数列中的分类讨论思想

第四篇：数列中的分类讨论思想

安徽省太湖中学（246400） 罗华根

记得《非诚勿扰》里开始有这样一个画外音：世界上无处不存在分歧、矛盾，当这些分歧、矛盾不能得到妥善处理的时候，世界就不太平了，人与人之间的口角、斗殴，国与国之间的离间、战争便开始了. 其实数列也是如此，数列里也有许许多多的矛盾需要去分类处理.本文就分类讨论思想在数列中的应用做了一些整理，供大家参考. 1、等比数列的公比引起分类讨论

例1设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0 (1,2,)n S n >=⋅⋅⋅. （1）求q 的取值范围； （2）设213

2

n n n b a a ++=-

，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小. 解析：（1）因为{}n a 是等比数列，0,n S >可得110,0a S q =>≠。

当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n n n a q q q S n q q

--≠=>>=⋅⋅⋅--当时即

上式等价于不等式组：10,

,(1,2,)10n q n q -<⎧=⋅⋅⋅⎨

-<⎩ ①或10,

,(1,2,)10

n

q n q ->⎧=⋅⋅⋅⎨->⎩ ② 解①式得1>q ；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得11q -<<. 综上，q 的取值范围是()1,0(0,)-⋃+∞。 （2）由2132n a n b a a ++=-

得23,2n n b a q q ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 于是2

312n n n T S S q q ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭()12.2n S q q ⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭又∵n S >0且－10，所以当112q -<<-

或2q >时,0n n T S ->,即n n T S >；当1

22

q -<<且q ≠0时，0n n T S -<，即n n T S <；当1

2

q =-或q =2时，0n n T S -=，即n n T S =.

点评：本题在比较n S 与n T 的大小时，用作差比较法，由于第一问q 的范围直接对差的符号有影响，所以依旧需要根据公比的大小进行分类讨论. 2、 公式“1n n n a S S -=-”的条件引起分类讨论

例2数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2

1122n n S +⎛⎫

=-- ⎪

⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式．

解析：当1n =时，3

11115

228a S ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭．

当2n ≥时，113122n n n n a S S +-⎛⎫

=-=⨯- ⎪

⎝⎭，并且，当1n =时，2

3135

2288

⎛⎫⨯-=≠ ⎪⎝⎭．

1

5

(1)831(2).

22n n n a n +⎧=⎪⎪

∴=⎨⎛⎫⎪⨯- ⎪⎪⎝⎭

⎩ ，≥ 点评：本题利用公式“1n n n a S S -=-”处理，但忽视了条件“2n ≥”。一般地有

⎩⎨

⎧=≥-=-)

1()2(1

1n S n S S a n n n ，此公式体现了n a 与n S 之间的关系，是数列问题的一条主线,要

切实把握其中的分类讨论.公式1n n n a S S -=-中隐含着限制条件2n n *

∈N ，≥，所以当1a 符合(2)n a n n *∈N ，≥的表达式时可合并为一个式子；当1a 不符合(2)n a n n *∈N ，≥的表达式时，就要分段来表示. 3、等差数列的公差引起分类讨论

例3设等差数列12,,

,,

n a a a 中的每一项都不为0. 证明：对任何*

∈N n ，都有

1223111

111n n n n

a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=

. 解析：设数列{}n a 的公差为d .

若0d =,则,321n a a a a =⋅⋅⋅===所以左边===+⋅⋅⋅+++2

1212121211111a n

a a a a 右边, 等式成立.

若0d ≠,则

12231111

n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+

=3212112

2311(...)n n n n a a a a a a d a a a a a a ++---+++ =

122311111111[()()...()]n n d a a a a a a +-+-++-=11111()n d a a +-=11111n n a a d a a ++-⋅=11

n n

a a +. 综上, 对任何*

∈N n ，都有

1223111

111n n n n

a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=

.

点评：本题是利用裂项相消求和法. 在运用裂项公式

11

n n a a +11

1n n n n a a d a a ++-=⋅时,未知量公

差d 在分母中,此时需要0d ≠,因此要分0d =和0d ≠两类讨论. 4、数列的奇偶项引起分类讨论

例4已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足32=--n n S S ,2

3,1),3()21

(211-==≥--S S n n 且求数列{}n a 的通项公式.

解析：先考虑偶数项有：21

212221

13()

3()2

2

n n n n S S ----=⋅-=-⋅ 23

2322241

13()3()2

2n n n n S S -----=⋅-=-⋅………3342112()3().22

S S -=⋅-=-⋅

212332123322211111111

3[()()()]3[()()()]

2222222111()

1111

22434[()]2()(1).

1224214

n n n n n n n n S S n -----∴=-++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅++-=-⋅=--⋅=-+≥- 同理考虑奇数项有：222121113()3().22

n n

n n S S +--=-=⋅

22222123113()3()22n n n n S S -----=⋅-=⋅……….)21

(3)21(32213⋅=-⋅=-S S

22222211221221212212(1)212221111111

3[()()()]2()(1).

2222

111

2()(2())43()(1).222111

2()(2())43()(1).

222

1.

n n n n n n n n n n n n n n n n S S n a S S n a S S n a S -+-++----∴=+++⋅⋅⋅+=-≥∴=-=---+=-⋅≥=-=-+--=-+⋅≥==

综上可得，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.

,)21(34,,)2

1(3411为偶数为奇数n n a n n n

点评：本题在应用递推公式时要注意左边2,-n n S S 的脚码，如果对项数不分奇偶数讨论，叠加会很麻烦，甚至无法求和,所以分奇、偶数讨论是必须的.本例在求数列通项公式时，因为递推公式中1

1()

2

n --的符号影响导致对项数的分类.

5、问题中的参数引起分类讨论.

例5设b R ∈,数列{}n a 的前n 项和b S n

n +=3，试判断{}n a 是否是等比数列？并说明