第六讲 公理化思想及构成公理化体系的要求
公理化的基本思想
公理化的基本思想
题目：
公理化方法的基本思想及其优越性、局限性?
答案：
基本思想:从尽可能产的原始概念和原始命题出发,经过严格的逻辑推理,建立起理论体系的方法。
严格按照逻辑规律、逻辑原则运行,用尽可能少的原始命题、原始概念是这个方法的基本要求。
优越性:①具有逻辑简单性;②具有可检验性;②具有逻辑严谨性;可缩短学习的进程。
局限性:即公理化体系的不完备性。
①任何一个公理化体系不可能既是完备的,又是无矛盾的;②任何一个公理化体系,都是人类认识的一个阶段的总结,都是不可能是绝对严格、绝对完备的。
延伸：
公理化思想是指以某些命题为前提，只用它们，不用其他假设进行推理而建立数学理论的思想。
支撑近现代数学的基本思想。
早在公元前 3 世纪，希腊数学家欧几里得用由反复实践所证实而被认为不需要证明的少数命题为前提，用逻辑推理的方法，将前人在几何方面的研究成果整理成《几何原本》，这些少数命题被称为公理或公设。
从尽可能少的不定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的命题(公理)出发，经过精确定义和逻辑推理而得到其他的全部概念和定理的系统的方法。
公理化方法最早是由希腊数学家欧几里得系统运用的。
在其所著的《几何原本》里首先定义了基本概念，包括点、线、面、角、圆、三角形等，然后提出了5个公设和5个公理，之后由这些公设和公理通过演绎推理得到命题。
演绎推理中每个证明必须以公理，或者被证明了的定理为前提。
纵观中国史书，并没有任何一本可以与欧几里得几何可以相媲美的知识体系和思维的严密性，四书五经只能算是伦理学的规范，合理性也没有得到任何的证明，却充当了限制人灵魂的清规戒律。
公理化体系
公理化体系公理化体系今天，公理方法在数学研究中受到普遍重视，但在自然科学研究中却受到普遍怀疑和抑制。
这种情况是与科学发展的历史相关的。
众所周知，公理化体系最先是由欧几里得创立的。
所谓公理本意是指人们公认的、无需证明的道理。
正因为如此，欧几里得的几何学一度被认为是绝对真理。
但非欧几何的出现改变了人们关于公理的观念，特别是，面对以互为否定的命题为前提建立的不同公理体系，数学家们开始困惑了：数学能够揭示真理吗？这个问题又可分解为：数学是反映什么的？数学真理是什么真理？公理理论是纯数学的还是科学的共同理论？根据统一论对数学本质的揭示，数学是研究各种空间体系的科学理论。
不管是什么数学理论，它都有着固定的空间模式，几何学是这样，代数学也是这样。
当然，这个空间并不是我们生活在其中的空间，而是各种不同的数学模型。
我们所生活的空间是个现实的空间，而科学理论中的空间是一些抽象的空间，是由数学理论所界定的。
我们每一个人都生活在同一个现实空间中，但却生活在不同的理论空间中，而这正是构成不同的人文环境的原因。
不管是对自然界还是对社会的各个方面，比如对宇宙、对政治、对经济、对文化等领域，我们每个人都有不同的理解，而空间就是由这些理解构成的。
所以说，数学能够揭示真理，但它揭示的是一种主观真理。
科学真理包括主观真理和客观真理。
所谓客观真理当然是关于客体的，没有对客体的科学认识，就谈不上客观真理。
对客体的科学认识包括定性认识和定量认识，所谓定性认识是自然哲学的任务，而定量认识则是数学的任务。
所以说，自然科学就是自然哲学加数学。
牛顿把它的物理体系叫做"自然哲学的数学原理"，大概就是这个原因吧。
同样，社会科学就是社会哲学加数学。
从这点来看，今天我们称为社会科学的许多理论，它们并未应用数学或对数学的应用还很幼稚，这种理论实际上还没有进入科学阶段，还只能被叫做社会哲学。
前面说过，公理化理论由于非欧几何的出现而受到质疑。
数理逻辑的基本公理化和形式系统
数理逻辑的基本公理化和形式系统数理逻辑是研究推理和论证的科学，它通过建立形式系统和公理化推导来研究命题的真值和推理的规则。
本文将探讨数理逻辑的基本公理化和形式系统。
一、公理化方法的引入公理化方法是数理逻辑的核心思想之一。
公理化方法的基本思想是通过一组公理来描述命题的性质和推理的规则，从而建立一个形式系统。
这个形式系统由符号和推导规则组成，通过这些规则可以从公理推导出定理。
二、形式系统的构建形式系统是数理逻辑的基础，它由符号、公式和推导规则组成。
符号是形式系统中的基本元素，可以是命题符号、逻辑连接词和量词等。
公式是由符号按照一定规则组合而成的表达式，用来表示命题的真值。
推导规则则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
三、数理逻辑的基本公理数理逻辑的基本公理是构建形式系统的基础，它们是不需要证明的前提，用来描述命题的性质和推理的规则。
基本公理一般包括恒真式、恒假式和等价式等。
恒真式是指在任何情况下都为真的命题，如“P∨¬P”，表示“P或非P”。
恒假式是指在任何情况下都为假的命题，如“P∧¬P”，表示“P且非P”。
等价式是指两个命题在任何情况下都具有相同的真值，如“P→Q≡¬P∨Q”，表示“如果P成立，则Q成立”。
四、形式系统的推导规则形式系统的推导规则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
常见的推导规则包括假言推理、析取三段论和消解等。
假言推理是指从一个条件命题和它的前提出发，推导出结论的过程，如“如果P成立，则Q成立；P成立，因此Q成立”。
析取三段论是指从两个条件命题的析取式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“P∨Q；¬P，因此Q”。
消解是指从两个条件命题的否定式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“¬P∨¬Q；P，因此¬Q”。
五、数理逻辑的应用数理逻辑在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
公理化思想的内涵
公理化思想的内涵公理化思想的内涵、发展、作用及学习数学史的感受08数学教育2班颜运020********公理化方法是自然科学, 特别是数学的重要逻辑演绎工具。
长期以来人们对公理化方法研究不止,存在不同的看法和争议,并由此而不断产生新的科学分支。
因此, 公理化方法研究总是充满生机的。
一、数学公理化思想的内涵数学公理化的目的, 就是把一门数学表述为一个演绎系统, 这个系统的出发点则是一组基本概念和若干基本命题, 基本概念必须是对数学实体的高度纯化和抽象, 而基本命题则是对基本概念相互关系的制约和规定。
显然, 公理学也并非神学, 因为公理系统乃是数学家的自由创造, 是大量数学知识的理论概括, 是数学科学推理论证的出发点, 并非象神学那样极力排斥理性, 把一切依据统统归诸于《圣经》和神的意志对于公理学的结构, 可以分为三种, 即含内容的公理学、半形式化公理学和形式化公理学。
这三种形式结构, 也就是它形式化发展的三个阶段, 即产生阶段, 完善阶段、形式化阶段。
含内容的公理学的代表作《原本》, 它流传甚广, 以至于今天在“新数”运动的尾声中, 世界各国的中学课本中的多数仍然受着它的传统影响。
半形式化公理学的代表作是《几何学基础》, 正是因为如此, 才使得希尔伯特成为现代数学中的公理方法的奠基人”。
然而, 一个数学分支公理化的完成, 也并不意味着是它的最后终结, 而是促使这一分支进一步地向前发展, 自希尔伯特以后, 公理化方法己渗透到几乎所有的纯数学的领域。
形式化公理学的代表作是希尔伯特1 9 0 4 年在海德堡召开的第三届国际数学会议上所提交的一篇关于大致描画证明论的论文, 其基本思想就是采用符号语言把一个数学理论的全部命题变成公式的集合, 然后证明这个公式的集合是无矛盾的。
由于公理方法的进一步形式化, 不仅推动着数学基础的研究, 而且还推动着现代算法论的研究, 并为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。
公理化方法(精)
现代公理法的意义与作用
公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
进一步的工作
集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
《公理化体系》
公理化方法公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
简介恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。
公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用．历史发展产生公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．发展公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC 公理系统。
公理化体系-概述说明以及解释
公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。
它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。
公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。
在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。
公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。
通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。
公理化体系的构建方法可以有多种。
通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。
然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。
在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。
公理化体系的应用领域非常广泛。
在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。
在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。
在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。
总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。
通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。
公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。
随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。
文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。
下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。
在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。
公理化思想
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公理化思想
数学研究客观世界的数量关系和空间形式，我们只有通过证明才能说明一个数学结论的正确性，而不是像研究物理和化学一样通过实验来说明。
数学里的证明借助于逻辑推理，每步推理都是在一个大前提下进行的，当我们一步步往前推想时就会发现总要有一个不可定义的概念或公理存在。
也就是说要建立一门严格的理论体系，就要先给出某些不加定义的概念或公设、公理，在此基础上经过精确定义或逻辑推理建立该体系的其它定义或定理。
像这样从一组原始概念和一组公理出发，运用逻辑推理规则，将一门学科理论建立成演绎系统的思想方法就叫做公理化思想方法。
公理化思想是数学发展过程中一种具有深远影响的思想。
古希腊数学家欧几里得是开创这一思想方法的先驱，尽管在严格性上有所欠缺，但他的《几何原本》一书的确为人们树立了用公理化方法建立数学演绎系统的典范。
围绕其中的一些不足，主要是第五公设问题，后来的数学家展开了历时近两千年的讨论和研究，直到19世纪非欧几何的诞生。
1899年，大数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中对公理化思想进行了系统的阐述，他给出了一个简明、完整的形式化公理体系，并提出了有关公理系统的一系列原则，从而使得公理化思想得到了更大的发展，并被许多其它学科所采用。
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公理系统
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第一种情况定义了经典的演绎方法。第二种采用了博学点，一般化这个口号;它和概念可以和应该用某种内在 的自然的广泛性来表达的假设是一致的。第三种在20世纪数学中有显著的位置，特别是欧几里得公理 利用这些公理可以得到欧几里得几何学。修改第五条公理可以得到非欧几何学。 皮亚诺公理 1.0是自然数； 2.每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a'，a'也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后 面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等）； 3.0不是任何自然数的后继数； 4.如果b、c的后继数都是自然数a，那么b=c； 5.任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n'也 真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性） 根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 柯尔莫果洛夫公理
性质
一个公理系统称为自洽（或称相容、一致性），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及 其否定的能力。
在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。一个系统称 为独立的，若它的每个公理都是独立的。
虽然独立性不是一个系统的必要需求，自洽性却是必要的。一个公理系统称为完备的，若每个命题都可以导 出或其否定可以导出。
模型
公理系统的数学模型是一个定义严谨的集合，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统 中所定义的关系一致的方式。具体模型的存在性能证明系统的自洽。
模型也可以用来显示一个公理在系统中的独立性。通过构造除去一个特定公理的子系统的正确模型，我们表 明该省去的公理是独立的，若它的正确性不可以从子系统得出。
数理逻辑的公理化理论
04 数理逻辑的公理化理论的 应用
数学基础研究
1 2 3
数学证明
数理逻辑的公理化理论为数学证明提供了形式化 的基础，使得数学定理的证明过程更加清晰、准 确和易于理解。
数学体系构建
通过数理逻辑的公理化理论，可以构建各种数学 体系，如集合论、实数理论等，为数学学科的发 展提供坚实的逻辑基础。
数学哲学思考
数理逻辑的重要性
数理逻辑是数学的基础，它为数学提供了严格的逻辑基础，确保数学理论的正确 性和一致性。
数理逻辑在计算机科学中也有广泛应用，它是设计和分析计算机程序、算法和数 据结构的重要工具。
数理逻辑的公理化理论简介
公理化理论是数理逻辑中的一个重要概念，它通过一组基本 的、不证自明的公理来定义数学概念和推理规则。
公理化理论的目标是建立一个一致、完备和自洽的数学体系 ，以确保数学推理的有效性和正确性。
02 数理逻辑的公理化理论概 述
公理化方法的起源与发展
公理化方法的起源
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》 中首次采用公理化方法，通过五条公 理和五条公设构建了平面几何的理论 基础。
公理化方法的发展
随着数学和科学的不断进步，公理化 方法逐渐扩展到各个领域，成为现代 科学理论的重要构建方式。
详细描述
集合论公理体系由一系列基本公理和推理规则组 成，用于推导和证明集合之间的逻辑关系。这些 公理和推理规则基于集合论的直观，具有很高的 可靠性和完备性。
详细描述
集合论公理体系包括并集公理、交集公理、差集 公理等，这些公理用于描述集合的基本性质和关 系。此外，该体系还包括一些常用的推理规则， 如分离规则、重写规则等。
数理逻辑的公理化理论
目录
• 引言 • 数理逻辑的公理化理论概述 • 数理逻辑的公理体系 • 数理逻辑的公理化理论的应用 • 数理逻辑的公理化理论的未来发展
公理化方法
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
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公理化方法举例
数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮 亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理 数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之 上，复数集建立在实数集之上。
自然数
皮亚诺公理：集合N如果满足下列一组公理，那么N叫做 自然数集，N的元素叫做自然数。 （1）1∈N； （2）对N中每一个元素n，在N中有且仅有一个确定的后 继元； （3）对N中任意元素n， n ≠1； n m （4）对N中任意两个元素n，m，如果 ， 那么n=m； （5）归纳公理：如果N的子集M满足①1∈M，②当n∈M 时， n ∈M，那么M=N。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n m = (n m ) （2）n+ 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
整数
设D={（m，n）∣m，n∈N}， 在该集合上定义关系：（m，n）∽（p，q）当且仅当 m+q=n+p 上述关系是等价关系,它将集合D划分成若干等价类，把 每一等价类叫做一个整数,一切整数所组成的集合叫做 整数集，记为Z。 在集合Z上定义加法：（m，n）+（p，q）=（m+p，n+q） 在集合Z上定义乘法：（m，n）（p，q）=（mp+nq， mq+np）
第6课时3.2公理化思想简介
就是说榜上最后一名是我孙山，你的儿子还 在孙山后面，即：“你的儿子没有考取”.同乡 一听，心知肚明，点了点说：“知道了”.从此 以后，人们就用“名落孙山”来表示没有考中.
“名落孙山”和“没有考取”这两个 语句表达的都是同一个命题.但“名落孙 山”要比直说“没有考取”委婉含蓄得 多.
张齐贤巧断分财不均案
阿凡提凭自己的智慧、巧借逻 辑的力量化险为夷.
公理化思想简介
吴文俊先生说：贯穿在整个数学发展 历程中有两个中心思想——公理化思想 和数学机械化思想.现代数学的多数分支 的建构是受到公理化思想的影响的，或 者是按照公理化思想完成的.公理化思想 在常人听来一定是觉得高深莫测，但真 的是这样吗？
当年哥伦布在酒吧间受到一伙不逞 之徒的奚落，哥伦布为了教训他们，指 着桌上的熟鸡蛋说“谁能将蛋立在桌 上？”…最后还是哥伦布自己解决了问 题，只见他将蛋重重地往桌上一敲即成。 原来哥伦布的问题中并没有约定不能弄 破蛋，而这帮伙徒们却不分析条件只凭 “习惯思维”，稀里糊涂地被制服了.
第6课时 第3章 数学命题 3.2公理化思想简介
故事趣说命题
典故：“名落孙山”
据宋朝范公偁的《过庭录》记载：吴人孙山 是当时有名的滑稽才子.一次，孙山准备到郡府 去考举人.一位同乡委托孙山带他的儿子一同前 往.孙山考取了最后一名，而同乡的儿子落榜.孙 山先行回乡.孙山回到家里，这个同乡就问孙山： “我的儿子考中了没有？”孙山不好直截了当地 回答，而是仿照欧阳修《踏莎行》中“平芜尽处 是春山，行人更在春山外”的句子，念了下面两 句诗：“解名尽处是孙山，贤郎更在孙山外.”
北宋时，皇帝的两个亲戚瓜分财产时发生了 争执，闹得满城风雨.他们不断向皇帝告状，请 求皇帝明断.俗话说：“清官难断家务事.”皇帝 对此事大伤脑筋，于是就把这件事交给了大臣张 齐贤处理.张齐贤把皇帝的两个亲戚都请来.先问 甲方：“您认为乙方的财产分得多，自己的财产 分得少，对不对？”甲方回答说：“对.”然后 又问乙方：“你认为甲方的财产分得多，自己的 财产分得少，对不对？”乙方回答说：“对.”
公理方法和公理体系
公理方法和公理体系公理方法和公理体系公理方法是一种通过基本假设和推理来建立数学体系的方法。
这种方法在数学研究中起着至关重要的作用，因为它提供了一个清晰、严谨、统一的框架，使得数学家们可以准确地描述和推导出各种数学结论。
一、公理方法的基本原理公理方法的基本原理是从最简单、最基本的假设出发，逐步推导出更加复杂和深入的结论。
这些最基本的假设被称为“公理”，它们通常被认为是不需要证明的真实陈述。
在建立一个数学体系时，我们必须首先确定一组适当的公理，并且保证它们之间不会产生矛盾。
二、公理体系一个完整的数学体系由三个部分组成：公理、定理和证明。
其中，公理是整个体系中最基本、最重要的部分。
如果我们能够确定正确且相互独立的一组公理，那么我们就可以通过逻辑推导来得到所有可能存在于该系统中的结论。
三、建立一个完整的数学体系1.确定适当的公理：在建立一个新的数学体系时，必须首先确定一组适当的公理。
这些公理必须既简单又明确，以便可以通过逻辑推导得到所有可能存在于该系统中的结论。
2.建立基本定义：在确定公理之后，我们需要建立一些基本定义，以便能够准确地描述和讨论各种数学对象。
3.引入符号和符号系统：为了方便表示各种数学对象和关系，我们需要引入一些符号和符号系统。
这些符号必须具有清晰、简洁、明确的含义，并且必须与公理和定义相容。
4.推导定理：在建立好公理、定义和符号系统之后，我们就可以开始推导各种定理了。
这些定理必须是从公理出发通过逻辑推导得到的结论。
5.证明定理：得到一个定理只是第一步，我们还需要证明它的正确性。
证明必须是严谨、清晰、完整的，并且必须根据公认的数学原则进行。
四、优点和局限性1.优点（1）严谨性：公理方法是一种非常严谨的方法，它可以保证数学结论的准确性。
（2）统一性：公理方法提供了一个统一的框架，在这个框架下各种数学结论可以得到一致的处理。
（3）可扩展性：公理方法可以不断地扩展和完善，从而使得新的数学领域得以发展。
公理化方法基本要求？
公理化⽅法基本要求？基本要求公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的⽽且是合理的。
因此，⼀个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：相容性这⼀要求是指在⼀个公理系统中，不允许同时能证明某⼀定理及其否定理。
反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题⾮A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了⽭盾，⽽⽭盾的出现归根到底是由于公理系统本⾝存在着⽭盾的认识，这是思维规律所不容许的。
因此，公理系统的⽆⽭盾性要求是⼀个基本要求，任何学科，理论体系都必须满⾜这个要求。
独⽴性这⼀要求是指在⼀个公理系统中的每⼀条公理都独⽴存在，不允许有⼀条公理能⽤其它公理把它推导出来，同时使公理的数⽬减少到最低限度。
完备性这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分⽀的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分⽀的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成⼀些命题的证明没有充⾜的理由。
从理论上讲，⼀个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的。
⾄于某个所讨论的公理系统是否满⾜或能否满⾜上述要求，甚⾄能否在理论上证明满⾜上述要求的公理系统确实存在等，则是另外⼀回事了。
应该指出的是，对于⼀个较复杂的公理体系来说，要逐⼀验证这三条要求相当困难，甚⾄⾄今不能彻底实现。
⽅法运⽤1．要积累⼤量的经验、数据和资料，对这些经验资料进⾏分析归纳，使之系统化，最后上升为理论。
因为公理系统的建⽴是以⼤量的事实为基础，以丰富的经验和已有的科学知识为前提的，设此⽆彼。
2．数学公理化的⽬的是要把⼀门数学整理成为⼀个演绎系统，⽽这⼀系统的出发点就是⼀组基本概念和公理。
因此，要建⽴⼀门数学的演绎系统，就要在第⼀步的基础上，从原有的资料、数据和经验中选择⼀些基本概念和确定⼀组公理，然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题。
选取的基本概念是不定义概念，必须是⽆法⽤更原始、更简单的概念去确定其涵义的，也就是说，它是⾼度纯化的抽象，是最原始最简单的思想规定。
公理化思想
公理化思想公理化思想所谓公理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本命题）出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。
所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系，而并非人们自由意志的随意创造。
所共知，希尔伯特1899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作。
该书问世后的二、三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大。
希尔伯特的几何公理系统实际是在前人的一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改。
直到1930年出第七版时，还作了最后修改。
这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程可以是包含一些发展阶段的。
公理化方法的历史发展，大致可分成三个阶段：1.是公理方法的产生阶段，大约在公元前三世纪，希腊的哲学家和逻辑学家亚里斯多德（Aristotle）总结了古代积累起来的逻辑知识，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，由此推导出别的所有三段论（共分了十九个格式）。
因此可以认为，亚里士多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。
亚里士多德的思想方法深深地影响了公元前三世纪的希腊数学家欧几里得，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》。
欧几里得从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理。
他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理。
由此出发，他运用演绎方法将当时所知的几何知识全部推导出来，这便是古代数学公理方法的一个辉煌成就。
2.是公理方法的完善阶段，如所知，欧氏几何的公理系统是不完善的，其主要的不足之处可以概括为：（1）有些定义是不自足的，亦即往往使用一些未加定义的概念去对别的概念下定义。
（2）有些定义时多余的，略去它毫不影响往后的演绎和展开。
（3）有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观。
独立思想体系·公理化思想方法
独立思想体系·公理化思想方法独立思想体系就是从几个基本概念、假设、公理、定理出发，甚至于从一个核心概念出发，通过逻辑推演，推演出一系列的定理、命题，一整套的思想体系。
而这个推演整个独立逻辑思想体系的方法就叫做公理化思想方法。
我们每个人都需要一套自己的独立思想体系，这套独立思想体系如何构建呢？那就是用公理化思想方法构建，即从一个或者基本原始概念出发，一个或者几个假设出发，一个或者几个公理出发，通过严密的逻辑演绎推理，就像一棵大树从一条根开枝阔叶，构筑一套庞大的严密的思想体系。
就像一座高楼大厦从一个根基出发，构筑一座思想理论大厦。
其实任何一门独立的科学学科，都是这么构建而来的，几何学，物理学，化学，生物学等等，无不是从几个基本的概念假设公理出发，通过层层严密的逻辑推理，演绎了一个庞大的系统的理论体系。
比如物理学是从力这个基本的核心概念以及几个一路推演出一套庞大的物理学体系的，经济学是从供求这个基本概念和理性人假设等几个基本假设一路逻辑推演成一本厚厚的经济学书籍的，几何学是欧几里得从几个基础概念、公设、公理出发，经过严密的逻辑推演，推导出一系列的定理，构筑了一本《几何原本》，辩证法哲学是基于矛盾的一个不断逻辑推演出的一整套的思想体系。
公理化思想方法构建独立思想体系，就是从几个简单的基本概念、假设、公理出发，通过一层层的逻辑推演，演绎出一系列的命题、定理。
这几个基本概念公理都是不证自明的公认的，或者不需要证明的，就是这样的。
这个构建独立思想体系的核心和关键就是定义清楚定义准确核心和基本概念，不证自明的概念，如果根本概念定义错误，那么后面一系列的推演都是错误的，整个理论大厦都是错误的。
就像一座大厦，地基打错了，那么整座大厦很快轰然倒塌。
比如如果物理学核心概念力的概念牛顿定义错误或者定义的不准确不够精确，那么整个物理学大厦就毫无意义轰然倒塌，如果经济学的几个基本假设错误，那么整个经济学理论体系也将不复存在。
公理法,构筑法学理论体系的重要方法
何柏生：公理法，构筑法学理论体系的重要方法一、公理法在构筑法学理论体系时表现出来的优点公理法包括两个部分，一是公理化方法，一是公理体系。
我们知道，公理化方法是从初始概念和初始命题（公理）出发，按一定的逻辑规则，推演出其它有关命题（定理）的一种演绎方法。
而公理体系则是由初始概念、公理、定义、推理规则和定理等构成的演绎体系。
公理化方法是公理法的第一组成部分，公理体系则是公理法的第二组成部分。
公理体系是由公理化方法得到的理论体系，所以，公理体系是建筑在公理化方法的基础之上。
公理化方法是一种演绎方法，公理体系是一种演绎体系。
所以，公理法是建立在演绎方法和演绎体系的基础之上，它所采用的是演绎推理。
公理体系中的所有命题都是由初始命题演绎出来的。
公理法是在古希腊初步形成的，在柏拉图的《理想国》一书中，已有较为完整的记载。
在《理想国》中，苏格拉底说：“我想你知道，研究几何学、算学以及这一类学问的人，首先要假定偶数与奇数、各种图形、三种角以及其它诸如此类的东西。
他们把这些东西看成已知的，看成绝对假设，他们假定关于这些东西是不需要对他们自己或别人作任何说明的，这些东西是任何人都明白的。
他们就从这些假设出发，通过首尾一贯的推理最后达到他们所追求的结论。
”[1]从柏拉图借苏格拉底之口说出的这段话中，我们知道公理法在当时的数学中已得到了运用。
所以，公理法绝不是亚里斯多德创立的。
正确的说法应当是：亚里斯多德使公理法在逻辑中得到了成功的应用，从而创立了三段论推理。
当然，亚里斯多德在运用公理法的过程中，也发展并完善了公理法。
美国学者莫里斯·克莱因说：“柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人，而大家认为他的门人按逻辑次序整理了定理。
……不管柏拉图派有否根据明确的公理真正用演绎法整理过数学，有一点是毋庸置疑的，即至少从柏拉图时代起，数学上要求根据一些公认的原理作出演绎证明。
由于坚持要有这种形式的证明，希腊人得以把此前几千年来数学里的所有法则、步骤和事实全部抛弃。
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《几何原本》
❖ 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约公元前 330 公元前 275）
❖ 欧几里得的《几何原 本》是用公理方法建 立演绎数学体系的最 早典范。
公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明 了的、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是 非。比如，几何学的正确性归结于诸如“等量 加等量，总量仍相等”等公理体系的正确性。 公理化方法也是数学逻辑严密性的一种表现。 在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到 相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条 理化、系列化，从而形成新的概念理论以更新 系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞 跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平， 又表现为抽象程度更高的公理化体系。
勇敢的罗巴切夫斯基
❖ 1840年用德文出版的《平行理论的几何研究》引 起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根 科学协会会员。面对种种攻击，罗巴切夫斯基表 现得比高斯更有勇气。
❖ 一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时， 还口述发表了著作《泛几何学》，坚信自己新几 何学的正确性。
❖ 同一平面上的任何两条直线一定相交 三角形内角和小于180度
非欧几何的发展与确认
❖ 德国数学家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于 1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立 了一种更广泛的几何学----黎曼几何。 (同一平面上的任何两条直线一定相交) 三角形内角和小于180度
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、 德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先 后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模 型，从而揭示出非欧几何的现实意义。
对第五公设的证明
❖ 历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希 腊天文学家托勒密（约公元150），后来普 洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中假定 了过直线外一点只能作一条直线与已知直线 平行。
❖ 替代公设：过直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行。
几何原理中的家丑
❖ 从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的 努力始终没有中断。但每一种“证明”要么 隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么 存在其它形式的错误。而且，这类工作中的 大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。 18世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问 题称为“几何原理中的家丑”。
❖ 至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。
高斯建立非欧几何
❖ 最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以 用来描述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识 到平行公设不能从其它公设推导出来，并从1813年 起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。 他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为 “非欧几里得几何”。但高斯没有发表过任何有关 非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及， 他在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些 发现，‘黄蜂就会围着耳朵飞’，并会‘引起波哀 提亚人的叫嚣’”。
❖ 书中有部分的定义不清晰，阅读后反而 令人更迷惘。
❖ 在论证过程之中，欧几里得使用了一些 公理系统未有提及的假設。 • 对第 5 公设的怀疑。
第五公设（平行公设）
❖ 第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同 旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长， 它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
❖ 在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得 比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、 明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更 像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推 出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设 似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直 到卷Ⅰ命题29才不得不使用它。
❖ 萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑 锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的 结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外 一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里 认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾 而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是 与平行公设等价的。
❖ 1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel） 在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上 并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的 结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以 由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。
「点」、「线」、「面」、 「通过」、「在 … 之间」、「相等」
• 20 条公理分成 5 組：
– 关联公理（I. 18）、順序公理（II. 14）、 合同公理（III. 15）、平行公理（IV.）、 联系公理（V. 12）
• 希尔伯特同时提出选择公理体系的原則：
– 相容性、独立性、完备性
对《几何原本》的批评
勇敢的罗巴切夫斯基
❖ 在非欧几何的三位发明人中，罗巴切夫斯基 最早、最系统地发表了自己的研究成果，并 且也最坚定地宣传和捍卫自己的新思想。
❖ 他于1826年在喀山大学发表了演讲“简要论 述平行线定理的一个严格证明”，而后又于 1829年发表了《论几何原理》的论文，这是 历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但 由于是用俄文发表在《喀山通讯》上的而未 引起数学界的重视。
公理体系
定义
定义
命題Hale Waihona Puke 定义命題命題
公设、公理 命題 命題
公理体系的完善
❖ 希尔伯特（David Hilbert; 1862 1943）
• 1899年发表著名的 《几何基础》一书。
• 引入了 20 条公理和 6 个不加解释的定义， 建立起新的几何公理 体系。
公理体系的完善
❖ 6 个不加解释的定义包括：