全国初中数学优质课比赛一等奖-正切函数说课课件培训资料.ppt
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必修四正切函数的性质与图象公开课一等奖优秀课件
填要点·记疑点
函数y＝tan x的性质与图象
y＝tan x
图象 定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
值域 周期 奇偶性
单调性
R 最小正周期为 π
奇函数
在开区间 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z) 内递增
对称性
对称中心(k2π，0)(k∈Z，) 无对称轴
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考3 观察下图中的正切线，当角x在 －π2，π2 内 增 加 时 ， 正 切函数值发生什么变化？
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
由此反映出一个什么性质？当 x 大于－π2且无限接近－π2时，正切 值如何变化？当 x 小于π2且无限接近π2时，正切值又如何变化？由 此分析，正切函数的值域是什么？
深入探究
探究点一 正切函数的性质
思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其 最小正周期为多少？一般地，函数y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的周期是 多少？ 答 由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，可知正切函数是周期函数，最 小正周期是π. ∵y＝Atan(ωx＋φ)＝Atan(ωx＋φ＋π) ＝Atanωx＋ωπ ＋φ，∴周期 T＝ωπ .
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制 条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三 角函数线.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
跟踪训练1 求下列函数的定义域：
(1)y＝ 1 ； 1＋tan x
解
正切函数图像及性质市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
思索3：依据相关诱导公式，你能判断正切函数含 有奇偶性吗？ 提醒: 由诱导公式 tan(x) tan x, x R, x k, k
2
知 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
第5页
思索4：观察图中正切线，当
y
T2
角在 ( , ) 内增加时，正切
22
函数值发生什么改变？由此反
O
Ax
3
3
所以，函数单调递增区间是
( 5 2k, 1 2k), k . 33
掌握正切函 数性质是处 理这类问题
关键
第15页
【变式练习】
求函数 y＝tan3x－π3的定义域，并指出它的单调 性．
【解题关键】 把 3x－π3看作一个整体，借助于正切函数的定义 域和单调区间来解决．
第16页
解析：要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x
－π3≠kπ＋π2(k∈Z)，得 x≠k3π＋51π8(k∈Z)，
∴函数的定义域为xx≠k3π＋51π8，k∈Z
.
令 kπ－π2<3x－π3<kπ＋π2(k∈Z)，
即k3π－1π8<x<k3π＋51π8(k∈Z)．
第17页
∴函数的单调递增区间为k3π－1π8，k3π＋51π8(k∈Z)，不 存在单调递减区间．
2
正切曲线是由被相互平行直线 所隔开无穷多支曲线组成.
x= k, k Z 2
第10页
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π.( ) (4)函数 y＝tan x 为奇函数，故对任意 x∈R 都有 tan(－x)＝－tan x. ( )
正弦、余弦、正切函数省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
cosB＝ 2 ，则BC旳长为________． 3
5 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA ＝ 旳长是( )
A．2 B．8 C．2 5 D．4 5
1 2，则BC
总结
求锐角旳正弦值旳措施： 1．没有直接给出对边或斜边旳题目，一般先根据勾
股定理求出所需旳边长,再求正弦值． 2．没有给出图形旳题目，一般应根据题目，画出符
下面图1和图2中各有一种比较陡旳梯子，你能把它 们找出来吗？说说你旳理由。
图1
图2
w 一样长旳梯子旳陡、梯子旳放置角度（倾 斜角）、垂直高度和水平宽度它们之间有什么 关系？
梯子越陡——倾斜角＿＿越＿大＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与梯子长旳比＿越＿大＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子长旳比＿＿越＿小＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与水平宽度旳比＿越＿大＿＿＿
合题意旳图形，搞清所求角旳对边与斜边，再求 对边与斜边旳比． 3．题目中给出旳角不在直角三角形中，应先构造直 角三角形再求解．
延伸：由上面例1旳计算，你能猜测∠A，∠B旳正弦、余弦、正 切值有什么规律吗？
结论：一种锐角旳正弦等于它余角旳余弦，或一种锐角旳余弦 等于它余角旳正弦，两个角∠A，∠B旳正切值旳乘积等于1.
tan
A＝
A的对边 A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意旳几种问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义旳, ∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一种完整旳符号,表达∠A旳正切, 习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA, 是一种比值.注意比旳顺序,且 sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.
5 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA ＝ 旳长是( )
A．2 B．8 C．2 5 D．4 5
1 2，则BC
总结
求锐角旳正弦值旳措施： 1．没有直接给出对边或斜边旳题目，一般先根据勾
股定理求出所需旳边长,再求正弦值． 2．没有给出图形旳题目，一般应根据题目，画出符
下面图1和图2中各有一种比较陡旳梯子，你能把它 们找出来吗？说说你旳理由。
图1
图2
w 一样长旳梯子旳陡、梯子旳放置角度（倾 斜角）、垂直高度和水平宽度它们之间有什么 关系？
梯子越陡——倾斜角＿＿越＿大＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与梯子长旳比＿越＿大＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子长旳比＿＿越＿小＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与水平宽度旳比＿越＿大＿＿＿
合题意旳图形，搞清所求角旳对边与斜边，再求 对边与斜边旳比． 3．题目中给出旳角不在直角三角形中，应先构造直 角三角形再求解．
延伸：由上面例1旳计算，你能猜测∠A，∠B旳正弦、余弦、正 切值有什么规律吗？
结论：一种锐角旳正弦等于它余角旳余弦，或一种锐角旳余弦 等于它余角旳正弦，两个角∠A，∠B旳正切值旳乘积等于1.
tan
A＝
A的对边 A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意旳几种问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义旳, ∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一种完整旳符号,表达∠A旳正切, 习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA, 是一种比值.注意比旳顺序,且 sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.
正切函数的图像和性质 -公开课PPT课件
8
O1
4
8
3
8
4
8
O
2
A
3
x
84 8 2
8
4
3
8
y
3
2
1
0
2
-1
2
3 x
2
y tan x
正切曲线是由被相互平行的直线
x
k
(k Z)
所隔开的无穷多支曲线组成的。 2
正切函数y tan x的图象
…
-
5 2
-2
-
3 2
-
-
2
…
3
2 5
2
2
2
定义域 值域 周期 奇偶性
单调区间
1. 求y tan(x )的单调区间 (x 3 k , k Z)
5
10
( 7 k , 3 k ) k Z
10
10
2.求函数y tan(2x )的单调区间.
4
令t 2x ,则y tan t,且t 2x
4
4
当k t k 时y tan t (k Z )
(2) tan 13 与 tan 17
4
5
tan138 tan143
tan 17 tan 13
5 4
比较大小方法：1、将角转化在同一个单调区间 2、利用正切函数的单调性
例7、直线y a(a为常数)与y tan x的相邻两支 的交点间的距离是多少 ？
解：由图象
ya
间隔是 多少？
x k , k Z
2
R
奇函数 区间: (k ,k )
2
2
无对称轴 所有的对称中心
( k
2
《正切函数的性质与图像》精品PPT课件
2
2
减区间：[2kπ ，2kπ 3π] （k Z）
4、奇偶性： 奇函数
2
2
正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
三角函数线 动画演示
移动 点
正弦线:MP
sinα=y = 0.764
余弦线:OM
cosα=x = 0.645
正切线:AT
tanα=y/x = 1.185
P: (0.645, 0.764)
3
变式问题
1：讨论函数
y
tan(
x
) 的性质。
63
变式问题 2：求函数 y 3 tan( x ) 的
63
周期和单调区间。
正切函数是周期函数，周期是π.
y
tan(
x
)(
0)
函数 f (x) A tan(x ) 的周期是什么？
解析：设此函数周期为T，则有 f (x T ) f (x)
又由 f (x T ) A tan[(x T ) ]
1.8
1.6
1.4
1.2
T
1
0.8
P
0.6
0.4
0.2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
O
M 0.5
1A
1.5
2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
渐进线 渐进线
正 切 函 数 图 像
性质 :
⑴
定义域：
x
|
x
R,
x
k
2
,
k
Z
⑶ 周期性：
⑵ 值域： R
1 正切 (2) 公开课一等奖课件
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是692 。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀 是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
19．(9 分)一河坝横断面如图所示，BC∥AD，AB ＝CD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度为 i＝1∶1.5，求坝底 AD 的长度为多少米？
解：作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F，∵BC∥AD， AB＝CD，∴AE＝DF，在 Rt△ABE 中，∵i＝1∶1.5 ＝ABEE＝A12E＝11.5，∴AE＝18，∴AD＝2AE＋BC＝36 ＋10＝46(米)，即：坝底长为 46 米．
1 A.3
B．3
2 C. 4
D．2 2
正切函数ppt课件
21
例题分析
例 2. 求函数y tan(x )的定义域、值域和单调区间.
4
解:
设t
x
4
,
则y
tan
t的定义域为t
t
R且t
k
+
2
,
k
Z
x k ,
4
2
x k
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
k
4
,
k
Z
值域 : R
y
tan
t的单调增区间是
-
2
k
,
2
k
,
k
Z
32kkxx42k
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
π
π
3π
2π
5π
2
2
2
9
10
11
例题分析
12
13
14
例4 求下列函数的值域：
15
小结：正切函数的图像和性质
16
17
18
19
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
例题分析
例 2. 求函数y tan(x )的定义域、值域和单调区间.
4
解:
设t
x
4
,
则y
tan
t的定义域为t
t
R且t
k
+
2
,
k
Z
x k ,
4
2
x k
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
k
4
,
k
Z
值域 : R
y
tan
t的单调增区间是
-
2
k
,
2
k
,
k
Z
32kkxx42k
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
π
π
3π
2π
5π
2
2
2
9
10
11
例题分析
12
13
14
例4 求下列函数的值域：
15
小结：正切函数的图像和性质
16
17
18
19
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
《锐角三角函数第一课时正切》优质课获奖教学课件
2 2 1 1
一个固定值
。
=
2
A
C2 C1
1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
还成立吗？
建立模式 探求新知
正切定义
在 △ 中,如果锐角确定，
那么，∠的对边与邻边
这个比叫
的比值也随之确定，
B
做 ∠的正切. 记作:
Байду номын сангаас
斜边c
∠A的对边 a
A
∠A的邻边
b
除了∠A的对边与邻边的比值不变外，还有哪些比值也是固定
不变的？
2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡。
谢 谢
还成立吗？
建立模式 探求新知
探索思考
B1
B2
∙
(1) △ 11和 △ 22 有什么关系?
△ 11~ △ 22
(2)
2 2
1 1
2 和 1
有什么关系?
2 2 1 1
=
2
1
A
C2 C1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
还成立吗？
建立模式 探求新知
探索思考
(1) △ 11和 △ 22 有什么关系?
B1
B2
△ 11~ △ 22
∙
(2)
2 2
1 1
2 和 1
有什么关系?
2 2 1 1
=
2
1
A
C2
C1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
=
12
5
， =
5
12
B
.
13
A
12
5
C
应用巩固 形成技能
一个固定值
。
=
2
A
C2 C1
1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
还成立吗？
建立模式 探求新知
正切定义
在 △ 中,如果锐角确定，
那么，∠的对边与邻边
这个比叫
的比值也随之确定，
B
做 ∠的正切. 记作:
Байду номын сангаас
斜边c
∠A的对边 a
A
∠A的邻边
b
除了∠A的对边与邻边的比值不变外，还有哪些比值也是固定
不变的？
2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡。
谢 谢
还成立吗？
建立模式 探求新知
探索思考
B1
B2
∙
(1) △ 11和 △ 22 有什么关系?
△ 11~ △ 22
(2)
2 2
1 1
2 和 1
有什么关系?
2 2 1 1
=
2
1
A
C2 C1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
还成立吗？
建立模式 探求新知
探索思考
(1) △ 11和 △ 22 有什么关系?
B1
B2
△ 11~ △ 22
∙
(2)
2 2
1 1
2 和 1
有什么关系?
2 2 1 1
=
2
1
A
C2
C1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
=
12
5
， =
5
12
B
.
13
A
12
5
C
应用巩固 形成技能
正切函数的图像及性质PPT优秀课件
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
4
24
注意：不要与正弦型函数和余弦型函数的
周期公式混淆了…… 函数y=Asin(ω x+Ф )的周期
T 2
函数y=Acos(ω x+Ф )的周期
T 2
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
例3.比较下列各组数的大小
1 . tan1670 与 tan1730
2.tan(11 )与 tan(13 )
3 8
， 4
，
8
，8
，4
3 ，8
o
3 0 3
2 848
84 8 2
由正切函数的周期性，把图象向左、向右 扩展，得到正切函数的图象，称为正切曲线
y
y=tanx
1 x
-3/2 - -/2
0 /2
3/2
-1
从x图中2可k以看,(出k, 正Z切)曲所线隔是的由无被穷相多互支平曲行线的组直成线的.
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
4
24
注意：不要与正弦型函数和余弦型函数的
周期公式混淆了…… 函数y=Asin(ω x+Ф )的周期
T 2
函数y=Acos(ω x+Ф )的周期
T 2
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
例3.比较下列各组数的大小
1 . tan1670 与 tan1730
2.tan(11 )与 tan(13 )
3 8
， 4
，
8
，8
，4
3 ，8
o
3 0 3
2 848
84 8 2
由正切函数的周期性，把图象向左、向右 扩展，得到正切函数的图象，称为正切曲线
y
y=tanx
1 x
-3/2 - -/2
0 /2
3/2
-1
从x图中2可k以看,(出k, 正Z切)曲所线隔是的由无被穷相多互支平曲行线的组直成线的.
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
正切函数图像与性质说课课件
正切函数图像与性质说课 课件
• 引言 • 正切函数的图像 • 正切函数的性质 • 正切函数的应用 • 教学方法和手段 • 课程评价与反馈
01
引言
主题简介
正切函数
正切函数是三角函数中的一种， 它描述了直角三角形中锐角的对 边与邻边的比值。
重要性
正切函数在数学、物理和工程等 领域有广泛应用，是解决实际问 题的重要工具。
绘制工具
可以使用数学软件（如GeoGebra、 Desmos等）或编程语言（如 Python、Matlab等）进行绘制。
图像特点
正切函数的图像是一个周期函数， 周期为π，在每一个周期内呈现出先 增后减的变化趋势。
图像的周期性和对称性
周期性
正切函数的图像具有周期 性，周期为π，即每隔π个 单位长度，图像重复出现。
在求解三角形、解决几何问题以及进行物理模拟等方面，正切函数都扮演着重要的 角色。
在解析几何中，正切函数常用于研究直线的斜率和倾斜角，以及曲线的切线等。
在日常生活中的应用
在日常生活和工程实践中，正 切函数的应用也十分广泛。
例如，在测量、机械设计、建 筑等领域中，经常需要用到正 切函数来计算角度、长度等参 数。
奇偶性证明
根据正切函数的定义，tan(x)=sin(x)/cos(x)，所以对于任意x， 有tan(-x)=sin(-x)/cos(-x)=-sin(x)/cos(x)=-tan(x)。
单调性
单调性
正切函数在其定义域内是单调递增的 。这意味着随着x的增加，tan(x)的 值也在增加。
单调性证明
对于任意x1<x2，有tan(x1)<tan(x2)， 因为tan(x)的导数=sec^2(x)>0。
• 引言 • 正切函数的图像 • 正切函数的性质 • 正切函数的应用 • 教学方法和手段 • 课程评价与反馈
01
引言
主题简介
正切函数
正切函数是三角函数中的一种， 它描述了直角三角形中锐角的对 边与邻边的比值。
重要性
正切函数在数学、物理和工程等 领域有广泛应用，是解决实际问 题的重要工具。
绘制工具
可以使用数学软件（如GeoGebra、 Desmos等）或编程语言（如 Python、Matlab等）进行绘制。
图像特点
正切函数的图像是一个周期函数， 周期为π，在每一个周期内呈现出先 增后减的变化趋势。
图像的周期性和对称性
周期性
正切函数的图像具有周期 性，周期为π，即每隔π个 单位长度，图像重复出现。
在求解三角形、解决几何问题以及进行物理模拟等方面，正切函数都扮演着重要的 角色。
在解析几何中，正切函数常用于研究直线的斜率和倾斜角，以及曲线的切线等。
在日常生活中的应用
在日常生活和工程实践中，正 切函数的应用也十分广泛。
例如，在测量、机械设计、建 筑等领域中，经常需要用到正 切函数来计算角度、长度等参 数。
奇偶性证明
根据正切函数的定义，tan(x)=sin(x)/cos(x)，所以对于任意x， 有tan(-x)=sin(-x)/cos(-x)=-sin(x)/cos(x)=-tan(x)。
单调性
单调性
正切函数在其定义域内是单调递增的 。这意味着随着x的增加，tan(x)的 值也在增加。
单调性证明
对于任意x1<x2，有tan(x1)<tan(x2)， 因为tan(x)的导数=sec^2(x)>0。
正切函数_图文.ppt
的终边
P(x,y)
y tan x
x 0 的终边不在y轴上
M
x
k (k z ) 2
3
2、回顾三角函数线
如：函数y=tan（2x－
5 k , k z} ）的定义域是__________ 12 2 {
回顾思考：
1.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标：
1.熟悉正切函数的曲线特征，通过图象了解 正切函数的性质。 2.能够运用正切函数的性质解决一些实际问 题。
重点：正切函数的图象及其主要性质。 难点：利用正切线画出 y=tanx，x∈（－ ， ）的图象。 2 2
复习导入：
y
1、正切函数是如何定义的？
1 y=2tan（ 3
1 x－ ）最小正周期为_______ 2
3
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？ 由诱导公式知 如：函数y=tan（2x－ ）的 3 对称中心是？
f ( x ) tan ( x ) tan x f (x ) , x R, x
联想：由正弦线作正弦函数的图形
y P
注意：三 T 角函数线 是有向线 段
A(1,0)
1、我们根据什么可以做正切函数 2
-1
O
M
x
2
的图形？
根据正切线AT
2、利用正切线，如何画正切函数 y=tanx在x∈ 2 （－ 2 ， 2 ）上的图象？
y tan x 利用正切线画出函数 ，x ， 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
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【设计说明】 练习题1、3达到对基础知识的 训练. 练习2不仅使基础知识得到巩固，而且发 展学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进 一步深化，同时也增强了学生学习的兴趣.
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24
总 结 反 思 、 强 化 新 知
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（四）总结反思、强化新知
【设计说明】 引导学生学会反思、归纳所学 的知识、总结学习方法.从知识和方法两方面回顾 ，要求学生不光要学习知识，还要学会解决问题 的方法.养成回顾、思考、提炼、升华所学知识的 好习惯,将所学的知识系统化.
（2）掌握正切的表示方法，并能运用正切、 坡度解决问题.
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4
二.教学目标
｛ 教学目标
1、知识与技能 2、过程与方法
让学生经历多次猜想、验证，在不断的否定 与肯定的过程中，探究如何描述坡面的倾斜程度， 培养学生思维的批判性、深刻性．
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5
二.教学目标
｛ 教学目标
1、知识与技能 2、过程与方法
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 体会数学来源于生活并运用于 生活，同时解决情境引入中提出的问题.这里隐含 两层意思：一是在直角三角形中，锐角越大，它 对应的正切值就越大；二是在实际中坡度和坡角 都可以用来判别坡面的倾斜程度.
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20
6. 典例示范
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 例1巩固正切的概念，进一步 落实教学目标. 例2通过计算正切值判断梯子的 倾斜程度.这里学生首先要知道利用什么知识，然 后才能解决问题，达到学以致用的目的，比例1的 要求更高.
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22
题 组 训 练 、 巩 固 新 知
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23
（三）题组训练、巩固新知
24.1 锐角的三角函数 正切
安徽省淮北市海宫学校 牛新荣
.精品课件.
1
一.教学内容 二.教学目标 三.教学重、难点 四.教学过程展示
.精品课件.
2
一.教学内容
上海科学技术出版社教材九年级上册
24.1 锐角的三角函数 正切
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3
二.教学目标
｛ 教学目标
1、知识与技能
（1）理解正切、坡度的概念，正切与坡度 的关系；
给验证结果下准确结论,并结合图形进行准 确地符号表达.通过数形结合的思维训练来探索数 学规律,学习数学概念,有利于提高教学的有效性.
趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于
学生深入认识正切的定义，.精品初课件步. 实现教学目标.
18
5. 回归情境引入
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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合 作 交 流 、 探 究 新 知
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13
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 将实际问题抽象成数学问题， 让学生体会建模的思想.同时让学生知道否定一个 结论的常用方法---举反例.经历一次次的否定， 培养学生思维的批判性.同时激发了学生继续探究 的欲望.
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14
3. 探究是不是可以用“直角三角形两边的比”来描述坡面的倾斜程度
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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15
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 通过相似沟通了直角三角形中 的边、角关系，从而变换角度继续探讨，符合学 生的认知规律.此时学生的思维豁然开朗，同时 培养了学生思维的深刻性. 此环节的设计正是数 学思维的开阔性，多角度，多方位性的展现. 师 生的共同努力淋漓尽致地演绎了数学体现在思维 艺术上的美.从而解决了本节课的第一个难点.
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4. 探究锐角和锐角的对边与邻边的比之间的关系
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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17
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 借助几何画板的动态演示，从运动的角 度来实施动态化、形象化、直观化教学，进行图形的动 画演示、验证，揭示了∠A的对边与∠A的邻边的比和∠A 这两个变量之间一一的对应关系，因此学生会大胆地得 出结论：正切就是反应直角三角形中锐角的对边与邻边 的比值和∠A之间的一种函数.从而确信正切概念建立的科 学性.几何画板为学生分散、突破难点提供了较好的素材.
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1. 探究是不是可以用“坡角”来描述坡面的倾斜程度
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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11
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 学生对亲身经历、息息相关 的事情有体验、有感受，更愿意积极投入去探 究新知.
.精品课件.的一边”来描述坡面的倾斜程度
3、情感与态度
经历正切概念的探索过程，体会从生活中的 问题抽象出数学模型的建模思想、数形结合的重 要性、体验角度和数值一一对应的函数思想，培 养学生的符号意识.体会正切在生活中的应用.
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6
三.教学重、难点
【重点】 正切概念的探究
【难点】
1.在正切概念的探究过程中，如何想到利用直 角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程 度以及把比值和角度联系起来
2.理解正切的概念.
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四.教学过程展示
教学流程图
创
合
题
总
布
设
作
组
结置
情
交
训
反
作
境
流
练
思
业
→ →→→
引
探
巩
强
应
入
究
固
化用
新
新
新
新
新
知
知
知 .精品课件.
知
知
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创 设 情 境 、 引 入 新 知
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（一）创设情境、引入新知
【设计说明】 通过实际问题，创设情境，让 学生体会数学来源于生活，诱导学生积极思维， 引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和 探讨问题的欲望.
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谢 谢
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总 结 反 思 、 强 化 新 知
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（四）总结反思、强化新知
【设计说明】 引导学生学会反思、归纳所学 的知识、总结学习方法.从知识和方法两方面回顾 ，要求学生不光要学习知识，还要学会解决问题 的方法.养成回顾、思考、提炼、升华所学知识的 好习惯,将所学的知识系统化.
（2）掌握正切的表示方法，并能运用正切、 坡度解决问题.
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二.教学目标
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1、知识与技能 2、过程与方法
让学生经历多次猜想、验证，在不断的否定 与肯定的过程中，探究如何描述坡面的倾斜程度， 培养学生思维的批判性、深刻性．
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二.教学目标
｛ 教学目标
1、知识与技能 2、过程与方法
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 体会数学来源于生活并运用于 生活，同时解决情境引入中提出的问题.这里隐含 两层意思：一是在直角三角形中，锐角越大，它 对应的正切值就越大；二是在实际中坡度和坡角 都可以用来判别坡面的倾斜程度.
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6. 典例示范
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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21
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 例1巩固正切的概念，进一步 落实教学目标. 例2通过计算正切值判断梯子的 倾斜程度.这里学生首先要知道利用什么知识，然 后才能解决问题，达到学以致用的目的，比例1的 要求更高.
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题 组 训 练 、 巩 固 新 知
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（三）题组训练、巩固新知
24.1 锐角的三角函数 正切
安徽省淮北市海宫学校 牛新荣
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一.教学内容 二.教学目标 三.教学重、难点 四.教学过程展示
.精品课件.
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一.教学内容
上海科学技术出版社教材九年级上册
24.1 锐角的三角函数 正切
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3
二.教学目标
｛ 教学目标
1、知识与技能
（1）理解正切、坡度的概念，正切与坡度 的关系；
给验证结果下准确结论,并结合图形进行准 确地符号表达.通过数形结合的思维训练来探索数 学规律,学习数学概念,有利于提高教学的有效性.
趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于
学生深入认识正切的定义，.精品初课件步. 实现教学目标.
18
5. 回归情境引入
合 作 交 流 、 探 究 新 知
.精品课件.
19
合 作 交 流 、 探 究 新 知
.精品课件.
13
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 将实际问题抽象成数学问题， 让学生体会建模的思想.同时让学生知道否定一个 结论的常用方法---举反例.经历一次次的否定， 培养学生思维的批判性.同时激发了学生继续探究 的欲望.
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3. 探究是不是可以用“直角三角形两边的比”来描述坡面的倾斜程度
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 通过相似沟通了直角三角形中 的边、角关系，从而变换角度继续探讨，符合学 生的认知规律.此时学生的思维豁然开朗，同时 培养了学生思维的深刻性. 此环节的设计正是数 学思维的开阔性，多角度，多方位性的展现. 师 生的共同努力淋漓尽致地演绎了数学体现在思维 艺术上的美.从而解决了本节课的第一个难点.
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4. 探究锐角和锐角的对边与邻边的比之间的关系
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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17
（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 借助几何画板的动态演示，从运动的角 度来实施动态化、形象化、直观化教学，进行图形的动 画演示、验证，揭示了∠A的对边与∠A的邻边的比和∠A 这两个变量之间一一的对应关系，因此学生会大胆地得 出结论：正切就是反应直角三角形中锐角的对边与邻边 的比值和∠A之间的一种函数.从而确信正切概念建立的科 学性.几何画板为学生分散、突破难点提供了较好的素材.
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1. 探究是不是可以用“坡角”来描述坡面的倾斜程度
合 作 交 流 、 探 究 新 知
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（二）合作交流、探究新知
【设计说明】 学生对亲身经历、息息相关 的事情有体验、有感受，更愿意积极投入去探 究新知.
.精品课件.的一边”来描述坡面的倾斜程度
3、情感与态度
经历正切概念的探索过程，体会从生活中的 问题抽象出数学模型的建模思想、数形结合的重 要性、体验角度和数值一一对应的函数思想，培 养学生的符号意识.体会正切在生活中的应用.
.精品课件.
6
三.教学重、难点
【重点】 正切概念的探究
【难点】
1.在正切概念的探究过程中，如何想到利用直 角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程 度以及把比值和角度联系起来
2.理解正切的概念.
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四.教学过程展示
教学流程图
创
合
题
总
布
设
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组
结置
情
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反
作
境
流
练
思
业
→ →→→
引
探
巩
强
应
入
究
固
化用
新
新
新
新
新
知
知
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知
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【设计说明】 通过实际问题，创设情境，让 学生体会数学来源于生活，诱导学生积极思维， 引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和 探讨问题的欲望.
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