九年级数学证明圆的切线的常用方法

又∵DF2＋OF2＝OD2，∴OF＝ 3，则 OD＝2 3.
故图中阴影部分的面积为36600×π×(2 3)2－12× 3×3＝
2π－3
2
3 .
5．已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的 点，AC∥OP.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OC，∵PB是⊙O的切线， ∴∠OBP＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC∥OP，∴∠OAC＝∠POB，∠POC＝∠OCA. ∴∠POB ＝ ∠ POC.∵OC ＝ OB ， OP ＝ OP ， ∴△POC≌△POB.∴∠OBP＝∠OCP＝90°， 即OC⊥PC.又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
4．【2018·泰州】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， ∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：DE与⊙O相切．理由：如图，连接DO， ∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD. ∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD＝∠DBO， ∴∠EBD＝∠BDO，∴DO∥BE. ∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°， ∴∠EDO＝90°，即OD⊥DE. 又∵OD是半径，∴DE与⊙O相切．
(2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE＝3 3，DF＝3， 求图中阴影部分的面积． 解：∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BE， DF⊥AB，∴DE＝DF＝3. ∵BE＝3 3，∴BD＝ 32＋(3 3)2＝6， ∴DE＝12BD，∴∠DBE＝∠DBA＝30°，
∴∠DOF＝60°，∴∠ODF＝30°，∴OBiblioteka Baidu＝2OF.
第二十四章 圆
证明圆的切线的常用方法
1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点， 且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8. 求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，∵⊙O的直径AB＝12， ∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10. 在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100， PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2， ∴∠OCP＝90°， 即OC⊥PC.又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
2 ． 如 图 ， 以 AB 为 直 径 的 ⊙ O 经 过 点 P ， C ， 且 ∠ ACP ＝ 60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O 的位置关系，并说明理由．
解：PD与⊙O相切，理由如下：如图，连接PO， ︵︵
∵AP＝AP，∴∠AOP＝2∠ACP＝120°. ∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°. ∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°， ∴∠OPD＝180°－∠OAP－∠OPA－∠D＝90°， 即OP⊥PD.又∵OP是半径，∴PD与⊙O相切．
6 ． 如 图 ， 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， AE⊥BC 于 E ， ∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半 径的圆经过点B.
求证：CD与⊙O相切．
证明：如图，过点O作OH⊥CD于H， ∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°. ∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA. ∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA， ∴OH＝OA.又∵OH⊥DC， ∴DC是⊙O的切线，即CD与⊙O相切．
7．已知：如图所示，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB 是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．
证明：如图所示，连接 OE，OA，OC，过点 O 作 OF⊥CD 于 F. ∴CF＝12CD.∵AB 与小圆切于点 E，O 为圆心，∴OE⊥AB. ∴AE＝12AB.又∵AB＝CD，∴AE＝CF. 在 Rt△ AEO 和 Rt△ CFO 中，AE＝CF，AO＝CO， ∴Rt△ AEO≌Rt△ CFO，∴OE＝OF.∴CD 是小圆的切线．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点．以 AC为直径的⊙O交AB于点E.
求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接 OE，CE，∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠AEC＝90°，∴∠BEC＝180°－∠AEC＝90°. 在 Rt△ BEC 中，点 D 是斜边 BC 的中点， ∴BD＝CD＝DE＝12BC，∴∠DEC＝∠DCE.又∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DEC＋∠OEC＝∠DCE＋∠OCE＝ ∠DCO＝90°，即∠DEO＝90°，∴DE⊥OE.又∵OE 是半径， ∴DE 是⊙O 的切线．
(2)若∠A＝60°，AB＝4，求PC的长． 解：∵AB＝4，∴OB＝2. ∵∠A＝60°，∠POB＝∠A， ∴∠POB＝60°. 在 Rt△ POB 中， ∠OPB＝90°－∠POB＝30°，∴PO＝2OB＝4， ∴PB＝ OP2－BO2＝ 42－22＝2 3. ∵PB，PC 切⊙O 于 B，C，∴PC＝PB＝2 3.