高三数学10月月考试题1
四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集R U =，集合{}2230M x x x =--≤和{}21,Z N x x k k ==-∈的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个 2．围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有19×19=361个落子点．每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈．科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈．则下列各数中与M N 最接近的是（ ）（参考数据：lg30.48≈） A ．9310 B ．8310 C ．7310 D ．53103．lg(tan 1)y x =-的定义域为（ ）A ．ππππ,24x k x k k ⎧⎫+>>+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．πππ,π,42x x k x k k ⎧⎫>+≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ,4x x k k ⎧⎫>+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．ππ,42k x x k ⎧⎫>+∈⎨⎬⎩⎭Z 4．设0.302a =.，0.20.3b =，0.2log 2c =，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．设函数3()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（ ）A ．1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,27 D ．()27,+∞6．下列选项可以使得1144xy -≤≤成立的一个充分不必要条件的是（ ） A ．221x y += B ．2241x y += C ．1x y += D ．1y x= 7．函数()f x 的导函数()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-，若函数()f x 仅在1x =有极值，则a 的取值范围是（ ）A ．21e a ≤- B ．21e a <-或1a = C ．21e a ≤-或1a = D ．1a =8．存在三个实数1a ，2a ，3a 使其分别满足下述两个等式：（1）1232a a a =-；（2）1230a a a ++=，其中M 表示三个实数1a ，2a ，3a 中的最小值，则（ ）A ．M 的最小值是2-B ．M 的最大值是2-C ．M 的最小值是D ．M 的最大值是-二、多选题9．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其周期为4，当(0,2)x ∈时，()22x f x =-，则（ ） A ．(2024)0f =B ．()f x 的值域为(2,2)-C ．()f x 在(2,2)-上单调递增D ．()f x 在[4,4]-上有9个零点10．已知函数()214()log 21f x x ax =-+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 关于x a =对称B ．()f x 的值域为R ，当且仅当1a ≥或1a ≤-C ．()f x 的最大值为1，当且仅当a =D ．()f x 有极值，当且仅当1a <11．关于函数()cos sin2f x x x =，下列说法中正确的是（ ）A ．图象关于直线π4x =对称B ．()f x 为偶函数C ．2π为()f x 的周期D三、填空题12．已知α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为13．甲说：()2ln 23y x ax =-+在(,1]-∞上单调递减，乙说：存在实数x 使得2210x ax -+>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则a 的取值范围是 14．已知不等式11e 2x a ax b -+-≥对任意的实数x 恒成立，则b a的最大值为.四、解答题15．已知函数3212()232a f x x x ax +=-+． (1)若1a =，求函数()f x 的极值；(2)讨论函数()f x 的单调性．16．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π2个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象. (1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()g x k =-在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有两个实数解，求实数k 的取值范围.17．已知ππ42α≤≤，3ππ2β≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= (1)求225sin 8sin cos 11cos 82222πsin 2ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值(2)求角βα-的值.18．已知函数()3ln 2(1)2x f x x x x=++--. (1)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(2)若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.19．已知函数()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--，函数()f x 与()g x 的图像关于1x =-对称，.(1)求()f x 的解析式；(2)()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；(3)求证：2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，*N n ∈.。
2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题(含解析)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
辽宁省沈阳市重点学校2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
2024-2025学年度上学期10月份月考数学试卷（答案在最后）命题人：高三数学组第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每个小题有且只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．设集合{}2230A x Z x x =∈--≤∣，{B x y ==∣，则A B ⋂=（）A ．{1,0,1}-B ．{0,1,2}C ．{1,0,1,2}-D ．{1,2}2．若22i z z+=-，则z =（）A ．1i +B ．1i-C ．1i -+D ．1i--3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，432:p S S a -=，{}:n q a 为常数列，则（）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件4．已知锐角α，β满足1sin cos 5αα-=，tan tan tan tan αβαβ++=α与β的大小关系为（）A ．4παβ<<B ．4πβα<<C ．4παβ<<D ．4πβα<<5．在等差数列{}n a 中，若49228a a a +==，则下列说法错误的是（）A ．19a =B ．1045S =C ．n S 的最大值为45D ．满足0n S >的n 的最大值为196．已知30,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，30,,sin 243ππβα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，53cos 29βα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．9B ．9-C ．3D ．3-7．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，(5,0)D ，(2,)B A ，BC CD ⊥，则(4)f =（）A ．4B C ．D ．8．已知函数22,0()ln(1)1,0x x ax a x f x e x x ⎧---<=⎨+++≥⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．[2,0]-C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．(,1][2,)-∞-⋃+∞二、多选题（每小题6分，每个小题漏选2或3分或4分，有错选不得分，共18分）9．已知20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则下列说法正确的是（）A ．0b c +>B ．不等式20cx bx a -+<的解集为11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1234a b -+的最小值是4D ．当2c =时，若2()36f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[3,1]-，则21[2,4]n n -∈10．设()3sin 2cos 2f x a x a x =+，其中a ∈R ，0a ≠，则：（）A ．()f x 相邻两个最高点之间的距离是πB ．()2f x a≤C ．()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到的函数图象关于y 轴对称．11．已知函数32()1f x x ax =-+，则（）A ．曲线()y f x =关于点(0,1)成中心对称B ．a ∃∈R ，()f x 无极值C ．若()f x 在(2,)+∞上单调递增，则3a <D ．若曲线()y f x =与x 轴分别交于点()1,0A x ，()2,0B x ，()3,0C x ，且在这三个点处的切线斜率分别为1k ，2k ，3k 则123111k k k ++为定值第II 卷（非选择题）三、填空题（每个小题5分，共15分）12．已知函数()2sin 2f x x x =-，则不等式()2(34)0f x f x +-<的解集为__________．13．已知数列{}n a则{}n a 的前n 项和n S =_________．14．若函数2log 2,0()sin ,03x x x f x x x πωπ+>⎧⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有4个零点，则正数ω的取值范围是__________．四、解答题（15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分，共77分）15．（本小题满分13分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin cos C c B c -=．．（1）求角B ．（2）若ABC ∆为锐角三角形，且2a =，求ABC ∆面积的取值范围．16．（本小题满分15分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，已知n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()*111 N 2n n n n n a a b n a a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，求{}n b 的前n 项和．17．（本小题满分15分）已知曲线()e xf x a x b =-+在0x =处的切线过点()21,21a a +-．（1）试求2b a -的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）证明：当0a >时，3()2ln 2f x a >+．18．（本小题满分17分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．AD 为BC 边上的中线，点E ，F 分别为边AB ，AC 上动点，EF 交AD 于G ．已知4b =，且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．（1）求c 边的长度；（2）若21cos 7BAD ∠=，求BAC ∠的余弦值；（3）在（2）的条件下，若4ABC AEP S S =△△，求AG EF ⋅u u u r u u u r的取值范围．19．（本小题满分17分）已知对任意正整数n ，均有10cos()cos coscos nn n n nx a x a x a x a --=++++L ，我们称1110()(11)n n n n f x a x a x a x a x --=++++-≤≤L 为n 次切比雪夫函数．（1）若()f x 为3次切比雪夫函数，求(1)f 的值．（2）已知()f x 为2n 次切比雪夫函数，若数列{}k x 满足(21)(1,2,,2)4k k x k n nπ-==L ．证明：①数列{}cos k x 中的每一项均为()f x 的零点；②当2n ≥时，1cos22cos 4n n x x n nππ-+<．2024-2025学年度上学期10月份月考数学试卷答案一、单选题1-8．CABBDCAC 二、多选题9．ACD10．AD11．BD ．三、填空题12．(4,1)-13．111222n n ++-14．710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题15．（1sin cos C c B c -=sin sin cos sin B C C B C -=，因为0C π<<，sin 0C >cos 1B B -=，所以1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0B π<<，所以66B ππ-=，解得3B π=；（2）由题设，因为V ABC 为锐角三角形，所以02A π<<62A ππ<<，可得tan 3A >，所以302tan 2A <<，则面积的取值范围是,2⎛ ⎝．16．（1）由题意，当1n =时有122a +=11S a =，所以122a +=，解得：12a =，)*2 N 2n a n +=∈，整理得()2128n n S a =+，由此得()211118n n S a ++=+，所以()()221111228n n n n n a S S a a +++⎡⎤=-=+-+⎣⎦，整理得()()1140n n n n a a a a +++--=，由题意知10n n a a ++≠，所以14n n a a +-=，即数列{}n a 为等差数列，其中12a =，公差4d =，所以42n a n =-．（2）令1n n c b =-，则11112121112112221212121n n n n n a a n n c a a n n n n ++⎛⎫⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故1212n n b b b n c c c +++-=+++L L ，11111111335212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 所以1121n T n n =+-+．17．（1）函数()e x f x a x b =-+，求导得()e 1xf x a '=-，则(0)1f a '=-，而(0)f a b =+，因此曲线()f x 在0x =处的切线方程为(1)y a b a x --=-，即(1)y a x a b =-++，依题意，2211a a a a b +-=-++，所以则20b a -=．（2）由（1）知函数2()e xf x a x a =-+，其定义域为R ，求导得()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，由()e 10xf x a '=-=，得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增；所以当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增．（3）由（2）得()ln 2min ()(ln )e ln 1ln a f x f a a a a a c -=-=++=++，要证明3()2ln 2f x a >+，即证231ln 2ln 2a a a ++>+，即证21ln 02a a -->，令21()ln 2g a a a =--，求导得2121()2a g a a a a -'=-=，由()0g a '<，得02a <<，由()0g a '>，得2a >，即函数()g a在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，因此2min 1()ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21()ln 02g a a a =-->恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+．18．（1）由已知12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，由正弦定理角化边可得，2212cos 4ca B a b bc =-+．由余弦定理角化边可得，222221224c a b ca a b bc ac +-⋅=-+，整理可得，214c bc =，即4b c =．因为4b =，所以1c =．（2）因为D 为中点，所以1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r．设AB u u u r ，AC u u ur 的夹角为θ，则178cos ||2AD ===u u u r 又()2211cos 14cos ()2222c cb AB AD AB AB AC AB AB AC θθ++⋅=⋅+=+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以21cos 7||||AB AD BAD AB AD ⋅∠===u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理可得228cos 8cos 110θθ+-=，解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-．又21cos 07BAD ∠=>，所以0AB AD ⋅>u u u r u u u r ，14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，所以BAC ∠的余弦值为12．（3）由（2）可得，||||cos 2AB AC AB AC θ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．由已知可设AD k AG =u u u r u u u r ，AB AE λ=u u u r u u u r ，(,,[1,))AC AF k μλμ=∈+∞u u u r u u u r所以||||AB AE λ=u u u r u u u r ，||1||AB AE λλ==u u u ru u u r ，||||AC AF μ=u u u r u u u r，||4||AC AF μμ==u u u r u u u r ．因为4ABCABFS S =V V ，所以11||||sin 14sin 2241114||||sin 22AB AC AE AF θθλμθμλθ⋅⋅⨯⨯===⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．由1122AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 可得，2k AG AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，即22AG AE AF k kλμ=+u u u r u u u r u u u r．由G ，E ，F 三点共线，得122k kλμ+=，即2k λμ+=．所以1()AG EF AD AF AE k ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 46116122363424k λλμλμλμλλμλμλλ-⎛⎫-=⋅-+-=⋅=⋅⎪+⎝⎭+222223643624283286444444λλλλλ-+-⎛⎫=⋅=⋅=⨯-⎪+++⎝⎭．因为41μλ=≥，所以4λ≤，即[1,4]λ∈，所以24[5,20]λ+∈，所以22828282045λ≤≤+，即22828285420λ-≤-≤-+，即2228236545λ≤-≤+，所以23328696104420λ⎛⎫≤-≤ ⎪+⎝⎭，所以3691020AG EF ≤⋅≤u u u r u u u r ，所以AG EF ⋅u u u r u u u r 的取值范围为369,1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．（1）（方法一）因为323cos3cos 2cos sin 2sin 2cos cos 2sin cos 4cos 3cos x x x x x x x x x x x =-=--=-，所以3()43f x x x =-，则(1)431f =-=．（方法二）由题意得323210()f x a x a x a x a =+++，令0x =，得1110cos 0cos 0cos 0cos 01n n n n a a a a --=⋅+⋅++⋅+=，即101n n a a a -+++=，则3210(1)1f a a a a =+++=．（2）证明：①由题可知22122110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，则()()22122110cos cos cos cos cos 2nn k n k n k k k f x a x a x a x a nx --=++++=L ．因为(21)4k k x n π-=，所以()()21cos cos 2cos 2cos 042k k k f x nx n k n πππ-⎛⎫⎛⎫==⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}cos k x 中的每一项均为()f x 的零点．②令()cos 022g x x x x ππ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，则()1sin 0g x x '=->，()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()02g x g π⎛⎫<=⎪⎝⎭，即cos 2x x π<-．因为1(23)(21)0442n n n n x x n n πππ---<=<=<，所以11cos 2cos 2n n n nx x x xππ--⎧<-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩则()11cos cos n n n n x x x x π--+<-+，则()111cos cos 222n n n n n n x x x x x x π----++-<．因为1(23)(21)442n n n n x x n n n πππ----=-=所以1coscos cos 0244n n x x n n ππ--⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，从而()111cos 22cos2cos 42n n n n n n x x x x x x n n πππ----++<=-．。
陕西省宝鸡市宝鸡中学2024-2025学年高三上学期月考(一)(10月) 数学试题
宝鸡中学2022级高三第一学期月考（一）考试试题数学本试卷共三大题，19小题：考试时长120分钟，卷面满分150分。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
涂写在本试卷上无效。
3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合}0,1,2,{,34,5A =，{ln 1}B x x =≤∣，则A B = （）A.{1,2}B.{1,2,3}C.}0,1,2,3{D.}0,1,2,3,4,5{2.在复平面内，复数12z i=+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量(1,1)a =- ，()22,b x x =- ，则“2x =-”是“//a b ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，若圆心在坐标原点，直径为a 的圆与该椭圆有四个交点，则称该椭圆为“圆椭圆”，则下列椭圆中是“圆椭圆”的是（）A.2212x y += B.2215x y += C.22132x y += D.22162x y +=5.如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A.96B.84C.60D.486、科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力。
江西省多校联考2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
江西省10月份高三联考数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{1,2,3}A =，{},B x y x A y A =+∈∈，则A B = （）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．在复数范围内，方程49x =的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线22:1y C x m-=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．)+∞C ．(0,3)D ．4．若220m n -≠，cos()2m αβ-=，cos()2n αβ+=，则tan tan αβ=（）A ．m n m n-+B ．m n m n+-C ．2m n m n -+D ．2m n m n+-5．函数2()(31)e xf x x =-的最小值为（）A ．433e--B ．133e 2--C ．0D ．24e--6．已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉=，则a b + 在c 方向上的投影向量为（）A ．3cB ．143c C ．6c D ．76c 7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）A ．420B ．660C ．720D ．12008．已知函数()f x 满足()()()22x yf x y f x f y +=+++，且(1)1f =，则(1000)f =（）A ．99922995+B ．99922996+C ．100022995+D ．100022996+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin 2f x x =，2()cos 2g x x =，则（）A ．()f x 与()g x 的值域相同B ．()f x 与()g x 的最小正周期相同C ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称轴D ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为35B ．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为cm2C ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为3185πcm 3D ．当容器内沉入一个棱长为11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为的直线与E 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．若动点P 在E 的准线上，则（）A ．AP BP ⋅的最小值为0B ．当PAB △为等腰三角形时，点PC ．当PAB △的重心在x 轴上时，PAB △的面积为924D ．当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为,,84⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．13．已知A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，且A ，B ，C 三点所在平面经过球心，AB =π3ACB ∠=，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若x ，y ，z 均为正数，且2(2)1x x y z +=，则83x yz 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数321()43f x x ax x =+-．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程．（2）试问是否存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M （单位：克）服从正态分布()2,N μσ，且(96106)0.7P M ≤≤=，(9496)0.1P M ≤≤=．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于μ克．（1）求μ．（2）求(100104)P M <≤．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X ，求X 的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD BC ∥平面,PAD BC AB ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面PAB ．（2）若AD AB =，PA BC =，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为32，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．18．（17分）已知点()11,0F -，2(1,0)F ，动点M 满足12123MF MF F F +=，动点M 的轨迹为记为E ．（1）判断E 与圆22:8O x y +=的位置关系并说明理由．（2）若P 为E 上一点，且点P 到x 轴的距离(0,1)d ∈，求12PF F △内切圆的半径的取值范围．（3）若直线:(1)l y k x =-与E 交于C ，D 两点，1A ，2A 分别为E 的左、右顶点，设直线1AC 的斜率为()110k k ≠，直线2A D 的斜率为()220k k ≠，试问122212k k k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在n 个数码1，2，…，(,2)n n n ∈≥N 构成的一个排列12n j j j 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为()12n j j j τ ，例如，(12)0τ=，(4132)4τ=．（1）比较()613245τ与(15432)τ的大小；（2）设数列{}n a 满足()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+，12a =，求{}n a 的通项公式；（3）设排列122(,5)n j j j n n ∈≥N 满足()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，()11,12,,210n i j i i ==- ，()122n n b j j j τ= ，21020n n b c +=，证明：56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得{2,3,4,5,6}B =，则{2,3}A B = ．2．D由49x =，得()()22330x x+-=，得x =或x =3．A由题意得2m >>，解得3m >．4．A 因为cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=，所以cos cos m n αβ=+，sin sin m n αβ=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．5．B2()(61)e x f x x '=+，令()0f x '<，得16x <-，令()0f x '>，得16x >-，所以2()(31)e xf x x =-的最小值为11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．C 因为1a = ，2b = ，3c = ，π,3a b 〈〉=，所以a b +=== a b + 在c 方向上的投影向量为()||||a b c c c c +⋅⋅=2π||||cos 3||926a b c c c c c +==⨯ ．7．B将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．8．D令1y =，得(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++，则(1)()23xf x f x +-=+，则2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ，将以上各式相加得()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+，所以10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+．9．ABC()sin 2[0,1]f x x =∈，1cos 4()[0,1]2xg x +=∈，则()f x 与()g x 的值域相同，A 正确．()f x与()g x 的最小正周期均为2ππ42=，B 正确．曲线()y f x =与()y g x =的对称轴方程均为π()4k x k =∈Z ，C 正确．曲线()y f x =没有对称中心，曲线()y g x =有对称中心，D错误．10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为cm h ，则31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得2h =，B 正确．因为15103252⨯=，155104252+⨯=，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为cm H，体积233π31546πcm 3V =⨯⨯+=，则346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15H ===，D 正确．11．AC依题意可得(1,0)F ，直线AB的方程为1)y x =-，代入24y x =，消去y 得22520x x -+=，解得12x =，212x =，因为点A在第一象限，所以(2,A，1,2B ⎛ ⎝．E 的准线方程为1x =-，设(1,)P m -，则(3,AP m =--，3,2BP m ⎛=-+ ⎝，所以2294022AP BP m m ⎛⎫⋅=+--=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ，A 正确．当PAB △为等腰三角形时，要使得点P 的纵坐标最大，则AB AP =，即1222++=，且m >，解得2m +=，B 错误．PAB △的重心坐标为1212,33m ⎛⎫+- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，即1,23m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，当PAB △的重心在x 轴上时，203m+=，得m PAB =△的面积为111224⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，C 正确．当A ，B ，P三点共线时，m =-由0AP BP ⋅≥ ，得APB ∠为锐角或直角，当ABP ∠为直角或BAP ∠为直角时，0AB BP ⋅= 或0AB AP ⋅= ，得8m =-或4m =，当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为(,8⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．12．－2因为(2)02022f =+=+=，所以(2)(2)2f f -=-=-．13．4；64π设球O 的半径为R ，由正弦定理得28sin ABR ACB==∠，则4R =，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为4，球O 的表面积为24π64πR =．14．127（方法一）由2(2)1x x y z +=，得3221x z x yz +=，不妨令32a x z =，2b x yz =，0a >，0b >，则2834a b x yz =，且1a b +=，所以283(1)4a a x yz -=．令2(1)()(01)4a a f a a -=<<，则(23)()4a a f a -'=，令()0f a '>，得20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f a '<，得2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以max 21()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即83x yz 的最大值为127．（方法二）由2(2)1x x y z +=，得3321x z x z x yz ++=．由,,0)3a b c a b c ++≥>，得1≥则83127x yz ≤，当且仅当32x z x yz =，即x y =时，等号成立，故83x yz 的最大值为127．15．解：（1）当1a =-时，321()43f x x x x =--，则2()24f x x x '=--，所以(3)1f '=-，因为(3)12f =-，所以曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程为12(3)y x +=--，即9y x =--（或90x y ++=）．（2）假设存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增，则2()240f x x ax '=+-≥对[1,]x a ∈恒成立，即22xa x ≥-对[1,]x a ∈恒成立．当[1,]x a ∈时，22x y x =-为增函数，则max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以32a ≥，又1a >，所以a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．解：（1）1011021001039998100999710110010μ+++++++++==．（2）因为100μ=，所以(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=，所以0.70.1(100104)0.32P M -<≤==．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为Y ，则(0)0.5P Y ==，(1)0.3P Y ==，(2)0.2P Y ==．依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，(0)0.50.50.25P X ==⨯=，(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=，(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=则X 的分布列为X 01234P0.250.30.290.120.04所以()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（1）证明：PA ⊥ 底面ABCD ，PA BC ∴⊥．BC AB ⊥ ，PA AB A = ，BC ∴⊥平面PAB .BC ∥ 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BC AD ∴∥，AD ∴⊥平面PAB ．又AD ⊂平面,PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB .（2）解：BC AD ∥ ，∴直线PD 与直线BC 所成的角为PDA ∠．PA ⊥ 底面ABCD ，3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==，即PA =32AD ．设AD 为2个单位长度，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0)A D ，(2,3,0)C ，(0,0,3)P ，(2,1,0)CD ∴=-- ，(0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = ，则20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取3x =-，则6,4y z ==，得(3,6,4)n =-．易知平面PAB 的一个法向量为(0,2,0)AD =，则cos ,AD 〈 66161||||261AD n n AD n ⋅〉===⨯．故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为56161．18．解：（1）因为12121236MF MF F F F F +==>，所以E 是以1F ，2F 为焦点，且长轴长为6的椭圆．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则26a =，可得3a =，又1c =，所以2228b a c =-=，联立22198x y +=与228x y +=，得0x =，2y =±，所以E 与圆22:8O x y +=相切．（2）12PF F △的周长1212628l PF PF F F =++=+=，12PF F △的面积121(0,1)2S F F d d =⋅=∈，所以12PF F △内切圆的半径2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，故12PF F △内切圆的半径的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）联立221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()()22228918980k x k x k +-+-=，易知0∆>，且21221889k x x k +=+，()21229889k x x k -=+．设()()1122,,C x y D x y ，则121212,33y yk k x x ==+-，所以()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-．（方法一）由21221889k x x k +=+，()21229889k x x k-=+，得()121259x x x x =+-，所以()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-．（方法二）因为()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，所以()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++．所以1222121221125k k k k k k k k ==++，故122212k k k k +为定值，且定值为25．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以(613245)516τ=+=；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以(15432)3216τ=++=．故(613245)(15432)ττ=．（2）解：由（1）知()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+，所以()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++，即116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅．因为12a =，所以数列2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭是首项为1，公差为6的等差数列，所以16(1)652n n a n n n =+-=-⋅，则()2652n n a n n =-⋅．（3）证明：因为()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，所以在排列122n j j j 中，排在前面的10个数依次为2n ，21n -，22n -，…，29n -，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以()()1222122210(9810)n n n nj j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++ 个所以()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- ，则210220n n n b c +==．设函数3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥，则22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==，当3264x ≤<时，()0f x '<，当64x >时，()0f x '>，所以min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-，所以38404ln 12424ln 2x x x +-≥-，当且仅当64x =时，等号成立．取2(5)n x n =≥，则384024ln 212424ln 22n n n +-≥-，即384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥所以56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++--⎪⎝⎭，即515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-．。
2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z A B = A. B. {}0,1,2{}0,1C .D.{}1,2{}1,0,1,2-2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ）,a b ∈R 3i12ii a b -=++i a b +=A. B. C. D. 22-4-6-3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（）R ()f x A. B. ()(),0x f x f x ∀∈-+≠R ()(),0x f x f x ∀∈--≠R C.D.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠R ()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是（ ）1234,,,x x x x A. B. C. D.1,11,233,243,225. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）{}n a n 1625,19,70n S a a a a +==8S =A. 70B. 80C. 90D. 1006. 在中，，若ABC V 212BA BC BC⋅= ，则（ ）123125,,334477a AB AC b AB AC c AB AC=+=+=+A.B.C.D.b a c>>b c a>>a c b>>c a b>>7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是（ ）ωA.B. C.D.2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）t+≤x y t A. 2D. 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知为圆锥的底面的直径，，C 为底面圆周上一点，弧的长度AB SO 2SA =BC 是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．AC SB AC 14A. 圆锥SO B. 圆锥的侧面积为SO 2πC. 直线与平面所成的角大于SO SAC 30︒D. 圆锥的外接球的表面积为SO 16π310. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，2212:4,:8C y x C y x ==12,F F ,A B 12,C C 且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）AB x A. 若，则B. 若，是等腰三角形1AF AB ⊥12AB =43AB =2F AB C. 若，则四边形是矩形 D. 四边形可能是菱形1BF BA ⊥12F F AB 12F F AB 11.设，定义在上的函数满足，且0a >R ()f x ()1f a =，则（）()()()()(),,x y f x y f x f a y f y f a x ∀∈+=-+-R A. B. ()00f =()()2f a x f x -=C.为偶函数D.()f x ()20251f a =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）6(12)(13)x x -+2x 13. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于xOy α(3,4)--βα轴对称，则______．x sin()αβ-=14.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 1F 2y x =恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．A C 1AF CB 11||||BF AF =四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角所对的边分别为.ABC V ,,A B C ,,,sin cos )a b c b A a B c =-（1）求角A 的大小；（2）求的最大值.222sin sin sin A B C +16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P ABCD -PD ⊥2PD CD ==1AD AB ==，，点M 是棱PC 的中点．AB DA ⊥//AB CD （1）求证：平面PAD ；//BM （2）求平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的余弦值．17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（，各年级总人数相等），统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X 的分布列和数学期望；X （2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20,x y A ±=上一点．C（1）求双曲线的方程；C （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；A l C l （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记C F 1l 2l 1lC ,M N的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线MN 2,B l C ,P Q PQ D (0,G G 的距离的最大值．BD 19. 已知函数（其中）．312()(1)21xx f x ax b x -=++-+,a b ∈R （1）当时，证明：是增函数；0,0a b >=()f x （2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）已知，设函数，若对任0a ≠312()e ()(1)(1)21xx x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥意的恒成立，求的最小值．x ∈R b aa -2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z A B = A. B. {}0,1,2{}0,1C.D.{}1,2{}1,0,1,2-【正确答案】A【分析】解不等式化简集合，求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求出求解A B 即得.【详解】依题意，，{{}{}1,0,1,2,1A x x B x x =∈<<=-=>-所以.{}0,1,2A B = 故选：A2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ）,a b ∈R 3i12ii a b -=++i a b +=A. B. C. D. 22-4-6-【正确答案】D【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果.【详解】由可得，即，3i12i i a b -=++()()3i i 12i a b -=++()()3i 221ia b b -=-++所以，解得，则.2213a b b =-⎧⎨+=-⎩42a b =-⎧⎨=-⎩6a b +=-故选：D3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）R ()f x A. B. ()(),0x f x f x ∀∈-+≠R ()(),0x f x f x ∀∈--≠R C.D.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠R ()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 【正确答案】D【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得()(),0x f x f x ∀∈--=R 答案.【详解】定义域为的函数是偶函数，R ()f x ()(),0x f x f x ⇔∀∈--=R 所以不是偶函数．()f x ()()000,0x f x f x ⇔∃∈--≠R 故选：D ．4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是（ ）1234,,,x x x x A. B. C. D.1,11,233,243,22【正确答案】A【分析】根据题意，由平均数与方差的性质列出方程，代入计算，即可求解.【详解】设数据的平均数和方差分别是，，1234,,,x x x x x 2s 则数据的平均数是，方差是，123421,21,21,21x x x x ++++()21x +24s 所以，解得，，解得，()213x +=1x =244s=21s =即数据的平均数和方差分别是.1234,,,x x x x 1,1故选：A5. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）{}n a n 1625,19,70n S a a a a +==8S =A. 70B. 80C. 90D. 100【正确答案】D【分析】设等差数列的公差为d ，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等{}n a 1,a d 差数列前n 项和公式计算得解.()112n n n S na d -=+【详解】设等差数列的公差为d ，{}n a 则由题得，解得，()()1111519,4700a a d a d a d d ++=⎧⎪++=⎨⎪>⎩132d a =⎧⎨=⎩所以.8878231002S ⨯=⨯+⨯=故选：D.6. 在中，，若ABC V 212BA BC BC⋅= ，则（ ）123125,,334477a AB AC b AB AC c AB AC=+=+=+ A.B.C.D.b a c>>b c a>>a c b>>c a b>>【正确答案】B【分析】先由求出即，接着由余弦定理结合数量积的运算212BA BC BC⋅= |AB |=|AC |b c =律计算得，再由平面向量模的求法即可计算比较得解.2222b a AB AC -⋅=【详解】设的角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，ABC V 因为，所以，212BA BC BC ⋅= ()()212AB AC AB AC AB-⋅-=-所以，故，2221122AB AC AB AC AB AC AB-⋅=⋅+-+ 22AB AC = 所以，即，|AB |=|AC |b c =所以，222222cos 22b c a b a AB AC bc A bc bc +--⋅==⨯=所以22221214433999a AB AC AB AB AC AC⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222221424299299b a c b b a -=+⋅+=-22222222223193193213441681616821616b a b AB AC AB AB AC AC c b b a -⎛⎫=+=+⋅+=+⋅+=- ⎪⎝⎭ ，222222222225420254202251077494949494924949b a c AB AC AB AB AC AC c b b a -⎛⎫=+=+⋅+=+⋅+=- ⎪⎝⎭，因为，所以，即.210394916>>222b c a >> b c a >>故选：B.7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是（ ）ωA.B. C.D.2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】C【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论.π6x ω+【详解】因为，，π02x ≤<0ω>所以， ()πππ31666x ωω≤+<+由已知，，()π331π62ω+>所以，83ω>所以的取值范围是.ω8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：C.8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）t+≤x y t A. 2D. 1【正确答案】D【分析】由题意可得，令，则有mint ≤0m =>1m =，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案.2112m =21m ≥1m ≥【详解】解：因为,，xy 0>所以，则有，t ≤mint ≤令，则m =>1m =所以，2111122m ==+≤+=当且仅当时，等号成立，x y =所以，，211m≤21m ≥又，所以，0m >1m ≥，1≥1，所以，1t ≤即的最大值为1.t 故选：D.方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，已知为圆锥的底面的直径，，C 为底面圆周上一点，弧的长度AB SO 2SA =BC 是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．AC SB AC 14A. 圆锥SOB. 圆锥的侧面积为SO 2πC. 直线与平面所成的角大于SO SAC 30︒D. 圆锥的外接球的表面积为SO 16π3【正确答案】ABD【分析】A 选项，作出辅助线，设底面圆的半径为，根据异面直线的夹角余弦值和余弦定r 理得到，从而得到圆锥的体积；B 选项，根据侧面积公式求出答案；C 选项，作出辅助1r =线，得到直线与平面所成角的平面角为，并求出其正切值，得到SO SAC OST ∠；D 选项，找到外接球球心，并根据半径相等得到方程，求出外接球半径，得30OST ∠<︒到外接球表面积.【详解】A 选项，连接并延长交圆于点，连接，CO P ,AP BP 因为为圆锥的底面的直径，弧的长度是弧的长度的2倍，AB SO BC AC 故四边形为矩形，，则，ACBP ππ,36CAB ABP CBA BAP ∠=∠=∠=∠=//BP AC 异面直线与所成角等于异面直线与所成角，SB BP SB AC 因为，所以，2SA =2SB SP ==设底面圆的半径为，则，r BP r =故，解得，2222441cos 244SB BP SP r SBP SB BP r +-+-∠===⋅1r =则由勾股定理得，SO ===故圆锥的体积为A 正确；SO 21π3r SO ⋅⋅=B 选项，圆锥的侧面积为，B 正确；SO π2πrl =C 选项，取的中点，连接，则⊥，⊥，AC T ,ST OT OT AC ST AC 又，平面，故⊥平面，OT ST T = ,OT ST ⊂SOT AC SOT 过点作⊥于点，由于平面，则⊥，O OE ST E OE ⊂SOT OE AC 又，平面，故⊥平面，ST AC T = ,ST AC ⊂SAC OE SAC 故即为直线与平面所成的角，OST ∠SO SAC 其中，则，πsin 3OT CO ==1tan 2OT OST OS ∠===由于，且在上单调递增，故，C 错误；1tan 302︒=>tan y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭30OST ∠<︒D 选项，由对称性可知，外接球球心在上，连接，Q OSQC 设圆锥的外接球半径为，则，SO R OQ SO R R =-=由勾股定理得，即，解得，222OC OQ QC +=)221R R +=R =故圆锥的外接球的表面积为，D 正确.SO 2216π4π4π3R =⨯=故选：ABD方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径10. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，2212:4,:8C y x C y x ==12,F F ,A B 12,C C 且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）AB x A. 若，则B. 若，是等腰三角形1AF AB ⊥12AB =43AB =2F AB C. 若，则四边形是矩形 D. 四边形可能是菱形1BF BA ⊥12F F AB 12F F AB 【正确答案】ABC【分析】不妨设，则，，对于A ，由题意A (x 1,y ), B (x 2,y )(y >0)21248y x x ==120x x >>求出和即可求解；对于B ，由题意得，进而可求出两点11x =212x =|AB |1243-=x x ,A B 坐标，从而求出和即可判断；对于C ，由题意先得，接着求出，进而求2F A 2F B21x =1x 出，轴即可得解；对于D ，先假设四边形是菱形，再推出矛盾12AB F F =2AF x ⊥12F F AB 即可得解.【详解】由题意得，不妨设，()()121,0,2,0F F A (x 1,y ), B (x 2,y )(y >0)则，，21248y x x ==120x x >>对于A ，因为，又直线平行于轴，所以轴，1AF AB ⊥AB x 1AF x ⊥所以，故， 11x =2212,82y y x ====如图，故，故A 正确；1212AB x x =-=对于B ，若，则，所以，解得，43AB =1243-=xx 224483y y -=y =所以，84,33A B ⎛⎛ ⎝⎝所以 ，，2103F A ==2103F B ==所以，，所以是等腰三角形，故B 正确；22F A F B=|F 2A |+|AB |>|F 2B |2F AB 对于C ，若，又直线平行于轴，所以轴，1BF BA⊥AB x 1BFx ⊥所以，故，21x =2124y y x ====故，轴，所以四边形是矩形，故C 正确；12121AB x x F F =-==2AF x ⊥12F F AB 对于D ，若四边形是菱形，则，即即，12F F AB 121AB F F==121x x -=22148y y -=所以，所以，y =((2,,1,A B 所以可得，则四边形不是菱形，矛盾，21F A F B AB==≠12F F AB 所以四边形不是菱形，故D 错误.12F F AB 故选：ABC.11.设，定义在上的函数满足，且0a >R ()f x ()1f a =，则（）()()()()(),,x y f x y f x f a y f y f a x ∀∈+=-+-R A.B.()00f =()()2f a x f x -=C.为偶函数 D.()f x ()20251f a =【正确答案】ABD【分析】对于A ，令，又，即可求得；对于B ，令，,0x a y ==()1f a =()00f =y a =再由，即可推得；对于C ，令，可得()()1,00f a f ==()()2f a x f x -=y x =-，从而为奇函数；对于D ，可推得，即()()0f x f x +-=()f x ()()4f x a f x +=的周期为，则.()f x 4a ()()()202550641f a f a a f a =⨯+==【详解】对于A ，令，得，,0x a y ==()()()()()00f a f a f a f f =+因为，所以，故A 正确；()1f a =()00f =对于B ，令，代入可得，y a =()()()()()0f x a f x f f a f a x +=+-因为，所以，()()1,00f a f ==()()f x a f a x +=-从而，故B 正确；()()2f a x f x -=对于C ，令，代入得，y x =-()()()()()0f f x f a x f x f a x =++--又因为对，恒成立且不恒为0，x ∀∈R ()()f a x f a x +=-所以，从而为奇函数，()()0f x f x +-=()f x 又不恒等于0，故C 错误；()f x 对于D ，因为，()()()2f x a f x f x +=-=-所以，()()()42f x a f x a f x +=-+=所以为的周期，4a ()f x 所以，故D 正确．()()()202550641f a f a a f a =⨯+==故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）6(12)(13)x x -+2x【正确答案】99【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式6(13)x +6(12)(13)x x -+中含的项即可得解.2x 【详解】由题意得的展开式的通项为，6(13)x +()166C 33C rr r r rr T x x +==所以的展开式中，含的项为，6(12)(13)x x -+2x 2221112663C 23C 99x x x x -⋅=所以展开式中含的项的系数为.2x 99故答案为.9913. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于xOy α(3,4)--βα轴对称，则______．x sin()αβ-=【正确答案】##24250.96【分析】由条件，根据三角函数定义可求，，根据对称性可求，，sin αcos αsin βcos β结合两角差正弦公式求结论.【详解】因为角的终边过点，α(3,4)--所以，，4sin 5α==-3cos 5α==-又角的终边与角的终边关于轴对称，βαx 所以，，4sin 5β=3cos 5β=-所以.24sin()sin cos cos sin 25αβαβαβ-=-=故答案为.242514.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 1F 2y x =恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．A C 1AF CB 11||||BF AF =【正确答案】##0.215【分析】求出点关于直线对称点的坐标，进而求出，再结1(,0)F c -2y x =A 12||,||AF AF 合椭圆定义及勾股定理求出即可.1||BF 【详解】设关于直线的对称点，由，解得1(,0)F c -2y x =11(,)A x y 111112222y x cy x c⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，113545c x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即，令椭圆右焦点，则，34(,55c c A -2(,0)Fc 1||AF ==，而点在椭圆上，由，得2||AF ==AC 122AF AF a +=，a =设，则，显然的中点都在直线上，1||BF m =2||2BF a m m =-=-112,AF F F 2y x =则平行于直线，从而，在中，2AF 2y x =21AF AF ⊥2Rt ABF，222()))m m +=-解得，所以.m =11|1|5||BF AF =故15思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、，得到a ，c 的关12|||2PF PF a =＋|系．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的内角所对的边分别为.ABC V ,,A B C ,,,sin cos )a b c b A a B c =-（1）求角A 的大小；（2）求的最大值.222sin sin sin A B C +【正确答案】（1）；2π3A =（2）.32【分析】（1）由题意结合正弦定理和即可求解.sin sin cos cos sin C A B A B =+（2）先由（1）结合余弦定理得，接着由正弦定理角化边得222a b c bc =++，再结合基本不等式即可求解.22222sin 1sin sin A bcB C bc =+++【小问1详解】因为，，sin cos )b A a B c =-()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+所以由正弦定理得)sin sin sin cos sin cos cos sin sin B A A B C A B A B A B A B=-=，又，故，所以即，B ∈(0,π)sin 0B≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由（1），所以由余弦定理得，2π3A =222222cos a b c bc A b c bc =+-=++所以由正弦定理得，222222222222sin 311sin sin 2A a b c bc bc B C b c b c b c ++===+≤=++++当且仅当时等号成立.b c =所以的最大值为.222sin sin sin A B C +3216. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P ABCD -PD ⊥2PD CD ==1AD AB ==，，点M 是棱PC 的中点．AB DA ⊥//AB CD （1）求证：平面PAD ；//BM （2）求平面PAB 与平面BMD所成锐二面角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取PD 的中点E ，连接ME ，AE ，根据E 是PD 的中点，得到，//EM AB ，从而四边形ABME 是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理EM AB =//AE BM 证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面BDM 的一个法向量，平面PAB 的一个法向量，设n =(x,y,z )(),,m a b c= 平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的大小为θ，由求解．()cos ,n m cos n m n mθ⋅==【小问1详解】证明：取PD 的中点E ，连接ME ，AE ，因为E 是PD 的中点，M 是PC 的中点，所以，，又，，//EM DC 112EM DC ==//AB CD 1AB =所以，，//EM AB EM AB =所以四边形ABME 是平行四边形，所以，//AE BM 又平面PAD ，平面PAD ，所以平面PAD ．AE ⊂BM ⊄//BM 【小问2详解】解：因为平面ABCD ，DA ，平面ABCD ，PD ⊥DC ⊂所以，，又，，所以．PD AD ⊥PD DC ⊥AB DA ⊥//AB CD AD DC ⊥以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，所以．()()()()()0,0,0,0,0,2,1,0,0,1,1,0,0,2,0D P A B C ()0,1,1M 设平面BDM 的一个法向量，又，，n =(x,y,z )()1,1,0DB =()0,1,1DM =所以0,0,n DB x y n DM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，解得，，1x =1y =-1z =所以平面BMD 的一个法向量．n =(1,−1,1)设平面PAB 的一个法向量，又，，(),,m a b c= ()1,0,2AP =-()0,1,0AB =所以20,0.m AP a c m AB b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩令，解得，，2a =0b =1c =所以平面PAB 的一个法向量，()2,0,1m =设平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的大小为θ，所以．()cos ,n m cos n m n m θ⋅====即平面PAB 与平面BMD17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（，各年级总人数相等），统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X 的分布列和数学期望；X （2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．【正确答案】（1）答案见解析（2）111200【分析】（1）写出所有可能得取值，然后分别求出其对应概率，列出表格，即可得到分布X 列，再由期望的公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由互斥事件概率公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】一年级学生及格的频率为，不及格的频率为，6031005=4021005=二年级学生及格的频率为，不及格的频率为，7531004=2511004=三年级学生及格的频率为，不及格的频率为，90910010=10110010=的所有可能取值为，X 0,1,2,3则，，()21105410P X ==⨯=()312391545420P X ==⨯+⨯=，()33925420P X ==⨯=所以的分布列为：X X12P110920920所以的期望为X ()1992701210202020E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年级的概率都是，13所以抽到的两名学生测试成绩均及格的概率为.13313913911135435103410200P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20,x y A ±=上一点．C （1）求双曲线的方程；C （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；A l C l （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记C F 1l 2l 1lC ,M N 的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线MN 2,B l C ,P Q PQD (0,G G 的距离的最大值．BD 【正确答案】（1）2214x y -=（2），.220x y -+-=220x y ++-=220y --=（3【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可求解；,a b （2）分直线斜率存在于不存在讨论，然后联立直线与双曲线方程，代入计算，即可得到结果；（3）分直线斜率存在于不存在讨论，分别联立直线与双曲线方程以及直线与双曲线方程，1l 2l结合韦达定理代入计算，即可得到直线过定点，从而得到结果.BD 【小问1详解】由题意可得，，解得，所以双曲线的方程为.2212811b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，ll (1y k x -=-代入可得，2214x y -=()(()22214814110k x k k ⎡⎤-----+=⎢⎥⎣⎦当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，2140k -=12k =±l即直线的方程为，；l 220x y -+-=220x y ++-=当时，，2140k -≠()()()2222Δ6411614110k k ⎡⎤=-+--+=⎢⎥⎣⎦即，可得与双曲线相切，)210-=k =l 直线；l 220y --=显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足；l l 综上所述，与双曲线仅有1个公共点的直线有3条：C ，.220x y -+-=220x y ++-=220y --=【小问3详解】当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即，1l B F 2415c =+=c =所以，，此时直线的方程为，)F()0,0D BD 0y =则到的距离为0；G BD 当直线的斜率为0时，则与重合，，，1l DF )D ()0,0B 此时直线的方程为，则到的距离为0；BD 0y =G BD 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，1l 1l(y k x =-设，()()()()11223344,,,,,,,M xy N x y P x y Q x y 直线的方程为，2l (1y x k =-联立可得，(2214x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222142040k x x k -+--=，()()()()22222Δ4142041610k kk=----=+>由韦达定理可得，则12x x +=122x x +=所以，121222y y x x k k ++⎛=== ⎝所以，B 联立可得，(22141x y y x k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222420140x x k k ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，22224201Δ4141610k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=+> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由韦达定理可得，则，34x x+==342x x +=所以，所以，1212y y k +=-=D则()()2422334414BDk k k k k k --===--+，，()()()2423134141k k kk k -+-==--()2221,140,40kk k ≠-≠-≠所以直线的方程为，BD ()2341k y x k ⎛-=-⎝即，()2413k y kx-=--所以，即，()2413k y kx -=-+()2413k y k x ⎛-=-- ⎝故直线过定点，BD ⎫⎪⎪⎭当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；2410k -=1l当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；240k -=2l 当时，的方程为，21k =,BDBD x =过点；⎫⎪⎪⎭综上所述，直线过定点.BD ⎫⎪⎪⎭所以点到直线.GBD=关键点点睛：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论直线的斜率存在以及不存在，然后得到直线恒过定点，从而解答.BD 19. 已知函数（其中）．312()(1)21xx f x ax b x -=++-+,a b ∈R （1）当时，证明：是增函数；0,0a b >=()f x （2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）已知，设函数，若对任0a ≠312()e ()(1)(1)21xx x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥意的恒成立，求的最小值．x ∈R b aa -【正确答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3）.1-【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可.（2）利用中心对称的定义，计算推理即得.（3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出的最小值，建立不等()g x 0,0a a <>()g x 式，构造函数，利用导数求出最小值即得.【小问1详解】函数的定义域为R ，当时，，()f x 0,0a b >=1122()22121x x x f x ax ax--=+=-+++求导得，所以是增函数．122ln2()0(21)x x f x a -'=+>+()f x 【小问2详解】依题意，(2)()f x f x -+2331122(2)(1)(1)2121x x x x a x b x ax b x ---=+-+-+++-++，()11222211221xx x a a --=++=+++所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.()y f x =(1,1)a +()y f x =【小问3详解】依题意，，其定义域为，求导得，()e 1xg x ax b =-+-R ()x g x e a '=-当时，在上单调递增，0a <()0,()g x g x >'R 当时，，的取值集合为，0x <0e 1x<<1ax b -+-(,1)b -∞-因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；0x <()g x (,)b -∞当时，由，得在上单调递增；0a >()0g x '>ln ,()x a g x >(ln ,)a +∞由，得在上单调递减，()0g x '<ln ,()x a g x <(,ln )a -∞函数在处取得最小值，且，()g x ln x a =min ()(ln )ln 1g x g a a a a b ==-+-由对任意的恒成立，得，即成立，()0g x ≥x ∈R ln 10a a a b -+-≥ln 1b a a a ≥-++因此，设，2ln 11ln 2b a a a a a a a a --++≥=+-221111()ln 2,()a a a a a a a a ϕϕ-=+-=='-当时，，当时，，01a <<()0a ϕ'<1a >()0a ϕ'>函数在上递减，在上递增，()a ϕ(0,1)(1,)+∞则，即，当且仅当时取等号，min()(1)1a ϕϕ==-1b aa -≥-1,0ab ==所以的最小值为.b aa -1-结论点睛：函数的定义域为D ，，()y f x =x D ∀∈①存在常数a ，b 使得，则函数()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=图象关于点对称.()y f x =(,)a b ②存在常数a 使得，则函数图象关于直()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-()y f x =线对称.x a =。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。
陕西省西安2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案
陕西省西安高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分命题人：）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A.{}10x x -≤≤ B.{}10x x -<≤ C.{}10x x -≤< D.{}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4.已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6.已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}e B.[)e,+∞ C.{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.{}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=的图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,3-∞-，)3+∞上单调递增，(,)33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大的根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211()x x '=-B.(e )e x x--'= C.21(tan )cos x x'=D.1(ln )x x'=【答案】ACD 【解析】【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x +''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16.为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x123456体重超标人数y987754483227ln z y = 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆn i i i n i i x y nx yb x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83e x y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b 则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i ii i i x z x zb x x ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83a z bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83z y x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17.已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或224t +≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<<1，则+1≥(2−1)22−1>0，∴42−5≤0>12⇒12<≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ单调递减，当4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U <--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或2.4t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得24t ±=，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒224t +=；②在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有>0Δ>0−1<−12<2o −1)>0o2)>0或<0Δ>0−1<−12<2o −1)<0o2)<0，解得214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或2.4t ≥18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16（2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，121010320C C 15(2)C 38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P 21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19.已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x 二次求导，判断()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e 2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B =I （ ）A ．{3,4}B ．{0,1}C ．{}1,0,1-D ．{2,3,4}2．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知0x >，0y >，则（ ） A ．ln ln ln ln 777x y x y +=+ B ．()ln ln ln 777x y x y +=⋅ C ．ln ln ln ln 777x y x y ⋅=+D ．()ln ln ln 777xy x y =⋅4．若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A B C ．D ．25．已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（ ）A ．16B ．13C ．12D ．236．若函数()()12,152lg ,1a x x f x x x ⎧-+≤=⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)6,1-B ．(),1-∞C ．()6,1-D ．(),6-∞-7．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多选题9．下列导数运算正确的是（ ） A ．'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()e e x x --='C ．21(tan )cos x x =' D ．1(lg )ln10x x =' 10．已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（ ）．A ．函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()g x 的最小正周期为2C ．函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()g x 的图象没有对称轴11．已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（ ）A ．ab 的最小值为9B ．22a b +的最小值为18C ．3111a b +--D ．4a b +的最小值为12三、填空题12．命题“2024,lg x x ∀…的否定为.13．若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =． 14．已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑．四、解答题15．已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--． （1）求f (x )的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的最小值以及取得最小值时x 的集合．16．已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域； (2)解不等式：()()2231f x f x +≤+.17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值； (2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值． 18．已知函数()()12ln ,f x x g x ax x =+=.(1)求()f x 的单调区间；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19．设集合A 为非空数集，定义{}{},,,|,,A xx a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈∣. (1)若集合{}1,1A =-，直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{}02024,A xx x ⊆≤≤∈N ∣且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.。
山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(无答案)
2024—2025学年度第一学期10月月考高三数学试题2024．10本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若复数z 满足（i 是虚数单位），则等于（）AB ．CD3．设向量，，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．与垂直4．在中，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在中，E 为边AB 的中点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像所表示的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知，，，，则（ ）{}2log 1A x x =>{}04B x x =<<A B = {}24x x <<{}24x x <<{}02x x <≤{}2x x ≤()1i 3i z +=-+z 54()1,0a = 11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ a b= a b ⋅=a b ∥ a b - b ABC △π6A >1sin 2A >ABC △23BD BC = DE =1263AB AC -+ 5163AB AC + 1263AB AC + 1263AB AC-sin y x =12π3πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π02α<<π02β<<()3cos 5αβ+=()1sin 5αβ-=tan tan αβ=A ．B ．C ．D ．8．设是定义在R 上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的是（）A ．若，，则B ．若是锐角三角形，则C ．若点G 为的重心，则D ．命题：，的否定是：，．10．设正实数a ，b 满足，则下列结论正确的是（ ）A ．有最小值1B有最小值2C有最大值D ．有最大值811．已知，．若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（）A ．函数在处的切线与函数在处的切线相同B ．当时，C ．当时，D ．若恒成立，则第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若，且，则的面积为______．13．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正实数a 的取值范围是______3103553103()f x ()()2f x f x +=-10x -≤<()()2log 62f x x =-+253f ⎛⎫⎪⎝⎭a b ∥ b c ∥ a c∥ ABC △sin cos AB>ABC △0GA GB GC ++=x ∀∈R 21x >-x ∃∈R 21x ≤-4a b +=11a b+22a b +()e xf x x =()lng x x x =1x ∈R ()20,x ∈+∞()()12f x g x t +=()y g x =11,e e g ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =()()1,1f --0t >12x x t =0t >12eln t x x ≤()()f x g x mx >+2m ≤ABC △sin sin 4sin sin a B b A c A B +=222a b c +-=ABC △()()223,02,0x x f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩14．已知函数，若对恒成立，则实数a 的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．16．（15分）已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的角平分线交AB 于点D ，若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．17．（15分）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，若在区间上的最小值为，求a 的值．18．（17分）如图，已知平面四边形ABCD 中，，．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．()()e ln 0xaf x a x x x a =+-->()0f x ≥()1,x ∀∈+∞()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<()f x ()()sing x f x x =()g x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦),cos a x x =()cos ,cos b x x =- ()32f x a b =⋅+ ()y f x =ABC △ACB ∠()f C ()f x ()CD f C =34a b +()2exx ax af x -+=a ∈R 0a =()y f x =()()1,1f 0a >()f x []0,a 1eAB BC ==2CD =4AD =19．（17分）已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）当时，求证：（参考数据）．()2sin sin 2f x x x =-0πx ≤≤()f x ππ32x ≤≤()()ln 1f x x >+2πln 0.7393=。
河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{0,2,5}M =，集合{}*N 05N x x =∈≤<∣，则M N =I （ ） A ．{}0,2,5 B ．{}0,2 C ．{}2,5 D ．{}22．若53i1iz +=+，则z =（ ） A ．4i + B ．4i -C ．11i 22+D ．11i 22-3．已知21,e e u r u u r 是单位向量，1212e e ⋅=-u r u u r ，则122e e +u r u u r 与2e u u r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π34．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为12cm ，则该圆锥的体积为（ ）A．3cm B ．3124πcm C．3cm D ．3168πcm5．已知数列{}{}n n a b ，均为等差数列，其前n 项和分别为n n S T ，，满足(23)(31)n n n S n T +=-，则789610a a a b b ++=+（ ）A ．2B ．3C ．5D ．66．已知双曲线C ：22221()00a x y a bb >-=>，，圆221:(2)4O x y -+=与圆222:(1)1O x y +-=的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为（ ）AB ．2C D7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0ω>，若()0f =，π5π36f f⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为（ ） A ．3B ．1C ．67D ．238．已知函数1()ln f x x t x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有三个零点，则t 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．随机变量()~3,1X N ，且(24)0.6827P X ≤≤=，则(4)0.15865P x >=B ．随机变量Y 服从两点分布，且1()3E Y =，则(3)2D Y =C ．对a ，b 两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8728-，对m ，n 两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a 与b 负相关，m 与n 正相关，其中m 与n 的相关性更强D ．在6(12)y +的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为3210．已知定义在R 上的连续函数()f x 满足,x y ∀∈R ，()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，当[)0,1x ∈时，()0f x >恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C ．13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()f x 的图象关于2x =对称11．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点M 为11A D 的中点，点P 为正方形1111D C B A 内一点（包含边界），且//BP 平面1AB M ，球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，下列说法正确的是（ ）A．球O 的体积为4π3B ．点P 的轨迹长度为C ．异面直线1CC 与BP 所成角的余弦值取值范围为⎣⎦D ．三棱锥11M AA B -外接球与球O 内切三、填空题12．如图，一只蚂蚁位于点M 处，去搬运位于N 处的糖块，M N →的最短路线有条．13．函数11()ln e e 432x x xf x x x--=+--+-，若实数m 满足()()322f m f m +-<-，则m 的取值范围为．14．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M （异于原点O ）在抛物线上，过M 作C 的切线l ，ON l ⊥，垂足为N ，直线MF 与直线ON 交于点A ，点(0,2)B ，则||AB 的最小值是．四、解答题15．在锐角ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，tan (2)tan c B a c C =-． (1)求B ；(2)若b =ABC V 的面积S 取值范围．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 是矩形，122BB BC AB ===，1160BCC AC ∠=︒，(1)求证：1B C ⊥平面1ABC ；(2)求平面1AB C 与平面11A BC 所成角的余弦值．17．已知焦距为2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作直线l 与椭圆C 交于B 、D 两点（异于点A ），当BD x ⊥轴时，||1BD =． (1)求椭圆C 的方程；(2)证明：BAD ∠是钝角．18．已知函数()e x f x x a =+的最小值是12e -，()e 1x g x =-．(1)求a 的值；(2)当(0,)x ∈+∞时，()()f x kg x >恒成立，求整数k 的最大值．19．若数集{}()1212,,0,,3n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 中任意两个元素i a 和)1(j a i j n ≤≤≤的和j i a a +或差j i a a -，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“T 数集”． (1)判断数集{}1,2,3,4,6M =是否为“T 数集”；(2)已知数集{}()1212,,0,,3n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 是“T 数集”，证明： ①10a =； ②122n n na a a a +++=L ． (3)已知数集{}()1212,,0,,3n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 是“T 数集”，现给数集A 添加()*N ,2k k k ∈≥个元素：1n a +，L ，()1n k n k n n a a a a +++>>>L ，若数集A 仍是“T 数集”，证明：212211n k i i i a a a +-=+<⋅∑．。
湖北省襄阳市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案
襄阳2025届高三上学期10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（）A.{}2,0,1,2,4- B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2.设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >求出相应的a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >，即>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >”的充分不必要条件.故选：A3.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（）A.1B.12C.1或12-D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4.已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（）A.()ln 10y x -+>B.ln0yx> C.ln 0y x +> D.ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=，故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.126个B.112个C.98个D.84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6.若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（）A.78a =B.135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.754S =D.24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a =，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知： 䁕2a =，2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率3cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8.圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞C.)∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率.()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C .若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，对于选项B ，由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10.已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)对称B.()f x 的值域为[1,2]-C.若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D.若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61ii ax=∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得3sin 2x =-，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（）A .对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B.已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C.到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M a b{}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a =(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b =(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】 【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13.已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14.数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC的面积为4，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为233y x =±，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设 ， ，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-，则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mmm-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z=1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n∴︒==11132=，解得1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x yz =，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨=+=⎪⎩ ，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18.已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点 h 处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn +++-+++->∈N .【答案】（1）0y =（2）[)1,+∞（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln xx xλ≥+，求出函数()212ln x g x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，h t ，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点 h 处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数 在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以 在 ∞上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19.已知整数4n ，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n 的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列䁕 的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列 的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
辽宁省实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考 数学试题
辽宁省实验中学高三年级10月份月考数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若()12:log 11,:39a p a q --<<，则p 是q 的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.若sin 2cos θθ=-，则sin (sin cos )θθθ+=（）A.65-B.25-C.25D.653.已知函数()()22ln 3=--+f x x ax a在[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(],1-∞- B.(),1∞-- C.(],2-∞ D.()2,+∞4.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin (34A B Ck k ==为非零实数），则下列结论错误．．的是（）A.当5k =时，ABC V 是直角三角形B.当3k =时，ABC V 是锐角三角形C.当2k =时，ABC V 是钝角三角形D.当1k =时，ABC V 是钝角三角形5.耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是3cos2y x =，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是()sin y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2），则ϕ=（）.A.π3B.π2C.πD.3π26.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递减，若a +∈R ，且满足()()313log log 22f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A.1,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)10,9,9⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦7.已知正数x y z ，，，满足346x y z ==，则下列说法不正确的是（）A.1112x y z+= B.x y z >>C.112x z y+< D.346x y z<<8.设函数()()π2sin 106f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在[]π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是（）A.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.375,,232⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.1319,3,66⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
安徽省合肥市2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
合肥2025届高三10月段考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{A x x =<，1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．{x x <B ．{x x <C ．{0x x <<D ．{0x x <<2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+”是“a b ⊥ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（）A ．2B ．－2C ．－1D ．124．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（）A ．11a b b a+>+B ．22a b aa b b+<+C ．a b b c a c<--D ．ac bc>5．已知a ∈R ，2sin cos 2αα+=，则tan 2α=（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设0.1e1a =-，111b =，ln1.1c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11ex f x +>的解集是（）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos 3,sin 3P ，()1,0Q ，则（）A ．12OP OP = B ．12QP QP =C ．312OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（）A ．当1a =时，函数()f x 无极值点B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称C ．过点()0,2的切线有两条D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（）A ．3π4B ．4π7C ．6π7D ．8π7三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA与OB夹角为______．13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M =+______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．条件①：2cos 3B =-；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3m ，年用气量为3m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3m ．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数()824x x xa f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()22e ,ef 处切线方程；（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：12n a a a n++⋅⋅⋅+≥；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】131ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即200a b ⋅= ，则0a b ⋅= ，即a b ⊥，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为111n n a a +=-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以101a =-．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为0a b <<，所以11a b >，所以11a b b a+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++，故B 正确；对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，13b a c =-，1a b c =-，b aa cb c<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】102sin cos 2αα+=，则()252sin cos 2αα+=，即2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，可得224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．若S 取最小值，则函数()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值，由二次函数的性质，可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数()1ln f x x x =+，0x >，则()211f x x x'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1ln 1x x>-，（0x >且1x ≠），∴101ln1.111111>-=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()11ex g x x-'=-，∵1x >，1e1x ->，11x<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，∴()()10g x g >=，∴ 1.11e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．8．【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．又因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =，则()12ef =，所以()212e e e g =⨯=，则不等式()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；∵1QP = ，2QP = 12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=-，∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos 3sin 2sin 3cos 5cos1OP OP ⋅=-=≠，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；对于C ：设切点()()1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3个零点，()f x有极小值为20f =<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()()123f x f x a =+成立，∴()2min 23f x α+≤，()2max 43f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．当3π4α=时，23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 3π1sin sin043x α+=>>-，()2min 5π2sin sin42x α+==-23<-，故A 正确，当4π7α=时，24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当6π7α=时，26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 6π1sin sin073x α+=>>-，()2min 19πsin sin14x α+=<4π2sin 323=-<-，故C 正确，当8π7α=时，28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=-．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】π6【解析】由题知(OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB⋅==⋅，∴π6AOB ∠=．故本题答案为π6．13．【答案】(],2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2xy =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2xy =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2xy =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．故本题答案为(],2-∞．14．23【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则3M b a c b c a =---，()622b a c b a c b c a --≤-+-=-∴32323M b a c b c a c a =----+，当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，12b =，1c =时，等号成立．23+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为cos 3sin 0a C a C b c +--=，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin 0A C A C B C +--=．即：()sin cos 3sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()3sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>3cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅．整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =．当3c =时，ABC △的面积为：1sin 632ABC S bc A ==△，当c=5时，ABC △的面积为：1sin 1032ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC边中点为M，连接BM，则BM=，4AM=，在ABM△中，由余弦定理得2222cosBM AB AM AB AM A=+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB=+-⋅．整理得2450AB AB--=，解得5AB=或1AB=-（舍）．所以ABC△的面积为1sin2ABCS AB AC A=⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4ky a xx⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，[]2.55,2.75x∈；（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x axx⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩，∴2.6 2.75x≤≤，即单价最低定为2.6元/3m．17．【解析】（1）()1122xxf xa=⨯+，因为()f x是奇函数，所以()()f x f x-=-，所以11112222x xx xa a⎛⎫⨯+=-⨯+⎪⎝⎭，所以111202xxa⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以110a+=，1a=-；（2）因为()122xxf x=-，[]1,2x∈，所以22112222x xx xm⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，所以122xxm≥+，[]1,2x∈，令2xt=，[]1,2x∈，[]2,4t∈，由于1y tt=+在[]2,4单调递增，所以117444m≥+=．18．【解析】（1）()f x的定义域为()0,+∞，()1lnf x x'=-，当()0f x'=时，ex=，当()0,ex∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；（2）()2e 0f =，()22e 1ln e 1f '=-=-，所以()()22e ,ef 处切线方程为：()()201e y x -=--，即2e 0x y +-=；（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6321458⨯=；（2）①证明：先证：1ex x -≥．令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅，1111⋅⋅⋅⋅⋅≥，1n ≥0n ≥，∴12n a a a n++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大即可，令()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中*t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，所以这些正实数乘积的最大值为7207⎛⎫⎪⎝⎭．。
2025届湖南省部分学校高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2025届高三10月联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后、再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，.若，则（ ）A. B. 0 C. 1 D. 22. 已知a ，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知是关于的方程的一个虚根，则（ ）A. B. 2C. D. 14. 设是锐角，，则（ ）A.B.C.D.5. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 已知点，，.动点满足，则的最大值为（ ）A. B. C. 30D. 31.{|ln ||0}A x x ==2{,}B m m =B A ⊆m =1-b ∈R 22a b >e e a b >i(,)a b a b +∈R x 220()x x c c ++=∈R a =2-1-θππcos cos tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan θ=11-()2,0e ,0x x ax x f x ax x ⎧-+<=⎨-≥⎩R a [1,)+∞[0,1][1,1]-(,1]-∞(1,1)A -(1,1)B -(3,3)C P 222||||||70PA PB PC ++=PA PB ⋅17. 存在函数满足：对任意都有（ ）A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，且若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数，则（ ）A. ，为奇函数B. 当时，单调递增C. ，使得恰有一个极值点D. 当时，存在三个零点10. 已知正项等比数列的前项积为，且是互不相等的正整数，则（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则11. 如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线EP 与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ）A. 若，则点在圆上B. 若，则点在双曲线上C. 若，则点在抛物线上D. 若，则点在直线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()f x R x ∈()||3ex f x=()31f x x x =+()22f x x x+=()cos 2cos f x x=A B 22:1189x y C -=P tan APB ∠=PAB3()f x x ax =-a ∀∈R ()f x 0a <()f x a ∃∈R ()f x 0a >()f x {}n a n n T ,,m n p 2m n p +=2m n p a a a =2m n p a a a =2m n p +=mn T T =1m n T +=1m nT +=m nT T =1111ABCD ABC D -E 1BB P ABCD 1A P ABCD αABCD β11PA D ABCD γ11PC D ABCD θαβ=P γθ=P αθ=P βθ=P12. 设向量，，则，则__________.13. 已知，，，且恒成立，则的取值范围是__________.14. 已知函数在上单调递减，则最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且.（1）若，求；（2）若，求的面积的最大值.16. 如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点.（1）求的方程；（2）过原点作直线的平行线与椭圆C 交于M ，N 两点，证明：P ，M ，，N四点共圆，并求该圆的标准方程.17. 如图，四棱锥的底面为正方形，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，且平面平面.（1）证明：；（2）若，当四棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值.的的(1,2)a = (2,3)b = ()a b b λ+⊥λ=x y 0a >248y a x x xy++≥a ()2cos sin 2f x x x =⋅[],a b b a -ABC V 2225b c a +=sin B C =cos A 8AB AC ⋅=ABC V 1A 2A 22:143x y C +=P C 2PO PA =P l C P l O l 1A P ABCD -ABCD PBD ⊥BEF PA PC =PB =P ABCD -PAB BEF18. 若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为.（1）若，，，求的值；（2）定义数列满足：，，2，3，…，m（i ）证明：数列是一个项数为对数等和数列；（ii ）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值.19. 已知函数（，且）.（1）当时，证明：为增函数；（2）若存在两个极值点，.（i ）求的取值范围；（ii ）设的极大值为，求的取值范围..的{}n c ()*,3m m m ∈≥N ()*,i i i m ∀∈≤N 1ln ln m ii c c R +-+=R {}n c m R {}n a m R 9m =11a =54a =9a {}n b 1im ii a b a +-=1i ={}n b m {}n b 140R =1mi i ia =∑()log xa f x a x =0a >1a ≠e a =()f x ()f x 1x 2x a ()f x M M2025届高三10月联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后、再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1 （2）3【16题答案】【答案】（1） （2）证明见解析，【17题答案】【答案】（1）证明见解析 （2【18题答案】【答案】（1）（2）（i ）证明见解析；（ii ）138-[)4,+∞2π32π3122y x =-+2211965168256x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭916a =2048132【答案】（1）证明见解析（2）（i ）；（ii ）()ee ,a ∈+∞(1,0)-。
辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2024-2025（上）10月月度质量监测高三数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只第Ⅰ卷选择题（共58分）有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2A x x =∈Z，{}ln(1)B x y x ==−，则A B ∩中的元素个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】先求集合A 、B ，再根据交集的定义求出A B ∩即可求解.【详解】解:因为集合{}{}22,1,0,1,2A x x =∈=−−Z ，{}1B x x =<，所以{}2,1,0A B =−− ， 故选：A .2. 已知12i +是方程250()x mx m ++=∈R 的一个根，则m =（ ） A. －2 B. 2C. iD. －1【答案】A 【解析】【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.【详解】方法1：由题意知2(12i)(12i)50m ++++=，即2(42)i 0m m +++=，解得2m =−. 方法2：根据虚根成对知1－2i 也是方程的根，由韦达定理得(12i)(12i)m ++−=−，所以2m =−. 故选:A.3. 不等式2320x x ++>成立的一个充分不必要条件是（ ） A. (1,)−+∞B. [1−，)∞+C. (−∞，2][1−∪−，)∞+D. (1−，)(+∞−∞∪，2)−【解析】【分析】解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可． 【详解】2320x x ++> ，(1)(2)0x x ∴++>，解得：1x >−或2x <−，故不等式2320x x ++>成立的一个充分不必要条件是(1,)−+∞， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．4. 已知π0,2θ ∈，且cos 2πsin 4θθ=−tan 2θ=（ ）． A.724B.247C. 724±D. 247±【答案】D 【解析】【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得7cos sin 5θθ+=， 结合22cos sin 1θθ+=求出tan θ的值，再根据正切的二倍角公式即可.【详解】)cos2cos sin s in 4θθθπθ+ − 故7cos sin 5θθ+=， 又因为π0,2θ∈，且22cos sin 1θθ+=．故3cos 5θ=，4sin 5θ=或4cos 5θ=，3sin 5θ=，则4tan 3θ=或34，故22tan 24tan21tan 7θθθ==±−，5. 若a ，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A. a b =B. a b∥C. 1a b ⋅=D. 22a b =【答案】D 【解析】【分析】a ，b是两个单位向量，则1ab == ，但a ，b 方向不能确定，即可判断AB ；利用数量积的定义与性质可判断CD ．【详解】a ，b是两个单位向量，则1ab == ，但a ，b 方向不能确定，故选项AB 错误； cos co ,,s a b a b b a b a ⋅== ，只有a ，b同向共线时，才有cos ,1a b = ，故选项C 错误；221a a == ，221b b == ，22a b ∴= ，选项D 正确.故选：D.6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ，AB BC ⊥，222BC AD AB ===，将直角梯形ABCD 沿对角线折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A. 0B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】取BD 的中点F ，连接AF ，则AF BD ⊥，通过面面垂直的性质定理可得到AF ⊥平面BCD ． 过C 作CE ，且使12CE BD =，连接AE ，EF ，BE ，FC 则ACE ∠为所求的角， 在AEC △分别求出CE AC ，的大小，即可求出答案.【详解】在直角梯形ABCD 中，因为222BC AD AB ===，AD ，AB BC ⊥，所以，BD CD ==BD 的中点F ，连接AF ，则AF BD ⊥．又因为平面ABD ⊥平面BCD 且交于BD ，所以AF ⊥平面BCD ．过C 作CE ，且使12CE BD =，连接AE ，EF ，BE ，FC 则ACE ∠为所求的角．在Rt AFC △中，AC =Rt AFE 中，AE =．因为CE =AEC △为直角三角形．所以cos CEACE AC∠=AC 与BD故选：B.7. 设正实数,x y 满足23x y +=，则下列说法错误的是（ ） A.3y x y+的最小值为4 B. xy 的最大值为98C. +的最大值为2D. 224x y +的最小值为92【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【详解】对于A ，32224y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当1xy ==时取等号，故A 正确；对于B ，21121992222248x y xy x y + =⋅⋅≤×=×= ，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，223336x y +=++≤+=+=，≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，故C 错误；对于D ，222994(2)49482x y x y xy +=+−≥−×=，当且仅当33,24x y ==时取等号，故D 正确. 故选：C.8. 定义在()0,∞+上的单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞有()ln 1f f x x −=恒成立，若方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (),1−∞B. ()0,1C. (]0,1D. (],1−∞【答案】B 【解析】【分析】由条件单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞都有()ln 1f f x x −=，故必有 ()ln f x x t −=，且()1=f t ，即可求得()f x ，再根据导数研究函数的性质，求得方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实根满足的条件，求得m 的取值范围. 【详解】由于函数()f x 为单调函数，则不妨设()ln f x x t −=，则()1=f t ， 且()ln 1ln f t t t t −=−=，解得1t =，所以()()1ln 1,f x x f x x′=+=. 设()()()ln 1x g x f x f x x=′+=⋅， 则方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实数根等价于函数()ln 1x g x x+=与y m=有两个不同的交点. ()222ln 11ln 1ln x x x g x xx x x x ′−′=+=−=−， 易得当(0,1)x ∈时，()0g x ′>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x ′<， 所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max()(1)0g x g ==. 又10g e=，且当x →+∞时，()0g x →. 故函数()ln 1x g x x+=与y m=有两个不同的交点则()0,1m ∈.故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 以下是真命题的是（ ）A. 已知a ，b为非零向量，若a b a b +>− ，则a 与b 的夹角为锐角 B. 已知a ，b ，c为两两非共线向量，若a b a c ⋅=⋅ ，则()a cb ⊥−C. 在三角形ABC 中，若cos cos a A b B ⋅=⋅，则三角形ABC 是等腰三角形D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心 【答案】BD 【解析】【分析】A ：将已知条件两边同时平方，整理得到0a b ⋅>，结合平面向量的数量积的定义得到cos ,0a b >，由平面向量的夹角范围可得,0,2a b π ∈，进而可以判断选项；B ：将已知条件变形为()0a b c ⋅−=，结合平面向量数量积即可判断选项；C ：结合正弦定理化简整理即可判断三角形的形状；D ：作出图形，证得PAO PBO PCO ≅≅ ，即可得到AO BO CO ==，结合三角形外心的性质即可判断.【详解】A ：因为a b a b +>− ，两边同时平方，得()()22a ba b +>− ，即222222a b a b a b a b ++⋅>+−⋅，所以0a b ⋅> ，因此cos ,0a b > ，因为[],0,a b π∈ ，所以,0,2a b π ∈，因此a 与b的夹角为锐角或零角，故A 错误；B ：因为a b a c ⋅=⋅ ，所以()0a b c ⋅−= ，又因为a ，b ，c 为两两非共线向量，则0,0a b c ≠−≠ ，所以()a cb ⊥−，故B 正确；C ：因为cos cos a A b B ⋅=⋅，结合余弦定理得sin cos sin cos A A B B ⋅=⋅，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误； D ：设三棱锥P ABC −的顶点P 在底面ABC 的射影为O ，所以⊥PO 底面ABC ，又因为AO ⊂底面ABC ，BO ⊂底面ABC ，CO ⊂底面ABC ，所以,,PO AO PO BO PO CO ⊥⊥⊥，又因为三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，所以PAO PBO PCO ∠=∠=∠，所以PAO PBO PCO ≅≅ ，所以AO BO CO ==，所以点O 是ABC 的外心，故D 正确；故选：BD.10. 八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为解放碑的最顶端，B 为解放碑的基座（即B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ，D 两点，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB 的是（ ）A. CD ，ACB ∠，BCD ∠，BDC ∠B. CD ，ACB ∠，BCD ∠，ADC ∠C. CD ，ACB ∠，BCD ∠，ACD ∠D. BC ，BD ，2ACB ADB π∠+∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 、B 、C 根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件；D 选项根据相似三角形性质判断.【详解】由题意可知AB ⊥平面BCD ，由此进行下列判断：A 选项，在BCD △中，根据CD ，BCD ∠，BDC ∠，可利用正弦定理求得BC ，再根据tan ACB ∠求得AB ，故A 正确；B 选项，由ACB ∠，BCD ∠借助直角三角形和余弦定理，用AB 和CD 表示出BC ，BD ，AC ，AD ，然后结合ADC ∠在ACD 中利用余弦定理列方程，解方程求得AB ，故B 正确；C 选项，CD ，ACB ∠，BCD ∠，ACD ∠四个条件，无法通过解三角形求得AB ，故C 错误； D 选项，根据π2ACB ADB ∠+∠=，可得ABC 与DBA 相似，根据相似比AB BDBC AB =可解方程求得AB ，故D 正确， 故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x ′和()g x ′．若()()42f x g x −−=，()()2g x f x ′′=−，且()2f x +为奇函数，则（ ）． A. R x ∀∈，()()40f x f x ++−=B. ()()354g g +=C.()202310k f k ==∑D.()202310k g k ==∑【答案】AC 【解析】【分析】由()2f x +为奇函数，结合奇函数的性质判断A ，由条件证明()f x 为周期为4的函数，利用组合求和法求()20231k f k =∑判断C ，根据条件证明()()22g x f x =−−，由此判断BD.【详解】对A ，又∵()2f x +奇函数，则()y f x =图像关于()2,0对称，且()()220f x f x ++−=， 为所以()()40f x f x ++−=，A 正确； 对于C ，∵()(2)g x f x ′′=−，则()()2g x f x a =−+，则()()42g x f x a −=−+，又()()42f x g x −−=， 所以()()22f x f x a =−++，令1x =，可得20a +=，即2a =−.所以()(2)f x f x =−，又()()40f x f x ++−=所以()()()22f x f x f x +=−−+=−， 所以()()()24f x f x f x =−+=+， ∴()y f x =的周期4T =，所以()()04f f =，由()()220f x f x ++−=可得， ()()130f f +=，()()400f f +=，()20f =，所以()00f =，()40f =，∴[]20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0k f k f f f f f f f ==++++++=∑，C 正确；对B ，()()22g x f x =−−，则()g x 是周期4T =的函数，()()()()3512324g g f f +=−+−=−，B错误； 对D ，()()()1120242023f f f −=−+=，()()()()022********f f f f ==+=，所以2023202311()(1)2(0)2(1)2(2021)2()22023k k g k f f f f f k ==−−+−+−+…+−=−×∑∑，所以20231()4046k g k ==−∑，D 错误.故选：AC.【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.第Ⅱ卷 非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 设函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，则()()()222122021f x f x f x ++⋅⋅⋅+=______．【答案】2020 【解析】 【分析】根据对数的运算法则计算．【详解】∵()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，∴()122021log 1010a x x x ⋅⋅⋅=； ∴()()()()()()222222122021122021log log log a a a f x f x f x x x x =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()222212320211220212l 2020og a f x x x x x x x =+=⋅⋅⋅．故答案为：2020．13. 如图，在ABC 中，4AB =，3AC =，90A ∠=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的取值范围是__．【答案】[6,4]− 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可得出,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =−=−=−−，运用平面向量数量积的运算性质解决即可.【详解】由题知，ABC 中，4AB =，3AC =，90A ∠=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，所以A 为PQ 的中点，1,,5AP AP QA BC ===， 因为,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =−=−=−−，所以()()()()BP CQ AP AB AP AC AB AP AC AP ⋅=−⋅−−=−+2()1AB AC AP AP AB AC AP CB =⋅−+⋅−=−+⋅ ,因为AP CB AP CB AP CB −⋅≤⋅≤⋅ ，即55AP CB −≤⋅≤所以614AP CB −≤−+⋅≤ ，当且仅当,AP CB同向时取最大值，反向时取最小值，所以BP CQ ⋅的取值范围是[6,4]−，故答案为：[6,4]−14. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，M 为AB 的中点，P 是平面ABCD 内的动点，且满足条件13PD PM =，则动点P 在平面ABCD 内形成的轨迹是 ． 【答案】圆 【解析】【分析】分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，利用空间两点距离的坐标表示求轨迹方程即可． 【详解】分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，则1(0,0,2),(2,1,0)D M ，设(,,0)P x y ，由题意可得22222(02)9[(2)(1)]x y x y ++−=−+−， 化简可得2299410248x y x y +−−+=，易知轨迹是圆. 故答案为：圆四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 在①1n n a a +−=+；② 184n n a a n −−=−(2n ≥)两个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________ （1）求n a ；.（2）若数列1n a的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.【答案】条件选择见解析；（1）241=−n a n ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】若选① ：（1）由1n n a a +−=2=，根据是首项为2，公差为2的等差数列，可得结果；（2）由2111114122121n a n n n ==− −−+利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132n T ≤<. 若选② ：（1）由184n n a a n −−=−(2n ≥)利用累加法可求得n a ；（2）由2111114122121n a n n n ==− −−+ 利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132nT ≤<. 【详解】若选① ：（1）由1n n a a +−=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=−n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ==− −−+， 所以1111111213352121nT n n =−+−++− −+111221n −+ 11242n =−+， 因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =−+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.若选② ：（1）由184n n a a n −−=−(2n ≥)可得：当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+ (84)(812)123n n −+−+++ [(84)12](1)32n n −+−+241n −，当1n =时，13a =，符合241=−n a n ， 所以当*n N ∈时，241=−n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121na n n n ==− −−+， 所以1111111213352121nT n n =−+−++− −+111221n −+ 11242n =−+， 因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =−+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：一、公式法：根据等差或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+−或11n n a a q −=进行求解；二、前n 项和法：根据11,1,2n nS n a S S n −= = −≥ 进行求解；三、n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S −与1n a −的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项；四、累加法：当数列中有1()n n a a f n −−=，即第n 项与第1n −项的差是个有规律的数时，就可以用这种方法；五、累乘法：当数列{}n a 中有1()nn a f n a −=，即第n 项与第1n −项的积是个有规律的数时，就可以用这种方法；六、构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b −=+（,k b 均为常数，且0k ≠）， 一般化方法：设1()n n a m k a m −+=+，得到(1)b k m =−，1b m k =−，根据数列1{}1n ba k −+−是以k 为公比的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p−−=+（nn ≥2,nn ∈NN ∗）（,,k m p 均为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b −=+的式子； ③取对数法：一般情况下适用于1kln n a a −=（,k l 为非零常数）七、“1nn n a ba c +=+（,b c 为常数且不为0，*n N ∈）”型的数列求通项n a ，方法是等式的两边同除以1n c+，得到一个“1n n a ka b −=+”型的数列，再用上面的六种方法里的“一次函数法”便可求出nn a c的通项，从而求出n a .16. 已知函数()2cos 2cos 1f x x x x a =+−+（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 在0,2π上有最小值1，求a 的值. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ−+∈；（2）2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x a π=++，然后解不等式()222262k x k k ππππ−≤+≤π+∈Z ，可得出函数()y f x =的单调递增区间； （2）由0,2x π∈计算出26x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的最小值，进而可求得实数a 的值.【详解】（1）()2cos 2cos 12cos 2f x x x x a x x a=+−+=++122cos 22sin 226x x a x a π++=++， 令()222262k x k k ππππ−≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k Z ππππ−≤≤+∈所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−+∈； .（2）当02x π≤≤时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π−≤+≤，所以()min 12112f x a a=×−+=−=，解得2a =. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间和最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.17. 已知圆229x y +=，A （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点，且∠PAQ＝90°，M 是PQ 的中点． （1）求点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）设9111(,),(,)2222E D 对曲线C 上任意一点H ，在直线ED 上是否存在与点E 不重合的点F ，使HE HF 是常数，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）2211422x y −+−=；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）利用直角三角形的中线定理及垂径定理，得到1||||||2AMPQ PM ===利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．（2）先设出F 的坐标，将HE HF用点点距表示出，化简得到215(12)4248t x t x −++−，利用212815244t t −=−+解得t 的值即可．【详解】（1）设点(,)M x y ，由90PAQ ∠=°，得1||||||2AM PQ PM ===化简得22702x y x y +−−−=， 即2211422x y −+−=. （2）点91,22E，11,22D，直线ED 方程为12y =，假设存在点19,22F t t ≠ ，满足条件，设,()H x y ，则有2211422x y −+−=，22291||22HE x y=−+− 2291424822x x x −+−−− ，2221||()2HF x t y=−+− 222115()4(12)24x t x t x t =−+−−=−++，当||||HE HF 是常数，2215(12)||4||248t x t HE HF x −++ =−是常数， ∴212815244t t −=−+，∴32t =或92t =（舍），∴32t =， ∴存在31,22F满足条件. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了分式型定值问题的求解，考查了运算能力，属于中档题． 18. 已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3(N )n an b n ∗=∈． （1）试判断{}n a 是何种数列；（2）若813a a m +=，求1220b b b . 【答案】（1）数列{}n a 是等差数列； （2）103m 【解析】【分析】（1）由13log n n a a q +−=可知{}n a 为等差数列； （2）利用等差数列前n 项和以及指数运算的性质即可求解. 【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，则0q >， 因为3nn a b =，所以113a b =，所以1133n a a n n b q −=⋅=. 方程两边取以3为底的对数， 得11313log (3)(1)log an n a qa n q −=⋅=+−，由于[]113133(log )(1)log log n n a a a n q a n q q +−=+−+−=， 所以数列{}n a 是以3log q 为公差的等差数列．的【小问2详解】因为120813a a a a m +=+=， 所以120122020()2a a a a a ++++==10m ，所以2012201210122033333aa a aaamb b b +++=== .19. 已知函数()ln f x x x =，()()1f x g x x+=.（1）求函数()f x 单调区间；（2）当12x x <，且()()12g x g x =时，证明：122x x +>. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导函数的符号求单调区间； （2）分析法将问题化为证2121212ln 0x x xx x x −>>，再应用换元及导数研究恒成立，即可证. 【小问1详解】由题设，()f x 的定义域为()0,∞+()1ln 0f x x =+=′，得1ex =. 当1e x >时，()0f x ′>，()f x 在1,e +∞上单调递增；当10e x <<时，()0f x ′<，()f x 在10,e上单调递减. 所以()f x 单调递减区间为10,e，单调递增区间为1,e +∞. 【小问2详解】因为()ln f x x x =，故()()11ln f x g x x x x+==+，（xx >0）. 由()()12g x g x =（12x x <），得121211ln ln x x x x +=+，即212121ln 0x x xx x x −=>. 要证122x x +>，需证()212121212ln x x xx x x x x −+⋅>，即证2121212ln x x x x x x −>.的设21x t x =（1t >），则要证12ln t t t−>（1t >）. 令()12ln h t t t t=−−且1t >，则()22121110h t t t t′=+−=−> . 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，即12ln t t t−>. 所以122x x +>，得证.。
广东广雅中学2024-2025学年高三10月月考数学试题(含答案)
广东广雅中学2025届高三10月月考数学（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
1．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的第30百分位数是（ ） A ．11B ．15C ．13D ．342．设常数a R ∈，集合}(1)|()0{A x x x a =−−≥，}1{|B x x a =≥−，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2)−∞B ．(,2]−∞C ．(2+∞，）D ．[2+∞，）3．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z ⋅对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4β=，则()tan αβ−=（ ） A ．1 B ．3− C ．3D ．3−5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，m β⊂，n γ⊂，则//βγD ．若//m α，//n α，则m ，n 平行、相交、异面均有可能6．已知O 为坐标原点，()11,P x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点()10x >，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于D ，G 两点，0DF FG ⋅=，4DF FG =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．57．已知函数()()f x g x ，的定义域是R ，()g x 的导函数为()g x '，且()()5f x g x '+=，()()155f x g x −'−−=，若()g x 为偶函数，则下列说法中错误的是（ ） A ．()05f =B ．()()()()123202410120f f f f ++++=C ．若存在0x 使()f x 在[]00,x 上严格增，在[]0,2x 上严格减，则2024是()g x 的极小值点D ．若()f x 为偶函数，则满足题意的()f x 唯一，()g x 不唯一8．小丽同学有一枚不对称的硬币，每次掷出后正面向上的概率为(01)p p <<，她掷了N 次硬币后有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X 表示每掷N 次硬币中正面向上的次数，现以使(10)P X =最大的N 值估计N 的取值并计算()E X .(若有多个N 使(10)P X =最大，则取其中的最小N 值).下列说法正确的是（ ） A ．()10E X > B ．()10E X <C ．()10E X =D ．()E X 与10的大小无法确定二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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周口中英文学校2016—2017学年度上期十月考试高三数学试题时间:120分钟 满分:150分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1122A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，，{}2B y y x x A ==∈，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}2C ． 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．φ2.设R a ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x4.已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下的(),x f x 的对应表则函数()f x 存在零点的区间有（ ）A ．区间[]1,2和[]2,3B ．区间[]2,3、[]3,4和[]4,5C 、区间[]2,3和[]3,4D ．区间[]3,4、[]4,5和[]5,65、定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31x f x =-，则()2015f 的值为（ ）A.8B.0C.2D.-2 6、y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]7、已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 8、命题“若α=4π,则tan α=1”的逆否命题是（ ）A ．若α≠4π,则tan α≠1 B ．若tan α≠1,则α≠4πC ．若α=4π,则tan α≠1D ．若tan α≠1,则α=4π9、已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)10.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点()01A ，，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长x AM =，直线AM 与x 轴交于点()0N t ，，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知函数()(),021,0x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．(),1-∞-D ．(),0-∞ 12. 定义在R 上的函数)(x f 对任意)(,2121x x x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f ，且函数)1(+=x f y 的图象关于原点对称，若t s ,满足不等式)22()2(22+--≤-t t f s s f ，则当41≤≤s 时，ts st +-2的取值范围是（ ）A ．)21,3[-- B ．]21,3[-- C ．)21,5[-- D ．]21,5[--二、（本题有4个小题，每题5分，共20分）13、命题“对任意的x ＜0，x 3－x 2＋1≤0”的否定是14．定义运算法则如下：1112322,lg lg a b a ba b a b -⊕=+⊗=-；若1824125M =⊕ 1,225N =⊗，则M ＋N ＝ ；15、函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A, 若点A 在直线mx+ny+1=0上, 其中mn>0, 则1m + 2n的最小值为 16.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数；，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意R x ∈恒成立；④存在三个点()()11A x f x ，，()()22B x f x ，，()()33C x f x ，，使得ABC △为等边三角形． 其中真命题的序号三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分为12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0；命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围。
18、（本小题满分为12分）已知函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称， 当[]0,1x ∈时，()21x f x =-. (1)当[]1,2x ∈时，求()f x 的解析式； （2）计算()()()()0122016f f f f ++++的值.19．（本大题12分）已知二次函数．()2(21)12f x x a x a=+-+-（1）判断命题：“对于任意的∈a R （R 为实数集），方程1)(=x f 必有实数根”的真假，并写出判断过程（2），若()y f x =在区间)0,1(-及)21,0(内各有一个零点．求实数a 的范围 20、 (本小题满分12分）已知定义在区间]20[，上的两个函数)(x f 和)(x g ，其中2212)(a ax x x f +++-=，x x x g -+-=241)(， （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）对于]20[21，，∈∀x x ，)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围. 20、(本小题满分12分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令()()()10g x f x x λλ=-->. （1）求函数()f x 的表达式； （2）求函数()g x 的单调区间； （3）研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x （α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()1cos sin =+θθρ，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a=-，不等式()3f x ≤的解集为[]15-，．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()()m x f x f ≥++5对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．周口中英文学校2016—2017学年度上期十月考试 高三 数学 试题 答案 一、选择题二、填空题：(本题有4个小题，每题5分，共20分)13、“存在x<0，x 3－x 2＋1>0” 14、5 15、 8 16、① ② ③ ④ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）解：p 真，则1≤a---------2分q 真，则04)1(2>--=∆a 即13-<>a a 或 ----------4分 “q p ∨”为真，q p ∧为假 q p ,∴中必有一个为真，另一个为假----5分当假真q p 时，有⎩⎨⎧≤≤-≤311a a 11≤≤-a 得 -------8分当真假q p 时，有⎩⎨⎧-<>>131a a a 或 3>a 得 --------11分实数a 的取值范围为311>≤≤-a a 或.--------12分18、解：（1）()f x 图象关于1x =对称()()11f x f x ∴+=-即()()2f x f x =-．当[]1,2x ∈时，[]20,1x -∈，()()[]222 1.1,2x f x f x x -∴=-=-∈．…………4分（2）()f x 的图象关于1x =对称，()()11f x f x ∴+=-． ()f x 为R 上的奇函数，()()()111f x f x f x ∴+=-=--．………………7分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AACBDCCBDDBD即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+= ， 4T ∴=．又()00f =，()11f =，()()200f f ==，()()()3111f f f =-=-=-，()40f =．()()()()01230f f f f ∴+++=，…………………………11分即()()()()012201550400f f f f ++++=⨯=．………………12分19、解：（1）“对于任意的∈a R （R 为实数集），方程1)(=x f 必有实数根”是真命题；…（3分） 依题意：1)(=x f 有实根，即2(2a 1)2a=0x x +--有实根22(21)8(21)0a a a =-+=+≥对于任意的∈a R （R 为实数集）恒成立即2(2a 1)2a=0x x +--必有实根，从而1)(=x f 必有实根………………（6分） （2）依题意：要使()y f x =在区间)0,1(-及)21,0(内各有一个零点只须(1)0(0)01()02f f f ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪>⎩…………（9分） 即340120304a a a ⎧⎪->⎪-<⎨⎪⎪->⎩……………（10分）解得：43a 21<<（多带一个等号扣1分）……（12分） 20、解：（Ⅰ）对称轴a x =……………………1分当1≤a 时，34)2()(2min -+==a a f x f ………………3分 当1>a 时，2min 1)0()(a f x f +==……………………5分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-+=11134)(22mina a a a a x f ，，…………………………6分 （Ⅱ）令[])20(2，∈=-t t x ，则22t x -=∴47)(2++-=t t x g∵对称轴[]2021，∈=t ∴2)(max =x g ………8分由题意，要使)()(21x g x f >恒成立，只要max min )()(x g x f >即可，…………9分 ∴当1≤a 时，234)(2min >-+=a a x f解得：5-<a ………………………………………………10分 当1>a 时，21)(2min >+=a x f解得：1>a ………………………………………………11分 综上所述，)1()5(∞+--∞∈，， a ……………………12分 21、(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. 2分又()f x x≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，∴0a >,且∆()210b =-≤．∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x=+． …… 2分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩ …… 3分 ① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…6分② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<，则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； ……………………… 7分 当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭．………… 8分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增，又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点．…… 9分② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥，此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 10分（ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1 上有两个不同的零点． …… 11分综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；aa 当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点．…… 12分22．⑴∵曲线C 的参数方程为25cos 15sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数） ∴曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得：4cos 2sin ρθθ=+， 即曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+…………………………5分（2）∵l 的直角坐标方程为10x y +-=，∴圆心C 到直线l 的距离为22d ==，∴弦长为25223-．……………………10分 23．⑴∵3x a -≤，∴33a x a -≤≤+，∵()3f x ≤的解集为[]15-，，∴3135a a -=-⎧⎨+=⎩，∴2a =．…………………………5分⑵∵()()()()523235f x f x x x x x ++=-++≥---=， 又()()5f x f x m ++≥恒成立，∴5m ≤．………………………………………………10分欢迎您的下载，资料仅供参考！。