工程中关于公差模型的数学方法解析

国标和ISO采用极限尺寸判 断原则： （1）孔和轴的作用尺寸不 允许超过最大实体尺寸。孔， 作用尺寸应不小于最小尺寸； 轴，不应大于最大极限尺寸。 （2）在任何位置上实际尺 寸不允许超过最小实际尺寸。 孔，实际尺寸应不大于最大 尺寸；轴，不应小于最小极 限尺寸。
建立公差模型的数学方法研究
1 漂移公差带模型
其的拓扑性质加以调查）的点集的和，以德国数学家闵可夫 斯基命名。点集A与B的闵可夫斯基和就是 A + B={a+b|a∈A,b∈B}。例如，平面上有两个三角形， 其坐标分别为A = {(1, 0), (0, 1), (0, −1)}及B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)}，则其闵可夫斯基和为A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}。
f 为公差函数
L、U为公差域的上、下界
Turner扩展了这一模型。首先需要定义公差变量、设计变量和模型变量 公差变量：表示零件名义尺寸的偏差
设计变量：由设计者确定，用以表示最终装配件的多目标优化函数
模型变量：控制零件各个公差的独立变量
由于旋转偏差是非线性的，用模型变量表示旋转偏差旋转方向上的矢量顶点
2
虚拟边界模型
3 矢量空间模型（圆度公差数学模型）
4
齐次变换矩阵法
5 基于积分映射的轮廓度公差建模
2 虚拟边界模型
定义：相 的R当 限.J于 制和对，V材即.料对S在增孔加而漂量言移理论上，将装配件的功 能要求限描制其述最为小极虚限尺拟寸表， 面的功能要求刚性集合。
对轴而言限制其最大源自文库
这种用虚极限拟尺表寸 面或虚拟半空间的边界的刚性
4
齐次变换矩阵法
5 基于积分映射的轮廓度公差建模
建立公差模型的数学方法研究
1 漂移公差带模型
2
虚拟边界模型
3 矢量空间模型（圆度公差数学模型）
4
齐次变换矩阵法
5 基于积分映射的轮廓度公差建模
1 漂移公差带模型
闵科夫斯基和（Minkowski sum） 是两个欧几里得空间（一个特别的度量空间它使我们能够对
形边上，所扫过的空间区域如图 (b)所示，它是图(a)矩形的扩
展型，即矩形和圆盘的闵可夫斯基和；类似的，可得如图(c)
所示的图(a)中矩形的缩减型；求扩展型和缩减型的差，便得
图所示的公差带。
MMC
（a）一个矩形
（b）扩展形
（c）收缩型
LMC （d）公差带
漂移模型(offetting model)
这个模型用点集形式来表示，实体S是欧氏空间的一个正则子集，用点集定义了
（1）Vs-1位于法兰面的非
（1） V材s-料1存边在于基 (2)法面兰的面与非V材s-1料紧边密接触
（(23)基） 面Vs-与2包Vs容-1圆紧柱密面 接触
（3） Vs-2被垫片的 圆柱孔表面包围
材料体积要求：
功能要求:圆筒圆柱壁材料所占的体积包容由规定直 径和壁厚虚所拟确边定界的实空际心上圆是柱满足体公积差。定义的零偏差的极值
1 漂移公差带模型
2
虚拟边界模型
3 矢量空间模型（圆度公差数学模型）
4
齐次变换矩阵法
5 基于积分映射的轮廓度公差建模
3 矢量空间模型
Hoffman认为几何实体由三维欧氏空间的点矢量构成，公差模型定义为一系
列以点矢量为参数的公差函数族。满足公差要求就是满足下式： L f (x) U
x 为零件的参数矢量
特点：1.参数矢量必须独立，否则就不能保证线性独立和矢量叠加的可替换性 2.即使是一个简单的零件会产生大量参数矢量，如平面上两个圆的尺寸
公差就需要定义至少36个参数矢量 3.为把公差约束转换成参数矢量，需要对公差约束做一些近似处理，导
致过大的误差积累
圆度公差数学模型
（1）
假 设 圆 度公 差 带 局 部坐标系 的原 点取 在 圆心
公差模型的数学方法
报告人：刘娇
目 录 CONTENTS
1 建立公差模型的数学方法研究
2 面向刚性、柔性装配的公差分析方法
目 录 CONTENTS
1 建立公差模型的数学方法研究
2 面向刚性、柔性装配的公差分析方法
建立公差模型的数学方法研究
1 漂移公差带模型
2
虚拟边界模型
3 矢量空间模型（圆度公差数学模型）
d ( p, S) 点p到实体S的距离
漂移公差带模型
（a）一个矩形
（b）扩展形
（c）收缩型
（d）公差带
假定一个实体S，它的正漂移a>0定义为S↑*a，相当于 在实体S外加上一层与实体S边界的距离值小于等于a的所 有的点（图b）；a<0为负漂移，定义为S↓*|a|,相当于除 去实体S上与实体S边界的距离值小于a的所有的点（图c）
集合来描述的功能要求的方法称为虚拟表面法
或虚拟边界要求法(VBRS)。
相当于对零件材料减 少量的限制，即对孔 而言限制其最大极限 尺寸，对轴而言限制 其最小极限尺寸
VBRS
装配要求
材料体积要求
装配要求：（在两个零件之间建立指定的空间关系）
柱销和垫片的装配要求
柱用销垫虚束应拟片 关刚满表系性应足面采集的满刚用合集足性合虚表集的约拟述合集束表表 ：合关述面约系：采
其上特征 Fi ，公差的数学表达：T (S,Fi, Aij )
S 为所需添加公差的实体 Fi 为该名义实体的边界
Aij 是公差要求
P : d( p, S) 0
上述定义的公差经过漂移，得到漂移实体 o( , S )=
为漂移量(与公差有关)
S *o( ,C *S) 0
-* 为正规差 C* 为正规补
关键部边位界的，材所料以几虚拟何边特界性模称型为可材用料于体极值积公要差求分，析只，与 材料量有但关不，适用与于零尺件寸个链部复分杂之的间装配的体空。间关系无关。
虚拟表面刚性集合表述： （1）Vs-outer位于外圆柱的
材料边且被外圆柱包围 （2）Vs-inner存在于内圆柱
的材料边且包容内圆柱
建立公差模型的数学方法研究
例：
+
=
MMC：Maximum Material Condition 最大实体条件[MMC=A +B]
LMC：Least Material Condition 最小实体条件[ LMC=A-B ]
公差带可以认为是处于MMC和LMC状态下的
两个实体的差集，只不过该集合使用漂移技 术得到的
如图所示，移动一个半径为r的圆盘，其圆心位于图(a)所示矩