浅谈函数思想在数列中的应用

浅谈函数思想在数列中的应用众所周知，数列是一类特殊的函数。

在解决数列问题时，适当地运用函数思想可以简化问题，达到事半功倍的效果。

下面我就此做几点分析。

一、运用函数思想掌握数列定义。

在讲解数列定义时，我们可以将其与函数定义展开对比，通过具体实例让学生体会数列与我们前面所学习过的任何一种函数没有本质区别，只是定义域不同而已。

因此导致其图象不具备连续性，而是一系列孤立的点，同时也可体会数列作为函数的特殊性。

我在教学过程中先是给出了几个常见的基本函数：y=2x+1 y=1/x，y=sinπx，y=2x然后让学生分别求它们在正整数集上的函数值，接着给出数列的定义，及表示方法，这样学生就自然而然低接受了数列是函数这一思想，为以后的应用奠定了基础。

二、运用函数思想研究数列的性质。

这一点主要体现在数列周期性，以及单调性的研究上。

问题1、在数列{a n}中a1=1，a2=5，a n+2=a n+1-a n(a∈N+)则a100等于（）
A、1
B、-1
C、5
D、-5
分析：由递推关系式可以看出数列应具备周期性。

结合在学习函数时出现过的式子f(x+2)=f（x+1）-f(x)=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1)可作类似推导，a n+2=-a n-1即a n+3=-a n
故a n+6=-a n+3=a n因此数列{a n}是周期为6的周期性数列，所以a100=a4=-a1=-1 问题2、已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+k n+2，若对于n∈N+都有a n+1>a n,则实数K的取值范围为
分析：由>a n，可知该数列是一个递增数列。

而通项公式a n=n2+k n+2可以看作是关于n的二次函数，其单调性由对称轴n=-k/2来决定，考虑到数列的特殊性，只需a1<a2即可。

也就是-k/2<3/2得k>-3。

这里显示比较容易忽略n为正整数这一特殊性，做出-k/2<1 即k>-2的结论。

问题3、数列{a n}中，a n =
2n 156
n
（n∈N*）则改数列的最大项是第项。

分析：问数列的最大项即问数列的单调性，而数列的单调性通常有两种方法判断。

一是利用a n+1- - a n的符号，二是构造函数。

利用函数的单调性进而确定数列的单调性，对本题来说，更适合用构造函数哦方法。

令f(x) =2n 156n +其中x ∈（1，+∞），则f(x)= 1156x x
+再令g （x ）=156x x +(x ≥1)则g ’（x ）=1-2156x
=22156x x -，令g ’（x ）≥0得x ≥156令g ’（x ）<0得1<x<156所以g(x)在（1，156）上单调递减，在（156，+∞）单调递增，故f(x) （1，156）上单调递增，在（156，+∞）单调递减，而12<156<13故a n 的最大项为a 12或a 13又a 12=2121=12+15625，a 13=2131=13+15625
所以a n 的最大项为a 12或a 13 三、函数思想在等差数列中的应用。

由等差数列通项公式可知a n =a 1+(n-1)d=d n +(a 1-d)为一次函数形式，而其前n
项和S n =n a1+n 2(n-1)d=d 2n 2+(a 1-d 2
)n 为过原点的二次函数形式，因此在具体题目中我们可以利用这两点将问题与一、二次函数图象结合起来。

使问题变得形象、直观。

问题4：设等差数列{a n }的前n 项和为S n 若a 1<0, S 2009=0.
（1）问n 为何值时S n 取得最小值。

（2）求n 的取值集合，使a n ≥S n
分析：（1）因为{an}为等差数列，所以可设S n =A n2+B n ，为过原点的二次函数又S 2009=0，所以对称轴为n=
20090200922
+=所以当n=1004或1005时S n 取得最小值。

(2)由题意可设a n =a n +b 为关于n 的一次函数，由S 2009=0可得S 2010=S 2009+a 2010=a 2010，又a 1=S 1故方程a n =S n 有两个根，n=1和n=2010，结合图象可知a n ≥S n 的解集为{n| 1≤ n ≤2010,n ∈N*}
问题5等差数列{a n }的前n 项和为Sn 已知S n =S m 求S n+m
分析：由题意可设S n =An 2+bn 为过原点的二次函数，而由S n =S m 可知其对称
轴为x=2
n m +故S n+m =S 0=0 四、函数思想在等比数列中的应用
依据等比数列定义a n =a 1q n-1=1n a q q
•为指数函数模型，当q ≠1时Sn=111(1)111n n a q a a q q q q
-=----故可设S n =A-Aq n 也是指数函数模型。

问题6、等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +a 则a=
分析：由等比数列前n 项和形式： S n =A-Aq n 可将S n =3n +a=1×3n -（-a ）所以-a=1
即a=-1
五、构造函数证明数列中的不等式。

这些年来，数列与不等式结合一直是高考中的热点问题。

而构造函数证明相应不等式是解决这一类问题重要方法之一。

值得我们深入地进行探讨和研究。

问题7、（2010年湖北，21,14分）已知函数f(x)=ax+b x
+c(a ＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.
(Ⅰ)用a 表示出b,c;
(Ⅱ)若f(x)＞㏑x 在[1,∞]上恒成立，求a 的取值范围；
(Ⅲ)证明：1+12+13+ (1)
＞㏑(n+1)+()21n n +)(n ≥1). 分析：（1）f ’(x)=a- 2b x ,则有(1)0'(1)1f a b c f a b =++=⎧⎫⎨⎬=-=⎩⎭
解得112b a c a =-⎧⎫⎨⎬=-⎩⎭
（2）由（1）知，1()12a f x ax a x -=+
+- 令1()()ln 12ln ,[1,]a g x f x x ax a x x x
-=-=++--∈+∞
则2222
1(1)()11(1)(1)0,'()a a x x a ax x a a g g x a x x x x -------==-
-==，
（i ）当11012a a a
-<<>时， 若11a x a -<<，则'()0,()g x g x <是减函数，所以()(1)0g x g <= 即()ln f x x >故()ln f x x ≥在[1+ ∞]上不恒成立。

（ii ）当11,12a a a
-≥≤时。

若1,'()0,()x g x g x >>则是增函数，所以()(1)0g x g >=
即()ln .1()ln .f x x x f x x >≥≥故当时，
综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2
+∞ （3）由（2）知当1()ln (1)2
a f x x x ≥≥≥时，有 令111,()()ln (1)22a f x x x x x ==-≥≥有，且当x>1时，11()ln 2x x x
-> 令1,k x k +=有 111111ln ()[(1)(1)],2121
k k k k k k k k ++<-=+--++即111ln(1)ln (),1,2,3,.21
k k k n k k +-<+=+……， 将上述n 个不等式一次相加得
11111ln(1)(),2232(1)n n n +<++++++……整理得1111)ln(1)232(1)
n n n n ++++>+++……。

总之，数列是特殊的函数，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，而函数思想更是解决高中数学问题的重要数学思想方法。

在解决数列问题时，如果我们能充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起数列与函数间的桥梁，就能达到简化问题，解决难点的目的。