垂径定理、圆心角、圆周角复习.doc

垂径定理、心周角复习

—、知识点

1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是

中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴,

3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线，

所以不能说“圆的对称轴是直径而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线'：）

4、___________________________________________________ 、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、

半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心《）

5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径,并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过,并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，眩且平分弦所对的另一条弧。

6、与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

（2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质，

%1圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

%1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的瓠相等.

%190°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

%1如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

%1圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

7、垂径定理及推论：

%1垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条或

%1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条如

%1弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条如

%1平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦

20.（温州）（本题8分）如图，在正方形ABCD中,AB=4, 0为对角线BD的中点,分别以OB, 0D为直径作。

Oi, 0O2. o “I ----- 7^^^

（/\

⑴求02 01的半径；

（2）求图中阴影部分的面积.

（第20题）

变强2

二、同步题型分析

1、关于垂径定理

例题1、如图，的半径ODJJ^AB 于点C,连结A0并延长交。。于点E,连结EC.若AB=8, CD=2,则EC 的长为（

）

【变式练习】2、如图，在。。中，OCJJ 玄AB 于点C, AB=4, OC=1,则0B 的长是（ ）

例题2、的直径AB=12, CD 是。0的弦，CD1AB,垂足为P,且BP ： AP=1： 5,则CD 的长为（

） 例题2

* （相似）【变式练习】1、如图.RtAABC 内接于。0, BC 为直径，AB=4, AC=3, D 是弧AD 的中点,CD 与AB

CF

的交点为E,则——等于（ ）

【变式练习】2如图，AB 是。0的直径，弦CD 交AB 于点E,且AE=CD=8, ZBAC=- ZB0D,则。0的半径为 （ ）

【变式练习】3在半径为13的。0中，弦AB 〃CD,弦AB 和CD 的距离为7,若AB=24,则CD 的长为（

）

* （相似）例题3、如图，以M （-5, 0）为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是0M ±异于

A 、

B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于

C 、D,以C

D 为直径的。N 与x 轴交于

E 、F,则E

F 的R （ ）

【变式练习】1、已知。0的直径CD=10cm, AB >00的弦,AB1CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为（

）

B

也2 例题O

B

坂1

【变式练习】2如图所示，在圆。0内有折线OABC,其中0A二8, AB二12, ZA=ZB=60° ,则BC的长为

12

变式2

2关于圆周角、 心角:

【变式练习1】如图,

【变式练习2］如图,

【例题1】如图，弧AB 是半圆，0为AB 中点，C 、D 两点在弧AB 上，且AD 〃0C,连接BC 、BD.若弧CD=62° ,

则弧AD 的度数为（ ）

半圆0的直径AB=10cm,弦AC=6cm, AD 平分ZBAC,则AD 的长为（ ）

AABC 的外接圆上，AB, BC, CA 三弧的度数比为12： 13： 11.自劣弧BC 上取一点D,

过D 分别作直线AC,直线AB 的平行线，且交孤BC 于E, F 两点，则ZEDF 的度数为（ ）

例题2】如图，AB, CD 是。0的弦，AB±CD, BE 是。。的直径.若AC=3,则DE=.

*【变式练习1］如图，边长为1的小正方形网格中，。。的圆心在格点上，则NAED 的余弦值是

【变式练习2】如图，矩形0ABC 内接于扇形M0N,当CN=C0时，ZXMB 的度数是

*（相似）【例题3】如图，在。。上有定点C 和动点P,位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的

5 3

延长线交于点Q,已知：。。半径为一，AC/BC 二一，则CQ 的最大值是（ ） 2 4例题