第三章 流体运动学基础

第三章 流体运动学基础

§3—1研究流体流动的方法

一、基本概念

场－设在空间的某个区域内定义了标量函数或矢量函数，则称定义了相应函数的空间区域为场。如果研究的是标量函数则称此场为标量场；如果研究的是矢量函数，则称之为矢量场；如果同一时刻场内各点函数的值都相等，则称此场为均匀场，反之为不均匀场，如果场内函数不依于时间，即不随时间改变，则称此场为定常场，反之称为不定常场。场的分类如下：

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧密度场

压力场标量场力场

速度场

矢量场 流场―充满运动流体的场称为流场。 二、研究流体运动的欧拉法

欧拉法―欧拉法是通过下列两个方面来描述整个流场情况的：

（1）在空间固定点上流体的各种物理量（如速度、压力）随时间的变化。 （2）在相邻的空间点上这些物理量的变化 1、速度表示法

欧拉法是以流场中每一空间位置作为描述对象，描述在这些位置上流体的物理参数随时间的变化。显然，同一时刻，流体内部各空间点上流体质点的速度可

以是不同的，即V ρ

是（x, y, z ）的函数。同一空间点上，不同时刻，流体质点的

速度也是不同的。即V ρ

又是t 的函数。另一方面x , y , z 又可以看作是流体质点的

坐标，而流体质点的坐标又是时间的函数。

因此： x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t )

)

,,,(),,,()

,,,(t z y x w w t z y x t z y x u u ===υυ

故：V ρ=V ρ

(x , y , z, t )

同理：

),,,(t z y x p p =

),,,(t z y x ρρ=

2、流体质点的加速度

流体质点的加速度为：t

V

a d d ρρ=

则：

z u w y u x u u t u t z z u t y y u t x x u t u t u a x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==

υd d z w y x u t t a y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==

υυυυυυd d z

w w y w x w u t w t w a z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==

υd d 用矢量表示为： V V t

V

t V a ρρρ

ρϖ)(d d ∇⋅+∂∂==

其中y

k y j x i ∂∂

+∂∂+∂∂=∇ϖϖϖ 为哈密顿算式。 对于密度有： ρρ

ρ)(d d ∇⋅+∂∂=V t

t ρ

z

w y x u t ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

ρ

ρυρρ

显然⎪⎩

⎪⎨⎧

≠=0

d d 0d d t t ρ

ρ对可压缩流体对不可压流体

三、研究流体运动的拉格郎日法

拉格郎日法—着眼于个别流体质点运动的研究（既跟踪流体质点），研究流体内个别流体质点在不同时间，其位置、流速、压力的变化，综合所有流体质点的运动，即可得到整个流场的运动规律（在研究流体的波动与震动时用到）。

令流体质点的矢径为),,,(t c b a r r ϖ

ϖ=，其中a 、b 、c 代表初始时刻（t=t 0时）

流体质点的坐标。显然，不同的a 、b 、c 代表不同的流体流点，则在直角坐标系中，流体质点的坐标为：

x=x (a 、b 、c 、t ) y=y (a 、b 、c 、t ) z=z (a 、b 、c 、t )

a 、

b 、

c 、t 又称为拉格朗日变数。若固定a 、b 、c 而令t 变，得某一流体质点的运动规律；若固定t ，令a 、b 、c 变，则得到某一时刻，不同流体质点的位

置分布函数。注意，r ϖ

的定义域不是场，因它不是空间坐标x 、y 、z 的函数，而是质点标号a 、b 、c 的函数。

§３—2系统与控制体

一、系统

系统的特点：

1、从流体中取出的一定质量的流体；

2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点）

0d d =t

m

； 3、系统的体积和形状可以随时间改变，例如研究某一班同学。 4、在系统的边界上可以有能量交换。 二、控制体

控制体的特点：

1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。

2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。（例如研究某教室）

3、在控制面上可以存在质量及能量交换。 三、欧拉法中物理量对时间的全导数

设N 为t 瞬时，系统内流体具有的某种物理量；η表示单位质量流体具有的这种物理量。在流场中任选一控制体（实线）II 在t 瞬时，系统与所选的控制体相重合，系统所占的空间体积为II 。在这里用v 代表体积，V 代表速度。

t+δt 瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为III ＋II ’，则δt 时间间隔内，系统内某种物理量η的增量为：

II I

II

’

I

t t tt t t tt v v v N N N )d ()d d (II III II ⎰⎰⎰-+=-='ηρηρηρδδ△

式中v d 为微元体积，上式右边加上并减去t tt δνηρ)d (I ⎰，用δt 通除再取极限得：

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰'→+→t v t v t v v v t N N t tt t tt t t tt t t t t t δηρδηρδηρηρηρδδδδδδδ)d ()d ()d ()d d (lim lim 00ⅠⅢⅡⅠⅡ

(a)

对（a ）式左端取极限为：

t N t N N t t tt t d d lim =-→

δδδ (b)

上式称为系统导数或系统内某种物理量对时间的变化率。

下面分析（a ）右端各项的物理意义。其中（a ）式右端第一项的物理意义，对（a ）式右端第一项取极限为：

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡-+⎰⎰⎰'→t t t tt t δνηρνηρνηρδδ)d ()d d (II I I I 0lim ⎥⎥⎦⎤⎢

⎢

⎣⎡-=⎰⎰→t t t tt t δνηρνηρδδ)d ()d (II II 0lim νηρd II ⎰∂∂

=t νηρd cv ⎰∂∂

=t

(c)

（c ）式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率。νηρd II ⎰这一项既是时间的函数，又是所取积分体积的函数，所以用偏导数。并且cv=Ⅱ，而cv 表示对控制体的积分。

（a ）式右端第二项的物理意义

νρd ⎰

Ⅲ

是δt 时间内从控制体Ⅱ流出的流体质量，νηρd ⎰Ⅲ是δt 时间内从

控制体Ⅱ流出的流体所具有的某种物理量。t

t

tt δνηρδ)d (⎰Ⅲ则表示单位时间内从控

ρ