线性代数第三章课件,数学

注意，向量空间的维数和该空间中向 量的维数是两个不同的概念。 将向量空间V的基的定义与向量组的 极大线性无关组的定义相比较，不难看出， 若把向量空间V看作一个向量组，那么它 的基就是V的一个极大线性无关组，dimV 就是V的秩。 容易证明，若向量空间V的维数是m， 那么V中任意m个线性无关的向量都是V的 一组基；对于向量空间V的任一子空间V1， dimV1≤dimV。
同理可证 L(β1 β2 …，βr) ⊂ L(α1, α2 , …,αs) 故 L(α1, α2 , …,αs)=L(β1 β2 …，βr)
3.4.2 基、维数与坐标 定义3.4.3 定义3.4.3 设V是数域p上的向量空间， 向量α1, α2 , …,αm∈V，如果 ， (1) α1, α2 , …,αm线性无关； (2) V中任一向量都能由α1, α2 , …,αm 表示出， 则称 α1, α2 , …,αm为空间V的一组基（或 基底），m称为向量空间V的维数 维数，记 维数 dimV＝m为，并称V是数域p上的m维向量 维向量 空间。 空间 零空间的维数规定为零。
或
证毕。 例3.4.4
β1 = (3, 1, 4)
T
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已知R3中的二组基
β 2 = (5, 2, 1)
T
α 1 = (1, 2, 1) T α 2 = (2, 3, 3) T α 3 = (3, 7, 1) T；
β 3 = (1, 1, − 6) T。
(1) 求由基 α1, α2 , α3到β1 β2 β3的过渡 矩阵及坐标变换公式； (2) 求向量β＝2β1 -β2 -β3 在基α1, α2 , α3 下的坐标； (3) 求由基α＝α1-2α2 +4α3在基β1 ,β2, β3 下的坐标。 解 （1）取R3中的基
kα = ( ka1 , ka 2 , L , ka n ) ∈ R n
n
故Rn,是一个向量空间。 例3.4.2 证明 （1）集合
V1 = {α = (0, a 2 , L , a n ) | ai ∈ R, i = 2,3, L , n}
是一个向量空间； （2）集合
V2 = {α = (1, a 2 ,L, a n ) | ai ∈ R, i = 2,3,L, n}
§3.4
向量空间
3.4.1 向量空间的概念 3.4.2 3.4.3 基、维数与坐标 基变换与坐标变换
3.4.1 向量空间的概念 定义3.4.1 定义3.4.1 设V是数域P上的 n维向 量的非空集合，如果∀α，β∈V, k∈P满足 ∀ ， ∈ ∈
α + β ∈ V , kα ∈ V
则称集合V为数域P上的向量空间。 当P为实数域R时,称V为实向量空间, 当P为复数域C时,称V为复向量空间。 例3.4.1 实数域R上n维向量的全体 Rn是一个向量空间，
y1 y2 (β1 , β 2 ,L , β m ) M y m 由
(β 1 , β 2 ,L , β m ) = (α1 ,α 2 ,L,α m )P
则
y1 y2 α = (α1 α 2 Lα n ) P M y n
解之，得
9 3 x1 = , x 2 = −4, x3 = − 2 2 于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为
9 ( , 2
3 − 4, − ) 2
3.4.3 基变换与坐标变换 我们知道，向量空间V的基不是唯一 的，V中向量α在不同的基下的坐标一般 是不同的。 V 下面讨论V中不同的两组基之间的关 系与向量α在不同的基下的坐标之间的关系。 设α1, α2 , …,αm与β1 β2 …，βm是向量空 间V的两组基,由基的定义，它们可以互相 线性表出。用α1, α2 , …,αm表示β1 β2 …，βm， 则有
β1 = p11α1 + p12α2 +L+ p1mαm , β = p α + p α +L+ p α , 2 21 1 22 2 2m m M βm = pm1α1 + pm2α2 +L+ pmmαm.
记
p11 p12 P= M p 1m
p 21 L p m1 p 22 L p m 2 M M p 2 m L p mm
k1β 1 + k 2 β 2 + L + k m β m
= ( β 1 , β 2 ,L , β = (α
1
m
)α
m
,α
2
,L , α
)P α = 0
这意味着β1 β2 …,βm线性相关。 前面我们已经指出，同一向量在不同 基底下的坐标一般是不同的，那么坐标之 间的关系如何呢？
定理3.4.1 设 α1, α2 , …,αm与β1 定理3.4.1 β2 …，βm是向量空间V的两组基, 由α1, α2 , …,αm到β1 β2 …，βm的过渡矩阵为P，如果 V中任意元素α在这两组基下的坐标分别为 (x1,x2, …,xm)T与 (y1,y2, …,ym)T，则
由矩阵的乘法 (β1 β2 …,βm)=(α1,α2 , …,αm)P （3.4.1） 称P为由基(α1,α2 , …,αm) 到(β1, β2,…,βm) 的过渡矩阵 式(3.4.1)称为由基 (α1,α2 , 过渡矩阵， 过渡矩阵 …,αm)到基 (β1 β2 …,βm)的基底变换公式 基底变换公式。 基底变换公式 过渡矩阵P是可逆的。若不然，齐次 线性方程组PX=O有非零解，设其一个解为 α=(k1,k2, …,km)T，于是
α = x1α 1 + x 2α 2 + L + x mα m
则称有序数组x1,x2, …,xm为向量α在基α1, α2 , …,αm下的坐标 坐标。记为(x1,x2, …,xm)。 坐标 由定理3.2.2,向量α的表示也是唯一 的，因此α基下α1, α2 , …,αm下的坐标也是 唯一的。 。 例3.4.4 设 α1=( 1,0,2), α2=(1,0,1), α3=(-1,2,0),证明α1,α2, α3是向量空间R3的一 组基，并求向量α=( 2,-3,5)在这组基下的 坐标。 证明 以向量α1,α2, α3为列向量做矩 阵
ε1 =(1 0, 0) , ε2 =(0, 1 0 ) , ε3 =(0, 0, 1 , , )
T T
T
则
1 2 3 (α1 ,α 2 ,α 3) = (ε 1 ,ε 2 ,ε 3 ) 2 3 7 1 3 1
3 5 1 (β1 , β 2 , β 3 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 1 2 1 4 1 − 6 于是
单独由一个零向量构成的集合{0}也 是一个向量空间，称为零空间 零空间。 零空间 在n维向量空间V中，零空间和空间V 也是它的子空间，称为它的平凡子空间 平凡子空间， 平凡子空间 除此之外，V的其他子空间称为它的非平 非平 凡子空间。 凡子空间 设α1, α2 , …,αm为一组n维向量，容易 证明它的线性组合 V = {α = k1α1 + k2α2 +L+ kmαm | ki ∈R,1 ≤ i ≤ m} 是向量空间，称为由向量α1, α2 , …,αm生成 的向量空间， 的向量空间
记为L(α1, α2 , …,αm)。 例3.4.3 如果向量组α1, α2 , …,αs与向 量组β1 β2 …，βr等价，则 L(α1, α2 , …,αs)=L(β1 β2 …，βr) 证 ∀α∈L(α1, α2 , …,αs)，则α可由α1, α2 , …,αs线性表示出，又可由β1 ,β2 ,…，βr 线性表示出，所以α可由β1 β2 …，βr 线性 表示出，即 α∈L(β1 ,β2 ,…，βr)， 因此L(α1, α2 , …,αs)⊂ L(β1 β2 …，βr)
所以V1是一个向量空间。
（2）因为对于集合V2中的任意两个向 量α=(1, a2, …, an), β=(1, b2, …, bn)， α+β ， =(2, a2+b2, …, an +bn)∉ V2，所以V2不是一 ∉ 个向量空间。 定义3.4.2 定义3.4.2 设V1，V2是数域P上的两 个向量空间，如果V1⊆V2，则称V1是V2的 子空间。 。 例3.4.2中的集合V1是n维向量空间Rn 的一个子空间；实数域上任何n维向量的 集合构成的向量空间都是Rn的子空间。 。
x1 y1 x2 y2 M = P M x y m m y1 x1 x y2 −1 2 M =P M y x m m
R n = {α = (a1 , a 2 , L , a n ) | a i ∈ R ,
i = 1,2, L , n}
显然(0,0, …,0)∈Rn,所以Rn非空； ∀α=(a1,a2, …,an)， β=(b1,b2, …,bn)∈Rn及任 ， 意实数k， 意实数 ，有
α + β = (a1 + b1 , a 2 + b2 , L , a n + bn ) ∈ R
对于向量空间Rn，基本单位向量ε1, ε2, …, εn就是它的一组基，有dimRn=n,则 称Rn为n维实向量空间。 在四维向量空间R4中，向量组α1=(0, 0,0,1), α2=(0,1,0,1), α3=(-1,2,0,1), α4=(1,0,2,1) 线性无关，所以它们也是 R4 的一组基。 定义3.4.3 定义3.4.3 设α1, α2 , …,αm为向量空间 V的一组基，∀α∈V有 ， ∈
由向量α在基α1,α2 , …,αm下坐标的唯 一性, 得
x1 y1 x2 y2 M = P M x y m m y1 x1 x y2 −1 2 M =P M y x m m
− 27 − 71 − 41 = (α1 α 2 α 3 ) 9 20 9 4 12 8
所以，由基 α1, α2 , α3到β1 β2 β3的过渡矩阵 为
1 2 3 3 5 1 ( β1 β 2 β 3 ) = (α1 α2 α3 ) 2 3 7 1 2 1 1 3 1 4 1 − 6
−1
5 3 5 1 − 18 7 = (α 1 α 2 α 3 ) 5 − 2 − 1 1 2 1 3 − 1 − 1 4 1 − 6
1 1 − 1 A = 0 0 2 2 1 0
A的行列式|A|＝2≠0，所以α1,α2, α3线 性无关, 因此它们是R3的一组基。 设 α = x1α 1 + x 2α 2 + x3α 3 把α1,α2, α3代入，比较等式两端向量 的对应分量，可得线性方程组
x1 + x2 − x3 = 2 2x3 = −3 2x + x = 5 2 1
不是一个向量空间。 证 （1）显然集合V1非空，对任意 α=(0, a2, …, an), β=(0, b2, …, bn)∈ V1及任 ∈ 意实数k，有
α + β = (0, a 2 + b2 ,L , a n + bn ) ∈ V1 kα = (0, ka 2 , L , ka n ) ∈ V1
（3.4.2）
（3.4.2）称为坐标变换公式 坐标变换公式。 坐标变换公式
证 由题设
α = x1α1 + x2α 2 + L + xmα m =
x1 ( α 1 , α 2 ,L , α m ) x 2 M x m
α = y1 β 1 + y 2 β 2 + L + y m β m =