5流体力学第五章量纲分析与相似原理5

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六、压力场
（二）运动流场中的压强分布
压强系数
Cp
p p0
1 2
v0 2
p0 为参考压强，v0 为参考速度。
1. 惯性力对压强分布的影响
2. 粘性力对压强分布的影响
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（二）运动流场中的压强分布
压强系数的正负是与参考压强（往 往是大气压）相比，绝对值的大 小是与来流的动能相比，从图中
3
d
（相对粗糙度）
④ П4 =ρa V bd c l (同上)
4
l d
（几何比数）
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4．列П数方程 即
1 f ( 2 , 3, 4 )
p f (Re, , l )
1 V 2
dd
2
或
p ( l )( v2 )
= F (ε /d, 1/Re)
g d 2g
这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的 压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。
1 s
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迁移惯性力 FI
(
m)v v s
l3V 2 / l V 2l 2
粘性力
Fv
dv
dn
A
Vl 2
l
Vl
重力
Fg ( m)g l3g
Re V
Fr2 V 2 lg
迁移惯性力
FI V 2l 2
压差力
Fp p A pl2
不定常惯性力
FIt
(
m)
v t
20
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三、流动相似与相似准则
几何相似
形状相似
流动相似 1 流动相似性
同类现象 相似现象 几何相似
时间相似
运动相似
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动力相似
尺度成比例 遵循同一方程 物理量成比例 尺度成比例 时间成比例 速度成比例
力成比例
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2 相似准则
1. 矩形相似
l l'
Cp
p p0
1 2
v0 2
可以看出，上部形成负压，而且
速度越快，实际的升力作用越大，
车容易“漂”。同时前端的正压
力与后端的负压力形成较大的压
差阻力。
• 汽车与飞机绕流： 复杂物面的压强分布
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粘性流体动力学的无量纲特征参数的意义
粘性流体运动的基本方程是一个复杂的二阶非线性偏微分方 程，除少数特殊情况外，一般很难求得这一方程的解析解。为 了实用，人们往往根据问题在几何方面、动力学方面以及传热 学方面的特征对方程进行简化，目的是略去方程中的次要项， 保留主要项，然后对简化了的方程进行求解。 为了保证判断方程中哪些项可以略去，哪些项必须保留， 有必要把原有的方程无量纲化，这时在方程中出现一系列无量 纲参数，对这些无量纲参数的数量级进行比较，就可以决定方 程中各项的取舍。
dim s ML2T 2 1 dim i dim e L2T1
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2. 量纲齐次性原理
同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时， 每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。
v2 z
p
常数
（沿流线）
2g g
dim
v2 2g
LT 1
2
LT 2
1 L
因此，每一个量的量纲，既可
以从单位中推导，也可以根
dim z L
据计算公式，从其他物理量 进行推导。
dim
p
g
ML-1T 2
ML3 1 LT 2 1 L
dim 常数 L
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3. 物理方程的无量纲化
忽略重力的伯努利方程
1 2
v2
p
Biblioteka Baidu1 2
v02
p0
（沿流线）
无量纲化伯努利方程 • 在无粘性圆柱绕流中
dim L ML2T 2
dim p dim dim K ML1T 2
dim ML1T 1
dim v L2T 1
dim T 1 dim xx dim T 1
dim T 2
4
惯性矩，惯性积 动量，动量矩 能量，功，热 功率 表面张力系数 比热 导热系数 （比）熵 （比）焓，内能
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[*例] 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较 不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。 解：
1．列举物理量。Q ,ρ，g ，h ， 共5个
Q (, g, h, )
2．选择基本量：ρ、g、h
3．列П表达式求解П数
① 1 a g bhcQ M0 L0 T0=(ML –3)a (LT–2 )bLc( L3 T–1 )
1
Vl
Re
2
V2 lg
Fr2
3
p
V2
Eu
4
l
V
St
雷诺数 佛鲁德数
欧拉数 斯特哈尔数
优点：适用未知物理方程的流动。
缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。
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2. 方程分析法
以N-S 方程 x 方向的投影式为例
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
fx
1
p x
(
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二、量纲分析与П定理
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的 物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用 无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物 理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分 析和实验研究。
量纲分析概念 一个方程中多项量纲必须齐次；
流体力学
第五章 量纲分析与相似原理
卢志民
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★本章重点掌握：
❖ 了解物理量的基本量纲和导出量纲，量纲性质. ❖ 理解相似原理的三个基本定理的内容和意义，理解力学相
似的概念； ❖ 掌握量纲分析方法（瑞利法、π定理）； ❖ 掌握用力学相似定义推导相似准则； ❖ 掌握用π定理简化函数关系，用π定理导出相似律 ❖ 相似理论及其应用（相似准则、模型实验设计）
l 2v
优点：导出的相似准则数物理意义明确；
p
Eu v2 Sr l v
适用于未知物理方程的流动。
缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。
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五、常用的相似准则数
1. Re 数(雷诺数)
V
l
圆管流动
平均流速
管直径
Re Vl
惯性力
粘性力
钝体绕流 平板边界层
Re 1
来流速度
h h'
kl
l l' l * h h'
l * 称为相似准则数或无量纲边长。
2. 流动相似
①几何相似准则数： l l * b
② 运动相似准则数： v v * U
③ 动力相似准则数： F F * （Fi为惯性力） Fi
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四、相似准则数的确定
1. 量纲分析法
对不可压缩粘性流体的流动：ρ，V，l，μ，g，Δp，ω
一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以 按量纲齐次性原理作分析。
类比：角色分析
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一、П定理 提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的
是布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
充要条件 方法
n个物理量
r个独立
基本量
选r个独立
(Vl
)(2xu*2*x
2u*x y*2
2u*x z*2
)
Sr
l
V
不定常惯性力
迁移惯性力
Fr2 V 2
惯性力
l g 重力
Re Vl 惯性力 粘性力
Eu
p0
V 2
压力 惯性力
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2. 方程分析法
优点：导出的相似准则数物理意义明确；无量纲方程既适用于 模型也适用于原型。 缺点：不能用于未知物理方程的流动。
2ux x2
2ux y2
2ux z 2
)
令
ux*
ux V
,u
*
y
uy V
,uz*
uz x,* V
x l
, y*
y l
, z*
z l
,
f
* x
fx , p* p ,t* t
g
p0
代入 上式得
l
V
u*x t*
u*x
u*x x*
u*y
u*x y*
u*z
u*x z*
(Vl g2
)
f
x*
(
p0
V 2
) px**
注： 为温度量纲
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dim I x dim I xy L4 dim I MLT 1
dim L ML2T 1
dim E dim W dim Q ML2T 2
dim P ML2T 3
dim MT 2
dim cp dim cv L2T 21 dim k MLT 3 1
截面宽度
外流速度
距前缘距离
低雷诺数粘性流动
Rer 2300 区分粘性流动层流与湍流态
边界层外无粘流
Re 1
粘性力相似
边界层内以 Rer 50105为界区分 层流与湍流态
2020/6/2 有压管流、射流、绕流、流体机械中的流34动
1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个
p (,V , d, ,, l)
2．选择基本量：ρ、V、d
3．列П表达式求解П数（П数为无量纲数）
① П1=ρa V bd cΔp
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即 M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
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或
Q f () gh5/ 2
( c)
讨论：①结果表明Q与ρ无关，与h成5/2次方关系。与解析式一致，解
析式为
f () 由实验确定
Q 8 2g f ( )h5/ 2
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②对一孔口角已确定的三角堰，(c )式已明确地表达了Q与h的理论关
系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。
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M : a 0 L : 3a b c 3 0 T : 2b 1 0
解得：a = 0, b = - 1 / 2, c = - 5 / 2
1
Q h5/2 g1/2
② 2（弧度，无量纲）
4．列П数方程
П1= f (П2)
Q f ( )
h5/2 g1/2
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M : a 1 0
L
:
3a b c 1 0
T : b 2 0
解得： a = -1 , b = -2 , c = 0
Π1
p
1 ρV 2
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa v b d cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量 粘度系数 其他量 角速度，角加速度 应变率
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dim v LT 1 dim Q L3T 1
dim a LT 2 dim m MT 1
dim ML3
dim ML2T 2
dim F MLT 2
Cp
p p0
1 2
ρ
v02
1( v v0
)2
（沿流线）
C
柱面上： 前后驻点 上下侧点
v 0 , Cp 1 v 2v0 , Cp 3
p0,v0 A
·
a
B
其他点 vθ 2v0 sin , Cp 1 4sin2θ
·
D
柱面外：流场中Cp 还与无量纲半径 r R 有关
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
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一、量纲与物理方程的量纲齐次性 1. 物理量的量纲
工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
长度
英
制
基本量纲
类别
量纲
导出量纲 量纲幂次式
SI制中的基本量纲： dim m = M , dim l = L , dim t = T
质量
长度
时间
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
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基本量
n-r个导出量
x1 =φ(x 2，x 3, ……, x n )
П1 = f (П2, П3, ……, Пn-r )
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组成n-r个
独立Π数
量纲分析方法等
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二、量纲分析法
1. 一般步骤：以圆柱绕流为例 第1步、列举所有相关的物理量。
FD ( , V , d , )
阻力 密度 速度 直径 粘度系数 第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量纲
选ρ、V 、d等3个
第3步、将其余的物理量作为导出量，即 FD 、μ分别与基本 量的幂次式组成П表达式(参见如下例子)。
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[例] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
经初步分析知道，在不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流 动的压降Δp与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度ε、管内流体密 度ρ、流体的动力粘度μ，以及断面平均流速v有关。分析压强降低与相关 物理量的关系。 解：
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3. 物理法则分析法 根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用 这些力的量级比值构成相似准则数。
与流体微元尺度相应的特征物理量 l
与流体微元速度相应的特征速度 V
与流体微元质量相应的特征质量 l3
与流体微元粘性相应的粘度系数
与流体微元压强相应的压强差
p
与流体微元不定常运动相应的特征角速度
M : a 1 0
L
:
3a b c 1 0
T : b 1 0
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解得：a = b = c = -1
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1 2 Vd Re
(雷诺数)
③ П3 =ρa V bd cε M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c L
解得：a = b = 0， c = -1