张量1-1

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应力球张量和应力(1)

偏应变与应力偏张量成正比。即应力偏张量使物体产生形状变化。
1 ij ' ij ' 2G
应力球张量和应力偏张量
• 应力球张量只能使物体产生体积变化 • 应力偏张量使物体产生形状变化，而不能产生体积变化，材料的塑性变形就是由应力偏张量引起的 • 根据应力偏张量可以判断变形的类型
总结

2G yz yz zy 2G zx zx xz 2G
xy yx
xy
式中：E—拉压弹性模量；ν—泊松比；G—剪切弹性模量。
E G 21
式中：E—拉压弹性模量；ν—泊松比；G—剪切弹性模量。
ij + ij m =
应力张量在一般坐标系下的分解
1 0 0 克氏符号，单位张量： ij 0 1 0 0 0 1
应力张量在主轴坐标系下的分解：
ij
=
1 0 0
0
2
0
0 0 3
= =
0 0 1 m 0 2 m 0 0 0 3 m

x y z
1 , x 2G 1 , y 2G 1 , z 2G
1 xy yx xy 2G 1 yz zy yz 2G 1 zx xz zx 2G
m J1 / 3 ( x y z ) / 3 (1 2 3 ) / 3
由应力张量第一不变量可知上式σm是不变量，与坐标的选取无关，是一个确定的应力状态，为单值。

张量分析第一章

第三章连续介质运动学
4
主要掌握:物质坐标与空间坐标物质导数随波导数,速度张主要掌握物质坐标与空间坐标,物质导数随波导数速度张物质坐标与空间坐标物质导数,随波导数速度分解定理等. 量,速度分解定理等速度分解定理等
第四章连续介质力学基本定律
三大守恒定律:质量守恒动量守恒能量守恒,状态方程三大守恒定律质量守恒,动量守恒能量守恒状态方程熵质量守恒动量守恒,能量守恒状态方程,熵不等式,热力学两大定律不等式热力学两大定律. 热力学两大定律
ai = β ji a
' 11 1
' j
' 21 2
r r a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ai bi
' 31 3
a1 = β a + β a + β a
aii = a11 + a22 + a33
14
几个注意事项: 几个注意事项 (1)求和指标不区分该指标表示的各个分量而是求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是求和指标不区分该指标表示的各个分量一种约定的求和标记. 一种约定的求和标记
6
第一章
重点掌握: 重点掌握:
连续介质力学的数学基础
1. 张量的概念满足坐标变换规律运算法则 2 .证明一些恒等式 .证明一些恒等式 .梯度散度, 梯度, 3 .梯度,散度,旋度等概念
7
第一章
连续介质力学的数学基础
1.1 矢量 1.1.1矢量的概念矢量的概念在三维欧几里得空间内, 在三维欧几里得空间内具有大小和方向线段. 的有向线段矢量的表示粗体字或字母上箭头矢量相等大小和方向相同大小为1 单位矢量大小为大小为0 零矢量大小为

第一章流体力学的基本概念

当i j 时当i j 时
（b）]；2）转动，使正方形绕4轴转动，直至对角线42与
42重合[图1-1（c）]，则其转角为242；3）变形，剪切正方形1234，并拉伸42对角线，使2与2重合[图1-1 （d）]。由此可见，这种流线都是直线的简单流动，也还是由平动、转动、变形这三种运动形式复合而成的。
分析一般情况下流体运动的分解
ai ei a1e1 a2e2 a3e3 ax i a y j az k a
ei e1 e2 e3 i j k xi x1 x2 x3 x y z
描述流体运动的两种方法
速度分解定理
变形速度张量
应力张量
本构方程漩涡运动的基本概念
第一节描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法
拉格朗日法是从分析各个流体质点的运动状态着手来研究整个流场的流体运动的。该方法的基本思想是：从某个时刻开始跟踪每一个流体质点，记录这些质点的位置、速度、加速度及其它物理参数的变化。这种方法是离散的质点运动描述方法在流体力学中的推广。该方法的分析公式为

r a, b, c, t t
,
2 r a , b, c , t a t 2
p p a, b, c, t ,
T T a, b, c, t ,
a, b, c, t
拉格朗日法初看容易理解，但就某些特定问题来求解方程是很困难的。
b1 b3 b3 b1 b1 b2 b2 b2 b3 a1 a2 a3 a2 a3 a2 a3 e1 a1 e2 a1 e3 x2 x3 x2 x3 x2 x3 x1 x1 x1

附录1-张量基础

A OP A OP cos(A,OP) ak k
k
显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则
akk akk
k
k
反之，如' 为已知矢量，而 ai 为与坐标有关的三个标量，使一次形式
F ak k 在坐标变换时保持不变。根据矢量定义，则 ai 也是矢量。 k 1
复的下标号，称为自由标。
例如下标 i 为 ui 的自由标，表示张量的三个分量 u1, u2, u3。而 xi cij y j ( i, j
=1, 2, 3)中，j 为哑标，表示需要从 1 到 3 求和，而 i 为自由标，表示
x1 c11y1 c12 y2 c13 y3 x2 c21y1 c22 y2 c23 y3 x3 c31y1 c32 y2 c33 y3

1 (u1 2 x1

u1 ) ， x1
22

u2 x2

1 (u2 2 x2

u2 ) ， x2
33

u3 x3

1 (u3 2 x3

u3 ) x3
12

1 2
( u2 x1

u1 ) ， x2
23

1 (u3 2 x2

u2 x3
)，
上式说明自由标的个数表示了张量表达式所代表的方程数。
§3 偏导数的下标记法
在弹性力学中，经常可见到诸如位移分量、应力分量和应变分量等张量对坐
标 xi 的偏导数，为表达张量的偏导数的集合体，引入逗号约定。
逗号约定：为了缩写含有对一组直角坐标 xi 取偏导数的表达式，我们规定
当逗号后面紧跟一个下标 i 时，表示某物理量对 xi 求偏导数。即

张量分析-第1讲LJ

a2 F3 a3 F2 a c b1 a b c1 a3 F1 a1 F3 a c b2 a b c2 a1 F2 a2 F1 a c b3 a b c3
所以有： a b c a c b a b c
g1和g 2
g1和g 2 不是单位矢量，即它们有量纲的，一般地说，
其长度也不为单位长度。此外它们也并不正交。矢量F可以在 g1和g 2 上分解:
F F g1 F g 2
1 2
(平行四边形法则)
则有: F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
e2 b2 c2
e3
e3 b3 b2 c3 b3 c2 e 1 b3 c1 b1c3 e 2 b1c2 b2 c1 e 3 c3
b3 a 2 F3 a3 F2 e 1 a3 F1 a1 F3 e 2 a1 F2 a 2 F1 e 3 F3
j 1
F2 ' e 2 ' e1 F1 e 2 ' e 2 F2 e 2 ' e 3 F3 2 ' j F j
j 1 3
3
F3' e 3' e1 F1 e 3' e 2 F2 e 3' e 3 F3 3' j F j
j 1
矢量场函数的散度: 矢量场函数的旋度:
i F x Fx j y Fy
Fx Fy Fz F z y x
k Fz Fy Fx Fz Fy Fx i k j y z y z z x x Fz

张量第一章

系中也必为零。
2、设，为r阶张量，方程
为张量方程。在张量方程中的每一项都有相同的张量特性。因此在
所有能够容许变换到的坐标系普遍有效。
若将张量方程两边同乘以变换系数，则
所以方程具有张量性质。
张量分析的重要性在于，由物理关系得到的方程如果是张量方程，
那它就在所有容许变换的坐标系成立了，避免了它在各种不同坐标系中
张量相乘提高了阶数，又称为张量外积。
3、张量的缩并对r阶张量进行缩并，就是对张量的某两个指标求和（如使j=k），
所得到的仍是张量，阶数比缩并前的原张量少2，即变为r-2阶张量。缩并使张量降阶，又称为张量内积。例如：对三阶张量，使j=k，缩并为缩并也可由乘法定义。
例：对的j、k进行缩并，则二阶张量缩并后得到标量，是它的不变量。
变换，则这九个量的集合称二阶张量，每个元素称张量分量。为单位二阶张量
二阶张量分量可组成一个二阶张量矩阵。二阶张量的另一个定义：设,为任意矢量的分量，若九个分量能与它们构成标量
则这九个分量定义一个二阶张量。高阶张量定义：在三维空间中，当直角坐标系旋转变换到时，基矢量和坐标按前述
规律变化。如果中确定的个分量与在中确定的之间服从相同的变换规律，即按式
个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一个张量乘以第二个张量的乘积。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
例如：一矢量乘以一个二阶张量，乘积为 = 为一个三阶张量。
张量乘法服从分配律和结合律，但不服从交换律。高阶张量的乘积也可表示为不变式。张量与的乘积表示为（，可以是任意阶张量）
五：求导的简化法
数量场Φ的梯度
向量场散度：
向量场的旋度：
§1.2 坐标变换

1_2张量的定义

符号。我们将这样的矢量称为赝矢量，或物理上更经常地将其称为轴矢量，而有时也将像位矢这样真正的矢量称为极矢量。
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K
B ，通常记为
T
:
K A
6
K B
=
T
(
AK )
(3)
这里线性是指
T
(
K A
+
K B
)
=
T
(
AK )
+
T
(
K B
)
,
T
(
aAK )
=
aT
(
AK )
。设在某一个
K
坐标系中， A 用分量表示为 Aj xˆ j ，由于映射是线性的，有
K B
=
T
(
AK )
=
T
(
Aj
xˆ j
)
=
AjT
⎧+1 = ⎨⎪−1
δ kl δ km δ kn
⎪ ⎩
0
(ijk ) is an even permutation of (lmn) (ijk ) is an odd permutation of (lmn)
otherwise
(13)
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由此可得到排列符号的一些常用性质
ε ε ijk lmk
也就是说，在新的坐标系中映射T 的分量矩阵为
T ′ = λTλT
(8)
因此，所有从矢量到矢量的线性映射都是一个 2 阶张量。
( ) K
KK
最简单的线性映射是恒等映射 I : A → I A = A ，显然在任一坐标系中
其分量矩阵都是单位矩阵 Iij = δij ；主动意义下的转动也是这样一个线性映射，

声学基础第一章-弹性波理论基础1-1(2012年新版)

这是，‘相对位移形变张量（矩阵）’；它是产生应力的原因，但并不是‘相对位移形变张量（矩阵）’的全部对产生应力有贡献。
根据矩阵分解定理，可知：
d dr
x x x
y y y
z 33 '33 z z
6 5 2 4 4 3
其中：正应变： xx 1; x
yy
2; y
zz 3; z
切应变： yz zy ( ) 4; z y xz zx ( ) 5 ; z x
33 和 '33 分别为3 3阶对称矩阵和 3 3阶对角其中，
线0元素的反对称矩阵。
有：
33
x 1 ( ) 2 y x 1 ( ) 2 z x
1 ( ) 2 y x y 1 ( ) 2 z y
第一章完全弹性体介质中弹性波传播规律
流体（液体、气体）的力学特征：流体中任取一个面元，面元所受
周围流体的作用力,其大小与面元有关，方向总是垂直于面元（无切
向力）。
理想流体；流体中体元作机械运动时无机械能损耗。
理想流体中的机械波是纵波。
弹性体（固体）的力学特征：弹性体中任取一个面元，面元所受周围弹性体的作用力，其大小和方向均与面元有关，但方向并不一定与面元垂直（存在切向力）。
1 ( ) 2 z x 1 ( ) 2 z y z
'33
1 0 ( ) 2 y x 1 ( ) 0 2 y x 1 ( ) 1 ( ) 2 z x 2 z y

张量分析1

第一章张量的概念§ 1.1 引言什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。

有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。

当坐标变化换时，这些分量按一定的变换法则变换。

在力学中还有一些更复杂的量。

例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛σσσσσσσσσ=σzz zyzxyz yy yxxz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。

当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。

把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。

所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。

张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。

矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。

可以看出，张量是矢量概念的推广。

关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。

由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。

采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。

这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。

因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。

此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。

张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。

第一章流体力学预备知识(3)

* 张量的内积： — n 阶张量P 与 m 阶张量Q 的内积 PQ 定义为张量的内积：定义为:
P Q = p i1 i2...in1 t q t s2 s3...sm
— 显然，PQ 是 m+n-2 阶张量。显然，阶张量。
§1-5 张量初步 §1-5-3 张量的代数运算 * 应用款例：应用款例
j = s, s ≠ k, t ≠ s, k ≠ t k = s, s ≠ j, t ≠ j, s ≠ t s = t, t ≠ k, t ≠ j, k ≠ j
0 = 00
§1-5 张量初步 §1-5-3 张量的代数运算
第一章预备知识
* 张量的加减： — 具有相同阶的两个张量 P 和 Q 的加减定义为：的加减定义为：
对应:。事实上： ω 对应。事实上：
r
r (3) 对于反对称张量 A与任意矢量 b 来说有：来说有： v v v v v A b = ω × b = b ×ω v v v 事实上：事实上： A b = aijbj = εijkωk bj = εijkbjωk = b ×ω
a12 a13 0 ω3 ω2 0 A = ai j = a12 0 a23 = ω3 0 ω1 = εijkωk a a 0 ω2 ω1 0 23 13
第一章 §1-5 张量初步 §1-5-2 常用的几个特殊张量及性质 * Kronecker 记号 δij : 0 (i≠ j) δij = 是二阶张量。是二阶张量。 1 (i= j) 事实上：事实上： δij′ = αisα jtδ st
预备知识
* 置换符号 εijk ：
事实上：事实上：
当 i, j,k 为偶排列时 1 εijk = 1 当 i, j,k 为奇排列时 0 当 i, j,k 为中有取值相同时 ′ εijk = αirα jsαkt ε rst

第一章张量代数基础

ˆk e ˆi e ˆ j e ˆk e 0
当（i, j, k）成偶排列当（i, j, k）成奇排列当（i, j）相同（不成排列）
ˆi (e ˆj e ˆk ) e ˆi e jkl e ˆl e jkቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (e ˆi e ˆl ) e jkl il e jki eijk （基矢量的混合积）（3） e
3
第一章张量代数基础
（3） Aij ij Aii （4） ai ij a j （5）对于坐标 xi 有，
xi xi , j ij x j
2．置换（排列）符号（顺序记号，e-Permutation Symbol） eijk
eijk 亦称列维-齐维塔（levi-Civita）或黎奇（Ricci）符号，是一个三指标符号，共有 27 个分量，
1'2 2'2 3 '2
ˆ1 1'3 e ˆ2 2'3 e ˆ3 3'3 e
xi ' i ' j x j
j 1
3
。在 i ' j x j 中 j 指标重复两次，这种在单项式中重复出现的指标称为哑标（Dummy Index）
2
计算塑性引论
求和约定：在一个单项式中，如果同一个指标重复两次（即哑标），就表示要把这个指标
取值为 1, 2, 3 时所得到的各项加起来。因此，哑标是一种求和指标（Summation Index）。根据这一约定，上式可以省略求和记号，直接写为
表示行列式
A11 A12 A22 A32 A13 A23 eijk A1i A2 j A3k eijk Ai1 Aj 2 Ak 3 A33

张量第一章

第一章笛卡儿张量§1.1 指标表示法一：指标标号，自由指标x x =1 y x =2 z x =3 i x 1=i ，2，3基矢量i e =1 j e =2 k e =3i e 1=i ，2，3 任意一个矢量 i a 1=i ，2，3 332211e a e a e a a ++=二：求和约定哑标在一个单项式中，同一个指标重复出现两次，则将该指标按顺序1，2，3轮换求和。

该重复出现的指标为哑标。

如：332211b a b a b a b a i i ++=三：Kroneker ij δ⎨⎧≠==ji j i ij1δii δ=3 ， ijj i j ij ij i j ij ijhj ih e e x x x a δλδαλδδδ=-=-=)(四：Levi —Civita 符号 i j k e⎪⎩⎪⎨⎧-=非循环序列逆循环序列（循环序列),,(0),,1),,(1k j i k j i k j i e ijk1、循环序列： 1312231123===e e e2、逆循环序列： 1132213321-===e e e3、非循环序列： i ,j ,k 中有两个以上的指标取相同值4、奇置换和偶置换：在i ,j ,k 的具体序列中将指标顺序进行调换，奇数次为奇置换，偶数次为偶置换，序列偶置换属于原序列，奇置换则循环↔逆循环，非循环序列任何置换均为非循环序列。

kj ijk i kk j j i i k j i ijk b a e c b a e b a c e c c e b b e a a ba c a a a e a a a a a a a a a a ==⨯====⨯===222321333231232221131211五：求导的简化法()()i ix ,=∂∂()i ix ,ϕϕ=∂∂()jk i kj i u x x u ,2=∂∂∂数量场Φ的梯度 i i e e x e x e x g r a d ,332211φφφφφ=∂∂+∂∂+∂∂=向量场v 散度： i i v x v x v x v v d i v ,332211=∂∂+∂∂+∂∂=向量场的旋度：ki j k i j e e v e x v x v e x v x v e x v x v r o t v ,321122133113223)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=§1.2 坐标变换旧坐标系 321x x ox ：321,,e e e新坐标系 321x x x o ''' ：321,,e e e ''''11新旧坐标系间方向余弦为：332313333222122231211111332211)()()()()()('''''''''''''''αααααααααe x e x e x e x e x e x则新旧坐标关系为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''''''''''''321332313322212312111321x x x x x x ααααααααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''321333231232221131211321x x x x x x ααααααααα j j i i x x '='α k j k j x x ''=α基矢量关系为j j i i e e ''=α k j k j e e ''=α k i j k j i ''''=δαα jk k i j i δαα='' 即变换系数矩阵为正交矩阵对a ， j j i i e a e a a =='' k j k j i i e a e a ''''=α 两边点乘j e ' ，有： j j j j a a ''=αj j i i a a ''=α k j k j a a ''=α即：矢量分量变换与坐标变换服从相同规律。

连续介质力学习题一

1 / 1 连续介质力学习题一一、张量复习1-1 已知k j i ,,为直角坐标系的基矢量，某斜角坐标系的协变基矢为j i g k i g k j g +=+=+=321,,，（1）求逆变基矢321,,g g g （用k j i ,.,表示）；（2）求度量张量ij g ；（3）验证公式i ij j g g g =；（4）有两个矢量：,32321g g g u -+=321g g g v +-=，求v u ,的协变分量i i v u ,及两矢量点积v u ⋅。

1-2 球坐标系，令ϕθ===321,,x x R x ，求该坐标系的2,,,,ds g g g g ij ij j i 。

1-3 设有一抛物柱面坐标系(由两族抛物柱面及平面构成),令ςηξ===321,,x x x ，若已知抛物柱面坐标系与直角坐标系的关系为：ςξηξη-==-=z y x ,),(2122，设 321,,i i i 为直角坐标系的基矢量，试求抛物柱面坐标系的协变基矢和逆变基矢及度量张量(用直角坐标系的基矢量表示)。

1-4 设T 为二阶对称张量，S 为二阶反对称张量，u 为任意矢量，试证明：（1）u T T u ⋅=⋅；（2）u S S u ⋅-=⋅。

1-5 设T 为二阶对称张量，设S 为二阶反对称张量，求证：0:=S T 。

1-6 设S T ,为任意二阶张量，**,S T 为它们的转置，求证：*:**:*::T S S T T S S T ===。

1-7 证明：（1）*)(*)(11--=T T ；（2）对称张量的逆也对称；（3）111)(---⋅=⋅A B B A 。

1-8 设)(),(x v x u 为光滑矢量场，试证：（1）v u v u v u ⋅∇⨯-∇⨯⋅=∇⋅⨯)()()( ；（2）v u v u v u v u v u )()()()()(∇⋅-⋅∇+∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇ 。

1-9 证明：对二阶对称张量N ，有N N ⋅∇=∇⋅。

一种液压挖掘机最优能耗的轨迹规划方法

2024年第48卷第3期Journal of Mechanical Transmission一种液压挖掘机最优能耗的轨迹规划方法张韵悦孙志毅孙前来王银杨江涛（太原科技大学电子信息工程学院，山西太原030024）摘要为了降低液压挖掘机的运动能量消耗，实现各关节的合理有效作业，提出了基于T型速度曲线的关节插值方法，以实现液压挖掘机最优能耗轨迹规划。

该方法将各关节的速度设定为匀加速、匀速和匀减速的形式以保证液压挖掘机在作业过程中的平稳性，以关节角度、角速度和角加速度为约束条件，利用改进的自适应遗传算法优化求解各关节的匀加（减）速和匀速运动时间，获得了各关节最优运动曲线，实现了液压挖掘机最优能耗轨迹规划。

对基于T型速度曲线的插值规划方法进行仿真实验，并在相同条件下与四次多项式插值结果进行了对比。

结果表明，该方法规划的轨迹能耗低，避免了各关节产生不必要的运动，有效减少了摩擦损耗，使得挖掘机可平稳、低能耗地完成作业。

关键词液压挖掘机T型速度曲线轨迹规划最优能耗A Trajectory Planning Method for Optimal Energy Consumption of theHydraulic ExcavatorZhang Yunyue Sun Zhiyi Sun Qianlai Wang Yin Yang Jiangtao(School of Electronic Information Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)Abstract In order to reduce the movement energy consumption of the hydraulic excavator and realize the reasonable and effective operation of each joint, a joint interpolation method based on a T-type velocity curve is proposed to realize the optimal energy consumption trajectory planning of the hydraulic excavator. In this meth‑od, the speed of each joint is set as uniform acceleration, constant velocity, and uniform deceleration to ensure the stability of the hydraulic excavator in the operation process. Under the constraint conditions of the joint an‑gle, angular velocity, and angular acceleration, the improved adaptive genetic algorithm is used to optimize the uniform acceleration (deceleration) and constant velocity motion time of each joint, obtain the optimal motion curve of each joint, and realize the optimal energy consumption trajectory planning of the hydraulic excavator. The interpolation programming method based on the T-type velocity curve is simulated and compared with the interpolation results of the quartic polynomial under the same conditions. The experimental results show that the trajectory planned by this method has low energy consumption, avoids unnecessary movement of each joint, ef‑fectively reduces friction loss, and makes the excavator complete the operation smoothly and with low energy consumption.Key words Hydraulic excavator T-type velocity curve Trajectory planning Optimal energy con‑sumption0 引言液压挖掘机作为应用广泛的工程机械，在抢险救灾、交通运输以及土木建筑等行业发挥着极其重要的作用。

学习张量必看_一个文档学会张量!!!!张量分析

张量函数及其微积分
Appendix A
引言
广义相对论（1915）、理论物理连续介质力学（固体力学、流体力学）现代力学的大部分文献都采用张量表示
主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum
Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.

a13 x3 a23 x3

a1 j x j a2 j x j

x3

a31 x1

a32 x2

a33 x3

a3 j x j
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：若i为自由指标
分量记法： ui
Appendix A.1
张量基本概念
指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
ji, j fi 0
ji, j fii 0
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。
例如：表达式 xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有

x1 x2

《连续体力学》解答1

1 欧氏矢量空间正交变换张量(一) 概念、理论和公式提要1-1 欧氏矢量空间基和基矢 (1) 欧氏矢量空间满足下列条件的矢量集合称为实的矢量空间，记作R R ，中的每一个矢量，例如R w v u 称为、、的一个元素： (a) 的一个元素，且有为R v u + )()(w v u w v u ++=++(b) u R u o u o R 中的任何元素。

对于，使得中包含零矢量=+，存在一个反元素)(u -，使得o u u =-+)((c) 对于任意实数βα、，有为单位值，11)()()()(u u vu v u uu u uu =+=++=+=αααβαβααββα满足下列条件的实矢量空间称为欧氏矢量空间(Euclidean vector space)，记作E ：(a) 对v u v u E ⋅，可定义一个标量、是中的任意一对元素，它具有下列性质：u v v u ⋅=⋅ (1-1-1)0≥⋅u u (1-1-2)等号只当o u =时成立。

(b) 对任意实数w v u E ，，中的元素及、βα等，有w v w u w v u ⋅+⋅=⋅+βαβα)( (1-1-3)(c) u u 的大小或模记为，并定义为u u u ⋅=2（1-1-4）的正方根。

如果u u ，则称1=为单位矢量。

如果v u o v u v u 与，则称，，且≠≠=⋅00正交。

(2) 基正交基(a) 空间E 内线性无关矢量的最大个数E E 维空间的维数，称为空间n n 记为n E 。

由于连续体占有三维物理空间，所以我们一般地是在三维物理空间内讨论问题。

(6) 在3E 内，定义θcos v u v u =⋅ (1-1-5) k v u v u θsin =⨯ (1-1-6)式中v u k v u ⨯≤≤为单位矢，它表示，的夹角和为)0(πθθ的方向；通常采用右手螺旋法则确定k v u k 、、，即按顺序符合右手法则，且v u k 和正交所在平面；所以v u v u 和是一个正交于⨯的矢量，其指向由右手法则确定。

1第一章笛卡尔张量

序言张量分析对于现在的力学专业学生以及力学相关问题的解决，是应该掌握的重要数学工具。

事实上，如果没有张量的知识，就无法学习连续介质力学基本理论和阅读相关专业的文献资料。

无庸讳言，张量概念非常抽象，相对来说比较难于学习和把握。

但是，只要克服张量学习过程中的畏难情绪，抓住张量概念的关键点，梳理张量分析的基本数学规则，结合一定的力学实例的张量描述，从而建立张量分析的概念和基本分析方法，就能够为运用张量分析解决实际问题奠定坚实基础。

张量概念最早是由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托夫(Christoffel)等人在十九世纪发展微分几何过程中引入的，是从线性空间推广到非线性空间的纯粹数学的演绎，由于自然科学发展水平的限制，这种具有根本性变革的数学工具长期被自然科学领域所忽略。

直到1915年，爱因斯坦获得格罗斯曼的协助，借助张量分析这一数学工具创立了伟大的广义相对论，才凸显了张量分析在描述具有协变性质物理规律的关键作用。

这个事实再次有力地向我们传达了数学和自然科学之间彼此的依存关系，即数学的规则被赋予了自然规律的意义后才成为有生命力的学问，而借助数学工具建立起的自然规律才能呈现自然科学的奥秘。

此后，张量分析迅速渗透到理论物理、现代微分几何、连续介质力学等学科领域中。

就力学专业的学生而言，学习和掌握张量分析，可以更加深刻地领会连续介质力学的概念和一般力学规律，充分锻炼我们的理性思维能力，提高分析问题和解决问题的能力和水平。

用代数方法和解析方法描述空间问题时，必须引进坐标系或建立坐标基矢量。

坐标系的引入为建立各种物理或几何规律带来了可能和极大的方便，同时也往往使问题复杂化。

可以设想，客观规律应该独立于坐标系，但客观规律的表达形式却严重依赖于所用的具体坐标系，使得客观规律本身的内在性质与建立在坐标系上的数学表达形式完全融为一体。

这样，一方面可能会因其数学的形式外壳而不易揭示问题的内在本质，另一方面，甚至对很多客观规律根本无法进行数学表述。

一一点的应力状态与应力张量

一一点的应力状态与应力张量二主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示。

在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。

通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。

式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。

因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。

已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。

在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。

另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。

分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。

x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1.2）在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5而剪应力则由式1-5得 2N τ=2N P -2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。

现代数学物理方法一

ijk 1
3 (a b )i ijk a j bk jk 1
(a b )1 a2b3 a3b2 (a b )2 a3b1 a1b3 (a b )3 a1b2 a2b1
1-2-3 δ符号和ε符号的几个公式(1)
• 证明
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3
b3 ijk ai b j ck i , j , k 1 c3
3
1-2-3 δ符号和ε符号的几个公式(2)
左边=
a1b2c3 a1b3c2 a2b1c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1
右边=
a1b2c3 a1b3c2 a2b1c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1
• 镜面反射（2）
– 新基矢与旧基矢的关系 e1' e1 , e2' e2 , e3' e3 –镜面反射变换的系数 A1'1 1
A2 ' 2 A3'3 1
Ai ' i 0
当
i' i
1-3-1 基矢的变换(6)
• 反演(1)
– 三个坐标基矢都改号的变换叫反演。 e3 反演的结果与镜 e2 面反射一样，使坐标系的类型发 e1' 生了改变。 e1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3
b3 ijk ai b j ck i , j , k 1 c3
3
1-2-4 三矢量的连乘(3)
• 证明
a1 b1 c1 a2 b2 c2
a b c b c a c a b

张量1-1

应力球张量和应力(1)

张量分析第一章

第一章 流体力学的基本概念

附录1-张量基础

张量分析-第1讲LJ

张量第一章

1_2张量的定义

声学基础第一章-弹性波理论基础1-1(2012年新版)

张量分析1

第一章 流体力学预备知识(3)

第一章 张量代数基础

张量第一章

连续介质力学习题一

一种液压挖掘机最优能耗的轨迹规划方法

学习张量必看_一个文档学会张量!!!!张量分析

《连续体力学》解答1

1第一章 笛卡尔张量

一 一点的应力状态与应力张量

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1第一章笛卡尔张量

一一点的应力状态与应力张量