概率论与数理统计：区间估计

（在定义中，我们要特别注意定义式的理解θ是真

值，它不是一个随机变量，而是一个数，它要么在这个

区间范围里面，要么不在这个区间范围里面，那么这个

α-1的概率又从何谈起呢？我们可以这样理解，比如

我们令α-1，等于0.95，那么就相当于抽取了100次样本，其中有约95个包含真值，而另外的5个不包含真值。）

2、区间估计的计算方法：

例1设X 是服从正态分布的，其中方差已知，均值未知，均值就是我们今天要估计的参数。设X1到Xn 是来自X 的样本，求均值的置信水平为α-1的置信区间。

分析：根据区间估计的定义，均值相应的置信区间就是求这样一个概率

αμμμ

-=<<1)ˆˆ(21P 由于总体均值μ是一个数，不是随机变量，没有概率分布，所以我们无法直接求出概率等式

但因为样本均值X 是总体均值μ的无偏估计量。而且样本均值还有其服从的分布，因此我们可以利用样本均值的分布进行区间估计的计算。

解：),(~2

2n N X σμσ已知，由)1,0(~:N n X U σ

μ

-=得

ααα-=<<-1)(2/2/1u U u P 2/2/1ααu u -=-其中

ασμαα-=<-<-1)(2/2/u n

X u P 则 ασμσ

αα-=+<<-1)(2/2/u n X u n X P 则

的置信区间。的置信度为为αμσ

σ

αα-+-1),(2/2/u n X u n X

（由方差已知，我们可以得到样本均值的正态分布。从而可以得到这样的一个标准化的变量，他是服从标准正态分布的，那么在这样的一个标准正态分布中间，如何划出概率α-1的面积区域呢？由奈曼给出的原则在可靠程度固定的情况下，尽量提高精确度，也就

是让区间最短。在数学上我们可以证明对称分布，左右各切2

α对应的区间长度最短，于是我们就利用这样的方法建立概率等式。这时我们待估参数μ留在中间，移项后得：由此得到了μ的置信度为α-1的置信区间。）

通过这道例题，我们发现求解区间估计的关键就是找到一个合适的统计量的分布，通