2020寒假高三数学二轮复习微专题25椭圆中与面积有关的定点
2020寒假高三数学二轮复习微专题25椭圆中与面积有关的定点
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量．由于二次量的计算量例题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2＝1，点A ，B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆位于第三象限内一点，AP 与y 轴交于点M ，BP 与x 轴交于点N ，求证：四边形AMNB 的面积为定值．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点A ，B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：AN·BM 为定值．变式2如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1，过椭圆的上顶点A 作一条与两轴均不平行的直线l交椭圆于另一点P ，设点P 关于x 轴的对称点为Q ，若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．串讲1如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2＝1，过原点O 的两条射线l 1和l 2分别与椭圆交于A 和B ，记得到的△AOB 的面积为S.(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求证：S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|；(2)设l 1与l 2的斜率之积为－14，求面积S 的值．串讲2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1，点A ，B 分别是椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上位于第一象限内的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ，若△MOA 与△NOB 的面积之和为6，求点P 的坐标．(2018·无锡1月期末改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连接PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆E 的方程；(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程．(2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫3，12，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．答案：(1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝3；(2)①(2，1)，②y ＝－5x ＋3 2.解析：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1， 因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.2分因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 则x 02＋y 02＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.5分由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x2＋y 02)x 2－24x 0x ＋36－4y 02＝0.(*)，因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 02＋y 02)(36－4y 02)＝48y 02(x 02－2)＝0.7分 因为x 0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1).9分②因为三角形OAB 的面积为267.所以12AB·OP ＝267，从而AB ＝427.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 02（x 02－2）2（4x 02＋y 02），11分所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 02y 02·48y 02（x 02－2）（4x 02＋y 02）2.因为x 02＋y 02＝3， 所以AB 2＝16（x 02－2）（x 02＋1）2＝3249，即2x 04－45x 02＋100＝0，13分解得x 02＝52(x 02＝20舍去)，则y 02＝12，因此P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22.15分 综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋3 2.16分。
专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题25 椭 圆（解答题）1．已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】（1）Γ的方程为2214y x +=，C的方程为2x =；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p-， 所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以24a =，p = 所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）由（1）可知F的坐标为，设直线l的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 可得()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1(－2，0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）y =+y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22221x y a b+=，得241b =，即2b =，所以2228a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22184x y +=；（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-=整理得22840k m -+=①，由28y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=，因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②，综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线l的方程为y =+y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ．设P是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOBSOF y y =⨯⨯-，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知2222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，125y y +=，1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==4．椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213xy +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得01k <<， 由根与系数关系()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++， ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+= ()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA PB 、得斜率和为定值1． 解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1-- ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=， 则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令1y k x -=， 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++，②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =--， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出,b c 的值，进而求得2a 的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点,M N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222222411a b c c e a a b⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y+=．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=，整理可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-…①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，则可设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124260k x kmx m +++-=， 由()()222216412260k m km∆=-+->得22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()22221212122612m k y y k x x km x x m k-=++++=+， 代入①式化简可得()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=- 则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，∴直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值．【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）2211612x y +=；（2）最大值为2． 【解析】（1）由题2222212491b c a c e a a b ⎧⎪+=⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）若直线MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M x y N x y -，则220000001161233322x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨---⎪+=-⎪--⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，此时,M N 重合，舍去．若直线MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MN y kx t M x y N x y =+：，，联立2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(43)84480k x ktx t +++-=，所以21212228448,4343kt t x x x x k k -+=-=++， 由题意121233322y y x x --+=---，即121233322kx t kx t x x +-+-+=--- 化简得1212(23)(29)()4240.k x x t k x x t ++--+-+=因此2224488(23)(29)()4240.4343t ktk t k t k k -++----+=++ 化简得2286860k kt t k t ++---=，即(23)(42)0k t k t +-++= 若230k t +-=，则23t k =-+，直线MN 过点(2,3)A ，舍去， 所以420k t ++=，即42t k =--，因此直线MN 过点(4,2)P -． 又点(4,0)B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2BP =，此时2MN y =-：，符合题意．所以点B 到直线MN 距离最大值为2【名师点睛】易错点为需讨论直线MN 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得1212,x x x x +⋅的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3AF =．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12k k λ=恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）【答案】（1）22143x y +=，（2）3λ= 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==，又3AF =，所以3a c +=，解得2a =，1c =，又222c a b =-，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()1,0F ，()2,0A -，设直线PN 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,M x y --，所以1112y x k =-，2222y k x =+，若存在λ，使得12k k λ=恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以()()122122y x y x λ+=-，两边同乘1y 得()()21221122y x y y x λ+=-，因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-，当12x ≠时，则()()12213224x x y y λ-++=，所以()21212136124x x x x y y λ--+-=①；当12x =时，M 与A 重合，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690m y my ++-=，所以212212934634y y m my y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，所以()212128234x x m y y m +=++=+， ()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得10836λ-=-，解得3λ=8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P ．如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）2212x y +=；（2）:22x l y =-或22x y =-+．【解析】（1）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，因为c a =，222a b c =+，解得a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，20212x k =+2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得)222112k C k ⎛- +⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())22212,12k PA PB k ⎛⎫- ⎪⋅=⋅ ⎪+⎝⎭42241021122k k k +-==+， 即4281850k k +-=解得252k =-（舍）214k =，故12k =±，直线:2x l y =或2x y =-+． 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断AB DF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）22143x y +=；（2）是，4． 【解析】（1）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）AB DF是定值．由已知得直线:(1)l y k x =-． 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ， 整理得()22224384120k x k x k +-+-=． 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 所以()()()()222222121121214AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k ky y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． （1）当0k =时，AB 4=，1DF =．所以4AB DF=．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++， 所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线l 与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出AB ，再由题中条件，求出DF ，即可得出AB DF的值．（求解时要注意讨论斜率k 的取值）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A -，()2,0B ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点G （E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ，求证：TA GA TBGB=．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，222212a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题设知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()2223484120k x kmx m +++-=．依题意，有()()222264163430k m k m∆=-+-=，解得2234m k =+．设()1,0G x ，()00,E x y ，则1m x k =-，024434km kx k m-==-+． 因为ET x ⊥轴，所以4,0k T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4242224242kTA k m m k m TB m k m k k m -+-+-===++⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2222mGA m k km GB m k k-+-==++，所以TA GA TB GB =．【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【试题来源】上海市高考压轴【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3） 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++，因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-， 即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立，所以(46)30m k n +-=， 所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即2k=±时取等号，所以当2k=±时，AD AEOM+的最小值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入根与系数关系求解．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点3,22⎛⎝⎭．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于,A B两点，且与圆22:2O x y+=交于E F、两点，求2||||AB EF⋅的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）22132x y+=；（2）3⎡⎢⎣．【分析】（1）先利用离心率得到,a b的关系，再利用点在椭圆上得到,a b另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长||AB，再利用几何法求圆中的弦||EF的长，最后计算2||||AB EF⋅的取值范围即可．【解析】（1）由已知可得ca=，所以2213c a=，故222223b ac a=-=，即2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以22|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =所以在圆22:2O x y +=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222222242||44211k k EF r dk k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222142223123k k k AB EF k k k +++⋅=⋅=+++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+，故24312333k ⎫⎪⎛+∈ ⎪ ⎝ ⎪+⎝⎭，即2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程 ②当三角形OPQOM 的取值范围．【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）22142x y +=（2）①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣． 【解析】（1）设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=，因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-， 因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ 22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===，()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===，因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点(0,1)D ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）2214x y +=；（2）BAM ∠=OAN ∠，理由见解析． 【解析】（1）由已知1b =，c e a ==， 又222a b c =+，解得2,1a b ==． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则216(112)0k ∆=->，解得k <<． （*） 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =k =±与（*）式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为1212121212(4)(4)332111111AM AN y y k x k x k k k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++22222222323(2)3(242)142206443236311414k k k k k k k k k k k k -+-++=+=+=---++++，所以AM AN k k =-．所以BAM ∠=OAN ∠．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(，所以222421a b=⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2234280x mx m ++-=，由()221612280m m ∆=-->解得212m <， 又1243mx x +=-，则1212422233m m y y x x m m +=++=-+=，所以AB 的中点坐标为2,33m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得295m =满足212m <，所以m =． 【名师点睛】求解本题的关键在于用m 表示出点M 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去x （y ）得到关于y （或x ）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出M 坐标，即可求解．16．已知椭圆22:142x y C +=．（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点． 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）2，4；（2）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-．【解析】（1）由题意：24a =，22b =，所以2a =． 因为222a b c =+，所以22c =，c =c e a ==． 所以椭圆C，长轴长为4． （2）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得22(21)840k x kx +++=． 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >． 设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+． 设AB 中点00(,)G x y ，则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+，故2242(,)2121k G k k -++． 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1kP k -，．因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=． 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=．整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=．所以222248(1)(2)402121k k k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =． 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-． 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）2214x y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立， 由根与系数关系可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 由弦长公式可得()()22121223114m PA PB y y m y y m +⋅==+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+． 综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3．所以点Q 在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=．显然0∆>．不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+． 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++．令4x =，得1162=+yy x ．直线BN 的方程是()2222y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭． 所以点Q 在直线4x =上．【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．19．椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH 的面积的最大值．【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）【答案】（1）22195x y +=；（2）52． 【解析】（1）连接2F T ，则F 1T ⊥2F T，由题意得12||4F F =，所以c ＝2． 因为23c e a ==，则a ＝3，b ==C 的方程为22195x y+=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为22130(1)259m S m +==+ 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =直线10x +-=被以椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）2]3．【解析】（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =．又22222314c b e a a ==-=，得2a = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=， 所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y +==+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<．综上可得2133λ<≤，即2(]133． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交椭圆1C 于另一点D ，2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD △的面积取得最大值时，求直线1l 的方程．【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）1012y x =±- 【解析】（1）由题意可得1b =，24a =，即2a =．∴椭圆1C 的方程为2214xy +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y ．由题意可知直线1l 的斜率存在，设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆222:4C x y +=的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离21d k =+．22243||2421k AB d k +∴=-+21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 联立22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y 得到22(4)80k x kx ++=，解得0284k x k =-+， 281||k PD +∴=．∴三角形ABD 的面积21843||||2ABDk S AB PD +==令244k t +=>，则24k t =-，224(4)34131244()13()131313t t f t t t -+-===--+，16S ∴=，当且仅132t =，即252k=，当k = 故所求直线1l 的方程为12y x =±-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值．【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的标准方程为22195x y +=．（2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ， 由010133TA PA y y k k x x =⇒=++'①，020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-， 所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+． 所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅，所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=，解得092x =． 所以点T 横坐标为定值92． 【名师点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合根与系数关系求解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点OO 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l ．①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-， 即2l 为2y =或122,y l l =-⊥，由题目知，圆O 的方程为2212x y +=， 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =．②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， 所以()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直． 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =，综合①②知因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，所以||EF =为定值．故EF的取值范围．24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =． （1）求C 的方程；（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM ．【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解． 【解析】（1）记椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，因为椭圆的离心率为12，即12caa ==，所以2234b a =；又过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =，将x c =代入22221x y a b +=可得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2b y a =±，所以223b a =，由2223423b a b a==解得2243a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为直线:4m x =与x 轴交于M 点，则()4,0M ；又AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，所以直线AB 斜率不为0， 不妨设直线AB 的方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得()22314120my y ++-=，整理得()2234690m y my ++-=，则122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2334234m y m m -±==++， 不妨令1y=，2y =， 因为AD ⊥直线m ，垂足为D ，所以()14,D y ， 因此直线BD 的方程为()211244y y y x y x -=-+-， 令0y =，则()()1212121212121433444y x y my my y y x y y y y y y ---=-=-=----293544422m-===-=；即直线BD与x轴的交点为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，因为()1,0F，()4,0M，所以5,02⎛⎫⎪⎝⎭是FM中点，即直线BD平分线段FM．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线BD与x轴交点的横坐标；解题时，需要先设AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线BD 的方程，即可求出与x轴交点的横坐标．25．椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点()2,3M，其上､下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为34AM BMk k⋅=-．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点(),0Q a-作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若2QS QTk k+=，求证：直线ST过定点．【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）【答案】（1）2211612x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为()0,A b，()0,B b-，所以333224MA MBb bk k-+⋅=⋅=-，解得212b=，将212b=，()2,3M都代入椭圆方程，得216a=，所以椭圆方程为2211612x y+=；（2）证明：设()11,S x y，()22,T x y，直线ST的方程为y kx t=+．将y kx t=+代入椭圆方程，整理得()2223484480k x ktx t+++-=，122843ktx xk+=-+，212244843tx xk-=+，由1212244y yx x+=++，得1212244kx t kx tx x+++=++．。
江苏高三数学二轮复习教学案：椭圆中与面积有关的定值问题
1椭圆中与面积有关的定值问题【教学目标】1、学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何关系，探究或证明动态图形中的定值问题，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用； 2、后期加强对高考题和课本题的研究．【教学重、难点】根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径（能够计算——设计运算——数据处理）． 【教学方法】探究研讨式 【教学过程】卷首语：解析几何让人迷恋之处恰是其变化中的不变属性，去繁至简的永恒追求，而设计运算，优化运算更是探索奥秘当中必不可少的乐趣所在. （一）典型例题 例：（改编：2015高考上海，理21）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=，过原点O 的两条射线1l 和2l 分别与椭圆交于A 和B ，记得到的AOB ∆的面积为S . （1）设()11,A x y ，()22,B x y ，求证：122112S x y x y =- （2）设1l 与2l 的斜率之积为14-，求面积S 的值.（1） 证明：1sin 2S OA OB AOB =⋅∠=12OA =⋅=122112x y x y =- （2） 解：设()2cos ,sin ,(2cos ,sin )A B ααββ由1l 与2l 的斜率之积为14-所以1212sin sin 12cos 2cos 4y y x x αβαβ==-，所以cos cos sin sin 0αβαβ+=，所以()cos 0αβ-=高三二轮优选方法 注重反思提升能力 激情学习高效课堂 刻苦拼搏创造辉煌2又12211cos sin cos sin sin()12S x y x y αββααβ=-=-=-= 所以面积的值为1PPT 上的系列追问：（同样用三角法）追问1：若,OA OB 的斜率分别为12,k k ，且△AOB 的面积为1，求12k k ⋅.追问2：若,OA OB 的斜率分别为12,k k ，问是否存在非零常数λ，使12k k λ⋅=时，△AOB 的面积S 为定值？若存在，求λ和S 的值；若不存在，说明理由.追问3：若动点P 满足4OP OA OB =+ ，其中△AOB 的面积1S =，问是否存在定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若不存在，说明理由.（二）自主探究例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2214x y +=的内接ABC D ，O 为坐标原点，且O 恰为ABC D 的重心，求证：ABC D 的面积为定值．解：设()2cos ,sin ,(2cos ,sin )A B ααββ，()00,C x y因为O 为ABC D 的重心，所以002cos 2cos ,sin sin x y αβαβ=--=--所以()()222cos 2cos sin sin 14αβαβ--+--=所以()1cos 2αβ-=-3所以33sin 2ABC AOB S S OA OB AOB ∆∆==⋅∠=32OA=⋅=122132x y x y -3cos sin cos sin 3sin()αββααβ=-=-=（三）回顾反思。
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题
微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
高考数学《椭圆中的定点、定值问题》
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
－12k2 所以 x20＋x1－42y1yx22－2＝x20＋1＋4k42k2＝x20－3＝0，解得 x0＝± 3.
1＋4k2 故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点(± 3，0)．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
【思维变式题组训练】 1. 已知椭圆 E：ax22＋y2＝1(a>1)的上顶点为 M(0,1)，两条过 M 的动弦 MA，MB 满 足 MA⊥MB.对于给定的实数 a(a>1)，动直线 AB 是否经过一定点？如果是，求出 定点坐标(用 a 表示)；反之，请说明理由．
2. 如图所示，已知椭圆：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，右准线方程是直线 l：x ＝4，点 P 为直线 l 上的一个动点，过点 P 作椭圆的两条切线 PA，PB，切点分别 为 A，B(点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方)．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
(1) 求椭圆的标准方程； (2) ① 求证：分别以 PA，PB 为直径的两圆都恒过定点 C； ② 若A→C＝12C→B，求直线 PC 的方程． 解析：(1) x42＋y32＝1. (2) ① 设切点 A(x0，y0)，则可证切线 AP：x40x＋y30y＝1， 所以点 P4，31y－0 x0.
例 4 已知圆 M 的圆心在直线 2x－y－6＝0 上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆 M 的方程； (2) 设 P 为圆 M 上任一点，过点 P 向圆 O：x2＋y2＝1 引切线，切点为 Q.试探究： 平面内是否存在一定点 R，使得PPQR为定值．若存在，求出点 R 的坐标；若不存在， 请说明理由．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
当且仅当 m>－1 时，Δ>0，欲使 l：y＝－m＋2 1x＋m，即 y＋1＝－m＋2 1(x－2)， 所以 l 过定点(2，－1)． 点评：椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这 一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化， 找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之 前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联 立方程组，求判别式、根与系数关系，根据题设关系进行化简．
2020年高考数学椭圆二轮复习专项微专题核心考点突破答案解析与点睛(37页)
2020年高考数学椭圆二轮复习专项微专题核心考点突破答案解析与方法点睛考点分析1专题综述椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.典型例题2考点剖析2.1椭圆方程及其几何性质求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形.例1设圆的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明为定值，并写出点E的轨迹方程.思路探究:妙用几何性质，因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以，故.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而，所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，，由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为:.方法点睛:求椭圆方程的常用方法，(1)直接法，直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)=0；(2)待定系数法，已知所求曲线的类型，求曲线方程一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法，先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法，动点P(x，y)依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示，再代入已知曲线得出要求的轨迹方程.例2已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A．B．C．D．思路探求:以线段为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a，圆的方程为，直线bx-ay+2ab=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即a2=，从而，椭圆的离心率，故选A.方法点睛:椭圆的几何性质是高考命题不可或缺的考点，将椭圆的几何性质与其他知识，如切线、斜率等融合、交汇，常常命制出玲珑别致，又不失新颖的客观题，而且时常作为客观题的压轴题.一般求离心率e的方法有:(1)整理出椭圆的标准方程后可直接求出a，c，再利用离心率公式来求解；(2)在焦点三角形中利用椭圆第一定义得求解；(3)根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造a，c 的等式(特别是齐二次式)，进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e2.2直线与椭圆的位置关系在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题.直线与椭圆的位置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方法.例3过椭圆内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程.思路探求1:直线和椭圆相交求中点弦所在的直线方程.将直线方程代入椭圆方程，整理后利用韦达定理，求出直线的斜率.解法1:设所求直线的方程为y－1=k(x－2)，将其代入椭圆方程并整理得.又设直线与椭圆的交点为，则是方程的两个根，于是.又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为x+2y－4=0.思路探求2:利用点差法，根据椭圆弦中点的性质求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程.解法2:设，则，①－②得，，，即，故所求直线方程为x+2y－4=0.方法点睛:AB(不过原点)是椭圆的不平行于对称轴的弦，为AB的中点，则，即.思路探求3:将直线的参数方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理，根据中点所对应参数的几何意义，求出直线的斜率.解法3:设所求直线的参数方程为，代入椭圆方程并整理得.又设直线与椭圆的交点为A，B，则方程的两个根是A，B对应的参数，M为AB的中点，所以t 1+t2=0，，解得，即为直线的斜率，故所求直线方程为x+2y－4=0方法点睛:设所求直线的参数方程为(t为参数)代人椭圆方程并整理得t的一元二次方程，该方程的两个根是A，B对应的参数，M为AB的中点，由，求得直线斜率.思路探求4:利用中心点坐标设弦端点的坐标，代入椭圆方程相减后直接得出直线方程.解法4:整理椭圆方程为，设A(x，y)，B(4－x，2－y)，则有③－④得x+2y－4=0，即是中点弦所在的直线方程.此种方法较为简便.方法点睛:整理椭圆方程为(m>0，n>0，m≠n).设A(x，y)，，，⑤－⑥得就是中点弦所在的直线方程.思路探求5:将弦的两个端点坐标设为对称形式，可以快速得出中点弦所在直线的斜率，解题时若能充分利用这些结论，则可以轻松、准确地解决“中点弦”的有关问题.解法5:整理椭圆方程为.由题意可设A(2+m，1+n)，B(2－m，1－n)，则有，以上两式相减得4m+8n=0所以，.故AB的直线方程为y－1=－(x－2)，整理得x+2y－4=0.方法点睛:点M是线段AB的中点，设，，有两个非常简单有趣的结论:，.例4设椭圆，求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a，k表示).思路探求:椭圆被直线截得的弦长，即直线与椭圆相交的两个交点的距离.直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x得到关于x或y的一元二次方程，利用两点间距离公式得到弦长公式(直线斜率k存在).进一步应结合韦达定理解决问题.解:设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP，由得，故.因此.方法点睛:直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，即得到弦长公式，.2.3与椭圆相关的综合问题在数形结合思想统领下椭圆的综合问题主要考查以下内容:斜率和离心率范围、定点问题、定值问题和最值问题等.定点、定值一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的问题以及与椭圆有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.椭圆中最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.椭圆的探索性问题主要体现在以下方面:(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，涉及这类命题的求解主要是研究直线与椭圆的位置关系问题.例5已知椭圆的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1 (I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P在椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证:为定值.思路探求:本题要证明的当点P在椭圆C上运动变化时|AN|•|BM|为定值，显然，引起运动变化的根源是点P.因此，将点设为参数，将用表示，再利用点P在椭圆上进行减元、消参，进而证明定值与参数的变化无关.解:(I)椭圆的方程为.(Ⅱ)由(I)知，A(2，0)，B(0，1)，设，则.当x≠0时，直线P A的方程为.令x=0，得.从而.直线PB的方程为.令y=0，得.从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.当然，由于本题是证明|AN|•|BM|为定值，也可以先通过特殊位置，例如点P为椭圆左顶点时获得定值4，然后进行推理运算，目标更为明确.方法点睛:定值问题的解题步骤如下第一步，引入参数.一般情况下，这些参数包括点的坐标、直线的斜率、截距、夹角等；第二步，根据题意建立包含参数的等量或不等量关系；第三步，通过推理、计算探索出定值.这是定值问题的关键步骤，对运算能力、思维能力、几何直观能力要求较高； 第四步，下结论. 3复习对策与建议(1)立足基础，把控规律，回归教材.从宏观上把握椭圆问题的解题要点，注重通性通法、一题多解和多题化归，优化解题过程，淡化特殊技巧，掌握常用的一些解题策略.(2)发掘几何性质，简化代数运算.高度重视对椭圆的定义与几何性质、解析法的理解与运用，既可提高解题效率，又可以提升学生的信心.重视运算能力与运算速度的提高，特别是字母式的变形运算，在平时的训练中要注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，注重整体代换等运算技能的培养.重视椭圆与函数、导数、方程、不等式等知识的交汇训练.(3)注重数学思想和能力的训练，不断积累解匙经验.重视数形结合、转化化归、分类整合以及函数与方程思想的训练；培养学生善于透过问题背景扣住问题本质的能力；培养学生善于合理简化和量化，建数学模型的能力，培养学生能用精确和简洁的数学语言表达数学问题的能力.积累多方位、多角度探寻解决问题的经验. 最新模拟题1．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则221211e e +=( )A ．2B ．3C ．4D ．3【答案】A 【解析】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,则根据椭圆及双曲线的定义:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 则112=+PF a a ,212=-PF a a , 设122F F c =, 因为122F PF π∠=,所以2221212PF PF F F +=,即()()()22212122a a a a c ++-=,化简可得222122a a c +=,因为1ae c=,所以2212112e e +=,故选:A2．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为第二象限内椭圆上的一点，且1230F PF ∠=︒，直线2PF 交y 轴于点M ，若1223F F =，则该椭圆的离心率为（ ） A 3B ．312C 51- D ．104【答案】B 【解析】 如图，由1223F F =，得23OF =， 在2Rt MOF ∆中，可得23tan 3MF O ∠=，即2130PF F ∠=︒， 又1230F PF ∠=︒，∴1122PF F F c ==，由22sin120sin 30PF c=︒︒，得223PF c =. 则212322PF PF c c a +=+=，即31231c e a ===+. 故选：B.3．点P 在椭圆221:143x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为（ ）A ．424B ．442-C ．625-D ．256【答案】D 【解析】设椭圆的左焦点为1F 则||||||(||)||||11PQ PF PQ 2a PF PQ PF 4-=--=+-故要求||||PQ PF -的最小值， 即求||||1PQ PF +的最小值，圆2C 的半径r 为2 所以||||1PQ PF +的最小值等于()2221C F 21342252-=-++-=-，||||1PQ PF +的最小值为256，故选D ．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆的面积为232-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为， ，A ．[1,2]B ．2,3]C ．[2,4]D ．[1,4]【答案】D 【解析】由得椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为22,1b b ==，()11232F AB S a c b ∆-=-=，解得23,2,3a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即23,23x ⎡∈⎣，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D.5．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线l ：33x =-E 交于两点A 和B ，和y 轴交于点P .若2FP PA =u u u r u u u r，则椭圆E 的离心率e =（ ） A ．23 B ．232- C ．423- D 31【答案】D 【解析】根据直线可知()3,0F ，所以3c =又()0,1P 及2FP PA =u u u r u u u r，得3322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 代入椭圆方程有2239144a b+=，将223b a =-代入， 解得2633a +=或226333a c -=<=（舍去）， 则)2242331633e ==-=+，故选：D6．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点23P ⎝⎭，椭圆E 的离心率为22，则椭圆E 的焦距为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．22【答案】B 【解析】因为椭圆E 的离心率为22，所以22c a =， 因为椭圆过点23P ⎝⎭，所以2213124a b +=， 又222a b c =+，解得：1c =， 所以焦距为22c =.故选：B.7．已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为， ，A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B 【解析】由题意可得c=25F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF ′=∠FPO ，∠OF ′P=∠OPF ′， 所以∠PFF ′+∠OF ′P=∠FPO+∠OPF ′， 由∠PFF ′+∠OF ′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF ′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．8．椭圆()222210x y C a b a b+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为 A 3B ．22C ．23D 3 【答案】B 【解析】设过点()1,0P -的直线方程为1x my =-，联立方程组221,4404x my y my y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，因为直线与抛物线相切，所以2161601m m ∆-=⇒=±， 所以切线方程分别为1x y =-或1x y =--.此时1x =，2y =或1x =，2y =-，即切点()1,2M 或()1,2N -.又椭圆的右顶点(),0A a ，因为四边形PMAN 为平行四边形，所以PM AN k k =，即得()()02203111a a ---=⇒=---.又交点()1,2在椭圆上， 所以22149192b b +=⇒=， 所以2229322c a b c =-=⇒=所以离心率为322232c c a ===.故选B.9．设椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A (﹣c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|P A |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为( ) A ．[12,1) B ．[13,12] C ．[12,23] D ．[15,14] 【答案】D 【解析】 如图：设椭圆的另一个焦点为1(,0)F c -， 因为11||||||PF PA AF ≤+，所以112||||||||||910a PF PF PA AF PF c c c =+≤++=+= 由11||||||PF PA AF ≥-，所以112||||||||||98a PF PF PA AF PF c c c =+≥-+=-=，所以8210c a c ≤≤，即45c a c ≤≤， 所以1154e ≤≤. 因为点A 在椭圆内，所以2b c a<，所以22ac a c <-，所以210e e +-<，解得51e -<因为51124>， 所以1154e ≤≤. 故选：D10．已知椭圆E ：22x a＋22y b ＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3,0），过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．223627x y +＝1 C ．222718x y +＝1D ．22189x y +＝1【答案】D 【解析】因为直线AB 过点F （3,0）和点（1，－1），所以直线AB 的方程为y ＝12（x －3），代入椭圆方程22x a＋22y b ＝1消去y ，得224a b ⎛⎫+⎪⎝⎭x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0， 所以AB 的中点的横坐标为2223224a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝2，椭圆方程为221189x y +=．故选：D ．11．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M N 、两点，则||||||FM FN FA +的值为（ ）A 22a b- B 22a b+C 222a b- D 222a b+【答案】A 【解析】椭圆：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），圆C ：（x ﹣R+c ）2+y 2＝R 2，联立解得e 2x 2+2（c ﹣R ）x +a 2﹣2RC ＝0， 设 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则有x 1+x 2222R ce-=， 因为|MF |222221111()2x c y e x cx a =++=++=a +ex 1， 同理|NF |＝a +ex 2，所以|MF |+|NF |＝e （ x 1+x 2）+2a 2Re=，∴ 22||||1=||e FM FN FA a b+-故选：A.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点和左焦点分别为A 和F ,||3AF =,直线y kx =交椭圆于,P Q 两点(P 在第一象限),若线段AQ 的中点在直线PF 上,则该椭圆的方程为( ) A ．22195x y +=B ．2211615x y +=C ．22418118x y +=D ．2218145x y +=【答案】C【解析】根据画出椭圆()222210x y a b a b+=>>图像,如图:设点()P m n ,,则(,)Q m n --,AQ 的中点为M , 根据中点坐标公式可得:,22a m n M ---⎛⎫⎪⎝⎭ Q 有题意可知(,0)A a -,又Q ,,A Q M 三点共线,可得:PF PM k k =∴ 可得:220nn n a mm c m +-=+++ 解得:133m c m a=++ ,故3c a =——① Q ||3AF =,可得:3a c -= ——②由①②可得:92a =,32c = 根据椭圆性质:222a b c =+,可得218b =∴ 该椭圆的方程为: 22418118x y +=.故选:C.13．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．26⎫⎪⎪⎝⎭B ．155⎛ ⎝⎭C ．12,52⎛ ⎝⎭D ．2622⎝⎭【答案】D 【解析】 ∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ； ∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 22∵sin ∠F 1PQ 513=，∴cos ∠F 1PQ 1213=； 设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝n ，而|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|+|PF 2|＝m +n ＝2a ， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 4c 22212213m n mn =+-⋅． ∴4c 2＝（m +n ）2﹣2mn ﹣2mn •1213； 即4c 2＝4a 25013-mn ；∴mn ()222625a c =-； 由基本不等式得：mn 2()2m n +≤=a 2， 当且仅当m ＝n 时取等号；由题意知：QF 1⊥QP ，∴m ≠n ，∴mn 2()2m n +=＜a 2， ∴()222625a c -＜a 2∴a 2＜26c 2； 故2126e ＞，∴e 26综上可得：2626e 22． 故选：D ．14．已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（ ）A ．377B ．477C ．98D ．32【答案】D 【解析】设|1PF |＝m ，|2 PF |＝n ，|12F F |＝2c ，A ，B 为短轴两个端点， 由正弦定理可得()2m n csin sin sin βααβ==+， 即有()2m n csin sin sin αβαβ+=++，由椭圆定义可得e ()2724sin c a sin sin αβαβ+===+, ∴()sin sin 7sin αβαβ+=+． 在三角形21F PF 中，由m+n=2a,cos222222221242444122224m n c m n mn c b b F PF m n mn mn mn+-+--∠===-≥+⨯（）（）-1=22412b a-，当且仅当m=n 时，即P 为短轴端点时，cos 21F PF ∠最小，21F PF ∠最大， ∴()21sin sin F AF αβ+≤∠=378,∴373sin sin 27αβ+≤=，故选：D ．15．已知1F ，2F 为椭圆2214xy +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PQ ⊥于M ，O 为坐标原点，则||OM 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．(2C ．(3D ．(0,23【答案】C 【解析】延长2PF ，1F M 交于N 点，连接OM ， 因为点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心， 所以PQ 平分12F PF ∠.因为1F M PQ ⊥，所以1PN PF =⇒M 为1F N 的中点. 又因为O 为12F F 的中点， 所以2211()22OM F N PN PF ==- 121211()322PF PF F F c =-<==所以OM 的取值范围是：3). 故选：C16．设1F ，2F 是曲线22221(0,0)x ym n m n+=>>的两个焦点，曲线上一点与1F ，2F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则n =________． 【答案】4或5 【解析】由题知曲线22221(0,0)x y m n m n+=>>表示的是椭圆，且曲线上一点与1F ，2F 构成的三角形的周长是16， 所以22168a c a c +=⇒+=， 因为曲线上的点到1F 的最小距离为2， 所以2a c -=，有82a c a c +=⎧⇒⎨-=⎩5a =，3c =， 因为2224a b c b =+⇒=， 由于不能确定椭圆焦点所在轴， 所以4n =或5n =. 故答案为：4或5.17．在ABC V 中,30,2,3ABC A AB S ∠=︒=V 若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e =__________.【答案】312【解析】因为30,2,3ABC A AB S ∠=︒==V 所以1sin 32AB AC A ⋅⋅=3AC = 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-33423212=+-⨯=， 所以1BC =，因为以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，所以231a AC BC =+=，22c AB ==，所以椭圆的离心率为31231c e a ===+. 故答案为：312. 18．设椭圆221259x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF V 的内切圆的面积为4π.设A ，B 的两点坐标分别为()11,,A x y ()22,B x y ，则12y y -值为________. 【答案】5 【解析】因为椭圆221259x y +=中，2594=-=c ，所以焦点为()14,0F -，()14,0F ， 设2ABF V 的内切圆的半径为r ， 所以24S r ππ==，得2r =，根据椭圆的定义()()221212420AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==， 所以()222112022022ABF S AB AF BF r =++⋅=⨯⨯=V ， 又因为21212ABF AF F BF F S S S =+V V V1122121212111222y F F y F F y y F F =⋅+⋅=-⋅ 124y y =-所以12420y y -=，即125y y -=. 故答案为：5.19．已知点M 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆22195x y+=的左焦点，P 是椭圆上的动点，则1||PF PM +的取值范围是_______． 【答案】[62,62]+.【解析】1226PF PF a +==Q那么126PF PF =-，则()12266PF PM PF PM PM PF +=-+-=+根据三角形三边关系可知，当点P 位于1P 时，2PM PF -的差最小， 此时2F 与M 点连线交椭圆于1P ， 易得22MF -=-1PF PM +也得到最小值，其值为62．当点P 位于2P 时，2PM PF -的差最大， 此时2F 与M 点连线交椭圆于2P ，易得22MF ，此时1PF PM +也得到最大值，其值为62 则所求范围是[62,62]-+． 故答案为：[62,62]+．20．点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12F F 、是椭圆的两个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限内时，P 点的纵坐标为________． 【答案】83【解析】根据椭圆的定义可知1212106PF PF F F +==，， 令内切圆圆心为O则()121212121212PF F POF POF OF F S S S S PF r PF r F F r ∆∆∆∆=++=++ ()12121182PF PF F F =++⋅= 又∵12121|3|2PF F P P S F F y y ∆⋅==． 所以38p y =，83p y =． 故答案为：8321．设点(),0M m 在椭圆2211612x y +=的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，则实数m 的取值范围是______．【答案】14m ≤≤．【解析】设(),P x y 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为2211612x y +=，故44x -≤≤． ()()()222222211214123164x MP x m y x m x m m ⎛⎫=-+=-+-=-+- ⎪⎝⎭ ∵当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当4x =时，2MP 取得最小值，而[]4,4x ∈-， 故有44m ≥，解得m 1≥．又点M 在椭圆的长轴上，所以44m -≤≤．故实数m 的取值范围是[]1,4．故答案为：14m ≤≤．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，直线l ：3y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为：______. 31【解析】如图所示，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由椭圆的对称性及AF BF ⊥，可知1AF BF 为矩形，∴||||||OA OF OF c ===. 由直线3y x =得60AOF ∠=︒，∴||AF c =，且130AF F ∠=︒，13AF c =.椭圆的定义可得，1||32AF AF c c a +==，∴3131c e a ==+. 3123．离心率为12的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰好过抛物线216y x =的焦点F ，A 为椭圆的上顶点，P 为直线AF 上一动点，点A 关于直线OF 的对称点为Q ，则||PQ 的最小值为____________. 【答案】8217【解析】抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，∴4a =， 又12c a =，2c =，22224223b a c =--= 椭圆标准方程为2211612x y +=．即(0,23)A ， 直线AF 的方程为1423x +=32430x y +-=， 点A 关于直线OF 的对称点为Q ，Q 点坐标为(0,23)-，Q 到直线AF 的距离为222(23)43821(3)2d ⨯--==+， ∴PQ 的最小值是8217． 821 24．椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F ,32a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若12PF PF ⊥，则M的离心率为________. 【答案】6515【解析】 22221x y a b+=Q ()1,0F c ∴-，()2,0F c,32a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，12PF PF ⊥， 所以22133b ba a c c ⨯=-+-， 则22220,49a c a c -+-=即221345a c = 2221345c e a ∴==， 所以65e = 6525．已知O 为坐标原点，F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且POF ∆为正三角形，则椭圆C 的离心率为________. 31【解析】因为F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，所以()0F c ，， 又点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且POF ∆为正三角形，边长为OF c =，所以32c P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，代入22221x y a b +=可得： 22223144c c a b+=，又222a b c =+，所以4224480a a c c -+=，所以42840e e -+=， 解得2423e =±01e <<，所以2423e =-31e =. 3126．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，290AF B ∠=o ，且2209F AB S ∆=． （1）求C 的方程；（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．【答案】（1）22154x y +=（2）45 【解析】（1）由题意不妨设52,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，52,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭， 则252,33a b F A c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，252,33a b F B c ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ．∵290AF B ∠=o ，∴2222254099b F A F B c a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =． 又21252202339F AB a b S ∆=⨯⋅=，∴25a b ⋅= ∴5a =2b =，故C 的方程为22154x y +=． （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则00OP y k x =．∵0OP MN k k +=，∴00MN y k x =-，设直线MN 的方程为()000y y x m m x =-+≠， 联立0022,1,54y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22004520x y +=，∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-=． ∴00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()220001212042225m y y mx y y x x m x -+=-++==， ()2200001212121220000y y y my y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2222220000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， ∴()()()2222220001*********00255m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 22200025m x mx y -= ()()()2222000102012012024m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴1020102045PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--． 27．已知圆C :()22116x y -+=和定点()1,0F -,M 是圆C 上任意一点,线段MF 的垂直平分线交MC于点N ,设动点N 的轨迹为E .(1)求E 的方程;(2)过点()1,0作直线l 与曲线E 相交于P ,Q 两点(P ,Q 不在x 轴上),试问:在x 轴上是否存在定点T ,总有OTP OTQ ∠=∠?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在,定点()4,0T【解析】（1）由题,圆心C 为()1,0,半径4r =, 由垂直平分线的性质可知MN FN =,所以4FN CN MN CN MC r +=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E 是以C 、F 为焦点的椭圆,所以24a =,即2a =,因为1c =,所以2223b a c =-=,所以轨迹方程为:22143x y += （2）存在,设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时,由椭圆的对称性,x 轴上的点均符合题意；当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()22224384120k x k x k +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y , 则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+, 因为OTP OTQ ∠=∠,则0TP TQ k k +=, 所以12120y y x t x t+=--,即()1221120x y x y t y y +-+=, 所以()()12122120kx x t k x x tk -+++=, 则()2222412821204343k k k t k tk k k -⋅-+⋅+=++, 所以()24043t k k -=+,即()40t k -=, 所以当4t =时,无论k 为何值,都满足题意,所以存在定点()4,0T ,总有OTP OTQ ∠=∠28．已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u r u u u u r ，且1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r . （1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △. 【答案】（1）2214x y +=；（22. 【解析】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r ，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b +=，得2234c a =. 又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意；当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意.∴可设直线2l 的方程为(()30y k x k =+≠, 联立(223,1,4y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()222241831240k x k x k +++-=， 则21228341k x x k -+=+，212212441k x x k -=+.()()2221212241||1441k MN k x x x x k +=++-=+.由221,1,4y x k x y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2244x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩或2244x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩∴()222161||4k CD k +=+. 又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||2CD =∵2F 到直线CD 的距离2311d k ==+， ∴2112222F CD S =⨯⨯=△. 29．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2，焦距为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线y kx =与椭圆C 交于点E ，F ，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，直线FM 交椭圆C 于另一点N ，证明：EF EN ⊥．【答案】（1）2212x y +=（2）见解析 【解析】（1）由题2c a =，22c =，∴2a = 1e =，1b =， 故椭圆方程为2212x y +=； （2）设00(,)E x y ，()00,F x y --，00(),M x ，则000:()2FM y l y x x x =- 与椭圆方程联立得()222222200000002240x y x x y x x y x +-+-=，由2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+得230002200322N x y x x x y +=+，()0000000000022N N EN N N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===---- 00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+ 2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+ 2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-， ∴00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-，即EF EN ⊥. 30．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率22e =，且椭圆过点2,1). （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r ，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2)见解析 【解析】（1）因为椭圆C 的离心率22e =222a b -=，即222a b =. 因为点)2,1在椭圆C 上，所以22211a b +=. 由22222211a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩. 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 6. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y kx m =+， 联立方程组22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=， ()228420k m ∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k-=+， ()121222212m y y k x x m k +=++=+. 22222421k m MN k +-=+ 点O 到直线MN 的距离是21md k =+由OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v ，得2412D km x k -=+，2212D m y k=+. 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=.由题意，四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为2222222421121OMDN m k m S MN d k k k +-==+++222242m k m +-=. 由22122k m +=，得6OMDN S ∆=OMDN 6.31．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率为22，以椭圆的上焦点F 为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线40x y +-=截得的弦长为22（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线1l ，2l ，且分别交椭圆于M ，N 两点（M ，N 不是椭圆的顶点），探究直线MN 是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.【答案】(1) 22184y x += (2) MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，见解析【解析】（1）∵22e =，∴22b c a ==， 设圆F 的方程为()222x y c c +-=，圆心为()0,c ，半径为c ，设d 为圆心到直线40x y +-=的距离， 则42c d -， ∵222222d r ⎛+= ⎝⎭，∴()22422c c -+=，即28200c c +-=，()()2100c c -+=，∵0c >，∴2c =. 所以椭圆的方程为22184y x +=. （2）设1l 的方程为2x ty =-，2l 的方程为12x y t=--， 联立222802y x x ty ⎧+-=⎨=-⎩，可得()222280y ty +--=， 整理()222180t y ty +-=，设()11,Mx y ， ∵M 不是椭圆的顶点， ∴12821t y t =+， 代入2x ty =-，得2124221t x t -=+， 222428,2121t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 联立 2228012y x x y t ⎧+-=⎪⎨=--⎪⎩，设()22,N x y ，∴222882121t t y t t --==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 带入12x y t =--，得2222214242=2121t t x t t ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222428,22t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ①若MN 斜率存在，()()()()()()2222222222228882821212=42424224221212MN t t t t t t t t k t t t t t t t t --+++++=---+--+-++ 34224243=881t t t t t +=--， MN l ：22228342=212t t t y x t t t ⎛⎫---- ⎪+-+⎝⎭ 22222334281122t t t t y x t t t t -=-⋅---++ ()()()()22222342813112t t t t t y x t t t -+-=---+ ()()3222324112t t t y x t t t +=---+ 223211t t y x t t =--- 23213t y x t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭恒过2,03⎛⎫⎪⎝⎭. ②若MN 斜率不存在，1l 的方程为2x y =-，2l 的方程为2x y =--，28,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时MN l ：23x =，亦过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上，直线MN 恒过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 32．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为(c,0)F ，左顶点为A ，右顶点B 在直线:2l x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．【答案】（Ⅰ）22x y 143+=；（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 【解析】（Ⅰ）依题可知B （a ，0），a=2，因为c 1e a 2==，所以c=1，b 3=故椭圆C 的方程为22x y 143+=． （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：设点P （x 0，y 0），则()22000x y 1y 043+=≠ ①当x 0=1时，点P 的坐标为（1，±32），直线PF 的方程为x=1， D 的坐标为（2，±2）． 此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+-=与直线PF 相切．②当0x ≠1时直线AP 的方程为()00y y x 2x 2=++， 点D 的坐标为004y D 2x 2⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，BD 中点E 的坐标为002y 2x 2⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，故002y BE x 2=+ 直线PF 的斜率为0PF 0y k x 1=-，故直线PF 的方程为()00y y x 1x 1=--，即00x 1x y 10y ---=， 所以点E 到直线PF 的距离000000000222000000000x 12y 21y x 24x 4x y y 2y d BE x 2x 2x 2x 1x 2y 2(x 1)1()3(x 1)y 4--⨯-+--====+++-+-+-+-,故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．33．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=-， （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()2,0F -作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程． 【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 14207x y -=或14207x y += 【解析】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22y k x =-， 又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=， 由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，设直线:2MN x my = 联立方程组222142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()2222220m y my +--=， 易知>0∆，且122222m y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MAB NAB S S =V V ，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得227m =，即14m =， 所以直线MN 的方程为14207x y -=或14207x y ++=． 34．已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是34-。
2020寒假高三数学二轮复习微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题
微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构例题：如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a 2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分 由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k 2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14分。
2020届全国高考数学椭圆知识点总结
2020届全国高考数学椭圆知识点总结（名师总结必考知识点，值得下载背诵）知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22焦点弦：椭圆过焦点的弦。
如何解答与椭圆有关的面积问题
与椭圆有关的面积问题，侧重于考查椭圆的方程、定义、几何性质，三角形的面积公式，弦长公式，以及直线与椭圆的位置关系.而求解与椭圆有关的面积问题主要用到两种三角形的面积公式：（1）S =12ab ⋅sin θ；（2）S =12×底×高.在解题时，需要根据图形的形状来选择合适的公式进行求解.一、焦点三角形的面积问题若P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于长轴端点的点，F 1F 2为两个焦点，则ΔF 1PF 2称作焦点三角形．（1）若∠F 1PF 2=θ，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2①，由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2②.由①②可得：||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF F =12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ=b 2tan θ2.（2）若∠F 1PF 2=θ是未知或不可求的，则需先根据椭圆的定义求得||F 1F 2=2c ；然后将P 点的纵坐标的绝对值看作焦点三角形的高，根据公式S =12×底×高，求焦点三角形的面积.例1.已知P 为椭圆x 2a 2+y 264=1上的一点，F 1和F 2是椭圆的左右焦点.若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为______.解：因为∠F 1PF 2=60°，即α=60°，b 2=64，由S △F 1PF 2=b 2tan α2知，△F 1PF 2的面积为6433.对于本题，由于∠F 1PF 2=60°，且椭圆的方程已知，所以可以直接运用焦点三角形面积公式S △F 1PF 2=b 2tanα2进行求解.例2.已知F 1，F 2分别为椭圆x 29+y 2b2=1(0<b <3)的左右焦点，点P 在椭圆上，点I 为△PF 1F 2的内心，若PI =29PF 1+49 PF 2，则△PF 1F 2的面积为______.解：延长PI ，交x 轴于点Q ，设 PI =xPQ ，则 PI =x PQ =29 PF 1+49 PF 2，PQ =29x PF 1+49xPF 2，因此29x +49x =1，得x =23，因此 PI =23PQ ．设P ()x 0,y 0，y 0≠0，则△PF 1F 2内切圆的半径r =13||y 0．又S △P F 1F 2=12||F 1F 2||y 0=12r ()||PF 1+||PF 2+||F 1F 2,所以c ||y 0=r (a +c )=13(a +c )||y 0，即a =2c ．因为a =3，所以||PF 1+||PF 2=6，由 PQ =13 PF 1+23PF 2可得 PQ - PF 1=2() PF 2- PQ ，即 F 1Q =2 QF 2，所以||F 1Q =2||F 2Q ，由角平分线的性质可得||PF 1=2||PF 2，因此||PF 1=2||PF 2=4，||F 1F 2=3，由余弦定理得cos∠F 1PF 2=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=1116，因此sin∠F 1PF 2=1-cos 2∠F 1PF 2=31516，所以S △PF F =12||PF 1⋅||PF 2⋅sin∠F 1PF 2=3154，故△PF 1F 2的面积为3154．本题较为复杂，需先根据三角形内心的性质以及角平分线的性质得出a 、c 的值；然后利用椭圆的定义、余弦定理求得||PF 1⋅||PF 2以及sin∠F 1PF 2，即可根据三角形的面积公式S =12ab ⋅sin θ求得问题的答案.二、非焦点三角形的面积问题非焦点三角形的面积问题往往可以通过分割，将转化为三角形的面积问题.主要有两种情形：（1）若三角形的一个顶点在坐标轴上，则可用该坐标轴将三角形分为两部分，分别将该坐标轴上的线段看作两个三角形的底边，另外两个定点的横（纵）坐标的绝对值看作高线长，利用S =12×底×高求三角形的面积；（2）若三角形的三个顶点均不在坐标轴上，需先求出三角形一条边AB 所在直线的方程；然后根据点到直线的距离公式求得另一个顶点到AB 的距离d ，则三角形的面积为S =12×||AB×d .例3.如图1，已知椭圆x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的离心率左右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，坐标原点O 到考点透视38直线AD 的距离为255.（1）求椭圆的方程；（2）过A 点作两条互相垂直的直线AP ，AQ ，分别与椭圆交于P ，Q 两点，求△BPQ 面积的最大值.解：（1）椭圆的方程为x 24+y 2=1.（过程略）（2）设PQ 的直线方程为x =ty +m ，P ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，联立方程得ìíîx =ty +m ,x 2+4y 2-4=0,得()t 2+4y 2+2mty +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2mt t 2+4，y 1y 2=m 2-4t 2+4，因为AP ⊥AQ ，则A ()-2,0，所以()x 1+2()x 2+2+y 1y 2=0，得x 1x 2+2()x 1+x 2+4+y 1y 2=0，即()t 2+1y 1y 2+()mt +2t ()y 1+y 2+(m +2)2=0.所以()t 2+1⋅m 2-4t 2+4+()mt +2t ⋅-2mt t 2+4+(m +2)2=0.整理得5m 2+16m +12=0，解得m =-65或m =-2（舍去），故y 1+y 2=12t 5()t 2+4，y 1y 2=-6425()t 2+4，则S △BPQ =12⋅()2+65||y 1-y 253225令25t 2+64=u ()u ≥8，则S △BPQ =3225⋅u u 2-6425+4=32u +36u ≤328+368=6425,此时△BPQ 最大值为6425.我们需先将直线与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，根据韦达定理求得y 1+y 2、y 1y 2的表达式；然后用x轴将△BPQ 拆分为两部分，以x 轴上的线段为底边，P 、Q的纵坐标的绝对值为高线长，利用S =12×底×高求三角形的面积.图1图2例4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，（1）求椭圆C 的方程；（2）如图2，过点P (-2,1)的直线与椭圆C 交于不同的两点D ,E ，点D 在第二象限，直线AD ,AE 分别与x 轴交于M ,N ，求四边形DMEN 面积的最大值．解：（1）椭圆方程为x 24+y 2=1；（过程略）（2）由题意可知直线DE 的斜率存在，设直线DE 的方程为y -1=k (x +2)，k <0，D ()x 1,y 1,x 1<0,y 1>0，则E ()x 2,y 2,y 2<y 1，y 1=kx 1+2k +1，y 2=kx 2+2k +1，联立方程得ìíîy =kx +2k +1,x 2+4y 2-4=0,可得()1+4k 2x 2+8k (2k +1)x +16k 2+16k =0，需满足Δ>0，可得x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k 2，x 1⋅x 2=16k (k +1)1+4k 2，又l AD :y =y 1-1x 1x +1，则x M =x 11-y 1，同理可得x N =x 21-y 2，故S DMEN =12||x N -x M ×()y 1-y 2=12||||||||x 21-y 2-x 11-y 1×()y1-y 2=16k 2(2k +1)2-16k (k +1)()4k 2+14k 2+1=-164k +1k=16-4k +()-1k≤1624=4，当且仅当-4k =()-1k ，即k =-12时等号成立，故四边形DMEN 面积的最大值为4.对于四边形面积问题，通常可将四边形合理拆分为两个易于求面积的三角形.对于本题，我们将四边形DMEN 拆分为三角形NMD 与三角形MNE ，并以MN 为底，D 、E 两点的纵坐标的绝对值为高线长，即可运用S =12×底×高求三角形的面积.由此可见，求解与椭圆有关的面积问题，关键是根据图形的形状，选择合适的三角形面积公式，并利用弦长公式、点到直线的距离公式、韦达定理、余弦定理求三角形的边长、底边长、高线长、夹角.（作者单位：贵州省遵义市绥阳中学）考点透视39。
微专题25椭圆中与面积有关的定点答案
微专题25例题证法1（1）解：椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，2a ∴=，1b =，则c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为e （2）证明：如图， 设0(P x ，0)y ，则002PA y k x =-，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =--，取0x =，得0022M y y x =--； 001PB y k x -=，PB 所在直线方程为0011y y x x -=+，取0y =，得001N xx y =-． 0000022||2211N x y x AN x y y --∴=-=-=--，00000222||1122M y x y BM x x x +-=-=+=--． ∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x --+-==-- 22220000000000000000000000(22)(2)4(2)4444841112(1)(2)222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +-+-++++--+=-==--+--+--000000004(22)11422222x y x y x y x y +--==⨯=+--．∴四边形ABNM 的面积为定值2．设点P(x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1(x 0＜0，y 0＜0)．所以，直线PA 方程：y ＝y 0x 0(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2.∴BM ＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程：y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1.∴AN ＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1 ∴S 四边形AMNB ＝12AN·BM ＝12⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02＋4y 02＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.所以，四边形AMNB 的面积为定值．证法2设点P(2cos θ，sin θ)，因为P 在第三象限，所以不妨设π＜θ＜3π2，直线PA ：y ＝sin θ2cos θ－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝sin θ1－cos θ.∴BM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ＋cos θ－11－cos θ.直线PB ：y ＝sin θ－12cos θx ＋1，令y ＝0，x N ＝2cos θ1－sin θ.AN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin θ＋2cos θ－21－sin θ. ∴S 四边形AMNB ＝12AN·BM ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin θ＋2cos θ－21－sin θ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ＋cos θ－11－cos θ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2sin θ－2cos θ＋2sin θcos θ1－sin θ－cos θ＋sin θcos θ＝2.所以，四边形AMNB 的面积为定值． 说明：将四边形面积转化为12AN·BM ，是顺利解题的关键．本例可以拓展为一般的情形．变式联想变式1 答案：AN·BN 为定值．解析：根据例题解析，可知AN·BM ＝4.说明：实际上，正是因为AN·BM 为定值，当P 在第三象限时，四边形AMNB 为凸四边形，所以才有上述例题，而点P 分别在第二、第一、第四象限时，四边形AMNB 为凹四边形，其面积依然为定值2，但中学阶不研究这类图形．变式2 答案：2.解析：设点P(x 0，y 0)，则有x 022＋y 02＝1.所以AP 方程：y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得m ＝x 01－y 0.由题意，点Q 与P 关于x 轴对称，所以Q(x 0，－y 0)，同理得n ＝x 01＋y 0.所以mn ＝x 021－y 02＝2.所以mn ＝2为常数．说明：本题看起来很简单，实际上，点A 只要是椭圆上的一个定点，都有mn ＝2的结论，更一般地，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ≠b)，有mn ＝a 2.对于一般的情况，直接运算就有一定难度．建议数学能力强的学生直接从一般情况入手研究．本题题根来自圆，如图，PQ ⊥l ，那么l 垂直平分PQ ，所以∠QAP ＝12∠QOP ＝∠FOP ，由此最终可得△EAO ∽△AFO ，从而OE·OF ＝OA 2＝r 2.串讲激活串讲1答案：(1)略；(2)1.解析：(1)证明：S ＝12·OA·OB·sin 〈OA →，OB →〉＝12OA·OB ·错误!＝错误!错误!OA 2·OB 2－(错误!·错误!)2)＝12|x 1y 2－x 2y 1|. (2)解：设A(2cos α，sin α)，B(2cos β，sin β)．由l 1与l 2的斜率之积为－14.所以y 1y 2x 1x 2＝sin αsin β2cos α2cos β＝－14，所以cos αcos β＋sin αsin β＝0，所以cos (α－β)＝0.又S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝|cos αsin β－cos βsin α|＝|sin (α－β)|＝1.所以△AOB 面积S 的值为1.说明：本题用另一种求三角形面积的方法S ＝12AB·AC sin A ，在解析几何中，求夹角的正弦值需要利用余弦转化，从而需要用到两向量的夹角公式． 此外，本题也可以用与例题相同的方法求解： 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则直线AB ：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，令y ＝0，则x ＝－y 1（x 2－x 1）y 2－y 1＋x 1＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，所以S ＝12|y 1－y 2|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1＝12|x 1y 2－x 2y 1|.串讲2 答案：P ⎝⎛⎭⎫263，1.解析：因为点P 为椭圆上位于第一象限内的一点，所以设P(x 0，y 0)(x 0，y 0＞0)．则直线PA 方程：y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝0，得y M ＝2y 0x 0＋2，即M ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0＋2.同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2y 0x 0－2.所以，S △MOA ＝2y 0x 0＋2，S △NOB ＝－2y 0x 0－2.所以2y 0x 0＋2＋－2y 0x 0－2＝6，即4y 0＝12－3x 02.所以⎩⎨⎧4y 0＝12－3x 02，3x 02＋4y 02＝12，由于x 0，y 0＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝263，y 0＝1.即点P )1,362(. 新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)x －2y ＋2＝0.解析：(1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，所以b ＝c.所以直线BD 的方程是y ＝－22x ＋b ，又O 到直线BD 的距离为63，所以b 1＋12＝63， 所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设P(2，t)，t ＞0，那么直线PA 方程是y ＝t22(x ＋2)， 联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t22（x ＋2），整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0，解得x ＝42－2t 24＋t 2，则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t 2，4t 4＋t 2. 因为△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，所以△AOC 的面积等于△BPC 的面积， 而S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t 4＋t 2，S △PBC ＝12×t ×⎝⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t 2， 所以t ＝2，所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0.。
微专题25椭圆中与面积有关的定点、定值问题答案
微专题251．答案： 2.解析：由题意，PF 1＋PF 2＝4，所以△PF 1F 2的三边长分别为3，1，22，显然△PF 1F 2是直角三角形，所以S ＝12×1×22＝ 2.2．答案：23.解析：△F 1AB 的面积S ＝12·F 1F 2·|y 1－y 2|＝3|y 1－y 2|＝2，所以|y 1－y 2|＝23.3．答案：7.解析：将直线l 的方程y ＝x ＋m 代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中，得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＝0，化简得m 2＝7.设d 1＝F 1M ＝|－1＋m |2，d 2＝F 2N ＝|1＋m |2，又|d 1－d 2|＝MN ，所以S ＝12|d 1－d 2|(d 1＋d 2)＝⎪⎪⎪⎪d 12－d 222＝|m |＝7.4．答案：92.解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4； 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2.所以AB ＝32，此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12AB ·d ＝92.5．答案：6.解析：设P (x 0，y 0)，则x 0212＋y 024＝1，即y 02＝4－x 023.设M (x M ，y M )，由A ，P ，M 三点共线，即AP →∥AM →，所以(x 0＋3)(y M ＋1)＝(y 0＋1)(x M ＋3)，又点M 在直线y ＝x 上，解得M 点的横坐标x M ＝3y 0－x 0x 0－y 0＋2，设N (x N ，y N )，由B ，P ，N 三点共线，即BP →∥BN →，所以x 0(y N ＋2)＝(y 0＋2)x N ，点N 在直线y ＝x 上，解得N 点的横坐标x N ＝－2x 0x 0－y 0－2.所以OM ·ON ＝2|x M －0|·2|x N －0|＝ 2|x M |·|x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y 0－x 0x 0－y 0＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2x 0x 0－y 0－2＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02－6x 0y 0（x 0－y 0）2－4＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02－6x 0y 0x 02－2x 0y 0－x 023＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－3x 0y 0x 023－x 0y 0＝6. 6．答案：x 26＋y 23＝1.解析：由题意，设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，其中0＜m ＜n .则有m ＋n ＝12.另一方面，联立⎩⎨⎧y ＝x ＋3，mx 2＋ny 2＝1，消去x 得12y 2－23my ＋3m －1＝0.因为OP ∥AB ，所以△P AB 的面积即为△OAB 的面积，所以S ＝12×3·|y 1－y 2|＝66m 2－3m ＋1＝2，所以6m 2－3m ＋13＝0，解得m ＝13或者m ＝16.因为0＜m ＜n ，所以m ＝16，n ＝13.椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.7．答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)y ＝－22x ＋62.解析：(1)因为椭圆C 过点(0，1)和⎝⎛⎭⎫1，22，代入椭圆方程，得 ⎩⎨⎧02a 2＋12b 2＝1.12a 2＋12b 2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的标准方程是x 22＋y 2＝1.(2)因为切点在第一象限，所以可设直线l 为y ＝kx ＋m (k ＜0，m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2·21＋2k 2，因为直线l 与圆O 相切，圆心O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝1，所以m 2＝1＋k 2.线段AB 的长为l AB ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 1＋k 2·⎝⎛⎭⎫4km 1＋2k 22－4·2m 2－21＋2k 2＝22·1＋k 21＋2k 2·k 2，所以△OAB 的面积S ＝12l AB·d ＝12×22×1＋k 21＋2k 2·k 2＝64，即（1＋k 2）·k 2（1＋2k 2）2＝316，所以16(1＋k 2)·k2＝3(1＋2k 2)2，即(2k 2＋3)(2k 2－1)＝0，所以k 2＝12，k ＝－22，所以m ＝62，直线l 的方程为y ＝－22x ＋62. 8．答案：(1)4a 2b 2a 2＋b 2；(2)直线l 1和l 2的斜率分别为b a 和－b a ，此时d 12＋d 22＝2a 2b 2a 2＋b 2；(3)1a 2＋1b2＝1. 解析：(1)因为四边形ACBD 为正方形，所以直线l 1，l 2的方程为y ＝x 和y ＝－x . 点A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1的实数解，解得x 12＝x 22＝a 2b 2a 2＋b 2.根据对称性，可得正方形ACBD 的面积S ＝4x 12＝4a 2b 2a 2＋b 2. (2)由题意，不妨设直线l 1的方程为y ＝kx (k ≠0)，于是直线l 2的方程为y ＝－kx .设P (x 0，y 0)，于是有x 02a 2＋y 02b 2＝1，又d 1＝|kx 0－y 0|k 2＋1，d 2＝|kx 0＋y 0|k 2＋1，d 12＋d 22＝（kx 0－y 0）2k 2＋1＋（kx 0＋y 0）2k 2＋1＝2k 2x 02＋2y 02k 2＋1，将y 02＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 02a 2代入上式，得d 12＋d 22＝2k 2x 02＋2b 2⎝⎛⎭⎫1－x 02a 2k 2＋1＝⎝⎛⎭⎫2k 2－b 2a 2x 02＋2b 2k 2＋1，对于任意x 0∈[－a ，a ]，上式为定值，必有k 2－b 2a 2＝0，即k ＝±ba，因此，直线l 1和l 2的斜率分别为b a 和－b a ，此时d 12＋d 22＝2a 2b 2a 2＋b2.(3)设AC 与圆x 2＋y 2＝1相切的切点坐标为(x 0，y 0)，所以x 02＋y 02＝1，则切线AC 的方程为x 0x ＋y 0y ＝1.点A ，C 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1的实数解．①当x 0＝0或y 0＝0时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1，1)，于是有1a 2＋1b 2＝1.②当x 0≠0且y 0≠0时，将y ＝1y 0(1－x 0x )代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(b 2y 02＋a 2x 02)x 2－2x 0a 2x＋a 2(1－b 2y 02)＝0，于是x 1x 2＝a 2（1－b 2y 02）b 2y 02＋a 2x 02，同理可得y 1y 2＝b 2（1－a 2x 02）b 2y 02＋a 2x 02.因为ACBD 为菱形，所以AO ⊥CO ，得AO →·CO →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以a 2（1－b 2y 02）b 2y 02＋a 2x 02＋b 2（1－a 2x 02）b 2y 02＋a 2x 02＝0，整理得a2＋b2＝a2b2(x02＋y02)．因为x02＋y02＝1，得a2＋b2＝a2b2，即1a2＋1b2＝1.综上，a，b满足的关系式为1a2＋1b2＝1.。
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中与面积有关的取值范围问题》
专题37椭圆中与面积有关的取值范围问题取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.如图37-1所示，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，左准线方程为x＝－2.图37-1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．求椭圆中某个三角形的面积的最值或范围问题，一般是从函数角度出发，本题也是如此，而构建函数是本题的关键，先是选择变量，条件OA⊥OB启示本题应选直线OA(或OB)的斜率k为变量，根据三角形的几何特征，通过代数计算建立三角形的面积关于k的函数，然后利换元法求出最终结果.如图37-3所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．图37-3设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .如图37-4所示．图37-4(1)求OQ OP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．如图37-5所示，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．图37-5已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．如图37-6所示．图37-6(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时， 求l 的方程．(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，12)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图37-7所示．图37-7(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△PCD 面积的最大值．(本小题满分14分)(2019·苏北七市三模)如图37-8所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A (0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M (0,1)．图37-8(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N . 若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率.(1)x 24＋y 23＝1；(2)±12.(1)因为椭圆C 的上顶点为A ()0 ， 3，所以b ＝3，又圆O : x 2＋y 2＝14a 2经过点M ()0 ， 1，所以a ＝2. …………………………………………………………………………………………2分(求出a )所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)若l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.…………………………………………………………………………………5分(检验l 1的斜率为0是否合理)设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1)消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，设P ()x 1 ， y 1，Q ()x 2 ， y 2，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2， 所以|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2||x 1－x 2＝461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2.…………………8分(利用弦长公式求出PQ )直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0，圆心到直线的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以|MN |＝21－k 21＋k 2＝21＋k 2. …………………………………………………………………11分(由| MN |＝2 r 2－d 2 容易求得MN )所以△PQN 的面积S ＝12|PQ |·|MN |＝12×461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.…………………………………………………………14分(将求得的PQ ，MN 代入面积公式求出l 1的斜率)答题模板 第一步：由圆O 过点M ，求出a ；第二步：求出椭圆的方程；第三步：检验l 1的斜率为0时，题设是否成立；第四步：联立方程，由弦长公式求出PQ ；第五步：由圆心到直线的距离和半径求出圆的弦长MN ； 第六步：将求出的PQ ，MN 代入S △PQN ＝3求得斜率k .作业评价点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上的动点，F 1，F 2是左右焦点，若∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是_________．若椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是________．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的长轴端点为A ，B ，短轴端点为C ，D ，动点P 满足P A PB ＝2，△P AB 面积的最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则此椭圆的离心率为_________．已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积最大值为3b 2，则椭圆的离心率为________．过椭圆x 216＋y 24＝1上一点P 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 面积的最小值为________．椭圆两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 为椭圆上的动点，直线PF 2与椭圆的交点为Q ，若△PF 1Q 面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为________．如图37-10所示，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n ＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．图37-10如图37-11所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B，C 两点，过B，C两点且分别与直线AB，AC垂直的直线相交于点D.已知椭圆E的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455.(1)求椭圆E的标准方程；(2)证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求△BCD面积的最大值．图37-11。
江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件
DA x , y b, DB x , y b
11
2
2
DA DB x x y b y b
12
1
2
x x y y by y b
12
12
1
2
0（*）
y +y
1
2
kx 1
x 2
2 3
2
32k 2
1
yy 12
kx 1
1 3
kx 2
1 3
优秀课件PPT公开课优质课PPT课件20 20届 江苏省 高考二 轮复习 专题： 椭圆中 一类定 点问题 解法探 究课件( 共19张 PPT)
2.一些技巧：
（3）若等式为含k分式，可以考虑使其分子为0， 或者可以考虑让分子分母消去k的式子变成常数.
面对复杂问题时，可以从特殊情况入手，以确定可能的定点，再进行证明.
优秀课件PPT公开课优质课PPT课件20 20届 江苏省 高考二 轮复习 专题： 椭圆中 一类定 点问题 解法探 究课件( 共19张 PPT)
2设直线l：y kx 1 , A x , y , B x , y
3
11
2
2
联立方程
y
kx
1 3
x
2
y2
1
2k 2
1
x2
4 3
kx
16 9
0
2
有x x 4k ,
1
2
32k 2 1
16 xx
1 2 9 2k 2 1
设D 0,b，因为以AB为直径的圆过D 点，
所以有DA DB， DA DB=0
2t
解得t=2（舍）.
从而设直线l：y kx m m 1
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题简案
微专题34例题导引例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1解析： (1) 设点P (x 0，y 0)，则点Q (－x 0，－y 0)，点A (－2，0)，所以直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0＋2. 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0－2，所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4. 又点P 在椭圆C 上，故x 204＋y 203＝1， 即x 20－4＝－43y 20， 所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4＝1(定值)． (2)设点P (x 1，y 1)，点Q (x 2，y 2)．设直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以－2＋x 1＝－16k 213＋4k 21，x 1＝6－8k 213＋4k 21，y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21. 因为k 1·k 2＝－1，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21－83k 21＋4，－12k 13k 21＋4.当k 21＝1时，6－8k 213＋4k 21＝－27＝6k 21－83k 21＋4， 点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x ＝－27， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为－27； 当k 21≠1时，k PQ ＝12k 13＋4k 21－－12k 13k 21＋46－8k 213＋4k 21－6k 21－83k 21＋4＝7k 14（1－k 21）， 直线PQ 的方程为y －12k 13＋4k 21＝7k 14（1－k 21）(x －6－8k 213＋4k 21)， 令x ＝－27，得y ＝7k 14（1－k 21）⎝ ⎛⎭⎪⎫－27－6－8k 213＋4k 21＋12k 13＋4k 21＝0， 所以直线PQ 过定点R ⎝⎛⎭⎫－27，0 变式2答案： (1) 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 因为OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ.又因为点M 在椭圆上，故 （x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2(x 1x 22＋y 1y 2)cos θsin θ＝1. 将①②代入上式，得⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝0， 因为cos θsin θ≠0，所以x 1x 22＋y 1y 2＝0， 所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值． (2)3.串讲激活串讲答案：定点(1，0)．新题在线例题答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)x ±y －1＝0； (3)证明：设直线l ：y ＝k (x －1)， 代入椭圆整理得(2k 2＋1)k 2－4k 2x ＋2k 2x ＋2k 2－4＝0，设E (x 1，k (x 1－1))，F (x 2，k (x 2－1))，∴x 1，2＝4k 2±16k 4－4（2k 2＋1）（2k 2－4）2（2k 2＋1）， ∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 直线AE 的方程为y ＝k （x 1－1）x 1＋2(x ＋2)， 令x ＝3，解得 M (3，5k （x 1－1）x 1＋2)，同理，得 N (3，5k （x 2－1）x 2＋2) ∵Q 为M ，N 的中点，∴y Q ＝5k 2(x 1－1x 1＋2＋x 2－1x 2＋2)＝5k －15k 2·x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2x 1＋2x 2＋4， 将 x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 代入上式整理得y Q ＝－53k， ∴k ′＝－53k 3－1＝－56k， ∴k ·k ′＝－56为定值．。
2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)
12k
y
2
D
4k 2 3
2
猜想：直线l 过定点P 1, 0 ，下证之：
12k
12k
1
2
4k 2 3
4k 2 3
k k 1
2
6 8k PC
PD
2
8k 2 6
1 1
2
1
4k 2 3
4k 2 3
1
2
4k 12k
1
2
1 4k 2 4k 2 9
1
2
4k
36k
= 1+
1
1 4k 2 36k 2 9
找到等量关系，化双参数为单参数，
x 2 m x 2 y 0 并按参数整理，寻找定点.
令
x x
2 2
y
0
0
x
y
2 1
故过定点2, 1.
【解法提炼】
1.常见定点问题的处理方法：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为k）；
（2）利用条件找到k与过定点曲线F（x,y）=0的联系，得到有关k与x，y的等式；
面对复杂问题时，可以从特殊情况入手，以确定可能的定点，再进行证明.
【变式】已知圆C 1
：
x
12
y2
8 ，点
C 2
1, 0 ，点Q在圆C上运动，QC2
的垂直平分
线交 QC 1
于点P.（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）过S
0,
1 3
且斜率为k的动直线
l交曲线W于A,B两点，在y轴上是否存在定点D，使得以AB为直径的圆恒过这个点？
令
b2 1 3b2
0 2b
5
， 0
可得b 1, 所以存在定点0, 1.
微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题
又 4k2－k＋4＝0 无实根，所以 k＝1.所以△AMN 的面积为
12AM2＝12 1＋1·31＋242＝14494.
4．已知 A，B 分别为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，直线
y＝kx(k＞0)与椭圆交于 C，D 两点，若四边形 ACBD 的面积最大值
过点 P，则有 xx12xx00＋ ＋yy12yy00＝ ＝22，.
所以 MN 坐标满足方程 xx0＋yy0＝2，所以 MN 直线方程为 x0x＋y0y ＝2.
所以 Ax20，0，B0，y20，所以 S△OAB＝12·x20·y20＝|x02y0|. 又因为1x620 ＋y420＝1≥2 x620y420＝|x04y0|，所以|x0y0|≤4，即 S△OAB≥12.
答案：(1)x22＋y62＝1；(2)①kBC＝ 3，②△ABC 面积取得最大值 3.此时， 直线 BC 的方程为
y＝ 3x± 6.
解析：(1)把点 A(1， 3)代入x22＋yn2＝1 得 n＝6，故椭圆方程为x22＋y62＝
1. (2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直．
因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为 k1，k2，由
为 3b2，则椭圆的离心率为
7 3
.
解析：如图，不妨设 C 在第一象限，设 C(x0，y0)，则 x0＝acosθ，y0＝ bsinθ.那么△ACD 的面积为 ay0，△BCD 的面积为 bx0，所以四边形 面积 SACBD＝ay0＋bx0＝ab(cosθ＋sinθ)＝ 2absinθ＋π4≤ 2ab＝3b2. 所以，ba＝ 32，所以 e＝ac＝ 37.
－y420＝y420，即 y0＝± 2时等号成立，故 y0＝± 2时，△BCD 面积的最大
数学高考二轮热点难点微专题六椭圆中的定点、定值问题
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
专课 题时 综作 述业
椭圆中的三定(定点、定值、定线)问题近几年高考题中考察频率降低，但在模考题 中依然是热点，这类问题中直线、圆、椭圆、向量共存，考察运算能力和数学思 想运用常见题型．
第10页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
又因为P→N＝x0，x12－y12，Q→N＝x0，x22－y22， 所以P→N·Q→N＝x20＋x12－y12·x22－y22＝x20＋x1－42y1yx22－2＝0 恒成立． 又因为(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝41k＋2－4k42－21＋8k42k2＋4＝1＋4k42k2， y1y2＝k(x1－1)k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝k241k＋2－4k42－1＋8k42k2＋1＝1－＋34kk22，
x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
解析：(1)
由题意得ac＝ 23， a12＋43b2＝1，
解得 a＝2，b＝1.所以椭圆 C 的方程是x42＋y2
＝1. (2) 以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
当且仅当 m>－1 时，Δ>0，欲使 l：y＝－m＋2 1x＋m，即 y＋1＝－m＋2 1(x－2)， 所以 l 过定点(2，－1)． 点评：椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这 一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化， 找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之 前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联 立方程组，求判别式、根与系数关系，根据题设关系进行化简．
苏教高中数学高考二轮复习专题椭圆中面积最值问题ppt
苏教高中数学高考二轮复习专题椭圆 中面积 最值问 题ppt（ 精品系 列PPT ）
典例剖析
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先画图 线参数
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先画图
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典例剖析
线参数
D
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参数m, n的关系
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典例剖析
D
典例剖析
点参数
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建立面积关于坐标分量 的二元(或一元)函数
也可以三角换元 求此最值
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典例剖析
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建立面积函数
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解法提炼
求椭圆中三角形面积的最值： (1)解题方向：建立面积关于某个(某些)变量的函数． (2)实现策略
选择参数：斜率参数，点参数，线参数，角参数等． 计算要点：①选择恰当的三角形面积计算公式；②选择点参 数(或线参数)时要善于利用等式消元；③关注参数的范围(定义 域)；④求最值的方法：导数法，基本不等式法，几何法等．
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例题：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋y2＝1，点A，B分别是椭圆的右微专题25椭圆中与面积有关的定点、定值问题
狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量．由于二次量的计算量大，过程繁琐，常常会使学生陷入会而不对的绝境．解决问题的关键是聚焦运算目标，利用整体代换、设而不求等思想方法，有效减少运算量，优化解题流程.
x2
4
顶点和上顶点，P为椭圆位于第三象限内一点，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，求证：四边形AMNB的面积为定值．
4
x 2 变式 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： ＋y 2＝1，点 A ，B 分别是椭圆的右
顶点和上顶点，设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：AN·BM 为定值．
变式2如图，已知椭圆＋y2＝1，过椭圆的上顶点A作一条与两轴均不平行的直线l
x2
2
交椭圆于另一点P，设点P关于x轴的对称点为Q，若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．
x2
串讲1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆4＋y2＝1，过原点O的两条射线l1和l2分别与椭圆交于A和B△，记得到的AOB的面积为S.
1
(1)设A(x
1
，y1)，B(x2，y2)，求证：S＝2|x1y2－x2y1|；
1
(2)设l
1
与l2的斜率之积为－4，求面积S的值．
串讲2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1，点A，B分别是椭圆的左、右
x2y2
43
顶点，点P为椭圆上位于第一象限内的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与y轴交于点N△，若MOA与△NOB的面积之和为6，求点P的坐标．
x2y22 (2018·无锡1月期末改编)已知椭圆E：a
2
＋b
2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
2，F1
，F2分别为左、右焦点，A，B分别为左、右顶点，D为上顶点，原点O到直线BD的距离为
6
3.设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连接PA交椭圆于点C.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程．
(2018· 江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点⎝ 3，2⎭，焦点 F 1(－ 3， 7 ，求直线 l 的方程． 答案：(1) ＋y 2＝1，x 2＋y 2＝3；(2)①( 2，1)，②y ＝－ 5x ＋3 2. ⎧ 3 ＋ 1 ＝1， ⎧a 2＝4， ⎛ 3， 在椭圆 C 上，所以⎨a 2 4b 2 1⎫ 又点⎝ ，解得⎨ 2⎭ ⎪⎩a 2－b 2＝3， 因此，椭圆 C 的方程为 ＋y 2＝1.2 分 则 x 02＋y 02＝3，所以直线 l 的方程为 y ＝－ 0(x －x 0)＋y 0， y 0 y 0
⎛ 1⎫
0)，F 2( 3，0)，圆 O 的直径为 F 1F 2.
(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程；
(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P .
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 2 6 ②直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．若△OAB 的面积为
x 2 4
x 2 y 2 解析：(1)因为椭圆 C 的焦点为 F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0)，可设椭圆 C 的方程为a 2＋b 2＝
1(a ＞b ＞0)．
⎩b 2＝1，
x 2 4
因为圆 O 的直径为 F 1F 2，所以其方程为 x 2＋y 2＝3.
(2)①设直线 l 与圆 O 相切于 P(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，
x y 0
x 3 即 y ＝－ 0x ＋ .5 分
⎧x ＋y ＝1， ⎨ 4 消去 y ，得(4x x 3 ⎩y ＝－y x ＋y ，
2＋y 2)x 2－24x x ＋ B(x 2，y 2)，由(*)得 x 1，2＝ ，11 分 所以 AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝1＋y 02⎭·48y 02（x 02－2）.因为 x 02＋y 02＝3， 7 7 16（x 02－2） 32 （x 02＋1）2 49，即 2x 0
4－45x 2＋100＝0，13 分
由 2 2
0 0 0 0 0 0 36－4y 02＝0.(*)，因为直线 l 与椭圆 C 有
且只有一个公共点，所以 Δ＝(－24x 0)2－4(4x 02＋y 02)(36－4y 02)＝48y 02(x 02－2)＝0.7 分 因为 x 0，y 0＞0，所以 x 0＝ 2，y 0＝1.因此，点 P 的坐标为( 2，1).9 分
2 6 1 2 6 4 2 ②因为三角形 OAB 的面积为 .所以2AB·OP ＝ ，从而 AB ＝ 7 .设 A(x 1，y 1)， 24x 0± 48y 02（x 02－2） 2（4x 02＋y 02） ⎛ x 2⎫
0 （4x 02＋y 02）2 所以 AB 2＝ ＝ 0 5 1 ⎛ 10 2⎫ 解得 x 02＝2(x 02＝20 舍去)，则 y 02＝2，因此 P 的坐标为⎝ 2 ， 2 ⎭.15 分 综上，直线 l 的方程为 y ＝－ 5x ＋3 2.16 分。