惠州市2019届高三第三次调研考试(理数)

惠州市2019届高三第三次调研考试数学（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合{}2|2A x x x =+-<0，集合{}|B x x =>0，则集合AB =（ ）A ．{}|1x x <B ．{}|2x x >-C ．{}|0x x <<1D ．{}|2x x -<<1 （2）若复数z 满足1i z i ⋅=--，则在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2C ．7D ．8 （4，且a b ＜， ）AC D （5的图象关于x 轴） A ．e - C ．e D （6）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘 徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这 就是著名的“徽率”。

如图是利用刘徽的“割圆术”思想设 计的一个程序框图，则输出的n 值为（ ） A ．48 B ．36 C ．24 D ． 12 ）（7）已知直线l 过点()2,0P -，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围为（ ） ABCD（8）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。

ABCD（9）已知F 是抛物线24x y =的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，，则MN 的）A B ．2 C ．3 D ．4 （10）在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且4AC AD =，P 为BD 上一点，向量()AP AB AC λμλμ=+>0,>0，则 ）A （11在[]0,π内的值域为AB C D ．(]0,1（12）已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-且()00f =，当](0,4x ∈时关于x 的不等式()()20f x a f x +⋅>⎡⎤⎣⎦在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的ABCD 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. （13________。

（14）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，，1BC =，ACD ∆是等边三角形，则AC BD ⋅的值为_________。

A B CD（15）已知四棱锥P ABCD -的顶点都在半径为1的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面ABCD经过球心O ，E 是AB 的中点，PE ⊥底面ABCD ，则该四棱锥P ABCD -的体积等于________立方单位。

（16）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且 记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =_______。

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，S 为其面积， 若2224S a c b =+-．（1）求角B 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D ，3AD =，，求cos C 的值。

（18）（本小题满分12分）已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2340a a ⋅=，426S =,数列{}n b 的前n项和()122n n T n N +*=-∈。

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n M ．（19）（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，090ADC ∠=，1BC CD ==，2AD =，，E 为AD 的中点，F 为PC 的中点。

（1）求证：PA ∥平面BEF ；（2）求二面角F BE A --的余弦值。

BA（20）（本小题满分12分），且左焦点与抛物线24y x =-的焦点重合。

（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆交于不 同的两点M 、N ，线段MN 的中点记为A ，且 线段MN 的垂直平分线过定点，求k 的 取值范围。

（21）（本小题满分12分）（1）当曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线与直线y x =垂直时，求实数a 的值； （2有两个零点，求实数a 的取值范围。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22） [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty tx 6（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22232cos 3ρρθ-=．（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上的动点，求点P 到曲线1C 的最小距离．（23） [选修4-5：不等式选讲]已知()|1||21|f x x x =+--.（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x R ∈时，不等式()f x x a ≤+恒成立，求a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、 选择题：1．【解析】{}{}|21,|0A x x B x x =-<<=>，∴集合{}|2A B x x ⋃=>-．故选B ． 另解：由B 是A ∪B 的子集，所以选项中包含必有（0,+∞），排除选项ACD ，故选B ． 2．【解析】由题得z=,所以复数z 对应的点为 （-1,1），所以复数z 对应的点在第二象限。

故答案为B ． 另解：也可以两边同时乘以，化简后可得答案。

3．【解析】作出可行域，如右图中的阴影部分， 易知目标函数过点时取得最大值为，故选C ．4．，结合0a b <<，解方程组可得：34a b =⎧⎨=⎩，则双曲线中：故选A ．5．【解析】函数与互为反函数，函数，的图象与的图象关于轴对称，函数，即．故选D. 6．【解析】，故选C .7．【解析】直线l 为20kx y k -+=，又直线l 与圆222x y x +=有两个交点，故选B ．另解：数形结合，通过相切的临界值找出答案。

8．4为底、3为高的矩形）和半个圆柱（半径为2，高为3）组合而成， 故选D. 9．【解析】由题意，抛物线的准线方程为，设，所以，解得，所以的中点的纵坐标为，所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选C ．10．【解析】由题意可知：，其中B,P,D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：，则：，当且仅当时等号成立，即的最小值为16.故选.11．【解析】函数当时，，，则解得，故的取值范围为。

故选12．【解析】当0＜x≤4时，f ′(x)= ，令f ′(x)=0得x=，∴f(x)在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减，∵f(x)是偶函数，∴f(x+4)=f(4﹣x)=f(x ﹣4)，∴f(x)的周期为8，∵f(x)是偶函数，且不等式f 2(x)+a f(x)＞0在[﹣200，200]上有且只有200个整数解， ∴不等式在（0，200）内有100个整数解，∵f(x)在（0，200）内有25个周期，∴f(x)在一个周期（0，8）内有4个整数解， ①若a ＞0，由f 2(x)+a f(x)＞0，可得f(x)＞0或f(x)＜﹣a ，显然f(x)＞0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意； ②若a ＜0，由f 2(x)+a f(x)＞0，可得f(x)＜0或f(x)＞﹣a ，显然f(x)＜0在区间（0，8）上无解，∴f(x)＞﹣a 在（0，8）上有4个整数解， ∵f(x)在（0，8）上关于直线x=4对称，∴f(x)在（0，4）上有2个整数解， ∵f(1)=ln2，f(2)==ln2，f(3)=，∴f(x)＞﹣a 在（0，4）上的整数解为x=1，x=2． ∴≤﹣a ＜ln2，解得﹣ln2＜a ≤﹣．故答案为：D二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13、71， 14、−1， 15、32， 16、304。

13．【解析】因为所以cos因此.14．【解析】AB⊥BC，AB=，BC=1，∴AC=2，，∠BCA=；又△ACD是等边三角形，∴AD=AC=2，AD⊥AB，∴=∙（+）=∙+∙=−×+1×2=−1．OP OE，则，15．【解析】如右图，连接,，又，．16．【解析】∵，∴，∴数列是公差与首项都为1的等差数列．∴，可得．∵，∴，令，，则，，同理可得，，．∴，，则．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．【解析】（1）∵由三角形的面积公式及余弦定理得:1分（注意：没有写出此行文字本得分点不给分）2分∴3分∵4分∴5分（2）在中,由正弦定理得6分所以7分8分∵ 所以9分所以10分11分18．【解析】（1 ∴23234013a a a a ⋅=+=，，1分又公差为正数，故25a =，38a =,3d =公差， 2分∴31n a n =-，3分由1*22n n T n N +=-∈（）得 当111,2n b T ===，4分当2,n n N *≥∈时，()1122222n n n n n n b T T +-=-=---=5分综上得*2nn b n N =∈（）．6分（2）由（1）知()312nn n a b n ⋅=-⋅∴()22252312n n M n =⋅+⋅++-⋅7分〖解法1〗（错位相减法）()23122252312n n M n +=⋅+⋅++-⋅8分得()()12331243222n nn M n +=-⋅--+++10分 ()13428n n +=-⋅+．12分〖解法2〗（待定系数法的简单解答过程）设()2nn M An B B=+⋅-8分由124,24M M ==，得()()2224224A B A B B B ⎧+⋅⎪⎨+⋅-=-=⎪⎩解得6,8A B ==-9分所以()6882nn M n =-⋅+10分注意：用待定系数法没有说明()2nn M An B B =+⋅-的原理，最后结果正确也要扣2分。