考点17 立体几何中的计算问题(解析版)

考点17 立体几何中的计算问题

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． 【答案】 22π

3

【解析】圆锥的高为h ＝32－12＝22，圆锥的体积V ＝13×π×12

×22＝22π3

.

2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】

3π

3

【解析】思路分析 先求出圆锥的底面半径和高．

设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则⎩⎪⎨⎪⎧πr 2

＝π，πrl ＝2π，解得⎩

⎪⎨⎪⎧r ＝1，

l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积

V ＝13Sh ＝3π

3

. 3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm 3

. 【答案】

3

3

π 【解析】 圆锥的底面半径R ＝1，高h ＝22－12＝3，故圆锥的体积为V ＝13×π×12

×3＝33π.

4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为________cm 3

. 【答案】 54

【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）2

－32

＝6，所以它的体积V ＝32

×6＝54，故答案为54. 5、(2019南京学情调研） 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1B 1C 1CB 的体积是________．

【答案】2 3

【解析】如图，取B 1C 1的中点E ，连结A 1E ，易证A 1E ⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1E 为四棱锥A 1B 1C 1CB 的高，所以V 四棱锥A 1B 1C 1CB ＝13S 矩形BB 1C 1C ×A 1E ＝1

3

×(2×3)×3＝2 3.

6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ．

【答案】

3

【解析】设圆锥的高为h ，母线为l ，由2

=,=S rl S r ππ侧底得，2

1=31l ππ⨯⨯⨯，即=3l ，h ==

故该圆锥的体积为2

113π⨯⨯⨯=

.

7、(2017无锡期末） 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________． 【答案】22

3

π

【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .则⎩⎪⎨⎪⎧

2πr ＝l ×2π

3

，3π＝1

2×2πr ×l ，

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

r ＝1，

l ＝3，故h ＝

l 2－r 2＝22，所以圆锥的体积V ＝1

3×πr 2×h ＝13×π×12×22＝

22

3

π. 解后反思 解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中各个元素和几何体中元素的对应关系．

8、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱

BB 1，CC 1上的点，则三棱锥AA 1EF 的体积是________．

【答案】 8 3

【解析】 因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥AA 1EF 的体积VAA 1EF ＝VEA 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23

＝8 3.

解题反思 一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解．

9、（2016无锡期末） 如图，在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．

【答案】

3

3

【解析】思路分析 在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算．

解法1 因为VO ⊥平面AOB ，OA ⊂平面AOB ，所以VO ⊥OA ，同理VO ⊥OB ，又因为OA ⊥OB ，OA ＝VO ＝OB ＝1，所以VA ＝VB ＝AB ＝2，所以S △VAB ＝12VA ×AB sin60°＝3

2.设O 到平面VAB 的距离为h ，由V VAOB ＝V OVAB ，

得13S △AOB ×VO ＝13S △VAB ×h ，得12OA ×OB ×VO ＝32h ，解得h ＝3

3

. 解法2 取AB 中点M ，连结VM ，过点O 作OH ⊥VM 于H .因为OA ＝OB ，M 是AB 中点，所以OM ⊥AB ，因为

VO ⊥平面AOB ，AB ⊂平面AOB ，所以VO ⊥AB ，又因为OM ⊥AB ，VO ∩OM ＝O ，所以AB ⊥平面VOM ，又因为AB ⊂

平面VAB ，所以面VAB ⊥平面VOM ，又因为OH ⊥VM ，OH ⊂平面VOM ，平面VAB ∩平面VOM ＝VH ，所以OH ⊥平面

VAB ，所以OH 为点O 到平面VAB 的距离，且OH ＝VO ×OM VM ＝33

.

【问题探究，变式训练】 题型一 柱、锥的面积与体积

知识点拨： 求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高(即找线面垂直)，常见的空间几何体体积的求法有：作高法、转换顶点法、割补法.

例1、(2019南京、盐城一模）如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．