高中三角函数最值问题的一些求法

高中三角函数最值问题的一些求法

关于()f x ωϕ+型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如

sin(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，； cos(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，；

tan y x =与cot y x =在定义域内无最值。

一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题

例1：求函数y ＝

x

x x x x x x x cot |

cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。

解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x x

y x x x x =

+++= （2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x

y x x x x =+++=----

（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x x

y x x x x =+++=--

（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x

y x x x x

=+++=----

综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2.

二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题

例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13

x -1

y=的最大值和最小值，则M m

+等于（ ）

（A ）

32

（B ）32-（C ） 3

4-（D ）-2 解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 13

x -1

y=的最大值与最小值分别为

32-,34-,即M m +＝32-+（3

4

-）=-2,选D. 例2：求3sin 1

sin 2

x y x +=+的最值（值域）

分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3

y

x y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。

解：3sin 1

sin 2

x y x +=

+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+⇒-=-

12(3)sin 12sin 3

y

y x y x y --=-⇒=

-。因为sin 1x ≤， 所以()()2

2

2

121212111333y y

y y y y -⎛⎫--≤⇒≤⇒≤ ⎪---⎝⎭

即()()()()2

2

212332802340y y y y y y -≤-⇒+-≤⇒+-≤

即423

y -≤≤

，所以原函数的最大值是4

3，最小值是2-。

三、利用数形结合

例：求cos 2

sin 2

x y x -=

-的最大值与最小值

x

解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式21

21

y y k x x -=

-将原式中的y 看作是定点(,)P x y 与动点(sin ,cos )M x x 连线的斜率，而动点(sin ,cos )M x x 满足单位圆

22sin cos 1x x +=，如上图所示。所以问题可转化为求定点(2,2)

P 到单位圆相切时取得的最值，由点到直

线的距离得：

min

y =

max y = 四、利用三角函数的单调性法

例1：(1996全国高考试题)当x π

π

-

≤≤

2

2

，函数()sin f x x x =的最值

(A)最大值是1，最小值是－1 (B)最大值是1，最小值是1

2

-

(C)最大值是2

，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1

()sin 2sin()3

f x x x x π==+，因为x ππ-≤≤22，所以53x πππ-≤+≤66，当x π

=-6时，函数()

f x 有最小值 －1,最大值2，选择D

例2：求sin sin sin x x y x

（1+)(3+)

=2+的最值及对应x 的集合

分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为1

sin 2)sin 2

x x =

+-+y （，但也不符合用平均

不等式求，考虑用单调性。

解答：sin sin 1sin 2)sin sin 2x x y x x x =+-

+（1+)(3+)=（2+令sin 2x t +=，则1

()y f t t t ==-，且13t ≤≤，设12121<3,()()t t f t f t ≤≤-=121211

()()t t t t ---=

12

1212

1()(

)<0t t t t t t +-[]()(1,3)f t t ∴∈上单调递增，所以 当1t =时， min ()0f t =，此时sin 1x =-，,2,.2x x x k k z ππ⎧⎫

∈=-∈⎨⎬⎩⎭

当3t =时，8()max 3f t =，此时sin 1x =，,2,2x x x k k z ππ⎧⎫

∈=+∈⎨⎬⎩⎭

五、可化为一次函数y kx b =+，c x d ≤≤的条件极值的三角函数式极值求法

例1：求函数sin y a b x =+ (0)b ≠的极值

分析：由sin 1x ≤，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求sin y a b x =+,

11x -≤≤，其中sin x x =,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。

解： 1）当0b >时, ,y a b y a b =+=-最大最小； 2）当0b <时, ,y a b y a b =-=+最大最小；

说例2：求函数22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的最值，其中0,0b c ≠≠。

分析：在这里不能将它变形为关于sin x 或cos x 为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即21cos 2sin 2x x -=

，21cos 2cos 2x x +=，1sin cos sin 22

x x x =，然后代入化简得到sin(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，即可求出。

解：因为1cos 21cos 2sin 2222x b x y a x c -+=⋅

+⋅+⋅[]1

sin 2()cos 222

a c

b x

c a x +=++-

sin(2),2a c x ϕ+=++其中arctan c a b ϕ-= ，且sin(2)1x ϕ+≤，

,22a c y +∴=+

最大

22

a c y +=-最小

在这里22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin 2cos 2y A x B x −−−−

→=+降次、整理

六、可化为二次函数2(0)y ax bx c a c x d =++≠≤≤且的条件极值的三角函数式的最值求法。

例1：求函数22sin 8sin 5y x x =+-最值