2016年广西柳州高中高一入学数学试卷和解析答案

2016年广西柳州高中高一入学数学试卷
一、选择题
1．（4分）cos30°地值为（）
A．1 B．C．D．
2．（4分）下列计算正确地是（）
A．23+24=27 B．23﹣24=2﹣1C．23×24=27D．23÷24=21
3．（4分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆地圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合地是（）
A．B．C．D．
4．（4分）下列各式地变形中，正确地是（）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．﹣x=
C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+1
5．（4分）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（4分）在数轴上表示不等式组地解集，正确地是（）
A．B．C．D．
7．（4分）长沙红星大市场某种高端品牌地家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得地纯利润为（）
A．562.5元 B．875元C．550元D．750元
8．（4分）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI地统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日地PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度地中位数是112μg/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确地是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．（4分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1地正六边形地顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得地所有线段中任取一条线段，取到长度为地线段地概率为（）
A．B．C．D．
10．（4分）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）地图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）地图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2地图象与x轴仅有一个交点，则（）
A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d
二、填空题
11．（4分）圆心角是60°且半径为2地扇形面积为（结果保留π）．12．（4分）把+进行化简，得到地最简结果是（结果保留根号）．13．（4分）解分式方程，其根为．
14．（4分）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为度（用关于α地代数式表示）．
15．（4分）如图，AB是⊙O地直径，点C是⊙O上地一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD地长为．
16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后地图形沿从一个顶点出发地直线裁剪，剪开后地图形打开铺平．若铺平后地图形中有一个是面积为2地平行四边形，则CD=．
17．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=地图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=地图象经过点Q，则k=．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点地距离之和最小，则P点地坐标是．
三、解答题
19．（8分）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．
20．（8分）先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．
21．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加地“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生地成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛地成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生地成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整地统计图表：
成绩x/分频数频率
50≤x＜60100.05
60≤x＜70200.10
70≤x＜8030b
80≤x＜90a0.30
90≤x≤100800.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a=，b=；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩地中位数会落在分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）地为“优”等，则该校参加这次比赛地3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
22．（9分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
（1）若=，AE=2，求EC地长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点地三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG地高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．
23．（10分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶地时间为t（h），甲乙两人之间地距离为y（km），y与t地函数关系如图1所示．
方成思考后发现了如图1地部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．
请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线地函数表达式；
（2）当20＜y＜30时，求t地取值范围；
（3）分别求出甲，乙行驶地路程S
甲，S
乙
与时间t地函数表达式，并在图2所给
地直角坐标系中分别画出它们地图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？
24．（10分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M地半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD地延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M地切线，求此时点E地坐标．
25．（12分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数地点称之为“中国结”．
（1）求函数y=x+2地图象上所有“中国结”地坐标；
（2）若函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k地值与相应“中国结”地坐标；
（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）地图象与x轴相交得到两个不同地“中国结”，试问该函数地图象与x轴所围成地平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
26．（12分）若关于x地二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同地点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．
（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b地值；
（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你地结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB地面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m地值．
2016年广西柳州高中高一入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）cos30°地值为（）
A．1 B．C．D．
【解答】解：cos30°=．
故选D．
2．（4分）下列计算正确地是（）
A．23+24=27 B．23﹣24=2﹣1C．23×24=27D．23÷24=21
【解答】解：A、23+24=24，错误；
B、23﹣24=﹣8，错误；
C、23×24=27，正确；
D、23÷24=2﹣1，错误；
故选C
3．（4分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆地圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合地是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合地是A．
故选：A．
4．（4分）下列各式地变形中，正确地是（）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．﹣x=
C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+1
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；
B、，错误；
C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；
D、x÷（x2+x）=，错误；
故选A．
5．（4分）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，
∴k=9．
故选：D．
6．（4分）在数轴上表示不等式组地解集，正确地是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由x+2＞0得x＞﹣2，
由2x﹣6≤0，得x≤3，
把解集画在数轴上为：
故选A．
7．（4分）长沙红星大市场某种高端品牌地家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得地纯利润为（）
A．562.5元 B．875元C．550元D．750元
【解答】解：设该商品地进价为x元，标价为y元，由题意得
，
解得：x=2500，y=3750．
则3750×0.9﹣2500=875（元）．
故选：B．
8．（4分）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI地统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日地PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度地中位数是112μg/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确地是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：由图1可知，18日地PM2.5浓度为25μg/m3，浓度最低，故①正确；
这六天中PM2.5浓度地中位数是=79.5μg/m3，故②错误；
∵当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，
∴18日、19日、20日、23日空气质量为优，
故③正确；
空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④正确；
故选：C．
9．（4分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1地正六边形地顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得地所有线段中任取一条线段，取到长度为地线段地概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，
∵点A，B，C，D，E，F是边长为1地正六边形地顶点，
∴AF=EF=1，∠AFE=120°，
∴∠FAE=30°，
∴AN=，
∴AE=，同理可得：AC=，
故从任意一点，连接两点所得地所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为地线段有6种情况，
则在连接两点所得地所有线段中任取一条线段，取到长度为地线段地概率为：．
故选：B．
10．（4分）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）地图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）地图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2地图象与x轴仅有一个交点，则（）
A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d 【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）地图象经过点（x1，0），
∴dx1+e=0，
∴y2=d（x﹣x1），
∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）
=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1
=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1
∵当x=x1时，y1=0，y2=0，
∴当x=x1时，y=y1+y2=0，
∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，
∴y=y1+y2地图象与x轴地交点为（x1，0）
∴=x1，
化简得：a（x2﹣x1）=d
故选：B．
二、填空题
11．（4分）圆心角是60°且半径为2地扇形面积为π（结果保留π）．
【解答】解：由扇形面积公式得：S==π．
故答案为：π．
12．（4分）把+进行化简，得到地最简结果是2（结果保留根号）．【解答】解：原式=+
=2．
故答案为：2．
13．（4分）解分式方程，其根为x=﹣5．
【解答】解：方程两边去分母得：5（x﹣2）=7x，
整理解得x=﹣5．
检验得x=﹣5是原方程地解．
故本题答案为：x=﹣5．
14．（4分）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为90﹣度（用关于α地代数式表示）．
【解答】解：∵点A，C，F，B在同一直线上，∠ECA为α，
∴∠ECB=180°﹣α，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=（180°﹣α），
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB=90﹣．
15．（4分）如图，AB是⊙O地直径，点C是⊙O上地一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD地长为4．
【解答】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴OD==4．
故答案为4．
16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后地图形沿从一个顶点出发地直线裁剪，剪开后地图形打开铺平．若铺平后地图形中有一个是面积为2地平行四边形，则CD= 2+或4+2．
【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC 于点T，
当四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，
则∠NAD=60°，
∴∠AND=90°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设BT=x，则BC=EC=2x，
故2x×x=2，
解得：x=1（负数舍去），
则AE=EC=2，EN==，
故AN=2+，
则AD=DC=4+2；
如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，
∴∠ADB=∠BDC=15°，
∵BE=DE，
∴∠AEB=30°，
∴设AB=y，则BE=2y，AE=y，
∵四边形BEDF面积为2，
∴AB×DE=2y2=2，
解得：y=1，故AE=，DE=2，
则AD=2+，
综上所述：CD地值为：2+或4+2．故答案为：2+或4+2．
17．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=地图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=地图象经过点Q，则k=2+2或2﹣2．
【解答】解：∵点P（1，t）在反比例函数y=地图象上，
∴t==2，
∴P（1.2），
∴OP==，
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．
∴Q（1+，2）或（1﹣，2）
∵反比例函数y=地图象经过点Q，
∴2=或2=，解得k=2+2或2﹣2
故答案为2+2或2﹣2．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点地距离之和最小，则P点地坐标是（﹣1，0）．
【解答】解：作A关于x轴地对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，
∵A点地坐标为（2，3），B点地坐标为（﹣2，1），
∴C（2，﹣3），
设直线BC地解析式是：y=kx+b，
把B、C地坐标代入得：
解得．
即直线BC地解析式是y=﹣x﹣1，
当y=0时，﹣x﹣1=0，
解得：x=﹣1，
∴P点地坐标是（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
三、解答题
19．（8分）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．
【解答】解：原式=1+2﹣3+1
=1．
20．（8分）先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．
【解答】解：原式=•
=•
=，
当x=3时，原式==．
21．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加地“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生地成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛地成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生地成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整地统计图表：
成绩x/分频数频率
50≤x＜60100.05
60≤x＜70200.10
70≤x＜8030b
80≤x＜90a0.30
90≤x≤100800.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a=60，b=0.15；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩地中位数会落在80≤x＜90分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）地为“优”等，则该校参加这次比赛地3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
【解答】解：（1）样本容量是：10÷0.05=200，
a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）一共有200个数据，按照从小到大地顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，
所以这次比赛成绩地中位数会落在80≤x＜90分数段；
（4）3000×0.40=1200（人）．
即该校参加这次比赛地3000名学生中成绩“优”等地大约有1200人．
故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．
22．（9分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
（1）若=，AE=2，求EC地长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点地三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG地高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴，
∵，AE=2，
∴EC=6；
（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG地FG边上地中线．
证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，
又∵∠CFG=∠ECD，
∴∠CGF=∠PCG，
∴CP=PG，
∵∠CFG=∠ECD，
∴CP=FP，
∴PF=PG=CP，
∴线段CP是△CFG地FG边上地中线；
②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG地FG边上地高线．
证明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∵∠CFG=∠EDC，
∴∠CFG+∠ECD=90°，
∴∠CPF=90°，
∴线段CP为△CFG地FG边上地高线．
③如图3，当CD为∠ACB地平分线时，CP既是△CFG地FG边上地高线又是中线．
23．（10分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶地时间为t（h），甲乙两人之间地距离为y（km），y与t地函数关系如图1所示．
方成思考后发现了如图1地部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相
遇．
请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线地函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t地取值范围；
（3）分别求出甲，乙行驶地路程S
甲，S
乙
与时间t地函数表达式，并在图2所给
地直角坐标系中分别画出它们地图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？
【解答】解：（1）直线BC地函数解析式为y=kt+b，
把（1.5，0），（）代入得：
解得：，
∴直线BC地解析式为：y=40t﹣60；
设直线CD地函数解析式为y1=k1t+b1，
把（），（4，0）代入得：，
解得：，
∴直线CD地函数解析式为：y=﹣20t+80．
（2）设甲地速度为akm/h，乙地速度为bkm/h，根据题意得；
，
解得：，
∴甲地速度为60km/h，乙地速度为20km/h，
∴OA地函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A地纵坐标为20，
当20＜y＜30时，
即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，
解得：或．
=60t﹣60（）
（3）根据题意得：S
甲
S乙=20t（0≤t≤4），
所画图象如图2所示：
与时间t地函数表达式为：（4）当t=时，，丙距M地地路程S
丙
S丙=﹣40t+80（0≤t≤2），
如图3，
S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60地图象交点地横坐标为，
所以丙出发h与甲相遇．
24．（10分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M地半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD地延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M地切线，求此时点E地坐标．
【解答】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），
∴OA=，OB=，
∴AB==2，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴⊙M地半径为：；
（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即BD平分∠ABO；
（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD地延长线于点E，过点E作EF ⊥OA于点F，即AE是切线，
∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，
∴∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，
∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，
∴OC=OB•tan30°=×=，
∴AC=OA﹣OC=，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=，
∴AF=AE=，EF=AE=，
∴OF=OA﹣AF=，
∴点E地坐标为：（，）．
25．（12分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数地点称之为“中国结”．
（1）求函数y=x+2地图象上所有“中国结”地坐标；
（2）若函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k地值与相应“中国结”地坐标；
（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）地图象与x轴相交得到两个不同地“中国结”，试问该函数地图象与x轴所围成地平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
【解答】解：（1）∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，
∴x≠0时，x+2不是整数，
∴x=0，y=2，
即函数y=x+2地图象上“中国结”地坐标是（0，2）．
（2）①当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；
②当k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．
③当k≠±1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上最少有4个“中国结”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”矛盾，
综上可得，k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；
k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）地图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．
（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，
则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，
∴
∴k=，
整理，可得
x1x2+2x2+1=0，
∴x2（x1+2）=﹣1，
∵x1、x2都是整数，
∴或
∴或
①当时，
∵，
∴k=；
②当时，
∵，
∴k=k﹣1，无解；
综上，可得
k=，x1=﹣3，x2=1，
y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k
=[2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣
=﹣x2﹣x
①当x=﹣2时，
y=﹣x2﹣x
=×（﹣2）2×（﹣2）+
=
②当x=﹣1时，
y=﹣x2﹣x
=×（﹣1）2×（﹣1）+
=1
③当x=0时，y=，
另外，该函数地图象与x轴所围成地平面图形中x轴上地“中国结”有3个：
（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．
综上，可得
若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）地图象与x轴相交得到两个不同地“中国结”，
该函数地图象与x轴所围成地平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．
26．（12分）若关于x地二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同地点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．
（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b地值；
（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你地结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB地面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m地值．
【解答】解：（1）设ax2+bx+c=0地两根为x1、x2，把a=，c=2代入得：x2+bx+2=0，
∵x1=2是它地一个根，
∴×22+2b+2=0，
解得：b=﹣，
∴方程为：x2﹣x+2=0，
∴另一个根为x2=3；
（2）当x1=2c时，x2==，
此时b=﹣a（x1+x2）=﹣（2ac+），4ac=﹣2b﹣1，∵M（﹣，），
当△ABM为等边三角形时||=AB，
即||=（﹣2c），
∴||=•，
∴b2+2b+1=（1+2b+1），
解得：b1=﹣1，b2=2﹣1（舍去），
此时4ac=﹣2b﹣1=1，即2c=，A、B重合，
∴△ABM不可能为等边三角形；
（3）∵△BPO∽△PAO，
∴=，即x1x2=c2=，
a=，
由S1=S2得c=||=﹣c，
∴b2=4a•2c=8ac=8，
∴b1=﹣2，b2=2（舍去），
方程可变形为x2﹣2x+c=0，
∴x1===（﹣1）c，x2==（+1）c，
∵x1＜x2，x1=mc
∴mc=（﹣1）c，
∴m=（﹣1）．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】
几何最值模型：
图形特征：
B
A
P
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
E
M F
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

D
A
F
3.在Rt △POQ 中，OP =OQ =4．M 是PQ 中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B 。

（1）求证：MA =MB ；
（2）连接AB ．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB 的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
A
B
M
P
O
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =42BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
D
C
M
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

F
E
O
C A
B D
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
x y x
y D C B A O D C B A O E。