§3.4基本不等式第3课时.pdf
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基本不等式 完整版课件
• 不等式的证明技巧—字母轮换不 等式的证法
求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥
abc(a＋b＋c)．
• [分析] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换
a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几
个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．
[证明] 先证 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2， ∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
又∵ba＋ab≥2，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2，
当且仅当ba＝ab，ac＝ac，bc＝bc，即 a＝b＝c＝13时，等号成立，
∴1a＋1b＋1c≥3＋2＋2＋2＝9.
[方法总结] 在对代数式进行变换时，并不是只能将代数 式中的“元”消去，也可利用整体代换将某些“常数”消去．
已知 a、b、c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
• [答案] 一正 二定 三相等
• 1.由基本不等式导出的几个结论
(1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R＋)，由 a2＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得．
(2)ab≤(a＋2 b)2，(a、b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ a2＋2 b2≥a＋2 b ≥ ab≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.
• 综合法证明不等式
已知 a、b、c、d 都是实数，且 a2＋b2＝1，c2 ＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.
高中数学 第3章 不等式 3.4 基本不等式的证明课件 苏
均数不大于它们的算术平均数．
5．如图所示，在⊙O 中，AB 是圆的直径，CD⊥AB 于点 D，由射影定理可知，CD2＝AD·DB，则 CD＝
AD·DB叫 作 AD，DB 的几何平均数，OC＝AD＋2 DB叫作 AD，
DB 的算术平均数．
由右图可知，OC≥CD，当△ABC 是 等腰直角三角形时，有 OC＝CD.
先证
a2 b
＋b≥2a，
b2 c
＋c≥2b，ca2
＋
a≥2c，再用同向不等式相加即可．
证明：(1)因为 a>3，所以 a－3>0.
由基本不等式的性质得 4 ＋a＝ 4 ＋a－3＋3≥ a－3 a－3
2
4 ·（a－3）＋3＝2 4＋3＝7.
a－3
当且仅当 4 ＝a－3，即 a＝5 时，等号成立． a－3
(3)常用的几个不等式： ①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R，当且仅当 a ＝b＝c 时等号成立)． ②(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)(a，b，c∈R，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)．
题型 1 利用基本不等式比较大小 [典例 1] 已知 m＝a＋a－1 2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)， 则 m，n 之间的大小关系是________． 分析：先根据基本不等式求出 m 的范围，然后根据 指数函数的性质求出 n 的范围，最后比较 m，n 的大小．
名师点评 (1)在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件， 即 a>0，b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积 式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本 不等式试试看．
[变式训练] 1．已知 a＜b＜0，设 P＝ba2＋ab2，Q＝a＋b，试比较 P 与 Q 的大小．
5．如图所示，在⊙O 中，AB 是圆的直径，CD⊥AB 于点 D，由射影定理可知，CD2＝AD·DB，则 CD＝
AD·DB叫 作 AD，DB 的几何平均数，OC＝AD＋2 DB叫作 AD，
DB 的算术平均数．
由右图可知，OC≥CD，当△ABC 是 等腰直角三角形时，有 OC＝CD.
先证
a2 b
＋b≥2a，
b2 c
＋c≥2b，ca2
＋
a≥2c，再用同向不等式相加即可．
证明：(1)因为 a>3，所以 a－3>0.
由基本不等式的性质得 4 ＋a＝ 4 ＋a－3＋3≥ a－3 a－3
2
4 ·（a－3）＋3＝2 4＋3＝7.
a－3
当且仅当 4 ＝a－3，即 a＝5 时，等号成立． a－3
(3)常用的几个不等式： ①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R，当且仅当 a ＝b＝c 时等号成立)． ②(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)(a，b，c∈R，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)．
题型 1 利用基本不等式比较大小 [典例 1] 已知 m＝a＋a－1 2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)， 则 m，n 之间的大小关系是________． 分析：先根据基本不等式求出 m 的范围，然后根据 指数函数的性质求出 n 的范围，最后比较 m，n 的大小．
名师点评 (1)在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件， 即 a>0，b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积 式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本 不等式试试看．
[变式训练] 1．已知 a＜b＜0，设 P＝ba2＋ab2，Q＝a＋b，试比较 P 与 Q 的大小．
《3.4基本不等式》ppt课件
赵爽：弦图
3
探究点1 探究基本不等式 1.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或 不等关系吗？
D
C GF HE A
B 4
D
设AE=a,BE=b,
GF
HE
A
a Z.x.x. K
b
a2 b2 B
C 则正方形ABCD的面积 是___a_2+_b_2__， 这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
当 x = 1600 即x = 40 x
时y有最小值297600
所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价 最低，最低造价是297600元
24
练习：
做一个体积为32 m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长 与宽取什么值时用纸最少？
2 x
y
25
7.若2x 2y 1,则x y的取值范围是多少？
21
高考方向标：
1、当x>0时， x 1 的最小值为
2 ，此时x= 1
。
x
2、(04重庆）已知 2x1 3y 2(x 0, y 0)
则x y 的最大值是
6。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3x 3y 的最小值是（D ）
2
)
22
【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积 为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元， 池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价 最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化， 即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到 了均值不等式定理。
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
3.4基本不等式第三课时PPT
即[(a b) 2][(a b) 6] 0。
∵ （a b) 2 0,故(a b) 6 0,
∴ a b 6。
第10页，共11页。
【课后作业】
1、若 lg x lg y =2，则
1
1
≥
；
xy
若 x >0，则 y = x2 x 9 的最小值是 。
x
2.课本第101页A组第四题
x 3y
当
x y
9 y 即x2 x
9
y
2
,
故
9
x
1 y
, 1
即
y x
4 12
时“等号成立”。
第7页，共11页。
思考：若 x >0， y >0，且 9 1 =2，如何求 x + y 的最小值？ xy
分析：原式=1• x y 1 2 x y
2
1 2
(
9 x
1 y
)
x
y
5
1 2
则 2 xy 的最大值为 4。
分析：原式=x •
2y
x
2y 2
2
1 2
2
1。 4
第5页，共11页。
【典例探究】
例 1、若 x >0，则函数 f x= x2 3x 4 ( A )：
x
A、无最大值，有最小值7
B、无最大值，有最小值—1
C、有最大值7，有最小值—1
D、有最大值—1，无最小值
x y
9y x
8。
第8页，共11页。
例 3(理科)：若 a >0，b >0， ab = a +b +3，求 ab 的最小值。
解：因ab (a b) 3 2 ab 3,
∵ （a b) 2 0,故(a b) 6 0,
∴ a b 6。
第10页，共11页。
【课后作业】
1、若 lg x lg y =2，则
1
1
≥
；
xy
若 x >0，则 y = x2 x 9 的最小值是 。
x
2.课本第101页A组第四题
x 3y
当
x y
9 y 即x2 x
9
y
2
,
故
9
x
1 y
, 1
即
y x
4 12
时“等号成立”。
第7页，共11页。
思考：若 x >0， y >0，且 9 1 =2，如何求 x + y 的最小值？ xy
分析：原式=1• x y 1 2 x y
2
1 2
(
9 x
1 y
)
x
y
5
1 2
则 2 xy 的最大值为 4。
分析：原式=x •
2y
x
2y 2
2
1 2
2
1。 4
第5页，共11页。
【典例探究】
例 1、若 x >0，则函数 f x= x2 3x 4 ( A )：
x
A、无最大值，有最小值7
B、无最大值，有最小值—1
C、有最大值7，有最小值—1
D、有最大值—1，无最小值
x y
9y x
8。
第8页，共11页。
例 3(理科)：若 a >0，b >0， ab = a +b +3，求 ab 的最小值。
解：因ab (a b) 3 2 ab 3,
3.4基本不等式(三)ppt课件
3.4 基本不等式
ab ab 2
复习引入
基本不等式：
a b 2ab ;
2 2
ab ab (a 0, b 0) . 2
讲授新课
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 .
讲授新课
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 . 变式1. a, b 是正数且 2a b 4，求 ab 的最值 .
1 1 1 求证 : ( 1)( 1)( 1) 8. a b c
练习2：下面解法正确吗？为什么？
1 2 (1)、已知x 时, 求x 1的最小值; 2 解 : x 1 2 x 1 2 x, 当且仅当x 1
2 2 2 2
即x 1时, x 1有最小值2 x 2. 4 (2)、已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4, 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x , 即x 2时, 等号成立. x
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 . 变式1. a, b 是正数且 2a b 4，求 ab 的最值 .
b 变式2. a, b 是正数且a 4，求 ab 的最值 . 2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b) 的最值和此时a、b的值. (2) a, b是正数, a 2b 2, a (1 2b )
d2 积最大的是正方形，这个正方形的面积等于 . 2
(4)、求以下问题中的最值 :
4 (a)设x 1, x 1 的最小值是 4 ____; x 1
ab ab 2
复习引入
基本不等式：
a b 2ab ;
2 2
ab ab (a 0, b 0) . 2
讲授新课
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 .
讲授新课
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 . 变式1. a, b 是正数且 2a b 4，求 ab 的最值 .
1 1 1 求证 : ( 1)( 1)( 1) 8. a b c
练习2：下面解法正确吗？为什么？
1 2 (1)、已知x 时, 求x 1的最小值; 2 解 : x 1 2 x 1 2 x, 当且仅当x 1
2 2 2 2
即x 1时, x 1有最小值2 x 2. 4 (2)、已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4, 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x , 即x 2时, 等号成立. x
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 . 变式1. a, b 是正数且 2a b 4，求 ab 的最值 .
b 变式2. a, b 是正数且a 4，求 ab 的最值 . 2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b) 的最值和此时a、b的值. (2) a, b是正数, a 2b 2, a (1 2b )
d2 积最大的是正方形，这个正方形的面积等于 . 2
(4)、求以下问题中的最值 :
4 (a)设x 1, x 1 的最小值是 4 ____; x 1
§3.4基本不等式第3课时.pptx
通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
[ 思 维 拓 展 1] 已 知 a,b,c,d 都 是 正 数 ， 求 证
过 (ab cd )(ac bd ) 4abcd .
程
及 [思维拓展 2] 求证(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
方
2)利用不等式求最值
例 3 (1) 若 x>0,求 f (x) 4x 9 的最小值;
法
x
(2)若 x<0,求 f (x) 4x 9 的最大值.
x
9 [思维切入]本题(1)x>0 和 4x =36 两个前提条件;(2)中 x<0,可以用
x
-x>0 来转化.
解1) 因为 x>0 由基本不等式得
f (x) 4x 9 2 4x 9 2 36 12 ,当且仅当4x 9 即 x= 3 时,
4
4
等式,无法约掉字母 a,而左边
a
(a 3) 3 .这样变形
a 3 a 3
后,在用基本不等式即可得证.
[
证
明
]
4 3 4 (a 3) 3 2 4 g(a 3) 3 2 4 3 7
a3 a3
a 3
4
教
当且仅当
=a-3 即 a=5 时,等号成立.
a 3
学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
规律技巧总结
随堂练习 1
法m
m 24
当且仅当 = 6m ，即 m=2 时，取等号。
m
24 规律技巧总结 注意：m>0 这一前提条件和 6m =144 为定
m
值的前提条件。
学生活动
学 海 无涯
教师课时教案
问题与情境及教师活动
3.4基本不等式综合课件
用均值不等式求最值,必须注意 相等” 用均值不等式求最值 必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值. 则不能取到该最值
构造和为定值，利用基本不等式求最值 例5、已知 0 < x < 1 ，求 x 1 − x 2 的最大值
a +b 3.我们把不等式 我们把不等式 ＞ ＞ ≥ ab (a＞0,b＞0) 2
称为基本不等式
a+b 看做两个正数 正数a， 的等差中项， 把 2 看做两个正数 ，b 的等差中项， 看做正数 正数a， 的等比中项 的等比中项， ab 看做正数 ，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为： 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比 两个正数的等差中项不小于它们的等比 不小于 中项。 中项。
练习
1.若正数m, n满足m + n = 6, 则mn有最 大 值 9 , 此时m = 3 , n = 3 . 2.若正数m, n满足mn = 6, 则m + 3n有最 小 值 6 2 , 此时m = 3 2 , n = 2 .
用篱笆围成一个面积为100 100m 例 1 ： （ 1 ） 用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？ 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
+ 3 y的最小
D、18 3 、
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C） 、在下列函数中，最小值为 的是 的是（
1 x 5 (1 < x < 10) A、 = + ( x ∈ R, x ≠ 0)B、y = lg x + 、 、 y lg x 5 x
构造和为定值，利用基本不等式求最值 例5、已知 0 < x < 1 ，求 x 1 − x 2 的最大值
a +b 3.我们把不等式 我们把不等式 ＞ ＞ ≥ ab (a＞0,b＞0) 2
称为基本不等式
a+b 看做两个正数 正数a， 的等差中项， 把 2 看做两个正数 ，b 的等差中项， 看做正数 正数a， 的等比中项 的等比中项， ab 看做正数 ，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为： 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比 两个正数的等差中项不小于它们的等比 不小于 中项。 中项。
练习
1.若正数m, n满足m + n = 6, 则mn有最 大 值 9 , 此时m = 3 , n = 3 . 2.若正数m, n满足mn = 6, 则m + 3n有最 小 值 6 2 , 此时m = 3 2 , n = 2 .
用篱笆围成一个面积为100 100m 例 1 ： （ 1 ） 用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？ 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
+ 3 y的最小
D、18 3 、
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C） 、在下列函数中，最小值为 的是 的是（
1 x 5 (1 < x < 10) A、 = + ( x ∈ R, x ≠ 0)B、y = lg x + 、 、 y lg x 5 x
3.4基本不等式
结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.
最值定理
结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.
结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.
注意：①各项皆为正数；
一“正”，
②和为定值或积为定值； 二“定”，
③注意等号成立的条件. 三“相等”.
变式练习
（1）当 x 0 时，求 y x 1 的最大值 x
a2 b2 2ab
G
F
C
问题4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
A
Ha E
b
图1
B
a2 +b2 =2ab
a 0, b 0，
当且仅当a=b时，等号成立
问题5：当a,b为任意实数时，a2 b2 2a b 还成立吗？如果成立，你能给出证明吗 ？
证明： a2 b2 2ab (a b)2 0, a2 b2 2ab.
（2）当
x
0
时，4x
9 x
的最小值为
，
此时 ____x__.
例2 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩 形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.
例2 (2)用一段长为36m的篱笆围成一个 矩形菜园,问这个矩形的长和宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
基本不等式
公式 等号成立条件
a2 b2 2ab
ab
ab a b 2
ab
a,b 的取值范围 a,b R a 0, b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
四 基本不等式在求最值中的应用 例1 （1）当 x 0时，x 1 的最小值
最值定理
结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.
结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.
注意：①各项皆为正数；
一“正”，
②和为定值或积为定值； 二“定”，
③注意等号成立的条件. 三“相等”.
变式练习
（1）当 x 0 时，求 y x 1 的最大值 x
a2 b2 2ab
G
F
C
问题4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
A
Ha E
b
图1
B
a2 +b2 =2ab
a 0, b 0，
当且仅当a=b时，等号成立
问题5：当a,b为任意实数时，a2 b2 2a b 还成立吗？如果成立，你能给出证明吗 ？
证明： a2 b2 2ab (a b)2 0, a2 b2 2ab.
（2）当
x
0
时，4x
9 x
的最小值为
，
此时 ____x__.
例2 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩 形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.
例2 (2)用一段长为36m的篱笆围成一个 矩形菜园,问这个矩形的长和宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
基本不等式
公式 等号成立条件
a2 b2 2ab
ab
ab a b 2
ab
a,b 的取值范围 a,b R a 0, b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
四 基本不等式在求最值中的应用 例1 （1）当 x 0时，x 1 的最小值
数学2课件：第三章 3.4 基本不等式：ab≤a+b2
[解析] 当建成 n 个球场时，每平方米的购地费用为12180×001n04＝1 2n80， 由题意，知 n＝5 时，f(n)＝400， 则 f(5)＝m1＋5－ 205＝400，所以 m＝400. 所以 f(n)＝4001＋n2－05＝20n＋300. 从而每平方米的综合费用为 y＝f(n)＋1 2n80＝20n＋6n4＋300
(2)年平均利润为ny＝－2(n＋4n9－20) ≤－2(2 n·4n9－20)＝12. 当且仅当 n＝4n9，即 n＝7 时上式取等号． 所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元．
利用基本不等式证明不等式 [典例] (本题满分 12 分)(1)已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：1a＋1b＋1c≥9； (2)已知 a，b>0，a＋b＝1，求证： a＋12＋ b＋12≤2.
2 x－3·x－4 3＋3＝7， 当且仅当 x－3＝x－4 3即 x＝5 时，f(x)取到最小值 7. (3)法一：∵x>0，y>0,2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋ y y＝3＋xy＋2yx≥3＋2 xy·2yx＝3＋2 2， 当且仅当xy＝2yx，即 y＝ 2x 时，等号成立，
课时作业
第10课 罗密欧与朱丽叶(节选)
诗海探珠 生查子·独游雨
岩 辛弃疾 溪边照影行， 天在清溪底。 天上有行云， 人在行云里。 高歌谁和余？ 空谷清音起。
佳诗品韵清幽书香
【赏析】 这首词是作者在游雨岩的时候 写的。上片以溪为中心，用天、人、云来烘 托出一幅色调清雅的图画。下片写自己的清 傲孤独。“高歌谁和余？”这高歌不是一般的 歌，是正义的，抗金的歌。和者是“空谷清音 起。”从这里也看出作者寄情山水是迫不得已 的，但是倔强不渝的爱国决心，却从高歌中 唱了出来。词调轻快清新，景色如画。此词 上阕以写形为主，笔法自然平实，下阕以写
3.4基本不等式课件
答案：R>Q>P
方法感悟
1．常用基本不等式的变形式 b a (1) ＋ ≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时，取“＝”． a b 2 2 a＋b 2 a ＋b (2)ab≤ ≤ . 2 2 a＋b a2＋b2 (3) ab≤ ≤ ，(a，b∈(0，＋∞))． 2 2 2．基本不等式中“当且仅当”的含义 a＋b (1)当 a＝b 时取等号，即 a＝b⇒ ＝ ab； 2 a＋b (2)仅当 a＝b 时取等号，即 ＝ ab⇒a＝b. 2
ab 4. ab 的几何解释： 2 以 AB a b 为直径作圆，
取C使AC=a,CB=b, 过C作弦DD’AB 则 CD 2 CA CB ab
D
从而 CD ab
B
A
a
C
b
D’
ab 而半径 CD ab 2
2．应用基本不等式求最值 最大值 和为定值 积 (1)两个正数的_____________时，它们的___有________，即 M2 若 a>0，b>0，且 a＋b＝M，M 为定值，则 ab≤ ，当且仅 4 当 a＝b 时等号成立． M2 即：a＋b＝M，M 为定值时，(ab)max＝ . 4 积为定值 最小值 (2)两个正数的__________时，它们的___有_______，即若 和 a>0，b>0，且 ab＝P，P 为定值，则 a＋b≥2 P，当且仅当 a＝b 时等号成立． 即：ab＝P，P 为定值时(a＋b)min＝2 P.
*
则：
a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
n
a1 a 2 a n 叫做这n个正数的几何平均数。
2.基本不等式：
a1 a2 an n a1a2 an 其中a1、a2、、an R ，n N * ... n
《基本不等式》优秀课件北师大版3
几何意义：半径不小于弦长的一半
《基本不等式》优秀课件北师大版3
《基本不等式》优秀课件北师大版3
提高
对基本不等式的理解 a b ab (a 0, b 0) 2
(1)几何解释:半径不小于半弦;
(2)文字语言:两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.
(3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项;
2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a 2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2 a总b 和是S’=—
合作探究，问题解决
问题7:你能证明不等式 ab ab (a0,b0)
2
要证： ab ab
①
2
只要证：ab2 ab
②
要证②，只要证 ab2 ab0 ③ 要证③，只要证 ( a b)2 0 ④
④式显然成立.当且仅当a=b时， ④中的等号成立.
《基本不等式》优秀课件北师大版3
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基本不等式：
几何平均数
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时， 等号成立。
算术平均数
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
《基本不等式》优秀课件北师大版3
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问题8: 你能给出 ab ab (a0,b0) 的几何解释吗?
2
D
a b≥ 2
《基本不等式》优秀课件北师大版3
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提高
对基本不等式的理解 a b ab (a 0, b 0) 2
(1)几何解释:半径不小于半弦;
(2)文字语言:两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.
(3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项;
2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a 2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2 a总b 和是S’=—
合作探究，问题解决
问题7:你能证明不等式 ab ab (a0,b0)
2
要证： ab ab
①
2
只要证：ab2 ab
②
要证②，只要证 ab2 ab0 ③ 要证③，只要证 ( a b)2 0 ④
④式显然成立.当且仅当a=b时， ④中的等号成立.
《基本不等式》优秀课件北师大版3
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基本不等式：
几何平均数
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时， 等号成立。
算术平均数
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
《基本不等式》优秀课件北师大版3
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问题8: 你能给出 ab ab (a0,b0) 的几何解释吗?
2
D
a b≥ 2
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
3.4基本不等式(3)
x +1
x +1
x +1
x +1
当x
+1>
0时，y
=
(x
+1) +
3 +1 x +1
≥2
(x +1) • 3 +1 = 2 x +1
3 +1
当且仅当
x
+1
=
x
3 +1
即x
=
-1+
3时，等号成立 .
当x
+1<
0时，y
=
(
x
+1)
+
x
3 +1
+1
=
-[-(
x
+1)
+
(-
x
3 )]+1 +1
≤-2
- (x +1) • (- 3 ) +1 x +1
当且仅当
x +1 =
x
3 +1
即x
=
-1
-
3时， 等号成立.
( ] [ ) ∴函数的值域为： - ∞,-2 3 +1∪ 2 3 +1,+∞
= -2 3 +1
(2) y
=
x2
x +1 + 3x + 5
解：函数的定义域为： R
当x +1≠0时，令t = x2 + 3x + 5 则y = 1
x +1
t
( ] [ ) t ∈- ∞,-2 3 +1∪ 2 3 +1,+∞
3.4基本不等式 课件(共43张PPT)
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
> S′ S____
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H F E
D
a 2 b2
a a
C
A
E(FGH)
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2Hale Waihona Puke §3.4 基本不等式（3）
ab ab 2
2 2 1、重要不等式 a + b ≥ 2ab（当且仅当a = b时，等号成立）
2、基本不等式； a b 2 a＋b 3、均值不等式： ab≤ 2
ab
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当
a＝b
时取等号．
[证明]
∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a ， 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c －1≥ c . 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ∴( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2 2 a＋b 2 (5)ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当
a＝b 时取等号．
5：用均值不等式求最值：已知 和x
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m
m
法
当且仅当 24 = 6m ，即 m=2 时，取等号。
m
规律技巧总结 注意：m>0 这一前提条件和 24 6m =144 为定 m
值的前提条件。
学海无涯
教师课时教案
问题与情境及教师活动
学生活动
例 2 求证: 4 &#边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不
及
2)利用不等式求最值
方 例 3 (1) 若 x>0,求 f (x) = 4x + 9 的最小值; x
法
(2)若 x<0,求 f (x) = 4x + 9 的最大值.
x
[思维切入]本题(1)x>0 和 4x 9 =36 两个前提条件;(2)中 x<0,可以用 x
-x>0 来转化.
解1) 因为 x>0 由基本不等式得
学海无涯
教师课时教案
备课人
授课时间
课题 §3.4 基本不等式 ab a + b （第 3 课时） 2
课标要求 进一步掌握基本不等式 ab a + b 2
知识目标
会应用此不等式求某些函数的最值
教
学 目
技能目标
掌握基本不等式 ab a + b 2
标
情感态度价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣
重点 难点
教
a−3
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
学 随堂练习 1
[ 思 维 拓 展 1]
已 知 a,b,c,d 都 是 正 数 ， 求 证
过 (ab + cd)(ac + bd) 4abcd .
程 [思维拓展 2] 求证 (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) (ac + bd )2
等式,无法约掉字母 a,而左边 4 + a = 4 + (a − 3) + 3 .这样变形 a−3 a−3
后,在用基本不等式即可得证.
[
证
明
]
4 + 3 = 4 + (a − 3) + 3 2 4 g(a − 3) + 3 = 2 4 + 3 = 7
a−3 a−3
a−3
当且仅当 4 =a-3 即 a=5 时,等号成立.
学
x−5
过 [思维拓展 2] 若 x>0,y>0,且 2 + 8 = 1,求 xy 的最小值.
程
xy
及 3.练习（１）．证明： a2 + b2 + 2 2a + 2b
方
（２）．若 x −1，则 x 为何值时 x + 1 有最小值，最小值为几？
法
x +1
4.课时小结 用基本不等式 ab a + b 证明不等式和求函数的最大、最小值。
2
教 学 小 结
课 后 反 思
3
f (x) = 4x + 9 2 4x + 9 = 2 36 = 12 ,当且仅当 4x = 9 即 x= 3 时,
x
x
x2
f (x) = 4x + 9 取最小值 12. x
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
− f (x) = −(4x + 9) = (−4x) + (− 9) 2 (−4x) (− 9) = 2 36 = 12 ,
基本不等式 ab a + b 的应用 2
利用基本不等式 ab a + b 求最大值、最小值 2
问题与情境及教师活动
学生活动
1.课题导入
1 ． 基 本 不 等 式 ： 如 果 a,b 是 正 数 ， 那 么
a + b ab(当且仅当a = b时取"="号). 2
教 2．用基本不等式 ab a + b 求最大（小）值的步骤。 2
x
x
x
所以 f (x) 12 .
2
学海无涯
教师课时教案
问题与情境及教师活动
当且仅当 −4x = − 9 即 x=- 3 时, f (x) = 4x + 9 取得最大-12
x
2
x
学生活动
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则 添负号变正.
随堂练习 2
教 [思维拓展 1] 求 f (x) = 4x + 9 (x>5)的最小值.
学 2.讲授新课
1）利用基本不等式证明不等式
过 例 1 已知 m>0,求证 24 + 6m 24 。 m
程 [思维切入]因为 m>0,所以可把 24 和 6m 分别看作基本不等式中 m
及 的 a 和 b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得
方
24 + 6m 2 24 6m = 2 24 6 = 212 = 24