第六讲 公理化思想及构成公理化体系的要求

勇敢的罗巴切夫斯基
❖ 1840年用德文出版的《平行理论的几何研究》引 起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根 科学协会会员。面对种种攻击，罗巴切夫斯基表 现得比高斯更有勇气。
❖ 一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时， 还口述发表了著作《泛几何学》，坚信自己新几 何学的正确性。
❖ 同一平面上的任何两条直线一定相交 三角形内角和小于180度
Euclid（about 325 BC - aBiblioteka Baiduout 265 BC）
《几何原本》
❖ 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约公元前 330 公元前 275）
❖ 欧几里得的《几何原 本》是用公理方法建 立演绎数学体系的最 早典范。
公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明 了的、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是 非。比如，几何学的正确性归结于诸如“等量 加等量，总量仍相等”等公理体系的正确性。 公理化方法也是数学逻辑严密性的一种表现。 在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到 相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条 理化、系列化，从而形成新的概念理论以更新 系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞 跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平， 又表现为抽象程度更高的公理化体系。
勇敢的罗巴切夫斯基
❖ 在非欧几何的三位发明人中，罗巴切夫斯基 最早、最系统地发表了自己的研究成果，并 且也最坚定地宣传和捍卫自己的新思想。
❖ 他于1826年在喀山大学发表了演讲“简要论 述平行线定理的一个严格证明”，而后又于 1829年发表了《论几何原理》的论文，这是 历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但 由于是用俄文发表在《喀山通讯》上的而未 引起数学界的重视。
❖ 至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。
「点」、「线」、「面」、 「通过」、「在 … 之间」、「相等」
• 20 条公理分成 5 組：
– 关联公理（I. 18）、順序公理（II. 14）、 合同公理（III. 15）、平行公理（IV.）、 联系公理（V. 12）
• 希尔伯特同时提出选择公理体系的原則：
– 相容性、独立性、完备性
对《几何原本》的批评
非欧几何的发展与确认
❖ 德国数学家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于 1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立 了一种更广泛的几何学----黎曼几何。 (同一平面上的任何两条直线一定相交) 三角形内角和小于180度
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、 德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先 后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模 型，从而揭示出非欧几何的现实意义。
❖ 萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑 锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的 结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外 一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里 认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾 而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是 与平行公设等价的。
❖ 1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel） 在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上 并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的 结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以 由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。
对第五公设的证明
❖ 历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希 腊天文学家托勒密（约公元150），后来普 洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中假定 了过直线外一点只能作一条直线与已知直线 平行。
❖ 替代公设：过直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行。
几何原理中的家丑
❖ 从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的 努力始终没有中断。但每一种“证明”要么 隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么 存在其它形式的错误。而且，这类工作中的 大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。 18世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问 题称为“几何原理中的家丑”。
高斯建立非欧几何
❖ 最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以 用来描述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识 到平行公设不能从其它公设推导出来，并从1813年 起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。 他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为 “非欧几里得几何”。但高斯没有发表过任何有关 非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及， 他在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些 发现，‘黄蜂就会围着耳朵飞’，并会‘引起波哀 提亚人的叫嚣’”。
公理体系
定义
定义
命題
定义
命題
命題
公设、公理 命題 命題
公理体系的完善
❖ 希尔伯特（David Hilbert; 1862 1943）
• 1899年发表著名的 《几何基础》一书。
• 引入了 20 条公理和 6 个不加解释的定义， 建立起新的几何公理 体系。
公理体系的完善
❖ 6 个不加解释的定义包括：
❖ 书中有部分的定义不清晰，阅读后反而 令人更迷惘。
❖ 在论证过程之中，欧几里得使用了一些 公理系统未有提及的假設。 • 对第 5 公设的怀疑。
第五公设（平行公设）
❖ 第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同 旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长， 它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
❖ 在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得 比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、 明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更 像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推 出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设 似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直 到卷Ⅰ命题29才不得不使用它。