张量1-1

1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 12 xy 12 2G 2G 11 22 33
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 1 (1 ) 12 xy xy 12 12 2 2G 2G E 11 22 33 ii
Aik Bjk Cij
表示9个方程：
i ，j为自由指标，k 为哑标
A1k B1k A11B11 A12 B12 A13 B13 C11 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13 B23 C12 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13 B33 C13 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23 B13 C21
1
123 1
3
2
132 1
叉积U×V可表成：
e1 v1 e2 v2 e3 v3 U V u1 u2 u3 ijk u j vk
如i=1时：
1 jk u j vk 123u2v3 132u3v2 u2 v3 u3v2
U (V W ) 可表成：
又如，方程
2 2 1 2 2 3 11 1 2 2 2 3 3 3
用指标法表示，可写成
i i i i i i i i i i i
i 不参与求和，只在数值上等于 i
1.1.3 微分的记法
微分的记法 在下标中，用一个逗号表示微分。如：
ri si ti rj sj t j eijk erst rk sk tk
令i=r：
s t 2 3 a aij erst a1r a2 a3 erst a1 a r s at
ii si ti i j sj t j eijk eist ik sk tk
a b x
i 1
n
i i i
n 表示空间的维数。如我们总n=3。则 例题
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
bjj b11 b22 b33
ห้องสมุดไป่ตู้.1.2 自由指标
例如
xi aij x j
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样。如 取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
若 则
也称为三维空间的排列符号。 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
e1 , e2 , e3
ei e j ei jkek
1.3.1
ijk
符号（交错张量,Eddington张量）
一个矢量可以被认为是一个具有3（3的下标数 次幂）个元素的张量。




交错张量有 33 或 27个元素，这些元素根据下 标值规定为+1、-1或0。 这种定义是根据将下标交换成1、2、3的自然顺序 所需交换的次数而定。 下标交换次数为偶数，则元素值为1；下标交换次 数为奇数，则元素值为-1；下标出现重复，则元素 值为0。 不论交换方式如何，交换的次数总保持为奇数或偶 数。
ei jk
例如：
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1
逆序：前面的数大于后面 的数
e111 e121 e232 0
可见：
ei jk ejk i ek i j eji k ei k j ek ji
ei jk
u1
u2 v2
u3 v3 ijk uiv j wk w3
U (V W ) v1
w1 w2
用置换符号展开三阶行列式，令：
1 a1 a a12
a1 2 2 a2
3 a2
1 a3 2 1 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 a3 a1 a2 a3 a12 a2 a3 a13a1 a a a a a a a a 2 3 1 2 3 1 2 3 1 a2 a3 3 a3
若
e1 , e2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j ，但
ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3
而
ii 11 22 33 3
ei ei i i
，故
注意：
ii
是一个数值，即
ii 3
……
A3k B3k A31B31 A32 B32 A33 B33 C33
例外：
R1 C1E1 R2 C2 E2 Ri Ci Ei Ci Ei
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
R3 C3 E3
规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。
i j
的作用：1）换指标；2）选择求和。
例1：
Ai Ak
k i Ai k k Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
例2：
Tk j Ti j
特别地，
i kTk j i iTij Tij
i k k j ij , i k k j jm i m
例3：
Ami Bn j , 34 81
求
个数，
mn
项的和。
mn Ami Bn j An i Bn j Ami Bm j
1.3 置换符号(Ricci符号)
1, 1, 0,
i, j, k, 为1，2，3的偶排列 i, j, k, 为1，2，3的奇排列 i, j, k, 不是1，2，3的排列
i 1 j1 k 1 n n n
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定：
在同一项中，某个指标在成对出现，就表示对该指标遍 历其取值范围求和，这样重复的指标称为哑标。
于是
S ai xi a j x j ak xk
or
or

vi V vi ,i v1,1 v2, 2 v3,3 xi

第一个指标表示矢量的分量 逗号表示关于第二个指标的偏导数 第二个指标对应于相应的坐标轴
的散度：
,ii
2
？？：
aij x j bi
1.2 Kronecker 符号
求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程： 其普通记法
U i 0 xi
或
U1 U 2 U 3 0 x1 x2 x3
U x U y U z 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
弹性力学平衡方程方程：
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
1, i j ij 0, i j
ij 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：
11 12 21 22 31 32
13 1 0 0 0 1 0 23 33 0 0 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 x3
e i Aije j
表示
i 为自由指标，j 为哑标
A11e1 A12e2 A13e3 e1 e 2 A21e1 A22e 2 A23e3 e 3 A 31e1 A 32e 2 A 33e3
把（2） 代入（1）
bi Vi mcm
m
bm Vm n cn
n or else
1.4.2 乘积 设
不符合 求和约 定
p U m am q V mbm
p q U mamVmbm
则
p q U m amVnbn
1.4.3 因式分解
考虑 第一步用
Ti j nj ni 0 nj
1 ij ij kk ij E E
将前3式相加
1 2 E
解得
E ij ij ij 1 1 E 2G ij ij (1 )(1 2 )
得
ij 2G ij kkij
1.4.4 缩并
恒等式
利用交错张量和克朗内克的定义，可用 展开法很容易地验证：
ijk ist js kt jt ks
1.4 指标记法的运算
1.4.1 代入 设
3个方程， 右边为9 项之和
ai U i m bm bi Vi m cm
(1) (2)
ai Ui mVmn cn
如矢量V:
V V1e1 V2e2 V3e3 V1 ,V2 ,V3 Viei

说明：

在等式或表达式中只有在同一项中出现两次标 记符号，求和约定才有效。
f ( X) f( x) f x )j (f ,x1 ,x2 ) x i ( 3
ai bi xi
是违约的，求和时要保留求和号
s t s t r s t a aij erst a1r a2 a3 esrt a1r a2 a3 erst a2 a1 a3
aelmn a elmn e a a a
i j
r s t rst l m n
l,m,n=1,2,3：
1i 2i 3i 1j 2j 3j eijk 1k 2k 3k
a13
i j
以 a 表示行列式中的普遍项，以
a
i j
表示行列
式，则：
s t 2 3 a aij erst a1r a2 a3 erst a1 a r s at
若将上式各项下标作一置换，如：
r s t erst a2 a1 a3
相当将行列式两列互换，行列式值变为 －a.可将此规律表示如下：
主要参考书：


王润富编《弹性力学简明教程学习指导》，高等教 育出版社。 陆明万、罗学富编《弹性理论基础》，清华大学出 版社。
张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
S a1 x1 a2 x2 an xn ai xi a j x j ak xk
ij 2G ij kkij
缩并
ii 2G ii kk ii 2G ii 3 kk (2G 3 ) kk 哑标与求和无
关，可用任意 字母代替
为平均应力应变之间的关系 G、λ称 (Lame,G) 常数
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
表示
ni , i j
有换指标的作用
ni i j nj
所以 即
Ti j nj i jnj 0
(Ti j i j )nj 0
1.4 指标记法的运算
1.4.4 缩并
使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如：
1 1 x [ x ( y z )] x E E E 1 xy xy G x y x
Txx Txy Txz bx 0 x y z Tyx x Tyy y Tyz z by 0
Tzx Tzy Tzz bz 0 x y z
写出其指标记法
Tij j
bi 0
Tji, j bi 0