第7章 离散状态空间设计法
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计算机控制技术第7章 数字控制器的离散化设计方法
1
若 Z f (t) F(z)
则 lim f (t) lim(z 1)F(z)
t
z 1
表7-2 Z变换重要性质
名称
性
质
（7-16）
线性定理
Z[a1 f1(t) a2 f2(t)] a1F1(z) a2F2(z)
2
延迟定理
3
超前定理
4
复位移定理
5
复微分定理
6
初值定理
7
终值定理
在图7-1中 ， f(t)与g(t) 是两个不同的连续函数，但是由于f*(t) 和 g*(t)相等，所以F(z) 等于G(z) 。
f (t) g(t)
f (t)
g (t )
0
T
2T
3T
t
图7-1 采样值相同的两个不同的连续函数
4/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
例7-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。
如图7-2（a）所示。
r(t)
c(t)
(s )
r(k)
c(k)
(s )
（a）
图7-2 连续系统和离散系统
（b）
10/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
即 代入式(7-17)，即得
dc(t) c(k 1) c(k)
dt
T
T0 [c(k 1) c(k)] c(k) Kr(k)
T
或
c(k 1) (1 T )c(k) K T r(k)
C(z, m) E(z)D(z)G(z, m)
[R(z) C(z, m)]D(z)G(z, m)
所以
(z, m) D(z)G(z, m)
1 D(z)G(z, m)
若 Z f (t) F(z)
则 lim f (t) lim(z 1)F(z)
t
z 1
表7-2 Z变换重要性质
名称
性
质
（7-16）
线性定理
Z[a1 f1(t) a2 f2(t)] a1F1(z) a2F2(z)
2
延迟定理
3
超前定理
4
复位移定理
5
复微分定理
6
初值定理
7
终值定理
在图7-1中 ， f(t)与g(t) 是两个不同的连续函数，但是由于f*(t) 和 g*(t)相等，所以F(z) 等于G(z) 。
f (t) g(t)
f (t)
g (t )
0
T
2T
3T
t
图7-1 采样值相同的两个不同的连续函数
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第7章 数字控制器的离散化设计方法
例7-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。
如图7-2（a）所示。
r(t)
c(t)
(s )
r(k)
c(k)
(s )
（a）
图7-2 连续系统和离散系统
（b）
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第7章 数字控制器的离散化设计方法
即 代入式(7-17)，即得
dc(t) c(k 1) c(k)
dt
T
T0 [c(k 1) c(k)] c(k) Kr(k)
T
或
c(k 1) (1 T )c(k) K T r(k)
C(z, m) E(z)D(z)G(z, m)
[R(z) C(z, m)]D(z)G(z, m)
所以
(z, m) D(z)G(z, m)
1 D(z)G(z, m)
计算机控制系统经典设计法——离散设计法
(1)
闭环脉冲传递函数的确定
典型输入的z变换表达式
R( z )
A( z ) (1 z 1 ) q
误差E ( z )的脉冲传递函数
系统的静态误差为
E ( z ) R( z ) Y ( z ) Φe ( z ) 1 Φ( z ) R( z ) R( z )
A( z )(1 Φ( z )) (1 z 1 )－(1 z 1 ) 2 z 1－z 2
1 Φ( z ) 0.5434 z 1 1 0.5 z 1 1 0.3679 z 1 D( z ) G ( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 )(1 0.718 z 1 ) z 1 1 2 1 E ( z ) (1 Φ( z )) R( z ) (1 z ) z (1 z 1 ) 2
二拍以后，系统输出等于输入信号
(3) 对单位加速度输入信号
Φ( z ) 1 (1 z 1 )3 3z 1－3z 2＋z 3
1 0.8154 （ 1－z 1＋ z 2） 1 0.3679 z 1 1 Φ( z ) 3 D( z ) G( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 ) 2 (1 0.718 z 1 )
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
1 Φ( z ) D( z ) G ( z ) 1 Φ( z )
要点：如何把系统的性能指标转换为闭环特性Φ( z )，解出的D( z )能否 物理实现以及系统能否保证稳定。
5
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
状态空间分析设计方法
y bm~y (m) ... b1~y (1) b0~y
选取状态 x1 ~y, x2 ~y (1) , , xn ~y (n1)
可以得到系统的状态空间描述：
x&1 y%(1) x2 x&2 y%(2) x3
M
~y (n) an1~y (n1) ... a1~y (1) a0~y u y bm~y (m) ... b1~y (1) b0~y
y(n) an1 y(n1) ... a0 y bmu(m) ... b0u
引入微分算子 p d / dt ，则系统可以写成:
pn y an1 pn1y ... a1 py a0 y bm pmu ... b1 pu b0u
y
pn
bm pm ... b1 p b0 an1 pn1 ... a1 p a0
x&n1 y%(n1) xn
x&n y%(n) an1 y%(n1) ... a1 y%(1) a0 y% u
an1xn ... a1x2 a0 x1 u
y bm y%(m) ... b1 y%(1) b0 y% 0
bm xm1 ... b1x2 b0 x1
完全描述
（1）状态方程：输入作用引起系统状态发生变化， 通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：
x(t) Ax(t) Bu(t)
（2）输出方程：状态和输入的改变决定了输出的变 化，通常属于变量之间的相互转换，可用一般的代数 方程表示：
y(t) Cx(t) Du(t)
问题：1 什么是状态？ 2 状态是否唯一？
问题：例如上面例题中提到的RLC电路，如果以
x1 i, x2 ec
作为一组状态变量， 则状态空间表达为…..?
第7章线性定常离散时间系统的状态空间设计法
第7章线性定常离散时间状态空间设计法7.1引言7.2状态反馈配置极点7.3状态估值和状态观测器6.3.1全维观测器6.3.2降维观测器7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点7.5扰动调节7.6无差调节7.1引言一个工程被控对象：(1)()()()()():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n7.1当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素：扰动，比如负载扰动测量噪声给定输入的指令信号如图7.1所示。
u r (k)给定输入被控对象y(k)输出d L (k)扰动e (k)测量噪声u c (k)控制GCFu(k)x(k+1)x(k)y p (k)1z控制器图7.1 控制系统示意图根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。
调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。
包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。
但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。
伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。
本章研究基于离散状态空间模型的设计方法。
7.2首先研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置。
7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。
7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。
7.5简单地讨论伺服问题。
7.2状态反馈配置极点工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈()()()u k v k Lx k 7.2带入式7.1，得(1)()()()()()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k 7.3整理得(1)()()()()x k FGL x k Gv k y k Cx k 7.4闭环系统的特征方程为det ()zIFGL 7.5有(1)()()()()()x k FGL x k Gv k y k Cx k 7.6 问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根n ，有1det ()()0nii zI F GL z7.7定理：状态反馈配置极点若被控对象式7.1是状态完全能达的，即（F, G ）是一个能达对（能达性矩阵-1[]N cW FGFG G 满秩），则一定存在一个r 行n 列的状态反馈矩阵L ，使得在状态反馈()()()u k v k Kx k 下，闭环系统式7.4具有任意给定的n 个期望的特征根n 。
离散系统的状态空间描述
x1(k)
y(k) 1
0
0
x2
(k
)
x3 (k )
4 离散状态方程求解
1. 迭代法
离散状态方程的通式 x(k 1) Fx(k) Gu(k)
已知k=0时系统状态x(0)以及 k 0 k 之间各个时刻的输入量 u(0),u(1), ,u(k)
得到现时刻k的状态
k 1
x(k) F k x(0) F ki1Gu(i) i0
x1(k x2 (k
1) 1)
h1u (k ) h2u(k )
xn (k) xn1(k 1) hn1u(k)
则可得到离散系统状态方程，且有：
式中
h0 b0 h1 b1 a1h0
hh32
b2 b3
a1h1 a1h2
a2h0 a2h1
a3h0
hn bn a1hn1 a2hn2
I
AT
I
AT 2
I
AT 3
I
AT L 1
I
AT L
计算项数L可由精度要求确定。
输入矩阵
G(T ) T eAt Bdt (eAT I ) A1B T AiT i B
0
i0 (i 1)!
T
I
AT 2
I
AT 3IAT L 1 NhomakorabeaI
AT L
B
2. 状态转移阵的求解——(2)拉普拉斯变换
可得方程 （有不同方法）
x3(k 1) 0.9x3(k) e(k)
u(k) 0.01x3(k) 0.9e(k)
（2）广义被控对象部分：
被控对象连 续状态方程
x1 x2
0 0
1 1
x1 x2
6.2 离散系统状态空间模型的建立
教学模块6 基于状态空间模型的极点配置设计方法教学单元2 离散系统状态空间函数模型的建立离散系统状态空间模型差分方程连续系统状态空间模型脉冲传递函数建立被控对象离散状态空间模型的方法：•由连续系统状态空间模型求取•由差分方程求取•由脉冲传递函数求取2.1 由连续状态空间模型建立离散状态空间模型()()()()()t A t B t t C t =+⎧⎨=⎩x x u y x （1）设连续控制对象的模型可用如下的状态空间表达式描述：其中设x 为n 维状态向量，u 为m 维控制向量，y 为r 维输出向量。
设在连续的对象前面有零阶保持器，即()() (1)t k kT t k T=≤<+u u （2）将控制对象与保持器一起进行离散化处理，得到离散系统模型。
对式（1）求解：()()()t A t B t -=xx u 两边同乘，得到Ate-(()())()AtAtet A t e B t ---=x x u 由于(()())[()]At Atd e t A t e t dt---=x x x 于是[()]()AtAt d e t e B t dt--=x u 两边积分，有：00[()]()tt A A t t d e d e B d d τττττττ--=⎰⎰x u 其中00000[()] [()]() ()()tt t A A A t t t At At d e d d e e d e t e t ττττττττ-----===-⎰⎰x x x x x (a)(c)因此，有：0()()()tAt AtA t et et eB d τττ---=+⎰x x u 两边同乘，有：00()()0()()()tA t t A t t t et eB d τττ--=+⎰x x u Ate （3）令，由（2）式，即考虑零阶保持器，得T k t kT t )1( ,0+==(1)()(1)()()k TATA kT T kTk e k e d B k ττ++-⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎰x x u （4）()() (1)t k kT t k T=≤<+u u令，（4）式化为：(1)()()k F k G k +=+x x u （5）τ-+=T kT t 其中⎰==TAt ATdtBe G eF 0,（6）式（1）中，输出方程的离散形式为：()()k C k =y x （7）故连续模型等效离散状态空间表达式为：(1)()()()()k F k G k k C k +=+⎧⎨=⎩x x u y x （8）矩阵指数及其积分的计算⎰==TAtATdtBe G e F 0,拉氏变换法可以证明：11()At e L sI A --=-因此，求F 、G 的步骤如下：（1）求得的逆矩阵（2）取其拉氏反变换，获得（3）求F 和G)(A sI -1)(--A sI Ate （9）（10）幂级数计算法At e 的幂指数形式为!3!23322 ++++=t A t A At I eAt令!4!3!243322++++==⎰TA T A AT IT dt e H TAt（11）（12）于是22332232!3! 2!3! ATTAtA T A TF e I AT AT A TI A IT I A e dt I AH==++++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=+=+⎰()0TAt G e dt B HB==⎰（13）（14）!4!3!243322++++==⎰T A T A AT IT dt e H TAt例2.1设连续系统的状态空间模型为求其离散化状态空间模型。
离散系统的状态空间描述状态方程
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
12
2019/1/5
得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
2019/1/5
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1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )
现代控制理论基础 第7章 状态空间分析法在工程中的应用
h2
特征多项式
1 0
0 1
1
w
0
u
h02 h1 h0h1 h2
y
11 0 1 h0h2 11h1
h0
x1
w
h1
y
h2
I (A11 hA21) 3 h02 (11 h1) (11h0 h2 )
期望极点-3, -2+j, -2-j;期望特征方程
g0 9, g1 42, g2 148, g3 492
状态反馈
12
五、降维观测器设计
由于小车位移z可测，无需估计，可用降维观测器进行设计。重新排列系统状 态变量次序，把需由降维观测器估计的变量与可观测的变量分开，则状态方程 和输出方程为
d dt
•
z
•
--z--
0 1 0 0
第七章 状态空间分析法在工程中的应用
第一节 单倒置摆系统的状态空间设计 第二节 大型桥式吊车行车系统的状态空间设计 第三节 液压伺服电机最优控制系统
1
线性控制理论在工程设计中应用最广泛的是状态空 间综合方法，也就是状态反馈与状态观测器的相关理论 与方法。本章通过三个工程实例予以说明状态空间分析 方法的具体应用。
3
若不给小车施加控制力，是一个不稳定系统。 控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直
流电动机使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。
4
一、倒置摆的状态空间描述
根据牛顿定律
M d 2z m d 2 (z l sin ) u
dt 2
dt 2
由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有
(6-3) (6-4)
联立求解
..
chap07离散系统状态空间设计
U ( z) 1.58 0.58z 1
u (0) 1.58 u (1) 0.58
根据e(k)=r(k)-y(k)= r(k)-x1(k)，得到
e(0)=r(0)-x1(0)=1-0=1
e(1)=1-x1(1)= 1-0.368 u(0)=1-0.368×1.58=0.419 同理，当k>2时，e(k)=0，于是得到
第7章 离散系统状态空间设计
7.1.2 在单位速度信号作用下单变量最少拍 系统设计
对于如图7.2所示的单变量系统，在单位速度信号作用下 的设计要求是：确定数字控制器 D(z)，使系统调整时间 的拍数N为最少，无稳态误差无波纹。可表示为
其中 tf是对应于N拍的终态时间。 设计方法同前面单位阶跃输入下的设计方法相似，为简 便起见，仍设系统初态x(0)=0，采样周期T=1秒，则上式 无稳态误差无波纹跟踪条件为
u(t) 1.58 0 -0.58 1 y(t) 1 0.58 0 1 2 3
x2(t) 1
2
t 0 1 2 t
4
t
图7.4 单位阶跃输入无波纹最少拍系统输出特性
第7章 离散系统状态空间设计
上述N=1和N=2两种情况表明，系统的调整时间为一拍时， 只能满足x1(N)=1，而不能满足x2(N)=0条件，所以系统输 出就出现了波纹；当调整时间增加一拍时，满足了 x1(N)=1且x2(N)=0条件，所以系统能实现两拍跟踪且无稳 态误差、无波纹。 从这里可以看到调整时间每增加一拍，就可以对系统性 能增加一项要求，且得到满足。可以想见，当 N>3 时， 对系统的要求可以增加，例如，可以满足由于控制对象 执行元件的饱和特性对输入幅值限制的要求，或最大速 度和最大加速度限制的要求等等，以便使得它们的数值 大小限制在整个控制过程中所允许的范围内。
u (0) 1.58 u (1) 0.58
根据e(k)=r(k)-y(k)= r(k)-x1(k)，得到
e(0)=r(0)-x1(0)=1-0=1
e(1)=1-x1(1)= 1-0.368 u(0)=1-0.368×1.58=0.419 同理，当k>2时，e(k)=0，于是得到
第7章 离散系统状态空间设计
7.1.2 在单位速度信号作用下单变量最少拍 系统设计
对于如图7.2所示的单变量系统，在单位速度信号作用下 的设计要求是：确定数字控制器 D(z)，使系统调整时间 的拍数N为最少，无稳态误差无波纹。可表示为
其中 tf是对应于N拍的终态时间。 设计方法同前面单位阶跃输入下的设计方法相似，为简 便起见，仍设系统初态x(0)=0，采样周期T=1秒，则上式 无稳态误差无波纹跟踪条件为
u(t) 1.58 0 -0.58 1 y(t) 1 0.58 0 1 2 3
x2(t) 1
2
t 0 1 2 t
4
t
图7.4 单位阶跃输入无波纹最少拍系统输出特性
第7章 离散系统状态空间设计
上述N=1和N=2两种情况表明，系统的调整时间为一拍时， 只能满足x1(N)=1，而不能满足x2(N)=0条件，所以系统输 出就出现了波纹；当调整时间增加一拍时，满足了 x1(N)=1且x2(N)=0条件，所以系统能实现两拍跟踪且无稳 态误差、无波纹。 从这里可以看到调整时间每增加一拍，就可以对系统性 能增加一项要求，且得到满足。可以想见，当 N>3 时， 对系统的要求可以增加，例如，可以满足由于控制对象 执行元件的饱和特性对输入幅值限制的要求，或最大速 度和最大加速度限制的要求等等，以便使得它们的数值 大小限制在整个控制过程中所允许的范围内。
状态空间法PPT课件
状态空间法基于状态空间的概念，将系统的输入、输出和内 部状态联系起来，通过状态变量和输入变量的变化来描述系 统的动态行为。
状态空间法的应用领域
控制系统设计
状态空间法广泛应用于控制系统设计，通过建立系统的状 态方程和输出方程，可以设计控制律来控制系统的行为。
信号处理
在信号处理领域，状态空间法可用于信号滤波、预测和估 计，通过建立信号的状态模型来描述信号的变化规律。
优势与局限
状态空间法具有直观、灵活和易于理解等优点，能够提供丰富的信息用于系统分 析和设计。然而，状态空间法也存在一些局限，例如对于高阶系统的计算可能较 为复杂，且在某些情况下难以得到解析解。
对未来研究的展望
进一步发展
随着科学技术的不断进步，状态空间法有望在更多领域得到应用和发展。例如，随着智能传感器和执行器技术的 进步，状态空间法在智能控制和自适应控制等领域的应用将更加广泛。此外，随着深度学习和人工智能技术的快 速发展，状态空间法有望与这些技术相结合，用于解决更复杂和高级的问题。
05 状态空间法的应用实例
在控制系统中的应用
控制系统建模
利用状态空间法建立控制系统的数学模型，以便 进行系统分析和设计。
控制系统优化
通过状态空间法对控制系统进行优化设计，提高 系统的性能和稳定性。
控制系统故障诊断
利用状态空间法对控制系统的故障进行诊断和定 位，及时发现和排除故障。
在信号处理中的应用
状态空间法ppt课件
contents
目录
• 引言 • 状态空间法的基本概念 • 状态空间法的实现 • 状态空间法的优势与局限性 • 状态空间法的应用实例 • 结论
01 引言
什么是状态空间法
状态空间法是一种数学方法，用于描述动态系统的状态变化 和输出响应。它通过建立状态方程和输出方程来描述系统的 状态变量和输出变量之间的关系，从而对系统进行建模、分 析和控制。
状态空间法的应用领域
控制系统设计
状态空间法广泛应用于控制系统设计，通过建立系统的状 态方程和输出方程，可以设计控制律来控制系统的行为。
信号处理
在信号处理领域，状态空间法可用于信号滤波、预测和估 计，通过建立信号的状态模型来描述信号的变化规律。
优势与局限
状态空间法具有直观、灵活和易于理解等优点，能够提供丰富的信息用于系统分 析和设计。然而，状态空间法也存在一些局限，例如对于高阶系统的计算可能较 为复杂，且在某些情况下难以得到解析解。
对未来研究的展望
进一步发展
随着科学技术的不断进步，状态空间法有望在更多领域得到应用和发展。例如，随着智能传感器和执行器技术的 进步，状态空间法在智能控制和自适应控制等领域的应用将更加广泛。此外，随着深度学习和人工智能技术的快 速发展，状态空间法有望与这些技术相结合，用于解决更复杂和高级的问题。
05 状态空间法的应用实例
在控制系统中的应用
控制系统建模
利用状态空间法建立控制系统的数学模型，以便 进行系统分析和设计。
控制系统优化
通过状态空间法对控制系统进行优化设计，提高 系统的性能和稳定性。
控制系统故障诊断
利用状态空间法对控制系统的故障进行诊断和定 位，及时发现和排除故障。
在信号处理中的应用
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目录
• 引言 • 状态空间法的基本概念 • 状态空间法的实现 • 状态空间法的优势与局限性 • 状态空间法的应用实例 • 结论
01 引言
什么是状态空间法
状态空间法是一种数学方法，用于描述动态系统的状态变化 和输出响应。它通过建立状态方程和输出方程来描述系统的 状态变量和输出变量之间的关系，从而对系统进行建模、分 析和控制。
离散时间系统状态空间模型讲解
利用凯莱-哈密顿定理
Gk n1(k)Gn1 1(k)G 0 (k)I
求 0 (k)，1(k)， ，n1(k) 的方法：
r
若h(s) det(sI A) (s i )i , i 1
令 f (s) sk，
g(s) 0 (k) 1(k)s n1(k)sn1, 联立n个方程
f (l) (i ) g(l) (i ), l 0,1, , i 1;
• 对连续时间线性系统的离散化系统，其状态转移矩阵必非 奇异；
• 当G非奇异时，G-1(k)=G(-k)
➢ 传递性：G(k-l)G(l-h)=G(k-h), k>l>h G(k1+k2)=G(k1)G(k2)
离散系统的状态转移矩阵的计算
Z变换法； 利用凯莱-哈密顿定理； 特征值法。
Z变换法
x(k) G(k)x(0) G(k 1 i)Hu(i)
i0
零输入响应
零状态响应
x0u(k)
x0x(k)
初始时刻为h时
k 1
x(h k) G(k)x(h) G(k 1 i)Hu(h i) i0
离散系统的状态转移矩阵的性质
➢ G(0)=I; ➢ G(k+1)=GG(k); ➢ 逆的性质：
• 逆的存在性：与连续时间系统不同，离散系统的状态转移 矩阵G(k)不一定非奇异，并且 G(k)非奇异 G非奇异；
0
an
1 an1
C bn1 bn2
0
0
0
0 ,H
0
1
a1
0 1
b0 , D b0
其他实现方法
• 对偶实现 • 并联实现 • 串联实现
利用状态方程求解 线性离散时间系统
离散时间系统的零输入响应
第七章 状态空间分析法
方程，若向量分量是选定的状态变量，则上述一阶矩阵微分方程 称为系统状态方程。
7.2 连续系统的状态方程及其输出方程 7.2.1 由系统微分方程列写状态方程及其输出方程
1.作用函数不含导数项时 n 阶线性系统的状态方程及其输 出方程 设 n 阶线性定常系统的运动方程可用下述微分方程描述，即 y ( n ) a1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) a n 1 y a n y u （7.1） (i ) u 式中 y, y , (i 1,2, , n)分别为系统的输出及其各阶导数； a 为系统的作用函数（即被控对象的控制输入）；1 , a 2 , , a n 为常系数。 式（7.1）为作用函数 u 不含导数项的 n 阶常微分方程，其 y (i ) (i 1,2,3,, n) 项均为 中作用函数、输出函数及其各阶导数 时间的函数，为书写的方便，将时间 t 略去。 由式（7.1）可知，对于上述线性定常系统，若已知初始条
Y ( s) 1 1 3 U ( s ) s( s 2)( s 3) 1 s 5s 2 6s 1
根据闭环传递函数可求得系统运动微分方程为
5 6 y y u y y
由于该系统为三阶系统，因此可选择状态变量为
x1 y, x 2 y, x 3 ，则可写出系统的状态方程为 y x1 x 2 x2 x3 x 3 5 x 3 6 x 2 x1 u
称式（7.3）或式（7.5）为线性定常系统式（7.1）的状态方 程。根据系统输出变量的选取，其输出方程可写成 y x1 （7.6） 或写成矩阵方程形式为
C 式中， = 1 0 0 称为输出向量。 式（7.5）及式（7.7）所示的状态方程及其输出方程是应用 状态空间法分析与设计线性系统时，描述系统动态特性的标准状 n 态空间表达式，应该指出， 阶线性定常系统，它的状态变量只 有 n 个。
状态空间设计法
BK X(k) X(k 1) A BK ~ ~ X(k 1) 0 X(k) A LC
BK A BK de tz I 0 A LC 0
de t(z I A BK)(z I A LC) A LC 0
若期望的极点为βi (i 1,2,, n)，期望观测器特征多项式：
η(z ) (z β i ) z I A LC 0
i 1
n
对于高阶系统，也有Ackerman公式：
K η(A)Q e
1 T n o
n n 1 en 0 0 1 η(z) z α1z αn
闭环特征方程
zI A BK 0
设计反馈控制规律L，使得闭环系统具有所需要的极点配置。
闭环控制极点：
βi (i 0,1,2, , n)
求得闭环特征方程为：
βc (z) (z β1 )(z β2 )(z βn ) zn α1zn1 αn 0
反馈控制矩阵K应满足方程：
2
0.24 1 λ(A) A A 0.24I 0 0.24
2
1 1 0.24 1 K enQ λ(A) 0 1 0 0.24 1 0.24 1 0
1 c
第二节
状态观测器设计法
观测器的设计思想：根据能够测量的系统输出量和输入量，重 构出全部状态。
相应的离散状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k) y(k) Cx(k)
A e A 1T T A1 τ B e dτ 0
假设控制规律是线性状态反馈
u(k) kX(k)
离散状态空间分析
yp
图3.1 线性连续系统的变量关系
状态变量、控制变量和输出变量的向量表达式
x1 (t ) x (t ) 2 x(t ) xn (t )
u1 (t ) u (t ) 2 u (t ) um (t )
j 0 k 1
有了离散状态方程的解(3—75)式， 便可以得到输出方程
y (kT ) Cx (kT ) Du(kT ) 式（3 75 ）中记 (kT ) F k。
(3 76)
(kT )称为线性离散系统的状 态转移矩阵。 状态转移矩阵具有以下 性质： (kT T ) F (kT ) ( I为单位矩阵） (0) I
由式(3-11)可得
x1 (kT T ) y (kT T ) x2 (kT ) x2 (kT T ) y (kT 2T ) x3 (kT ) x3 (kT T ) y (kT 3T ) x4 (kT ) xn (kT T ) y (kT nT ) an x1 (kT ) an 1 x2 (kT ) a1 xn (kT ) b0u (kT )
初值x(0)，u (0)。 以k 0， 1， 2， ，代入 x(T ) Fx(0) Gu(0) x(2T ) Fx(T ) Gu(T ) F 2 x(0) FGu(0) Gu(T ) x(3T ) F 3 x(0) F 2Gu(0) FGu(T ) Gu(2T ) x(kT ) F k x(0) F k j 1Gu( jT )
系统的状态变量如图3．4所示
3．3 线性离散系统离散状态方程的求解
线性离散系统的离散状态方程是由 高阶差分方程化为一阶差分方程组得到 的，所以求解差分方程的方法可以适用 于求解离散状态方程。通常离散状态方 程的求解方法有 迭代法 Z变换法。
第7章 数字控制器的离散化设计
输入信号的一般表达式 式中 A( z ) 为不包含 (1 z 1 ) 因式的的多项式。根据Z变换的终值定理， 求系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)，即：
R( z )
A( z ) (1 z 1 ) N
e ( z ) A( z ) e lim(1 z 1 ) E ( z ) lim(1 z 1 ) R( z )e ( z ) lim(1 z 1 ) 0 1 N z 1 z 1 z 1 (1 z ) • 很明显，要使稳态误差为零， 中必须含有 因子，且 ， 1 M M N e ( z ) (1 z ) 要实现最少拍一般取 。同样 M N • e ( z ) A( z ) E ( z ) e ( z ) R( z ) • 要使 成为 有限项的多项式，应使 (1 z 1 ) N E( z) z 1 • 1 N
（2）根据控制系统的性能指标及实现的约束条件构造闭环脉 冲传递函数； Y ( z) D ( z )G1 ( z )
( z)
偏差闭环脉冲传递函数；
R( z )
1 D ( z )G1 ( z )
e ( z )
E ( z ) R( z ) Y ( z ) 1 1 ( z) R( z ) R( z ) 1 D( z )G1 ( z )
最少拍控制系统设计的要求
（1）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统 在采样点的输出值准确跟随输入信号，不存在静 差 （2）在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中， 系统准确跟踪输入信号所需的控制周期数最少 （3）数字控制器必须在物理上可以实现 （4）闭环系统必须是稳定的
• • • • • • • • •
7.1 数字控制器的离散化设计步骤
计算机控制技术课件：第7章 控制规律的离散化设计方法(z变换、大林算法、D(Z)的计算机实现)
1 d 1 z 2 E( z) [( s a ) ] 2 sT s a (2 1)! ds (s a) z e T ze sT sT 2 (z e )
s a
TzeT T 2 (z e )
第5章
控制规律的离散化设计方法
3. Z变换基本定理
与拉氏变换类似，在Z变换中也有一些基本定理， 它们可以使Z变换变得简单和方便。 1) 线性定理 若已知e1(t)和e2(t)有Z变换分别为E1(z)和E2(z)，且a1
当ns没有重根即es没有重极点时可将es展开成部分分式和的形式即511式511中p是第i项系数可用待定系数法求得即当ns已分解为因式乘积时控制规律的离散化设计方法由拉氏变换知道与a控制规律的离散化设计方法因此函数et的z变换便可由es求得并可写作控制规律的离散化设计方法例54已知控制规律的离散化设计方法查表得留数计算法若己知连续时间函数et的拉氏变换式es及其全部极点pi12
k 0
级数收敛，则式(5―8)可写成闭合形式：
E ( z)
1 1 e
T
z
1
z z e T
(5―9)
第5章
控制规律的离散化设计方法
2) 部分分式展开法
用部分分式展开法求Z变换，即已知时间函数e(t)的 拉氏变换E(s)，求该时间函数e(t)的Z变换。 其解法的具体步骤是：己知E(s)，将其分解成部分 分式之和，查变换表求时间函数e(t)＝L-1［E(s)］，利用
E ( s)
i 1
n
Ai s pi
(5―11)
式(5―11)中，pi 是拉氏变换式E(s)的第i个极点，即
N(s)的零点；Ai是第i项系数，可用待定系数法求得，即 当N(s)已分解为因式乘积时
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7．2．1 离散系统的能控性 ． ． • 例 7.1 7.2
7.2.2 离散系统的能观测性
• 例7.3 7.4
7.3 离散状态空间设计法
离散状态空间设计法的步骤
• （1）对连续对象离散化 ） • （2）计算能使y(t)经过 个采样周期单调到 ）计算能使 经过N个采样周期单调到 经过 达稳态的数字调节的输出序列u(kT). 达稳态的数字调节的输出序列 • （3）计算误差序列 ）计算误差序列e(kT)=r(kT)-y(kT). • （4）分别对 变换， ）分别对u(kT),e(kT)取Z变换，取两者 取 变换 之比，即得到数字调节器的Z传递函数 之比，即得到数字调节器的 传递函数
例７.5
1. N=12Biblioteka N=2 (无纹波 无纹波) 无纹波
3。N=3 （控制作用受约束系统） 。 控制作用受约束系统）
• 例 7.6 7.7 7.8 7.9 7.4 最小能量控制系统的设计
例 7.10
7.5 离散二次型指标的最优控制
例7.12
7.6 离散系统的最大值原理
• 7.7 离散时间线性调节器 • 7.8 几个矩阵运算的结果
第七章 离散状态空间设计法
7.1 概述
离散状态空间设计法是利用离散状态空间表达 根据性能指标要求， 式，根据性能指标要求，设计出满足要求算机控 制系统。 制系统。 离散状态空间设计法的主要优点是能够处理多 离散状态空间设计法的主要优点是能够处理多 输入—多输出系统 时变系统和非线性系统等 多输出系统、 输入 多输出系统、时变系统和非线性系统等.由 于计算机越来越多地应用于控制系统， 于计算机越来越多地应用于控制系统，离散状态 空间设计法正逐渐受到人们的重视和普及应用。 空间设计法正逐渐受到人们的重视和普及应用。 离散状态空间法通常是与最优控制 最优控制和 离散状态空间法通常是与最优控制和最优状态估 计联系在一起的 在一起的。 计联系在一起的。
7.2 离散系统的能控性和能观测性
• 能控性指的是控制作用对被控系统影响的可能性 能控性指的是控制作用对被控系统影响的可能性 • 如果在一个有限的时间间隔里，可以用一个无约束的控制 如果在一个有限的时间间隔里， 向量，使得系统由初始状态x(t 转移到终点状态x(t 向量，使得系统由初始状态x(t0)转移到终点状态x(tf), 那么系统就称为在时间t 可控。 那么系统就称为在时间t0 可控。 • 能观测性反映了由系统的量测，确定系统状态的可能性。 能观测性反映了由系统的量测 确定系统状态的可能性。 反映了由系统的量测， • 如果系统在状态x(t0)，可通过在一个有限的时间间隔内， 如果系统在状态x(t 可通过在一个有限的时间间隔内， 由输出量的观测值确定，那么系统就称作在时间t0 是能 由输出量的观测值确定，那么系统就称作在时间t 观测的。 观测的。 控制能力和状态的 能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的测辨能 能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的测辨能 力两个方面揭示了控制系统构成的两个基本问题