2016年广西柳州高中高一入学数学试卷和解析答案
人教A版数学必修一广西柳州高中级高一上12月月考试题
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）广西柳州高中2015级高一上12月月考数学试题一、选择题（每题5分，12题，共60分）1. 已知集合2{|10}A x x =-=，则下列式子表示正确的有( ) ① 1A ∈ ②{1}A -∈ ③A φ∈④{1,1}A -⊆A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 集合{|52,}x N x n n N ∈=-∈的非空真子集个数是( )A. 2B. 3C. 6D. 73. 下列表示同一个函数的是( )A. ln xy e =与ln xy e=B. 12y t =与24y t =C. 0y x =与01y x =D. cos()2y t π=+与sin y t =4. 已知0.6log 0.5a =，cos2b =，0.50.6c =，则( )A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>5. 已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则(2)(1)f f -=( )A. 3-B. 3C. 12-D.21-6. 已知(),()f x g x 的图像在R 上不间断，由下表知方程()()f xg x =有实数解的区间是( ) A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)7. 在下列四个选项中，二次函数2y ax bx =+与指数函数()x b y a=的图像只可能为()x -1 0 1 2 3 f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892A B C D8. 若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是( ) A. 1[,3]2B. 10[2,]3C. 510[,]23D. 5[2,]29. 在sin ||y x =，1|sin |2y x =-，1sin()2y x π=-，tan(2)3y x π=+四个函数中，周期为π的有( )个 A. 3 B. 2C. 1D. 010. 已知1sin 1cos 2x x +=-，那么cos sin 1xx -的值是( ) A. 12B. 12-C. 2D. 2-11. 若()f x 是定义在R 上的奇函数，如图所示，令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的叙述正确的是( )A.若0,a b R <∈，则函数()g x 的图像关于原点对称；B.若1,20a b =--<<，则方程()0g x =有大于2的根；C.若0,2a b ≠=，则方程()0g x =有两个实根；D.若1,2a b ≥<，则方程()0g x =有三个实根。
广西高一高中数学开学考试带答案解析
广西高一高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集则=A．B．C．D．2.设集合，则下列关系中正确的是A．B．C．D．3.下列图形能表示函数的图象的是A．B．C．D．4.若，则A．B．或C．D．5.已知函数若A．1B．2C．3D．46.已知,若集合P中恰有4个元素,则A．B．C．D．7.函数的图象是A．B．C．D．8.若函数在上都是增函数，则在上是A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增9.，则的解析式为A．B．C．D．10.函数的单调递减区间为A．B．C．D．11.已知函数若，则实数的取值为A．-1B．1C．-1或2D．或112.设,都是的子集,如果叫做集合的长度,则集合M∩N的长度的最小值为A．B．C．D．13.若方程的两根为，则=____________．14.已知集合，集合（1）求（2）求二、填空题1.集合，用列举法表示为___________.2.若，则___________.3.已知函数的定义域为，则的定义域为___________.三、解答题1.已知函数（1）（2）求的值.2.已知集合．（１）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．3.已知集合（1）若；求（2）若，求实数a的取值范围4.已知函数．（1）判断函数在上的单调性并加以证明；（2）对任意的，若不等式恒成立，求实数的取值范围．5.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围广西高一高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.设全集则=A．B．C．D．【答案】D【解析】全集集合，所以故选D.2.设集合，则下列关系中正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】集合.D不正确,所以A,C不正确，所以B正确.故选B.3.下列图形能表示函数的图象的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的定义可知，定义域中的每个自变量只能有唯一确定的与之对应，A，B，C不满足.故选D.4.若，则A．B．或C．D．【答案】C【解析】由，解得所以.故选C.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．5.已知函数若A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】..故选C.6.已知,若集合P中恰有4个元素,则A．B．C．D．【答案】B【解析】已知,若集合P中恰有4个元素,则.所以有.故选B.7.函数的图象是A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：函数，有，且在上函数单调递增，故选B.法二：先作出函数的图象，图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即得的图象，故选B.8.若函数在上都是增函数，则在上是A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增【答案】D【解析】若函数在上都是增函数，则.则开口向上，对称轴.所以在上是先减后增.故选D.9.，则的解析式为A．B．C．D．【答案】D【解析】令,则由.可得：所以，故选D.10.函数的单调递减区间为A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，所以，解得或的对称轴为，所以在.又，所以的单调递减区间为.故选D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”，同时要注意定义域的限制.11.已知函数若，则实数的取值为A．-1B．1C．-1或2D．或1【答案】D【解析】函数，..当时，，解得；当时，，解得.故选D.12.设,都是的子集,如果叫做集合的长度,则集合M∩N的长度的最小值为A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意,M的长度为,N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0,1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是+−1=，故选B.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．13.若方程的两根为，则=____________．【答案】19【解析】方程的两根为.由韦达定理可得：..14.已知集合，集合（1）求（2）求【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据集合交集的定义，求出两个集合的公共元素即可；（2）根据集合并集的定义，由两集合的所以元素组成即可试题解析：（1）由已知得：（2）二、填空题1.集合，用列举法表示为___________.【答案】【解析】解得.又，所以或1.用列举法表示为：2.若，则___________.【答案】-3【解析】若则或，解得或.当时，,，有不满足题意；当时，,不满足集合的互异性；当时，,满足题意.故.3.已知函数的定义域为，则的定义域为___________.【答案】【解析】已知函数的定义域为，所以，有.则中有，解得.所以的定义域为.点睛：求解定义域问题即为求解函数中自变量的取值集合，对于复合函数依然如此，对于函数和而言，求解定义域依旧是各自函数中的取值集合，特别注意两函数中和的范围一样，即可以根据一个函数的定义域求解括号中整体的范围，再去求解另一个函数的定义域即可.三、解答题1.已知函数（1）（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将中的换成，即可求得，再进行运算即可；（2）由（1）知，进而求解即可.试题解析：（1）（2）.2.已知集合．（１）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求解再根据可知；（2）由得或.试题解析：（1）所以有（2）由得或.综上所述：a的取值范围为.点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.3.已知集合（1）若；求（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求出，再求B的补集即可；（2）由得，分，和三种情况求解即可.试题解析：（1）若，则故.（2）不等式解集分三种情况讨论:(a)，则不成立；(b)则，由得得；(c)则，由得得.综上所述：a的取值范围为.4.已知函数．（1）判断函数在上的单调性并加以证明；（2）对任意的，若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由单调性的定义，设，计算即可判断函数单调性；（2）将条件整理可得在恒成立，只需即可，进而利用单调性求最值即可.试题解析：（1）在上单调递增．证明：设，则∵，∴，∴，即，∴在上单调递增．（2）由已知可得，∵，∴恒成立，即，由（1）知，∴，即．5.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式；（Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．试题解析：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,收购总金额为万元.依题意有（2）原计划税收为万元依题意有化简得.的取范围是.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．。
广西高一高中数学开学考试带答案解析
广西高一高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（）A．B．C．D．2.设集合，，则（）A．B．C．D．3.设角的终边经过点，那么（）A．B．C．D．4.已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A．B．C．D．5.如图长方体中，，则二面角的大小为（）A．B．C．D．6.若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A．B．C．D．7.已知，则是第（）象限角.A．一B．二C．三D．四8.点到圆上的点的距离的最小值是（）A．1B．4C．5D．69.已知，则（）A．B．C．D．10.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．B．C．D．11.已知（）A．B．C．D．12.已知不过原点的直线与交于两点，若使得以为直径的圆过原点，则直线必过点（）A．B．C．D．，二、填空题1.在空间直角坐标系中，点与点的距离为 .2.已知是方程的两根，则 .3.如下图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为_________.4.已知圆上有两点且满足，则直线的方程为____________________.三、解答题1.化简：.2.如图，在正方体中.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角.3.已知圆.(1)已知不过原点的直线与圆相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；(2)求经过原点且被圆截得的线段长为2的直线方程.4.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.5.设函数在定义域是奇函数，当时，.(1)当，求；(2)对任意，，不等式都成立，求的取值范围.6.已知圆，设点是直线上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．(1)若，求直线的方程；(2)经过三点的圆的圆心是，求线段(为坐标原点）长的最小值．广西高一高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题主要考查三角诱导公式及特殊角的三角函数值.由，选C.【考点】诱导公式.2.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，由，可得，选D.【考点】1.二次方程的解；2.集合的运算.3.设角的终边经过点，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三角函数的定义：（其中），由角的终边经过点，可得，，所以，选C.【考点】任意角的三角函数.4.已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由直线与直线平行可得，而，所以，解之得，选C.【考点】1.两直线平行的判定与性质；2.直线的斜率.5.如图长方体中，，则二面角的大小为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如下图，连接交于点，连接，因为，所以底面为正方形，故即，且，另一方面，，故为等腰三角形，而点为底边的中点，所以，所以为二面角的平面角，而在中，，所以，故选A.【考点】二面角.6.若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圆的方程可知圆心为，所以，因为点是弦的中点，所以，从而，可得，由直线的点斜式可得直线的方程：即，选D.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.两直线垂直的判定与性质；3.直线的方程.7.已知，则是第（）象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由，，由可知是第二象限角，选B.【考点】诱导公式及三角函数在各个象限的符号.8.点到圆上的点的距离的最小值是（）A．1B．4C．5D．6【答案】B【解析】因为，所以点在圆外，且，设圆上的任意点为，则有即，也就是，所以点与圆上的点的距离的最小值为4，此时点为线段与圆的交点，故选B.【考点】点与圆的位置关系.9.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由即，所以，故选C.【考点】1.诱导公式；2.两角和的余弦公式.10.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为正方形沿对角线折起，成为一个四棱锥，在折的过程中以面为底面，所以底面积是没有改变的，只有高在变化，当面垂直于底面时，以四点为顶点的三棱锥体积最大.如图点是的中点，所以，又因为面面，且面面，所以面，又因为，所以直线和平面所成的角的为，故选B.【考点】1.三棱锥的体积公式；2.二面的概念；3.直线与平面所成的角.11.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.12.已知不过原点的直线与交于两点，若使得以为直径的圆过原点，则直线必过点（）A．B．C．D．，【答案】A【解析】设（），则由以为直径的圆过原点可知，所以即，因为，所以，解得（舍去），，显然直线的斜率存在且，所以直线即，当时，，所以直线恒过定点，故选A.【考点】1.平面向量的数量积；2.直线的斜率与方程.二、填空题1.在空间直角坐标系中，点与点的距离为 .【答案】5【解析】由空间直角坐标系中两点间的距离公式可得.【考点】空间直角坐标系中两间点的距离.2.已知是方程的两根，则 .【答案】【解析】因为是方程的两根，由根与系数的关系式可得，所以.【考点】1.二次方程的根与系数的关系；2.两角和的正切公式.3.如下图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为_________.【答案】【解析】观察所给的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图所示，由题意知平面，且，由棱锥的体积计算公式可得.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积.4.已知圆上有两点且满足，则直线的方程为____________________.【答案】【解析】由圆的方程可知圆心，将点代入得可知，点在圆外，又因为在圆上且，可知直线与圆相切，注意此时在四边形中，，所以点也在以为直径的圆上，的中点为，，所以以为直径的圆的方程为，两圆的方程相减可得.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.圆的标准方程.三、解答题1.化简：.【答案】.【解析】本小题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式及辅助角公式，属于容易题.根据诱导公式及同角三角函数的商数关系：进行展开运算得到，再运用辅助角公式（其中）或运用两角和差公式进行化简即可.试题解析： 4分8分10分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.辅助角公式（两角和差公式）；4.三角恒等变换.2.如图，在正方体中.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】（1）要证平面，只须证与平面内的两条相交直线、垂直；因为六面体为正方体，易得，且面，进而可得，问题得证；（2）先连接交于点或过点作交于点，然后根据且平面，可证得平面，从而可确定为所求，最后在中求解即可.试题解析：(1)在正方体中，又面，且面则而在平面内，且相交故平面 6分（2）过点作交于点，连接 7分由于四边形为正方形，所以为的中点即，而平面平面为与面所成的角 9分在中，11分直线与平面所成的角为 12分.【考点】1.空间中的垂直关系；2.线面角.3.已知圆.(1)已知不过原点的直线与圆相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；(2)求经过原点且被圆截得的线段长为2的直线方程.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）先设直线的方程，确定圆心的坐标及半径，进而由圆心到直线的距离等于半径计算出参数的值，从而可写出直线的方程；（2）先检验所求直线的斜率不存在时，是否满足要求；然后设所求直线方程，根据弦长为2，圆的半径，确定圆心到直线的距离，最后运用点到直线的距离公式得，从中求解即可得到，进而写出直线的方程，最后综合两种情况写出所求的直线方程即可.试题解析：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零设直线方程为 1分由圆可得∴圆心到切线的距离等于圆半径 3分即= 4分∴或 5分所求切线方程为：或 6分当直线斜率不存在时，直线即为轴，此时，交点坐标为，线段长为2，符合故直线 8分当直线斜率存在时，设直线方程为，即由已知得，圆心到直线的距离为1 9分则 11分直线方程为综上，直线方程为或 12分.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；3.直线的方程.4.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将的分子与分母同时除以得到，从而代入的值即可得到运算结果；（2）要求的值，需要将变形为，从而根据两角差的余弦公式进行展开，此时只须求解、的值，要求这两个值，需要先根据所给角的范围确定角的取值范围，再由同角三角函数的基本关系式可求出、的值，问题得以解决.试题解析：（1） 4分(2)∵∴ 6分8分10分12分.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式；3.三角恒等变换；4.不等式的性质.5.设函数在定义域是奇函数，当时，.(1)当，求；(2)对任意，，不等式都成立，求的取值范围.【答案】（1）时，；（2）.【解析】（1）设，可得，利用函数为奇函数及当时，可得时，；（2）先将不等式恒成立的问题转化为关于的不等式恒成立问题，注意此时的最高次数为1或0，根据一次函数与常数函数的图像可得不等式组，从中求解不等式组即可得出的取值范围.试题解析：（1）依题意可知设，则，所以 6分（2）由（1）知，所以对都成立8分即对恒成立所以 10分所以的取值范围为 12分.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的解析式；3.函数的最值；4.不等式的恒成立问题.6.已知圆，设点是直线上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．(1)若，求直线的方程；(2)经过三点的圆的圆心是，求线段(为坐标原点）长的最小值．【答案】（1）或；（2）.【解析】(1)因为点在线段上，所以可假设点的坐标，又根据，所以可求出点的坐标，同时要检验一下使得点符合在线段上，再通过假设直线的斜率，利用点到直线的距离等于圆的半径即可求出直线的斜率，从而得到切线方程；(2)因为经过三点的圆的圆心是，求线段 (为坐标原点)长，通过假设点的坐标即可表示线段的中点的坐标(因为)，根据两点间的距离公式写出的表达式，接着关键是根据的范围讨论，因为的值受的大小决定的，要分三种情况讨论即i) ；ii) ；iii) ；分别求出三种情况的最小值即为所求的结论.试题解析：（1）设解得或（舍去）由题意知切线的斜率存在，设斜率为所以直线的方程为，即直线与圆相切，，解得或直线的方程是或 6分（2）设与圆相切于点经过三点的圆的圆心是线段的中点的坐标是设当，即时，当，即时，当，即时,则.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；3.动区间的二次函数的最值问题；4.分类讨论的思想.。
柳州铁一中学2015
柳州铁一中学2015-2016学年第一学期高一年级段考数学科试卷命题人：高震说明：1. 本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
2. 考试时间： 120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1. 设集合{}R 0,22∈=+=x x x x M ， {}R 0,22∈=-=x x x x N ，则=⋃N M （ ）A. ｛0｝B.｛0,2｝C.｛-2，0｝D.｛-2,0,2｝2. f(x)是定义在R 上的奇函数，2)3(=-f ,则下列各点在函数图象f(x)上的是（ ） 3)- (2, D. 2)- C.(-3, 2) (3, B. 2)- (3, A.3.下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）A. x y =B. x y 1=C. xy 1= D.12+=x y 4. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）1)(,11)(.B )(,)(.A 22-=+-===x x g x x x f x x g x x f C. 22)()(,)(x x g x x f == D. ⎩⎨⎧-<---≥+=+=)111(1)(,1)(x x x x x g x x f （） 5. }{{}21|,20A ≤≤=≤≤=y y B x x ,下列图形中表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是（ ）6. 用二分法求方程0)(=x f 在(1,2)内近似解的过程中得0)25.1(0)5.1(,0)1(<><f f f ，,则方程的根在区间（ ）A. (1.25,1.5)B. (1,1.25)C. (1.5,2)D. 不能确定7. 设⎩⎨⎧≤+>+=，)10()5(),10(3)(x x f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 16 B. 18 C. 21 D. 248. 三个数3.0202,3.0,)3.0(==-=c b a 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. c a b <<D. a c b <<9. 函数x x y 422+--=的值域是( )]2,2[.A - ]2,1[.B ]2,0[.C ]2,2[.D -10. 函数2)12)(2+-+=x a x x f （在区间（-∞，4]上递减，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3-≤a B. 3-≥a C. 5≤a D. 3≥a11. 函数)6(log )(231x x x f --=的单调递增区间是（ ）A.（-∞，2）B.[-21，2）C. (-3,-21] D. (-3,+∞） 12. 函数)(x f 为奇函数，且在(0,+∞]上是增函数，0)2015(=-f ,则0)(>x xf 的解集为（ ）A. ），（），（∞+-∞-20152015B. ），（），（201502015 -∞-C. ），（），（2015002015 -D. ），（），（∞+-201502015第Ⅱ卷 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
广西柳州铁路第一中学2016-2017学年高一12月月考数学
柳州铁一中学2016－2017学年上学期高一数学科月考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U P Q ===，则()U C P Q ＝( ) A. {}3 B. {}1,4,5 C. {}5 D. {}1,5 2. 若,a b 是异面直线，则存在唯一的平面β满足（ ）A ．a ∥β且b ∥βB ．a ⊂β且b ∥βC ．a ⊥β且b ⊥βD ．a ⊂β且b ⊥β 3. 已知函数()f x =P ，()ln(1)g x x =+的定义域为Q ，则P Q=（ ） A. {}1x x > B. {}1x x < C. {}11x x -<< D. φ 4. 函数()x x y 2log 25.0+=的单调递减区间是（ ）A ．()+∞-,1B ．()1,-∞-C ．()2,-∞-D ．()+∞,0 5. 设3651log 2,log ,log 62a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a << 6. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
又以高乘之，三十六成一。
该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B.258C.15750D.355113 7．函数12log )(2-+=x x x f 的零点所在的区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 D ． ()2,18．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的体积扩大为原来的（ ） A ．2倍 B ．8倍 C ．22倍 D ． 28倍 9．如果幂函数222(33)mm y m m x --=-+的图象不过原点，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -≤≤B ．12m m ==或C ．2m =D ．1m = 10. 已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )AB ．1 CD ．2 11. 我们称与函数1c ：(),(,)y f x x G y N =∈∈的解析式和值域相同，定义域不同的函数2c ：(),(,)y f x x M y N =∈∈为1c 的异构函数，则2()f x log x =，({1,2})x ∈的异构函数有（ ）个A ．8B ．9C ．26D ．2712. 对于函数),(x f 若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称点()00,x x 为函数的不动点，对于任意实数b 函数b bx ax x f -+=2)(总有相异不动点，实数a 的取值范围是（ ） A. 10<<a B. 12a << C. 10a -<< D. a R ∈ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．14. 已知1)1f x =+，则函数()f x 的解析式为__ _．（注明定义域．．．．．） 15．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC ∠= .16．某学校的老师为了增强学生的自主学习性，让学生探讨函数x y 2log =与)(log 2x y -=的关系，结果学生发现这两个函数的图象是关于y 轴对称的，后来老师又引导学生研究对数与直线的关系，给出不等式1)(log 2+≤-x x ，那么你认为这个不等式的解集是BCA三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式.18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 已知集合{}0322>-+=x x x A ，集合B 是不等式012>++mx x 对于R x ∈恒成立的m构成的集合.（1）求集合A 与B ； （2）求()B A C R .19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点. （1）证明：1//BC 平面CD A 1；（2）设12AA AC CB ===，AB =CD AB 与1所成角的大小20. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 已知函数)(x f 对一切R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并给与证明； （2）若a f =-)3(，试用a 表示)12(f ．21. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/100kg ）与上市时间t （距2月1日的天数，单位：天）的数据如下表：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：b at Q +=,c bt at Q ++=2,t b a Q ⋅=,t a Q b log ⋅=（简单说明理由），并求出你所选函数的表达式；（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q 最低时的上市天数及 最低种植成本.22. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 已知22()x a f x x+=，且(1)3f =．（1）试求a 的值，并用定义证明()f x 在[22, +∞)上单调递增； （2）设关于x 的方程()f x x b =+的两根为12,x x ，问：是否存在实数m ，使得不等式2121||m m x x ++≥-对任意的b ⎡∈⎣恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在说明理由．柳州铁一中学2016－2017学年第一学期高一年级月考数学答案一、选择题13、2 14、2()(1)f x x x =≥ 15、90o 16、10x x -≤<三、解答题17．解：：设()f x kx b =+()0≠k ,则(1)(1)f x k x b kx k b +=++=++， (1)(1)f x k x b kx k b -=-+=-+ 所以3(1)2(1)3332225f x f x kx k b kx k b kx k b +--=++-+-=++ 又3(1)2(1)217f x f x x +--=+ 5217kx k b x ∴++=+2517k k b =⎧∴⎨+=⎩27k b =⎧⇒⎨=⎩ ， 所求()f x 的解析式为()27f x x =+18. （1）集合A 中的不等式等价于0)3)(1(>+-x x所以：{}13>-<=x x x A 或因为不等式012>++mx x 对于R x ∈恒成立，所以042<-=∆m 则22<<-m ，即{}22<<-=m m B （2）{}13≤≤-=x x A C R(){}12≤<-=∴x x B A C R19.解：（1）连结 1AC 交C A 1于O ，连结DO ， 所以DO 为1ABC ∆的中位线，1//BC DO ,又DC A DO DC A BC 111,面面⊂⊄,故1//BC 平面CD A 1。
2016年广西柳州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年广西柳州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足zi＝，则复数z的模|z|＝（）A．B．4C．D．22．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2﹣（，则f（1）的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．（5分）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A ∪B），则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．5．（5分）已知α、β为两个平面，l为直线．若α⊥β，α∩β＝l，则（）A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线I的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直6．（5分）已知等比数列{a n}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为（）A．2B．4C．8D．167．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．119．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，则φ＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）如图所示，A，B，C是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且||＝a，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．311．（5分）已知函数f（x）＝kx，g（x）＝，若∃x i∈[，e]，（i＝1，2）使得f（x i）＝g（x i），（i＝1，2），则实数k的取值范围是（）A．[，）B．[，]C．（0，）D．（，+∞）12．（5分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥与其外接球的体积比是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知向量＝（x2﹣1，2+x），＝（x，1），若∥，则x＝．14．（5分）设二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a＝．15．（5分）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为米．16．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y＝2上，则此圆的半径为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝（3n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：k2＝．19．（12分）如图，已知平面QBC与直线P A均垂直于Rt△ABC所在平面，且P A＝AB＝AC．（1）求证：P A∥平面QBC；（2）若PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的钝二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1（Ⅰ）求椭圆E的方程：（Ⅱ）如图，直线l与椭圆E有且只有一个公共点M，且交于y轴于点P，过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q，求证：F1，Q，F2，M，P五点共圆．21．（12分）已知函数f（x）＝|e x﹣bx|，其中e为自然对数的底数．（1）当b＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当b＞0时，判断函数y＝f（x）在区间（0，2）上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2＝F A•FB，证明：EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2016年广西柳州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足zi＝，则复数z的模|z|＝（）A．B．4C．D．2【解答】解：∵zi＝＝1﹣2i，∴z＝﹣2﹣i，则复数z的模|z|＝＝，故选：C．2．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2﹣（，则f（1）的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣（2（﹣1）2﹣）＝﹣3，故选：A．3．（5分）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A ∪B），则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C．4．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数是＝（27+39+33）＝33，乙的平均数是＝（20+n+32+34+38）＝33，∴n＝8；∴＝．故选：D．5．（5分）已知α、β为两个平面，l为直线．若α⊥β，α∩β＝l，则（）A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线I的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直【解答】解：由α⊥β，α∩β＝l，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面一定平行于直线l或垂直于直线l，故C不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．故选：D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：设等比数列{a n}的公比是q，由a3＝2，a4a6＝16得，a1q2＝2，a1q3a1q5＝16，则a1＝1，q2＝2，∴＝＝4，故选：B．7．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）＝P（A1）+P（A2）＝，故选：B．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【解答】解：模拟执行程序，可得i＝1，S＝0S＝lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i＝3，S＝lg3+lg＝lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i＝5，S＝lg5+lg＝lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i＝7，S＝lg5+lg＝lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i＝9，S＝lg9+lg＝lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．9．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，则φ＝（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，故它们的周期相同，即＝，∴ω＝2．故函数f（x）＝2sin（2x+）（ω＞0），函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）．令2x+＝kπ+，求得x＝+，可得f（x）的图象的对称轴为x＝+，k∈Z．令2x+＝kπ，求得x＝﹣，可得f（x）的图象的对称轴为x＝﹣，k∈Z．故有﹣＝，∴φ＝﹣，故选：A．10．（5分）如图所示，A，B，C是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且||＝a，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．3【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，则四边形F1BF A是矩形，由|AF|＝a，|AF1|﹣|AF|＝2a，可得|AF1|＝3a．又|AF|＝|BF1|＝a，在直角三角形BF1F中，（3a）2+a2＝4c2，解得e＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝kx，g（x）＝，若∃x i∈[，e]，（i＝1，2）使得f（x i）＝g（x i），（i＝1，2），则实数k的取值范围是（）A．[，）B．[，]C．（0，）D．（，+∞）【解答】解：由f（x）＝g（x）得，k＝，令t（x）＝，由t′（x）＝＝0得x＝，故t（x）在[，]上单调递增，在[，e]上单调递减，又t（）＝，t（）＝﹣e2，t（e）＝，故∃x i∈[，e]，（i＝1，2）使得f（x i）＝g（x i），（i＝1，2），则实数k的取值范围是[，），故选：A．12．（5分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥与其外接球的体积比是（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P﹣ABCD，如图所示：由图知该棱锥是正方体的一部分，且正方体的棱长是2，∴正方体和四棱锥的外接球相同，设外接球的半径是R，则2R＝2，得R＝，＝＝4，∴外接球的体积V球∵BC＝AD＝，AB⊥AD，∴矩形ABCD的面积S＝4，∵CD⊥平面PBC，∴P到平面ABCD的距离是等腰直角△PBC斜边BC的高，为，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝，锥∴此棱锥与其外接球的体积比是：＝，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知向量＝（x2﹣1，2+x），＝（x，1），若∥，则x＝．【解答】解：∵＝（x2﹣1，2+x），＝（x，1），由∥，得（x2﹣1）﹣x•（2+x）＝0，解得：．故答案为：．14．（5分）设二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a＝﹣3．【解答】解：因为二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A＝＝15a2；常数项为B＝﹣＝﹣20a3；因为B＝4A，所以﹣20a3＝4×15a2；所以a＝﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为30米．【解答】解：设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则．在△ABC中，，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理得，，故h＝30．故答案为：3016．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y＝2上，则此圆的半径为1．【解答】解：如图，由抛物线y2＝4x，得其焦点F（1，0），设P（）（y0＞0），则PF的中点为（）＝（），由题意可知，点（）在直线x+y＝2上，∴，解得：y0＝2．∴P（1，2），则圆的半径为．故答案为：1．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝（3n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n＝（3n﹣1），∴a1＝S1＝＝3．＝（3n﹣1）﹣，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1化为：a n＝3n．当n＝1时，上式也成立．∴a n＝3n．（2）b n＝na n＝n•3n．∴数列{b n}的前n项和T n＝3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3T n＝32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n×3n+1，上两式作差可得﹣2T n＝3+32+33+…+3n﹣n×3n+1＝﹣n×3n+1＝×3n+1﹣，∴T n＝+．18．（12分）2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：k2＝．【解答】解：（Ⅰ）s＝40﹣25＝15，t＝30﹣25＝5 …（2分）假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：K2＝≈7.5＞6.635因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．…（6分）（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为，“混凝土耐久性不达标”的为1．“混凝土耐久性达标”的记为A1，A2，A3，A4，A5，“混凝土耐久性不达标”的记为B．从这6个样本中任取2个，共有15可能，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（A1，B），（A2，B），（A3，B），（A4，B），（A5，B）共5种可能，所以P（A）＝1﹣P（）＝．则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是．…（12分）19．（12分）如图，已知平面QBC与直线P A均垂直于Rt△ABC所在平面，且P A＝AB＝AC．（1）求证：P A∥平面QBC；（2）若PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的钝二面角的余弦值．【解答】解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵P A⊥平面ABC，∴QD∥P A，又∵QD⊂平面QBC，P A⊄平面QBC，∴P A∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB＝∠PQC＝90°，又∵PB＝PC，PQ＝PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ＝CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形P ADQ是矩形．设P A＝2a，∴，PB＝2a，∴．过Q作QR⊥PB于点R，∴QR＝＝，＝＝，取PB中点M，连接AM，取P A的中点N，连接RN，∵PR＝，，∴MA∥RN．∵P A＝AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．连接QN，则QN＝＝＝．又，∴cos∠QRN＝＝＝．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．（2）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB＝∠PQC＝90°，又∵PB＝PC，PQ＝PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ＝CQ．∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形P ADQ是矩形．∴AD⊥BC，分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设P A＝2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为．∵＝（1，1，0），＝（0，2，﹣2）．∴令x＝1，则y＝z＝﹣1．又∵平面P AB的法向量为．设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|＝＝＝，又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角，∴．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1（Ⅰ）求椭圆E的方程：（Ⅱ）如图，直线l与椭圆E有且只有一个公共点M，且交于y轴于点P，过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q，求证：F1，Q，F2，M，P五点共圆．【解答】（Ⅰ）解：如图，∵△AF1F2是等边三角形，∴a＝2c，又∵椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，∴a﹣c＝1，则a＝2，c＝1，从而b＝，故椭圆E的方程为：；（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率必存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx+m，由，得（4k2+3）x2+8mkx+4m2﹣12＝0．令△＝0，即64m2k2﹣16（4k2+3）（m2﹣3）＝0，化简得：m2＝4k2+3＞0．设M（x1，y1），则，即．即M（）．又∵直线MQ⊥PM，∴直线MQ的方程为．由，得Q（0，），又由，得P（0，m）．由（Ⅰ）知，F1（﹣1，0），F2（1，0），∴，．∴，．∴PF2⊥QF2，PF1⊥QF1，又PM⊥QM，∴点F1，Q，F2，M，P都在以PQ为直径的圆上．故F1，Q，F2，M，P五点共圆．21．（12分）已知函数f（x）＝|e x﹣bx|，其中e为自然对数的底数．（1）当b＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当b＞0时，判断函数y＝f（x）在区间（0，2）上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．【解答】解：（1）记g（x）＝e x﹣bx．当b＝1时，g′（x）＝e x﹣x．当x＞0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数．又g（0）＝1＞0，所以当x∈（0，+∞）时，g（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，f（x）＝|g（x）|＝g（x），所以f′（1）＝g′（1）＝e﹣1．所以曲线y＝f（x）在点（1，e﹣1）处的切线方程为：y﹣（e﹣1）＝（e﹣1）（x ﹣1），即y＝（e﹣1）x．…（6分）（2）由g′（x）＝e x﹣b＝0，得x＝lnb．当x∈（﹣∞，lnb）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x∈（lnb，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．所以在x＝lnb时，g（x）取极小值g（lnb）＝b﹣blnb＝b（1﹣lnb）．①当0＜b≤e时，g（lnb）＝b﹣blnb＝b（1﹣lnb）≥0，从而当x∈R时，g（x）≥0．所以f（x）＝|g（x）|＝g（x）在（﹣∞，+∞）上无极大值．因此，在x∈（0，2）上也无极大值．…（8分）②当b＞e时，g（lnb）＜0．因为g（0）＝1＞0，g（2lnb）＝b2﹣2blnb＝b（b﹣2lnb）＞0，（令k（x）＝x﹣2lnx．由k′（x）＝1﹣＝0得x＝2，从而当x∈（2，+∞）时，k（x）单调递增，又k（e）＝e﹣2＞0，所以当b＞e时，b﹣2lnb＞0．）所以存在x1∈（0，lnb），x2∈（lnb，2lnb），使得g（x1）＝g（x2）＝0．此时f（x）＝|g（x）|，所以f（x）在（﹣∞，x1）单调递减，在（x1，lnb）上单调递增，在（lnb，x2）单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．…（12分）所以在x＝lnb时，f（x）有极大值．因为x∈（0，2），所以当lnb＜2，即e＜b＜e2时，f（x）在（0，2）上有极大值；当lnb≥2，即b≥e2时，f（x）在（0，2）上不存在极大值．综上所述，在区间（0，2）上，当0＜b≤e或b≥e2时，函数y＝f（x）不存在极大值；当e＜b＜e2时，函数y＝f（x），在x＝lnb时取极大值f（lnb）＝b（lnb﹣1）．…（14分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2＝F A•FB，证明：EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2＝F A•FB，∴，又∵∠EF A＝∠BFE，∴△F AE∽△FEB，可得∠FEA＝∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．（1）曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），普通方程为．【解答】解：曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）曲线C1的极坐标方程为，所以＝+＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）＝|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）＝|x﹣a|+|﹣﹣a|＝|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|＝|x+|＝|x|+≥2＝2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）＝|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）＝a﹣x+a﹣2x＝2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）＝x﹣a+a﹣2x＝﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）＝x﹣a+2x﹣a＝3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．。
2015-2016年广西柳州市铁路一中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S＝{x|x2﹣5x+6≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝（）A．（0，2]∪[3，+∞）B．[2，3]C．（﹣∞，2]∪[3，+∞）D．[3，+∞）2．（5分）已知向量，，则∠ABC＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（5分）已知，，，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）＝24，则此数列前13项的和是（）A．13B．26C．52D．566．（5分）已知tan x＝2，则的值是（）A．B．C．D．7．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x 的值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．9．（5分）将函数y＝sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x＝C．x＝D．x＝﹣10．（5分）已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为S，则长为sin A，sin B，sin C的三条线段（）A．不能构成三角形B．能构成一个三角形，其面积为C．能构成一个三角形，其面积大于D．能构成一个三角形，其面积小于11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006B．1007C．1008D．100912．（5分）直线ax+by+c＝0与圆x2+y2＝16相交于两点M、N，若c2＝a2+b2，则（O 为坐标原点）等于（）A．﹣7B．﹣14C．7D．14二、填空题：本题共4小题，共20分.13．（5分）已知平面向量，，且∥，则m＝．14．（5分）长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝5，a＝3，cos（B﹣A）＝，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，（1）求数列{a n}的首项a1及公差为d；（2）证明：数列为等差数列并求其前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b cos A＝（2c+a）cos （π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝，△ABC的面积为，求a+c的值．19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：＝＝，）20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（sin A，sin B﹣sin C），＝（a﹣b，b+c），且⊥．（1）求角C的值；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求a﹣b的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），记|f（x）|的最大值为A．（1）当a＝2时，求A；（2）当a＞0时，求A．2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S＝{x|x2﹣5x+6≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝（）A．（0，2]∪[3，+∞）B．[2，3]C．（﹣∞，2]∪[3，+∞）D．[3，+∞）【解答】解：由S中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）≥0，解得：x≤2或x≥3，即S＝（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T＝（0，+∞），∴S∩T＝（0，2]∪[3，+∞），故选：A．2．（5分）已知向量，，则∠ABC＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵向量，，∴＝（﹣，﹣），||＝1，||＝1，∴＝﹣•+•（﹣）＝1×1×cos∠ABC，∴cos∠ABC＝﹣，∴∠ABC＝150°，故选：D．3．（5分）已知，，，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：＝＝，，，由函数y＝在（0，+∞）上为增函数，故a＜c，由函数y＝2x在R上为增函数，故b＜a，故c＞a＞b，故选：D．4．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩＝＝90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩＝＝88.4+当X＝8或9时，≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为＝则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P＝1﹣＝故选：C．5．（5分）在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）＝24，则此数列前13项的和是（）A．13B．26C．52D．56【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a5＝2a4，a7+a13＝2a10，代入已知可得3×2a4+2×3a10＝24，即a4+a10＝4，故数列的前13项之和S13＝＝＝＝26故选：B．6．（5分）已知tan x＝2，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：tan x＝2，则＝＝＝＝．故选：B．7．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x 的值为（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，根据组合体的体积的值，得到12＝×∴12，∴x＝3，故选：C．8．（5分）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴A是正确的，同理B 也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确故选：C．9．（5分）将函数y＝sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x＝C．x＝D．x＝﹣【解答】解：将函数y＝sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）＝sin（2x﹣），再将g（x）＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y＝g（x+）＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+﹣）＝sin（2x+），由2x+＝kπ+（k∈Z），得：x＝+，k∈Z．∴当k＝0时，x＝，即x＝是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．10．（5分）已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为S，则长为sin A，sin B，sin C的三条线段（）A．不能构成三角形B．能构成一个三角形，其面积为C．能构成一个三角形，其面积大于D．能构成一个三角形，其面积小于【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，＝＝＝2∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积．故选：D．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006B．1007C．1008D．1009【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵满足S2016＝＝＞0，S2017＝＝2017a1009＜0，∴a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k＝1009．故选：D．12．（5分）直线ax+by+c＝0与圆x2+y2＝16相交于两点M、N，若c2＝a2+b2，则（O 为坐标原点）等于（）A．﹣7B．﹣14C．7D．14【解答】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2＝a2+b2，∴O点到直线MN的距离OA＝＝1x2+y2＝16的半径r＝4，∴Rt△AON中，设∠AON＝θ，得cosθ＝＝，cos∠MON＝cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝﹣，由此可得，＝||•||cos∠MON＝4×4×（﹣）＝﹣14故选：B．二、填空题：本题共4小题，共20分.13．（5分）已知平面向量，，且∥，则m＝﹣4．【解答】解：∵∥，∴m+4＝0∴m＝﹣4故答案为：﹣414．（5分）长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：＝＝．故答案为：15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为4π．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R＝E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r＝＝2，得到截面圆的面积最小值为S＝πr2＝4π．故答案为：4π16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝5，a＝3，cos（B﹣A）＝，则△ABC的面积为5．【解答】解：在△ABC中，作∠ABD＝∠A，交AC于D，设AD＝BD＝x，则CD＝5﹣x，∵a＝3，cos（B﹣A）＝，在△BCD中，由余弦定理得：（5﹣x）2＝x2+9﹣2×3×x×，解得x＝3，∴CD＝2，BD＝3，∴cos C＝＝，∴sin C＝，∴△ABC的面积为×5×3×＝5．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，（1）求数列{a n}的首项a1及公差为d；（2）证明：数列为等差数列并求其前n项和T n．【解答】（1）解：∵S7＝7，S15＝75，∴，解得a1＝﹣2，d＝1．（2）证明：由（1）得：a n＝﹣2+（n﹣1）＝n﹣3．S n＝＝，则＝﹣．∴n≥2，﹣＝﹣﹣＝．故数列{}是等差数列，∴T n＝＝﹣．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b cos A＝（2c+a）cos （π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝，△ABC的面积为，求a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中b cos A＝（2c+a）cos（π﹣B），∴由正弦定理可得sin B cos A＝2sin C（﹣cos B）+sin A（﹣cos B），∴sin B cos A+sin A cos B＝﹣2sin C cos B，∴sin（A+B）＝﹣2sin C cos B＝sin C，∴，由0＜B＜π可得；（Ⅱ）∵，∴ac＝4，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac+ac＝21，∴（a+c）2＝25，∴a+c＝519．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：＝＝，）【解答】解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P（A）＝1﹣0.4＝0.6．故选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率是0.6；（2）由数据，求得＝（11+13+12）＝12，＝（25+30+26）＝27，由公式求得＝＝＝，＝﹣3．所以关于x的线性回归方程为y＝x﹣3．（3）当x＝10时，y＝x﹣3＝22，|22﹣23|＜2，同样，当x＝8时，y＝x﹣3＝17，|17﹣16|＜2．所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G＝CG＝，∴AA1＝＝，CF＝．三棱锥F﹣AEC的体积：×＝＝．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（sin A，sin B﹣sin C），＝（a﹣b，b+c），且⊥．（1）求角C的值；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求a﹣b的取值范围．【解答】解：（1）∵＝（sin A，sin B﹣sin C），＝（a﹣b，b+c），且⊥，∴sin A（a﹣b）+（sin B﹣sin C）（b+c）＝0，利用正弦定理化简得：a（a﹣b）+（b+c）（b﹣c）＝0，即a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝；（2）由（1）得A+B＝，即B＝﹣A，又△ABC为锐角三角形，∴，解得：＜A＜，∵c＝1，∴由正弦定理得：＝＝＝＝2，∴a＝2sin A，b＝2sin B，∴a﹣b＝2sin A﹣2sin B＝2sin A﹣2sin（+A）＝2sin A﹣2sin cos A﹣2cos sin A＝sin A﹣cos A＝2sin（A﹣），∵＜A＜，∴＜A﹣＜，∴＜sin（A﹣）＜，即1＜2sin（A﹣）＜，则a﹣b的取值范围为（1，）．22．（12分）设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），记|f（x）|的最大值为A．（1）当a＝2时，求A；（2）当a＞0时，求A．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2cos2x+cos x+1＝4cos2x+cos x+1＝4（cos x+）2﹣，∵cos x∈[﹣1，1]，∴f（x）∈[﹣，4]，∴A＝4．（2）f（x）＝2a cos2x﹣a+（a﹣1）cos x+a﹣1＝2a cos2x+（a﹣1）cos x﹣1，令cos x＝t∈[﹣1，1]，则f（t）＝2at2+（a﹣1）t﹣1＝2a（t﹣）2﹣1﹣当≥1即0＜a≤时，f（﹣1）＝a，f（1）＝3a﹣2，∵|a|＜|3a﹣2|，∴A＝2﹣3a，当0≤＜1，即＜a≤1时，∵|f（）|＝1+＞|f（﹣1）|＝a，∴A＝1+当﹣1＜＜0，即a＞1时，此时|f（）|＝1+，|f（1）|＝3a﹣2，∵3a﹣2﹣1﹣＝＞0∴A＝3a﹣2，综上所述A＝。
2016年广西柳州高中高一入学数学试卷
2016年广西柳州高中高一入学数学试卷一、选择题1．（4分）cos30°的值为（）A．1 B．C．D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．23+24=27 B．23﹣24=2﹣1C．23×24=27D．23÷24=213．（4分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．4．（4分）下列各式的变形中，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．﹣x=C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+15．（4分）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）A．6 B．7 C．8 D．96．（4分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A．B．C．D．7．（4分）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A．562.5元 B．875元C．550元D．750元8．（4分）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112μg/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．（4分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．10．（4分）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d二、填空题11．（4分）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为（结果保留π）．12．（4分）把+进行化简，得到的最简结果是（结果保留根号）．13．（4分）解分式方程，其根为．14．（4分）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为度（用关于α的代数式表示）．15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=．17．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k=．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．三、解答题19．（8分）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（8分）先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．21．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（9分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．23．（10分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？24．（10分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．（12分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26．（12分）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．2016年广西柳州高中高一入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）cos30°的值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：cos30°=．故选D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．23+24=27 B．23﹣24=2﹣1C．23×24=27D．23÷24=21【解答】解：A、23+24=24，错误；B、23﹣24=﹣8，错误；C、23×24=27，正确；D、23÷24=2﹣1，错误；故选C3．（4分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选：A．4．（4分）下列各式的变形中，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．﹣x=C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+1【解答】解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；B、，错误；C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；D、x÷（x2+x）=，错误；故选A．5．（4分）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．故选：D．6．（4分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由x+2＞0得x＞﹣2，由2x﹣6≤0，得x≤3，把解集画在数轴上为：故选A．7．（4分）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A．562.5元 B．875元C．550元D．750元【解答】解：设该商品的进价为x元，标价为y元，由题意得，解得：x=2500，y=3750．则3750×0.9﹣2500=875（元）．故选：B．8．（4分）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112μg/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：由图1可知，18日的PM2.5浓度为25μg/m3，浓度最低，故①正确；这六天中PM2.5浓度的中位数是=79.5μg/m3，故②错误；∵当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，∴18日、19日、20日、23日空气质量为优，故③正确；空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④正确；故选：C．9．（4分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF=EF=1，∠AFE=120°，∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．故选：B．10．（4分）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d 【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0，∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1，0）∴=x1，化简得：a（x2﹣x1）=d故选：B．二、填空题11．（4分）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π（结果保留π）．【解答】解：由扇形面积公式得：S==π．故答案为：π．12．（4分）把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）．【解答】解：原式=+=2．故答案为：2．13．（4分）解分式方程，其根为x=﹣5．【解答】解：方程两边去分母得：5（x﹣2）=7x，整理解得x=﹣5．检验得x=﹣5是原方程的解．故本题答案为：x=﹣5．14．（4分）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为90﹣度（用关于α的代数式表示）．【解答】解：∵点A，C，F，B在同一直线上，∠ECA为α，∴∠ECB=180°﹣α，∵CD平分∠ECB，∴∠DCB=（180°﹣α），∵FG∥CD，∴∠GFB=∠DCB=90﹣．15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD= 2+或4+2．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC 于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），则AE=EC=2，EN==，故AN=2+，则AD=DC=4+2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，AE=y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故AE=，DE=2，则AD=2+，综上所述：CD的值为：2+或4+2．故答案为：2+或4+2．17．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k=2+2或2﹣2．【解答】解：∵点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，∴t==2，∴P（1.2），∴OP==，∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．∴Q（1+，2）或（1﹣，2）∵反比例函数y=的图象经过点Q，∴2=或2=，解得k=2+2或2﹣2故答案为2+2或2﹣2．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），∴C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：解得．即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，∴P点的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．三、解答题19．（8分）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．【解答】解：原式=1+2﹣3+1=1．20．（8分）先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．【解答】解：原式=•=•=，当x=3时，原式==．21．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？【解答】解：（1）样本容量是：10÷0.05=200，a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）3000×0.40=1200（人）．即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．22．（9分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．23．（10分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？【解答】解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b，把（1.5，0），（）代入得：解得：，∴直线BC的解析式为：y=40t﹣60；设直线CD的函数解析式为y1=k1t+b1，把（），（4，0）代入得：，解得：，∴直线CD的函数解析式为：y=﹣20t+80．（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；，解得：，∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，∴OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，当20＜y＜30时，即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，解得：或．（3）根据题意得：S=60t﹣60（）甲S乙=20t（0≤t≤4），所画图象如图2所示：与时间t的函数表达式为：（4）当t=时，，丙距M地的路程S丙S丙=﹣40t+80（0≤t≤2），如图3，S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为，所以丙出发h与甲相遇．24．（10分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【解答】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF ⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB•tan30°=×=，∴AC=OA﹣OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA﹣AF=，∴点E的坐标为：（，）．25．（12分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？【解答】解：（1）∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，∴x≠0时，x+2不是整数，∴x=0，y=2，即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．（2）①当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；②当k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．③当k≠±1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，综上可得，k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，∴∴k=，整理，可得x1x2+2x2+1=0，∴x2（x1+2）=﹣1，∵x1、x2都是整数，∴或∴或①当时，∵，∴k=；②当时，∵，∴k=k﹣1，无解；综上，可得k=，x1=﹣3，x2=1，y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=[2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣=﹣x2﹣x①当x=﹣2时，y=﹣x2﹣x=×（﹣2）2×（﹣2）+=②当x=﹣1时，y=﹣x2﹣x=×（﹣1）2×（﹣1）+=1③当x=0时，y=，另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．综上，可得若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．26．（12分）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．【解答】解：（1）设ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，把a=，c=2代入得：x2+bx+2=0，∵x1=2是它的一个根，∴×22+2b+2=0，解得：b=﹣，∴方程为：x2﹣x+2=0，∴另一个根为x2=3；（2）当x1=2c时，x2==，此时b=﹣a（x1+x2）=﹣（2ac+），4ac=﹣2b﹣1，∵M（﹣，），当△ABM为等边三角形时||=AB，即||=（﹣2c），∴||=•，∴b2+2b+1=（1+2b+1），解得：b1=﹣1，b2=2﹣1（舍去），此时4ac=﹣2b﹣1=1，即2c=，A、B重合，∴△ABM不可能为等边三角形；（3）∵△BPO∽△PAO，∴=，即x1x2=c2=，∴ac=1，a=，由S1=S2得c=||=﹣c，∴b2=4a•2c=8ac=8，∴b1=﹣2，b2=2（舍去），方程可变形为x2﹣2x+c=0，∴x1===（﹣1）c，x2==（+1）c，∵x1＜x2，x1=mc∴mc=（﹣1）c，∴m=（﹣1）．。
广西柳州高级高中2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案
柳州高中2024级高一10月月考数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列各式中，正确的个数是（）①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}(){}0,10,1=.A.1B.2C.3D.42.已知命题1:0,2p x x x∀>+>，则p ⌝为（）A.0x ∀>，12x x +≤ B.0x ∀≤，12x x +≤C.0x ∃≤，12x x+≤ D.0x ∃>，12x x+≤3.下列各组函数是同一个函数的是（）A.321x x y x +=+与y x= B.y =1y x =-C.2x y x=与y x= D.0y x =与1y =4.定义集合运算：*{}A B xx A x B =∈∉∣且，若集合{}1,3,4,6,7A =，{}2,4,5,8B =，则集合*A B 的真子集个数为（）A.13个B.14个C.15个D.16个5.下列命题为真命题的是（）A .若0a b >>，则22ac bc > B.若,a b c d >>，则a d b c ->-；C.若0a b <<，则22a ab b << D.若a b >，则11a b a>-；6.若“260x x --<”的一个必要不充分条件是“2x m -<<”，则实数m 的范围是（）A.23m -<≤ B.23m -<< C.3m ≥ D.3m >7.某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA 和OB 互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB ，其中AB 的两个端点分别在这两墙角线上.若欲建一条长为10米的走廊AB ，当OAB △的面积最大时，OB 长度为（）米.A. B. C. D.8.已知x ，y 为正实数，若212+=x y，且223x y m m +>+恒成立，则m 的取值范围是（）A.4m <-或1m > B.1m <-或4m > C.41m -<< D.14-<<m 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知集合{},,0A a a =-，{},,1B b a b =+，若A B =，则ab 的取值为（）A.2- B.1- C.0D.110.下列说法正确的是（）A.224(2)a b a b +≥--B.函数2=23y x x --的零点为(),(3,0)1,0-C.“110a b>>”是“a b <”的充分不必要条件D.由||||||(0,,,R)a b c abc a b c a b c++≠∈所确定的实数集合为{3,1,1,3}--11.设正实数,a b 满足1a b +=，则（）A.11a b+有最小值4 B.ab 有最大值14C.+ D.1439ab b +≤第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确选项填在题中横线上.）12.函数1()5f x x =-的定义域为_____________.13.设a ∈R ，若关于x 的一元二次方程230x ax a -++=的两个实根为1x ，2x ，且12114x x +=-，则a 的值为_____________.14.已知命题“()3,x ∞∃∈-+，23160x ax a --+<”是真命题，则实数a 的取值范围是______.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸.）15.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合202x B xx ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭.（1）若2a =，求A B ，()A B R ð；（2）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围.16.（1）已知函数()()20f x ax bx c a =++≠.若不等式()0f x >的解集为{03}xx <<∣，求关于x 的不等式()2320bx ax c b +-+<的解集.（2）已知23x <，求函数()93132f x x x =++-的最大值.17.已知命题:R p x ∃∈，2210ax x +-=为假命题.（1）求实数a 的取值集合A ；（2）设集合{32}B xm x m =<<+∣，若A B A = ，求实数m 的取值集合.18.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为214032002y x x =++，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种.①每日进行定额财政补贴，金额为2400元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x .请分别计算两种补贴方式下的最大利润，如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？19.已知函数()222y ax a x =-++，R a ∈，（1）若不等式32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若关于x 的方程2(2)||21ax a x -++=-有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.柳州高中2024级高一10月月考数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）【9题答案】【答案】BC 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确选项填在题中横线上.）【12题答案】【答案】[3,5)(5,)-+∞ 【13题答案】【答案】125-【14题答案】【答案】4a >四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸.）【15题答案】【答案】（1）{|23}A B x x =-<≤ ，R {|23}()A B x x =≤≤ ð；（2）3a ≤-或2a ≥.【16题答案】【答案】（1）{}|12x x -<<；（2）3-【17题答案】【答案】（1）{|1}A a a =<-；（2）{|3m m ≤-或1}m ≥.【18题答案】【答案】（1）加工处理量为80吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）选择第一种补贴方式进行补贴，理由见解析.【19题答案】【答案】（1）40a -<£；（2）答案见解析；（3）04a <<-或4a >+.。
广西柳州市铁路一中高一数学上学期段考试卷(含解析)
2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（上）段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣3）=2，则下列各点在函数f（x）图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）3．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=B． y=C．y=D．y=x2+14．下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A．B．C．D．5．A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（）A． B．C．D．6．用二分法求方程f（x）=0在（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根在区间（）A．（1.25，1.5） B．（1，1.25）C．（1.5，2）D．不能确定7．设f（x）=，则f（5）的值为（）A．16 B．18 C．21 D．248．三个数a=（﹣0.3）0，b=0.32，c=20.3的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．函数y=2﹣的值域是（）A． B． C． D．10．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，则a的取值范围是（）A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a≤5 D．a≥311．函数y=（6﹣x﹣x2）的单调递增区间是（）A．B．C．D．12．设f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（﹣2015）=0，则xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，2015）∪（2015，+∞） B．（﹣∞，﹣2015）∪（0，2015）C．（﹣2015，0）∪（0，2015）D．（﹣2015，0）∪（2015，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为．14．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，则实数m的值为．15．已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．16．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x﹣1=3，求x2+x﹣2的值；（2）计算lg+lg的值．18．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤3m﹣1}．（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．19．（1）已知一次函数f（x）满足f=4x+3，求f（x）；（2）已知函数f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=2x+5，求f（x）．20．已知函数，且此函数图象过点（1，5）．（1）求实数m的值；（2）判断f（x）奇偶性；（3）讨论函数f（x）在，求g（t）的最大值．22．定义域为R的函数f（x）满足：对任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x ＞0时，有0＜f（x）＜1，f（4）=（1）证明：f（x）＞0在R上恒成立；（2）证明：f（x）在R上是减函数；（3）若x＞0时，不等式4f（x）f（ax）＞f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．【解答】解：分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故选D．【点评】本题考查集合的并集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的并集．2．f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣3）=2，则下列各点在函数f（x）图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣3）=2，可得：f（3）=﹣2，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣3）=2，∴f（3）=﹣2，故（3，﹣2）在函数f（x）图象上，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．3．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=x2+1【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】分别求出四个函数的值域得答案．【解答】解：函数的值域为，不是；（C）值域为{1，2}，不是；（D）值域为{1，2}，不是；故选：B．【点评】本题利用图象考查了函数的定义：即定义域，值域，对应关系，是基础题．6．用二分法求方程f（x）=0在（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根在区间（）A．（1.25，1.5） B．（1，1.25）C．（1.5，2）D．不能确定【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用函数零点的判定定理，得出结论．【解答】解：由题意可得f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，根据函数零点的判定定理函数零点所在的区间为（1.25，1.5），故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．7．设f（x）=，则f（5）的值为（）A．16 B．18 C．21 D．24【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：由分段函数可知f（5）=f（10）=f（15）=18，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数直接代入即可，比较基础．8．三个数a=（﹣0.3）0，b=0.32，c=20.3的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】指数函数单调性的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的单调性判断出b＜1和c＞1．再求出a=1，即可得三者的大小关系．【解答】解：由指数函数的单调性得，0＜b=0.32＜0.30=1，c=20.3＞20=1，∵a=（﹣0.3）0=1，∴b＜a＜c，故选C．【点评】本题考查了利用指数函数的单调性比较大小，关键是底数不同时，应选取中间量如：0，1等进行比较．9．函数y=2﹣的值域是（）A． B． C． D．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】可知0≤﹣x2+4x≤4，从而求函数的值域．【解答】解：∵0≤﹣x2+4x≤4，∴0≤≤2，∴0≤2﹣≤2，故函数y=2﹣的值域是．故选：C．【点评】本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．10．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，则a的取值范围是（）A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a≤5 D．a≥3【考点】二次函数的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；数形结合．【分析】本题中的函数是一个二次函数，由于其在（﹣∞，4]上是递减的，可以得出此区间应该在对称轴的左侧，由此关系得到参数a的不等式，解之即得参数的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴是x=1﹣a又函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，∴4≤1﹣a∴a≤﹣3故选B【点评】本题的考点是二次函数的性质，考查由二次函数的性质得到相关参数的不等式，求解析式中的参数的取值范围，属于二次函数的基础考查题．11．函数y=（6﹣x﹣x2）的单调递增区间是（）A．B．C．D．【考点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间．【专题】计算题．【分析】先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间．【解答】解：要使函数有意义，则6﹣x﹣x2＞0，解得﹣3＜x＜2，故函数的定义域是（﹣3，2），令t=﹣x2﹣x+6=﹣+，则函数t在（﹣3，﹣）上递增，在=4x+3，求f（x）；（2）已知函数f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=2x+5，求f（x）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】整体思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）因为函数为一次函数，可以用待定系数法求函数解析式，即设f（x）=kx+b的形式；（2）运用函数方程法求解，将原式中的x全部换成﹣x，再联立方程求出f（x）．【解答】解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），则f=k（kx+b）+b=k2x+kb+b，∴k2x+kb+b=4x+3，则，解得或，∴f（x）=2x+1，或f（x）=﹣2x﹣3；（2）因为3f（x）+2f（﹣x）=2x+5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①将①中的x换成﹣x得，3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②联立①②解得：f（x）=2x+1，所以，f（x）=2x+1．【点评】本题主要考查了函数解析的求解及常用方法，涉及待定系数法和函数方程法，属于中档题．20．已知函数，且此函数图象过点（1，5）．（1）求实数m的值；（2）判断f（x）奇偶性；（3）讨论函数f（x）在，求g（t）的最大值．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）﹣f（x）=2x，化简后根据多项式相等，各系数相等即可求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；（2）把x=2t+a代入f（x）的解析式中即可表示出g（t）的函数关系式，由二次函数求对称轴的方法表示出g（t）的对称轴，根据对称轴大于等于0和小于0，分两种情况考虑，分别画出相应的函数图象，根据函数的图象即可分别得到g（t）的最大值，并求出相应t的范围，联立即可得到g（t）最大值与t的分段函数解析式．【解答】解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x，得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，∴，∴f（x）=x2﹣x+1；（2）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a﹣2）t+a2﹣a+1，t∈对称轴为：t=，①当≥0时，即：a≤；如图1：g（t）max=g（﹣1）=4﹣（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2﹣5a+7②当时，即：a＞；如图2：g（t）max=g（1）=4+（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2+3a+3，综上所述：g（t）max=．【点评】此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质及不等式恒成立时所满足的条件，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．22．定义域为R的函数f（x）满足：对任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x ＞0时，有0＜f（x）＜1，f（4）=（1）证明：f（x）＞0在R上恒成立；（2）证明：f（x）在R上是减函数；（3）若x＞0时，不等式4f（x）f（ax）＞f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法，令m=2，n=0，求得f（0）的值，令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，得到0＜f（x）＜1，问题得以证明．（2）利用函数单调性的定义进行证明；（3）利用函数的单调性化为具体不等式，再分离参数，即可求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：①令m=2，n=0，可得f（0+2）=f（0）f（2），∴f（0）=1②令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，∴f（x﹣x）=f（x）•f（﹣x）=1，∵f（﹣x）＞1，∴0＜f（x）＜1，综上所述，f（x）＞0在R上恒成立．…（4分）（2）证明：任取实数x1，x2，∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，从而可得0＜f（x2﹣x1）＜1又∵f（x2）=f=f（x1）f（x2﹣x1）＜f（x1）∴f（x）在R上是减函数…（7分）（3）令m=n=2可得f（2+2）=f（2）f（2）=，∴f（2）=∴4f（x）f（ax）＞f（x2）可化为f（x）f（ax）＞f（2）f（x2）∴f（x+ax）＞f（2+x2）∴x+ax＜2+x2，从而当x＞0时，有a+1＜恒成立．令h（x）==x+≥2，从而可得a＜2﹣1…（12分）【点评】本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，关键是转化化归的思想的应用，属于中档题．。
广西壮族自治区柳州市柳城县六塘中学高一数学文测试题含解析
广西壮族自治区柳州市柳城县六塘中学高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线x－＝0的倾斜角是( )A．45°B．60°C．90°D．不存在参考答案：C2. 已知，且，则A. B. C.D.参考答案：B略3. 设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（）A．4 B．C．9 D．16参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】本题基本不等式中的一个常见题型，需要去掉分母，再利用基本不等式转化为关于xy的不等式，解出最小值．【解答】解：由，可化为xy=8+x+y，∵x，y均为正实数，∴xy=8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy﹣2﹣8≥0，可解得≥4，即xy≥16故xy的最小值为16．故应选D．【点评】解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式来构造一个新的不等式．4. 在下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )A. y=2sin(4x+)B. y=－2sin(2x－)C. y=2cos(2x－)D. y=－2cos(2x－)参考答案：C5. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图，不含端点），则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据函数图象先用分段函数的形式写出f(x)的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出的值.【详解】由图象可知：，所以.故选：B.【点睛】本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.6. 在区间[1,6]上随机选取一个数a，则的概率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据几何概型概率公式直接求解可得结果.【详解】由几何概型概率公式可知，所求概率本题正确选项：C【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.7. 数列的通项公式是关于的不等式的解集中的整数个数，则数列的前n项和=（）A.n2B.n(n+1)C.D.(n+1)(n+2)参考答案：C 8. 设集合，，则（）A.[－1,4)B. [－1,3)C.(0,3]D.(0,4)参考答案：C9. 已知，且，，则等于（）A. B. C. D.参考答案：D略10. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱参考答案：B由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱，则截去的部分是三棱柱，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算lg+ lg8+lg5 lg20+(lg2) =___________参考答案：1112. 已知函数一部分图像如图所示，则，函数的图像可以由的图像向左平移至少个单位得到．参考答案：2，13. 已知函数,若时，恒成立，求的取值范围_________________________参考答案：[-7，2]14. 函数y＝2sin(ωx＋)(，)的部分图象如图所示，则ω和的值分别是__________．参考答案：15. （5分）函数的周期是．参考答案：4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用正弦函数的周期公式即可求得答案．解答：∵，∴其周期T==4π，故答案为：4π．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，是基础题．16. 若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．参考答案：0≤a≤1【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用被开方数非负的特点列出关于a的不等式，转化成x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立，然后建立关于a的不等式，求出所求的取值范围即可．【解答】解：函数的定义域为R，∴﹣1≥0在R上恒成立即x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立该不等式等价于△=4a2﹣4a≤0，解出0≤a≤1．故实数a的取值范围为0≤a≤1故答案为：0≤a≤117. 已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．参考答案：【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据函数f（x）恒过定点P，求出P点的坐标，利用cosα的定义求值即可．【解答】解：函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，即x+4=1，解得：x=﹣3，则y=4故P的坐标为（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα=．故答案为：．【点评】本题考查考查了对数函数的恒过点坐标的求法和余弦的定义．属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
《解析》广西柳州市铁路一中2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣D．1或﹣34．已知x=lnπ，y=logπ，z=e﹣2，则（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x5．已知函数f（x）定义域是[1，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，2]B．[1，3]C．[2，4]D．[1，7]6．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，直线l：kx﹣3k﹣y=0，则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上三种均有可能7．若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．（4，8）D．[4，8）8．圆（x+1）2+（y+2）2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．10 B．20 C．30 D．4010．在平面直角坐标内A，B两点满足：①点A，B都在函数y=f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y=f（x）的一个“黄金点对”．则函数f（x）=的“黄金点对”的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=1，BD=，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π12．已知P，Q分别是直线l：x﹣y﹣2=0和圆C：x2+y2=1上的动点，圆C与x轴正半轴交于点A（1，0），则|PA|+|PQ|的最小值为（）A．B．2 C．D．﹣1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域是．14．直线4x+3y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦长|AB|=．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AB、BB1的中点，则异面直线MN与BC1所成角的大小是．16．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）﹣a﹣1=0（a∈R）有且只有7个不同实数根，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2﹣7x+10＜0}．（1）求集合B，A∪B；（2）已知集合C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=2，求B1到平面ABC的距离．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD=，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．21．已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．22．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩∁U B={2，5}．故选：B．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B3．若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣D．1或﹣3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：∵a=﹣2时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔解得：a=1故选：B．4．已知x=lnπ，y=logπ，z=e﹣2，则（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用指数函数与对数函数的运算性质比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：∵x=lnπ＞1，y=logπ＜0，0＜z=e﹣2＜e0=1，∴y＜z＜x．故选：C．5．已知函数f（x）定义域是[1，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，2]B．[1，3]C．[2，4]D．[1，7]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵函数y=f（x）定义域是[1，3]，∴由1≤2x﹣1≤3，解得：1≤x≤2，故选：A．6．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，直线l：kx﹣3k﹣y=0，则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上三种均有可能【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线系方程可得直线过定点A（3，0），化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，由两点间的距离公式可得A在圆内部，则说明直线l与圆C相交．【解答】解：由直线l：kx﹣3k﹣y=0，得k（x﹣3）﹣y=0，∴直线l过定点A（3，0），由圆C：x2+y2﹣4x=0，得（x﹣2）2+y2=4，圆心坐标为C（2，0），半径r=2，∵|AC|=＜2=r，∴A在圆C内部，则直线l与圆C相交．故选：A．7．若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．（4，8）D．[4，8）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据对数函数以及一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：若函数f（x）=是R上的增函数，则解得：4≤a＜8，故选：D．8．圆（x+1）2+（y+2）2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由两圆的圆心距和半径的关系判断可得两圆外切，则两圆的公切线有3条．【解答】解：圆（x+1）2+（y+2）2=4的圆心坐标C1（﹣1，﹣2），半径r1=2，圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的圆心坐标C2（2，2），半径r2=3，∵|C1C2|==r1+r2，∴两圆外切，则两圆的公切线有3条．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥切去一个三棱锥得到的，作出直观图，使用作差法求出体积．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱柱ABC﹣DEF中切去三棱锥E﹣ABC得到的，其中三棱柱的高为5，底面为直角三角形，直角边为3，4，故几何体的体积V==20．故选：B．10．在平面直角坐标内A，B两点满足：①点A，B都在函数y=f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y=f（x）的一个“黄金点对”．则函数f（x）=的“黄金点对”的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】分段函数的应用．【分析】根据题意：“黄金点对”，可知，欲求f（x）的“黄金点对”，只须作出函数y=﹣（x＞0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=|x+4|，x≤0的图象的交点个数即可．【解答】解：根据题意：“黄金点对”，可知，作出函数y=﹣（x＞0）的图象关于原点对称的图象，同一坐标系里作出函数y=|x+4|，x≤0的图象如右图：观察图象可得，它们在x≤0时的交点个数是3．即f（x）的“黄金点对”有：3个．故选：D．11．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=1，BD=，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】折叠之后呢得出三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同，利用对角线求解即可，再利用面积公式求解即可．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=1，BD=，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∴三棱锥A﹣BDC镶嵌在长方体中，即得出：三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同，∴2R==2，R=1，∴外接球的表面积为4π×12=4π，故选：D．12．已知P，Q分别是直线l：x﹣y﹣2=0和圆C：x2+y2=1上的动点，圆C与x轴正半轴交于点A（1，0），则|PA|+|PQ|的最小值为（）A．B．2 C．D．﹣1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，求出A关于直线l的对称点B的坐标，再求出B到圆心的距离，则答案可求．【解答】解：如图，圆C：x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，设A（1，0）关于l：x﹣y﹣2=0的对称点为B（a，b），则，解得：，即B（2，﹣1），连接BO，交直线l：x﹣y﹣2=0与P，则|PA|+|PQ|的最小值为|BO|﹣r=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域是（0，2] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要是解析式有意义，只要1﹣log2x≥0，log2x≤1，结合对数函数的图象或单调性求解即可．【解答】解：1﹣log2x≥0，log2x≤1=log22，故0＜x≤2．故答案为：（0，2]14．直线4x+3y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦长|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心坐标和半径，由垂径定理得答案．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为O（0，0），半径为2，O到直线4x+3y﹣5=0的距离d=，∴|AB|=2．故答案为：．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AB、BB1的中点，则异面直线MN与BC1所成角的大小是60°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与BC1所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则M（2，1，0），N（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（0，1，1），=（﹣2，0，2），设异面直线MN与BC1所成角为θ，cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线MN与BC1所成角的大小是60°．故答案为：60°．16．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）﹣a﹣1=0（a∈R）有且只有7个不同实数根，则a的取值范围是（﹣2，﹣）．【考点】函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据偶函数图象的对称性及指数函数、对数函数的单调性，由条件便可得出f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2）上是减函数，在（﹣2，0]和[2，+∞）上是增函数，从而得到x=0时，f（x）取极大值1，x=±2时，f（x）取得极小值，这样即可画出f（x）的草图，而解[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0可得f（x）=1或f（x）=﹣a﹣1，从而便有，从而便可得出a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2）上是减函数，在（﹣2，0]和[2，+∞）上是增函数；∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值，且|x|≥16时，f（x）≥1，则f（x）的图象如下所示：由[f（x）]2+a•f（x）﹣a﹣1=0得[f（x）﹣1][f（x）+a+1]=0；∴f（x）=1或﹣a﹣1；∵关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）﹣a﹣1=0有7个不同实数根；∴；∴；∴a的取值范围为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2﹣7x+10＜0}．（1）求集合B，A∪B；（2）已知集合C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）由x2﹣7x+10＜0，因式分解为：（x﹣2）（x﹣5）＜0，解得可得B，即可得出A∪B．（2）集合C={x|a＜x＜a+1}，C⊆B，即可得出．【解答】解：（1）由x2﹣7x+10＜0，因式分解为：（x﹣2）（x﹣5）＜0，解得2＜x＜5，∴B={x|x2﹣7x+10＜0}={x|2＜x＜5}．∴A∪B=（0，5）．（2）∵集合C={x|a＜x＜a+1}，C⊆B，由题意得，a≥2且a+1≤5，故2≤a≤4．18．已知函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）求得f（x）的对称轴方程，可得f（x）在[0，1]递减，即可得到最值，解方程可得a，b的值；（2）由题意可得在x∈（0，+∞）上恒成立，运用对号函数的单调性，可得右边函数的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）=a（x﹣2）2+b﹣4a，∵a＞0，开口向上，对称轴x=2，∴f（x）在[0，1]递减，∴f（0）=b=1，f（1）=b﹣3a=﹣2，∴a=b=1；（2）∵f（x）=x2﹣4x+1≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，∴在x∈（0，+∞）上恒成立，∵双勾函数y=x+在（0，1]递减，在[1，+∞）递增，∴当x=1时，x﹣4+取得最小值，且为2﹣4=﹣2，则m≤﹣2．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=2，求B1到平面ABC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）要证B1C⊥AB，即证B1C⊥平面ABC1，由菱形的对角线垂直和线面垂直的性质，即可得证；（2）由棱锥的体积公式，利用=，即可得到B1到平面ABC的距离．【解答】（1）证明：连结BC1，则BC1与B1C交于O，∵侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BC1，∵AO⊥平面BB1C1C，∴B1C⊥AO又∵BC1∩AO=O，∴B1C⊥平面ABO，由于AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB（2）解：设点B1到平面ABC 的距离为h，∵侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，BC=2，∴△CBB1为等边三角形，∴BC=BB1=B1C=2，BO=∵AC⊥AB1，∴，Rt△AOB中，AB==2∴S△ABC==，∵=，∴，∴h=．∴点B1到平面ABC 的距离为．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD=，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明．（2）根据二面角平面角的定义先找出平面角，结合直线和平面所成角的定义作出线面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．【解答】（1）证明：取PB的中点M，连接MF，AM．又∵F为PC的中点，∴FM∥BC，FM=BC，（中位线定理），∵E为AD的中点，ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，AE=BC，∴FM∥AE，FM=AE，∴四边形AEFM为平行四边形∴EF∥AM，∵MA⊂平面PAB，EF⊄⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）∵BA=BD，PA=PD 且E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠PEB=60°，∵在Rt△ABD，BA=BD=，AD=2，∴BE=1，∵∠PEB=60°，∴Rt△PBE中，PB=，∵BE⊥AD，AD∥BC，∴BE⊥BC，∵PB⊥面ABCD，∴PB⊥BE，由BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成角，∵在Rt△ABM中，AM=∴，∴在Rt△EBF中，sin∠EFB===，∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．21．已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组，解得D，E，F，即可求得圆C方程．（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），利用直线与圆的方程联立方程组，利用韦达定理，推出x1x2，y1y2，利用垂直关系得到，求得b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．说明存在这样的直线l有两条，即可．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则解得D=﹣6，E=4，F=4∴圆C方程为x2+y2﹣6x+4y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），则由得2x2+2（b﹣1）x+b2+4b+4=0（*）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=，∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，∴得x1x2+y1y2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，即b2+4b+4+b（1﹣b）+b2=0，b2+5b+4=0，∴b=﹣1或b=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣容易验证b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x﹣1或y=x﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【分析】先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式，（1）利用f（1）＞0求出a的取值范围以及函数f（x）的单调性，再把不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0利用函数f（x）是奇函数进行转化，再利用求得的单调性解不等式即可；（2）先由f（1）=得a=2，得出函数f（x）的单调性，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及最值来求g（x）在[1，+∞）上的最小值．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0⇒k=1，∴f（x）=a x﹣a﹣x（1）∵f（1）＞0，∴a﹣a﹣1＞0，a＞0，∴a＞1．∴f（x）为R上的增函数由f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0得：f（x2+2x）＞f（4﹣x）即：x2+3x﹣4＞0⇒x＜﹣4或x＞1．即不等式的解集（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．（2）由f（1）=得a=2，由（1）可知f（x）为[1，+∞）上的增函数．f（x）≥f（1）=所以g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x）=（f（x）﹣2）2﹣2≥﹣2（当f（x）=2时取等号）故g（x）在[1，+∞）上的最小值﹣2．2016年8月1日。
广西柳州高中高一数学上学期12月月考试卷(含解析)
2015-2016学年广西柳州高中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题（12题，每题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A②{﹣1}∈A③∅∈A④{﹣1，1}⊆A．A．1个B．2个C．3个D．4个2．集合{x∈N|x=5﹣2n，n∈N}的非空真子集个数是（）A．2 B．3 C．6 D．73．下列表示同一个函数的是（）A．y=lne x与y=e lnx B．与C．y=x0与y=D．与y=sint4．已知a=log0.60.5，b=cos2，c=0.60.5，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）﹣f（1）=（）A．3 B．C．D．16．已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）7．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．8．若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．9．在y=sin|x|，y=|sinx﹣|，，四个函数中，周期为π的有（）个．A．3 B．2 C．1 D．010．若=﹣，则的值是（）A．B．﹣C．2 D．﹣211．f（x）是定义在区间[﹣c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A．若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B．若a=﹣1，﹣2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根C．若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根D．若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根12．设函数y=f（x）定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，计算的值（）A．﹣8058 B．8058 C．﹣8060 D．8060二、填空题（4题，每题5分，共20分）13．设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N为函数y=ln（4x﹣3﹣x2）的定义域，则图中阴影部分所表示的集合是．14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣4x+1，写出分段函数f（x）的解析式．15．设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为．16．已知一个四次方程至多有四个根，记为x1，x2，…，x k（k≤4）．若方程x4+ax﹣4=0各个实根所对应的点均在直线y=x的同侧，求实数a的取值范围．三、解答题（第17题10分，第18-22每题12分，共70分）17．化简、求值：（1）求的值；（2）已知tanα=2，sinα+cosα＜0，求的值．18．已知y=f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象相邻两条对称轴之间的距离为，相邻两个最值点间的距离为，图象过点（0，1）．（1）求函数解析式；（2）把y=f（x）图象向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于x=对称，求m的最小值．19．设集合A={y|y=2x+1，x＜1}，B={x|﹣1﹣a≤ax+1≤1+a}，若A∪B=B，（1）求集合A；（2）求实数a的取值范围．20．已知，求：（1）单调增区间、对称中心；（2）当时，求f（x）值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式y≥0．21．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．22．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，有恒成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式f（log2x）＜f（log43x）的解集；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年广西柳州高中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12题，每题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A②{﹣1}∈A③∅∈A④{﹣1，1}⊆A．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】先表示出集合A={﹣1，1}，再根据集合与元素，集合与集合间的关系对各式作出判断，其中①④是正确的．【解答】解：因为A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，则：1∈A，所以①正确；{﹣1}⊆A，所以②不正确；∅⊆A，所以③不正确；{﹣1，1}⊆A，所以④正确；因此，正确的式子有2个，故答案为：B．【点评】本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，涉及集合的表示，子集的概念和空集的应用，属于基础题．2．集合{x∈N|x=5﹣2n，n∈N}的非空真子集个数是（）A．2 B．3 C．6 D．7【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合中元素的个数，从而求出其非空真子集个数即可．【解答】解：n=0时：x=5，n=1时：x=3，n=2时：x=1，故集合共有3个元素，其非空真子集个数是：23﹣2个，故选：C．【点评】本题考察了子集和真子集的定义，是一道基础题．3．下列表示同一个函数的是（）A．y=lne x与y=e lnx B．与C．y=x0与y=D．与y=sint【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】对于A，B可以通过求定义域，由定义域不同判断不是同一函数，而C的两函数的定义域和对应法则都相同，从而判断出为同一函数，D根据三角函数的诱导公式得到这两函数的对应法则不同，不是同一函数．【解答】解：A．y=lne x的定义域为R，y=e lnx的定义域为（0，+∞），定义域不同，不是同一函数；B．的定义域为[0，+∞），的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；C．y=x0=1，，这两函数的定义域都是{x|x≠0}，∴是同一函数，即该选项正确；D.，与y=sint的对应法则不同，不是同一函数．故选：C．【点评】考查函数的三要素：定义域、值域和对应法则，而由定义域和对应法则即可确定一个函数，从而知道判断两函数是否为同一函数的方法为：求定义域和对应法则．4．已知a=log0.60.5，b=cos2，c=0.60.5，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数、三角函数、指数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log0.60.5＞log0.60.6=1，b=cos2＜0，0＜c=0.60.5＜0.60=1，∴a＞c＞b．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、三角函数、指数函数的单调性的合理运用．5．已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）﹣f（1）=（）A．3 B．C．D．1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】求出幂函数的解析式，然后求解f（2）﹣f（1）的值即可．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，它的图象经过（9，3），所以3=9a，∴a=所以幂函数为f（x）=，所以f（2）﹣f（1）=．故选C．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．6．已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），则由题意，F（0）=3.011﹣3.451＜0，F（1）=5.432﹣5.241＞0，即可得出结论．【解答】解：构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），则由题意，F（0）=3.011﹣3.451＜0，F（1）=5.432﹣5.241＞0，∴函数F（x）=f（x）﹣g（x）有零点的区间是（0，1），∴方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（0，1），故选：B．【点评】本题考查方程f（x）=g（x）有实数解的区间，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题．7．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．8．若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先换元，转化成积定和的值域，利用基本不等式．【解答】解：令t=f（x），则，则y=t+≥=2当且仅当t=即t=1时取“=”，所以y的最小值为2故选项为B【点评】做选择题时，求得最小值通过排除法得值域；考查用基本不等式求最值9．在y=sin|x|，y=|sinx﹣|，，四个函数中，周期为π的有（）个．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的周期性，先求出各个函数的周期，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sin|x|没有周期性，故不满足条件．由于f（x+π）y=|sin（x+π）|=|﹣sinx﹣|=|sinx+|≠|sinx﹣|=f（x），故不满足条件．由于y=sin（πx﹣）的周期T==2，故不满足条件．由于y=tan（2x+）的周期为，故不满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的周期性和求法，考查分析与运算能力，属于基础题．10．若=﹣，则的值是（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣2【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值．【分析】原式分子分母同乘以sinx+1，化简后代入已知即可求值．【解答】解：∵=﹣，∴===﹣=．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．11．f （x ）是定义在区间[﹣c ，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ）A ．若a ＜0，则函数g （x ）的图象关于原点对称B ．若a=﹣1，﹣2＜b ＜0，则方程g （x ）=0有大于2的实根C ．若a≠0，b=2，则方程g （x ）=0有两个实根D ．若a≥1，b ＜2，则方程g （x ）=0有三个实根 【考点】奇函数． 【专题】压轴题．【分析】奇函数的图象关于原点对称；当a≠0时af （x ）与f （x ）有相同的奇偶性；f （x ）+b 的图象可由f （x ）上下平移得到． 充分利用以上知识点逐项分析即可解答．【解答】解：①若a=﹣1，b=1，则函数g（x）不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项A错误；②当a=﹣1时，﹣f（x）仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与f（x）相反，若再加b，﹣2＜b＜0，则图象又向下平移﹣b个单位长度，所以g（x）=﹣f（x）+b=0有大于2的实根，所以选项B正确；③若a=，b=2，则g（x）=f（x）+2，其图象由f（x）的图象向上平移2个单位长度，那么g（x）只有1个零点，所以g（x）=0只有1个实根，所以选项C错误；④若a=1，b=﹣3，则g（x）的图象由f（x）的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即g（x）=0只有一个实根，所以选项D错误．故选B．【点评】本题考查奇函数的图象特征及函数af（x）与f（x）的奇偶性关系，同时考查由f （x）到f（x）+b的图象变化．12．设函数y=f（x）定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，计算的值（）A．﹣8058 B．8058 C．﹣8060 D．8060【考点】正弦函数的奇偶性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】观察到自变量前后对称相加和为定值2，故令a=1，x1+x2=2，求得f（x1）+f（x2）=﹣4，从而求得要求式子的值．【解答】解：观察到自变量前后对称相加和为定值2，故令a=1，∵x1+x2=2，∴，为定值，∴，故2S=﹣4×4029，∴S=﹣8058．故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的函数的图象的对称性，求函数的值，属于中档题．二、填空题（4题，每题5分，共20分）13．设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N为函数y=ln（4x﹣3﹣x2）的定义域，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x≤2}．【考点】Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．【专题】数形结合；定义法；集合．【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（∁U M），然后根据集合的基本运算即可．【解答】解：M={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，由4x﹣3﹣x2＞0，得1＜x＜3，即N={x|1＜x＜3}，由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（∁U M），∴∁U M={x|﹣2≤x≤2}，∴N∩（∁U M）={x|1＜x≤2}；故答案为：{x|1＜x≤2}．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣4x+1，写出分段函数f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，即当﹣x＞0时，f（﹣x）=4x+1=﹣f（x），即f（x）=﹣4x﹣1，则；故答案为：；【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键．15．设函数f （x ）=sin （ωx+φ），A ＞0，ω＞0，若f （x ）在区间[，]上具有单调性，且f （）=f （）=﹣f （），则f （x ）的最小正周期为 π ．【考点】三角函数的周期性及其求法． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依题意，可知x==为f （x ）=sin （ωx+φ）的一条对称轴，且（，0）即（，0）为f （x ）=sin （ωx+φ）的一个对称中心，从而可得T=•=﹣，继而可求得f （x ）的最小正周期．【解答】解：∵f（x ）=sin （ωx+φ）在区间[，]上具有单调性，ω＞0，∴﹣≤T=•=，即≤，∴0＜ω≤3；又f （）=f （）=﹣f （），∴x==为f （x ）=sin （ωx+φ）的一条对称轴，且（，0）即（，0）为f （x ）=sin （ωx+φ）的一个对称中心，依题意知，x=与（，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心，∴T=•=﹣=，解得：ω=2∈（0，3]，∴T==π，故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，确定x=与（，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．16．已知一个四次方程至多有四个根，记为x1，x2，…，x k（k≤4）．若方程x4+ax﹣4=0各个实根所对应的点均在直线y=x的同侧，求实数a的取值范围a＜﹣6或a＞6 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得或，解得a＞6或a＜﹣6．故答案为：a＞6或a＜﹣6．【点评】本题综合考查函数与方程的应用，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．考查学生的转化二行推理能力．三、解答题（第17题10分，第18-22每题12分，共70分）17．化简、求值：（1）求的值；（2）已知tanα=2，sinα+cosα＜0，求的值．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（1）利用对数式的运算性质和运算法则即可求解．（2）利用同角三角函数基本关系式即可得解cosα的值，由诱导公式化简所求即可求值．【解答】解：（1）原式=（2）原式=，∵tanα=2＞0，∴α在第一或第三象限，又∵sinα+cosα＜0，∴，故原式=【点评】本题主要考查了指数式和对数式的运算，同角三角函数基本关系式，诱导公式的应用，解题时要注意运算法则和运算性质的合理运用，是基础题．18．已知y=f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象相邻两条对称轴之间的距离为，相邻两个最值点间的距离为，图象过点（0，1）．（1）求函数解析式；（2）把y=f（x）图象向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于x=对称，求m的最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由，利用周期公式可求ω，利用已知及勾股定理可求A的值，代入（0，1），结合范围，即可求的φ的值，即可得解函数解析式．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得：，由题意可得，结合m＞0，即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴，∴f（x）=2sin（2x+φ）代入（0，1）得，∵，∴（2）平移后得代入，则，令∵m＞0，令k=0得【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．19．设集合A={y|y=2x+1，x＜1}，B={x|﹣1﹣a≤ax+1≤1+a}，若A∪B=B，（1）求集合A；（2）求实数a的取值范围．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；集合．【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，化简集合A即可；（2）化简集合B，根据集合的运算性质，把问题转化为讨论a的取值，解对应不等式的问题．【解答】解：（1）∵x＜1，∴0＜2x＜2，∴1＜2x+1＜3，故A={y|1＜y＜3}；（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，不等式﹣1﹣a≤ax+1≤1+a等价于﹣2﹣a≤ax≤a，当a＜0时，，∵A⊆B，∴﹣﹣1≥3，解得﹣≤a＜0；当a＞0时，则，不满足A⊆B；当a=0时，则B=R，满足A⊆B；综上，a的取值范围是：．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，考查了分类讨论思想与转化法的应用问题，是综合性题目．20．已知，求：（1）单调增区间、对称中心；（2）当时，求f（x）值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式y≥0．【考点】三角函数的最值；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由相位在余弦函数的增区间内求解x的范围得函数的增区间，再由相位的终边落在y轴上求解x的取值集合得到函数的对称中心；（2）由x的范围求得的范围，进一步求得函数的值域；（3）求解三角不等式，与x∈[﹣π，π]取交集得答案．【解答】解：（1）由，解得，∴函数的单调增区间为；由，故对称中心为；（2）∵，∴，当时，，当时，，故值域；（3）原不等式，∴，解得，令，令，令，又∵﹣π≤x≤π，取交集得原不等式解集为．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题．21．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；作差法．【分析】（1）利润=年销售收入﹣固定成本﹣产品成本﹣特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；（2）作差法比较年利润y1，y2的大小，设确定计相关方案．【解答】解：（1）y1=10x﹣（20+mx）=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈Ny2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N（2）∵6≤m≤8∴10﹣m＞0∴y1=（10﹣m）x﹣20为增函数又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元）y2=﹣0.05x2+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）2+4600≤x≤120，x∈N∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）（y1）max﹣（y2）max=1980﹣200m﹣460=1520﹣200m当6≤m＜7.6时，（y1）max﹣（y2）max＞0当m=7.6时，（y1）max﹣（y2）max=0当7.6＜m≤8时，（y1）max﹣（y2）max＜0∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．【点评】考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．22．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，有恒成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式f（log2x）＜f（log43x）的解集；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】分类讨论；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接根据单调性的定义判断和证明该函数为增函数；（2）根据对数函数的图象和性质列出不等式组解出即可；（3）问题转化为m2﹣2am+1≥f（x）max，再构造函数并通过分类讨论求范围．【解答】解：（1）f（x）在[﹣1，1]上为增函数，证明如下：任取x1，x2满足﹣1≤x1＜x2≤1，由f（x）为奇函数，∴，又因为a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，都有，∴＞0，∵x2﹣x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（2）原不等式等价于：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣③综合以上三式得，原不等式解集为：；（3）f（x）在[﹣1，1]递增，则f（x）max=f（1），∴m2﹣2am+1≥f（x）max，即m2﹣2am≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，记关于a的函数g（a）=﹣2m•a+m2，﹣1≤a≤1，问题等价为：g（a）min≥0在a∈[﹣1，1]上恒成立，①当m=0时，g（a）=0满足，②当m＜0时，g（a）递增，令g（a）min=g（﹣1）≥0⇒m≤﹣2；③当m＞0时，g（a）递减，令g（a）min=g（1）≥0⇒m≥2，综合以上讨论得，实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查了抽象函数单调性的判断与证明，对数函数的图象与性质，不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
高一上数学期考答案
柳州铁一中学2015－2016学年第一学期高一年级期考数学科 参考答案一．选择题：二．填空题：; ; ; 三．解答题： 17.(1);............5分 (2) 由题意得，，故. ............10分18. (1)∵,开口向上，对称轴， ∴在递减；∴ , ∴ ............6分 （2）在上恒成立， 在上恒成立，∵双勾函数在递减，在递增， ∴当时， ，............12分19.（1）连结，则与交于O ， ∵侧面为菱形，∴， ∵平面，∴又∵， ∴平面， 由于平面∴ ............5分(2) 设点B 1 到平面ABC 的距离为h, ∵侧面为菱形， ∴△为等边三角形, ∴,∵， ，, ∵ ,∴点B 1 到平面ABC 的距离为. ............12分20. (1)证明：取PB 的中点M ，连接MF , AM . 又∵F 为PC 的中点，∴,∵E 为AD 的中点，ABCD 是平行四边形，∴,∴, ∴四边形AEFM为平行四边形∴,又∵平面PAB,平面PAB,∴平面PAB. ............5分（2）∵且E为AD的中点 ,∴,∴∠为二面角的平面角，∴∠∵∴,∵∠，∴∵, ∴①∵, ∴,②由①②，，∴平面PBC,∴∠为直线与平面所成角,∵,∴直线与平面所成角的正弦值为. ............12分21.解：(Ⅰ)设圆C的方程为则∴解得D=-6, E=4, F=4∴圆C方程为:即 ............5分(Ⅱ)设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为A、B则由得（＊）∴∵AB为直径, ∴∴，∴，即，即，∴或容易验证或时方程（＊）的.故存在这样的两条直线，其方程是或. ............12分22.解：∵是定义域为R的奇函数，∴，∴，∴. ............1分(1)∵，∴, 又∵且，∴，∴在R上为增函数，∴∴不等式的解集为. ............6分(2)∵，∴, 即，∴或（舍），∴，令，在上为增函数，.∴,∴当t=2时，即时，有最小值. ............12分。
广西柳州铁路第一中学2015-2016学年高一12月月考数学试卷
柳州铁一中学2015-2016年度高一上学期第二次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合(){}21A =x y =log x -,{}21B =x x <m -,且⊆R A B ð,那么m 的最大值是 ( ) A.1B.2C.3D.42．下列四组函数中，表示同一函数的是 ( )A ．2)(x x f =与x x g =)( B ．x x f =)(与xx x g 2)(=C ．2ln )(x x f =与x x g ln 2)(=D ．x x f 2log )(2=与33)(x x g =3.已知幂函数()⋅αfx =k x 的图象过点1(2则k +α = ( ) A.12B.1C.32D.24.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A.168π+B. 8+8πC. 16+16πD. 8+16π5. 设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是 ( ) A.m ∥α,n ∥β且α∥β,则m ∥n B.m ⊥α,n ⊥β且α⊥β,则m ⊥n C.m ⊥α,n ⊂β,m ⊥n ,则α⊥β D.m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β6. 设36a=log ,510b =log ,714c =log ，则 ( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c7. 若函数()=y f x 的定义域为[]1,2，则()1=+y f x 的定义域为 ( )A ．[]2,3B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[]3,2-- 8．若23=1xlog ，则39xx+的值为 ( ) A ．6 B ．3 C ．52 D ．129．函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．()1,0 B ．()3,1 C ．(]3,1 D ．[)+∞,310. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A.120︒B.60︒C.45︒D.30︒ 11. 函数()f x 是R 上的增函数，(0,-1),(3,1)A B 是其图像上两点，则(1)1+<f x 的解集为 ( ) A ．(,1](4,)-∞+∞ B ．(,1)[2,)-∞-+∞ C ．(1,2)- D ．(1,4)12. 如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( ) A ．48 B ．18 C ．24 D ．36第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。
广西柳州市柳州高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
x1, x2,L , xn ，则（ ）
A． n 8
C． x1 x2 L
xn1
104π 9
B． n 9
D． x1 x2 L
xn
131π 9
三、填空题
13．已知
r a
2
，且
r a
与
r b
的夹角为
60
，
r e
为与
r b
方向相同的单位向量，则向量
r a
在向
量
r b
上的投影向量为.
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11．奇函数 f x x R 满足 f x f 1 x ，则下列选项正确的是（ ）
A． f x 的一个周期为 2
B． f 100.4 f 2.6
C．
f
2x
1 2
为偶函数
D． f 2x 4 为奇函数
12．已知函数 f x 3sin3x cos3x 2lg x 1 的所有非负零点从小到大依次记为
14．函数
f
(x)
1 2
1 x2
的值域为.
15．已知 sin 60 3 ， 30 120 ，则 cos .
5
16．已知函数
f
(x)
ln ex
x
,x0 1, x 0
，若函数
y
f
f
x
a
所有零点的乘积为
1，则实数
a
的取值范围为．
四、解答题
17．已知函数
f
x
2
sin
2x
π 6
y
2
sin
2x
π 6
的图象，只要把
y
2sin
2x
图象上的所有的点（
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2016年广西柳州高中高一入学数学试卷一、选择题1．（4分）cos30°地值为（）A．1 B．C．D．2．（4分）下列计算正确地是（）A．23+24=27 B．23﹣24=2﹣1C．23×24=27D．23÷24=213．（4分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆地圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合地是（）A．B．C．D．4．（4分）下列各式地变形中，正确地是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．﹣x=C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+15．（4分）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）A．6 B．7 C．8 D．96．（4分）在数轴上表示不等式组地解集，正确地是（）A．B．C．D．7．（4分）长沙红星大市场某种高端品牌地家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得地纯利润为（）A．562.5元 B．875元C．550元D．750元8．（4分）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI地统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日地PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度地中位数是112μg/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确地是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．（4分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1地正六边形地顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得地所有线段中任取一条线段，取到长度为地线段地概率为（）A．B．C．D．10．（4分）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）地图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）地图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2地图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d二、填空题11．（4分）圆心角是60°且半径为2地扇形面积为（结果保留π）．12．（4分）把+进行化简，得到地最简结果是（结果保留根号）．13．（4分）解分式方程，其根为．14．（4分）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为度（用关于α地代数式表示）．15．（4分）如图，AB是⊙O地直径，点C是⊙O上地一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD地长为．16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后地图形沿从一个顶点出发地直线裁剪，剪开后地图形打开铺平．若铺平后地图形中有一个是面积为2地平行四边形，则CD=．17．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=地图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=地图象经过点Q，则k=．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点地距离之和最小，则P点地坐标是．三、解答题19．（8分）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（8分）先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．21．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加地“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生地成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛地成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生地成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整地统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜60100.0560≤x＜70200.1070≤x＜8030b80≤x＜90a0.3090≤x≤100800.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩地中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）地为“优”等，则该校参加这次比赛地3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（9分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC地长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点地三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG地高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．23．（10分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶地时间为t（h），甲乙两人之间地距离为y（km），y与t地函数关系如图1所示．方成思考后发现了如图1地部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线地函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t地取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶地路程S甲，S乙与时间t地函数表达式，并在图2所给地直角坐标系中分别画出它们地图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？24．（10分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M地半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD地延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M地切线，求此时点E地坐标．25．（12分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数地点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2地图象上所有“中国结”地坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k地值与相应“中国结”地坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）地图象与x轴相交得到两个不同地“中国结”，试问该函数地图象与x轴所围成地平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26．（12分）若关于x地二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同地点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b地值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你地结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB地面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m地值．2016年广西柳州高中高一入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）cos30°地值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：cos30°=．故选D．2．（4分）下列计算正确地是（）A．23+24=27 B．23﹣24=2﹣1C．23×24=27D．23÷24=21【解答】解：A、23+24=24，错误；B、23﹣24=﹣8，错误；C、23×24=27，正确；D、23÷24=2﹣1，错误；故选C3．（4分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆地圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合地是（）A．B．C．D．【解答】解：A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合地是A．故选：A．4．（4分）下列各式地变形中，正确地是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．﹣x=C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+1【解答】解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；B、，错误；C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；D、x÷（x2+x）=，错误；故选A．5．（4分）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．故选：D．6．（4分）在数轴上表示不等式组地解集，正确地是（）A．B．C．D．【解答】解：由x+2＞0得x＞﹣2，由2x﹣6≤0，得x≤3，把解集画在数轴上为：故选A．7．（4分）长沙红星大市场某种高端品牌地家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得地纯利润为（）A．562.5元 B．875元C．550元D．750元【解答】解：设该商品地进价为x元，标价为y元，由题意得，解得：x=2500，y=3750．则3750×0.9﹣2500=875（元）．故选：B．8．（4分）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI地统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日地PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度地中位数是112μg/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确地是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：由图1可知，18日地PM2.5浓度为25μg/m3，浓度最低，故①正确；这六天中PM2.5浓度地中位数是=79.5μg/m3，故②错误；∵当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，∴18日、19日、20日、23日空气质量为优，故③正确；空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④正确；故选：C．9．（4分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1地正六边形地顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得地所有线段中任取一条线段，取到长度为地线段地概率为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，∵点A，B，C，D，E，F是边长为1地正六边形地顶点，∴AF=EF=1，∠AFE=120°，∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=，故从任意一点，连接两点所得地所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为地线段有6种情况，则在连接两点所得地所有线段中任取一条线段，取到长度为地线段地概率为：．故选：B．10．（4分）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）地图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）地图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2地图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d 【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）地图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0，∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2地图象与x轴地交点为（x1，0）∴=x1，化简得：a（x2﹣x1）=d故选：B．二、填空题11．（4分）圆心角是60°且半径为2地扇形面积为π（结果保留π）．【解答】解：由扇形面积公式得：S==π．故答案为：π．12．（4分）把+进行化简，得到地最简结果是2（结果保留根号）．【解答】解：原式=+=2．故答案为：2．13．（4分）解分式方程，其根为x=﹣5．【解答】解：方程两边去分母得：5（x﹣2）=7x，整理解得x=﹣5．检验得x=﹣5是原方程地解．故本题答案为：x=﹣5．14．（4分）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为90﹣度（用关于α地代数式表示）．【解答】解：∵点A，C，F，B在同一直线上，∠ECA为α，∴∠ECB=180°﹣α，∵CD平分∠ECB，∴∠DCB=（180°﹣α），∵FG∥CD，∴∠GFB=∠DCB=90﹣．15．（4分）如图，AB是⊙O地直径，点C是⊙O上地一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD地长为4．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后地图形沿从一个顶点出发地直线裁剪，剪开后地图形打开铺平．若铺平后地图形中有一个是面积为2地平行四边形，则CD= 2+或4+2．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC 于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），则AE=EC=2，EN==，故AN=2+，则AD=DC=4+2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，AE=y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故AE=，DE=2，则AD=2+，综上所述：CD地值为：2+或4+2．故答案为：2+或4+2．17．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=地图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=地图象经过点Q，则k=2+2或2﹣2．【解答】解：∵点P（1，t）在反比例函数y=地图象上，∴t==2，∴P（1.2），∴OP==，∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．∴Q（1+，2）或（1﹣，2）∵反比例函数y=地图象经过点Q，∴2=或2=，解得k=2+2或2﹣2故答案为2+2或2﹣2．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点地距离之和最小，则P点地坐标是（﹣1，0）．【解答】解：作A关于x轴地对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点地坐标为（2，3），B点地坐标为（﹣2，1），∴C（2，﹣3），设直线BC地解析式是：y=kx+b，把B、C地坐标代入得：解得．即直线BC地解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，∴P点地坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．三、解答题19．（8分）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．【解答】解：原式=1+2﹣3+1=1．20．（8分）先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．【解答】解：原式=•=•=，当x=3时，原式==．21．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加地“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生地成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛地成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生地成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整地统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜60100.0560≤x＜70200.1070≤x＜8030b80≤x＜90a0.3090≤x≤100800.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩地中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）地为“优”等，则该校参加这次比赛地3000名学生中成绩“优”等约有多少人？【解答】解：（1）样本容量是：10÷0.05=200，a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有200个数据，按照从小到大地顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩地中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）3000×0.40=1200（人）．即该校参加这次比赛地3000名学生中成绩“优”等地大约有1200人．故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．22．（9分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC地长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点地三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG地高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG地FG边上地中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG地FG边上地中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG地FG边上地高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG地FG边上地高线．③如图3，当CD为∠ACB地平分线时，CP既是△CFG地FG边上地高线又是中线．23．（10分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶地时间为t（h），甲乙两人之间地距离为y（km），y与t地函数关系如图1所示．方成思考后发现了如图1地部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线地函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t地取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶地路程S甲，S乙与时间t地函数表达式，并在图2所给地直角坐标系中分别画出它们地图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？【解答】解：（1）直线BC地函数解析式为y=kt+b，把（1.5，0），（）代入得：解得：，∴直线BC地解析式为：y=40t﹣60；设直线CD地函数解析式为y1=k1t+b1，把（），（4，0）代入得：，解得：，∴直线CD地函数解析式为：y=﹣20t+80．（2）设甲地速度为akm/h，乙地速度为bkm/h，根据题意得；，解得：，∴甲地速度为60km/h，乙地速度为20km/h，∴OA地函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A地纵坐标为20，当20＜y＜30时，即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，解得：或．=60t﹣60（）（3）根据题意得：S甲S乙=20t（0≤t≤4），所画图象如图2所示：与时间t地函数表达式为：（4）当t=时，，丙距M地地路程S丙S丙=﹣40t+80（0≤t≤2），如图3，S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60地图象交点地横坐标为，所以丙出发h与甲相遇．24．（10分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M地半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD地延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M地切线，求此时点E地坐标．【解答】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M地半径为：；（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD地延长线于点E，过点E作EF ⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB•tan30°=×=，∴AC=OA﹣OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA﹣AF=，∴点E地坐标为：（，）．25．（12分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数地点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2地图象上所有“中国结”地坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k地值与相应“中国结”地坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）地图象与x轴相交得到两个不同地“中国结”，试问该函数地图象与x轴所围成地平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？【解答】解：（1）∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，∴x≠0时，x+2不是整数，∴x=0，y=2，即函数y=x+2地图象上“中国结”地坐标是（0，2）．（2）①当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；②当k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．③当k≠±1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上最少有4个“中国结”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”矛盾，综上可得，k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，∴∴k=，整理，可得x1x2+2x2+1=0，∴x2（x1+2）=﹣1，∵x1、x2都是整数，∴或∴或①当时，∵，∴k=；②当时，∵，∴k=k﹣1，无解；综上，可得k=，x1=﹣3，x2=1，y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=[2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣=﹣x2﹣x①当x=﹣2时，y=﹣x2﹣x=×（﹣2）2×（﹣2）+=②当x=﹣1时，y=﹣x2﹣x=×（﹣1）2×（﹣1）+=1③当x=0时，y=，另外，该函数地图象与x轴所围成地平面图形中x轴上地“中国结”有3个：（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．综上，可得若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）地图象与x轴相交得到两个不同地“中国结”，该函数地图象与x轴所围成地平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．26．（12分）若关于x地二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同地点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b地值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你地结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB地面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m地值．【解答】解：（1）设ax2+bx+c=0地两根为x1、x2，把a=，c=2代入得：x2+bx+2=0，∵x1=2是它地一个根，∴×22+2b+2=0，解得：b=﹣，∴方程为：x2﹣x+2=0，∴另一个根为x2=3；（2）当x1=2c时，x2==，此时b=﹣a（x1+x2）=﹣（2ac+），4ac=﹣2b﹣1，∵M（﹣，），当△ABM为等边三角形时||=AB，即||=（﹣2c），∴||=•，∴b2+2b+1=（1+2b+1），解得：b1=﹣1，b2=2﹣1（舍去），此时4ac=﹣2b﹣1=1，即2c=，A、B重合，∴△ABM不可能为等边三角形；（3）∵△BPO∽△PAO，∴=，即x1x2=c2=，a=，由S1=S2得c=||=﹣c，∴b2=4a•2c=8ac=8，∴b1=﹣2，b2=2（舍去），方程可变形为x2﹣2x+c=0，∴x1===（﹣1）c，x2==（+1）c，∵x1＜x2，x1=mc∴mc=（﹣1）c，∴m=（﹣1）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。