分组强化训练 简单解答题(19～22)强化训练(一)

简单解答题(19～22)强化训练(一)

( 限时：35分钟

满分：40分)

19．计算：(1)(2a ＋3b )2－4a (a ＋3b ＋1)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2

x ＋3＋13－x ÷x x 2－9

. 解 (1)原式＝4a 2＋12ab ＋9b 2－4a 2－12ab －4a ＝9b 2－4a . (2)原式＝

2(x －3)－(x ＋3)(x ＋3)(x －3)÷x

x 2－9

＝

2x －6－x －3

(x ＋3)(x －3)÷x x 2－9

＝

x－9

(x＋3)(x－3)

·

(x＋3)(x－3)

x

＝x－9 x.

20．如图，在锐角三角形ABD中，BC，AE分别是AD，BD边上的高，AE 与BC交于点F，AC＝BC．

(1)求证：BD＝AF；

(2)若∠BAE＝30°，BF＝22，求BE的长．

解(1)证明：∵BC⊥AD，AE⊥BD，

∴∠BCD＝∠AED＝90°，

∴∠D＋∠DBC＝∠D＋∠DAE＝90°，

∴∠DBC＝∠DAE.

在△BCD与△ACF中，

∵∠DBC＝∠F AC，∠ACF＝∠BCD，BC＝AC，

∴△BCD≌△ACF，∴BD＝AF.

(2)过点F作FG⊥AB于点G(图略)．

∵∠BAE＝30°，BF＝22，∴BG＝GF＝2，

∴AG＝3GF＝23，

∴AB＝BG＋AG＝2＋2 3.

在Rt△AEB中，∵∠BAE＝30°，AB＝2＋23，

∴BE＝1

2AB＝2＋23

2

＝1＋ 3.

21．为了积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示．

大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表如下：

(1)活动启动之初，学生“一周诗词诵背数量”的中位数为________首，并补全条形统计图；

(2)估计大赛结束后一个月，该校学生一周诗词诵背6首以上(含6首)的人数；

(3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．

解(1)本次调查的学生有20÷60°

360°

＝120(人)，背诵4首的有120－15－20－16－13－11＝45(人)，∵15＋45＝60(人)，∴这组数据的中位数是(4＋5)÷2＝4.5(首)，图略．

(2)大赛结束后一个月，该校学生一周诗词诵背6首以上(含6首)的人数约有

1200×40＋25＋20

120

＝850(人)．

(3)活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首；大赛结束后一个月时的中位数是6首，众数是6首，由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办活动的效果比较理想．

22．阅读材料：

如图，为了求平面直角坐标系中任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离，以AB为斜边作Rt△ABC，则点C的坐标为C(x2，y1)，

于是AC＝|x1－x2|，BC＝|y1－y2|，根据勾股定理可得AB＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2；

反之，可以将代数式(x1－x2)2＋(y1－y2)2的值看作平面内点(x1，y1)到点(x2，y2)的距离．

例如：∵x2＋2x＋y2－6y＋10

＝(x2＋2x＋1)＋(y2－6y＋9)

＝(x＋1)2＋(y－3)2，

∴可将代数式x2＋2x＋y2－6y＋10的值看作平面内点(x，y)到点(－1,3)的距离．

解决问题：

(1)求平面内点M(2，－3)与点N(－1,3)之间的距离；

(2)求代数式x2＋y2－6x－8y＋25＋

x2＋y2＋10x－4y＋29的最小值．

解(1)MN＝(2＋1)2＋(－3－3)2

＝9＋36＝3 5.

(2)∵原式＝(x2－6x＋9)＋(y2－8y＋16)＋

(x2＋10x＋25)＋(y2－4y＋4)

＝(x－3)2＋(y－4)2＋(x＋5)2＋(y－2)2.

∴原式可以看作点P(x，y)到点A(3,4)和到点B(－5，2)的距离之和．距离之和最小应该是A，B两点之间的距离，即

(3＋5)2＋(4－2)2＝68＝217.