ch1习题答案

第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示

1． 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：

C B A 、、C B A 、、（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生；

（3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生；

（5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。

分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。

C B A 、、 解：（1）仅有一个事件发生相当于事件C B A C B A C B A 、、有一个发生，即可表示成C B A C B A C B A ∪∪；

类似地其余事件可分别表为

（2）或AC BC AB ∪∪ABC B A BC A C AB ∪∪∪；（3）；（4）ABC ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ；（6）B A BC A C AB ∪∪或。 ABC AC BC AB −∪∪ 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。

2．如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系：

x {}20|≤=x x A {}3|>=x x B {}9|<=x x C

{}5|−<=x x D

{}9|≥=x x E 解：（1）包含关系： 、 A C D ⊂⊂B E ⊂ 。

（2）互不相容关系：C 与E （也互逆）

、B 与、D E 与。 D 3．写出下列随机事件的样本空间：

（1）将一枚硬币掷三次，观察出现H （正面）和T （反面）的情况；

（2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数；

（3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；

（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。

提示与答案：（1）；

{}TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH ,,,,,,,=Ω（2）； {

,2,1=Ω}（3）；

{}18,,4,3 =Ω（4）。 {

} ,11,10=Ω4．设对于事件有C B A 、、=)(A P 4/1)()(==C P B P , ，

8/1)(=AC P

0)()(==BC P AB P ，求至少出现一个的概率。

C B A 、、 提示与答案：至少出现一个的概率即为求，可应用性质4及性质5得C B A 、、)(C B A P ∪∪()P A B C 5/8=∪∪

5．设A 、B 为随机事件，3.0)(7.0)(=−=B A P A P ，，求)(AB P 。 提示与答案：欲求)(AB P ，由概率性质3可先计算，由于，且)(AB P )(B A AB A −=∪φ=−)(B A AB ∩。解得6.04.01)(1)(=−=−=AB P AB P 。

6．已知事件、A B 满足P AB P A B ()(=∩且3/1)(=A P ，求P B ()。

解法一：由性质（5）知

P B ()=P A B P A P AB ()()(∪−)+ （性质5） =1−−+P A B P A P AB ()()(∪) （性质3）

=1−−+P A P A P AB (()(∩) （对偶原理）

=1−P A ()=32311=−

（已知条件） 解法二：由于

P AB P A B ()(=∩=P A B P A B ()()∪∪=−1

=)()(3

11AB P B P +−− 从而得0)(3

2=−B P ，即 3

2)(=B P 7．一个袋中有5个红球2个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。

提示与答案：设表示：“第一次和第二次都取到红球”；

A B 表示：

“第一次取到红球，第二次取到白球“。 （1）4925)()()(=Ω=

n A n A P （2）49

10)()()(=Ω=n B n B P 8．一批产品有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）两次都取到正品的概率；

（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；

（3）第二次取到次品的概率；

（4）恰有一次取到次品的概率。

提示与答案：设表示：

“第i 次取出的是次品”（=1，2），则所求概率依次化为i A i )(21A A P 、)(21A A P 、)()=(21212A A A A P A P ∪、)(2121A A A A P ∪。

（1）)(21A A P 2845

= （2）)(21A A P 845

= （3）)(2A P )()(2121A A P A A P +=15

=。 （4）)(2121A A A A P ∪)()(2121A A P A A P +=1645

=。 9．设有80件产品，其中有3件次品，从中任取5件检查。求所取5件中至少有3件为正品的概率。

提示与答案：设：“所取5件中至少有3件为正品”；则的对立事件为至多有2件为正品，即：“恰有2件为正品”（最多有3件次品）。

A A ()P A =82158216

10．从5双不同的鞋子中任取4只，求4只鞋子至少有2只配成一双的概率。 提示与答案：直接求4只鞋子至少有2只配成一双的概率不易得到正确的结果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质3，即先求逆事件的概率。

13()21

P A = 11．假设每个人的生日在一年365天都是等可能的，那么随机选取个人，求他们的生日各不相同的概率及这个人至少有两个人生日在同一天的概率；若n ，求上述两个事件的概率。

)365(≤n n =40 提示与答案：此问题属于占位问题。可设A 表示事件：

“个人的生日各不相同”；n B 表示事件：“这个人至少有两个人生日在同一天”。 n n n A A P 365

)(365=， 365()1365

n n A P B =−。 若取，则，40=n ()0.109P A ≈()0.891P B =

12．某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天8点到9点在预定地点