2020年重庆市南开中学3月月考 理科数学试题答案
2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题Word版含答案
2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x 2<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,–1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b 是实数,i 为虚数单位,则|3a+bi|=A.2C.3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16,则log 2a 9=A.15B.16C.17D.184.若实数x,y 满足约束条件20,20,240x y x y x y -+⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪+-⎪⎩…„?,则z=x+y 的最小值为A.-8B.-6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。
现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A.35 B.710 C.45 D.9106.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,ABCD 为平行四边形,E,F 分别在线段DB,DD 1上,且112DE DF EB FD ==,G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ,则1CG CC =A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为lm 的⊙C 在t= 0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 关于时间t （0≤t≤l, 单位：s ）的函数的图象大致为8.(()n mx n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x 3的系数为A.40B.30C.20D.10 9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,如果127,(,)1212x x ππ∈，x 1≠x ,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=A.2-B.12-C.2 D ．1210.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的半径为4,ΔABC 是边长为6的等边三角形,记ΔABC 的外心为O 1.若三棱锥P-ABC的体积为PO 1=A.B.C.D.11.设双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y 2=a 2与直线bx-ay=0交于坐标原点O 及另一点E ﹐且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切,切点为EF 的中点,则双曲线的离心率为D.3212.函数1ln()(0)()(0)x x x f x xe x -'-<⎧⎪=⎨⎪⎩…，若关于x 的方程f 2(x)-af(x)+a-a 2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是 A. 4(,1]5B.(–∞,-1)∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪{1}D.(-1,0)∪{1}第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°,且(1,3),||a b =-=r r 则a b ⋅=r r ____.14.已知函数f(x)=3|x-a|(a ∈R)满足f(x)=f(4-x),则实数a 的值为____.15.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足222(2)2()0n n S n n S n n -+--+=,n ∈N *,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和T 2020=___.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F,准线为1,弦AB 过点F 且中点为M ﹐过点F,M 分别作AB 的垂线交l 于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|·|MQ|=____.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(cos )c b A A =+(I)求角B 的大小;(II)若a=4,且BC求ΔABC 的周长.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 在AB 上,AE=2EB=2,且DE ⊥AB.以DE 为折痕把ΔADE 折起,使点A 到达点F 的位置,且∠FEB=60°.(I)求证:平面BFC ⊥平面BCDE ﹔(II)若直线DF 与平面BCDE,求二面角E-DF-C 的正弦值.19.(本小题满分12分)为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(I)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(I)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.ΔABF2的周长为,且椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(I)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e ax-x-1,且f(x)≥0.(I)求a﹔(IⅡ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x)=k成立?若存在,求出x的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为2x ty t=-+⎧⎪⎨⎪=⎩(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(I)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(-2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.。
重庆南开中学2020学年度高2020级高三数学理科半期考试卷
重庆南开中学2020学年度高2020级半期考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知函数xx f -=21)(，其图象是下图中的 （ ）2．不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是 （ ）A ．}21|{<<-x xB ．φC ．RD ．}12|{-<>x x x 或3．若1||||,>+∈b a R b a ，则使成立的充分不必要条件是（ ） A ．1||≥+b a B ．21||21||≥≥b a 且C ．1||≥aD ．b<－14．若△ABC 的内角A 满足sinA+cosA>0, tanA －sinA<0，则角A 的取值范围是 （ ）A ．)4,0(π B ．)1,0[ C ．)43,2(ππ D ．),4(ππ5．已知b a ,是非零向量且满足b a b a b a b a 与，则⊥-⊥-)2(,)2(的夹角是 （ ）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 6．数列1，n ++++++ΛΛ211,,3211,211的前n 项和为 （ ）A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n7．在直线y=－2上有一点P ，它到点A （－3，1）和点B （5，－1）的距离之和最小，则点P 的坐标是 （ ）A ．（3，－2）B ．（1，－2）C ．（419，－2） D ．（9，－2） 8．实数x ，y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥x y y x y x y ω，则的取值范围是（ ）A ．[－1，31] B ．]31,21[-C ．),21[+∞-D ．)1,21[-9．对于0<a<1，给出下列四个不等式：（1）)11(log )1(log aa a a +<+ （2）a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是 （ ）A ．（1）和（3）B ．（1）和（4）C ．（2）和（3）D ．（2）和（4）10．已知xy y x N y x ，则，且19939319*,≤+∈的最大值是 （ ）A ．559B ．560C ．561D ．562二、填空题（每题4分，共24分）11．函数)23(log 221+-=x x y 的递增区间为12．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项是1，公比为3的等比数列，则a n = 13．函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点，则m 的取值范围是14．已知圆的方程为1)1(22=++y x ，如果直线0=++a y x 与该圆无公共点，那么实数a 的取值范围是15．方程6log 71)sin(21<<--=x x 在π的条件下解有 个.16．点O 在△ABC 内部，且满足22=++，则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比为三、解答题（共76分） 17．（13分）解关于x 的不等式：)0(,113)1(><--+a x x a18．（13分）圆822=+y x 内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.（1）求当43πα=时，弦AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.19．（13分）已知△ABC 的面积为3， 且满足60≤⋅≤AC AB ，设AC AB 和的夹角θ. （1）求θ的取值范围； （2）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值.20．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）（n *N ∈）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设n nn s b 2=，如果对一切正整数n 都有t b n ≤，求t 的最小值.21．（12分）在沙坪坝交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离m （米）与车速v （千米/小时）须遵守的关系是225001kv m ≥（其中k （米）是车身长，常数），同时规定.2k m ≥ （1）当m=2k时，求机动车的速度变化范围； （2）设机动车每小时流量2250011000kv m m k v P =+=，此时，应规定怎样的车速，每小时的机动车流量P 最大？22．（12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+，（1）求a 2，a 3的值；（2）是否存在常数μλ,，使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列，若存在，求出μλ,的值；若不存在，说明理由；（3）设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=-Λ3211,21， 证明：当.35)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时，参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1—5 BADCB 6—10 BADDC 选解：10．22)21993()29319(9319*,≤+≤⋅⇒∈y x y x N y x 561*,561]93195.996[93195.99622≤⇒∈=⨯⨯≤∴xy N y x xy ，又，而而561=3×11×17=33×17=51×11，20,100≤≤y x⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴115111511733y x y x y x ，经检验或满足题意，故5611151=⨯=xy 二、填空题（每小题4分，共16分） 11．（2，4） 12．)1,(-∞ 13．)13(21-n14．),21()21,(+∞+--∞Y 15．64 16．5:4三、解答题（共74分） 17．解：0)1)(2(012113)1(<--⇔<--⇔<--+x ax x ax x x a①当，时，1220><<a a 不等式的解为)2,1(ax ∈ ②当a=2时，a 2=1，不等式的解集为φ； ③当a>2时，a 2<1，不等式的解为)1,2(ax ∈时综上，不等式的解为：①0<a<2时，)2,1(a x ∈；②a=2时，φ∈x ；③a>2时，)1,2(ax ∈.18．解：（1）当43πα=时，直线AB 方程为：01=-+y x ，圆心到直线AB 的距离为222|100|=-+，∴弦AB 的长为：30)22(822=-（2）当弦AB 被点P 平分时，PO ⊥AB ，直线l 的斜率为21，其方程为052=+-y x 19．解：（1）设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 则由，，可得，1cot 06cos 03sin 21≤≤≤≤=θθθbc bc ∴]2,4[ππθ∈ （2）θθπθθπθ2cos 3)]22cos(1[2cos 3)4(sin 2)(2-+-=-+=f .1)32sin(212cos 32sin 2cos 3)2sin 1(+-=+-=-+=πθθθθθ31)32sin(22],32,6[32]2,4[≤+-≤∴∈-∈πθπππθππθ，Θ 即当.2)(4;3)(125min max ====θπθθπθf f 时，当时，20．解：（1）由 )1()1( )1(11n n S a n n n s na n n n n -+=-⇒++=-+两式作差得：2n;2,2 2111=∴=+=+=++n n n n n a a a a n na na ，又即 （2）由（1）易得n n n n n n n S b n n S 2)1(2)1(+==⇒+=， ∴112)2)(1(-+-+=-n n n n n b b ∴b 1<b 2=b 3>b 4>……，∴b n 最大值23,32即b b ，对一切正整数n 都有，t b n ≤即t 大于或等于b n 的最大值，∴t 的最小值是23. 21．解（1）2252500122≤∴≥=Θv kv k m ，故当22502≤<=v km 时，（千米/小时） （2）当231000225k vP v =≤时，P 是v 的一次函数，v=225，P 最大为k3250000，当k v v k kvk v P v 25000|25001|1000250010002252≤+=+=>时，， 当且仅当v=50时，P 最大为k25000， kk 325000025000>Θ∴当v=50（千米/小时）时，每小时机动车流量P 最大. 22．解：（1）10,432==a a（2）设)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为，即 μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故 ⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得∴)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=++可化为 又1,1 01121=-=≠+-μλ故存在a 使得数列 }{2n n a n μλ++是等比数列 （3）证明：由（1）得12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a ∴n n a n n -+=-212故21121n n a b n n n =-+=-∵122122144441222+--=-<==n n n n n b n ∴)122122()7252()5232(12321+--++-+-+<++++=≥n n L b L b b b S n n n 时，35122321<+-+=n 现证)2()12)(1(6≥++>n n n nS n当n=2时，5445545312)12)(1(64541121>=⨯=++=+=+=，，而n n n b b S n ， 故n=2时不等式成立， 当111)1(1132+-=+>=≥n n n n n b n n 时，由得 1261 6121111 )111()4131()3121()211(321+>>++=+-=+-+Λ+-+-+->+Λ+++=n n n n n n n b b b b S n n 得，且由∵)12)(1(61++>+>n n n n n S n。
重庆市南开中学高三数学3月月考试卷 理(1).doc
重庆南开中学高高三3月考试卷数 学（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间1．第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在机读卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上．3．考试结束，监考人员将机读卡和答题卷一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在机读卡上． 1．233lim9x x x →-+=-（ ）A ．13B ．0C ．16D ．16-2．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．424．过抛弧线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．若函数812 (,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则使01()4f x >的0x 的取值范围为 （ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(,2)(3,)-∞+∞C ．(,2](4,)-∞+∞ D ．(,3)(4,)-∞+∞6．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2),(1)()0f x f x x f x '=--<，设(0)a f =，1()2b f = ，(3)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．已知D 是不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为（ ）A.4πB.2π3C. 4π 3D. 2π8．已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈我们把使乘积123n a a a a 为整数的数n 叫做“成功数”，则在区间(1,2011)内的所有成功数的和为 （ ） A ．1024 B ． C ． D ．9．若x y R +∈、≤a 的最小值是 （ ）A. 1 D. 12+10．如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，,,AD BC AD AB PA ⊥=∥32,,2AD BC ==60,ADC O ∠=为四棱锥P ABCD -内一点，1,AO =若DO 与平面PCD 成角最小角为α，则α=（ ）A. 15B. 30C. 45D.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）．11．已知(0,1),(1,1)a b ==，且()a nb a +⊥，则n = ；12．在等比数列}{n a 中，12341,2,a a a a +=+=，则5678a a a a +++= ；13．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,2a A B ==，则cos B = ；14．在体积的球的表面上有,,A B C 三点，1,,AB BC A C ==两点的球面距离为，则球心到平面ABC 的距离为 ； 15．已知过点(,0)(2)A t t >且倾斜角为60的直线与双曲线22:145x y C -=交于,M N 两点，交双曲线C 的右准线于点P ，满足3PA AN =，则t = ．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．已知函数2()sin(2)cos .6f x x x π=-+（1）若()1,f θ=求sin cos θθ的值； （2）求函数()f x 的单调区间．17．己知21(1,),(1,)a x m b m x=-+=+，当0m >时，求使不等式0a b >成立的x 的取值范围．18．如图所示， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60,2,ABC PA AB N ∠===为PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ． （2）求二面角B AN C --的正切值．19．（本小题12分）已知1x =为函数2()(1)xf x x ax e =-+的一个极值点． （1）求a 及函数)(x f 的单调区间；（2）若对于任意2[2,2],[1,2],()22x t f x t mt ∈-∈≥-+恒成立，求m 取值范围．本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点，P 为椭圆C 上的动点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA PB 与的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；（3）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若(1)3OP OM λλ=≤<，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．（本小题12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)4,2(2,)2n n n n a S na n n N -==+-≥∈． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：2*114,(1)2()n n n b b b n b n N +==---∈且，求证：*(2,)n n b a n n N >≥∈；（3）求证：*23344511111(1)(1)(1)(1)2,).n n n n N b b b b b b b b +++++<≥∈重庆南开中学高高三月考（3月）数学参考答案 （理科）一、选择题：DCDBA BBCCA二、填空题： 11．－1 12．12 13．4514．3215．3 三、解答题：16．解：(1)1cos 2()sin 2coscos 2sin662xf x x x ππ+=-+122x=+ ………………………………………………5分 由,1)(=θf 可得sin 2θ=所以1sin cos sin 22θθθ==. …………9分(2)当222,,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即[,],44x k k k Z ππππ∈-++∈时，)(x f 单调递增．所以，函数)(x f 的单调增区间是[,],.44k k k Z ππππ-++∈ (13)分17．解：22(1)(1)()(1)0x m x m x m x x m a b m x x x+-++--=-++==> ………………4分∴当0<m <l 时，(0,)(1,)x m ∈+∞；…………………………7分当m =l 时，(0,1)(1,)x ∈+∞； ………………………………10分当m >l 时，(0,1)(,)x m ∈+∞⋅ ………………………………13分18．解：(1) ABCD BD AC PA ABCD BD PA BD PAC BD ABCD PA AC A ⇒⊥⎫⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎭是菱形平面平面平面 ………5分(2)由(l)可知，BO ⊥平面P AC ，故在平面P AC 内，作OM ⊥A ， 连结BM （如图），则∠BMO 为二面角B AN C --的平 面角．在Rt BMO ∆中，易知22,3==OM AOtan BMO ∴∠=即二面角B AN C --………………13分19．解：(1)2()[(2)(1)](1)(1),xxf x x a x a e x x a e '=+-+-=++- ……………………2分由(1)0f '=得：,2=a (3)分()(,1),(1,)f x ∴-∞-+∞在上单调递增，)(x f 在(－1,1)上单调递减 (6)分(2))2,2(-∈x 时，)(x f 最小值为0 ………………………………8分2220t mt ∴-+≤对]2,1[∈t 恒成立，分离参数得：tt m 12+≥易知：]2,1[∈t 时,2312≤+t t 23≥∴m ………………………12分 ：(1)由题意可得圆的方程为 ,222b y x =+直线02=+-y x 与圆相切，,22b d ==∴即,2=b又c e a==即222,,a a b c ==+得,1,3==c a 所以椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………4分(2)设),0)(,(000=/y y x P ),0,3(),0,3(B A -则,1232020=+y x 即,3222020x y -=则1k =2k =即22200012222000222(3)233.3333x x y k k x x x --====---- 12k k ∴的值为2.3- ………………………………………………8分(3)设(,)M x y ，其中[x ∈由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得,)(3632222222222λ=++=+-+y x x yx x x 整理得,63)13(2222=+-y x λλ其中[x ∈ ………………10分①当33=λ时，化简得,62=y 所以点M 的轨迹方程为),33(6≤≤-±=x y轨迹是两条平行于x 轴的线段；…………………………………………11分 ②当133<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足33≤≤-x的部分．…………………………………………………………12分21．解：(1)当3≥n 时，(1)2,2n n n n S na -=+-11(1)(2)(1)2,2n n n n S n a ----=-+- 可得：11(1)2,2n n n n a na n a --=---⨯*11(3,)n n a a n n N -∴-=≥∈⋅.3,1222221=∴-+=+a a a a 可得，*4,(1)1(2,)n n a n n n N =⎧=⎨+⋅≥∈⎩……………4分 (2)1当n =2时，,31422212a b b =>=-=不等式成立．2假设当*(2,)n k k k N =≥∈时，不等式成立，即.1+>k b k 那么，当1+=k n 时，21(1)2(1)2222(1)222,k k k k k k b b k b b b k b k k k +=---=-+->->+-=≥+所以当n =k +l 时，不等式也成立．根据(1),(2)可知，当*2,n n N ≥∈时，.n n b a >………………8分(3)设1()ln(1),()10,11x f x x x f x x x-'=+-=-=<++ )(x f ∴在),0(+∞上单调递减，.)1ln(),0()(x x f x f <+∴<∴ 当*2,n n N ≥∈时，,1111+=<n a b n n ,2111)2)(1(11)11ln(11+-+=++<<+∴++n n n n b b b b n n n n 23341111ln(1)ln(1)ln(1)n n b b b b b b +∴++++++31213121114131<+-=+-+++-<n n n .)11()11)(11(314332e b b b b b b n n <+++∴+ ……………………………12分。
精品解析：重庆南开中学2020-2021学年下学期3月月考八年级数学试题(解析版)
重庆南开中学2020－2021学年度下学期3月月考数学试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1. 下列各式是分式的是（ ） A. 2a b+ B. 219a bc C. xπ D. 22y x 【答案】D【解析】【分析】根据分式的定义对各选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A 、2a b+是整式，故此选项不符合题意；B 、219a bc 是整式，故此选项不符合题意；C 、xπ是整式，故此选项不符合题意；D 、22y x 是分式，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了分式的判断，熟练掌握分式的定义是解题的关键．2. 若分式211a -有意义，则a 的取值范围是（ ）A. 1a =且1a =-B. 1a ≠且1a ≠-C. 1a ≠D. 1a ≥【答案】B【解析】【分析】令分母不为0，得到关于a 的不等式，解不等式即可． 【详解】解：因为分式211a -有意义，所以210a -≠，所以21a ≠，则1a ≠且1a ≠-，故选B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是令分母不为0，考查了学生对概念的理解与应用． 3. 下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）A. 22=(2)mn mn mn n ++B. 22(+)()x y x y x y -=-C. 2245=(2)1x x x ++++D. 3231(1)a a a a+=+ 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的概念分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A 、22=(2)mn mn mn n ++，是因式分解，故此选项符合题意； B 、22(+)()x y x y x y -=-，是整式乘法，故此选不项符合题意；C 、2245=(2)1x x x ++++，不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、3231(1)a a a a+=+，不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的判断，掌握因式分解的概念是解题的关键．4. 下列说法中不正确的是（ ）A. 平行四边形的对角相等B. 菱形的邻边相等C. 平行四边形的对角线互相平分D. 菱形的对角线互相垂直且相等 【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形与菱形的性质分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A 、平行四边形的对角相等，此说法正确，故此选项不符合题意；B 、菱形的四条边都相等，故此选项说法正确，不符合题意；C 、平行四边形的对角线互相平分，此说法正确，故此选项不符合题意；D 、菱形的对角线互相垂直平分，故此选项说法错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了平行四边形与菱形的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键．5. 多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是（ ）A. 2(3)x x y +B. (3)x x y +C. (3)xy x y +D. (3)x x y -【答案】B【解析】 【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论．【详解】解：∵322+6+9x x y xy ()2269x x xy y =++()23x x y =+，339x y xy - ()229xy x y =-()()33xy x y x y =+-，∴多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是(3)x x y +． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键． 6. 若24(2)25xk x --+是一个完全平方式，则k 的值为（ ） A. 18B. 8C. 18-或22D. 8-或12 【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值．【详解】解：∵24(2)25xk x --+是一个完全平方式，∴k -2=±20， 解得：k =-18或k =22，故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7. 在3257x x x k +++中，若有一个因式为(2)x +，则k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 6D. 6- 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的意义可设()()322572x x x k x x mx n +++=+++，再利用整式乘法计算()()22x x mx n +++后得()()32222x m x n m x n +++++，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．【详解】解：设()()322572x x x k x x mx n +++=+++， ∵()()22x x mx n +++ 322222x mx nx x mx n =+++++()()32222x m x n m x n =+++++3257x x x k =+++，∴25m ，27n m +=， 2k n =，解得3m =，1n =，2k =．故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．8. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连接EF ．若=23EF ，8BD =，则菱形ABCD 的周长为（ ）A. 27B. 16C. 7D. 32【答案】C【解析】 【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC ，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可计算出菱形ABCD 的周长．【详解】解：∵E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，EF ＝23， ∴AC ＝2EF ＝43，∵四边形ABCD 是菱形，8BD =，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝23，OB ＝12BD ＝4， ∴AB ＝22OA OB +＝27，∴菱形ABCD 的周长为：274⨯＝87．故选：C ．【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9. 如图，菱形ABCD 的边长为9，面积为183，P 、E 分别为线段BD 、BC 上的动点，则PE PC +的最小值为（ ）3 B. 23 C. 33 D. 9【答案】B【解析】 【分析】过A 作AE BC ⊥于,E 交BD 于,P 由菱形在轴对称性质可得：,PC PA = 可得,PC PE PA PE AE +=+= 此时PE PC +最短，再利用菱形的面积公式可得答案．【详解】解：过A 作AE BC ⊥于,E 交BD 于,P由菱形在轴对称性质可得：,PC PA =,PC PE PA PE AE ∴+=+=∴ 此时PE PC +最短，菱形ABCD 的边长为9，面积为183，183,BC AE ∴=9183,AE ∴=23,AE ∴=所以PE PC +的最小值是2 3.故选：.B【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，菱形的性质，利用轴对称求解线段和的最小值，掌握以上知识是解题的关键．10. 将若干个小菱形按如图的规律排列：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3个小菱形，第（3）个图形有6个小菱形，…，则第（20）个图形有（ ）个小菱形，A. 190B. 200C. 210D. 220【答案】C【解析】【分析】仔细观察图形知：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3＝1＋2个，第（3）个图形有6＝1＋2＋3个，…由此得到规律求得第（20）个图形中小菱形的个数即可．【详解】解：第（1）个图形有1（个）菱形，第（2）个图形有3＝1＋2（个），第（3）个图形有6＝1＋2＋3（个），第（4）个图形有10＝1＋2＋3＋4（个），…第n 个图形有1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1)2n n + （个）小菱形， ∴第（20）个图形有20212102⨯=（个）小菱形． 故选：C ．【点睛】本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．11. 甲、乙两车从A 地出发匀速驶向B 地．甲先出发1小时后，乙再沿相同路线出发．在整个行驶过程中，甲、乙两车之间的距离s （km ）与甲车行驶的时间t （h ）的函数关系如图所示，给出下列说法：①甲的速度为80km /h ；②乙的速度为100km /h ；③甲车从A 地到B 地，共用时14h ；④AB 两地相距1200km ；⑤当甲车出发经过10h 与3134h ，甲乙两车相距100km ．其中说法正确的个数为（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】 【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．【详解】解：①根据乙出发前两人相距80km 可得甲的速度为：80801=（km/h ），故①正确； ②∵()(51)80v v -⨯-=乙甲（km ）∴(80)(51)80v -⨯-=乙（km ）∴=100v 乙（km/h ）,故②正确；③ 乙车到达B 地行驶的时间为：160(51)(10080)+-=-12小时， ∴A 、B 两地的距离为：S=12=1200v ⨯乙(km) ∴1200===1580S t v 甲甲(h)，故③错误； ④由③知，AB 两地相距1200km ，故④正确；⑤甲车出发经过10h 时，甲乙两车相距：()(105)(10080)5100v v -⨯-=-⨯=乙甲（km ）; 甲车出发经过3134h 时，甲乙两车相距：316080[13(58)]1004-⨯-+=（km ），故⑤正确， 所以，正确的说法有：①②④⑤共4个，故选：C【点睛】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．12. 已知关于x 的不等式组251333x x x a +⎧>+⎪⎨⎪≥-⎩有解，且关于y 的分式方程9433y a a y y +-=---有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A【解析】【分析】根据分式方程的解为正整数即可得出a ＞32-，且a ≠3，根据不等式组有解，即可得a ＜9，找出所有符合条件的正整数，a 的个数为2． 【详解】解：解方程9433y a a y y +-=---得：233a y +=， ∵分式方程的解为正整数，∴2a ＋3＞0，即a ＞－32， 又y ≠3， ∴233a +≠3，即a ≠3， 则a ＞32-，且a ≠3，251333x x x a +⎧>+⎪⎨⎪≥-⎩①②， 解不等式①，得x ＜2，解不等式②，得x ≥33a -， ∵此不等式组有解， ∴33a -＜2， 解得a ＜9，综上，a 的取值范围是32-＜a ＜9，且a ≠3， 则符合题意的整数a 的值有0，6共2个，故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为正整数结合不等式组有解，找出32-＜a ＜9，且a ≠3是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13. 当x =___________时，分式211x x -+的值为0 【答案】12． 【解析】【分析】根据分式的值为0的条件求解即可． 【详解】解：∵分式211x x -+的值为0 ∴21010x x -=⎧⎨+≠⎩ 解得，12x =， ∴当12x =时，分式211x x -+的值为0 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了分式值为0的条件，正确把握相关性质是解答此题的关键．14. 若关于x 的分式方程2111a x x =+--有增根，则a ＝__________． 【答案】2【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值． 【详解】解：2111a x x =+--， 去分母，得 a ＝2＋x −1，∵分式方程有增根，∴x −1＝0，解得x ＝1，将x ＝1代入整式方程，得a ＝2，故答案为：2．【点睛】此题考查了分式方程无解问题，解答此类问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②确定增根；③把增根代入整式方程，计算后即可求得相关字母的值．15. 多项式2222627a ab b b -+-+的最小值为________．【答案】18．【解析】【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．【详解】解：2222627a ab b b -+-+，=222)((269)18a ab b b b -+-+++，=22()(3)18a b b -+-+，∵22()(3)00a b b --≥≥，， ∴22()(3)18a b b -+-+的最小值为18；故答案为：18．【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．16. 2021年重庆“体考”预计在四月份进行，某班为了解同学们每周参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据：锻炼时间（小时） 4 5 6 7人数 1 4 3 2则这10名同学每周参加体育锻炼时间的平均数是________小时．【答案】5.6【解析】【分析】根据平均数的计算方法列式计算，即可得出结果．【详解】解：这10名同学每周参加体育锻炼时间的平均数415463725.610x⨯+⨯+⨯+⨯==（小时），故答案为：5.6．【点睛】本题考查了平均数，掌握平均数的定义及计算方法是解题的关键．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，B点坐标为（10，4），将矩形沿直线EF翻折，使得点A正好与BC边上的点D（2，4）重合，则点B的对应点G的纵坐标为_______．【答案】6.4【解析】【分析】根据折叠得到的相等的线段及勾股定理可得OE，GE的长，进而做GM⊥OC于点M，可得GM的长，及OM的长，根据点G所在象限可得相应坐标．【详解】解：∵四边形OABC为矩形，B点坐标为（10，4），∴OC=AB=4，OA=BC=10，∠B=90°，∵D点坐标为（2，4），∴CD=2，∴DB=8由折叠可得GD=BA=4，BE=GE，∠DGE=∠B=90°，设DE为x，则GE=8-x，在Rt△GDE中，∵DE2=GD2+GE2，∴x2=（8-x）2+42，∴x =5，∴DE =5，GE =3，过G 点作GM ⊥DE 于M ， ∵1122⨯=⨯GM DE DG EG ∴1154322⨯=⨯⨯GM ∴ 2.4=GM∴点B 的对应点G 的纵坐标为：4+2.4=6.4．故答案为：6.4．【点睛】本题考查了折叠问题的相关知识以及矩形的性质，根据折叠前后的对应线段相等及勾股定理得到GM 的值是解决本题的突破点．18. 为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为_________套．【答案】835【解析】【分析】设甲类包裹有x 个，乙类包裹有y 个，丙类包裹有z 个，根据题意列出x 、y 、z 的三元一次方程组，用z 表示x 、y ，进而由x 、y 的取值范围列出z 的不等式组求得z 的取值范围，再根据x 、y 与z 的关系式和x 、y 为整数求得z 的整数值，从而求出x 、y 的值，再进行计算即可．【详解】解：设甲类包裹有x 个，乙类包裹有y 个，丙类包裹有z 个，根据题意，得251620233010861060x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② ， ①－②×2，得5+8=210x z ，解得8=425z x -． 将8=425z x -代入②，得()21082861060y z z ++=-， 解得5=80+4z y ． ∴8=4255=80+4z x z y ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩． ∵x ＜28，y ＜106， ∴842285580+1064z z ⎧-<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩， 解得：708＜z ＜1045． ∵z 为整数，∴z 的取值范围为：9≤z ≤20的整数．又∵x 、y 均为整数，∴8z 与5z 既为5的倍数，又为4的倍数，∴z ＝20．当z ＝20时，8=42105z x -=，5=80+1054z y =， ∴所有包裹里尺规套装的总套数为： 4107105320835⨯+⨯+⨯=（套）．故答案：835．【点睛】本题主要考查了三元一次方程组及一元一次不等式组的应用，关键是正确列出方程组与不等式组，正确求不定方程的特殊解．三、计算题，（本大题共2个小题，19题12分，20题10分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．19. 因式分解：（1）224m m -（2）2()9()a x y y x -+-（3）4268x x -+（4）22()(8)16x x x x ++-+【答案】(1)2(2)m m -；(2)()(3)(3)x y a a --+；(3)2(2)(2)(2)x x x --+； (4) 22(4)x x +-．【解析】【分析】（1）用提公因式法分解因式．（2）先提取公因式，然后用平方差公式分解因式．（3）先用十字相乘法，然后用平方差公式分解因式．（4）用换元法，把2x x +看做t ，原式写成2816t t -+的形式，用完全平方法分解因式，再把t 换成2x x +即可．【详解】（1）224m m -2(2)m m =-．（2）2()9()a x y y x -+-2()9()a x y x y =---2()(9)x y a =--()(3)(3)x y a a =--+．（3）4268x x -+22(2)(4)x x =--2(2)(2)(2)x x x =--+．（4）22()(8)16x x x x ++-+222()8()16x x x x =+-++22(4)x x =+-．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，十字相乘法分解因式，换元法分解因式，运用适当的方法进行因式分解是解题关键．20. 解方程：（1）651(1)x x x x +=++（2）242211x x x x +=-+ 【答案】（1）1x =；（2）该方程无解．【解析】【分析】（1）先将方程两边同时乘以最简公分母，得到整式方程，解整式方程后检验即可；（2）先去分母，两边同时乘以()21x-，得到整式方程，解整式方程后检验，发现原分式方程的分母为0，因此得出该分式方程无解． 【详解】解：（1）()6511x x x x +=++ 方程两边同时乘以()1x x +，得：65x x =+移项得：65x x -=合并同类项得：55x =系数化为1得：1x =检验：当1x =时，()10x x +≠，所以 1x =是该方程的解．（2）242211x x x x +=-+ 方程两边同时乘以()21x -，得：()()242121x x x x +-=-去括号得：2242222x x x x +-=-移项，合并同类项得：22x =-解得1x =-检验：当1x =-时，210x -=，所以 1x =-不是该方程得解，所以该方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的第一步是将它化为整式方程，因此要先确定最简公分母，化为整式方程后再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解整式方程，最后不要忘记检验，因此解题关键是将方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程求解，考查了学生对解分式方程步骤的掌握与应用．四、解答题：（本大题共5个小题，21题8分，21－24题每小题10分，25－26题每小题12分，共62分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．21. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD AB >．（1）用尺规作图的方法，作出AB 边的中垂线，交AB 边于点E 、BC 边于点F （要求：保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；（2）连接AF ，若140BAD ∠=︒，求DAF ∠的度数．【答案】(1)画图见解析，(2)100︒；【解析】【分析】(1)按照垂直平分线的作法作图即可；(2)根据平行四边形性质可求∠B ，根据垂直平分线性质可求∠F AB ，进而可求DAF ∠．【详解】解：(1)如图所示，直线EF 即所求．(2) ∵AD ∥BC ，∴∠B +BAD ∠=180°，∵140BAD ∠=︒，∴∠B =40°，∵EF 垂直平分AB ，∴BF=AF ，∴∠BAF =∠B =40°，14040100DAF ∠=︒-︒=︒；【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，平行四边形的性质，解题关键是准确画图，熟练运用它们的性质进行推理计算．22. 小融同学根据学习函数的经验，对函数|1|y m x x n =-++的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息： x … 3-2- 1- 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1- 2- a 4 …请按要求完成下列各小题：（1）该函数的解析式为 ，a 的值为 ；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）结合函数的图象，解决下列问题：①写出该函数的一条性质： ；②如图，在同一坐标系中是一次函数1y x =-的图象，根据图象回答，当|1|1m x x n x -++<-时，自变量x 的取值范围为 ．【答案】（1）213y x x =-+-，1a =（2）详见解析；（3）①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②x 的取值范围：0＜x ＜2．【解析】【分析】（1）将x=-3，y=2，x=-2，y=1代入函数|1|y m x x n =-++求出m 、n 的值即可求得函数的解析式，将x=2代入所求函数解析式即可求得a ；（2）先描出各点，再顺次连接各点即可；（3）①根据图象即可求解（答案不唯一）；②根据图象可知|1|1m x x n x -++<-时即为函数213y x x =-+-的图象在函数y=x －1图象下方部分x 的取值范围．【详解】（1）将x=-3，y=2，x=-2，y=1代入函数|1|y m x x n =-++可得：2=3131212m n m n ⎧---+⎪⎨=---+⎪⎩，整理得：5=433m n m n +⎧⎨=+⎩， 解得：=23m n ⎧⎨=-⎩ ∴函数的解析式为：213y x x =-+-将x=2代入213y x x =-+-可得：221231y =⨯-+-=，即1a =； （2）该函数的图象如图所示：（3）①由函数图象可知：当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故答案为：当x ＞1时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）②由（2可知：|1|1m x x n x -++<-时，即为函数213y x x =-+-的图象在函数y=x －1图象下方部分 ∴自变量x 的取值范围为：0＜x ＜2．【点睛】本题考查一次函数图象图象及其性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想，正确画出函数图象是解题的关键．23. 若一个正整数a 可以表示为(1)(2)a b b =+-，其中b 为大于2的正整数，则称a 为“十字数”，b 为a 的“十字点”．例如28(61)(62)74=+⨯-=⨯．（1）“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；（2）若b 是a 的“十字点”，且a 能被(1)b -整除，其中b 为大于2的正整数，求a 的值；（3）m 的“十字点”为p ，n 的“十字点”为q ，当18m n -=时，求p q +的值．【答案】（1）40，12；（2）4；（3）10【解析】【分析】（1）根据十字点的定义(1)(2)a b b =+-计算即可；（2）先根据(1)(2)a b b =+-得出()()2(12)(11)=b 1+b 12=-+-----a b b ，再根据a 能被(1)b -整除，得出b 的值，即可求出a 的值；（3）根据已知得出m (p 1)(p 2)=+-（p ＞2且为正整数），n (q 1)(q 2)=+-（q ＞2且为正整数），再根据18m n -=得出()()p q-1p q =18+-，从而得出163p q p q +-=⎧⎨-=⎩ 或192p q p q +-=⎧⎨-=⎩，解之即可得出a 、b ，继而得出答案．【详解】解：（1）“十字点”为7的“十字数”(71)(72)=85=40=+-⨯a ，∵130(121)(122)=1310=+-⨯，∴130的“十字点”为12；（2）∵b 是a 的“十字点”，∴(1)(2)a b b =+-（b ＞2且为正整数），∴()()2(12)(11)=b 1+b 12=-+-----a b b ，∵a 能被(1)b -整除，∴(1)b -能整除2，∴b -1=1或b -1=2，∵b ＞2，∴b =3，∴(31)(32)=4=+-a ；（3）∵m 的“十字点”为p ，∴m (p 1)(p 2)=+-（p ＞2且为正整数），∵n 的“十字点”为q ，∴n (q 1)(q 2)=+-（q ＞2且为正整数），∵18m n -=，∴(p 1)(p 2)(q 1)(q 2)=18+--+-，∴22p -p-2-q +q+2=18，∴(p q)(p q)(p-q)=18+--，∴()()p q-1p q =18+-，∵180＞-=m n ，p ＞2，q ＞2且p 、q 为正整数；∴p ＞q ，p+q ＞4；∴p+q -1＞3；∵18=3×6=2×9，∴163p q p q +-=⎧⎨-=⎩ 或192p q p q +-=⎧⎨-=⎩； 解得：52p q =⎧⎨=⎩（不合题意舍去），64p q =⎧⎨=⎩； ∴=10+p q【点睛】本题考查因式分解的应用；能够理解题意，根据题中所给条件将数进行正确的拆解是解题的关键． 24. 开学初，南开中学在某旗舰店购进一定数量的连通管与机械天平，购买连通管花费了1200元，购买机械天平花费了900元，且购买连通管数量是购买机械天平数量的2倍，已知购买一个机械天平比购买一个连通管多花10元．（1）求购买一个连通管、一个机械天平各需多少元？（请列分式方程作答）（2）学期末，为了补充实验器材的损耗，学校决定再次购进连通管与机械天平共50个，恰逢原旗舰店对两种商品的售价进行调整，其中连通管售价比第一次购买时提高了10%，机械天平按第一次购买时售价的9折出售，若此次购买连通管与机械天平的总费用不超过1262元，则此次最多可购买多少个机械天平？【答案】（1）购买连通管需20元，一个机械天平需30元；（2）南开中学此次最多可以购买32个机械天平．【解析】【分析】（1）设购买连通管需x 元，一个机械天平需(x +10)元，根据“购买连通管数量是购买机械天平数量的2倍”列出分式方程即可求出结论；（2）设南开中学此次最多购买a 个机械天平，则购买（50-a ）个连通管，根据“连通管售价比第一次购买时提高了10%，机械天平按第一次购买时售价的9折出售，若此次购买连通管与机械天平的总费用不超过1262元”列出一元一次不等式即可求出结论．详解】解：（1）设购买连通管需x 元，一个机械天平需(x +10)元，根据题意得，1200900210x x =⨯+ 解得，x =20经检验，x =20是原方程的根，∴x +10=20+10=30答：购买连通管需20元，一个机械天平需30元；（2）设南开中学此次购买a 个机械天平，则购买（50-a ）个连通管，根据题意得，20(1+10%)(50)+300.91262a a ⨯-⨯≤解得：2325a ≤ ∵a 是整数，∴a 的最大值为32，答：南开中学此次最多可以购买32个机械天平．【点睛】此题考查 的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解答此题的关键．25. 如图1，已知直线1:5l y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线l 2与y 轴交于点(0,1)C -，与直线l 1交于点D （2，t ）．（1）求直线l 2的解析式；（2）如图2，若点P 在直线l 1上，过点P 作//PQ y 轴交l 2于点Q ，交x 轴于点G ，使2PCGQCG S S ∆∆=，求此时P 点的坐标；（3）将直线1:5l y x =-+向左平移10个单位得到直线l 3交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点，过点F 作直线4//l x 轴．在直线l 4上是否存在动点M ，使得MCE 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21y x =-，（2）(4,9)P -；（3）11(,1)5M -或M ，(M 或(0,1)M 【解析】【分析】（1）把点D 坐标代入直线1:5l y x =-+求出t 的值，运用待定系数法求出l 2即可；（2）根据三角形面积公式求解即可；（3）设(,1)M a 则MC ME CE ====分ME MC =，CE MC =，ME CE =三种情况列式求解即可．【详解】解：（1）∵D （2，t ）在直线1:5l y x =-+∴:253t -+=，∴D （2，3）设直线2l 的解析式为y kx b =+，将点C ，D 代入得，123b k b =-⎧⎨+=⎩ 解得，21k b =⎧⎨=-⎩所以，线2l 的解析式为21y x =-（2）设(,5)P a a -∵PQ//x 轴，∴G(a,0)，Q(a ，2a-1) ∵1||2PCG S PG a ∆=，1||2QCG S OQ a ∆=且2PCG QCG S S ∆∆= ∴2PG QG =∴5|21|a a -=-解得，4a =-，2a =（舍去）∴(4,9)P -（3）存在，理由如下：对于直线1:5l y x =-+当0x =时，5y =；当0y =时，5x =∴(5,0),(0,5)A B ,∴(5,0),(0,5)E N --如图，∵31//l l∴3:5l y x =--又∵(0,1)C -∴(0,1)F∴4l 的解析式为:1y =设(,1)M a 则222222222,(5)1,51MC MF FC a ME a CE =+=+=++=+当MCE ∆为等腰三角形，有：①ME MC =2222(5)12,a a ++=+ 解得，115a =-，即11(,1)5M - ②CE MC =2222251a ++解得：22a =或22a =-即(22,1)M ，(22,1)M -③ME CE =时，2222(5)151a ++=+解得，0a =或10a =-（舍去）即(0,1)M综上，点M 的坐标为：11(,1)5M -或(22,1)M ，(22,1)M -或(0,1)M ． 【点睛】本题为一次函数综合运用题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质等知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．26. 在Rt △ABC 中，90ABC ∠=︒，以AB 为边作Rt ABD △，90ADB ∠=︒，30ABD ∠=︒，AC 与BD 于点E ．（1）如图1，若30CAB ∠=︒，23AD =CE 的长度；（2）如图2，若45CAB ∠=︒，延长DA 至点F ，连接CF 交BD 于点H ，若点H 为CF 的中点，证明12DH AF =； （3）如图3，若60CAB ∠=︒，2AB =，将ADB △绕点A 逆时针旋转得到△AMN ，连接CN ，取CN 的中点G ，连接BG ．在△AMN 旋转过程中，当12BG CN =最大时，直接写出△ANC 的面积． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，由∠EBA=∠EAB=30°，AD=3得EA=EB ，AF=FB ，AB=3设BC=x ，则AC=2x ，根据勾股定理，得2222(2)3AC BC x x x --=，解得x=4，证明△CBE 是等边三角形即可；（2）过点C 作CQ ∥FD ，交BD 于点Q ，证明△FDH ≌△CQH ，△BAD ≌△CBQ ，利用等式的性质证明即可； （3）当B 、A ，N 三点共线时，BG 是直角三角形斜边CN 上的中线，满足了12BG CN =，AN=AB=2，计算三角形的面积即可．【详解】（1）如图1，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，∵∠EBA=∠EAB=30°，AD=23，∴EA=EB ，AF=FB ，AB=43，设BC=x ，则AC=2x ，根据勾股定理，得AB=2222(2)3AC BC x x x -=-=，解得x=4即BC=4，∵∠EBA=∠EAB=30°，∴∠EBC=∠ECB=60°，∴△CBE 是等边三角形,∴EC=BC=4；（2）过点C 作CQ ∥FD ，交BD 于点Q ，∵BD ⊥AD ，∴CQ ⊥BD ，∴∠FDH=∠CQH ，∵∠FHD=∠CHQ ，CH=FH ，∴△FDH ≌△CQH ，∴DH=HQ ，FD=CQ ，∵∠ABD=30°，∴∠DAB=∠QBC=60°，∠QCB=30°，∴∠ABD=∠BCQ ，∵45CAB ∠=︒=∠BCA ，∴BA=CB ，∴△BAD≌△CBQ，∴AD=BQ，BD=CQ，∴BD=FD，∴BD-BQ=FD-AD，∴DQ=FA，∴DH+HQ=FA，∴2DH=FA，∴12DH AF=；（3）根据题意，得当B、A，N三点共线时，BG是直角三角形斜边CN上的中线，∴12BG CN=，∴AN=AB=2，∵∠BCA=30°，∴AC=4，根据勾股定理，得22224223AC BA-=-，∴△ANC 的面积为11222AN BC •=⨯⨯ 【点睛】本题考查了含有特殊角的直角三角形的性质，三角形的全等，勾股定理，平行线的性质，灵活构造平行线，运用三角形中点模型证明全等，是解题的关键点之一．。
2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．3D ．-3D由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 解：()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D. 点评：本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题. 2．若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （ ） A ．{0,1,2} B ．{0,1,2,3}C ．{0,1,2,4}D ．{1,2,4}C先求出集合B ，再求并集即可. 解：由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4a B x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C. 点评：本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3．向量(2,)a t =v，(1,3)b =-v，若a v ，b v的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A ．23t < B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.解：若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C. 点评：本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米B由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.由题：“弓”所在弧长54488 lππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离2 1.25 1.768d=⨯≈.故选：B点评：此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种C试题分析：因,故应选C．【考点】排列数组合数公式及运用．6．已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是( )A．162+B．122226+C．1822+D．1622+B如图所示，还原几何体，证明CD CP⊥，计算表面积得到答案.解：还原几何体，如图所示：连接AC简单计算得到22AC CD ==4=AD ，故AC CD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PA CD ⊥.故CD CP ⊥，23PC =表面积为：()111112422242222222322222S =⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯122226=+故选：B 点评：本题考查了三视图，表面积的计算，还原几何体是解题的关键. 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 解：先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,3,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 点评：8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ D先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 解：根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i =-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤.故选D. 点评：本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9．已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan2α的值为（ ） A ．45B ．237-C ．247-D ．249-C根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-. 34sin tan cos ααα==-. 232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C. 点评：本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10．己知函数()ln 1f x x x kx =-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．{|1k k =或1}k e >-B ．1{|11k k e≤≤+或1}k e >- C ．1{|11k k e e +<≤-或1}k e >- D ．1{|11k k e e+<≤-或1}k = D构造函数()1ln g x x x=+，利用导数得出其单调性，将零点问题，转化为函数的交点问题，即可得出答案. 解：解：令ln 10x x kx -+=，则1ln k x x =+；.令()1ln g x x x=+；()22111x g x x x x-'=-=； ∴当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当[]1,x e ∈时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；∴当1x =时，有()min 1g x =，又∵11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11g e e =+，∴()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭∵()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，∴()g x k =只有一个解；∴1k =或111k e e+<≤-.。
2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
高考数学模拟试卷（理科）（3月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，N={x|＜2x＜1}，M={x|y=ln（-x-1）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {x|-3＜x＜-1}B. {x|-3＜x＜0}C. {x|-1≤x＜0}D. {x|x＜-3}2.设0＜a＜1，则“log a b＞1”是“b＜a”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知a=log2，b=5-3，c=2，则a，b，c的大小关系为（ ）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. c＜b＜aD. c＜a＜b4.函数f（x）=ln x+2x-6的零点所在的区间为（ ）A. （1，2）B. （2，3）C. （3，4）D. （4，5）5.将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个对称中心是（ ）A. （，）B. （-，-）C. （，）D. （，-）6.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（ ）A. 22B. 23C. 20D. 217.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a1=( )A. 23B. 32C. 35D. 388.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.9.若平面向量满足，，，，则的最大值为（ ）A. B. C. D.10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ A. B. C. D.11.设F 1，F 2分别是椭圆C ：的左、右焦点，直线l 过F 1交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足且∠CF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.12.若对于任意的实数t ，函数f （x ）=（x -t ）3+（x -e t ）3-3ax 在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. （-]B. （）C. （]D. （）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z 满足（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数=______．14.已知（ax +1）n 的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =______．15.已知定点A （2，0），点P （x ，y ）的坐标满足，当（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是______．16.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，∠ABE =20°，∠CDF =30°．将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC 中，BC =2，B =45°，=λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）若S △BCD =1，求CD 的长；（Ⅱ）若A =30°，λ=，求的值．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：年 份201220132014201520162017年份代码t 123456（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方=t；（2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…（t n，y n），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=-．（参考数据：（t i）（y i）=2.8，计算结果保留小数点后两位）19.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A、B，过F与直线l1垂直的直线l2与椭圆交于C、D，与直线l2：x=4交于P．①求四边形ABCD面积的最小值；②求证：直线PA，PF，PB的斜率k PA，k PF，k PB成等差数列．21.设函数，．（1）当b=0时，函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；（2）若y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，且函数h（x）=f（x）+g （x）在x∈（1，+∞）时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．M是曲线C1上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（除极点外），且有定点T（4，0），求△TAB的面积．23.已知a，b均为正实数，且a+b=1．（1）求的最大值；（2）求的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合N∩C U M，由N={x|＜2x＜1}={x|-3＜x＜0}，M={x|y=ln（-x-1）={x|x＜-1}，则C U M={x|x≥-1}，则N∩C U M={x|-1≤x＜0}．故选：C．阴影部分用集合表示为N∩C U M，只要求出M、N进行集合的运算即可．正确理解集合M、N所表达的含义，以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵0＜a＜1，log a b＞1=log a a，∴0＜b＜a，∵0＜b＜a⇒b＜a，b＜a推不出0＜b＜a，∴0＜b＜a是b＜a充分不必要条件，即“log a b＞1”是“b＜a”的充分不必要条件．故选：B．先找出log a b＞1的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：，0＜5-3＜50=1，；∴a＜b＜c．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．4.【答案】B【解析】解：f（1）=2-6＜0，f（2）=4+ln2-6＜0，f（3）=6+ln3-6＞0，f（4）=8+ln4-6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力．解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．【解析】解：函数，=，=+，把函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）==cos2x+的图象，令，解得：x=（k∈Z），当k=0时，函数的对称中心为（）．故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的应用，属于基础题．由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为-3，则9a1+×(-3)=207，解得即可．【解答】解：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为-3，则9a1+×(-3)=207，8.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为V=πr2•h-•πr3=π••（•2-•）=．故选：D．根据三视图知该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是中档题．9.【答案】D【解析】【分析】本题可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，这样就能方便于计算，切记不要直接计算．本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点．本题属中档题．【解答】解：由题意，可得：，∵==4+4×16-4×4=52．∴=2．∴====3+52+2×××=55+4×∵55+4=52+2×2×+3=（2）2．则的最大值为2．故选：D．10.【答案】B【解析】【分析】利用隔板法求出共计有n==21种领法，由此能求出“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，由此能求出甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：如下图，利用隔板法，得到共计有n==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有1种，“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m=2+3+2+1=8，∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p=．故选：B．11.【答案】A【解析】解：设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，F1（-c，0）．直线l过F1交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且∠CF1F2=30°，可得C（0，），设A（x,y),则（c，）=（-c-x，-y），解得A（，-）．可得：即：，e∈（0，1）．解得e=．故选：A．利用已知条件求出C与A的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．12.【答案】A【解析】解：∵f（x）=（x-t）3+（x-e t）3-3ax在R上都是增函数，∴f′（x）=3（x-t）2+3（x-e t）2-3a≥0在R上恒成立，∴a≤（x-t）2+（x-e t）2，（x-t）2+（x-e t）2=2（x-）2+≥，令y=t-e t，则y′=1-e t，∴（-∞，0）上，y′＞0，（0，+∞）上，y′＜0，∴t=0时，y max=-1，∴的最小值为，∴a≤，故选：A．利用f（x）=（x-t）3+（x-e t）3-3ax在R上都是增函数，可得f′（x）=3（x-t）2+3（x-e t ）2-3a≥0在R上恒成立，分离参数a≤（x-t）2+（x-e t）2，再求出右边的最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．13.【答案】-1-i【解析】解：∵=，∴．故答案为：-1-i．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】2【解析】【分析】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键．先根据二项式系数的和为2n，列出方程求出n的值；在对二项式中的x赋值1列出关于a的方程求出a的值．【解答】解：由二项式系数和为2n=32，得n=5，又令x=1，得各项系数和为（a+1）5=243，∴a+1=3，∴a=2．故答案为：2．15.【答案】2【解析】【分析】等式对应的平面区域，利用数量积将进行化简，然后根据图象平移确定a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）∵定点A（2，0），点P（x，y），∴，设，要使当（O为坐标原点）的最小值是2时，即x=2时，点P落在直线x=a上，此时a=2．故答案为2.16.【答案】70°【解析】解：AB不动，由于AB∥CD，故无论直线DF运动到那里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为30°．若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF不动，可计算出两者的夹角是10°，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为70°，取到最大值．故答案为：70°两者同时动，则线线关系不易确定，可以先固定一个探究规律，再作出判断本题考查两异面直线所成的角，由于本题中两条线不固定，在同时变动的情况下，两线的位置关系变化不好确定，故本题采取了先固定一个，进行研究得出规律．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由S△BCD=BC•BD•sin45°=BD=1，可得：BD=，在△BCD中，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cos45°=4+2-4=2，解得：CD=．……………（6分）（II）由，可得：BD=2AD，在△ADC中，由正弦定理可知：，可得：sin∠ACD==，在△BDC中，由正弦定理可知：，可得：sin∠BCD==，故====．……………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可解得BD的值，根据余弦定理即可解得CD 的值．（II）由已知可得BD=2AD，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ACD=，在△BDC中，由正弦定理可得sin∠BCD=，即可计算得解的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解（1）由题意可知：==3.5，，==7（t i-）2=2.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.52=17.5，∴==0.16，又=-=7-0.16×3.5=6.44所以y关于t的线性回归方程为=0.16t+6.44（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码t=8，此时=0.16×8+6.44=7.72，所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨．【解析】（1）先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；（2）将2019年的年份代码t=8代入线性回归方程可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．19.【答案】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，，又AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴,∴四边形BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解:如图所示，取AD中点O，连接PO，CO，由于为正三角形，则，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面平面ABCD =AD ，PO 侧面PAD ，所以PO 平面ABCD ，又CO 平面ABCD ，所以PO CO .因为AO =AB =BC =，且，所以四边形ABCO 是矩形，所以CO AD ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ,不妨设AB =BC ==1，则OA =OD =AB =CO =1.又因为为直角三角形，，所以.作MN CO ，垂足为N ，连接BN ，因为PO CO ，所以MN PO ，又PO 平面ABCD ，所以MN 平面ABCD ，所以即为直线BM 与平面ABCD 所成的角,设CN =t ，因为，所以MN =，.因为，所以MN =BN ，即，解得，所以，，所以，，，，则，，.设平面MAB 和平面DAB 的法向量分别为，,则，即，可取，则,平面DAB 的法向量可令，所以.因为二面角M -AB -D 是锐二面角，所以其余弦值为.【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于较难题．（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，通过证明CE ∥BF ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（2）取AD 中点O ，连接PO ，CO ，作MN CO ，垂足为N ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，即可求出二面角M -AB -D 的余弦值．20.【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，∴a2=b2，∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切．∴b==，∴a2=4，b2=3∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①斜率不存在时，方程为x=1，代入椭圆方程可得y=±，∴|AB|=3，|CD|=2a=4，∴四边形ABCD面积为=6；斜率不为0时，方程为y=k（x-1），代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴|AB|=|x1-x2|=，同理|CD|=，∴+=+=≥2，∴|AB||CD|≥，∴S ABCD=|AB||CD|≥×=，∵＜6，∴四边形ABCD面积的最小值为；②l1的斜率存在时，则直线l2的方程为y=-（x-1）．令x=4，则P（4，-），∴k PA+k PB=+=++×=-=2k PF．l1的斜率不存在时，由对称性知，k PA+k PB=2k PF．∴直线PA，PF，PB的斜率k PA，k PF，k PB成等差数列．【解析】（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得a2=b2，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，求出b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）①分类讨论，设出方程代入椭圆方程，利用基本不等式，即可求四边形ABCD面积的最小值；②分类讨论，设出方程，证明k PA+k PB=2k PF，即可证明直线PA，PF，PB的斜率k PA，k PF ，k PB成等差数列．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于难题．21.【答案】解：（1）当b=0时，f（x）=x lnx-ax2-x，（x＞0）．∴f′（x）=ln x+1-2ax-1=ln x-2ax．函数f（x）有两个极值点，有两个零点，令p（x）=ln x-2ax，∴p′（x）=-2a=．①a∈（-∞，0）时，p′（x）＞0，∴p（x）在（0，+∞）单调递增，不符合题意．②a∈（0，+∞）时，令p′（x）＞0，x∈，∴p（x）在上单调递增．令p′（x）＜0，x∈（，+∞），∴p（x）在（，+∞）上单调递减．令p（）=-ln2a-1＞0，∴a∈．又∵p（1）=-2a＜0，p=ln-=，令,,在定义域单调递减，，p=ln-=<0又＜，∴a∈时，f（x）=x lnx-ax2-x有两个极值点．综上所述a∈，（2）y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0且f（1）≠0，∵f′（x）=-ln x-2ax+b，∴b=2a且a≠1，∴h（x）=x lnx-ax2+（b-1）x+e x-ex，在x∈（1，+∞）时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，即当x＞1时，h′（x）=1+ln x-2ax+b-1+e x-e=ln x-2ax+2a+e x-e＞0恒成立，令t（x）=ln x-2ax+2a+e x-e，∴t′（x）=+e x-2a，设φ（x）=+e x-2a，∴φ′（x）=e x-，∵e x＞e，＜1，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，即t′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴t′（x）＞t′（1）=1+e-2a，当a≤时，且a≠1时，t′（x）≥0，∴t（x）在（1，+∞）上单调递增，∴t（x）＞t（1）=0成立，当a＞，∵t′（x）在（1，+∞）单调递增，∴t′（1）=1+e-2a＜0，t′（ln2a）=+2a-2a＞0，∴存在x0∈（1，ln2a）使得t′（x0）=0，当x∈（1，x0）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，∴t（x0）＜t（1）=0，t（x）＞0不恒成立；∴实数a的取值范围为（-∞，1）∪（1，]【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值，导数的几何意义，恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．（1）先求导，再分类讨论，利用导数判断函数的单调性，判断函数的极值点的情况，即可求出a的范围；（2）先根据导数的几何意义求出b=2a，再根据函数h（x）=f（x）+g（x）在x∈（1，+∞）时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，可得h′（x）=ln x-2ax+2a+e x-e＞0恒成立，构造函数，利用导数，即可求出a的范围22.【答案】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴由题设，得C1的直角坐标方程为x2+（y-5）2=25，即x2+y2-10y=0，故C1的极坐标方程为ρ2-10ρsinθ=0，即ρ=10sinθ，M是曲线C1上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON，点N的轨迹为曲线C2，设点N（ρ，θ）（ρ≠0），则由已知得，代入C1的极坐标方程得，∴C2的极坐标方程为ρ=10cosθ（ρ≠0）；（2）∵射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（除极点外），∴将代入C1，C2的极坐标方程得，又∵T（4，0），∴，，∴．【解析】本题考查曲线的极坐标的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．（1）由曲线C1的参数方程能求出C1的直角坐标方程，由此能求出C1的极坐标方程；设点N（ρ，θ）（ρ≠0），由已知得，代入C1的极坐标方程，能求出C2的极坐标方程，（2）将代入C1，C2的极坐标方程得，由T（4，0），能求出△TAB的面积．23.【答案】解：（1）≤（12+12）•（4a+1+4b+1）=2[4（a+b）+2]=2（4×1+2）=12，当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12．（2）原式═，因为，当且仅当，即时，取等号，以，故原式的最大值为．【解析】（1）利用平方以及柯西不等式转化求解即可．（2）利用基本不等式，转化求解函数的最值．本题考查不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
【精准解析】重庆市南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试理科数学
aa122qq2
0 6a2
a2q
，即
q 0 q2 q
6
0
，解得
q
2
，
因此
S4 S3
1 q4 1 q3
1 16 18
15 9
5 3
.
故选 B
【点睛】本题主要考查等比数列前 n 项和的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式
即可，属于常考题型.
6.已知非零平面向量 a，b 满足
6a
【详解】因为平面向量 a m，1，b 8，m 2 ，若 m 4 ，则 a 4，1，b 8，2 ，所
以 b 2a ，因此 a / /b ；即“ m 4 ”是“ a / /b ”的充分条件
若
a
/
/b
，则
m(m
2)
8
0
，解得
m
4
或
m
2
；所以“
m
4
”不是“
a
/
/b
”的必
要条件；
综上，“ m 4 ”是“ a / /b ”的充分不必要条件.
2 2
2
2
所以 6a b a b 6 a 5a b b 0 ，因此 6 a 5a b 16 a 0 ，
-3-
即 a b 2 a
2
，所以
cos
a,
b
a b ab
2 2 a
2 4a
1， 2
因此 a
与b
的夹角为
2 3
.
故选：C
【点睛】本题主要考查向量的夹角运算，熟记平面向量数量积的运算法则即可，属于常考题
综上，不等式 f x 0 的解集为 ，0 1，2 .
故选 D 【点睛】本题主要考查解不等式，熟记一次函数单调性，以及函数解析式的求法即可，属于 常考题型. 8.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将 996 斤绵
重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题 理(含解析)
重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学
班级： 姓名： 线订装绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学时间：120分钟满分：150分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合U ={1,2,3,4,5},,则C U A =( )A. {5}B. {4,5}C. {3,4,5}D. {2,3,4,5}2. 已知复数2+ai1−i为纯虚数,则实数a =( )A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知平面向量a ⃗=(m,1),b ⃗⃗=(8,m −2),则“m =4”是“a ⃗//b⃗⃗”的( ) A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4. 函数f(x)=sinx −√3cosx 的一条对称轴为( )A. x =−π6B. x =−π3C. x =π6D. x =π35. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1a 2<0,a 4=6a 2+a 3,则S 4S 3=( )A. −157B. −53C. 53D.1576. 已知非零平面向量a ⃗,b ⃗⃗满足(6a ⃗+b ⃗⃗)⊥(a ⃗−b⃗⃗),,则a ⃗与b⃗⃗的夹角为( ) A. π6 B. π3C.2π3 D. 5π67. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)+f(x)=0,当x >1时,f(x)=x −2,则不等式f(x)<0的解集为( )A. (1,2)B. (−∞,0)C. (0,2)D. (−∞,0)∪(1,2) 8. 明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下向题“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传”意思是将996斤绵分给八个人,从第二个人开始,每个人分得的绵都比前一个人多17斤,则第八个人分得绵的斤数为( )A. 150B. 167装订线C. 184D. 2019. 函数y =lnxcosx 的图象大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中,AC =AB =3,点M ,N 分别在边AC ,AB 上,且AM =BN =2,BM ⊥CN ,则ΔABC 的面积为( )A. 9√1011B. 8122C. 4511D.18√101111. 在ΔABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c −a =2acosB ,则3a+c b的最小值为( )A. √2B. √3C. 2√2D. 312. 已知数列{a n },{b n }满足:a n+1=2a n +b n ,b n+1=a n +2b n +lnn+1n3(n ∈N ∗),a 1+b 1>0,给出下列四个命题:①数列{a n −b n }单调递增;②数列{a n +b n }单调递增;③数列{a n }从某项以后单调递增;④数列{b n }从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是( )A. ②③④B. ②③C. ①④D. ①②③④ 二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知曲线y =x 3+ax 在x =1处的切线与直线y =2x +1平行,则a 的值为__________.14. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ),其中A >0,ω>0,φ∈(−π,π)的部分图象如图所示,则φ=__________.15. 已知函数f(x)=2e x +(1−k)x 2在(0,+∞)上单调递增,则实数k 的取值范围是__________.16. 已知平面向量a ⃗,b⃗⃗,,a ⃗⊥b⃗⃗,,则的最大值是__________.班级： 姓名： 线订装三、解答题（每小题12分,共60分）17. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2,a 4,a 7成等比数列,且S 5=50. (1)求a n ; (2)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n .18. 在ΔABC 中,AB =2,AC =3,D 为BC 边上的中点. (1)求sin∠BADsin∠DAC的值; (2)若∠BAD =2∠DAC ,求AD .19. 某工厂生产一批零件,为了解这批零件的质量状况,检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测,将它们的重量(单位:g )作为质量指标值.由检测结果得到如下频率分布表和频率分布直方图.(1)求图中a ,b 的值; (2)根据质量标准规定:零件重量小于47或大于53为不合格品,重量在区间[47,49)和(51,53]内为合格品,重量在区间[49,51]内为优质品.已知每件产品的检测费用为5元,每件不合格品的回收处理费用为20元.以抽检样本重量的频率分布作为该批零件重量的概率分布.若这批零件共400件,现有两种销售方案: 方案一:对剩余零件不再进行检测,回收处理这100件样本中的不合格品,余下所有零件均按150元/件售出; 方案二:继续对剩余零件的重量进行逐一检测,回收处理所有不合格品,合格品按150元/件售出,优质品按200元/件售出. 仅从获得利润大的角度考虑,该生产商应选择哪种方案?请说明理由.20. 已知函数f(x)=ax 2−ln(x −1)+1(a ∈R)存在极值点. (1)求a 的取值范围; (2)设f(x)的极值点为x 0,若f(x 0)<x 0,求a 的取值范围.装订线21. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√32,点D 在椭圆C 上,且ΔDF 1F 2的周长为4+2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)已知过点(1,0)的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,点P 在直线x =4上,求的最小值.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数,0<α<π),以O 为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方方程为ρ(1−cos2Θ)=8cosΘ. (1)判断直线l 与曲线C 的公共点的个数,并说明理由; (2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B ,点P(1,−1),若,求tanα的值.22B. 已知实数a ,b 满足,. (1)证明:; (2)若pq >0,证明:(ap +bq)(aq +bp)⩾pq .班级： 姓名： 线 订装重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学答案和解析第1题： 【答案】C【解析】由集合,,则.第2题： 【答案】C【解析】复数为纯虚数,∴,,解得.第3题： 【答案】D【解析】两个平面向量,平行,则,或,所以“”是“”的充分不必要条件,故选D.第4题： 【答案】A【解析】.令,解得,, 当时,,所以A 选项是正确的.第5题： 【答案】B【解析】由已知可得,∴, 又,即,解得,∴.第6题： 【答案】C【解析】∵,∴,又∵, ∴,∴,∴与的夹角为.第7题： 【答案】D【解析】由已知,即,∴关于中心对称, 又当时,,作出函数的图象如图所示,由图可知的解集为.第8题： 【答案】C【解析】设第八人分得,则等差数列公差为,,解得.第9题： 【答案】A【解析】当时,,,∴,排除C 、D; 又当时,,,∴,排除B,故选A.第10题：装订线【答案】A【解析】由已知得,, ∵,∴,解得, ∴,∴.第11题： 【答案】C【解析】已知,根据余弦定理,可得,整理得,即,∴,∴即,当且仅当时,有最小值.第12题： 【答案】A【解析】将两式相减得,整理得,,当时,,当时,,∴①错; 将两式相加得, 化简得. 令,∴为公比等于的等比数列,其首项为, ∴,∴, ∵,∴递增,递增,∴为递增数列,∴②正确; 由上式可得,,,, ∴, 令,∴, 又,∴, ∵,递增,递增,∴为递增数列,∴③正确; 由上式可知,,, ∵,∴为递增数列,且按指数增长,为递增数列,且按对数增长,∴,使得当时,,即,∴④正确.第13题：【答案】【解析】,∴当时,; ∴据题意,得,∴,故答案为:.第14题：【答案】【解析】由图可知,,, ∴,即,得,∴, 又∵函数图像过,∴,解得, 又,∴.第15题：【答案】【解析】由已知得,∵在单调递增, ∴在上恒成立,化简得, 令,∴,∴,∴.第16题：【答案】【解析】不妨设,,,∵, ∴,代入坐标得,即, ∴以原点为起点,向量的终点在以为圆心,为半径的圆上, ∴可表示为到的距离, ∴其最大值为.第17题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,而,故, 由,∴,,∴. (2), ∴前项和.第18题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,即, ∴. (2)由,∴∴, 在中,, 在中,,而,∴.第19题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,. (2)该工厂若选方案一:收入为元, 若选方案二:收入为元, 利润方案二比方案一高元,所以,选方案二.第20题：【答案】见解答班级：姓名： 线订装【解析】(1)函数的定义域为,, 当时,,无极值点;当时,或,设,则,当时,的两根一个小于、一个大于,故有一个极值点;当时,对称轴为知的两根均小于,故无极值点;综上所述,. (2)由(1)知且,∴,,令,显然在上单增,又,∴即,∴,∴.第21题：【答案】见解答【解析】(1)由题意可得:,解得:,故椭圆方程为:. (2)①当直线与轴平行时,取,,,则,,,所以最小值为; ②当直线不与轴平行时,设,,,设直线方程为. 联立方程有, 设线段的中点为,则有,其中, 令,则, 又令,则, 当,即时,取最小值, 当且当时取等号, 所以,,当时取等号. ∴的最小值为.第22A 题： 【答案】见解答【解析】(1), 即,将直线的参数方程代入得, 即,由知,,故直线与曲线有两个公共点. (2)由(1)可设方程的两根为,, 则,, 故, ∴,即,∴.第22B 题： 【答案】见解答 【解析】(1)∵,故. (2), 由,得,得证.。
2019-2020学年重庆市南开中学高三(下)3月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如果复数1−ai 2+i（a ∈R ，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ）A.1B.−1C.3D.−3【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】 求出复数1−ai 2+i 的代数形式，根据复数的实部与虚部相等列出方程，解方程即可得到a 的值． 【解答】 复数1−ai2+i =(1−ai)(2−i)(2+i)(2−i)=(1−a)−(2a+1)i5，复数1−ai2+i 的实部与虚部相等，所以1−a ＝−2a +1，解得a ＝−3，2. 若A ＝{0, 1, 2}，B ＝{x ＝2a , a ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A.{0, 1, 2} B.{0, 1, 2, 3} C.{0, 1, 2, 4} D.{1, 2, 4}【答案】 C【考点】 并集及其运算 【解析】求出A ，B ，由此利用并集的定义能求出A ∪B ． 【解答】∵ A ＝{0, 1, 2}，B ＝{x ＝2a , a ∈A}＝(1, 2, 4)，则A ∪B ＝(0, 1, 2, 4)3. 向量a →=(2,t)，b →=(−1,3)，若a →,b →的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A.t <23B.t >23C.t <23且t ≠−6D.t <−6【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】可先求出a →⋅b →=−2+3t ，根据a →，b →的夹角为钝角即可得出a →⋅b →<0，且a →,b →不平行，从而得出{−2+3t <06+t ≠0，解出t 的范围即可．【解答】a →⋅b →=−2+3t ； ∵ a →与b →的夹角为钝角； ∴ a →⋅b →<0，且a →,b →不平行； ∴ {−2+3t <06+t ≠0 ；∴ t <23，且t ≠−6．4. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米 【答案】 B【考点】三角函数模型的应用 【解析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长． 【解答】由题得：弓所在的弧长为：l =π4+π4+π8=5π8；所以其所对的圆心角α=5π854=π2；∴ 两手之间的距离d ＝2r sin π4=√2×1.25≈1.768．5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种.故选C.6. 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（）A.16+√2B.12+2√2+2√6C.18+2√2D.16+2√2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】作出直观图，根据三视图中的尺寸计算各个面的面积．【解答】几何体为四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD // BC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，AD＝4．∴S△PAD=12×2×4=4，S△PAB=12×2×2=2，S梯形ABCD =12×(2+4)×2=6，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，PA⊥CD，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB，∵PA＝AB＝2，故PB＝2√2，∴S△PBC=12×2×2√2=2√2，连接AC，则AC＝2√2，∠CAD＝∠BAC＝45∘，∴CD=√16+8−2×4×2√2×cos45=2√2，∴AC2+CD2＝AD2，∴CD⊥AC，又CD⊥PA，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，于是CD⊥PC，又PC=√PA2+AC2=2√3，∴S△PCD=12×2√2×2√3=2√6．故四棱锥的表面积为S＝4+2+6+2√2+2√6=12+2√2+2√6．7. 下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x=π3对称的是（）A.y＝2sin(2x+π3) B.y＝2sin(2x−π6)C.y＝2sin(x2+π3) D.y＝2sin(2x−π3)【答案】B【考点】正弦函数的图象【解析】根据函数的周期性和对称性分别进行判断即可．【解答】C的周期T=2π12=4π，不满足条件．当x=π3时，A，y＝2sin(2×π3+π3=2sinπ＝0≠±2，B．y＝2sin(2×π3−π6)＝2sinπ2=2，D．y＝2sin(2×π3−π3=2sinπ3≠±2，故满足条件的是B，8. 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A.i<20,S=S−1i ,i=2i B.i≤20,S=S−1i,i=2iC.i<20,S=S2,i=i+1 D.i≤20,S=S2,i=i+1D【考点】 程序框图 【解析】由图可知第一次剩下12，第二次剩下122，…由此得出第20次剩下1220，结合程序框图即可得出答案． 【解答】由题意可得：由图可知第一次剩下12，第二次剩下122，…由此得出第20次剩下1220， 可得①为i ≤20？ ②s =s2，③i ＝i +1，9. 已知α是第二象限角，且sin (π+α)=−35，则tan 2α的值为（ ） A.45B.−237C.−247D.−83【答案】 C【考点】二倍角的正切公式 运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】根据诱导公式由已知的等式求出sin α的值，然后由α是第二象限角得到cos α小于0，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos α的值，进而求出tan α的值，把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tan α的值代入即可求出值． 【解答】解：由sin (π+α)=−sin α=−35，得到sin α=35，又α是第二象限角，所以cos α=−√1−sin 2α=−45，tan α=−34， 则tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×(−34)1−(−34)2=−247．故选C .10. 已知抛物线x 2＝4y 焦点为F ，经过F 的直线交抛物线与A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，点A 、B 在抛物线准线上的投影分别为A 1，B 1，以下四个结论：①x 1x 2＝−4，②|AB|＝y 1+y 2+1，③∠A 1FB 1=π2，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为（ ） A.1B.2C.3D.4【答案】命题的真假判断与应用【解析】求得人品微信的焦点和准线方程，设过F的直线方程为y＝kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式，以及中点坐标公式，两直线垂直的条件：斜率之积为−1，二次函数的最值求法，即可判断．【解答】抛物线x2＝4y焦点为F(0, 1)，准线方程为y＝−1，可设过F的直线方程为y＝kx+1，代入抛物线方程可得x2−4kx−4＝0，即有x1+x2＝4k，x1x2＝−4，|AB|＝y1+y2+2；AB的中点纵坐标为12(y1+y2)=12[k(x1+x2)+2]＝1+2k2，AB的中点到抛物线的准线的距离为2k2+2，k＝0时，取得最小值2；由F(0, 1)，A1(x1, −1)，B1(x2, −1)，可得k A1F ⋅k B1F=2−x1⋅2−x2=4x1x2=−1，即有∠A1FB1=π2，综上可得①③④正确，②错误．11. 已知函数f(x)＝x ln x−kx+1在区间[1e,e]上只有一个零点，则实数k的取值范围是（）A.{k|k＝1或k>e−1}B.{k|1≤k≤1+1e或k>e−1}C.{k|k≥1}D.{k|k＝1或1+1e<k≤e−1}【答案】D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】构造方程x ln x−kx+1＝0，可知k=ln x+1x ；将问题转化为求函数g(x)=ln x+1x与直线y＝k只有一个交点时k的取值范围即可，通过对g(x)求导判断其增减区间，进而得到k的取值．【解答】令x ln x−kx+1＝0，则k=ln x+1x；令g(x)=ln x+1x；g′(x)=1x −1x2=x−1x2；∴ 当x ∈[1e ,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x ∈[1, e]时，g′(x)>0，g(x)单调递增； ∴ 当x ＝1时，有g(x)min ＝1； 又∵ g(1e)=e −1，g(e)=1+1e；∴ g(e)<g(1e)；∵ f(x)在[1e ,e]上只有一个零点； ∴ g(x)＝k 只有一个解； ∴ k ＝1或1+1e <k ≤e −1；12. △ABC 中AB =AC =√3，△ABC 所在平面内存在点P 使得PB 2+PC 2＝3PA 2＝3，则△ABC 面积最大值为（ ） A.2√233B.5√2316C.√354D.3√3516【答案】B【考点】 正弦定理 【解析】以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设B(−a, 0)，C(a, 0)，(a >0)，则A(0, √3−a 2)，设P(x, y)，运用两点距离公式可得P 在两圆上，由圆与圆的位置关系的等价条件，解不等式可得a 的范围，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得最大值． 【解答】以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴， 建立直角坐标系，设B(−a, 0)，C(a, 0)，(a >0)，则A(0, √3−a 2)，设P(x, y)，由PB 2+PC 2＝3PA 2＝3，可得(x +a)2+y 2+(x −a)2+y 2＝3[x 2+(y −√3−a 2)2]＝3， 可得x 2+y 2=32−a 2，x 2+(y −√3−a 2)2＝1，即有点P 既在(0, 0)为圆心，半径为√32−a 2的圆上， 也在(0, √3−a 2)为圆心，1为半径的圆上， 可得|1−√32−a 2|≤√3−a 2≤1+√32−a 2， 由两边平方化简可得a 2≤2316，则△ABC 的面积为S =12⋅2a ⋅√3−a 2=a√3−a 2=√3a 2−a 4=√−(a 2−32)2+94， 由a 2≤2316，可得a 2=2316，S 取得最大值，且为5√2316．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）(x+y)(2x−y)5的展开式中x3y3的系数为________．（用数字填写答案）【答案】40【考点】二项式定理及相关概念【解析】由二项式定理及分类讨论思想得：(2x−y)5的展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5−r(−y)r，则(x+y)(2x−y)5的展开式中x3y3的系数为−C5322+C5223=40，得解．【解答】由(2x−y)5的展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5−r(−y)r，则(x+y)(2x−y)5的展开式中x3y3的系数为−C5322+C5223=40，在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且√3a＝2c sin A，c=√7，且△ABC的面积为3√32，则a+b＝________．【答案】5【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理将边化角求出sin C，根据面积公式求出ab，代入余弦定理得出(a+b)的值．【解答】∵√3a＝2c sin A，∴√3sin A＝2sin C sin A，∴sin C=√32．∵S△ABC=12ab sin C=√34ab=3√32，∴ab＝6．∵△ABC是锐角三角形，∴cos C=12，由余弦定理得：cos C=a 2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab=(a+b)2−1912=12，解得a+b＝5．如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)；①f(3)＝________；②f(n)＝________．【答案】＝1；n＝2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即ℎ7,2n−1【考点】归纳推理【解析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．【解答】＝1；n＝2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即ℎ＝3＝22−1；n＝3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用ℎ(1)种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用ℎ(2)种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，ℎ(3)＝ℎ(4)×ℎ(5)+1＝3×2+1＝7＝23−1，ℎ(6)＝ℎ(7)×ℎ(8)+1＝7×2+1＝15＝24−1，…以此类推，ℎ(n)＝ℎ(n−1)×ℎ(n−1)+1＝2n−1，故答案为：7；2n−1．四面体ABCD的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是A(0,0,√5)，B(√3, 0, 0)，C(0, 1, 0)，D(√3, 1, 5)，则四面体ABCD的外接球的体积为________．【答案】9π2【考点】球的体积和表面积【解析】如图所示，把四面体补为长方体，设四面体ABCD的外接球的半径为R，可得2R为长方体的对角线．【解答】如图所示，把四面体补为长方体，设四面体ABCD的外接球的半径为R，则2R为长方体的对角线．∴(2R)2=12+(√3)2+(√5)2=9，解得R=32．∴四面体ABCD的外接球的体积V=4π3R3=9π2．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.设数列{a n}满足a n+1=13a n+2，a1＝4（1）求证{a n −3}是等比数列，并求a n ；（2）求数列{a n }的前n 项和T n ． 【答案】数列{a n }满足a n+1=13a n +2，所以：a n+1−3=13(a n −3)，故：a n+1−3a n −3=13（常数），故：数列{a n }是以a 1−3＝4−3＝1为首项，13为公比的等比数列． 则：a n −3=1⋅(13)n−1，故：a n =(13)n−1+3（首项符合通项）． 由于：a n =(13)n−1+3，故：T n =(13)0+(13)1+⋯+(13)n−1+(3+3+..+3)，=1(1−13n )1−13+3n ，=32(1−13n )+3n ．【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和． 【解答】数列{a n }满足a n+1=13a n +2， 所以：a n+1−3=13(a n −3)， 故：a n+1−3a n −3=13（常数），故：数列{a n }是以a 1−3＝4−3＝1为首项，13为公比的等比数列． 则：a n −3=1⋅(13)n−1，故：a n =(13)n−1+3（首项符合通项）． 由于：a n =(13)n−1+3，故：T n =(13)0+(13)1+⋯+(13)n−1+(3+3+..+3)，=1(1−1 3n )1−13+3n，=32(1−13n)+3n．某市对高二学生的期末理科数学测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N(100, 152)，现从甲校100分以上（含10的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析（试卷编号为001，002，．，200），统计如下：试卷得分135138135137135139142144148150注：表中试卷编号n1<n2<029<n3<n4<...<n20（1）写出表中试卷得分为144分的试卷编号________；（2）该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图（如图）在甲、乙两校这40份学生的试卷中，从成绩在140分以上（含14的学生中任意抽取3人，该3人在全市排名前15名的人数记为X，求随机变量X的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)＝68.3%，P(μ−2σ<X<μ+2σ)＝95.5%，P(μ−3σ<X<μ+3σ)＝99.7%【答案】180由茎叶图得甲、乙两校这40份学生的试卷中，成绩在140分以上（含14的学生有8人，其中145分以上有3人，全市前15名为145分以上，X服从超几何分布，X＝0，1，2，3P(X＝0)=C53C83=528，P(X＝1)=C31C52C83=1528，P(X＝2)=C32C51C83=1556，P(X＝3)=C33C83=156，∴X的分布列为：∴E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．【考点】系统抽样方法茎叶图离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）利用系统抽样的性质求解．（2）由茎叶图得甲、乙两校这40份学生的试卷中，成绩在140分以上（含140分）的学生有8人，其中145分以上有3人，全市前15名为145分以上，X服从超几何分布，X ＝0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．【解答】180．由茎叶图得甲、乙两校这40份学生的试卷中，成绩在140分以上（含14的学生有8人，其中145分以上有3人，全市前15名为145分以上，X服从超几何分布，X＝0，1，2，3P(X＝0)=C53C83=528，P(X＝1)=C31C52C83=1528，P(X＝2)=C32C51C83=1556，P(X＝3)=C33C83=156，∴X的分布列为：∴E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB⊥底面ABCD，E为PC上的点，且BE⊥平面APC(Ⅰ)求证：平面PAD⊥平面PBC；(Ⅱ)当三棱锥P−ABC体积最大时，求二面角B−AC−P的大小；【答案】（1）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，CB⊥AB，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥AP，又BE⊥平面APC，∴BE⊥AP，∴AP⊥平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC；（2）由（1）中，AP⊥平面PBC，得AP⊥PB，设P到AB的距离为ℎ，则AB×ℎ＝PA×PB，∴ℎ=12PA×PB≤12×PA2+PB22=1，当且仅当PA＝PB=√2时取等号，此时，三棱锥P−ABC的体积最大，连接BD交AC于O，连接OE，∵AC⊥OB，∴AC⊥OE（垂直斜线则垂直射影），∴∠EOB即为二面角B−AC−P的平面角，在正方形ABCD中，求得OB=√2，在Rt△PBC中，求得BE=√3，∴sin∠EOB=BEOB =√63，∴∠EOB＝arcsin√63．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)利用面面垂直的性质证得BC⊥AP，利用线面垂直的性质证得BE⊥AP，进而可得AP⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PBC；(Ⅱ)首先由不等式证得当PA＝PB时，三棱锥体积最大，然后结合三垂线逆定理作出二面角的平面角，不难求解．【解答】（1）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，CB⊥AB，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥AP，又BE⊥平面APC，∴BE⊥AP，∴AP⊥平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC；（2）由（1）中，AP⊥平面PBC，得AP⊥PB，设P到AB的距离为ℎ，则AB×ℎ＝PA×PB，∴ℎ=12PA×PB≤12×PA2+PB22=1，当且仅当PA＝PB=√2时取等号，此时，三棱锥P−ABC的体积最大，连接BD交AC于O，连接OE，∵AC⊥OB，∴AC⊥OE（垂直斜线则垂直射影），∴∠EOB即为二面角B−AC−P的平面角，在正方形ABCD中，求得OB=√2，在Rt△PBC中，求得BE=√3，∴sin∠EOB=BEOB =√63，∴∠EOB＝arcsin√63．已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为−34．（1）求点M的轨迹方程．（2）设直线AM:x＝my−2(m≠0)与直线l:x＝2交于点P，点Q与点P关于x轴对称，直线MQ与x轴交于点D，若△APD的面积为2√6，求m的值．【答案】设点M的坐标为(x, y)，则yx+2⋅yx−2=−34，化简得点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1(x ≠±2)．根据条件得P(2,4m )，∴ Q(2,−4m )， 将x ＝my −2代入x 24+y 23=1中，得(3m 2+4)y 2−12my ＝0，∴ y ＝0或y =12m 3m 2+4，∴ M(6m 2−83m 2+4,12m3m 2+4)，∴ 直线MQ 的方程为(12m3m 2+4+4m )(x −2)−(6m 2−83m 2+4−2)(y +4m )=0， 令y ＝0，则x =6m 2−43m 2+2，∴ D(6m 2−43m 2+2,0)，∴ △APD 的面积S =12×12m 23m 2+2×4|m|=24|m|3m 2+2，∴ 24|m|3m 2+2=2√6， ∴ 3m 2−2√6|m|+2=0，∴ m =±√63． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 轨迹方程 【解析】（1）设点M 的坐标为(x, y)，由直线AM ，BM 的斜率之积为−34，可得关于x ，y 的方程，化简即可得到点M 的轨迹方程；（2）求出直线MQ 的方程和点D 的坐标，再求出△APD 的面积S ，根据△APD 的面积为2√6得到关于m 的方程，解方程即可得到m 的值． 【解答】设点M 的坐标为(x, y)，则y x+2⋅yx−2=−34，化简得点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1(x ≠±2)．根据条件得P(2,4m )，∴ Q(2,−4m )， 将x ＝my −2代入x 24+y 23=1中，得(3m 2+4)y 2−12my ＝0，∴ y ＝0或y =12m 3m 2+4，∴ M(6m 2−83m 2+4,12m3m 2+4)， ∴ 直线MQ 的方程为(12m 3m 2+4+4m )(x −2)−(6m 2−83m 2+4−2)(y +4m)=0，令y ＝0，则x =6m 2−43m 2+2，∴ D(6m 2−43m 2+2,0)，∴ △APD 的面积S =12×12m 23m 2+2×4|m|=24|m|3m 2+2，∴ 24|m|3m 2+2=2√6， ∴ 3m 2−2√6|m|+2=0，∴ m =±√63．已知函数f(x)＝e x +ax 2，g(x)＝ax ln x +ax −e 3x ． (Ⅰ)求函数f(x)的零点个数；(Ⅱ)若f(x)>g(x)对任意的x∈(0, +∞)恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）由题意，可知f(0)＝1，∴x＝0不是f(x)的零点．当x≠0时，令f(x)＝e x+ax2＝0，整理得，−a=e xx2．令t(x)=e xx2，x≠0．则t′(x)=ex⋅x2−e x⋅2xx4=x(x−2)e xx4．令t′(x)>0，即x(x−2)>0，解得x<0，或x>2；令t′(x)＝0，即x(x−2)＝0，解得x＝2；令t′(x)<0，即x(x−2)<0，解得0<x<2．∴函数t(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增．在x＝2处取得极小值t(2)=e 24．∵x→−∞，t→0；x→0，t→+∞；x→+∞，t→+∞∴函数t(x)大致图象如下：结合图形，可知：①当−a≤0，即a≥0时，−a=e xx2无解，即e x+ax2＝0无解，此时f(x)没有零点，②当0<−a<e24，即−e24<a<0时，e x+ax2＝0有1个解，此时f(x)有1个零点，③当−a=e24，即a=−e24时，e x+ax2＝0有2个解，此时f(x)有2个零点，④当−a>e24，即a<−e24时，e x+ax2＝0有3个解，此时f(x)有3个零点，综上所述，可知当a≥0时，函数f(x)没有零点；当−e 24<a<0时，有1个零点；当a=−e 24时，有2个零点；当a<−e 24时，有3个零点．（2）由已知可得：f(x)−g(x)＝e x+ax2−ax ln x−ax+e3x＝e x+e3x+a(x2−x ln x−x)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，∴e xx+e3+a(x−ln x−1)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，令ℎ(x)=e xx+e3+a(x−ln x−1)，x∈(0, +∞)，ℎ′(x)=e x(x−1)x +a(1−1x)=1x(x−1)(e xx+a)．令e xx +a<0，可得a>−e xx，x∈(0, +∞)．∴a>−e．因此：a>−e时，x＝1时，函数ℎ(x)取得极小值即最小值．ℎ(x)≥ℎ(1)＝e+e3>0恒成立．a＝−e时，函数ℎ(x)在x∈(0, +∞)上单调递增，x→0+，ℎ(x)>0恒成立，a<−e时，令ℎ′(x)=1x (x−1)(e xx+a)＝0，解得x＝1，e x+ax＝0，由e x0+ax0＝0，a<−e，可得e x0=−ax0>ex0，则x0>1．∴函数ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增．ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝−a+e3+a(ln(−a)−1)＝a ln(−a)−2a+e3＝F(a)，a<−e．F′(a)＝ln(−a)+1−2＝ln(−a)−1>0，∴F(a)在a<−e时单调递增，而F(−e3)＝−e3ln(−e3)+2e3+e3＝0．∴−e3<a<−e时，ℎ(x)min＝ℎ(x0)>0，满足题意．综上可得：a∈(−e3, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出f′(x)，x>0，由此利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象．对a 分类讨论即可得出函数的零点的个数．(Ⅱ)由已知可得：f(x)−g(x)＝e x+ax2−ax ln x−ax+e3x＝e x+e3x+a(x2−x ln x−x)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，可得：e xx+e3+a(x−ln x−1)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，令ℎ(x)=e xx+e3+a(x−ln x−1)，x∈(0, +∞)，ℎ′(x)=e x(x−1)x2+a(1−1x)=1x(x−1)(e xx+a)．对a分类讨论，研究函数的单调性即可得出．【解答】（1）由题意，可知f(0)＝1，∴x＝0不是f(x)的零点．当x≠0时，令f(x)＝e x+ax2＝0，整理得，−a=e xx2．令t(x)=e xx2，x≠0．则t′(x)=ex⋅x2−e x⋅2xx4=x(x−2)e xx4．令t′(x)>0，即x(x−2)>0，解得x<0，或x>2；令t′(x)＝0，即x(x−2)＝0，解得x＝2；令t′(x)<0，即x(x−2)<0，解得0<x<2．∴函数t(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增．在x＝2处取得极小值t(2)=e 24．∵x→−∞，t→0；x→0，t→+∞；x→+∞，t→+∞∴函数t(x)大致图象如下：结合图形，可知：①当−a≤0，即a≥0时，−a=e xx2无解，即e x+ax2＝0无解，此时f(x)没有零点，②当0<−a<e24，即−e24<a<0时，e x+ax2＝0有1个解，此时f(x)有1个零点，③当−a=e24，即a=−e24时，e x+ax2＝0有2个解，此时f(x)有2个零点，④当−a>e24，即a<−e24时，e x+ax2＝0有3个解，此时f(x)有3个零点，综上所述，可知当a≥0时，函数f(x)没有零点；当−e 24<a<0时，有1个零点；当a=−e 24时，有2个零点；当a<−e 24时，有3个零点．（2）由已知可得：f(x)−g(x)＝e x+ax2−ax ln x−ax+e3x＝e x+e3x+a(x2−x ln x−x)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，∴e xx+e3+a(x−ln x−1)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，令ℎ(x)=e xx+e3+a(x−ln x−1)，x∈(0, +∞)，ℎ′(x)=e x(x−1)x2+a(1−1x)=1x(x−1)(e xx+a)．令e xx +a<0，可得a>−e xx，x∈(0, +∞)．∴a>−e．因此：a>−e时，x＝1时，函数ℎ(x)取得极小值即最小值．ℎ(x)≥ℎ(1)＝e+e3>0恒成立．a＝−e时，函数ℎ(x)在x∈(0, +∞)上单调递增，x→0+，ℎ(x)>0恒成立，a<−e时，令ℎ′(x)=1x (x−1)(e xx+a)＝0，解得x＝1，e x+ax＝0，由e x0+ax0＝0，a<−e，可得e x0=−ax0>ex0，则x0>1．∴函数ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增．ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝−a+e3+a(ln(−a)−1)＝a ln(−a)−2a+e3＝F(a)，a<−e．F′(a)＝ln(−a)+1−2＝ln(−a)−1>0，∴F(a)在a<−e时单调递增，而F(−e3)＝−e3ln(−e3)+2e3+e3＝0．∴−e3<a<−e时，ℎ(x)min＝ℎ(x0)>0，满足题意．综上可得：a∈(−e3, +∞)．（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ(a>0)，直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（2）已知点P(−2, 4)，直线l与曲线C交于M，N两点，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【答案】曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ(a>0)，转化为直角坐标方程为y2＝2ax．直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．转换为直角坐标方程为x−y−2＝0．把直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．代入y2＝2ax得到：(√22t−4)2=2a(√22t−2)，整理得：t2−(8√2+4√2a)t+32+8a=0，所以t1+t2=8√2+4√2a，t1t2＝32+8a，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：|MN|2＝|PM||PN|，整理得(8√2+2√2a)2=5(32+8a)，解得a＝1或−4（负值舍去）．故a＝1．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ(a>0)，转化为直角坐标方程为y2＝2ax．直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．转换为直角坐标方程为x−y−2＝0．把直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．代入y2＝2ax得到：(√22t−4)2=2a(√22t−2)，整理得：t2−(8√2+4√2a)t+32+8a=0，所以t1+t2=8√2+4√2a，t1t2＝32+8a，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：|MN|2＝|PM||PN|，整理得(8√2+2√2a)2=5(32+8a)，解得a ＝1或−4（负值舍去）． 故a ＝1．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝m −|x −1|−|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】当m ＝5时，f(x)={5+2x(x <−1)3(−1≤x ≤1)5−2x(x >1) ，由f(x)>2得不等式的解集为{x|−32<x <32}．由二次函数y ＝x 2+2x +3＝(x +1)2+2，该函数在x ＝−1取得最小值2， 因为f(x)={m +2x(x <−1)m −2(−1≤x ≤1)m −2x(x >1)，在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点， 只需m −2≥2，即m ≥4． 【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 分段函数的应用 【解析】（1）当m ＝5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y ＝x 2+2x +3＝(x +1)2+2在x ＝−1取得最小值2，f(x)在x ＝−1处取得最大值m −2，故有m −2≥2，由此求得m 的范围． 【解答】当m ＝5时，f(x)={5+2x(x <−1)3(−1≤x ≤1)5−2x(x >1) ，由f(x)>2得不等式的解集为{x|−32<x <32}．由二次函数y ＝x 2+2x +3＝(x +1)2+2，该函数在x ＝−1取得最小值2， 因为f(x)={m +2x(x <−1)m −2(−1≤x ≤1)m −2x(x >1) ，在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点， 只需m −2≥2，即m ≥4．。
2020届重庆市南开中学高三第三次教学质量检测考试理科数学
重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测考试理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，{}2|30A x x x =∈-<Z ，则U A =ð（ ）A. {}5B. {}4,5C. {}3,4,5D. {}2,3,4,52.已知复数21aii+-纯虚数，则实数a =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知平面向量()()182a m b m ==-r r ，，，，则“4m =”是“//a b r r”的（ ）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4.函数()sin f x x x =的一条对称轴为（ ） A. 6x π=-B. 3x π=-C. 6x π=D. 3x π=5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，120a a <，4236=+a a a ，则43S S =（ ） A. 157-B. 53-C. 53D. 1576.已知非零平面向量a br r ，满足()()64a b a b b a +⊥-=r r r r r r ，，则a r 与b r 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（ ）A. ()12，B. ()0-∞，C. ()02，D. ()()012-∞⋃，， 8.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ）A. 150B. 167C. 184D. 2019.函数lncosxyx的图象大致为（）A.B.C.D10.在ABC ∆中，3AC AB ==，点M ，N 分别在AC AB ，上，且2AM BN ==，⊥BM CN ,则ABC ∆的面积为（ ）A.B.8122C.4511D.11.在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos c a a B -=，则3a cb+的最小值为（ ）A.B.C. D. 312.已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，给出下列四个命题：①数列{}n n a b -单调递增；②数列{}n n a b +单调递增；③数列{}n a 从某项以后单调递增；④数列{}n b 从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是：（ ） A ②③④B. ②③C. ①④D. ①②③④本试卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知曲线3y x ax =+在1x =处的切线与直线21y x =+平行，则a 的值为___________．14.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中()00A ωϕππ>>∈-，，，的部分图象如图所示，则ϕ=______________．15.已知函数()()221xf x e k x =+-在()0+∞，上单调递增，则实数k 的取值范围是__________． 16.已知平面向量a b r r，满足：2a b ==r r ，⊥r r a b ，22230-⋅+=r r r r b b c c ，则2a c +r r 的最大值是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为247n S a a a ，，，成等比数列，且550S =． （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和．18.在ABC ∆中，23AB AC D ==，，为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．19.某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g ）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率分布直方图．（1）求图中a b ，的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间[)4749，和(]5153，内为合格品，重量在区间[]4951，内为优质品．已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布．若这批零件共m 件()*100m m N>∈，，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由．20.已知函数()()()2ln 11f x ax x a R =--+∈存在极值点．（1）求a 的取值范围；（2）设()f x 的极值点为0x ，若()00f x x <，求a 的取值范围．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F ，D 在椭圆C 上，且12DF F ∆的周长为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点()10，的直线与椭圆C 交于A B ，两点，点P 在直线4x =上，求222PA PB AB ++的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t xy t x=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ<<），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()12cos28cos ρθθ-=． （1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由； （2）设直线l 与曲线C 交于不同两点A B ，，点()11P -，，若1143PA PB -=，求tan α的值． 23.已知实数a b ，满足33a b +≥，1a b -≤． （1）证明：1a b +≥；（2）若0pq >，证明：()()ap bq aq bp pq ++≥．的。
2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学（理）试题一、单选题 1．如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．3D ．-3【答案】D【解析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题. 2．若{0,1,2}A =，{|2,}a B x x a A ==∈，则A B =（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{0,1,2,4}D ．{1,2,4}【答案】C【解析】先求出集合B ，再求并集即可. 【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C. 【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3．向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，230a b t =-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.【详解】由题：“弓”所在弧长54488lππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离2 1.25 1.768d=⨯≈.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．【考点】排列数组合数公式及运用．6．已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是( )A．162+B．122226+C．1822+D．1622+【答案】B【解析】如图所示，还原几何体，证明CD CP⊥，计算表面积得到答案.【详解】还原几何体，如图所示：连接AC简单计算得到22AC CD ==4=AD ，故AC CD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PA CD ⊥.故CD CP ⊥，23PC =表面积为：()111112422242222222322222S =⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯ 122226=+故选：B 【点睛】本题考查了三视图，表面积的计算，还原几何体是解题的关键. 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,3,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B .【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D【解析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i =-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤.故选D. 【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9．已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan2α的值为（ ） A ．45B ．237-C ．247-D ．249-【答案】C【解析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解. 【详解】 由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-. 34sin tan cos ααα==-. 232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10．己知函数()ln 1f x x x kx =-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．{|1k k =或1}k e >-B ．1{|11k k e≤≤+或1}k e >- C ．1{|11k k e e +<≤-或1}k e >- D ．1{|11k k e e+<≤-或1}k = 【答案】D【解析】构造函数()1ln g x x x=+，利用导数得出其单调性，将零点问题，转化为函数的交点问题，即可得出答案. 【详解】解：令ln 10x x kx -+=，则1ln k x x =+；.令()1ln g x x x=+；()22111x g x x x x -'=-=； ∴当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0g x ，()g x 单调递减；当[]1,x e ∈时，0g x ，()g x 单调递增；∴当1x =时，有()min 1g x =，又∵11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11g e e =+，∴()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭∵()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，∴()g x k =只有一个解；∴1k =或111k e e+<≤-.【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数范围，属于中档题.11．在ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在一点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出,,A B C 三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出a 的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系设(),0B a -，(),0C a ，()0a >，则(A设(),P x y ，由22233PB PC PA +==得()()(22222233x a y x a y x y ⎡⎤+++-+=+=⎢⎥⎣⎦即22232x y a +=-，(221x y +-=即点P 既在()0,0(为圆心，1为半径的圆上可得11≤≤+，由两边平方化简可得22316a ≤则ABC ∆的面积为122S a =⋅==由22316a ≤，可得22316a =，S . 故选：B.【点睛】本题主要考查了两点间距离公式的应用以及由圆与圆的位置关系求参数范围，属于中档题.二、填空题12．已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④. 【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+. 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则12124,4x x k x x +==-，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.13．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________. 【答案】40【解析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解. 【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2rrr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=. 所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，+a b 的值为__________． 【答案】5【解析】由正弦定理边化角可得3C π=，由面积公式和余弦定理列方程可得+a b .【详解】2sin c A =，结合正弦定理可得2sin sin ,sin 0,sin 2A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3C π=.所以ABC ∆的面积1333sin 242S ab C ab ===，解得6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. （1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()f n =__________．【答案】2n -1; 【解析】【详解】设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1； n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h （2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h （3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h （n-1）+1=2n -1， 故答案为:2n -1．16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是5)A ，B ，(0,1,0)C，D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】92π径，从而得解. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长3=，所以球半径为32，体积为34932r ππ=. 【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题17．设数列{}n a 满足1123n n a a +=+,14a = (1)求证:数列{}3n a -是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析;(2)313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）计算得到13133n n a a +-=-，得到证明.（2）计算1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】(1)1123n n a a +=+,14a =，故11123133333313n n n n n n a a a a a a +-===---+-- 故{}3n a -是首项为1,公比为13的等比数列. (2) 1133n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭故1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故01111 11133(3133313)nnnT n n-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-313123nn⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列方法，公式的综合应用.18．某市对全市高二学生的期末数学测试成绩统计显示，全市10000名学生的数学成绩服从正态分布()2100,15N.现从甲校高二年级数学成绩在100分以上（含100分）的共200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷进行分析（试卷编号为001，002，…，200），成绩统计如下：试卷编号1n2n3n4n5n6n7n8n9n10n试卷得分109 118 112 114 126 128 127 124 126 120试卷编号11n12n13n14n15n16n17n18n19n20n试卷得分135 138 135 137 135 139 142 144 148 150注：表中试卷编123420029n n n n n<<<<<<.（1）写出表中试卷得分为144分的试卷编号（写出具体数据即可）；（2）该市又用系统抽样的方法从乙校中抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图，在这40份试卷中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取3人，这3人中数学成绩在全市排名前15名的人数记为X，求随机变量X的分布列和期望.附：若()2,X Nμσ，则()68.3%P Xμσμσ-<<+=，()2295.5%P Xμσμσ-<<+=，()3399.7%P Xμσμσ-<<+=【答案】（1）180；（2）详见解析.【解析】（1）根据等距抽样的定义直接得到答案；（2）根据正态分布得到全市排名前15名的成绩全部在146分以上，（含146分），根据茎叶图，得出ξ的取值及其相应概率，即可得出随机变量X 的分布列和期望. 【详解】（1）因为200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷，所以相邻两份试卷编号相差为1，所以试卷得分为144分的试卷编号180.（2）∵150.001510000=，根据正态分布可知： ()7414699.7%P X <<=，∴()199.7%1460.00152P X -≥==，即全市排名前15名的成绩全部在146分以上，（含146分）根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上含146分的有3人，而成绩在140分以上含140分的有8人， ∴ξ的取值为0，1，2，3()35385028C P C ξ===，()21533815128C C P C ξ⋅=== ()12533815256C C P C ξ⋅===，()1253381356C C P C ξ⋅=== ∴ξ的分布列为因此()51515190123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了系统抽样，正态分布，分布列以及期望，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角B AC P --的余弦值． 【答案】（1）见证明；（2）3. 【解析】（1）通过侧面PAB ⊥底面ABCD ，可以证明出BC ⊥面PAB ，这样可以证明出⊥AP BC ，再利用BE ⊥平面APC ，可以证明出AP BE ⊥，这样利用线面垂直的判定定理可以证明出AP ⊥面PBC ，最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面PAD ⊥平面PBC ；（2）利用三棱锥体积公式可得111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，利用基本不等式可以求出三棱锥P ABC -体积最大值，此时可以求出,PA PB 的长度，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．求出相应点的坐标，求出面PAC 的一个法向量，面ABC 的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角B AC P --的余弦值. 【详解】（1）证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ⋂底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥，面ABCD ，∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴⊥AP BC ，BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，∴AP BE ⊥，BC BE B =，,BC BE ⊂平面PBC ，∴AP ⊥面PBC ，AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值． 令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴224x y +=， 而221123323P ABCx y V xy -+=≤⨯=， 当且仅当2x y ==，即2PA PB ==时，P ABC V -的最大值为23． 如图所示，分别取线段AB ，CD 中点O ，F ，连接OP ，OF ，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -． 由已知(0,1,0),(0,1,2),(1,0,0)A C P -，所以(1,1,0),(0,2,2)AP AC ==， 令(,,)n x y z =为面PAC 的一个法向量，则有0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，∴(1,1,1)n =-易知(1,0,0)m =为面ABC 的一个法向量， 二面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角则1cos 33n m n m θ⋅===⋅.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、基本不等式的应用，以及利用空间向量的数量积求二面角余弦值的问题.20．已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是34-． （I ）求点M 的轨迹方程：（II ）设直线AM 方程为()20x my m =-≠，直线l 方程为2x =，直线AM 交l 于P 点，点P ，Q 关于x 轴对称，直线MQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆面积为求m 的值．【答案】（1）221(2)43x y x +=≠±（2）m = 【解析】(1)本题可以先将点M 的坐标设出，然后写出直线AM 的斜率与直线BM 的斜率,最后根据AM 、BM 所在直线的斜率之积是34-即可列出算式并通过计算得出结果；(2)首先可以联立直线AM 的方程与直线l 的方程，得出点P Q 、两点的坐标，然后联立直线AM 的方程与点M 的轨迹方程得出M 点坐标并写出直线MQ 的方程，最后求出D 点坐标并根据三角形面积公式计算出m 的值．【详解】（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点A B 、的坐标分别为()20-，、()20，， 所以直线AM 的斜率()22AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率()22BM yk x x =≠-， 由题目可知3224y y x x ⋅=-+-，化简得点M 的轨迹方程()221243x y x +=≠±； （2）直线AM 的方程为()20x my m =-≠，与直线l 的方程2x =联立，可得点42,P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将2x my =-与22143x y +=联立，消去x ，整理得()2234120m y my +-=，解得0y =，或21234my m =+，根据题目可知点2226812,3434m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由42,Q m ⎛⎫-⎪⎝⎭可得直线MQ 的方程为()2221246842203434mm x y m m m m ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+---+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得226432m x m -=+，故2264032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，， 所以2222641223232m m AD m m -=+=++，APD ∆的面积为22224112423232m m m m m ⨯⨯=++又因为APD ∆的面积为，故22432m m =+整理得2320m m -+=，解得m =m =． 【点睛】本题考查轨迹方程以及直线相交的综合应用问题，处理问题的关键是能够通过“AM 、BM 所在直线的斜率之积是34-”列出等式以及使用m 表示出M Q D 、、三点的坐标，然后根据三角形面积公式得出算式，即可顺利解决问题，计算量较大，是难题． 21．己知函数()2xf x e ax =+，()3ln g x ax x ax e x =+-，a R ∈.（1）求函数()f x 的零点个数；（2）若()()f x g x >对任意()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()3,a e ∈-+∞.【解析】（1）分离参数，利用导数得出()2x e t x x=的单调性，结合图象，即可得出函数()f x 的零点个数；（2）构造函数3()ln h t t a t e a =++-，t e ≥，分类讨论a 的值，利用导数得出其单调性以及最值，即可得出a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意，可知()01f =，∴0x =不是()f x 的零点当0x ≠时，令()20xf x e ax =+=，整理得，2x e a x-=令()2xe t x x =，0x ≠.则()()42x x x e t x x-'=. ()02t x x '>⇒>或0x <；()002t x x '<⇒<<∴函数()t x 在,0上单调递增，在()0,2上单调递减，在2,上单调递增即在2x =处取得极小值()224e t =.∵x →-∞，0t →；0x →，t →+∞；x →+∞，t →+∞ ∴函数()t x 大致图象如下图所示：结合图形可知：①当0a -≤，即0a ≥时，2xe a -=无解，即20x e ax +=无解，此时()f x 没有零点，②当204e a <-<，即204e a <<时，20x e ax +=有1个解，此时()f x 有1个零点，③当24e a -=，即24e a =-时，20x e ax +=有2个解，此时()f x 有2个零点，④当24e a ->，即24e a <-时，20x e ax +=有3个解，此时()f x 有3个零点，综上所述，当0a ≥时，没有零点；当204e a -<<时，有1个零点；当24e a =-时，有2个零点；当24e a <-时，有3个零点.（2）()()()32ln 0xf xg x e e x a x x x x -=++-->在()0,x ∈+∞上恒成立∴()33ln 1ln 10x x x e e e a x e e a x x x x ⎛⎫++- ++⎝-=⎪⎭->在()0,x ∈+∞上恒成立 令x e t x =，2(1)x x e t x'-= 01t x '>⇒>；001t x '<⇒<<，即函数xe t x=在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，则t e令3()ln h t t a t e a =++-，t e ≥，()1a t a t h t t'+=+= 当a e ≥-时，()0h t '，则函数()h t 在区间[),e +∞上单调递增 即33()()ln 0h t h e e a e e a e e =++-=+>恒成立 当a e <-时，()0h t t a '>⇒>-；()0h t e t a '<⇒<-则函数()h t 在区间[),e a -上单调递减，在区间(,)a -+∞上单调递增3()()ln()20h t h a a a e a ∴-=-+->在区间[),e +∞上恒成立令3()ln()2d a a a e a =-+-，()ln()10d a a '=-->()d a ∴在区间(,)e -∞-上单调递增()33333ln 20d e e e e e -=-++=3ln()20a a e a -+->，解得()3,a e e ∈--综上，()3,a e ∈-+∞ 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数零点的个数以及研究不等式的恒成立问题，属于中档题.22．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos a ρθθ=（0a >），直线l的参数方程为224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）己知点()2,4P --，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22y ax （0a >），直线l 的普通方程为20x y --=；（2）1.【解析】（1）利用极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程的方法化简即可； （2）直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义，进行求解即可. 【详解】 解：（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=中，得到曲线C 的直角坐标方程为22y ax （0a >）224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消掉参数，得到直线l 的普通方程为20x y --= （2）直线l 的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得)()24840t a t a -+++=()840a a ∆=+>，点M ，N 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的两实根则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由PM ，MN ，PN 成等比数列得21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=，代入得)()()()2448484a a a +-⨯+=+，解得1a =或4a =-，∵0a >∴1a =.【点睛】本题主要考查了极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程参数的几何意第 21 页 共 21 页 义的应用，属于中档题.23．已知函数1(1)f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围．试题解析：（1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需22m -≥，即4m ≥.。
重庆市南开中学2020届高三下学期3月月考数学(文)试题及答案
重庆南开中学高2020级高三（下）3月考试数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数421i z i -=+的虚部为( ) A. 1- B. 3- C. 1 D. 22.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米4.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A. 15 B. 23 C. 79- D. 595.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，a =则ABC ∆面积为（ ）A. B. C. D.6.若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（ ）A. 0B. 32C. -3D. 3 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 42B. 45C. 46D. 48 8.已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =u u u v u u u v ，13CE CB =u u u v u u u v ，则向量AD uuu v 与AE u u u v 的关系是（ ） A. 2AD AE =u u u v u u u vB. 12AD AE =u u u v u u u v C . AD AE ⊥u u u vu u u vD. AD uuu v 与AE u u u v 成60︒夹角 9.已知函数()cos 3x f x π=，根据下列框图，输出S 的值为( ) A. 670B. 16702C. 671D. 672 10.奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2x-＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ）A. （﹣1，0）∪（0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 11.在ABC ∆中，sin 3sin 2B C =，60BAC ∠=︒，D 是BC 的中点.若AE EC λ=u u u r u u u r ，且AD BE ⊥，则实数λ=（ ）A. 75B. 712C. 43D. 4712.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A. 34B. 234C. 517D. 317第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知集合{}2|60A x x x =--≤，{}|2B x x =≤，则A B =U ______.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，则n a =______. 15.已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________．16.把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：①该函数的解析式为；2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3，则23a =． 其中，正确判断的序号是______．三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件开始，计件工资每件5元.该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据.将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件的概率；（2）若甲、乙选择了日工资方案一，丙、丁选择了日工资方案二.现从上述4名工人中随机选取2人.求至少有1名工人选择方案一的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，110BB =，D ，E 分别是线段1BB ，1AC 的中点.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥A DCE -的体积.19.已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20.已知抛物线C ：()220x py p =>，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且当直线l 倾斜角为45︒时，与抛物线相交所得弦的长度为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）若分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由. 21.已知函数()()ln 11f x x x a x =-++，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若方程()()121120f x a a x x x⎛⎫-+++++= ⎪⎝⎭有三个解，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，求2C 的参数方程； （2）若M ，N 分别是直线l 与曲线2C 上的动点，求MN 的最小值.23.已知()|1||1|f x x ax =-++,()|1|2g x x =++（Ⅰ）若12a =,求不等式()2f x <的解集； （Ⅱ）设关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为A ,若集合(0,1]A ⊆,求a 的取值范围.重庆南开中学高2020级高三（下）3月考试数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数421i z i -=+的虚部为( ) A. 1-B. 3-C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案. 【详解】()()()()42142426131112i i i i z i i i i -----====-++-, 则复数z 的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi 的虚部为b ，不要误写为bi .2.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米 【答案】C【解析】【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案．【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．4.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A. 15 B. 23 C. 79- D. 59【答案】C【解析】【分析】 利用三角函数的诱导公式化简得22cos(2)cos[(2)]cos[2()]336πππαπαα-=---=-+，再利用余弦的倍角公式，即可求解． 【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336ππππαπααα-=---=-+=-+ 22172sin ()12()1639πα=+-=⨯-=-，故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，a =则ABC ∆面积为（ ）【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到2c =，再根据余弦定理得到3cos 4C =，再计算面积得到答案.【详解】sin 2sin A B =，故2a b ==()cos cos 2sin cos sin cos 2sin 2a B b A R A B B A R C c +=+===， 所以2223cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =，1sin 22ABC S ab C ∆==.故选：C .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.6.若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（） A. 0 B. 32 C. -3D. 3 【答案】D【解析】【分析】做出可行域，根据图象求出目标函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】做出可行域如图所示，目标函数过A 点时取得最大值，由2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ， 所以z x y =-的最大值0M =当z x y =-过(0,3)B 时，取得最小值为3m =-，所以3M m -=.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】 先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF, 所以该几何体的体积为11434-(23)24824632⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=.故选C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =u u u v u u u v ，13CE CB =u u u v u u u v ，则向量AD uuu v 与AE u u u v的关系是（ ） A. 2AD AE =u u u v u u u v B. 12AD AE =u u u v u u u v C. AD AE ⊥u u u v u u u vD. AD uuu v 与AE u u u v 成60︒夹角【答案】A【解析】【分析】 先求出=6,8AD u u u r （），=3,4AE u u u r （），所以2AD AE =u u u r u u u r，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r (3,4)=，所以2AD AE =u u u r u u u r .故选：A.【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数()cos 3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A. 670B. 16702C. 671D. 672【答案】C【解析】【分析】 根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos 32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos 32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =，直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos 3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．10.奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2x -＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ）A. （﹣1，0）∪（0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【答案】C【解析】【分析】根据当x ＜0时，()f x ¢2x-＜f （x ）的结构特征，构造函数()()2h x x f x =，求导得()()()(2)h x x xf x f x ''=+，由当x ＜0时，()f x ¢2x -＜f （x ），得()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数，再根据f （x ）奇函数，则()()2h x x f x =也是奇函数，()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导数()f x ¢， 所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，将（x 2﹣1）f （x ）＜0转化为()21()0x h x -<求解.【详解】设()()2h x x f x =， 所以()()()(2)h x x xf x f x ''=+，因为当x ＜0时，()f x ¢2x-＜f （x ）， 即()()20xf x f x '+>，所以()()()(2)0h x x xf x f x ''=+<，所以()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数. 又因为f （x ）奇函数，所以()()2h x x f x =也是奇函数， 所以()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数， 又因为函数f （x ）在R 上存在导数()f x ¢， 所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，所以（x 2﹣1）f （x ）＜0()21()0x h x ⇔-<210()0x h x ⎧->⇔⎨<⎩或210()0x h x ⎧-<⎨>⎩解得1x >或10x -<<故选：C【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 11.在ABC ∆中，sin 3sin 2B C =，60BAC ∠=︒，D 是BC 的中点.若AE EC λ=u u u r u u u r ，且AD BE ⊥，则实数λ=（ ） A. 75 B. 712 C. 43 D. 47【答案】A【解析】【分析】 由已知可得32b c =，以,AB AC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，再由AD BE ⊥u u u r u u u r ，建立λ方程，即可求解. 【详解】sin 333,,sin 222B b b c C c =∴==Q ， D 是BC 的中点，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ,1AE EC AE AC λλλ=∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r Q ， 1BE AE A AB AC B λλ=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u u r r u u ， ,AD BE AD BE ⊥⊥u u u r u u u r Q ，1()()21AC AB AD B AC E AB λλ+⋅+-⋅=u u u r u u u u u u u ur u u u r u u r u u r r 221[(]01121)AC AB AC AB λλλλ=+=++⋅--u u u r u u u r u u u r u u u r 2201)cos6011(b bc c λλλλ∴+-︒++=-， 整理得77,1125λλλ=∴=+. 故选:A.【点睛】本题考查正弦定理、共线向量、向量基本定理、垂直向量的应用，考查计算求解能力，属于中档题.12.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A. 34B. 234C. 517D. 317 【答案】D【解析】【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ，且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅==. 故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知集合{}2|60A x x x =--≤，{}|2B x x =≤，则A B =U ______.【答案】[]2,3-【解析】【分析】化简集合,A B ，按并集定义即可求解.【详解】{}2|60[2,3]A x x x =--≤=-， {}|2[2,2]B x x =≤=-，[2,3]A B ⋃=-.故答案为:[]2,3-【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，则n a =______.【答案】2n n a =-【解析】【分析】利用n a 和n S 的关系计算得到答案.【详解】11122222+22(2)n n n n n n n n S S S a n ++-⇒=-=-=--≥=-当1n =时，112a S ==- 满足通项公式故答案为2n n a =-【点睛】本题考查了n a 和n S 的关系，忽略1n =的情况是容易发生的错误.15.已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________．【答案】2【解析】【分析】由题意首先求得点P 的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.【详解】设()()()12,0,,00F c F c c ->，F 1关于直线y x =-的对称点P 坐标为（0，c ），点P 在椭圆上，则：2201c a+=，则c =b =1,2222a b c =+=，则a =故12PF F △的周长为：1212222PF PF F F a c ++=+=.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．16.把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为；2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a =． 其中，正确判断的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin[2()]2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象，再根据三角函数的图象与性质逐项判定，即可求解． 【详解】把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数2sin[2()]2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象， 由于()2sin(2)3f x x π=+，故①不正确； 令2,3x k k Z ππ+=∈，求得,26k x k Z ππ=-∈，故函数的图象关于点(,0)26k ππ-对称，故函数的图象关于点(,0)3π对称，故②正确； 令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数的增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，故函数[0,]6π上不是增函数，故③不正确；当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈，故当4233x ππ+=时，()f x 取得最小值为函数()y f x a =+取得最小值为a =a =故答案为②④．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件开始，计件工资每件5元.该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据.将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件的概率；（2）若甲、乙选择了日工资方案一，丙、丁选择了日工资方案二.现从上述4名工人中随机选取2人.求至少有1名工人选择方案一的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【答案】（1）0.4（2）56（3）新聘工人应选择方案一，详见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出[)65,75，[)75,85，[]85,95的频率，即可求出结论；（2）列出4人中随机选取的所有情况，确定满足条件基本事件的个数，按古典概型的概率求法，即可求解；（3）求出该工厂的人均产量的平均数，分别求出两种日新方案的平均值，选择选择高的方案即可.【详解】（1）设事件A为”随机选取一天，这一天该工厂的人均生产量不少于65件”，依题意，该工厂的人均生产量不少于65件的频率分别为：0.2，0.15，0.05，∴()0.20.150.050.4P A=++=.（2）设事件B为“从4名工人中随机选取2人，至少有1名工人选择方案一”，从4名工人中随机选取2人，所有情况有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共有6种情况，其中至少有1名工人选择方案一的情况有5种情况，∴()5 6P B=.（3）由频率分布直方图可知：该工厂的人均产量的平均数为：300.05400.05500.2600.3⨯+⨯+⨯+⨯700.2800.15900.0562+⨯+⨯+⨯=.∴方案一平均工资约为：50623236+⨯=，方案二平均日工资约为：()10062445190+-⨯=.可知方案二平均工资低于方案一平均日工资.故新聘工人应选择方案一.【点睛】本题考查由频率分布直方图求频率和平均数、古典概型，属于基础题.18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，110BB =，D ，E 分别是线段1BB ，1AC 的中点.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥A DCE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2033 【解析】【分析】（1）取AC 中点为H ，连接HE ，BH ，证明四边形HEDB 是平行四边形，可得//HB DE ，即可证明结论；（2）利用等体积法结合E 是线段AC 中点，可得111122A DCE E ACD C ACD C ABC V V V V ----==⨯=，即可求解. 【详解】（1）取AC 中点为H ，连接HE ，BH ，∴1//BD CC ，112BD CC =，1//HE CC ， 112HE CC =，∴四边形HEDB 是平行四边形， ∴//HB DE ，HB ⊂平面ABC ，DE ⊄平面PAD ，∴//DE 平面ABC .（2）E 是线段AC 中点，则112A DCE E ACD C ACD V V V ---==111111222A CDC A BCC C ABC V V V ---=⨯⨯=⨯=. 11120323410232=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面平行的证明以及求椎体的体积，合理应用等体积法是解题的关键，属于中档题.19.已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）12112222n n S n n +=++- 【解析】 【分析】（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122n n n n n a na +++=+,即可证明结论;（2）由（1）可求得2n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】（1）证明:因为11221n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112a =, 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112n nna n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232n n =++++++++L()232222(123)n n =+++++++++L L ()212(1)122nn n ⨯-+=+-12112222n n n +=++-. 【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20.已知抛物线C ：()220x py p =>，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且当直线l 倾斜角为45︒时，与抛物线相交所得弦的长度为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）若分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）24x y =（2）存在；最小面积为4π【解析】【分析】（1）根据题意求出直线l 倾斜角为45︒时的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系和焦半径公式，求出弦长，即可求出p ；（2）点P 关于直线AB 的对称点为Q ，可得ABP ABQ ≅V V ，从而有APB AQB ∠=∠，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，只需判断是否有2APB π∠=，即,PA PB 是否垂直，根据切线的几何意义，求出,PA PB的斜率，即可得出结论，如果存在外接圆，外接圆的直径为AB ，要使外接圆面积最小，即求||AB 最小，利用根与系数关系和相交弦长公式，即可求解.【详解】（1）由题意知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线l 倾斜角为45︒时，直线l 的方程为2p y x =+， 由222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得：22304p y py -+=， 所以123y y p +=.又由128y y p MN =++=，所以2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）四边形PAQB 存在外接圆.设直线AB 方程为1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，则216160k ∆=+>，且124x x k +=，124x x =-， 所以()222112()441x AB y y k x k =+=+=+++， 因为C ：24x y =，即24x y =，所以'2x y =. 因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222x k =， 由于121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB ∆是直角三角形， 所以PAB ∆的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径，所以点Q 一定在PAB ∆的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆. 又因()241AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦点弦长、切线的几何意义的应用，要熟练掌握焦点弦长求法，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.21.已知函数()()ln 11f x x x a x =-++，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若方程()()121120f x a a x x x⎛⎫-+++++= ⎪⎝⎭有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）调递减区间是()0,a e ，单调递增区间是(),a e +∞，()f x 的极小值为1a e -，无极大值（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出()f x '，求解不等式()0,()0f x f x ''><，得出单调区间，进而求出极值； （2）设()()()12112f x a a x x x xh ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭，()h x 有三个零点，()h x 至少有三个单调区间，求出()h x '，对a 分类讨论，求出至少有三个单调区间a 的范围， 再结合零点存在性定理，确定区间存在零点的不等量关系，即可求解.【详解】（1）()'ln f x x a =-，令ln 0x a -=，解得a x e =，当0a x e <<时，()'0f x <；当a x e >，()'0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是()0,a e，单调递增区间是(),a e +∞， 所以()f x 的极小值为()1a a f e e =-，无极大值.（2）设()()()12112f x a a x x x xh ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭， 即()()l 2212n a x x xh x a +=-++， ()()2222122121'x a x a a a x x xh x +---=-+= ()()()2120x x a x x -+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点. ②若12a =-，则()0,x ∈+∞，()'0h x ≥， （仅()'10h =），()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点. ③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时， ()'0h x >，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立， 由()10h <，得32a <-， 这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点.④若12a <-，则21a ->，当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()'0h x >， ()h x 单调递增：当()1,2x a ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立， 由()10h >，得32a >-， 由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-， 得2e a <-，∴322e a -<<-. 且当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-， ()()()2222242242h e e a e e e e --=++-<+--4150e <+-<，()()()222222232h e e a e e e --=++>-+2226370e e e -=-->->.综上，a 的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、零点问题，以及零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理和计算求解能力，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，求2C 的参数方程； （2）若M ，N 分别是直线l 与曲线2C 上的动点，求MN 的最小值.【答案】（1）cos 42sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）. 【解析】【分析】（1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到cos 2sin 2x y αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，变形后可得2C 的参数方程；（2）由sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式及三角函数求最值得答案.【详解】解析：（1）曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，2cos :2sin 2x C y αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），即cos 42sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）. （2）直线:sin 04l πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，sin cos 022ρθρθ∴⨯+⨯+=， ∴直线l 的直角坐标方程为80x y ++=，||MN d ∴≥== ∴当sin()1αϕ+=-时，min ||MN ==． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查普通方程化参数方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题.23.已知()|1||1|f x x ax =-++,()|1|2g x x =++ （Ⅰ）若12a =,求不等式()2f x <的解集； （Ⅱ）设关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为A ,若集合(0,1]A ⊆,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 4|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；(Ⅱ) []5,3-． 【解析】【分析】（Ⅰ）利用零点分区间法去掉绝对值，转化为不等式组求解即可．（Ⅱ）根据题意将问题转化为“对于(]0,1x ∈，不等式1112x ax x -++≤++恒成立”求解，通过去掉绝对值得到3122a x x--≤≤+对(]0,1x ∈恒成立，求出最值可得结果．【详解】（Ⅰ）当12a =时，不等式()2f x <即为1122x x -++<， 等价于1322x x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩或21222x x -≤<⎧⎪⎨-<⎪⎩或2322x x <-⎧⎪⎨-<⎪⎩ 解得413x ≤<或01x <<， 所以403x <<． 所以原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）由题意可知，对于(]0,1x ∈，不等式1112x ax x -++≤++恒成立， 故不等式113x ax x -++≤+对于(]0,1x ∈恒成立， 化简得122ax x +≤+所以(]23210,1x ax x x --≤≤+∈对于恒成立，， 即3122a x x--≤≤+对于(]0,1x ∈恒成立， 又当(]0,1x ∈时，123x +≥，且325x --≤-， 所以53a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]5,3-．【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．。
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19. 解：（1）证明： 侧面 PAB 底面 ABCD ，侧面 PAB 底面 ABCD=AB ，四边形 ABCD 为
正方形， BC AB, BC 面 ABCD ，BC 面 PAB ， 又 AP 面 PAB ， AP BC ，
BE ⊥平面 APC ， AP 面 PAC ， AP BE ，......（2 分） BC BE B, BC, BE 平面 PBC ， AP 面 PBC ， AP 面 PAD ，
②当 0＜﹣a＜ ，即﹣ ＜a＜0 时，ex+ax2＝0 有 1 个解，此时 f（x）有 1 个零点， ③当﹣a＝ ，即 a＝﹣ 时，ex+ax2＝0 有 2 个解，此时 f（x）有 2 个零点， ④当﹣a＞ ，即 a＜﹣ 时，ex+ax2＝0 有 3 个解，此时 f（x）有 3 个零点， 综上所述，当 a≥0 时，没有零点；当﹣ ＜a＜0 时，有 1 个零点；
m
m
43
(3m2
4)
y2
12my
0
，解得
y
0
或
y
12m 3m2
4
，故点
M
(
6m2 3m2
8 4
,
12m 3m2
) 4
，...（2
分）
故直线
MQ
：
(
12m 3m2
4
+
4 )( m
x
2)
(
6m 2 3m2
8 4
2)(
y
4) m
0
，令
y
0
解得
x
6m2 3m2
4 2
，
故
D(
6m2 3m2
4 2
,
整理得，-a＝ ，令 t（x）＝ ，x≠0．则 t′（x）＝
．
∴函数 t（x）在（﹣∞，0）上单增，在（0，2）上单减， 在（2，+∞）上单增，在 x＝2 处取得极小值 t（2）＝ ． ∵x→﹣∞，t→0；x→0，t→+∞；x→+∞，t→+∞ ∴函数 t（x）大致图象如右：...（2 分） 结合图形可知：①当﹣a≤0，即 a≥0 时，﹣a＝ 无解，即 ex+ax2＝0 无解，此时 f（x）没有零点，
则 cos n m 1 3 .......（2 分）
nm 3 3
20.
解：（1）设点 M
的坐标为
(x,
y)
，则
x
y
2
x
y
2
Hale Waihona Puke 3 ，化简得点 M 4的轨迹方程
x2 y2 1(x 2) ；......（4 分） 43
（2）易得点 P(2, 4 ) ，故 Q(2, 4 ) ，将 x my 2 与 x2 y2 1联立，消去 x ，整理得
上只有一个零点，∴g（x）＝k 只有一个解；∴k＝1 或
．
12．解：以 BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，
设 B（﹣a，0），C（a，0），（a＞0），则 A（0，
），设 P（x，y），由 PB2+PC2＝3PA2＝3 得
（x+a）2+y2+（x﹣a）2+y2＝3[x2+（y﹣
则 A0, 1, 0 ， C 0,1, 2 ， P 1,0,0 ，......（2 分）
所以 AP 1,1, 0 ， AC 0, 2, 2 ，令 n x, y, z 为平面 PAC 的
一个法向量，则
x 2
y0 y 2z
0
，
n
1,
1,1
......（2
分）
易知 m 1, 0, 0 为面 ABC 的一个法向量，令面角 B AC P 的平面角为 ， 为锐角，
）2]＝3，即 x2+y2＝ ﹣a2，x2+（y﹣
）2＝1，
即点 P 既在（0，0）为圆心，
为半径的圆上，又在（0，
）为圆心，1 为半径的圆上，
可得|1﹣
|≤
≤1+
，由两边平方化简可得 a2≤ ，
则△ABC 的面积为 S＝ •2a•
＝a
＝
，
由 a2≤ ，可得 a2＝ ，S 取得最大值，且为
．故选：B．
重庆南开中学高 2020 级高三 3 月月考
理科数学答案
一. 选择题： DCCB CBBD ACDB
11．解：令 xlnx﹣kx+1＝0，则 k＝
；令
；
；
∴当
时，g′（x）＜0，g（x）单减；当 x∈[1，e]时，g′（x）＞0，g（x）单增；
∴当 x＝1 时，有 g（x）min＝1，又∵
，
，∴
,
∵f（x）在
（2） 15 =0.0015 ，根据正态分布可知：
，
10000
，即 名的成绩全部在 分以上，（含 分），......（2 分）
根据茎叶图可知这 人中成绩在 分以上含 分）的有 人，而成绩在 分以上含 分）的有 人，（1 分）
的取值为
，
，
，（每一个概率各 1 分） 的分布列为
因此
.......（2 分）
平面 PAD ⊥平面 PBC ；......（4 分）
（2）VP ABC
VC APB
1 3
1 PA PB 2
BC
1 PA PB ，求三棱锥 3
P
ABC
体积的最大值，
只 需 求 PA PB 的 最 大 值 . 令 PA x, PB y ， 由 (1) 知 ， PA PB ， x2 y2 4 ， 而
0)
，...（3
分）
所以
△APD
的面积为
1 2
12m2 3m2
2
|
4 m
|
=
24 3m2
m
2
，故
24 3m2
m
2
=2
6 ，...（2 分）
整理得 3m2 2 6 | m | 2 0 ，解得 | m | 6 ，所以 m 6 ． ...（1 分）
3
3
21. 解：（1）由题意，可知 f（0）＝1，∴x＝0 不是 f（x）的零点，当 x≠0 时，令 f（x）＝ex+ax2＝0，
二．填空题：
13. 40
14.5
15. 2n 1
9
16.
2
三．解答题：
17.解：（1）
an1
1 3
a
n
2
，a1
4
，
an1
3
1 3
(an
3)
，故 an
3是首项为
1，公比为
1 3
的等比数列；..............（6 分）
（2）由（1）知 an
3
1 3
n
1
，Tn
=
3n
+（
1 3
0
1 1 3
1
n1
）=
3n
+
1
-
1 3
n
3
1- 1
= 3n +
3 2
1
-
1 3
n
3
..............（6 分）
18．解：（1）因为 200 份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了 20 份试卷，所以相邻两份试卷
编号相差为10 ，所以试卷得分为144 分的试卷编号180 ...............（3 分）
VP ABC
1 xy 3
1 3
x2
2
y2
2 3
，当且仅当 x
y
2，
即 PA PB
2 时，VPABC 的最大值
为2 3
. ......（2 分）
如图所示，分别取线段 AB ， CD 中点 O, F ，连接 OP, OF ，以点 O 为坐标原点，以 OP ， OB 和
OF 分别作为 x 轴， y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz ．