数列求通项公式的常见题型与解题方法

数列求通项公式的常见题型与解题方法

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．

数列这一章的主要章节结构为：

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．

题型1 已知数列前几项求通项公式

在我们的教材中，有这样的题目：

1．

数列的通项n a = ．

2．数列1111

,,,12233445-

-⨯⨯⨯⨯L 的通项n a = ． 3．数列22221357

1,1,1,12468

+-+-L 的通项n a = ．

1、n a

=0为奇数为偶数n n ⎧⎪ 2、n a =11(1)（）n n n -+ 3、n a =12

211(2)1+（）n n n ---． 练习

例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式： 例3:写出下面数列的一个通项公式：

题型2 由a n 与S n 的关系求通项公式

1、已知数列{}n a 的前n 项和2

1()2

n S n n =

+，则n a = ． 2、已知数列{}n a 的前n 项和32n

n S =+，则n a =

3、设数列{a n }的前项的和S n =

3

1（a n -1） (n *

∈N )． (Ⅰ)求a 1；a 2； (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列．

4、数列{a n }的前n 项和 S n =3·2n

-3,求数列的通项公式.

5、设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2

+3n+2，求通项a n 的表达式，并指出此数列是否为等差数列.

6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且na n+1=S n +n(n+1)，求a n ．

7、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n ,n ≥1．

（Ⅰ）写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）证明：对任意的整数m >4，有

451117

8

m a a a +++

当n =3时,有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2；综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2；

⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----化简得：1

122(1)n n n a a --=+-

上式可化为：1122

(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以1

12(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列.

故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333

n n n n

n a --=--=--g

数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3

n n

n a -=--.

⑶由已知得：

232451113111[]221212(1)m m

m a a a -+++=+++-+--L L 51311131041057

()1552151201208

m -=

-<=<=g .故4511178m a a a +++

4). 题型3 已知数列递推公式求通项公式

(公式法)

1、 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = ．

2、数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式 ．

3、已知数列{}n a 满足11=a ，

11

11

=-

+n

n a a ，求n a ． 4、数列{}n a 中，1121,2

n

n n a a a a +==

+，求{}n a 的通项公式 ． 5、已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=≥，则n a = ．

6、 已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a = ． （累加法与累积法）

1、数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，求{}n a 的通项公式 ．

2、数列{}n a 中，1

111,3n n n a a a -+==+，求{}n a 的通项公式 ．

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

5、已知数列{}n a 的首项11a =，且11

(2)n n n a a n n

--=

≥，则n a = ． 6、已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 （构建新数列）

1、已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a = ．

2、数列{}n a 中，112,32n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式．

3、已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

5、已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

6、已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

7、 已知数列}a {n 满足1a 5n 4n 3a 2a 12n 1n =++⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

8、已知数列}a {n 满足98

a )3n 2()1n 2()1n (8a a 1

2

2n 1n =++++

=+，，求数列}a {n 的通项公式。 9、已知数列}a {n 满足4a 1

a 424

a 21a 1n n 1n =+-=

+，，求数列}a {n 的通项公式。

10、已知数列}a {n 满足2a 3

a 22

a 7a 1n n 1n =+-=

+，，求数列}a {n 的通项公式。

3、解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得

23

2a 2a n

n 1

n 1n +

=

++，则2

32a 2a n n 1n 1n =-++， 故数列}2a {

n n 是以12

22a 11==为首，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得