2020寒假高三数学二轮复习微专题25椭圆中与面积有关的定点

例题：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋y2＝1，点A，B分别是椭圆的右微专题25椭圆中与面积有关的定点、定值问题

狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量．由于二次量的计算量大，过程繁琐，常常会使学生陷入会而不对的绝境．解决问题的关键是聚焦运算目标，利用整体代换、设而不求等思想方法，有效减少运算量，优化解题流程.

x2

4

顶点和上顶点，P为椭圆位于第三象限内一点，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，求证：四边形AMNB的面积为定值．

4

x 2 变式 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： ＋y 2＝1，点 A ，B 分别是椭圆的右

顶点和上顶点，设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：AN·BM 为定值．

变式2如图，已知椭圆＋y2＝1，过椭圆的上顶点A作一条与两轴均不平行的直线l

x2

2

交椭圆于另一点P，设点P关于x轴的对称点为Q，若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．

x2

串讲1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆4＋y2＝1，过原点O的两条射线l1和l2分别与椭圆交于A和B△，记得到的AOB的面积为S.

1

(1)设A(x

1

，y1)，B(x2，y2)，求证：S＝2|x1y2－x2y1|；

1

(2)设l

1

与l2的斜率之积为－4，求面积S的值．

串讲2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1，点A，B分别是椭圆的左、右

x2y2

43

顶点，点P为椭圆上位于第一象限内的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与y轴交于点N△，若MOA与△NOB的面积之和为6，求点P的坐标．

x2y22 (2018·无锡1月期末改编)已知椭圆E：a

2

＋b

2

＝1(a＞b＞0)的离心率为

2，F1

，F2分别为左、右焦点，A，B分别为左、右顶点，D为上顶点，原点O到直线BD的距离为

6

3.设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连接PA交椭圆于点C.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程．

(2018· 江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点⎝ 3，2⎭，焦点 F 1(－ 3， 7 ，求直线 l 的方程． 答案：(1) ＋y 2＝1，x 2＋y 2＝3；(2)①( 2，1)，②y ＝－ 5x ＋3 2. ⎧ 3 ＋ 1 ＝1， ⎧a 2＝4， ⎛ 3， 在椭圆 C 上，所以⎨a 2 4b 2 1⎫ 又点⎝ ，解得⎨ 2⎭ ⎪⎩a 2－b 2＝3， 因此，椭圆 C 的方程为 ＋y 2＝1.2 分 则 x 02＋y 02＝3，所以直线 l 的方程为 y ＝－ 0(x －x 0)＋y 0， y 0 y 0

⎛ 1⎫

0)，F 2( 3，0)，圆 O 的直径为 F 1F 2.

(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程；

(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P .

①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 2 6 ②直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．若△OAB 的面积为

x 2 4

x 2 y 2 解析：(1)因为椭圆 C 的焦点为 F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0)，可设椭圆 C 的方程为a 2＋b 2＝

1(a ＞b ＞0)．

⎩b 2＝1，

x 2 4

因为圆 O 的直径为 F 1F 2，所以其方程为 x 2＋y 2＝3.

(2)①设直线 l 与圆 O 相切于 P(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，

x y 0

x 3 即 y ＝－ 0x ＋ .5 分

⎧x ＋y ＝1， ⎨ 4 消去 y ，得(4x x 3 ⎩y ＝－y x ＋y ，

2＋y 2)x 2－24x x ＋ B(x 2，y 2)，由(*)得 x 1，2＝ ，11 分 所以 AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝1＋y 02⎭·48y 02（x 02－2）.因为 x 02＋y 02＝3， 7 7 16（x 02－2） 32 （x 02＋1）2 49，即 2x 0

4－45x 2＋100＝0，13 分

由 2 2

0 0 0 0 0 0 36－4y 02＝0.(*)，因为直线 l 与椭圆 C 有

且只有一个公共点，所以 Δ＝(－24x 0)2－4(4x 02＋y 02)(36－4y 02)＝48y 02(x 02－2)＝0.7 分 因为 x 0，y 0＞0，所以 x 0＝ 2，y 0＝1.因此，点 P 的坐标为( 2，1).9 分

2 6 1 2 6 4 2 ②因为三角形 OAB 的面积为 .所以2AB·OP ＝ ，从而 AB ＝ 7 .设 A(x 1，y 1)， 24x 0± 48y 02（x 02－2） 2（4x 02＋y 02） ⎛ x 2⎫

0 （4x 02＋y 02）2 所以 AB 2＝ ＝ 0 5 1 ⎛ 10 2⎫ 解得 x 02＝2(x 02＝20 舍去)，则 y 02＝2，因此 P 的坐标为⎝ 2 ， 2 ⎭.15 分 综上，直线 l 的方程为 y ＝－ 5x ＋3 2.16 分