北京四中高中数学-b14高考冲刺第14讲归纳与类比

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北京四中高三数学高考总复习对数与对数函数知识梳理

对数与对数函数【考纲要求】1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数;2.掌握对数函数的概念、图象和性质.3.正确使用对数的运算性质;底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法; 【知识网络】【考点梳理】考点一、对数概念及其运算我们在学习过程遇到2x =4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1.如果()01ba N a a =>≠，且,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.2.对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数,即0N >; (2)1的对数为0,即log 10a =; (3)底的对数等于1,即log 1a a =.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数,N N lg log 10简记作. 以e 为底的对数叫做自然对数, log ln e N N 简记作.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.对数与对数函数图象与性质对数运算性质对数函数的图像与对数的概念指对互化运算由此可见a,b,N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1)()log log log a a a MN M N =+; 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、(2)log log log aa a MM N N=-; (3)log log a a M M αα=.(五)换底公式同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a ≠1, M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n aa n∈=令 log a M=b, 则有a b=M, (a b )n=M n,即nb n M a =)(,即n aM b nlog=,即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ,令log a M=b,则有a b=M, 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =⋅, 即aMb c c log log =,即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .考点二、对数函数及其图像、性质1.函数y=log a x(a>0,a ≠1)叫做对数函数.2.在同一坐标系内,当a>1时,随a 的增大,对数函数的图像愈靠近x 轴;当0<a<1时,对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a>0,a ≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R (2)对数函数y=log a x(a>0,a ≠1)的图像过点(1,0)(3)当a>1时,0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>⎧⎪<<==⎨⎪><<⎩当时，【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 83=;(2)13log 92=-;(3)3x =;(4)45625=;(5)1133-=;(6)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】(1)328=;(2)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭;(3)3x =;(4)5log 6254=;(5)31log 13=-;(6)14log 162=-.【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式】求下列各式中x 的值：(1)642log 3x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2-ln e x =【解析】(1)2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====;(2)111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以(3)10x =100=102,于是x=2;(4)由222ln ln 2xe x x e e e x --=-===-，得，即所以.类型二、对数运算法则的应用例2.求值(1) log 89·log 2732(2)91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (3))36log 43log 32(log log 42122++(4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)【解析】(1)原式=91035322log 3log 532233=⋅=⋅. (2)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---(3)原式=1222223log (5log log 6)4-++ 22223log (5log log 6)log 834=-+==(4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 22251(3log 5log 5log 5)(3log 2)3=++52133log 2log 5133=⋅= 举一反三：【变式】已知：log 23=a, log 37=b,求：log 4256=? 【解析】∵ 3log 12log 23=∴a 12log 3=,33342333log 56log 7log 8log 56log 42log 7log 6+==+ 3333log 73log 2log 71log 2+=++ 13113+++=+++=a ab ab ab a b 类型三、对数函数性质的综合应用例3.已知函数)2(log )(221x x x f +-=（1）求函数)(x f 的值域;（2）求)(x f 的单调性【解析】222221122212212212(1)-20200202-2(2)(0,1]log (-2)log 10log (-2)[0,).(2)-2(02)log -20,11,2log x x x x x x y x x x x x x y x x u x x x v uu x x v u +>∴-<∴<<<<=+=--∈∴+≥=∴=++∞=+<<==+=∴由题得当时，函数的值域为设函数在（）上是增函数，在（）上是减函数。

北京四中2014届高三数学总复习回归分析的基本思想及其初步应用知识讲解

回归分析的基本思想及其初步应用【学习目标】1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。

2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。

3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。

【要点梳理】要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1）函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S 与半径r 之间的关系S=πr 2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。

例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量；（2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩． 3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据．4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。

要点二、线性回归方程：1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。

2．回归直线方程ˆˆˆybx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 其中x 表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，y 表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，xy 表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．a 、b 的意义是：以a 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化b 个单位．要点诠释：①回归系数121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，也可以表示为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，这样更便于实际计算。

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案知识网络：目标认知考试大纲要求： 1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用； 2.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题. 4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.重点： 1.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.知识要点梳理知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n≥2时的，（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，则，，…，2.迭乘累乘法：，则，，…，知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2.建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导 1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想； 2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式 1．在数列中，，，求. 解析：∵，当时，，，，将上面个式子相加得到： ∴（），当时，符合上式故. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列. 2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得. 举一反三：【变式1】已知数列，，，求. 【答案】【变式2】数列中，，求通项公式. 【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式 2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式. 解析：由题意 ∴ ∵，∴， ∴，　 ∴，又， ∴当时，，当时，符合上式 ∴. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列. 2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得. 举一反三：【变式1】在数列中，，，求. 【答案】【变式2】已知数列中，，，求通项公式. 【答案】由得，∴， ∴， ∴当时，当时，符合上式 ∴类型三：倒数法求通项公式 3．数列中，,，求. 思路点拨：对两边同除以得即可. 解析：∵，∴两边同除以得， ∴成等差数列，公差为d=5，首项， ∴， ∴. 总结升华： 1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项. 2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得. 举一反三：【变式1】数列中，，，求. 【答案】【变式2】数列中，,，求. 【答案】.类型四：待定系数法求通项公式 4．已知数列中，，，求. 法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且 ∴ 法二：∵　① ② 由①－②得：设，则数列为等比数列 ∴ ∴ ∴ 法三：，，，……，， ∴ 总结升华： 1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法. 2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得. 举一反三：【变式1】已知数列中，，求【答案】令，则， ∴，即 ∴， ∴为等比数列，且首项为，公比， ∴，故. 【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式. 【答案】∵，∴ 设，则，即， ∴数列是以为首项，3为公比的等比数列， ∴，∴. ∴.类型五：和的递推关系的应用 5．已知数列中，是它的前n项和，并且, . (1)设,求证：数列是等比数列； (2)设，求证：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式及前n项和. 解析：（1）因为，所以以上两式等号两边分别相减，得即，变形得因为，所以由此可知，数列是公比为2的等比数列. 由,, 所以, 所以, 所以. （2），所以　将代入得由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，故. （3），所以当n≥2时， ∴ 由于也适合此公式，故所求的前n项和公式是. 总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略. 举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足. （1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式. 【答案】（1）， ∴ ∴，又 ①－② ∴， ∴是一个首项为1公比为的等比数列；（2） ∴ ∴是一个首项为1公比为的等差比数列 ∴ 【变式2】若, ()，求. 【答案】当n≥2时，将代入, ∴, 整理得两边同除以得（常数） ∴是以为首项，公差d=2的等差数列， ∴， ∴. 【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和. 【答案】∵为等差数列，公差设为, ∴, ∴, ∴, 若，则,　∴. ∵，　 ∴,∴, ∴, ∴　① ② ①-②得 ∴类型六：数列的应用题 6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路点拨：本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和. 解析：设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第面旗处，共走路程为了，回到第二面处再到第面处是，回到第三面处再到第面处是，，从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为，从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为20×2，总的路程为： ∵，∴时,有最小值答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短. 总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程. 举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（） A． B． C． D．【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为，则【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（） A．1.5万元 B．2万元　C．3万元 D．2.5万元【答案】B；解析：本金利息／利率，利息利息税／税率利息（元），本金（元）【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是(　) A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．9月、10月【答案】C；解析：第个月份的需求量超过万件，则解不等式，得，即. 【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用. 当且仅当，即（年）时等到号成立. 因此该汽车使用10年报废最合算. 【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）【答案】（1）2007年底的住房面积为1200(1+5%)－20 =1240（万平方米）， 2008年底的住房面积为1200(1+5%)2－2 0(1+5%)－20=1282（万平方米）， ∴2007年底的住房面积为1240万平方米； 2008年底的住房面积为1282万平方米. （2）2007年底的住房面积为[1200(1+5%)－2 0]万平方米， 2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2－2 0(1+5%)－20]万平方米， 2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3－2 0(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米， ………… 2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20]万平方米即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5 %)18―……―20(1+5%)―20 ≈2522.64（万平方米）， ∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.高考题萃 1．（2008四川）设数列的前项和为. （Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式. 解析：（Ⅰ）因为， ∴ 由知，得　① 所以，， ∴ （Ⅱ）由题设和①式知所以是首项为2，公比为2的等比数列. （Ⅲ） 2．（2008全国II）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．解析：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．① （Ⅱ）由①知，，于是，当时，，，当时，．又．综上，所求的的取值范围是． 3．（2008天津）已知数列中，，，且．（Ⅰ）设，证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．解析：（Ⅰ）由题设，得，即．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），，，……，．将以上各式相加，得．所以当时，上式对显然成立．（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得 ① 整理得，解得或（舍去），于是．另一方面，，．由①可得．所以对任意的，是与的等差中项． 4．（2008陕西）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；（Ⅲ）证明：．解析：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式成立．另解：设，则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有．令，则，．原不等式成立．学习成果测评基础达标： 1．若数列中，且(n是正整数)，则数列的通项=____. 2．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是____________. 3. 设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是，且，则数列的前10项和为____________. 4. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则 ____________ 5．已知数列中，,()，求通项公式. 6．已知数列中，，，，求的通项公式. 7．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，，求的通项公式. 8．设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．能力提升： 9．数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和． 10．数列的前n项和为, 已知是各项为正数的等比数列，试比较与的大小关系. 11．某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，……．以表示到第年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出与的递推关系式；（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列． 12．2007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2008年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化. （1）设该县的总面积为1，2007年底绿化面积为，经过n年后绿化的面积为，试用表示；（2）求数列的第n+1项；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）综合探究： 13．已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数. （Ⅰ）用表示；（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅲ）若，，是数列的前n项和，证明.参考答案：基础达标： 1. 答案：解析：由题设的递推公式可得 ∴　即, 2．答案：2n+1-2 解析：，曲线在x=2处的切线的斜率为，切点为（2，-2n）, 所以切线方程为y+2n=k(x-2), 令x=0得,令. 数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2 3. 答案：978 4. 答案： 5．解析：将递推关系整理为两边同除以得当时，，，……，将上面个式子相加得到：，即， ∴（）. 当时，符合上式故. 6. 解析：由题设 ∴．所以数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，即的通项公式为，． 7. 解析：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为． 8. 解析：（Ⅰ）， ① ∴当时， ② ①-②得，．在①中，令，得符合上式 ∴．（Ⅱ），∴．， ③ ． ④ ④-③得．即，．能力提升： 9．解析：（Ⅰ），，又，数列是首项为，公比为的等比数列， ∴．当时，，（Ⅱ），当时，；当时，，…………① ，…………② 得：．．又也满足上式，． 10. 解析：∵为各项为正数的等比数列，设其首项为，公比为, 则有,，(), ∴，即（1）当时，，, 而, ∴ ∴时，. （2）当时，，, ∴ ①当时，，∴ ②当时，，　∴ ③当时，，∴ 综上，（1）在时恒有（2）在时，①若则； ②若则； ③若则. 11. 解析：（Ⅰ）．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得， ① 在①式两端同乘，得② ②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列. 12. 解析：（1）设2007年底非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为.+b1=1，于是a 依题意，是由两部分组成：一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余面积，另一部分是新绿化的面积， ∴. （2），. 数列是公比为，首项的等比数列. ∴. （3）由，得，，， ∴至少需要7年的努力，才能使绿化率超过60%.综合探究： 13. 解析：（Ⅰ）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得，即．显然，∴．（Ⅱ）由，知，同理．故．从而，即．所以，数列成等比数列．故，即．从而，所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴ ∴ 当时，显然．当时， ∴．综上，．。

北京四中2014届高三数学总复习知识讲解充分条件与必要条件(基础)

充分条件与必要条件编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>y x , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3. 如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）. 【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（）X1 2 PQA.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】下列各小题中，p 是q 的什么条件？（1）p :22x -≤≤, q : 20x -<<；（2）p :03x <<， q :13x -<<【答案】(1)p 是q 的必要不充分条件；(2)p 是q 的充分不必要条件.【变式3】设条件甲为“250x x -<”，条件乙为“2560x x --<”那么甲是乙的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=a c <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0，则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩；若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥。

北京市第四中学2018高考理科数学总复习例题讲解：高考

高考冲刺第14讲归纳与类比一、知识要点1.合情推理前提为真时结论可能为真的推理称为合情推理.它是一种或然性推理,包含归纳推理和类比推理.2.类比推理以个别性知识为前提而推出一般性结论的推理称为归纳推理.3.归纳推理根据两个(或两类)对象在一些属性上的相同或相似,从而推出它们在其它属性上相同或相似的推理形式,称为类比推理.4.演绎推理由一般性的真命题推出特殊命题为真的推理称为演绎推理.它是一种必然性推理.演绎推理有三种基本模式:三段论,关系推理和完全归纳推理.5．数学问题由条件、结论、解题依据、解题方法等因素构成。

条件的不完备，结论的不唯一，解题方法的多样性是数学开放题的基本特殊。

目前高考多为：题目本身没有给出明确的结论，由考生自己通过探索、归纳、猜想出结论，并证明结论的正确性。

此类试题具有覆盖面广、综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高等特点。

6．开放与探索创新问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力均有较高要求。

常用的思想方法有：直接法；观察——猜测——证明；赋值法，逆推反证法，分类讨论法；数形转化；类比联想；实验归纳等方法。

二、典型例题例1．某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2012时对应的指头是．（(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指）例2．若函数),,,()(2R d c b a cbx ax d x f ∈++=，其图象如图所示，则=d c b a ::: ．例3．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将12310a a a a ，，，，这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为( )A. 18个B. 256个C. 512个D. 1024个例4．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：l ，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n N *∈的前l2项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则2009201020112012a a a a +++等于例5．已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到点()1,0F 的距离比到直线 :2l y =-的距离小1．（1）求曲线C 的方程；（2）动点E 在直线 l 上，过点E 作曲线C 的切线,EA EB ，切点分别为A 、B ．求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；。

北京四中高考数学总复习等比数列知识梳理

等比数列【考纲要求】1．理解等比数列的概念，等比数列的通项公式.2．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.3．了解等比数列与指数函数的关系.4．灵活应用等比数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的概念388518 知识要点】考点一：等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.*1(1,,0,)n na q n n N q q R a +=≥∈≠∈ 考点二、等比数列的通项公式11n n a a q -=要点诠释：①方程观点：知二求一； ②函数观点：函数1n a y q q=⋅的图象上一群孤立的点； ③当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列；当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列。

考点三、等比数列通项公式的主要性质：等比数列等比中项通项公式及相关性等比数列与函数的关系（1）等比中项：a 、G 、b成等比数列，则G =（2）通项公式的推广：n m n m a a q -=；（3）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅；（4）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列. 要点诠释：（1）方程思想的具体运用；（2）两式相乘除化简。

【典型例题】类型一：等比数列的概念、公式例1.若数列{}n a 为等比数列，1510a =, 4590a =, 求60a .思路分析：求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的通项公式。

北京四中2014届高三数学总复习简单的逻辑联结词提高知识讲解

简单的逻辑联结词【学习目标】1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2. 会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”。

规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题；当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题。

要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。

若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∧q 的真与假。

（2）与集合中的交集类比交集{|}AB x x A x B =∈∈且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念。

要点二、逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”。

规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题。

要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。

若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p∨q 的真与假。

（2）与集合中的并集类比并集{|}AB x x A x B =∈∈或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念。

（3）“或”有三层含义，以“p 或q”为例： ①p 成立且q 不成立； ②p 不成立但q 成立； ③p 成立且q 也成立。

要点三、逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p 或p 的否定”。

规定：当p 是真命题时，p ⌝必定是假命题；当p 是假命题时，p ⌝必定是真命题。

北京四中2014届高三数学总复习知识讲解-常用逻辑用语综合(基础)

高二用常用逻辑用语综合【知识网络】【要点梳理】要点一、命题的四种形式如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若⌝p 则⌝q ；逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.要点三、充分条件、必要条件、充要条件对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A⌝⌝⇒常用逻辑用语命题四种命题及其关系充要条件全称量词、存在量词互为逆否命题等价逻辑联结词简单命题与复合命题充分、必要、充要、既不充分也不必要或、且、非；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A B 可判断为AB ；A=B 可判断为A B ，且B A ，即AB.如图： “A B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B=”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点三、逻辑联结词“或”“且”“非” “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. （1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非p p q或p q且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座- 33页

北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座目录北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座 (1)高考冲刺第1讲集合与简易逻辑 (2)高考冲刺第2讲、不等式 (5)高考冲刺第3讲函数的概念、图象和性质 (7)高考冲刺第4讲导数与函数综合 (9)高考冲刺第5讲三角函数概念图象性质 (11)高考冲刺第6讲三角函数公式及应用 (13)高考冲刺第7讲等差、等比数列 (15)高考冲刺第9讲解析几何综合问题 (18)高考冲刺第10讲空间直线与平面的关系 (20)高考冲刺第11讲空间几何量的计算 (22)高考冲刺第12讲概率与统计 (25)高考冲刺第13讲复数、排列组合二项式定理 (29)高考冲刺第14讲归纳与类比 (31)高考冲刺第1讲集合与简易逻辑一、知识要点与基本方法：（一）集合的概念1．集合元素的三大特征：无序、互异、确定 2．集合的表示方法：描述、区间、列举、Venn3．元素与集合的关系：元素与元素，元素与集合，集合与集合（二）集合的运算1．交集 2．并集 3. 补集4. 集合中所含元素个数及子集个数。

（三）逻辑联结词和四种命题 1. 量词2. 基本逻辑连接词3. 真值表4. 四种命题（四）充分条件与必要条件二、典型例题：例1、设A 、B 是两个集合，对于A B ⊆，下列说法正确的是（） A ．存在0x A ∈，使0x B ∈ B ．B A ⊆一定不成立 C ．B 不可能为空集 D ．0x A ∈是0x B ∈的充分条件例2．设集合{}{}021xM x x m N y y x R =-≤==-∈,,，若M N φ=，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≥－1B ．m ＞－1C ．m ≤－1D ．m ＜－1例3．集合M ＝{x ││x │＝1}，N ＝{ x │ax ＝1}，M ∪N ＝M ，则实数a 的所有可能值的集合为（） A ．{1，－1} B ．{1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1}例4．设集合}|20{},|11{22N q q B N p p A ∈+=∈+=。

金版高考数学第十四章第一节归纳与类比优化训练(文) 北师大版选修

金版高考数学第十四章第一节归纳与类比优化训练（文）北师大版选修(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．数列1,2,4,8,16,32的一个通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n ＋1【答案】 B2．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤【解析】归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．选D.【答案】 D3．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类推出“若a·0＝b·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b)c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c” C ．“(a ＋b)c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)” D ．“(ab)n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b)n ＝a n ＋b n ”【解析】由类比推理的特点可知．【答案】 C4．下列推理是归纳推理的是( )A ．A 、B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，得P 的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.【答案】 B5．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式【解析】两条直线平行，同旁内角互补大前提∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角小前提∠A ＋∠B ＝180°结论【答案】 A6.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2 008次跳后它将停在的点是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】记a n 表示青蛙第n 次跳后所在的点数，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝2，a 6＝4，…，显然{a n }是一个周期为3的数列，故a 2 008＝a 1＝1，答案为A.【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．等差数列{a n }中，a n ＞0，公差为d ＞0，则有a 4·a 6＞a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，q ＞1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．【答案】 b 4＋b 8＞b 5＋b 78．对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立：①a ＋1a≠0；②(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；③若|a|＝|b|，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b. 那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是______．【解析】对于①，当a ＝i 时，a ＋1a ＝i ＋1i＝i －i ＝0，故①不成立；对于②④，由复数四则运算的性质知，仍然成立．对于③，取a ＝1，b ＝i ，则|a|＝|b|，但a ≠±b ，故③不成立．【答案】 ②④9．图(1)为相互成120°的三条线段，长度均为1，图(2)在第一张图的线段的前端作两条与该线段成120°的线段，长度为其一半，图(3)用图(2)的方法在每一线段前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的作法至第n 张图，设第n 个图形所有线段长之和为a n ，则a n ＝________.【解析】依题意a1=3，a2=3+2×3× =3+3=3×2，a3=3+2×3× +2×2×3× =3+3+3=3×3，a4=3+3+3+2×12× =3+3+3+3=3×4，∴an=3×n=3n.【答案】 3n三、解答题(共46分)10．(15分)用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．【解析】 (1)两个角是对顶角，则两角相等，大前提∠1和∠2不相等，小前提∠1和∠2不是对顶角．结论(2)每一个矩形的对角线相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论11．(15分)已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32， sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．【解析】一般性的命题为sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32. 证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)] ＝32＝右边． ∴结论正确．12．(16分)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n(2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．【解析】 (1)S n ＝n(n ＋4)．(2)T n ＝n(2a n －5)＝n[2(2n ＋3)－5]，∴T n ＝4n 2＋n.∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n ＜T n .归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n ＜T n .。

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