平方根和开平方

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12.2平方根和开平方（2）

上海市静教院附校蔡怡婷

教学目标

1、经历2是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想；

2、会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；

3、会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.

教学重点

1．会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；.

2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识.

教学难点

尝试用逐步逼近法探索2的近似值.

教学流程设计

教学过程设计

一、复习引入

1．问题：2的意义是什么？根据其意义，你能否猜测2有多大？2．探索：2的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<2<2，即2的整数部分为1.

3．规律总结：当c>a>b>0时，b

>.

c>

a

二、学习新课

1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，

1.42=________，1.52=________；

2、思考：

（1）观察计算结果，你有什么发现？

小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：

1.4<2<1.5，所以2的十分位为4.

（2）：如何求2的百分位？

方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________. 因为1.412<2<1.422，所以1.41<2<1.42，得2的百分位为1. 3．巩固性问题：

（1） 请求出2的千分位.

（2） -2有多大？（精确到千分位） 4．例题分析：

用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数）

（1）8 （2）2

9

4

解：（1）8±≈±2.828.

（2） 9

4

2

±

≈±1.563.

三、巩固练习

1、用计算器求值（近似值保留四位小数） （1）5 （2）78.5

3、求下列各数的整数部分，你可以用几种方法？

(1)3 (2) 12 (3) 72

【说明】

求a 的整数部分一般有两种方法：

（1） 找到与被开方数a 最接近且比它大的一个完全平方数n 2，那么一定有“n 2>a ≥（n-1）2”，从而“n >a ≥n -1”，可以确定a 的整数部分为n-1；

（2） 用计算器求出其近似值，然后取整数部分，需要注意的是：此时取整数部分不要四舍五入，把小数部分全部舍去.

四．问题拓展

1．思考：满足x 2<2006的整数x 有多少个？

2．阅读理解题：用逐次逼近法求平方根的计算步骤是： （1）．任意取x 1>0，作为a 的第一个估计值；

（2）由x 1出发，计算x 2=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+11x a x 21，作为a 的第二个估计值；

（3）分别由x 2、x 3、x 4、…出发，重复步骤（2），求出x 3、x 4、x 5、…作为a 的第三个、第四个、第五个、…的估计值；

由此得到x 2、x 3、x 4、…将一个比一个更接近a 的不同精确度的近似值.

请用逐次逼近法，求5的近似值.（保留4个有效数字）

五、课堂小结

1．“逐步逼近法”的基本原理.

2．求一个正数的正平方根的整数部分其本质就是用“逐步逼近法”求算术平方根的近似值，只是结果保留整数.

3．用计算器求平方根的近似值不同于“逐步逼近法”，最后结果要用“四舍五入”法保留要求的精确度.

4．根据正平方根的近似值取其相反数可以得到一个正数的两个平方根.

六、作业布置

1 . 课本和练习册上的练习

2 . 复习所学的知识

3 . 预习新课

教学设计说明

1．无理数是学生刚刚开始接触、与有理数完全不同的另一类数，其表示方法也是全新的，部分学生对“a”还没有真正的理解，只处于模仿的阶段；而“逐步逼近法”又是一个比较抽象、难以理解的数学思想方法，二个难点碰到一起，本节课处理不好，学生一节课的学习不但不会有太大的收获，同时还可能造成对数学的恐惧和厌恶.

为避免学生在学习过程中感到“难、烦”，可以把课堂教学各个环节设计地尽可能明晰，每个环节的任务明确，结论单一，同时，环节宜少不宜多.

在这种思路引领下，笔者设计了本节课，实施教学时，目标基本达到.

2．为了更加清楚地说明“2”的大小，笔者认为，利用其意义“面积等于2的正方形的边长”来引入既起到了复习的作用，同时，

在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积，把面积的大小比较转化为边长的大小比较，渗透了“转化”的数学思想方法，而在动手操作中由可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础.

3．在问题探究时，笔者设计利用几个子问题（先求整数部分、再求十分位、最后求百分位，而巩固性问题中继续求千分位）搭起台阶，学生对使用计算器是很有热情的，因此请他们用计算器计算，然后把计算结果与2进行大小比较，可以提高他们的参与热情和学习兴趣.而几个子问题具有相同的解决方法，在这样不断重复的过程中，逐步逼近法的本质就被发现并掌握了.

4．部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够有更多的收获，同时加强对逐步逼近法的理解，我设计了拓展性问题，引进“逐次逼近法”.这两种方法都体现了“极限思想”.