讲 容斥原理
容斥原理1.理解什么是容斥原理，能画图分析其中的关系.2.利⽤容斥原理解决实际问题容斥原理原理：包含与排除，也称容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，从他们的和中排除重复部分例题⼀学校开办运动会，报名参加⻓跑的有10个⼈，报名参加跳远的有7⼈，两样都报名的有3个⼈，最后统计可得，参加运动会的由14⼈，⼩朋友，这个统计数字对吗？练习⼀有两对⽗⼦上⼭打猎，每⼈各打⼀只野兔，可是放到⼀起数⼀数，⼀只、两只、三只。
再数⼀遍，还是3只，怎么回事呢？例题1单选题三（）班有学⽣⼈，喜欢喜⽺⽺的有⼈，喜欢美⽺⽺的有⼈，既喜欢喜⽺⽺⼜喜欢美⽺⽺的有（ ）⼈。
1453836A12B29C 33B 、答案：先求出喜欢喜⽺⽺、美⽺⽺的⼈数和，再⽤⼈数和减去全班的⼈数就是既喜欢喜⽺⽺⼜喜欢美⽺⽺的⼈数。
（⼈）答：既喜欢喜⽺⽺⼜喜欢美⽺⽺的有⼈。
故选：。
分析：38+36−45=74−45=2929B例题⼆李⽼师出了两道题，全班40⼈中，第⼀题有30⼈对，第⼆题有12⼈没有做对，两道题都做对的⼈有20⼈。
（1）⾄少答对⼀题的有多少⼈？（2）两题都不对的有多少⼈练习⼆某班56⼈在⼀次测试中，答对⼀题的有50⼈，答对第⼆题的有43⼈，两题都答对的有40⼈，⾄少答对⼀题的有多少⼈，两题都没答对的有多少⼈？点 拨1.利⽤⻙恩图解题公式总结：A、B、C总数=A+B+C-ABC重叠部分例题三在⼀群⼩朋友中，有27个⼈看过《千与千寻》，有15个⼈看过《天空之城》，并且有10个⼈两部影⽚都看过。
已知每个⼩朋友⾄少都看过其中⼀部，那么这群⼩朋友⼀共有多少⼈？练习三某班学⽣⼿中分别拿红⻩两种颜⾊的⼩旗，已知⼿中有红旗的共有34⼈，⼿中有⻩旗的共有26⼈，⼿中有红⻩两种⼩旗的有9⼈，那么这个班共有（ ）⼈。
（每个学⽣⼿上都拿着⼩旗）例题2单选题学校开设两个兴趣⼩组，三⼈参加书画⼩组，⼈参加棋艺⼩组，两个⼩组都参加的有⼈，那么三⼀共有( )⼈参加了书画和棋艺⼩组。
四年级容斥原理
四年级容斥原理我家邻居有个四年级的小朋友叫小明，他呀，最近在数学学习上遇到了一个超级有趣的东西，叫做容斥原理。
这容斥原理啊，就像是一场数学里的魔法游戏。
容斥原理在四年级的数学里，就像一个神秘的宝藏等待着小朋友们去发掘。
你看啊，在他们的数学书上，可能会有这样的题目：学校组织活动，参加跳绳比赛的有20人，参加跑步比赛的有15人，而既参加跳绳又参加跑步比赛的有8人，那参加这两项活动的总共有多少人呢？这时候容斥原理就该登场啦。
我记得有一次，我和小明一起做数学作业，就碰到了这样的题目。
小明一开始就晕头转向的，他皱着眉头，眼睛里满是疑惑，对我说：“这可咋算呀？我感觉好乱。
”我笑着对他说：“嘿，这就是容斥原理的神奇之处啦。
你不能简单地把20和15加起来，因为这里面有一部分人是重复计算的呢。
”我给他举了个特别形象的例子，我说：“你看啊，假如你有一盒子红色的弹珠，又有一盒子蓝色的弹珠，可是呢，有一部分弹珠既是红色又是蓝色（这里假设是染了两种颜色的特殊弹珠）。
那你要是想知道弹珠的总数，你能直接把红弹珠的数量和蓝弹珠的数量加起来吗？肯定不行呀，那样的话，那些双色弹珠就被多算了一次。
”小明眼睛一下子就亮了，他好像有点明白了。
容斥原理的核心其实就是不重复、不遗漏地计算。
在生活里，也有好多这样的例子呢。
比如说班级里评选优秀学生，有擅长学习的，有擅长体育的，还有两者都擅长的。
如果老师想知道在学习或者体育方面有特长的学生一共有多少，就不能单纯地把学习好的人数和体育好的人数相加，得把那些两项都好的同学考虑进去，不然就会算错啦。
再回到小明的作业上，我告诉他：“咱们要先把参加跳绳和跑步的人数加起来，就是20 + 15 = 35人。
可是呢，这里面既参加跳绳又参加跑步的8人被算了两次，所以得把多算的这8人减掉一次，那正确的答案就是35 - 8 = 27人啦。
”小明高兴得跳了起来，他激动地说：“哇，原来这么简单呀，这容斥原理好有趣啊。
”后来，我又给他出了一道类似的题目。
四年级【容斥原理】
（4）只会围棋的是（ ①
）
（5）只会游泳的是（ ③
）
（6）一共人数（ ①+③-②+④
）
举一反三
2、四(2)班参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12个人两个 小组都参加了，这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组?
语28人 数29人 12人
28+29-12 =57-12 =45（人）
芒135
举一反三
1、飞机上提供了三种饮品，牛奶、橙汁和椰子汁。乘客中，选择牛奶的有30人，选择
橙汁的有35人，选择椰子汁的有36人。已知其中有9人不仅选了牛奶还选了橙汁，有
11人不仅选了橙汁还选了椰子汁，有10人不仅选了椰子汁还选了牛奶，有4人三种饮品
都选择了。如果每位乘客都至少选了一种饮品，那么飞机上共有乘客多少人?
？人
2组
=51-28 =23（组）
答：两轮都答对的有23组.
共3208组
举一反三
1、拓展活动中，有23人在动手能力比赛中获得优胜，有31人在计算能力比赛中获 得优胜，有5人两项都没获得优胜。已知共有40人参加活动，那么两项比赛都获得 优胜的有多少人?
动23人
计31人
至少一项：40-5=35（人）
？人 5人
共30人
举一反三
1、一个班共有40人，在一次两道题的测试中，答对第一题的有25人，答对第二题 的有11人，两道题都答对的有4人，至少做对一道题的有多少人?两道都没做对的 有多少人?
一：25人 二：11人
4人
？人
至少对一题： 25+11-4 = 32（人） 都没对：40-32 = 8（人） 答：至少做对一道题的有32人；两道都没做对的 有8人。
四年级奥数专题-容斥原理
四年级奥数专题-容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.容斥原理：对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类（如图）,那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次.所以,这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.练 习 一1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25－15=10人.又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－33=3人.练习二1,五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了.那么,有多少人两个小组都没有参加？2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人？例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人.练习三1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人.两样都会的有多少人？2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人.这两队都没有参加的有10人.请算一算,这个班共有多少人？例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数.从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.练习四1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3,五（1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等.小华排的位置是：从前面数第5个,从后面数第8个.这个班共有多少个学生？例5：光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.24＋22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数.（24＋22－10）÷2=18幅.练习五1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件.其他年级参展的作品共有多少件？2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅.其他年级参展的画共有多少幅？3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅？。
四年级第30讲容斥原理
容斥原理 专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
【例1】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
练 习 一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？【例2】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
第八讲 容斥原理
第8讲 容斥原理一、知识点：容斥原理类型一：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，甲类或乙类个数=甲类个数+乙类个数－既甲类又乙类的物体个数 容斥原理类型类型二：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－甲类或乙类个数 容斥原理类型类型三：如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－（总体共有个数—既非甲类又非乙类个数）森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。
”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我算兽类。
”结果统计出森林中共有70种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。
”这个统计对吗？ 现在我们用维恩图表示：要求鸟类与兽类共多少种,可以：+得出结论：鸟类与兽类共多少种=鸟类+兽类— 蝙蝠这个故事反映的是一个数学原理，我们把这个数学原理称为包含排除原理，即容斥原理。
鸟类 80 种兽类 70种蝙蝠 1种鸟类与兽类共？ 兽类70种鸟类—蝙蝠=79（种）二、例题讲解：包含与排除问题其实也叫容斥问题。
A AB B （韦恩图）（1)容斥原理的第一种类型：例题1：四年级(2)班每人都参加了一种兴趣小组，参加舞蹈组的有23人，参加合唱团的有40人，既参加舞蹈组又参加合唱团的有15人，全班共有多少人？ 练习：1、四年甲班学生采集标本，采到昆虫标本的有26人，采到植物标本的有32人，两种豆采到的有10人，全班有学生多少人？2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。
这个文艺组一共有多少人？甲类乙类即甲 又乙 维恩图合唱团 40人舞蹈组 23人15人共？植物标本 32人昆虫标本 有26人10人共？如果被统计的事物有甲、乙两类，那么， 甲和乙的总个数=甲个数+乙个数－既是甲又是乙的个数。
容斥原理4个集合公式
容斥原理4个集合公式
容斥原理是组合数学中的一种常用原理，用于计算多个集合的并、交和差的元
素个数。
下面我将为您介绍容斥原理的4个集合公式。
1. 两个集合的容斥原理公式：
设集合 A 和集合 B 分别有 m 和 n 个元素，集合 A 与集合 B 的交集有 k 个元素，则 A 和 B 的并集中的元素个数为 m+n-k。
2. 三个集合的容斥原理公式：
设集合 A、B 和 C 分别有 m、n 和 p 个元素，集合 A、B 和 C 的交集分别为 x、y 和 z 个元素，集合 A、B 和 C 的并集中的元素个数为 m+n+p-x-y-z+(x∩y∩z)。
3. 四个集合的容斥原理公式：
设集合 A、B、C 和 D 分别有 m、n、p 和 q 个元素，集合 A、B、C 和 D 的交
集分别为 x、y、z 和 w 个元素，集合 A、B、C 和 D 的并集中的元素个数为
m+n+p+q-x-y-z-w+(x∩y∩z∩w)。
4. 一般情况下的容斥原理公式：
容斥原理可以推广到任意个集合上。
当有 k 个集合 A1、A2、...、Ak，分别有
m1、m2、...、mk 个元素，并且这些集合的交集为空集时，这 k 个集合的并集中的
元素个数为 m1+m2+...+mk。
这些容斥原理的公式可以帮助我们计算集合的元素个数，特别在计算排列组合
中常常使用到。
通过准确应用这些公式，我们可以简化问题的计算过程，并得到准确的结果。
四年级奥数 第35讲 容斥问题
第35周容斥问题专题简析:容斥问题涉及一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。
当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理:对n个事物，如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如右图所示),那么具有性质a或性质b的事物的个数是Na 十Nb- Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问“谁做完语文作业了?请举手！”有37人举手。
又问:“谁做完数学作业了?请举手!”有42人举手。
最后问“谁语文、数学作业都没有做完?“没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一：1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65 人，数学成绩优秀的有87 人。
语文、数学成绩都优秀的有多少人?2、四(1)班有54 人，订阅<小学生优秀作文》和(数学大世界)两种读物的有13 人，订《小学生优秀作文》的有45 人，每人至少订种读物。
订《数学大世界》》的有多少人?3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人?例2：城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛，结果每人都获奖。
其中有3人两项比赛都获奖，作文比赛获奖的有5 人,求数学比赛获奖的有多少人?练习：1、一个班有55 名学生，他们分别订阅了《小学生数学报》和《中国少年报》。
其中订阅《小学生数学报》的有32 人,两种报纸都订阅的有15 人,求订阅《中国少年报》的有多少人?2、四(1)班有40 个学生,有19 人参加了数学和科技两个兴趣小组。
其中有11人两个小组都没参加，有25人参加数学小组，求有多少人参加了科技小组?3、在四年级96 个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。
调查结果显示:有78人会下中国象棋，有24 人两样都会，还有12人两样都不会。
求会下围棋的有多少人?例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?练习：1、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人,会法语的有18 人,两样都不会的有4 人。
四年级下册数学课件容斥原理青岛版(五四学制)(14页)
不会骑车不会游泳的？人
例3： 中秋前期，食监局对52种月饼产品进行质量抽检，其中有8种产品的添加剂不合格，10种产品的微生物超标不合格，9种产品的过氧化值超标不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的月饼有多少种？
图中黑色部分是同时两项不合格的产品集合，灰色部分是这三项都不合格的产品集合。计算至少有一项不达标的产品的种数时候，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以，至少有一项不达标的产品的种数有10＋8＋9－7×1－1×2＝18(种)，进而可求出三项全部合格的月饼产品有(52－18)种，即34种。
先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。
解 析
19+25-7=37（人） 46-37=9（人） 答：既不会骑车又不会游泳的有9人。
会骑车的19人
会游泳的25人
会骑车会游泳7人
第一种类型：两项比赛
参加A比赛的人数
参加B比赛的人数
两项都参加
参加总人数
梳理归纳
全班总人数=参加总人数+什么都不参加的人数两项比赛都参加的人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-（全班总人数-什么也不参加的人数）
第一种类型：两项比赛
即：两项比赛都参加的人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-参加总人数
容斥原理
计数时，必须注意不能重复，不能遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排挤出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
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四年级名校第四讲容斥原理
教学目标：
1掌握容斥原理的基本解题方法。
2能简单的画出容斥原理的图。
3培养学生的逻辑思维能力。
教学重点
用画图的方法去解容斥原理。
教学难点
在做较复杂的容斥原理的题的时，如何用画图的方法去解答。
教学过程：
导入：
在我们日常生活中经常会碰到重复的时候，比如我们的爱好。
像老师既喜欢做数学题也喜欢看小说。
但是可能有些人就只喜欢做数学题，也可能只喜欢看小说，或者又喜欢看小说又喜欢看电视。
引导学生说说自己的爱好。
其实这个东西也包含了我们数学中的知识。
今天我们就来学习与之有关的容斥原理。
（出示课题）
新授：
例1两个面积是16平方厘米的正方形摆在桌面上，他们盖住的面积有32平方厘米吗？如果充电的部分是4平方厘米，则他们盖住的面积是多少平方厘米？
T：这2个正方形的面积和是2个16平方厘米就是32厘米，但是中间有盖住的部分，那么他们的总面积可能有32厘米么？因为有盖住的部分所以不可能。
T：接下来我们再来看下面的问题，如果盖住的部分是4平方厘米。
我们来看一看盖住的部分是4平方厘米，是哪一部分是4平方厘米。
我们来看一看如果我把2个正方形的面积总和都算出来这个重复的部分的4平方厘米我算了几次？2次。
T：事实上如果我们要计算盖住的面积那么我们重复的部分算几次就够了呢？1次，多算了依次怎么办？减掉就可以了。
16＋16－4＝28（平方厘米）
练习：演练一
例2实验小学四（1）班同学参加语文和数学兴趣小组，参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有34人，其中有15人两个小组都参加。
这个班共有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
T：我们来观察一下题目，这里面有没有例1时重复的部分呢？有，就是2个兴趣小组都参加的人。
T：那我们是不是可以画一个跟例差不多的图呢？中间的部分就是重叠的处分，我们可以反着画。
那么就是重复的部分就是15人。
参加数学跟语文兴趣小组的将2个都参加的人重复算了2次，减去一次就可以了。
练习：演练二
例3全班同学共有45人，老师说：“语文作业做完的同学请举手。
”结果有30人举手，老师又问：“数学作业做完了同学请举手。
”又有20人举手。
老师又问：“语文数学一门作业都没完整的请举手。
”结果没人举手，有多少同学两门功课都做完？
T：我们来看看将老师提问2次举手的人数加起来，20＋30＝50（人）但是我们全班同学只有45人，为什么会多呢？因为我们把2个作业都做了个同学算了2次。
T：那么我们来看一看多算了几个同学呢？50－45＝5（人）这5个人就是2门都完成了的。
练习：演练三
例4一个班有55名学生，订阅《小学数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的人有5人。
（1）订阅报纸总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？
T：仔细的读题看一看，我们是不是很快的就可以求出订阅报纸的总人数？就跟我们的例1是一样的。
9＋12－5＝16（人）引导学生自己画图
T：我们要求两种报纸都没订的人有多少个，那么是不是就是把订阅了报纸的人去掉就可以了呢？55－16＝39（人）
练习：演练四
例5四（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：求全班人数
短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球17 18 15 6 6 6 2
T：这题一看跟刚才我们做的题目有什么区别呢？刚才都是2种，而现在又3种。
T：那我们应该怎么办呢？跟上几题是一样的第一步我们来画图，这时我们就可以选择将图反过画。
原来是我们先将总人数画出来再画重复的部分，也就是我们先画重复的2人，那么短跑跟游泳都参加的去掉3项都参加的就是6－2＝4（人）依次类推。
（请同学一个一个的说。
）最后将不重复的部分一个一个加起来就是全班人数了。
练习：演练五
例6某班42名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21人，参加美术小组的有25人，有17人即参加数学小组有参加美术小组，有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组。
三个小组都参加的有多少人？
T：这时我们看看这题跟上面的题目有什么一样的部分？都是3种。
T：又有什么不一样的部分呢？已知条件不同，上一题是全班人数不知道，3种都参加的知道，这题是全班人数知道3中都参加的人数不知道。
T：那么我们是不是也能一样跟上一题一样反着画呢？不行发现不够减说明什么？那么我们就将这一题的图画出来。
说明这里面每个同学都至少参加了2样比赛，那么我们来看一看把所有的人都加起来29＋21＋25这里面减掉重复的再用全班人数去减掉，那么剩下的就是3个都参加的。
练习：演练六
总结：我们今天学了容斥原理，最重要的是读清楚题目。
然后将图画清楚，如果发现图不好画的时候。
我们可以将图反着将数字填上去会更简单。
板书：
容斥原理
画图
家庭作业：巩固练习。