二重积分部分练习题
考研数学二重积分练习
习题8 二重积分 一、填空题1、若D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=_____。
2、设区域D 是221x y +≤与222x y x +≤的公共部分，在极坐标系下(,)Df x y dxdy ⎰⎰的累次积分 。
3、当{(,)1,1}D x y x y x y =+=-=}时 Ddxdy ⎰⎰＝ 。
4、设{}222(,)D x y x y a =+≤，若Dπ=，则a = 。
5、设区域D 由曲线sin ,,02y x x y π==±=所围成，则()51Dx y dxdy -⎰⎰＝ 。
二、选择题 1、设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则（ ）。
A 、2/32I ≤≤ B 、23I ≤≤ C 、1/2D I ≤≤ D 、10I -≤≤ 2、设(,)f x y 是连续函数，则1(,)xdx f x y dy =⎰⎰（ ）。
A 、1(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B 、110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ C 、101(,)ydy f x y dx ⎰⎰ D 、1(,)xydy f x y dx ⎰⎰。
3、设D 是第一象限中由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰（ ）。
A 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰B 、()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ C 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰D 、()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰4、设1DI σ=⎰⎰,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则（ ）A 、123I I I >>B 、321I I I >>C 、312I I I >>.D 、213I I I >>5、累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成：（ ） A、1(,)dyf x y dx ⎰ B 、1(,)dy f x y dx ⎰ C 、1100(,)dxf x y dy ⎰⎰D 、1(,)dx f x y dy ⎰。
经济数学(二重积分习题及答案)
第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义.解 当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+⎰⎰224(2)d x y x y*+≤⎰⎰解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+<⎰⎰(2)因为224d x y x y+≥⎰⎰222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x yx y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当221x y +≤1，且此区域面积为π，则221d x y x y π+≤≤⎰⎰当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤⎰⎰当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-⎰⎰当2234x y <+≤≤且此区域面积为π,则2243d x y x y <+≤≤⎰⎰故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=<⎰⎰.3．试用二重积分的定义证明:(1) d DDS σ=⎰⎰(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==∆∑⎰⎰则当1),(≡y x f 时,上式变为01d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==∆==∑⎰⎰.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==∆=∆=∆∑⎰⎰∑∑ (,)d .Dk f x y σ=⎰⎰4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小.()2(1) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;()2(2) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示. 因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为22cos 12sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则32(sin cos )32sin()4x y πθθθ+=++=++图9－2min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()23d ()d .D D x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰， :01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=⎰⎰， :0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰， :01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++⎰⎰，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0102xy x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 因0,0x y ππ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0sin 10sin 1x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==⎰⎰⎰⎰（3）因0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=⎰⎰⎰⎰而 24D S r ππ== 故 36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤;22(2) ()d ,Dx y x σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;2(3) d ,Dxy σ⎰⎰其中D2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 2111sin (4) d d .y x y x x -⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－3 所示.11222211()d d ()d Dxy x x y yσ--+=+⎰⎰⎰⎰12128(2)d .33x x -=+=⎰ 图9－3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-⎰⎰⎰⎰232019313()2486y y dy =-=⎰图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 1470111()d 3340x x x =-=⎰图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.22111110110sin sin d d d d sin d sin1cos1.x y xx y x x yx x x x x +-===-⎰⎰⎰⎰⎰图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ⋅求证：()()d d ()d ()d bdacDf xg y x y f x x g y y⋅=⎰⎰⎰⎰.证 积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=⎰⎰⎰⎰()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰证 积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d b xb baaayx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=⎰⎰按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4). y=x积分区域D 如图9－9 所示. 于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得420d (,)d xxI x f x y y=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2414d (,)d .y y I y f x y x =⎰⎰(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得22d (,)d rr x rI x f x y y--=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2222d (,)d rr y r y I y f x y x---=⎰⎰图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d yy y f x y x⎰⎰10(2) d (,)d yy f x y x⎰⎰1(3) d (,)d e ln xx f x y y⎰⎰221101(4) d (,)d y y y f x y x---⎰⎰2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+⎰⎰⎰⎰解 (1)因为原积分区域{}(,)01,D x y y y x y=≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故211d (,)d d (,)d .yxyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .yoxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其 图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .xexee xf x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰（4）因为原积分区域{}22(,)01,11D x y y y x y =≤≤≤≤－－－为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2221111011d (,)d d (,)d .y x yy f x y x x f x y y -----=⎰⎰⎰⎰图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y yx f x y y x f x y yy f x y x --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解 该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+⎰⎰.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ⎰⎰1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +⎰⎰ D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成;()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=⎰⎰⎰⎰2222(4) ()d d ,D y x x y a b +⎰⎰2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=⎧⎨+=⎩，解得()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与 图9－17新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂故()()22sin d d Dx y x y x y -+⎰⎰22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=⋅=⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 图9－183431().3223ππππ=⋅-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 xy u yv x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得u x v y uv ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成.其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂2111()122222v v u u v u v v v u uvuv⋅-==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v =⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==⎰⎰ （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=⎧⎨=⎩，解得x u vy v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v∂∂-∂∂∂====∂∂∂∂∂图9－22故 10'd d 1d d d d y v v x yuuuoDD ex y e u v u e v+=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()1011d 2e u e u -=-=⎰.（4）积分区域D 如图9－23所示.令 cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩则新积分区域为 (){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23因为(,)(,)x xx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y xx y r abr r a bab r r ab πθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、 (2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =⎧⎨=⎩，解得,u vx u y v u ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂31221211122u u uv v vvvu u uv-==-81515545'd d111d d d d4ln2ln3.222DDDS x yu v u v vv v====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－24(2) 令33yuxxvy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得838311xu vyuv⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂图9－25 1113988883293111888831188()81388u v u vuvu v v u-----------==--故d dDDS x y=⎰⎰()33442211342111d d d()d8811d.88Duv u v u uv vu u---====⎰⎰⎰⎰⎰’100D x y x y+===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2Dx yx yx y-=+⎰⎰证积分区域D如图9－26所示.令x y vx y u+=⎧⎨-=⎩，解得()()1212x v uy v u⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D由v = 1,v = -u, 及v = u围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂'1cos d d cos d d 2D D x y u x y u vx y v -=⋅+⎰⎰⎰⎰故 图9－27101d cos d 2vv uv uv -=⎰⎰101[sin ]d 21sin1d sin1.2v v u v v v v v =-==⎰⎰4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤⎰⎰⎰证 积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=⎧⎨-=⎩, 解得()()1212x u v y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====-∂∂∂-∂∂ 故'1()d d ()d d 2DD f x y x y f u u v +=-⎰⎰⎰⎰1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==⎰⎰⎰习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y⎰⎰化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3) 0 (4) 0101a x y b a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且 解 积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故 图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－31所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 22(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与， 图9－32而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－33所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=⎰⎰⎰⎰2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222222222001122222000(1) d ()d (2) d d (3) d ()d (4) d ()d aax x axxa a y xx x y y x x y y x x y y yx y x---++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－34所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则22y ax x =-的极坐标方程为2cos ,r a θ=而D 被夹在02πθθ==与之间, 故 图9－342222cos 22320d ()d d d .aax x a x x y y r r πθθ-+=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－35所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 则0x a x ==与的极坐标方程分别为图9－26cos a r θ=与0;r =0y x y ==与的方程分别为04πθθ==与,故sec 22240d d d d .axa x x y y r r πθθ+=⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－36所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则2y x y x ==与的极坐标方程分别为 图9－36 tan sec r θθ=4πθ=与,故211tan sec 2224000d ()d d d .xx x x y y r πθθθ-+=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－37所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则222x y a +=上方程为,r a =而D 被夹在02πθθ==与之间, 故222232000d ()d d d .aa y ay x y x r r πθ-+=⎰⎰⎰⎰ 图9－373．用极坐标计算下列各题：22(1) d ,xy De σ+⎰⎰D 由圆周224x y +=所围成；22(2) d ,Dx y σ+⎰⎰{}2222(,);D x y a x y b =≤+≤(3) arctand ,Dy x σ⎰⎰2222140D x y x y y y x +=+===由、、和所围成的第I 象限部分；222224 d , :.DR x y D x y Rx σ--+≤⎰⎰（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ {}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r Dee r r πσθ+=⎰⎰⎰⎰图9－382224012d (1)2re r e ππ==-⎰.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故 图9－39222203333d d d 22().33baDx y r rb a b a πσθππ+=-=⋅=⋅-⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),12,04D r r πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故 图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0cos ,22D r r R ππθθθ⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭则, 故 图9－41 ()cos 22222202cos 2220322220 d d d 2d d cos 2 d 03R DR R x y R r r rR r r rR R r πθππθπσθθθθ---=-⋅=-⋅⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-⎰.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>⎰⎰，由、、、所围成;222(2) d d :,00;Dy x y D x y a x y +=≥≥⎰⎰，、(3) d d 212;Dxy x y D y x y x xy xy ====⎰⎰，由、、与围成()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===⎰⎰，解 (1) 令,y x uy v -=⎧⎨=⎩得变换式x v u y v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为 11(,)101(,)x y J u v -∂===-∂()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ⎡⎤+=-+⋅-⎣⎦=-+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==⎰⎰⎰⎰图9－43（3）令y u xxy v ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 得变换式v x u y vu ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所 围成.D’如图9－44所示.因为()11122(,)1,21122v x y u u vu J u v uv u uv-∂===-∂- 图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）令x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得变换式11u x vuv y v ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所 围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++∂===∂+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=⋅⋅++⎰⎰⎰⎰故 ()322233111525d d d .72961u u v u u v ===+⎰⎰⎰5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ϕθϕθαθβ≤≤≤≤解 积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βϕθαϕθθ==⎰⎰⎰⎰图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥⎰⎰⎰⎰解 （1）积分区域D 如图9－46所示.220 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxex +∞+∞--+∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰(2)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故()2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=⋅⎡⎤+∞=-⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故 图9－48212100224d d 124d d d 33()Dx yr r rx y ππθθπ=⋅==+⎰⎰⎰⎰⎰.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++⎰⎰解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=⎰⎰()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=⎰⎰由普阿松积分 ()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I e x I I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则由普阿松积分可得 由奇函数的性质可得 ()22222222221222224220d d d d d d cos ,sin d sin cos d x x x y x yr I x e x x e xx e x y e y x y ex yx r y r r e r rπθθθθθ+∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+∞-======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而 2225002201d sin 2d 411 sin 2d 44r e r r ππθθθθπ+∞-==⎰⎰⎰1I ==即()221d 0x x x e x +∞--∞++++⎰综合习题九1.选择填空：(1) 设Ｄ由x 轴、ln y x x e ==、围成，则(,)d d ( ).D f x y x y =⎰⎰① ln 1d (,)d exx f x y y⎰⎰②ln 0d (,)d ex x f x y y⎰⎰③1d (,)d ye yf x y x⎰⎰④10d (,)d yee yf x y x⎰⎰(2) 当( )a =时，有221d .xy x y π+≤=⎰⎰① 1 ②③④(3) 下列不等式中，（ ）是正确的.①||1||1(1)d 0x y x σ<<->⎰⎰ ②22221()d 0x y x y σ+≤-->⎰⎰③ ||1||1(1)d 0x y y σ≤≤->⎰⎰④ ||1||1(1)d 0x y x σ≤≤+>⎰⎰(4) 设3123d d d 444DD Dx y x y x yI I I σσσ+++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，,22:(1)(1)1,D x y -+-≤ 则有（ ）.① 123I I I << ② 231I I I <<③ 312I I I << ④ 321I I I << 解 (1) ① ④； (2) ②； (3) ④； (4) ①. 2．计算下列二重积分：.25512100d (1) d (2) d dln y xyxy x ey y x-⎰⎰⎰⎰2222(3) d , :,12D xy D y x x y x y σ≥≤+≤+⎰⎰2222(4) 1()()d d , :()()1Dy y x xx y D a b a b -++≤⎰⎰22222(5) ln()d , :1Dx y D x y σε+≤+≤⎰⎰，并求此二重积分当0ε→时之极限.解 积分区域D 如图9－49所示.交换积分次序，得55511151d d d ln ln d 4.x y yx y dx y x y xx ===⎰⎰⎰⎰⎰故(2) 积分区域D 如图9－50所示. 图9－49 交换积分次序，得2221112200d d d d y y xyx eyy ex--=⎰⎰⎰⎰21220(1)d y ey y-=-⎰22112220d y y edy y ey--=-⎰⎰22222112211122220d d()1d d .0y y y y y ey y eeyyee y e ------=+=+-=⎰⎰⎰⎰图9－50(3) 积分区域D 如图9－51所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 ()5,12,44D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故 图9－51522422214544cos sin d d d d 3sin 2d 0.xyr x y r rx y rππππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰D(4)积分区域D 如图9－52所示. 图9－52cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令{},01,02D r r θθπ≤≤≤≤则＝（）（如图9－53）因为(,)(,)x xx y r J y yr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 图9－53 cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==212222220021201()()d d d 1cos sin d 2d 1cos 2d .3Dy xx y r r abr ra b ab r r r ab ππθθθθθπ-+=-+=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故(5) 积分区域D 如图9－54所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},1,02D r r θεθπ=≤≤≤≤则，故2122202220222 ln()d d ln d 1 (ln )d 2(ln 1)Dx y r r rπεπσθεεεθπεεε+=⋅-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－5422ln()d ,DI x y σ=+⎰⎰令则2220220lim lim (ln 1)ln lim 2lim.I εεεεπεεεεπεπππε→→-→→=--=--=-3.改变下列积分次序：2222sin 120sin211221(1) d (,)d (2) d (,)d(3) d (,)d (4) d (,)d d (,)d yx x xx x e y y x f x y y x f x y y y f x y x y f x y x y f x y xπ----+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)因为积分区域{}2(,)12,22D x y x x y x x =≤≤-≤≤-为X 型区域, 其图形如图9－55 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故22221111202d (,)d d (,)d .x x y x yx f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰(2)因为积分区域(,)0,sin sin 2x D x y x y x π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭为X 型区域, 其图形如图9－56 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故sin 0sin21arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d d (,)d .xx yyyx f x y yy f x y x y f x y x πππ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－55 图9－56(3)因为积分区域{}(,)01,0yD x y y x e =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－57 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故11111ln d (,)d d (,)d d (,)d .ye exy f x y x x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)因为积分区域{}121,(,)21,02D D D D x y y x y =+=-≤≤-≤≤+{}22(,)10,0D x y y x y =-≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－58所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2121212d (,)d d (,)d d (,)d .y y xx y f x y x y f x y x x f x y y -+----+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－57 图9－58 4.计算下列二重积分：24212(1) d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰112111224(2) d d d d y y yyxxyy e x y e x+⎰⎰⎰⎰22222(3) d d ,Dxy x y D x y a x y+≤+⎰⎰是由曲线位于第一象限的部分；22(4) d d ,(1cos )D x y x y D r a θ+=-⎰⎰由曲线所组成；22(5) d d :()() 1.Dy xy x y D a b +≤⎰⎰，()0,0(6) (,)d d (,).0x y D ex y f x y x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰且其它解 （1）积分区域D 如图9－59所示.24212d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰2222222221222221222113d sind d sind d sind 222d sind d sind 222d sind (cos)d 224(2).y y yyy y y yy yxxxy x y x y xyyyxxy x y xyyxyy x y yyππππππππππ=++=+==-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）积分区域D 如图9－60所示.22112111224212122212112222d d d d d d d d d d yyyyx x yy y y x x x x x x x y e xy e x x e y x e y x e y+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222122122112d d d d d d .82y y xxx x x x yxxx x e yx e ye e x e y =+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－59 图9－60（3）积分区域D 如图9－61所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故 222222220cos sin d d d d 1 sin 2d .24aDxy r x y r rx yra a ππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－61(4) 积分区域D 如图9－62所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},0(1cos ),02D r r a θθθπ=≤≤-≤≤则，故2(1cos )22023330d d d d 15 (1cos )d .33a Dx y x y r r ra a πθπθπθθ-+=⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰图9－62（5）积分区域D 如图9－63所示. cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令因为 (,)(,)xxx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-== 图9－63(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故222222221(0)1(0)d d d d ()d d Dx y x y y y a b a b y x y y x y y x y+=≥+≤<=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰112d sin d d (sin )d 4.3br abr r br abr rab ππθθθθπ-=⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰()00020(6) (,)d d d d d d (d ) 1.x y Dx y xf x y x y x e y e x e y e x +∞+∞-++∞+∞--+∞-==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.设(,)f x y 在xoy 平面上连续且(0,0),f a =求22221lim (,)d d .t x y t I f x y x y tπ+→+≤=⎰⎰解222222(,)(,)lim lim x y t t t f x y dxdyf t I tt ξηπππ+++≤→→==⎰⎰222((,)x y t ξη+≤其中为圆域的内点)0(,)(0,0)t ξη→→当圆域半径时，必有，故 (,)0,0)lim (,)(0,0).f f a ξηξη→==（6.设()[0,]f x a 在上连续，求证：202[()d ()d ][()d ].aaaxf x x f y y f x x =⎰⎰⎰证 令21200()d ()d [()d ]a a ax I f x x f y y I f x x ==⎰⎰⎰，I 1的积分区域D 1与交换积分次序后的积分区域D 2如图9－64所示.而102()d ()d ()d ()d aaaaxxI f x x f y y f x x f y y=+⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d aaaaxyf x x f y y f y y f x x=+⎰⎰⎰⎰12()()d d ()()d d D D f x f y x y f x f y x y=+⎰⎰⎰⎰12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰则20()d ()d a a I f x x f x x=⎰⎰()d ()d d ()()d aaaaf x x f y y x f x f y y==⎰⎰⎰⎰ 图9－64 12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰.7.已知()[,]f x a b 在上连续，求证：当0n >时，有11d ()()d ()()d .1byb n n aaa y y x f x xb x f x x n +-=-+⎰⎰⎰证 因为积分区域{}(,),D x y a y b a x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－65所示.交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故d ()()d d ()()d bybbnn aaaxy y x f x x x y x f x y-=-⎰⎰⎰⎰111()[()]d 1()[()]d 11()()d .1n ba n ba b n a b y x f x x x n b x f x x n b x f x x n +++-=+-=+=-+⎰⎰⎰8.设()[,]f x a b 在上连续，求证： 图9－6522[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰证 ,()()[,],k R f x g x a b ∀∈若与在上连续则必有2[()()]0f x kg x -≥从而2[()()]d 0baf x kg x x k -≥∆≤⎰关于的0.222()()]4()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ∆-≤⎰⎰⎰即=[0故222[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰在上式中令()1,g x ≡则22[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰.9．求证：221(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰其中{}(,)0101.D x y x y =≤≤≤≤，解 积分区域D 如图9－66所示.考虑 22(,)sin cos f x y x y =+在D 内的最值，为此解方程组222cos 2sin x y f x x f y y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩ 图9－66得驻点(0,0)(0,0) 1.f =且而在该区域内y x =上，有222(,)sin cos 2sin()4f x y x y x π=+=+因23301,1444244x x ππππππ≤≤≤+≤+<+=则 由正弦函数的性质知min 0,0,1;x y f ===当时 max ,, 2.22x y f ππ===当时则 1(,)2f x y ≤≤故22(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰110．已知()[0,1]f x 在上连续，求证：11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰证 令()(),f x F x e =则()[0,1]()0.F x F x >在上连续，且 由综合习题六的第9题知2d ()d ()()b b a a x F x x b a F x ≥-⎰⎰即11()2()00d d (10)1f x f x x e x e ⋅≥-=⎰⎰故11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰11．求球体22224x y z a ++≤与圆柱体222x y ax +≤的公共部分的体积. 解 由题意所求立体的图形如图9－67所示.上半球面的方程为 2224z a x y =-- 由对称性，得12221 444d d cos ,sin , d d = d d D V V a x y x yx r y r x y r r θθθ==--==⎰⎰令 图9－671(,)0,02cos 2D r r a πθθθ⎧⎫=<<<<⎨⎬⎩⎭则 ,其图形如图9－68所示.11222122 4d d 4d d D D V a x y x ya r r r θ=--=-⋅⎰⎰⎰⎰2cos 2220d 4d a a r r rπθθ=-⋅⎰⎰图9－682cos 2222203222233201 d 4d(4)22cos 1 [(4)]d 031(2)(sin 1)d 3a a r a r a a r a πθππθθθθθ=---=--=--⎰⎰⎰⎰3220233031(2)[(1cos )d cos ]3281[(cos cos )]33282().323a x a a πππθθπθθπ=----=--+-=-⎰312432().69V V a π==-所以。
二重积分练习题
二重积分【1】自测题（一）选择题1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域，记：⎰⎰σ+=Dd y x I )ln(1，⎰⎰σ+=Dd y x I )(ln 22，则（ ）A ．21I I <B ．21I I >C ．122I I =D ．无法比较2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分⎰⎰=σDyd （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π3．设积分区域D 由2x y =和2+=x y 围成，则=σ⎰⎰Dd y x f ),(（ ）A ．⎰⎰-+2122),(x xdyy x f dx B ．⎰⎰-212),(dyy x f dx C ．⎰⎰-+1222),(x xdyy x f dx D ．⎰⎰+1022),(x x dyy x f dx4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分⎰⎰=42),(x xdy y x f dx （ ）A ．⎰⎰4412),(y y dxy x f dy B ．⎰⎰-4412),(y ydxy x f dyC ．⎰⎰441),(ydxy x f dy D ．⎰⎰40212),(yy dxy x f dy5．累次积分⎰⎰=-222xy dy e dx （ ）A ．)1(212--eB ．)1(314--eC ．)1(214--eD ．)1(312--e6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若⎰⎰σ+=D d y x I 2211，⎰⎰σ+=D d y x I )(222，⎰⎰σ+=Dd y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ）A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I <<7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则=⎰⎰Dxyxydxdy xesin cos （ ）A ．0B ．eC ．2D ．2-e8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且⎰⎰=11)()(xdxx xf dx x f ，则⎰⎰=Ddxdy x f )(（ ）A ．2B ．0C ．21D ．19．若⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=+011010101)()(21),(),(),(xxy x y x dxy x f dy dy y x f dx dy y x f dx ，则（ ）A ．1)(1-=y y x ，0)(2=y xB ．1)(1-=y y x ，y y x -=1)(2C ．y y x -=1)(1，1)(2-=y y xD ．0)(1=y x ，1)(2-=y y x （二）填空题1．设D 是由直线x y =,x y 21=,2=y 所围成的区域，则⎰⎰=D dxdy ．2．已知D 是由b x a ≤≤，10≤≤y 所围成的区域，且⎰⎰=Ddxdy x yf 1)(，则⎰=badx x f )(．3．若D 是由1=+y x 和两坐标轴围成的区域，且⎰⎰⎰ϕ=D dxx dxdy x f 1)()(，那么=ϕ)(x ．4．交换积分次序：⎰⎰-+=2122),(y ydx y x f dy ．5．设D 由1422≤+y x 确定，则=⎰⎰D dxdy ．6．交换积分次序：⎰⎰π=sin 0),(xdy y x f dx ．7．交换积分次序：dyy x f dx xx ⎰⎰2),(10=．8. 交换积分次序⎰⎰yy dxy x f dy 222),(= .（三）计算题1．选择适当的坐标系和积分次序求下列二重积分（1）⎰⎰D ydxdyxcos 2， 其中D 由21≤≤x ，20π≤≤y 确定，（2）⎰⎰+Ddxdyy x )(， 其中D 由x y x 222≤+确定， （3）⎰⎰+Ddxdyy x 22，其中D 是圆环形闭区域：4122≤+≤y x（4）⎰⎰Dxydxdy，其中D是由抛物线2y x=及y=x所围成的闭区域.2．计算下列积分（1）⎰⎰ππ66cosydxxxdy，（2）⎰⎰313ln1ydxxydy，。
二重积分(习题)
v1.0可编写可改正第九章二重积分习题 9-11、设I1( x2y 2 ) 3 d,D1此中D1{( x, y) | 1 x1, 2y2} ;又 I 2( x2y2 )3 d ,D2此中 D 2{( x, y) | 0 x1,0y2} ,试利用二重积分的几何意义说明I1与 I2之间的关系 .解：因为二重积分I1表示的立体对于坐标面x 0 及y0对称 , 且I1位于第一卦限部分与 I 2一致,所以 I 14I 2.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的奇函数 , 即f (x, y) f (x, y)时,有 f (x, y)d0 ;D(2)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的偶函数 , 即f ( x, y) f ( x, y) 时,有 f ( x, y)d2 f (x, y)d, 其中D1为D在D D1v1.0 可编写可改正x0 的部分.并由此计算以下积分的值,此中D {(,) |x2y2 2 }. x y R(I)4d; (II)y222;(III)y3 cosx2 d. xy R x y dD 1 x2yD D解：令 I f ( x, y)d,I1 f ( x, y)d, 此中D1为D在x0 的部分,D D1(1)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y) 为 x 的奇函数,那么I表示的立体对于坐标面于是x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积为I1, I 0 ;(2)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y)为x的偶函数,那么 I 表示的立体对于坐标面 x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积也为I1,于是 I2I1.(I)因为D{( x, y) | x2y2R2 } 对于y轴对称,且 f ( x, y)xy 4为 x 的奇函数 ,于是xy4 d0 ;D(II)由于 D {( x, y) | x2y 2R2 } 关于x 轴对称 ,且f ( x, y) y R2x2y 2为 y 的奇函数,于是y R 2x2y 2 d0 ;D(III)由于D{( x, y) | x2y2R2 } 关于x轴对称, 且f ( x, y)y3 cosx y3 cosxd0 .x2y2为 y 的奇函数,于是2y21D 1 x3、依据二重积分的性质, 比较以下积分的大小:(1) I1( x y)2 d与I2( x y)3 d, 此中D是由x轴、y轴与直线D Dx y 1所围成;解：因为在 D内 , 0 x y 1 ,有 0 ( x y)3( x y) 2, 所以I 2( x y) 3 d( x y) 2 d I 1.D D(2) I1ln( x y)d与I2[ln( x y)] 2 d,D D此中 D {( x, y) | 3 x 5,0 y1} .解：因为在 D 内,e 3 x y 6 ,有 ln( x y) 1, ln( x y) [ln( x y)] 2,所以I 1ln( x y)d[ln( x y)] 2 d I 2.D D4、利用二重积分的性质预计以下二重积分的值：(1) I xy(x y1)d,D此中 D{( x, y) | 0x1,0 y2} ；解：因为 D 的面积为 2 ,且在 D内 , 0 xy( x y 1) 8 ,那么0 0 2xy( x y 1)d8 2 16 .D(2) I( x2 4 y29)d,D此中 D{( x, y) | x2y24} ；解：因为 D 的面积为 4 ,且在 D 内,9 x2 4 y 29 13 3 y225 ,那么369 4( x2 4 y29)d25 4 100 .D(3) I d,cos2x cos2D 100y此中 D{( x, y) | | x || y | 10} ；解：因为 D 的面积为200 ,且在 D 内,111 102 100 cos2 x cos2y , 那么100100＝ 200d200 2 .51102D 100cos2 x cos2 y100习题 9-21、计算以下二重积分：(1)( x2y2 )d, 此中D是矩形地区 :| x | 1,| y | 1 ；D解：y2 )d dx ( x 2y 2 )dy 2 (x 21)dx8 .(x2111D11133(2)xye x2y2d, 此中D{( x, y) | a x b, c y d} ；D解：22b d x 2y2 1 d2c2b x2dx .(x y )d dx( xye)dy(e e)xeDa c2a1b2e a2 d 2e c 2(e)(e) .4(3)(3x 2 y)d, 此中D是由两坐标轴及直线x y2所围成的闭地区；D解：(3x2y)d dx(3x2y)dy(42x2x2)dx20.2 2 x2D0003(4)xcos(x y)d ,此中 D 是极点分别为( 0,0),(,0) 和 ( ,) 的三角形D闭地区 .xcos(x y)d xxcos(x y)dy x(sin2x sinx)dx 3 .解：dxD00022、画出积分地区 , 并计算以下二重积分：(1)x yd, 此中D是由两条抛物线y x , y x2所围成的闭地区；D1x2 17 6解：44x yddxx2x ydy3 0 (xx )dx 55 .D(2)y d, 此中 D 是由直线 yx, y 2 x 及 x 1, x 2 所围成的闭地区；Dx解：y d2 dx2 xDx1xy32xdx9xdy.214(3)(2x y) d , 此中 D 是由 yx, y1及 y 2 所围成的闭地区；Dx12 )dy解：(2xy)ddy 1 (2x y)dx(2y 2 119 .2 y 2D1y1y6(4)e x y d , 此中 D 是由 | x | | y |1 所确立的闭地区 .Ddxx 1 1dx x 1解：e x y de x y dy0 e x y dyD1x 1x 1e 1)dx(e e2 x 1)dx e 3e 1e 1 .0 (e 2x 1112 2e 2 2eea:=0..1;b:=x-1..-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify(");3、假如二重积分f2 ( y)的乘D {( x, y) | a 即f ( x, y)dD证明：f (x, y) dDb df ( x, y)d的被积函数 f ( x, y) 是两个函数f1 (x) 及D积,即 f ( x, y) f1 (x) f 2 ( y),积分区域x b, c y d} ,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,b df1 ( x)dx f 2 ( y)dy.a cb d b ddx f ( x, y)dx dx f1 ( x) f 2 ( y)dya c a cb df1 (x)f2 ( y)dy dx f1 (x)dx f 2 ( y) dy .a c a c4、化二重积分I f ( x, y)d 为二次积分(分别列出对两个变量先后序次D不一样的两个二次积分), 此中积分地区D是：(1) 由曲线y ln x 、直线x 2及 x 轴所围成的闭地区；图形 >plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..,color=1);2ln x ln 22解： Idx f ( x, y) dy dye yf ( x, y) dx .100(2) 由y轴及右半圆xa2y 2所围成的闭地区；图形 >plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);a a2x22 f ( x, y)dy a a 2 y2解： Idxa 2xdy f (x, y)dx .0a0(3) 由抛物线y x2与直线 2x y 3所围成的闭地区.图形 > plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);1y3 y 9解： I dy f ( x, y)dx dy2 f ( x, y)dx .0y1y5、更换以下二次积分的积分次序：1 (1)dy解： I1 (2)dy1yf ( x, y)dx ；y1x0 dx x2 f ( x, y)dy .ee yf ( x, y) dx ；e ln x解： I dx f (x, y) dy .101 1 y 2(3)dy f ( x, y)dx ；0 2 y解： I2 dx2 x x 21 f (x, y) dy .2 x1x 2f ( x, y)dy2 2 x (4)dx dxf ( x, y) dy ；11 2 y 解： Idyf (x, y) dx .ysin x(5)0 dxsin x2f ( x, y)dy ；图形>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);dyf ( x, y)dx1 arcsin y解： I2 arcsin y dyf ( x, y)dx .1arcsin y2a 2 ax22 x (6)dx 2 ax x 2f ( x, y) dy1dx 0f ( x, y) dy .图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);a aa 2y 2a2 a解： I0 dy y 2f (x, y) dxdya2 2f ( x, y) dx2aa y2a 2aady y 2 f ( x, y)dx .2 a6、设平面薄片所占的闭地区D 由直线 x y2, y x 和 x 轴所围成 , 它的面密度(x, y)x 2 y 2 , 求该改薄片的质量 .图形 > plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);解： m( x, y)d1dy2 x y 2 )dx0 y(x 2D184 y4 y 28 y 34(3) dy.337、求由平面 x 0, y0, z 1, x y 1 及 z 1 x y 所围成的立体的体积 .图形 > with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);解： V[(1 x1dx 1 x y) dy 1121y) 1] d(x(1x) dx.D002038、为修筑高速公路, 要在一山坡中辟出一条长500m ,宽20m的通道 , 据丈量 ,以出发点一侧为原点, 往另一侧方向为x 轴(0x20), 往公路延长方向为y 轴( 0y 500 ),且山坡高度为z10 sin y sin x ,试计算所需50020挖掉的土方量.图形 > plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解： V zd 20500(10 sin y sin x)dy70028(m3 ) . 0dxD0500209、画出积分地区 , 把积分I f ( x, y)d表示为极坐标形式的二次积分, 其D中积分地区 D 是：(1)D {(,) |x2y2a2,x0}(a0)；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解： I2daf ( r cos, r sin)rdr . 02(2)D {(,) |x2y22} x y y；图形 > plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1);解： x2y 2 2 y r 22r sin r 2 sin, 于是I d 2 sin f ( r cos, r sin)rdr .(3)D{( , ) | a 2x 2 y 2b 2 }, 此中 0 ab ；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 bf ( r cos , r sin)rdr .da(4)D{( , ) | 0x 1,0y x 2 }.x y图形 > plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1);解： yx 2r sinr 2 cos 2r sectan ,x 1 r cos 1r sec , 于是I4 dsec f ( r cos , r sin )rdr .sec tan10、化以下二次积分为极坐标形式的二次积分：11(1)dx f ( x, y)dy ；图形 > plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1);解： x 1 r cos 1 r sec y 1r sin1rcsc,, 于是Isec f (r cos , r sin )rdr2dcsc 4 df (r cos , r sin ) rdr .41 1 x 2x2y 2)dy ；(2) dx1 x f ( 0图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1);解： y1 xr sin1 r cos r1 , 于是sincosI1f (r )rdr .2 d 1cossin11、把以下积分为极坐标形式, 并计算积分值：2a 2 ax x 2( x 2y2)dy ；(1)dx图形 > plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);解： y 2ax x 2r sin 2ar cosr 2 cos 2r 2a cos ,于是 I2d2a cosr 3 dr 4a 4 2 cos 4 3 a 4.413x1dy ；(2)dxx 2y 2x图形 > plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解： x1r cos 1r sec , 于是I3 dsec 3sec dln23 .0 dr44123 adx3 xx2y 2dya a 2x 2x2y2dy .(3)233 dxa2图形 > plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..,color=1);解： x1 r cos 1 r sec , 于是v1.0 可编写可改正a2dra 3a 3.I 6 d6 dr3 01812、利用极坐标计算以下各题：(1)R 2x 2y 2 d , 此中 D 为圆域 x 2y 2 Rx ( R 0 ) ；D图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2 Rxr 2Rr cos r R cos , 于是Id Rcos R2 r2 rdr1 3(42 0 R) .233(2)ln(1 x2y 2) d , 此中 D 为圆 x2y21及坐标轴所围成的在第一D象限内的闭地区；图形 > plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解： I2d1r2) rdr (2 ln 2 1) .ln(1 40 0(3)arctan yd, 其 中 D 为 圆 周 x 2y 2 1 , x 2y 24 及 直 线Dxy 0, y x 所围成的在第一象限内的闭地区.图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);v1.0 可编写可改正解： I2rdr3 4d3 2 .4 d12 06413、选择适合的坐标计算以下各题：(1)x 2, 此中 D 是直线 x2, yx 及曲线 xy1所围成的闭地区；y 2dD图形 > plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解： I2 xx 2 2 (x 3x) dx91dx 12 dy1.xy4(2)sin x 2y 2 d, 此中 D 是圆环形地区2x 2y 242 ；D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 d2r sin rdr62 .(3)(x 2y 2 )d , 此中 D 是由直线 yx, yx a, ya, y 3a ( a 0 )D所围成的闭地区；图形>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);3 ay (x2y 2)dx3aa 2y a 314a 4.解： I)dx adya (2ay2y a3v1.0 可编写可改正(4)|1 x 2y 2 | d , 此中 D 为圆域 x 2 y 24 .D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);2 d1 2 21)rdr9 5 .解： I(1 r 2)rdrd( r 212214 、计算以xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭地区为底, 而以曲面z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积 .图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2axr 2ar cosra cos , 于是( x2y 2)da cos 3dra 4cos 43 a 4. Vdd2r2D2423215、某水池呈圆形 , 半径为 5 米 , 以中心为坐标原点 , 距中心距离为 r 处的水深5米 , 试求该水池的蓄水量 . 为1 r 2图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： V255rdr 5 (ln 2ln 13)16.29 ( 米 3).d21 r16、议论并计算以下广义二重积分：d, 此中 D{( x, y) | xy 1, x 1} ；(1)Dx p y q1q 1 11p q 01解： Idx 1dy1 dx.py q 1 q 1 x pq1xx(1 q)(q p)v1.0可编写可改正即当 p q 1 时,广义二重积分收敛, 且I1.1)( p( q q)(2)d, 此中D{(,) |x2y21}；(x2y2 ) p x yD21 2 p 1 1解： I d dr.01r2 p 1p1即当 p1时 , 广义二重积分收敛, 且Ip. 1。
高等数学第八章二重积分试题及答案
第八章 多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ） 则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分 记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。
如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。
2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质 （1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。
经济数学（二重积分习题及答案）
经济数学（二重积分习题及答案）第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+??224(2)d x y x y*+≤??解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+(2)因为224d x y x y+≥??222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x y x y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++当221x y +≤1，且此区域面积为π，则21d x y x y π+≤≤??当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤??当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-??当2234x y <+≤且此区域面积为π,则22d x y x y <+≤≤??故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=3．试用二重积分的定义证明: (1) d DDS σ=??(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==?∑??则当1),(≡y x f 时,上式变为0 1d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==?==∑??.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==?=?=?∑??∑∑(,)d .Dk f x y σ=??4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小. ()2(1) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;(2) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示.因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为21x y θθ?=+??=+??则3cos )32sin()4x y πθθθ+=+=++ 图9－2 min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()2d ()d .D D x y x y σσ+≤+5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+??，:01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=??，:0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++??，:01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++??，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤??≤≤?则0102xy x y ≤≤??≤+≤?故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===(2) 因0,0x y ππ≤≤??≤≤?则0sin 10sin 1x y ≤≤??≤≤?于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==（3）因0102x y ≤≤??≤≤?，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤即28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=而 24D S r ππ== 故36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+??其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 22(2) ()d ,Dx y x σ+-??其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成; 2(3) d ,Dxy σ??其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成;211(4) d .y x ?解 (1)9－3 所示.11222211()d d ()d Dx y x x y y σ--+=+12128(2)d .33x x -=+=? 图9－ 3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-232019313()2486y y dy =-=?图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ== 1470111()d 3340x x x =-=?图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.2211110110sin d d d sin d sin1cos1.x x y x x yx x x x +===-?图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ?求证：()()d d ()d ()dbdacDf xg y x y f x x g y y ?=??.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=??()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==?=??图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =?证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d bx b baaayx f x y y y f x y x=?图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=??按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4).积分区域D 如图9－9 所示.于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得40d (,)d xI x f x y y=??将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得24104d (,)d .y y I y f x y x =??(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9 将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得d (,)d rrI x f x y y-=?将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得d (,)d rI y f x y x=? 图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d y y f x y x10(2) d (,)d yy f x y x1(3) d (,)d e ln xx f x y y10(4) d (,)d y f x y x2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+??解 (1)因为原积分区域{(,)01,D x y y y x =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2110d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =?(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .y oxy f x y x x f x y y =(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .x exeex f x y y y f x y x =??（4）因为原积分区域{(,)01,D x y y x =≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故1101d (,)d d (,)d .y f x y x x f x y y -=??图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ??=≤≤≤≤??（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y x f x y y x f x y yy f x y x --+=??6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+??.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ??1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +?? D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成; ()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=2222(4) ()d d ,Dy x x y a b +2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=??+=?，解得()()1212x u v y v u ?=+=-?? 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17 新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??故()()22sin d d Dx y x y x y -+??22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=?==?- ? ? ? ?- 图9－183431().3223ππππ=?-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 x y u yv x ==??，解得x y ?==?则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19 因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==2)12u v v -==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v=??=故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==?? （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=??=?，解得x u vy v =-??=?则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21 其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v-====图9－22故 10'd d 1d d d dy vv x yuuuoDD ex y e u v u ev +=??=()1011d 2e u e u -=-=.（4）积分区域D 如图9－23所示.令cos sin x ar y br θθ=??=?则新积分区域为(){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23 因为(,)(,)xxx y r J yyr r θθθ==cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y x x y r abr r abab r r ab πθθπ+===故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、(2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =??=?，解得x y ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==12v==81515545' d d 111 d d d d 4ln 2ln 3.222D DD S x yu v u v v v v ====?=故图9－24(2) 令33y u x x v y ?==?，解得x y ?==??则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)xx y u v J yyu v u v ==图9－251113988883293111888831188()81388u v u v uv u v v u -----------= =--故d d D DS x y=??()33442211342111d d d ()d 881 1d .88D uv u v u uv vuu-====’100D x y x y +===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2D x y x y x y -=+??证积分区域D 如图9－26所示.令x y vx y u +=??-=?，解得()()1212x v u y v u ?=+=-??则新积分区域'D 由v = 1,v = -u , 及v = u 围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??'1cosd d cos d d 2DD x y u x y u v x y v -=?+故图9－27 101d cos d 2vv uv uv -=??101[s i n ]d 21s i n 1d s i n 1.2v v u v v v v v =-==4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤??证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=??-=?, 解得()()1212x u v y u v ?=+=-??则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28 因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ====--?? 故'1()d d ()d d2DD f x y x y f u u v +=-??1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y ??化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3)0 (4) 0101a x yb a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=??=?则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=(2) 积分区域D 如图9－31所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 202(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=??.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32 而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=??(4) 积分区域D 如图9－33所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222001122222000(1) d )d (2) d (3) d ()d (4) d )d aaxa xx x y y x y x x y y yx y x-+++解 (1)积分区域D 如图9－34所示. 令cossin x ry rθ==则y2cos,r aθ=而D被夹在2πθθ==与之间, 故图9－3422cos22320000d)d d d.a ax x y y r r πθθ+=(2) 积分区域D如图9－35所示. 令cossinx ry rθθ==则0x a x==与的极坐标方程分别为图9－26 cosarθ=与0;r=0y x y==与的方程分别为04π==与,故sec240000d d d.a ax y r rπθθ=(3) 积分区域D如图9－36所示. 令cossinx ry rθθ==2y x y x==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec rθθ=4πθ=与,故211tan sec2224000d()d d d.xxx x y y rπθθθ-+=(4) 积分区域D如图9－37所示.令cossiny rθθ==则222x y a+=上方程为, r a=而D被夹在2πθθ==与之间, 故22320000d)d d d.a ay x y x r r π+=图9－37 3．用极坐标计算下列各题：22(1) d,x yDeσ+D由圆周224x y+=所围成；(2) ,Dσ{}2222(,);D x y a x y b=≤+≤(3) arctan d,Dyxσ2222D x y x y y y x+=+===由、、和所围成的第I象限部分；224 , :.DD x y Rx σ+≤（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令cos sin x r y r θθ=??=?{}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r De e r rσθ+=图9－382224012d (1)2re r e ππ==-?.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39223333d d 22().33baDr rb a b a πσθππ=-=?=?-?(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),12,04D r r πθθ??=≤≤≤≤??则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0cos ,22D r r R ππθθθ??=≤≤-≤≤??则, 故图9－41 ()cos 202cos 20322220 d d 2d d cos 2 d 03R DR r rr rR R r πθππθπσθθθθ-==??=--33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-?.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>??，由、、、所围成;222(2) d d :,00;D y x y D x y a x y +=≥≥??，、 (3) d d 212D x y x y D y x y x x y x y ====??，由、、与围成 ()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===??，解 (1) 令,y x u y v -=??=?得变换式x v uy v =-??=?则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为11(,)101(,)x y J u v -?===-?()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ??+=-+?-??=-+=-+-=故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0,02D r r a πθθ??=≤≤≤≤??则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==图9－43（3）令y u xxy v ?==?.得变换式x y ?==?则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()(,)1,2x y J u v u===-图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=?=（4）令x y u y v x +==??，得变换式11u x vuv y v ?=??+??=?+? 则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++?===+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=??++故 () 322233111525d d d .72961u u v u u v ===+ 5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ?θ?θαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βθαθθ==图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥解（1）积分区域D 如图9－46所示.2200 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxe x +∞+∞--+∞-===故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46 ()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===(2)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=+∞=-==??(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=??=?令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－4821210224d d 24 d d d 33()Dx yr r x y ππθθπ=?==+??.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++?解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=??由普阿松积分()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I exI I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====?。
二重积分部分练习题
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分)一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( )(3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴和直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( )(3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( )(3分)[6]设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)11210002(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( )(3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( )(4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r . 答 ( )(3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 32022(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2. 答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,和x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2. 答 ( )(3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e －1;(C) 0; (D)π. 答 ( )(4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( )二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
重积分部分练习题
题目部分， (卷面共有 100 题 ,分 ,各大题标有题量和总分 ) 一、选择 (16 小题 ,共分 )(2 分 )[1]2(3 分 )[2] 二重积分xydxdy (此中 D ： 0≤ y ≤ x ,0≤ x ≤ 1)的值为D1111 （ A ）（ B ）（ C ）（ D ） 61224答 ()(3 分 )[3] 若地区D 为 0≤ y ≤ x 2,| x| ≤ 2,则xy 2 dxdy=D（A ）0；（ B ）32（ C ）64（ D ） 25633(3 分 )[4] 设D 1 是由ox 轴， oy轴及直线答 (x+y=1 所圈成的有界闭域， )f 是地区D ：| x|+| y| ≤ 1 上的连续函数，则二重积分f ( x 2, y 2 ) dxdy __________f ( x 2 , y 2 )dxdyDD 1（A ）2（ B ）4（ C ）8（D ）12答 ()(3 分 )[5] 设 f(x,y)是连续函数，则二次积分0 1 x 21dxf ( x, y) dyx 11 y 12 y 21(A)dy1 f ( x, y)dxdyf (x, y)dx0 11(B)1 y 1dy1 f ( x, y)dx1 y 12y 2 1(C)dy 1 f ( x, y)dxdy f (x, y)dx1 1(D)2y 21dy1 f (x, y)dx答 ()x y dxdy(3 分 )[6] 设函数 f(x,y)在地区 D ：y2≤－ x,y ≥ x 2 上连续，则二重积分f可( , )D化累次积分为x 2f (x, y)dy0 x 2(A)dxx (B)dx f ( x, y)dy11 x1 y 21 y2 (C)dyf ( x, y)dx(D)dyf ( x, y)dxyy答( )13 y 2f ( x, y)dx 可互换积分序次为(3 分 )[7] 设 f(x,y)为连续函数，则二次积分dy1 2y21dx2 x3 3 x 2(A)f ( x, y)dydxf (x, y)dy0 0112x 21 3 dx3 x 2(B) 2dxf (x, y)dy 1 dxf (x, y)dy 2 f ( x, y)dy21 3 x 2(C)dx2 x (D) 2d3 2cos 0sin 2()f ( x, y)dyf (r cos , r sin )rdr答(3 分 )[8] 设 f(x,y)为连续函数，则积分1 x 22 2 xdxf (x,y)dydxf ( x, y)dy1可互换积分序次为1 y2 2 y(A)dyf (x,y)dx dy0 f ( x, y)dx0 0 1(B)1 x 22 2 xdy f ( x,y)dxdy0 f (x, y)dx0 0 11 2 y(C)dyf ( x,y)dxy12 x(D)dyx 2 f ( x,y)dx答 ()(4 分 )[9] 若地区 D(x 1) 2 +y 2≤ 1,则二重积分fx y dxdy 化成累次积分为为 －( , )D2cos2cos(A)dF (r , )dr(C) 2d2cos F (r , )dr2此中 F(r,θ )=f(r cos θ,rsin θ)r.(B)dF (r , )dr0 (D) 2 2d2cos F (r , )dr答 ( )(3 分 )[10] 若地区 D 为 x 2+y 2≤ 2x ，则二重积分(x y) x 2y 2 dxdy 化成累次积分为D2d2cossin ) 2r cos rdr(A)(cos2(cossin )d2cos 3dr(B)r(C)22(cossin )d 2cosr 3dr(D) 22(cossin )d2cos r 3dr2答()(4 分)[11]设 I 1[ln( x y)]7 dxdyI, 2(xy) 7 dxdy,I 3sin 7(x y)dxdy此中D是DDD由 x=0,y=0, xy1I 1 ， I 2， I 3 的大小次序是,x+y=1 所围成的地区，则2(A)I 1＜ I 2＜ I 3;(B)I 3＜ I 2＜ I 1;(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .132312答( )(5 分 )[12] 设 Idxdy，则 I 知足11cos 2x sin 2 yx y2I 2(B)2I3(A)3 1(C) D(D)1 I 0I2答 ( )(4 分 )[13] 设 xy1及 x+y=1 所围成的地区，则 I 1， I 2，此中 D 是由直线 x=0,y=0,2I 3 的大小次序为(A)I ＜I ＜I ;(B)I ＜I ＜I;32 112 3(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .1 32312答 ( )(3 分 )[14] 设有界闭域 D与 D 对于 oy 轴对称，且 D ∩D =,f(x,y)是定义在 D ∪D 上的连续函121212数，则二重积分f (x 2, y)dxdyD(A) 2f ( x 2 , y)dxdy(B) 4f ( x 2 , y)dxdyD 1D 2(C)4f (x 2 , y)dxdy(D) 1f ( x 2 , y)dxdyD 12D 2答 ()(3 分 )[15] 若地区 D 为| x| ≤1,| y| ≤ 1,则xe cos(xy) sin( xy)dxdyD (A) e;－ 1(B) e ; (C) 0;(D)π.答 ( )(4 分 )[16] D： x2+y2≤ a2(a＞ 0),当 a=___________，a2x2y2 dxdy .D33(A)1(B)23331(C)4(D)2答 ()二、填空(6小 ,共分 )(4 分)[1] 函数 f(x,y)在有界地区 D 上有界，把 D 随意分红 n 个小地区σi(i=1,2,⋯,n),在每一个小地区σ i随意取一点(ξi,ηi),假如极限nlim f ( i , i ) i(此中入是σ i(i=1,2,⋯,n)的最大直径)存在，称此极限0 i1______________的二重分。
二重积分习题及答案
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
第十章二重积分练习题
D
D
A I1 I2
B I1 I2
C I1 I2
D 以上都不对
4.设
f ( x2 y2 )d tet ，则 f (x) （ ）
x2 y2 t2
A
1 2
xe x
B
1 2
(1
1 )ex x
C
1 2
(1
1 )ex x
D
1 2
(1
x)ex
5.设 D 是由上半圆周 y 2ax x 2 和 x 轴所围成的闭区域,则 f (x, y)d ( )
0
0
8.旋转抛物面 z 1 x 2 y 2 在1 z 2 部分的曲面面积 S 为（ ）
2
(A) 1 x2 y2 dxdy； x2 y22
(B) 1 x 2 y 2 dxdy ； x2 y22
(C) 1 x2 y2 dxdy ； x2 y24
(D) 1 x 2 y 2 dxdy 。 x2 y24
d
2cos f (r cos ,r sin )rdr ，则将该二次积分化为直角坐标形式为（
0
）
4
1
A. dx
2xx2 f (x, y)
x2 y2 dy
0
x
1
2 x x2
B. dx
f (x, y)dy
0
x
C.
2
dx
2xx2 f (x, y) x2 y2 dy
0
x
2
2 x x2
D. dx
D
x
9. I ex xydxdy ，其中 D 为以双曲线 x2 y2 1的右支及直线 y 0, y 1所围成。 D
10. I x2 y2 dxdy ， D {(x, y) | 0 y x, x 2 y 2 2x} 。
二重积分计算习题
将所有小矩形区域的积分结果相加，得到整个区域的积 分值。
常见数值方法介绍及比较
• 矩形法：将二重积分区域划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积乘以被积函 数在该矩形中心点处的函数值，然后将所有小矩形的面积相加得到整个区域的 积分值。该方法简单易行，但精度较低。
• 梯形法：将二重积分区域划分为若干个小梯形，每个小梯形的面积乘以被积函 数在该梯形上、下底中点处的函数值的平均值，然后将所有小梯形的面积相加 得到整个区域的积分值。该方法精度较矩形法高。
典型例题解析与技巧总结
例题：计算二重积分$iint_Dfrac{x-y}{x+y}dxdy$，其 中$D$是由直线$x+y=1$，$x=0$和$y=0$所围成的 三角形区域。 技巧总结
注意变量替换后雅可比行列式的计算。
解析：选择变量替换$u=x+y$，$v=x-y$，则原二重 积分转化为$iint_{D'}frac{v}{u}dudv$，其中$D'$是由 直线$u=1$，$v=-u$和$v=u$所围成的三角形区域。 计算得到结果为$frac{1}{2}ln2$。 选择适当的变量替换，简化被积函数和积分区域。
技巧总结
在求解二重积分时，首先要确定被积 函数和积分区域，然后根据积分区域 的形状和位置选择合适的坐标系进行 求解。对于矩形区域，可以直接使用 直角坐标系下的二重积分公式进行计 算。
复杂函数在直角坐标系下求二重积分方法
换元法
对于复杂的被积函数，可以通过换元法将其化简为简单的形式，然后再进行求解。例如， 对于极坐标下的二重积分，可以通过极坐标与直角坐标的转换公式将其转换为直角坐标系 下的二重积分进行计算。
根据直角坐标系下二重积分的计算公 式，有$iint_{D} (x+y) dsigma = int_{0}^{1} dx int_{0}^{1} (x+y) dy = int_{0}^{1} dx (xy + frac{1}{2}y^{2})|_{0}^{1} = int_{0}^{1} (x + frac{1}{2}) dx = (frac{1}{2}x^{2} + frac{1}{2}x)|_{0}^{1} = 1$。
二重积分部分习题
(A) 0 dy0 f (x,y)dx 1 dy0 f (x, y)dx
1
x2
2
2x
(B) 0 dy0 f (x,y)dx 1 dy0 f (x, y)dx
1
2 y
(C) dy f (x,y)dx
0
y
1
2x
(D) dy f (x,y)dx
0
x2
9、若区域D为(x－1)2+y2≤1,则二重积分 f (x, y)dxdy 化成累次积分为
sin
d
3 2
r
2
dr
=
19 6
(
2 1) .
7． x2 y 2 dxdy, D与 y x与 y x4 与与 .
D
解：设 x r cos ， y r sin ，则积分区域 D 在极坐标下为
D
(r, ) : 0 r
3
sin cos4
,0
4
.
因此，所求二重积分为
x2 y2 dxdy
解：所围成立体的图形如图
(注：图形省略，自行补充)，它为以平面 x 2 y z 12 为顶，以区域 D 为底的曲顶
柱体，其中 D 为 xOy 平面上以直线 y x , y 0 , x 3 及 x 2 y 12 所围成的区域。
利用二重积分的几何意义，
6
V (12 x 2y)dxdy .
dx f (x, y)dy 1 x1
1
y 1
2
y2 1
(A) dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
0
1
1
1
1
y 1
(B) dy f (x, y)dx
0
1
二重积分练习题
二重积分练习题一、选择题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是圆x^2+y^2=1的内部区域。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π2. 以下哪个选项是计算二重积分∬D(x^2-y^2)dA的正确方法？A. ∫∫(x^2-y^2)dxdyB. ∫∫(x^2-y^2)dAC. ∫∫(x^2+y^2)dxdyD. ∫∫(x^2+y^2)dA3. 如果D是正方形区域，其顶点为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)，计算∬D(x-y)dA的结果是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是单位圆盘，结果为________。
2. 计算二重积分∬D(x+y)dA，其中D是区域x^2+y^2≤4，结果为________。
3. 如果D是区域0≤x≤1，0≤y≤x^2，计算∬D(2x+y)dA的结果为________。
三、解答题1. 计算二重积分∬D(3x^2-2y^2)dA，其中D是由曲线y=x^2和直线y=x围成的区域。
2. 计算二重积分∬D(1/(x^2+y^2))dA，其中D是单位圆盘x^2+y^2≤1。
3. 计算二重积分∬D(xy)dA，其中D是区域由直线y=x，y=2x和x轴围成。
四、证明题1. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内部区域，其结果为πab。
2. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(1/√(x^2+y^2))dA，其中D是圆x^2+y^2≤a^2和x^2+y^2≤b^2的交集区域，其结果为1/2π*ln(b/a)。
五、应用题1. 一块矩形金属板的厚度为t，其面积为A，密度为ρ。
如果金属板的重心位于板的几何中心，求金属板的质量。
2. 一个圆环的内半径为a，外半径为b，圆环的密度为ρ。
如果圆环的重心位于圆环的几何中心，求圆环的质量。
二重积分的计算习题
变量替换法简化计算过程
变量替换法的基本思想：通过变量替换，将复杂的被积函数或积分区域转化为简单的形式，从而简化 计算过程；
常用的变量替换法有极坐标替换、广义极坐标替换等；
极坐标替换法适用于被积函数中含有x^2+y^2或积分区域为圆、圆环、扇形等情况。通过极坐标替换， 可将二重积分化为极坐标系下的累次积分进行计算。
பைடு நூலகம்
02 直角坐标系下二重积分计 算方法
累次积分法求解步骤与实例分析
01
步骤一
02
确定积分区域D，并画出其图形；
步骤二
根据被积函数和积分区域的特 点，选择适当的积分次序；
03
步骤三
04
将二重积分化为累次积分，并计 算之。
实例分析
计算二重积分∫∫D xydσ，其中D 是由直线y=x，x=1及x轴所围成 的闭区域。首先，确定积分区域D， 并画出其图形；其次，选择先对y 积分再对x积分的次序；最后，将 二重积分化为累次积分 ∫(0,1)dx∫(0,x) xydy，并计算得到 结果为1/4。
二重积分的计算习
目录
• 二重积分基本概念与性质 • 直角坐标系下二重积分计算方法 • 极坐标系下二重积分计算方法 • 二重积分在几何和物理中应用 • 数值方法求解二重积分简介 • 总结回顾与拓展延伸
01 二重积分基本概念与性质
二重积分定义及物理意义
二重积分定义及物理意义
$lim_{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i) Delta sigma_i = J$
精度与步长
数值求积公式的精度取决于步长 （即小矩形的边长）的大小。步 长越小，精度越高，但计算量也 越大。
任意区域上数值求积公式应用
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其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。
(4分)[28]计算二重积分
其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。
(5分)[29]计算二重积分
其中D是由x=0, ,y=x所围成的区域。
(4分)[30]计算二重积分
其中D：0≤y≤sinx, .
(5分)[31]计算二重积分
(4分)[2]若D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知 =___________.
(3分)[3]设 ，由二重积分的几何意义知
___________.
(3分)[4]设D：x2+y2≤4,y≥0,则二重积分
__________。
(4分)[5]设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出 在极坐标系下先对r积分的累次积分_ _.
(3分)[6]设D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重积分的几何意义知
=_______________.
三、计算(78小题,共331.0分)
(3分)[1]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
的积分次序。
(3分)[2]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
的积分次序。
(3分)[3]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
答( )
(3分)[14]设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2=,f(x,y)是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分
(A) (B)
(C) (D)
答( )
(3分)[15]若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则
(A) e; (B) e－1;
(C) 0; (D)π.
答( )
(4分)[16]设D：x2+y2≤a2(a＞0),当a=___________时，
的积分次序。
(3分)[4]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
的积分次序。
(4分)[5]计算二重积分
其中D：0≤y≤sinx,0≤x≤π.
(3分)[6]计算二重积分
其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。
(3分)[7]计算二重积分
其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。
(3分)[8]计算二重积分
答( )
(3分)[4]设D1是由ox轴，oy轴及直线x+y=1所圈成的有界闭域，f是区域D：|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分
__________
（A）2（B）4（C）8（D）
答( )
(3分)[5]设f(x,y)是连续函数，则二次积分
(A)
(B)
(C)
(D)
答( )
(3分)[6]设函数f(x,y)在区域D：y2≤－x,y≥x2上连续，则二重积分 可化累次积分为
(3分)[13]计算二重积分
其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。
(3分)[14]计算二重积分
其中D是由双曲线 ，直线y=x及x=2所围成的区域。
(3分)[15]计算二重积分
其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。
(3分)[16]计算二重积分
其中D：|x|+|y|≤1.
(A) (B)
(C) (D)
其中F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r.
答( )
(3分)[10]若区域D为x2+y2≤2x，则二重积分 化成累次积分为
(A)
(B)
(C)
(D)
答( )
(4分)[11]设 其中D是由x=0,y=0, ,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是
(A)I1＜I2＜I3; (B)I3＜I2＜I1;
(A) (B)
(C) (D)
答( )
(3分)[7]设f(x,y)为连续函数，则二次积分 可交换积分次序为
(A)
(B)
(C)
(D)
答( )
(3分)[8]设f(x,y)为连续函数，则积分
可交换积分次序为
(A)
(B)
(C)
(D)
答( )
(4分)[9]若区域D为(x－1)2+y2≤1,则二重积分 化成累次积分为
(3分)[17]计算二重积分
其中D：|x|+|y|≤1.
(4分)[18]计算二重积分
其中
(4分)[19]计算二重积分
其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a(a>0)所围成的区域。
(4分)[20]计算二次积分
(4分)[21]计算二重积分
其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。
(4分)[22]计算二重积分
(A)1 (B)
(C) (D)
答( )
二、填空(6小题,共21.0分)
(4分)[1]设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Δσi(i=1,2,…,n),在每一个小区域Δσi任意选取一点(ξi,ηi),如果极限
(其中入是Δσi(i=1,2,…,n)的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分)
一、选择(16小题,共53.0分)
(2分)[1]
(3分)[2]二重积分 (其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为
（A） （B） （C） （D）
答( )
(3分)[3]若区域D为0≤y≤x2,|x|≤2,则 =
（A）0；（B） （C） （D）256
其中D： , 0≤y≤2.
其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。
(4分)[23]计算二重积分
其中D是由曲线 ,y=1－x及y=1所围成的区域。
(4分)[24]计算二重积分
其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。
(4分)[25]计算二重积分
其中D为 与x=0所围成的区域。
(4分)[26]计算二重积分
其中D是由抛物线 及直线y=x+4所围成的区域。
(C)I1＜I3＜I2; (D)I3＜I1＜I2.
答( )
(5分)[12]设 ，则I满足
(A) (B)
(C) (D)
答( )
(4分)[13]设 其中D是由直线x=0,y=0, 及x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序为
(A)I3＜I2＜I1; (B)I1＜I2＜I3;
(C)I1＜I3＜I2; (D)I3＜I1＜I2.
其中D：x≤y≤ x,1≤x≤2.
(3分)[9]计算二重积分
其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。
(4分)[10]计算二重积分
其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。
(3分)[1Βιβλιοθήκη ]计算二重积分其中(3分)[12]计算二重积分
其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。