样本与抽样分布

第六章样本与抽样分布

§6.1 数理统计的基本概念

一．数理统计研究的对象

例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。

(1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。此问题是求P(X 1000)=F(10000),求F(x)? (2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E(x)?、D(x)?。

要解决二个问题

1．试验设计抽样方法。

2．数据处理或统计推断。

方法具有“从局部推断总体”的特点。

二.总体（母体）和个体

1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。

说明：

(1)对总体我们关心的是研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体中的分布。所以总体是个体的数量指标的全体。

(2)为研究方便将总体与一个R.V X

对应(等同)。

a.总体中不同的数量指标的全体，

即是R.V.X的全部取值。

b.R.V X的分布即是总体的分布

情况。

例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是：

1000小时1100小时

1200小时

20个30个50个

X 1000 1100 1200

P 20/100 30/100

50/100

(设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的分布律，

就是总体寿命的分布，反之亦然。

常称总体X，若R.VX～F(x)，有时也用F(x)表示一个总体。

(3)我们对每一个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（X,Y,Z, …）去描述总体。

2.总体的分类

有限总体

无限总体

三．简单随机样本.

1.定义6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。每个样品的测试值叫观察值。

取得子样的过程叫抽样。

样本的双重含义：

(1)随机性：

用(X

1，X

2,

……X n) n维随机向量表

示。

X i表示第i个被抽到的个体，是随机变量。（i=1,2,…n）

(2)确定性：

(x1,x2,……x n)表示n个实数，即是每个样品X

i

观测值x i(i=1,2,…n)。2.定义6.2：设总体为X，若X1,X2……X n相互独立且与X同分布，则称

（X

1,X2…X

n

）为来自总体X的容量

为n的简单随机样本（简称样本）。

3.已知总体的分布写出子样的分布

(1)已知总体X～F(x),则样品X i～F(x i) i=1,2…n样本（X1,X2…X n）的联合分布为：

F(x 1,x 2…x n )=P(X 1≤x 1,X ≤2x 2

…X ≤n x n

) =∏=n

i 1

P(X ≤x i

) =∏=n

i 1

F(x i

) 若总体X ～f(x ),样品X i ～f(x i ) i=1,2……n

样本（X 1,X 2……X n

）的联合密度是 ： f(x 1,x 2……x n )=∏=n

i 1

f(x i

)

例:总体X ～N(),2

σμ，写出该总体样本（X 1,X 2…X n

）的 联合密度。

(2)若总体X 是离散型随机变量，一般给出分布律：

P(X=x k ) = p k . k=1,2……

要写出概率函数f(x )即f(x )=P(X=x k )=i k p i k =1,2….., n i ,...,2,1=

例: 总体X ～π(λ)写出该总体样本(X 1,X 2,…X n )的联合概率函数

例：总体X ～B(1,p)， 0

（X 1,X 2,……X n

）的联合概率函数。

四 经验分布函数与直方图

1.样本的经验分布函数

(1)定义：设(x 1, x 2,…x n )是来自总体X 的一组样本值。将它们按由小到大排序为：

x 1*≤x 2*≤…≤x i *≤…≤x n * 对任意的实数x ，

定义函数：

F n * (x)=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=<≤<**+**x x n k x x x n

k x x n k k 1

1,...2,1011 则称F *

n (x )为总体X 的经验分布函

数。

(2)格列文科定理:

设总体X的分布函数、经验分布函数分别为F(x)、F n*(x),则有：

P {}0

)

(

)

(=

-

*

+∞

<

<

∞

-

∞

→

X

F

x

F

Sup

Lim

n

x

n

=1

上式表明，当∞

→

n，概率为1的有F)(x n均匀地趋于F(x)。

2总体的概率密度的估计−直方图（第一版）[p143 例6.3]

可以用SAS下的interactive data analysis 模块演示。