2018年高考数学专题复习课件：专题八 二项式定理与数学归纳法(理科) 第1课时 计数原理与二项式定理
人教版高考数学理科一轮总复习配套课件10.3二项式定理
������ 2
最大;
相等且最大.
n
0 ,其中C������ +
2 1 3 C������ +…= C������ + C������ +… =2n-1,即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二
项式系数的和,都等于 2n-1.
-5-
想一想二项展开式中的二项式系数与各项系数有何区别和联系?
������ 答案:二项展开式中各项的二项式系数是C������ (r=0,1,2,…,n),它只与
考点一
考点二
考点三
误区警示
-13-
举一反三 1(2013 陕西高考)设函数 f(x)=
时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( A.-20 C.-15 B.20 D.15
1 6 ������ 1 6 ������ .Tr+1=C6 ( ������
1 6 ������,x ������
< 0, 则当 x>0 - ������ ,x ≥ 0,
10.3 二项式定理
-2-
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
-3-
1.二项式定理
0 1 2 ������ ������ (a+b)n= C������ a +C������ a b +C������ a b +…+C������ a b +…+C������ b (n∈N ) ,
������ 即C������ = C������ ������ -������
.
������-1 2 ������+1 2
(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数 C������ 当 n 是奇数时,中间两项的二项式系数 C������ 、 C������
2018届高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件排列与组合、二项式定理
10b－a ab
a x＋ n 3．(2018 届高三· 西安八校联考)已知关于 x 的二项式 3 x 的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则实数 a
a a 5 x ＋ x ＋ n 解析：依题意得 2n＝32，n＝5，二项式 ＝ 3 3 x x
位自然数中“凹数”共有 100＋36＋9＋1＝146 个． 答案：D
解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导 人站前排并与中国领导人相邻，有 A2 2种站法；其他 18 国 领导人可以任意站，因此有 A18 18种站法．根据分步计数原
18 理，共有 A2 A 2 18种站法．
答案：D
4．(2017· 浙江高考)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副 队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至 少有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：法一：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，
4 故有 C4 8－C6＝55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、
副队长各 1 人，有 A2 4＝12 种不同的选法．根据分步乘法计数原 理知共有 55×12＝660 种不同的选法．
2 法二：不考虑限制条件，共有 A2 8C6种不同的选法， 2 而没有女生的选法有 A2 6C4种， 2 2 2 故至少有 1 名女生的选法有 A2 8C6－A6C4＝840－180＝660(种)．
不同的住宿安排共有 90－18＝72 种．
答案：72
[准解·快解·悟通]
快 1.看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则． 审 2.看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法． 题 3.看到“至少”“最多”的问题，想到用直接法或间接法． 1.明确排列、组合问题求解的 4 个角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分 步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”， 准 哪些是“位置”； 解 (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有 题 无限制等； (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互 相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都 是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
2018高考总复习数学(理科)课件：第九章 第2讲 二项式定理
答案：－20
基础诊断
考点突破
课堂总结
【规律方法】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，
属于容易题，解答此题关键在于熟记二项式展开式的通项即展
r 8－r ＝C8 x
Tr＋1
1 r 1r 8－2r r ＝C8 x ， 令 2x 2
8－2r＝2⇒r＝3， 故所求 x2 的系数
为
313 C8 ＝7.
2
4.(2013 年大纲)(x＋2)8的展开式中 x6 的系数是( C ) A.28 B.56 C.112 D.224
－
、
式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2n 1.
－
基础诊断
考点突破
课堂总结
1.(2011 年大纲)(1－x)10的二项式展开式中，x 的系数与 x9 0 的系数之差为_____.
r r 解析：由 Tr＋1＝C10 (－x)r＝(－1)rCr x 10 得 x 的系数为－10， 9 x9 的系数为－C9 ＝－ 10 ，所以 x 的系数与 x 的系数之差为 0. 10 1n 2.(2012 年大纲)若x＋x 的展开式中第 3 项与第 7 项的二 1 56 项式系数相等，则该展开式中x2的系数为_____. 6 解析： 根据已知条件可知 C 2 ＝ C n n ⇔ n ＝ 2 ＋ 6 ＝ 8 ，所以
8－k k k k 8－k 解析：展开式的通项为 Tk＋1＝Ck x · 2 ＝ 2 C8x ，当 k＝2 8 8－2 时，T2＋1＝22C2 ＝112x6. 8x
基础诊断 考点突破 课堂总结
高考数学一轮复习第十一章第三节二项式定理课件理(1).ppt
的展开式中的有理项共有________项．
, ∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项． 答案：3
5．已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式 系数相等，则 n＝________.
答案：10
6．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋ a4 的值为________．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项 得出参数项，再由通项公式写出第 k＋1 项，由特定项 得出 k 值，最后求出其参数．
在高考中常涉及一些多项式的二项式问 题，主要考查学生的转化归纳能力，主要有以 下几个命题角度：
角度一：几个多项式和的展开式中的特定 项(系数)问题
[典题 2] x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的 常数项为( )
赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈ R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值 法，只需令 x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展 开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x) 展开式中各项系数之和为 f(1)，
3．(x y－y x)4 的展开式中，x3y3 项的系数为________．
解析：二项展开式的通项是 Tr＋1＝Cr4(x y)4－r·(－y x)r
＝
，令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故
展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
答案：6
4.
x－ 1 4
2
8 x
(5)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或 中间两项．( )
(6)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部 分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )
2018届高三理科数学普通班一轮复习课件：第十一篇 第3节 二项式定理 精品
an-rbr
在二项式(a+b)n
的展开式中的位置如何?二项式系数与二项展开式
中项的系数有何区别?
提示:第
r+1
项,二项式系数是指
C
0 n
,
C1n
,…,
C
n n
(组合数),展开式中项的系数
是指定字母的前提下,字母的系数.
3.二项展开式中各项系数和是如何求得的?
提示:在二项式及其展开式中对字母赋予特殊值,然后通过适当运算求得.
.
解析:9192=(90+1)92=
C902
9092+
C192
9091+…+
C90 92
902+
C91 92
90+
C 92 92
=k×100+92×90+1=k×100+82×100+81(k 为正整数),
所以 9192 除以 100 的余数是 81.
答案: 81
备选例题
【例 1】 在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中,含 x3 的项的系数是 () (A)74 (B)121 (C)-74 (D)-121
知识梳理
1.二项式定理
(1)二项式定理
(a+b)n=
C
0 n
an+
C1n
an-1b+…+
C
k n
an-kbk+…+
C
n n
bn(n∈N*),这个公式叫做
二项式定理 .
(2)二项式系数、二项式的通项 在上式中它的右边的多项式叫做(a+b)n 的 二项展开式 ,其中各项的系数
福建专用2018年高考数学总复习第十一章计数原理11.3二项式定理课件理新人教A版
-5知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. ������ n-r r (1)(a+b)n 的展开式中的第 r 项是C������ a b.( ) (2)在二项展开式中,系数最大的项为中间的一项或中间的两项.(
)
(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关.( ) (4)通项Tr+1=Cnran-rbr中的a和b不能互换.( ) (5)在(a+b)n的展开式中,某项的系数与该项的二项式系数相同.( )
关闭
1 2������ 3
������
=
������ 2n-5k C ,∴令 ������ x ������ 2
1
2n-5k=0,得 n=2k,∴n 的最
5
小值是 5.
关闭
C
解析 答案
-8知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
4.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54, 则n= .
关闭
.(用数字作答)
如何求二项展开式的项或特定项的系数 ?若已知特定项的系 由 思考 10-5r= 0,得 r=2, 2 数如何求二项式中的参数 ? ∴ T3=(-2)2C5 =40.
(2)∵展开式的通项为
1 ������ ������ 2 8-r ������ 16-3r Tr+1=C8 (x ) ·- ������ =(-1)rC8 x ,令
n+1
* 增减 二项式 当 k< 2 (n∈N )时,二项式系数是递增的 ������ -1 k 性 系数������n 当 k> (n∈N*)时,二项式系数是递减的
2018届高考理科数学第一轮考点总复习课件15二项式定理 精品推荐
• 解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷， • 又设该地区现有人口为P人， • 粮食单产为M吨/公顷. • 依题意得
3 8 3 8 8 8
8
8
8
• • • • • • • • •
(2)0.9986=(1-0.002)6=
. 2 因为T3= C62 (-0.002)=15 ×0.000004＜0.001， 且以后各项的绝对值都小于0.001， 这些项可忽略不计. 所以0.9986≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988. 点评：指数的近似值计算可转化为二项式定 理的展开式，由近似值的要求，转化为求展 开式的前两项或前三项的值即可.
题型6
利用二项式定理求近似值
• 3. 求下列各数的近似值，使误差小于0.001. • (1)1.028；(2)0.9986. • 解：(1)1.028=(1+0.02)8= C0 C1 0.02 C 2 0.022
C 0.02 C 0.02 1 0.16 0.0112 • . 8 3 3 C8 002 C8 0.028 • 因为精确度为0.001,比它小的数可以忽略， • 所以1.028≈1+0.16+0.0112=1.1712≈1.171.
• • • • • • •
1 若 Cn x Cn2 x2 Cnn xn 能被7 整除，则x,n的值可能为( C ) A. x=4,n=3 B. x=4,n=4 C. x=5,n=4 D. x=6,n=5 解: , 1 2 2 n n n Cn x Cn x L Cn x (1 x) -1 当x=5,n=4时，(1+x)n-1=64-1=35×37 能被7整除，故选C.
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
2018届高三理科数学复习讲义 排列组合二项式定理
2018届高三理科数学复习讲义 排列组合二项式定理高考定位一．考场传真1. 【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35 【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 2．【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C3．【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法。
故选D 。
4．【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．5．【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案】16，46．【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】 1080【解析】413454541080A C C A +=7．【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .【答案】()13nx +2x 54n =4【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求排列、组合、二项式定理（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理：①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.命题规律：(1)排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易. ()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅2r =22C 354n ⋅=4n =(2)排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量最多是一道，分值为5分，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．高考中对本讲注重基础知识和基本解题方法、规律的考查,以及运算能力的考查,基本都为中等难度试题.最近几个年份考查多少不一.(3)与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想. 考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．3．学法导航1. 切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．2. 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．3．解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 4. 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．5．运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r r n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r n C ，而后者是字母外的部分，对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法. 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +. 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏. 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.主干整合归纳拓展一．基础知识整合基础知识：1.应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．2.排列、组合数公式及相关性质（1）排列数公式：()()()121+---=m n n n n A m n ()!m n n -=！(,,*)≤∈m n m n N ；*)(12)1(!N n n n n A n n ∈⨯⨯⨯-⨯== . （2）组合数公式()(1)(1)!(,,*)(1)21!!⋅-⋅⋅-+===≤∈⋅-⋅⋅⋅- m mn nm m A n n n m n C m n m n N A m m m n m . （3）排列数与组合数的性质排列:11-++=m n m n m n mA A A ；组合:11-++=m nm n m n C C C (,,*)≤∈m n m n N , =k n kC 11k n nC --. 3. 二项式定理()()011*n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数r n C (0,1,2,3,,r n = )叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=.4．二项展开式形式上的特点(1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .5. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n nC C =，11n n n C C -=， ，m n m n n C C -=. (2)增减性与最大值：二项式系数r n C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2nn C 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n n C+ 和12n nC -相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()n a b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r n n n n n n C C C C +++++= ，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=二．高频考点突破考点1 分类计数原理与分步计数原理【例1】将3本相同的诗集，2本相同的小说全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）A ．24种B ．28种C ．32种D ．36种【分析】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.【规律方法】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．【举一反三】【2018江西南昌摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种【答案】A考点2 排列、组合及性质【例2】化简:+2+3+…+n = ．分析：通过组合数性质=将原式转化成相同的系数，然后利用性质可化简原式得到.解析：=，原式=+n +n +n +…+n =++++…+)=． 【规律方法】通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组.【举一反三】设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，． （1）证明：当，时，；（2）记，求的值．1n C 2n C 3n C n n C k n kC 11k n nC --n n n n n n C C C C 2210=++++ 12- n n k n kC 11k n nC --∴01n nC -11n C -21n C -31n C -11n n C --01(n n C -11n C -21n C -31n C -11n n C --12-n n 01212(1)m m n n n n n m S C C C C ---=-+-+- *,m n ∈N m n <n 2n m =n 12n m -=*n ∈N 2n ≥11n n n S S S +-=-01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+- S考点3 排列、组合的应用【例3】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 【答案】B【解析】先排星期五,从人中选人有,种,再从剩下的人中选人参加星期六、星期日,有种,故共有种,选B.【规律方法】1.解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；5225C 3223A 225310660C A =⨯=(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．2.解决排列组合问题的13个策略.(1)特殊元素、特殊位置优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻(相间)问题插空法；(4)多排问题单排法； (5)多元问题分类法；(6)有序分配问题分步法；(7)交叉问题集合法；(8)至少或至多问题间接法；(9)选排问题先选后排法；(10)局部与整体问题排除法；(11)复杂问题转化法；（12）定序问题倍缩法；(13)相同元素分组可采用隔板法.3.对解组合问题，应注意以下四点：(1)对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；(2)是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；(3)设计“分组方案”是解组合题的关键所在；(4)分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.【举一反三】【2018黑龙江齐齐哈尔一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（）A. 300B. 338C. 600D. 768【答案】D考点4 二项式定理及应用【例4】已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ） A. B. C. D.【分析】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 【答案】C【规律方法】 1.二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 212-1e a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰212e +232e -232e +252e -1+r r 1+rr 1r n r rr n T C a b -+=()na b +()nb a +r n C n r a b①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.2. 排列组合在二项展开式中的应用：展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从个相同的中各取一个(或)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是，其中.(2)项数的确定：满足条件的共组． 即将展开共项，合并同类项后共项．r 1r T +n r 1r T +0x =()na b +n a b +a b p q ma b ,,p q N p q n ∈+=,,p q N p q n ∈+=(),p q 1n +()na b +2n1n +(3)系数的确定：展开式中含()项的系数为 (即个，个的排列数)因此展开式中的通项是： ()这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．3. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．4. 求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k 来，即得．5. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可． (2)求余数问题时，应明确被除式与除式 ()，商式与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．【举一反三】【2018陕西两校联考】()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A. 56B. 84C. 112D. 168 【答案】Dp q a b p q n +=p n C p a q b ()na b +1r n r rr n T C a b -+=0,1,2,3,,r n = ()()011*nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ()nax b +,a b R ∈1231,,,,n A A A A + k 11k k k k A A A A -+≥⎧⎨≥⎩()f x ()g x ()0g x ≠()q x考点5 赋值法在二项式定理中的应用【例5】若，则的值为（ ）A ．B ．C ．253D ．126【分析】赋值法研究二项式的系数和问题：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b)n 、(ax 2＋bx ＋c)m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by)n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 【答案】C【解析】令，得，，∴.选C ． 【规律方法】二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法，一般对任意，某式子恒成立，则对中的特殊值，该式子一定成立，特殊值如何选取视具体情况决定，灵活性较强，一般取居多.若则设.有：① ②③ ④⑤()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…0127a a a a ++++…2-3-1x =01283a a a a ++++=…()7822256a =⨯-=-0783253a a a ++=--=…A x ∈A x 1,1,0-=x 2012()...,n n n ax b a a x a x a x +=++++()()=+n f x ax b 0(0);a f =012...(1);n a a a a f ++++=0123...(1)(1);n n a a a a a f -+-++-=-0246(1)(1)...;2f f a a a a +-++++=1357(1)(1) (2)f f a a a a --++++=【举一反三】【2018东北名校联考】若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（ ）A. 0B. 1C. 32D. 1- 【答案】A考点6 二项式定理与其他知识交汇【例6】若，则展开式中常数项为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】因为，所以，，常数项为，故选B.【规律方法】二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向．如二项式定理与函数、数列、复数，不等式，三角等其他知识点综合成题时，对其他模块的知识点要能熟练运用.sin()2cos παα-=6tan ()x xα+5216052-160-sin()2cos παα-=sin 2cos ,tan 2x x x ==66tan 2()x x x x α⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭333336622160C x C x ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭【举一反三】若变量满足约束条件，，则取最大值时，二项展开式中的常数项为 .【答案】【解析】画出不等式组表示平面区域如图,由图象可知当动直线经过点时,取最大值.当时,故由二项式展开式的通项公式,由题设可得,所以展开式中的常数项是,故应填答案.原创预测 考题探究1. 2017年3月全国两会在北京召开，现从A 组4人和B 组5人中任取3人参加一项议程讨论，在取出的3人中至少有A 组和B 组各一人的不同取法有（A ）35种 （B ）70种 C. 80种 D. 140种y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+020202x y x y x 22-+=y x n n nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1224022++-=n x y )4,2(A 22-+=y x n 66=n r rr r r r r r xC xx C T ----+==26666612)1()2(026=--r r2=r 2402264=C 240【答案】B押题依据 本题主要考查分类计数原理、排列组合知识在实际中的应用，考查学生分类讨论的思想和逻辑运算变换的能力.本题是一个常规题,但考查的知识基础,有一定的综合性,符合小题综合化的高考要求.2. 设有序集合对满足：，.记，分别表示集合，中元素的个数，则符合条件，的集合的对数是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由条件，，知，.当，时，显然不成立；当，时，则，，所以，，符合条件的集合对有1对；当，时，则，，所以中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；当，时，则，，所以中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当，时，则，，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对，选D.押题依据 本题主要考查两个计数原理、排列组合的灵活应用，意在考查考生的分类讨论的数学思想方法，综合分析问题的能力.本题与集合结合出题,构思比较新.(,)A B {1,2,3,4,5,6,7,8}A B = A B =∅ ||A ||B A B ||A A ∉||B B ∉11224244||A A ∉||B B ∉||A B ∈||B A ∈||0A =||8B =||1A =||7B =7A ∈1B ∈{7}A ={1,2,3,4,5,6,8}B =||2A =||6B =6A ∈2B ∈A 16C 6=||3A =||5B =5A ∈3B ∈A 26C 15=||4A =||4B =4A ∈4B ∈2(01615)044++++=3. 某同学要用红、黄两种颜色给如下图中并排的七个矩形图形涂色，要求每一块矩形只涂一种颜色，要求任意两相邻的两块矩形至多有1块涂红色，且任意相邻三块矩形至少有一块矩形涂红色，则涂色方案有___________种．【答案】12押题依据 本题主要考查计数原理的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.涂色问题是高考常考题型，故选此题.4.若已知（）展开式中二项式系数的和为256，则该展开式中含项的系数为 ． 【答案】112【解析】由题知=256，所以=8，所以==，所以=-1，解得=6，所以展开式中含项的系数为=112． 押题依据 本题考查二项式定理，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个传统题型，也是高考常考题型，故押此题.(2n x n ∈*N x 12nn 1r T +828C (2)(1)r r r r x x ---38828(1)2C rr r r x ---382r-r x168668(1)2C --5. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】若，其中，则的值为 .【答案】押题依据 本题考查二项式定理，定积分求值，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，二项式定理，定积分结合出题，在高考中曾经出现过，故押此题.()()62701271x a x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+()π0sin cos da x x x =-⎰0126a a a a +++⋯+1。
高考理科数学《二项式定理》课件
1．二项式定理
(a＋b)n＝_______________________(n∈N*)，这个公式所表示
的规律叫做二项式定理．(a＋b)n 的二项展开式共有____________
项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二 项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1
A．1 024 B．243 C．32 D．24
解：令 x＝－1 得 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|
＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024．故选
A．
(3)设 22＋x2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0
＋ a2 ＋ a4 ＋ … ＋ a2n)2 － (a1 ＋ a3 ＋ a5 ＋ … ＋ a2n － 1)2 ＝
所以 2n＝32(负值舍去)，解得 n＝5．
(1)由二项式系数的性质知，2x＋1x10的展开式中第 6 项的二
项式系数最大，即 C510＝252．
所以 T6＝C510(2x)5 x15＝C51025＝8 064．
(2)设第 r＋1 项的系数最大， 因为 Tr＋1＝Cr10(2x)10－r x1r＝Cr10210－rx10－2r，
为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1）．
(1)(
2018·岳阳模拟
)
若
二
项
式
(3x2
－
1 x
)n
的展开式中各项系数的和是 512，则展开式中的常数项 为( )
A．－27C39 B．27C93 C．－9C49 D．9C49
解：令 x＝1 得 2n＝512，所以 n＝9，故(3x2－1x)9
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：10.3 二项式定理(专题拔高配套PPT课件)
1 ������ 2
������ 15 - 2 C5 ������
7 ������
,令
关闭
解析
答案
第十章
知识梳理 双击自测
10.3 二项式定理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-9-
5. ������ -
2
2 5 ������ 3
展开式中的常数项为
.
关闭
2 5-k Tk+1=C������ 5 (x )
第十章
知识梳理 双击自测
10.3 二项式定理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-4-
3.二项式系数的性质
������ (1)0≤k≤n 时,C������ ������ 与C������ 的关系是C������ = C������ (2)二项式系数先增后减,中间项最大 ������ -������ ������ -������
.
������+1 2
当 n 为偶数时,第 +1 项的二项式系数最大;当 n 为奇数时,第 项和
0 1 2 ������ (3)各二项式系数和:C������ + C������ + C������ +…+C������ =2n 4 1 3 5 C������ +…=C������ + C������ + C������ +…=2n-1 .
-
2 ������ 3
������
k 10-5k = C������ . 5 (-2) x
关闭
令 10-5k=0,则 k=2. 2 2 所以常数项为 T 3=C5 (-2) =40. 40
解析
答案
2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (14)二项式定理及数学归纳法
2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (14) 二项式定理及数学归纳法【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1) 二项式定理的简单应用，B级要求；(2)数学归纳法的简单应用，B级要求【重点、难点剖析】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中C r n(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫做展开式的通项，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r；(2)(a＋b)n展开式中二项式系数C r n(r＝1,2,3，…，n)的性质：①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C r n＝C n－r n；②C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.2．二项式定理的应用(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”．(2)二项式展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，而不是第r项．3．数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可． 4．数学归纳法的应用(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论．(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法． (3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n ＝k 成立，推导n ＝k ＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用．(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n ＝k ＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式.(5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式． 【题型示例】题型一 二项式定理的应用【例1】【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【变式探究】【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答） 【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。
2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点8-二项式定理(Word版,含解析)
显然，上式中只有第四项中含
x 的项，所以展开式中含
x 的项的系数是
C
3 4
3
43
768.
法 2： ( x2 3x 4) 4 [( x 1)(x 4)] 4 (x 1)4 ( x 4) 4
上式展开式的通项为
T C4r ( x)r C4k x4 k 4k ( 1)r 4k C4r C4k x4 k r , k 0 , 1 , 2 , 3, 4; r 0 , 1 , 2 , 3, 4.
热门题型
题型 1 求展开式中的特定项 题型 2 用系数配对法解决多项式乘法问题 题型 3 三项式问题
题型 1 求展开式中的特定项
例 1 求二项式 (x 2
1 )10 的展开式中的常数项 .
2x
【解题技巧】二项式展开式的通项是展
开式中的第 r 1 项 Cnr an r br ，先求出第 r 1 项的通项
A． 80 C． 40
B． 40 D． 80
1
6
1
变式 2.（2017 全国 1 卷理科 6）
x2
1x
展开式中 x2 的系数为（
）.
A.15
B. 20
C.30
D. 35
解析
1+ 1 x2
6
6
1 x 11 x
1 x2
1
x 6 ，对 1
x 6 二 项 式 展 开 中 x2 项 的 系 数 为
C26
65 2
2 r 4 ，则展开式中的 x 2 项的系数为
1
4
C
4 6
15 ，
6
故所求 x2 2 x 1 的展开式中常数项为 2 x
20 15 25 ，应填 25 。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第10章 第3节 二项式定理
抓 基 础 · 自 主 学 习
第三节
二项式定理
明 考 向 · 题 型 突 破
[考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
课 时 分 层 训 练
高三一轮总复习
1．二项式定理 (1)二项式定理：
n 1 n－1 r n－r r n n (a＋b)n＝C0 a ＋ C a b ＋„＋ C a b ＋„＋ C n n n nb
(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋„＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋„＋a1 的值为 128.(
高三一轮总复习
[解析] (1)错误．应为第 k＋1 项． (2)错误．当 n 为偶数时，为中间一项；n 为奇数时，为中间的两项． (3)正确．二项式系数只与 n 和项数有关． (4)错误．令 x＝1，可得 a7＋a6＋„＋a1＋a0＝27＝128.
6(n＝－5 舍去)．]
高三一轮总复习
x 1 － n 3．在2 3 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数 x 项是( ) B.7 D.28
A．－7 C.－28
高三一轮总复习
x 1 n － 8 k x 8－ [由题意知2＋1＝5，解得 n＝8，2 3 的展开式的通项 Tk＋1＝C82 x
高三一轮总复习
二项式定理的应用
2i (1)(2017· 豫东名校模拟)设复数 x＝ (i 是虚数单位)，则 C1 2 017x＋ 1－i
2 3 3 2 017 2 017 C2 x ＋ C x ＋„＋ C ＝( 2 017 2 017 2 017x
) B.－i D.－1－i )
A．i C.－1＋i
依题意得 10＋5a＝5，解得 a＝－1.]
2018高三数学(理)一轮复习课件：第9章 第3节 二项式定理
解析：因为(1＋x)6 的展开式的第(r＋1)项为 Tr＋1＝Cr6xr，x(1＋x)6 的展开式中含
3 3 x3 的项为 C2 x ＝ 15 x ，所以系数为 15. 6
4． (2017· 山西四校联考)如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6， 那么 a1＋a2＋…
0 ＋a6 的值等于________ ．
(A ) A．63 C．31 B．64 D．32
1 2 2 3 3 n n n n 解析： 逆用二项式定理得 C0 n＋2Cn＋2 Cn＋2 Cn＋…＋2 Cn＝(1＋2) ＝3 ＝729， 2 3 n 6 0 即 3n＝36，所以 n＝6，所以 C1 ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C ＝ 2 － C n n n n n＝64－1＝63.故选
系数最大，最大值为 C ； 最大值 当 n 是奇数时，中间两项
n－1 n＋1 第 的二项式系数 ＋ 1 项和第 ＋ 1 项 2 2
相等，且同时取得最大值，最大值为
4.各二项式系数的和 (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即
1 2 k n n C0 ＋ C ＋ C ＋…＋ C ＋…＋ C n n n n n ＝2 .
15 2 5－2 －2r＝1 得 r＝2.因此 2x－x 的展开式中 x 项的系数是 C2 · ( － 1) · 2 ＝80. 5
考点一
二项展开式中特定项或系数问题
1．(1)(2016· 高考四川卷)设 i 为虚数单位，则 (x＋i) 的展开式中含 x 的项为( A )
[即时应用 考点一]
2 x－ n 1．(1)若二项式 3 的展开式中仅 x
即时应用
2018高三数学(理)高考总复习课件：第九章 第三节 二项式定理
答案：1
2．(1－2x)7 展开式中 x3 的系数为________．
7－ r r r r r 解析：Tr＋1＝Cr 1 ( － 2 x ) ＝ C ( － 2) x， 7 7
令 r＝3.
3 则 x3 的系数为 C3 ( － 2) ＝35×(－8)＝－280. 7
答案：－280
1 x－ 8 3 ． ( 教材习题改编 ) 4 的展开式中的有理项共有 2 x ________项．
答案：C
3 1 5 4 ． (2015· 重 庆 高 考 ) x ＋ 2 x
的 展 开 式 中 x8 的 系 数 是
________(用数字作答)．
r 1 1 r 3 5－r r 15 － 3r r 解 析 ： ∵ Tr ＋ 1 ＝ C r · ( x ) · ＝ C x ·2 · x 2 5 5· 2 x
[小题纠偏] 1．(2016· 湖南长沙一模)二项式(x－2)5 展开式中 x 的系数为 ( A．5 C．80 B．16 D．－80 )
解析：由二项式定理知，其展开式中含 x 的项为 T5＝C4 5
4 x(－2)4，故其系数为 C4 ( － 2) ＝80.选 C. 5
答案：C
2． 若(1＋3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数 相等，则 n＝________.
1 5 5 的展开式中 x 的系数是－80， x
5 1 0 － r 1 － r r 5 r 2 ＝C5· a x . x
则实数 a＝________.
解析：Tr＋1＝Cr (ax2) 5·
5－r
5 令 10－ r＝5，解得 r＝2. 2 又展开式中 x5 的系数为－80，
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-3推理、计数原理、二项式定理 精品
1．综合分析数学归纳，正难则反遍地开花． 2．归纳推理的一般步骤． (1)通过观察个别情况发现相同的性质； (2)推出一个明确表述的一般性结论．
3．类比推理的一般步骤． (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．
ccoossα αccoossβ β＋ －ssiinnα αssiinnβ β＝ ＝2143， ，得csionsααscionsββ＝＝2521414. ，
所以 tanαtanβ＝csoinsα αscionsββ＝151，考虑到ttaannα β的值是由 scionsααcsoinsβ β确定的，可以设想条件应该是关于 sinαcosβ，cosα sinβ的二元方程，类比原问题条件形式，自然联想到两角和与差 的正弦公式，因此，这组条件可以是“sin(α－β)＝23，sin(α＋β) ＝14”．
可
以
推
测
，
1
＋
5
＋
15
＋
…
＋
1 24
n(n
＋
1)(n
＋
2)(n
＋
3)
＝
________．
【解析】 根据式子中的规律可知，等式右侧为 5×4×13×2×1n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝1210n(n＋1)(n＋2)(n＋ 3)(n＋4)．
【答案】 1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
(2)(2015·山东)观察下列各式： C10＝40； C30＋C31＝41； C50＋C51＋C52＝42； C70＋C71＋C72＋C73＝43； …… 照此规律，当 n∈N*时， C2n－10＋C2n－11＋C2n－12＋…＋C2n－1n－1＝________．
(江苏专版)2018年高考数学二轮复习 专题八 二项式定理与数学归纳法 第1课时 计数原理与二项式定理(能力
[变式训练] (2017·南京、盐城一模)设 n∈N*，n≥3，k∈N*. (1)求值：①kCnk－nCkn－－11； ②k2Ckn－n(n－1)Ckn－－22－nCkn－－11(k≥2)； (2)化简：12Cn0＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2Ckn＋…＋(n＋1)2Cnn. 解：(1)①kCkn－nCkn－－11 ＝k×k！nn！－k！－n×k－1n！－1n！－k！ ＝k－1！n！n－k！－k－1！n！n－k！＝0.
二项式定理的应用
[例 2] (2017·苏北四市期末)已知等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n.
(1)求(1＋x)2n－1 的展开式中含 xn 的项的系数，并化简：Cn0－1Cnn ＋
Cn1－1Cnn－1＋…＋Cnn－ －11Cn1；
(2)证明：(C1n)2＋2(C2n)2＋…＋n(Cnn)2＝nCn2n－1.
②
k2C
k n
－
n(n
－
1)C
k－2 n－2
－
nC
k－1 n－1
＝
k2×
n！ k！n－k！
－
n(n
－
1)×k－2n！－2n！－k！－n×k－1n！－1n！－k！＝k×k－1！n！n－k！
－
n！ k－2！n－k！
－
n！ k－1！n－k！
＝
n！ k－2！n－k！
[解] (1)①当 n＝1 时，集合{1,2,3}中的一元好集有{3}，共 1 个； 二元好集有{1,2}，共 1 个；三元好集有{1,2,3}，共 1 个，所以 f(1) ＝1＋1＋1＝3.
②当 n＝2 时，集合{1,2,3,4,5,6}中一元好集有{3}，{6}，共 2 个； 二元好集有{1,2}，{1,5}，{2,4}，{3,6}，{4,5}，共 5 个； 三元好集有{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}， {4,3,5}，{4,5,6}，共 8 个； 四元好集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}， 共 5 个； 五元好集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共 2 个，还有一个全集． 故 f(2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23.
2018高考数学理人教B版一轮课件：11-3二项式定理 精品
即 Ar=2,则展开式中含 x
4
2 42 的项为C6 x i =-15x4,故选
A.
解析
关闭
答案
-7知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇 数项的二项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29
关闭
3 7 由条件知C������ = C������ ,则 n=10.
������
3 16-3r=7,得 r=3,故展开式中 x7 的系数为(-1)3C8 =-56.故答案为-56. (1)1 215 (2)-56
������
取
-4知识梳理 双基自测
1
2
3
3.常用结论
0 1 2 ������ (1)C������ + C������ + C������ +…+C������ = 2n . 0 2 4 1 3 5 (2)C������ + C������ + C������ +…=C������ + C������ + C������ +…= 1 2 3 ������ (3)C������ +2C������ +3C������ +…+nC������ =n2n-1. ������ 0 1 0 ������ ������ (4)C������ C������ + C������ C������ +…+C������ C������ = C������ +������ . ������ 0 2 1 2 2 2 ������ 2 (5)(C������ ) +(C������ ) +(C������ ) +…+(C������ ) = C2 ������ . ������ -1
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[(2解)证]明：证(C明n1)2：＋当2(C2nk)2∈＋…N*＋时n，(Cnnk)C2＝kn n＝Cn2kn×－1.k！nn！ －k！ ＝ k－1！n！n－k！＝n×k－1n！－1n！ －k！＝nCkn－－11.
组合数的性质应用
[例 3] (2017·苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第 3 行开始，除 1 以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头 几行如图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为 3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知 n，r 为正整数，且 n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数 Crn，Crn＋1，Crn＋2，Crn＋3不能构成等差数列．
[解] (1)杨辉三角形的第 n 行由二项式系数 Cnk， k＝0,1,2，…，n 组成． 如果第 n 行中有CCkn－kn1＝n－kk＋1＝34， CCnk＋kn 1＝nk＋－1k＝45， 那么 3n－7k＝－3,4n－9k＝5， 解得 k＝27，n＝62. 即第 62 行有三个相邻的数 C2662，C2672，C2682的比为 3∶4∶5.
本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查.
江苏 新
2012，2013 年主要考查组合计数；2014 年考复合函数求导和 数学归纳法；2015 年考查计数原理为主，又涉及到数学归纳 法；2016 年考查组合数及其性质等基础知识，考查考生的运
高 算求解能力和推理论证能力；2017 年考查概率分布与期望及
k－k 1－1－k－1 1＝0.
(2)化简：12Cn0＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2Ckn＋…＋(n＋1)2Cnn.
解：法一：由(1)可知，当 k≥2 时，(k＋1)2Cnk＝(k2＋2k＋1)Ckn＝k2Cnk＋
2kC
k n
＋
C
k n
＝
[n(n
－
1)C
k－2 n－2
＋
fn＋1与 fn的关系，求解中用到归纳法和分类讨论思想.
[变式训练] (2017·苏北三市三模)已知集合 U＝{1,2，…，n}(n∈N*，n≥2)， 对于集合 U 的两个非空子集 A，B，若 A∩B＝∅，则称(A，B) 为集合 U 的一组“互斥子集”．记集合 U 的所有“互斥子集” 的组数为 f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)． (1)写出 f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)求 f(n)． 解：(1)f(2)＝1，f(3)＝6，f(4)＝25.
(2)已知 n，r 为正整数，且 n≥r＋3.求证：任何四个相邻的 组合数 Cnr ，Crn＋1，Crn＋2，Crn＋3不能构成等差数列．
④含有元素是 3n＋1,3n＋2,3n＋3 的“好集”是{1,2，3，…， 3n}中“好集”与它的并，再加上{3n＋1,3n＋2,3n＋3}．
所以 f(n＋1)＝2f(n)＋2×23n＋1. 两边同除以 2n＋1，
得fn2n＋＋11－f2nn＝4n＋2n1＋1. 所以f2nn＝4n－1＋4n－2＋…＋4＋21n＋2n1－1＋…＋212＋32＝4n－3 1 ＋1－21n(n≥2)． 又f211也符合上式， 所以 f(n)＝2n43n－1＋2n－1.
k＝1
k＝0
n－1
n
Cnk＝ Cnk－C0n－Cnn＝2n－2，
k＝1
k＝0
所以 f(n)＝12[(3n－2n－1)－(2n－2)]＝12(3n－2n＋1＋1).
法二：任意一个元素只能在集合 A，B，C＝∁U(A∪B)之一中， 则这 n 个元素在集合 A，B，C 中，共有 3n 种， 其中 A 为空集的种数为 2n，B 为空集的种数为 2n， 所以 A，B 均为非空子集的种数为 3n－2×2n＋1. 又(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”， 所以 f(n)＝12(3n－2n＋1＋1).
②
k2C
k n
－
n(n
－
1)C
k－2 n－2
－
nC
k－1 n－1
＝
k2×
n！ k！n－k！
－
n(n
－
1)×k－2n！－2n！－k！－n×k－1n！－1n！－k！＝k×k－1！n！n－k！
－
n！ k－2！n－k！
－
n！ k－1！n－k！
＝
n！ k－2！n－k！
(2)求 f(n)．
解：法一：设集合 A 中有 k 个元素，k＝1,2,3，…，n－1. 则与集合 A 互斥的非空子集有 2n－k－1 个．
于是 f(n)＝12nk＝－11Cnk(2n－k－1)＝12(nk＝－11Ckn2n－k－nk＝－11Ckn)．
n－1
n
因为 Cnk2n－k＝ Ckn2n－k－C0n2n－Cnn20＝(2＋1)n－2n－1＝3n－2n－1，
＋
C2n－1＋…
＋
Cn－1 n－1
)
＋
(C
2 n
＋
Cn3＋…＋Cnn)＝(1＋4n)＋n(n－1)2n－2＋3n(2n－1－1)＋(2n－1－n)＝
2n－2(n2＋5n＋4)．
法二：当 n≥3 时，由二项式定理，有(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋
Cnkxk＋…＋Cnnxn， 两边同乘以 x，得(1＋x)nx＝x＋C1nx2＋C2nx3＋…＋Cknxk＋1＋…＋Cnnxn＋1，
③含有元素是 3n＋1 与 3n＋2 的“好集”是{1,2，3，…， 3n}中各元素之和被 3 除余 0 的集合，
含有元素是 3n＋2 与 3n＋3 的“好集”是{1,2，3，…，3n} 中各元素之和被 3 除余 1 的集合，
含有元素是 3n＋1 与 3n＋3 的“好集”是{1,2，3，…，3n} 中各元素之和被 3 除余 2 的集合．合计是 23n；
nC
k－1 n－1
]
＋
2nC
k－1 n－1
＋
C
k n
＝
n(n
－
1)C
k－2 n－2
＋
3nCkn－－11＋Ckn.
故 12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2Cnk＋…＋(n＋1)2Cnn＝(12C0n＋22Cn1)＋
n(n－
1)(C0n－2＋
C1n－2
＋…＋
Cnn－ －22)
＋
3n(C1n－1
[解] (1)(1＋x)2n－1 的展开式中含 xn 的项的系数为 Cn2n－1，
由
(1
＋
x)n
－
1(1
＋
x)n
＝
(C
0 n－1
＋
C
1 n－1
x
＋
…
＋
C
n－1 n－1
xn
－
1)·(C
0 n
＋
C
1 n
x
＋…＋Cnnxn)， 可知(1＋x)n－1(1＋x)n 的展开式中含 xn 的项的系数为 Cn0－1Cnn ＋
＋…
＋
Cnn－－11C
1 n
＝
Cn2n－1
，即
k＝1
(Cnn－ －k1Ckn)＝Cn2n－1，所以(Cn1)2＋2(C2n)2＋…＋n(Cnn)2＝nCn2n－1.
[方法归纳]
二项式定理中的应用主要是构造一个生成相应二项式系数的 函数，通过研究函数关系证明恒等式、不等式和整除性问题.将二 项式定理a＋bn＝C\o\al(0,n)an＋C\o\al(1,n)an－1b＋…＋C\o\al(r,n)an －rbr＋…＋C\o\al(n,n)bn 中的 a，b 进行特殊化就会得到很多有用的 有关组合数的相关和的结果，这是研究有关组合数的和的问题的常 用方法.还可以利用求函数值的思想进行赋值求解.
[解] (1)①当 n＝1 时，集合{1,2,3}中的一元好集有{3}，共 1 个； 二元好集有{1,2}，共 1 个；三元好集有{1,2,3}，共 1 个，所以 f(1) ＝1＋1＋1＝3.
②当 n＝2 时，集合{1,2,3,4,5,6}中一元好集有{3}，{6}，共 2 个； 二元好集有{1,2}，{1,5}，{2,4}，{3,6}，{4,5}，共 5 个； 三元好集有{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}， {4,3,5}，{4,5,6}，共 8 个； 四元好集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}， 共 5 个； 五元好集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共 2 个，还有一个全集． 故 f(2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23.
[方法归纳]
1深化对两个计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分 步”的意识，并在操作中确保：①分类不重不漏；②分步要使各步 具有连续性和独立性. 解决计数应用题的基本思想是“化归”，即由 实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决 实际问题.2本题是有关数论问题，其难度较大，求解关键是得出
两边对 x 求导，得(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＝1＋2Cn1x＋3C2nx2＋…＋ (k＋1)Cnkxk＋…＋(n＋1)Cnnxn， 两边再同乘以 x，得(1＋x)nx＋n(1＋x)n－1x2＝x＋2C1nx2＋3C2nx3 ＋…＋(k＋1)Cnkxk＋1＋…＋(n＋1)Cnnxn＋1， 两边再对 x 求导，得 (1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＋n(n－1)(1＋x)n－2x2＋2n(1＋x)n－1x＝1＋ 22C1nx＋32Cn2x2＋…＋(k＋1)2Cknxk＋…＋(n＋1)2Cnnxn. 令 x＝1，得 2n＋n·2n－1＋n(n－1)2n－2＋2n2n－1＝1＋22C1n＋32C2n ＋…＋(k＋1)2Ckn＋…＋(n＋1)2Cnn， 即 12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2Cnk＋…＋(n＋1)2Cnn＝ 2n－2(n2＋5n＋4)．