科学解题中常用的六种方法例析
3 例析利用待定系数法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用待定系数法解题题型待定系数法的实质是方程的思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程（或方程组）求得未知数。
所谓待定系数法：就是要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法。
其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f (x)g(x)=的充要条件是：对于一个任意的x 值，都有f (x)g(x)=；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决；如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利 用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
一、利用待定系数法解决函数问题中学里的初等函数，一般都有特定的解析式与相应的限制条件，所以待定系数法往往是解决函数问题的有效方法。
例1、求一次函数y f (x)=，使得f{f[f (x)]}8x 7=+。
7 例析利用割补法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用割补法解题题型所谓割补法：就是将复杂的或不熟悉的几何图形转化为简单的熟悉的几何图形（如：三角形、正方形、长方形、平行四边形或梯形等）或几何体（如：柱体、锥体和球体）；也就是把一个复杂长度、面积或体积的计算分割成若干个简单图形的有关计算或将一个不易求出长度、面积或体积的几何图形补足为较易计算的几何图形；例如，把曲边形割补成规则图形、把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）、把不规则的几何体割补成规则的几何体，从而把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的。
一、“分割”非规则图形为规则图形几何图形或几何体的“分割”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，分割成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。
例1、为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（ ） A ．3＋64 km 2B ．3－64km 2C ．6＋34 km 2D ．6－34km 2【提示】 【解析】 【评注】例2、如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求： （1）该几何体的体积； （2）截面ABC 的面积。
【提示】 【解析】二、将非规则图形“补形”规则图形几何图形或几何体的“补形”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，补全成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。
例3、已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________例4、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，则B 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为________．三、几何体的“割补”几何体的割补，即将已知的几何体按照结论的要求，既要分割又要补全成若干个易求体积的几何体。
4 例析利用换元法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用换元法解题题型解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。
其实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
所谓换元法：又称辅助元素法、变量代换法；就是通过引进新的变量，改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法。
换元法可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路；换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。
换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何中广泛应用；换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
换元的种类有：等参量换元、非等量换元。
一、利用局部换元，实现简化又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例1、设函数3x 4x )x (f 2+-=，23)x (g x-=，集合}0))x (g (f x {M >=，}2)x (g x {N <=，则N M 为（ ）A ．),1(∞+B ．)1,0(C ．)1,1(-D ．)1,(-∞ 【提示】 【解析】 【评注】例2、设对一切实数x ，不等式2222224(a 1)2a (a 1)x log 2x log log 0a a 14a ++++>+恒成立，则a 的取值范围为__________例3、设0a >，求：2a 2x cos x sin )x cos x (sin a 2)x (f -⋅-+=的最大值和最小值。
科学解题中常用的六种方法例析
科学解题中常用的六种方法例析科学试题侧重对学习和研究方法的考查，本文主要归纳了几种重要的的解题方法，供同学们参考。
一、控制变量法两个以上的因素影响一个变化过程的现象在自然界十分多，在物理学中这种问题则采取控制变量法，也就是只让其中一个因素变化，而控制其他因素不变，考察这个变化的因素与这个变化过程的关系。
例1：小蓝在观察提琴、吉他、二胡等弦乐器的振动时猜测：即使在弦紧张程度相同的条件下，发声的音调高低还可能与弦的粗细、长短及弦的材料有关，于是他想通过实验来探究一下自己的猜想是否正确，下表是她在实验时控制的琴弦条件：1）如果小兰想探究弦发声的音调与弦的粗细的关系，你认为她应该选用表中编号为的琴弦2）探究过程通常采用下列一些步骤：①分析归纳；②实验研究；③提出问题（或猜想）④得出结论等。
你认为小兰完成本探究的全过程，所采取步骤的合理顺序应该是。
解析：如果小兰想探究弦发声的音调与弦的粗细的关系，就得控制琴弦的长度和琴弦的材料不变，所以选择A和B小兰完成本探究的全过程，所采取步骤的合理顺序应该是③②①④。
例2：晒在太阳下的湿衣服会变干，衣服上的水蒸发掉了，请你根据这一现象提出问题并验证？1）提出问题：影响蒸发快慢的因素有哪些？根据你的生活经验猜想：①可能与晾晒衣服的时间长短有关；②可能与晾在太阳光下或背荫处有关；③有风的天干的快，可能晾在通风处干的快；④把衣服展开干的快；2）制定计划与设计实验。
按图选两块相同的玻璃板，酒精灯，滴管和一些水3）进行实验与收集数据：①在两块玻璃板上分别滴一滴水，把其中一块玻璃板上的水滴摊平，过一段时间观察，发现摊平的水滴蒸发的快。
②在两块玻璃板上分别滴一滴水，把其中的一块玻璃板放在酒精灯上加热，过一段时间观察，发现加热的水滴蒸发的快。
③在两块玻璃板上分别滴一滴水；然后在其中一块玻璃板上方用扇子扇，过一段时间观察，发现被扇子扇的水滴蒸发的快4）分析与论证：影响蒸发快慢的因素有：液体表面积的大小；液体温度的高低；液体表面上空气流动的快慢。
浙教版七年级上册第一章第5节科学探究-实验探究题解题方法总结（有答案）
科学探究一、探究题的答题技巧1、控制变量法对于多因素（多变量）的问题，常常采用控制因素（变量）的方法，把多因素的问题变成多个单因素的问题，而只改变其中的某一个因素，从而研究这个因素对事物影响，分别加以研究，最后再综合解决，这种方法叫控制变量法。
变量，是指没有固定的值，可以改变的数。
变量一般有水分，光照，温度，长度，粗细，材料等等2、对照不做处理的一组称为对照组（做处理的一组称为实验组）对照作用的标准答案：①对照②与……（一般指实验组）作对比，得出……③排除……对实验结果的干扰3、对实验材料选择的要求（1）种子：颗粒饱满植物：生长良好，大小高度差不多动物：健康，大小，年龄差不多（2）数量相同且一般为多个例1、某同学在两个同样的花盆中种下大豆种子，并设计了如下实验。
从实验可知：他在研究影响大豆种子发芽的因素是()花盆光线情况温度水分甲向阳处20 ℃充足乙向阳处20 ℃不充足A. 阳光B. 空气C. 温度D. 水分例2、为了探究有关食品腐败的问题。
李敏同学取三个相同的锥形瓶，各加入50 毫升牛奶，高温煮沸后按下表要求进行处理，下列分析错误的是( )甲瓶乙瓶丙瓶瓶口敞开敞开用消毒棉球塞住温度25℃5℃25℃A.实验前将锥形瓶中的牛奶高温煮沸，目的是杀灭原有的细菌B. 甲瓶与乙瓶形成一组对照实验，探究的是温度对食品腐败速度的影响C. 甲瓶与丙瓶形成一组对照实验，实验的变量是牛奶中有无细菌D. 乙瓶与丙瓶形成一组对照实验，实验的变量是瓶口是否敞开例3、某同学在培养皿底部铺上棉花，然后把相同数量的豌豆种子放在棉花上。
实验过程与A. 该实验的目的是探究光照、温度和水分对种子萌发的影响B. 对比甲、丁两组实验，可以得出种子的萌发与水分有关C. 该实验选用具有活胚且大小相同的豌豆种子作为实验材料，属于控制变量D. 对比乙、丙两组实验，可以得出种子的萌发与光照有关4、探究环节一般情况下，探究问题，提出问题，假设和结论都可以用一句话来回答，只是句式不同。
一版 例析解化学平衡计算题的常用方法 罗功举 3.27
例析解化学平衡计算题的常用方法湖北罗功举化学平衡计算涉及化学平衡知识、气体有关内容、计算技巧方法等，是学科内重要的综合知识点之一，常见题型包括求反应物转化率、产物的产率、平衡时各组分的量或分数、反应前后气体的压强或密度之比、混合气体的平均相对分子质量等。
下面主要从解题方法方面展开阐述，供参考。
一、极限法：此法适合于计算某物质的取值范围、比较判断两个平衡是否为等效平衡等。
解题时，可以将反应物或生成物按反应方程式中化学计量数比换算成同一边的物质的某一量，再结合题意进行比较判断。
例1在温度、容器体积不变的条件下，起始时，c(X2)=0.1mol·L–1，c(Y2)=0.3mol·L–1，c(Z)=0.2mol·L–1，发生可逆反应：X(g)+3Y2(g)2Z(g)，达到平衡时各物质的浓度可2能正确的是（）A．c(X2)=0.15mol·L–1，c(Y2)=0.45mol·L–1B．c(X2)=0.2mol·L–1，c(Y2)=0.6mol·L–1C．c(X2)=0.24mol·L–1，c(Y2)=0.24mol·L–1D．c(X2)=0.15mol·L–1，c(Y2)=0.15mol·L–1分析：按极限转化思想，将X2、Y2的量全部往右转化，得Z的量浓度的极大值为0.4mol·L–1；将Z的量全部往左转化，得X、Y2的量浓度的极大值分别为0.2mol·L–1、0.6mol·L2–1。
根据可逆反应“不可能完全转化”的特点，知平衡时各物质的浓度应界于上述取值范围内；但要注意排除D选项，D选项中X2的量浓度比原来大，而Y2的量浓度比原来小，这与化学反应规律显然是矛盾的。
答案A二、差量法：适合于反应前后整个体系或某物质的量上发生变化的问题。
运用差量法解题的关键，在于从给出的数据中找出发生反应时，各物质的相关量(n、P、V)间的关系，统一转化为△n来计算。
例析求函数解析式的方法与技巧
解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀例析求函数解析式的方法与技巧◉山东省乐陵第一中学㊀张㊀伟㊀㊀求函数解析式 是«普通高中教科书 数学 必修一»(人教版)的重要内容,是进一步学习 基本初等函数 和 函数的应用 的基础．在高考中,通常不会直接考查函数的解析式,但解析式往往是解函数题的基础,所以学习和掌握求函数解析式的方法与技巧非常重要．在具体解题中,可以尝试运用以下六种方法．１配凑法配凑法是一种结构化的方法,即根据已知函数的类型及解析式的特征,配凑出复合变量的形式,从而求出解析式．具体方法是:由已知条件f [g (x )]＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),即可得到f (x )的表达式．使用配凑法时,要注意定义域的变化．配凑法的关键在于如何 配 和 凑 ,让题目的条件转化为容易求解的形式,方法灵活多样,不同的题目,配凑的方法不同．例１㊀已知f (x ＋１)＝x ２－３x ＋２,求函数f (x )的解析式．解:因为f (x ＋１)＝x ２－３x ＋２＝(x ＋１)２－５(x ＋１)＋６,所以f (x )＝x ２－５x ＋６．方法与技巧:配凑法的技巧大多是配凑公式,例如本题中就是化用了公式(a －b )２＝a ２－２a b ＋b２,只需把原复合函数解析式配凑成关于x ＋１的多项式即可．例２㊀已知f (x ＋１x )＝x ２＋１x２,求f (x )的解析式．解:因为f (x ＋１x )＝x ２＋１x２＝(x ＋１x )２－２(x ʂ０),且x ＋１xȡ２所以f (x )＝x ２－２(x ȡ２,或x ɤ－２)．方法与技巧:本题的方法是把原复合函数解析式的右边配凑成关于x ＋１x的多项式,同时注意函数的定义域．２换元法换元法即变量替换,其实质就是转化．通过转化达到 化繁为简㊁化难为易㊁化陌生为熟悉 的目的．对于形如y ＝f [g (x )]的函数解析式,令t ＝g (x ),从中求出x ＝φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),最后将t 换成x ,得到f (x )的解析式．换元时要注意新元的取值范围．例３㊀已知a f (４x －３)＋b f (３－４x )＝２x ,a ２ʂb ２,求函数f (x )的解析式．解:令４x －３＝t ,则２x ＝t ＋３２,所以㊀㊀㊀㊀a f (t )＋b f (－t )＝t ＋３２．①将①中的t 换成－t ,得㊀㊀㊀㊀a f (－t )＋b f (t )＝－t ＋３２．②①ˑa －②ˑb ,得(a ２－b ２)f (t )＝a ＋b ２ t ＋３２(a －b )．由a ２ʂb ２,得a ２－b ２ʂ０．所以f (t )＝１２(a －b )t －３２(a ＋b )．故f (x )＝１２(a －b )x －３２(a ＋b )．方法与技巧:因为本题的左边有多项式４x －３,所以首先将４x －３换为t ,然后再将t 换成－t ,求出f (t )后再将t 换成x ,最后得到f (x )的解析式．例４㊀已知f (x )是对除x ＝０及x ＝１以外的一切实数都有意义的函数,且f (x )＋f (x －１x)＝１＋x ,求函数f (x )的解析式．解:f (x )＋f (x －１x )＝１＋x ．③③式中令x ＝t －１t (t ʂ０,t ʂ１),则x －１x ＝１１－t,所以f(t －１t )＋f (１１－t )＝２t －１t．④８６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀③式中令x ＝１１－t (t ʂ０,t ʂ１),则t ＝x －１x,所以f(１１－t )＋f (t )＝２－t１－t．⑤由③式,可得f (t )＋f (t －１t)＝１＋t ．⑥由④⑤⑥,消去f(t －１t )＋f(１１－t),得f (t )＝１２t ＋１＋２－t １－t －２t －１t éëêêùûúú＝１２t －１t (t －１)éëêêùûúú．所以f (x )＝１２x －１x (x －１)éëêêùûúú．方法与技巧:本题通过对③式的两次换元,巧妙地消去f(t －１t )＋f (１１－t ),求出f (t )后再将t 换回x ,最后得到f (x )的解析式．紧扣表达式的特征设元㊁变形㊁消元是换元法常用的技巧．３待定系数法如果已知所求函数的类型(如一次函数㊁二次函数),可先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数．具体方法是:先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数．例５㊀已知f (x )是二次函数,且f (０)＝０,f (x ＋１)＝f (x )＋x ＋１,求函数f (x )的解析式．解:设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．由f (０)＝０可知c ＝０,所以f (x )＝a x ２＋b x ．又f (x ＋１)＝f (x )＋x ＋１,所以a (x ＋１)２＋b (x ＋１)＝a x ２＋b x ＋x ＋１．即a x ２＋(２a ＋b )x ＋a ＋b ＝a x ２＋(b ＋１)x ＋１．所以２a ＋b ＝b ＋１,a ＋b ＝１,{解得a ＝b ＝１２．故f (x )＝１２x ２＋１２x ．方法与技巧:由已知条件可知f (x )是二次函数,所以设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．由于推知c ＝０,于是得出a x ２＋(２a ＋b )x ＋a ＋b ＝a x ２＋(b ＋１)x ＋１,进而根据对应系数相等的关系,求出a ,b 的值即可．例６㊀若二次函数f (x )的顶点坐标为(１,４),其与x 轴的交点为(－１,０),试求函数f (x )的解析式．解法１:设函数f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),则有－b ２a ＝１,４a c －b ２４a ＝４,a －b ＋c ＝０,ìîíïïïïïï㊀解得a ＝－１,b ＝２,c ＝３．ìîíïïï所以f (x )＝－x ２＋２x ＋３．解法２:设f (x )＝a (x ＋m )２＋k ,因为当m ＝－１时,k ＝４,所以f (x )＝a (x －１)２＋４．由f (－１)＝０,得a (－１－１)２＋４＝０,则a ＝－１．故f (x )＝－x ２＋２x ＋３．方法与技巧:本题的两种解法都运用了待定系数法．解法１运用二次函数的一般式f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),通过解方程组求出a ,b ,c 的值代入获解;解法２运用二次函数的顶点式f (x )＝a (x ＋m )２＋k 来求解．它们有异曲同工之妙．４解方程组法已知关于f (x )与f (１x )或f (x )与f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组,求出f (x )．例７㊀已知f (x )满足２f(x －１x )＋f (x ＋１x)＝１＋x (x ʂ０),求f (x )．解:㊀㊀２f(x －１x )＋f (x ＋１x)＝１＋x ．⑦⑦式中用－x 代替x ,得２f(x ＋１x )＋f (x －１x)＝１－x ．⑧联立⑦⑧,解得f (x ＋１x )＝１３－x ．⑨令x ＋１x ＝t ,则x ＝１t －１,将其代入⑨式,得f (t )＝１３－１t －１＝t －４３(t －１)．所以f (x )＝x －４３(x －１)．方法与技巧:本题根据题设条件用－x 代替x ,构造一个对称方程组,通过解方程组即可得到f (x )的解析式．例８㊀已知函数f (x )满足f (－x )＋２f (x )＝２x,求f (x )的解析式．解:将f (－x )＋２f (x )＝２x中的－x 用x 代换,得f (x )＋２f (－x )＝２－x．联立两式,解得３f (x )＝２x ＋１－２－x．９６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀所以f (x )＝２x ＋１－２－x３．方法与技巧:常以f (x )与f (－x ),f (x )与f(１x ),f (x )与f (x ＋a )等构成方程组,消元的目的是为了解方程组．５赋值法赋值法的解题思路是对变量取适当的特殊值,使问题具体化㊁简单化,进而依据结构特点找出一般规律,求出函数解析式．例９㊀已知f (０)＝１,f (a －b )＝f (a )－b (２a －b ＋１),求函数f (x )的解析式．解:令a ＝０,得f (－b )＝f (０)－b (１－b )＝b ２－b ＋１．令－b ＝x ,得f (x )＝x ２＋x ＋１．方法与技巧:从本题可以看出赋值法的解题规律．①当所给函数方程含有两个变量时,可以考虑对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再运用已知条件,即可求出函数解析式;②根据题目的具体特征来确定取什么特殊值;③取特殊值代入的目的,是为了使问题具体化㊁简单化,进而找出规律,求出函数解析式．例１０㊀已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝２f (x )c o s y ,且f (０)＝a ,f(π２)＝b ,求函数f (x )的解析式．解:令x ＝０,y ＝t ,得f (t )＋f (－t )＝２a c o s t ．⑩令x ＝π２＋t ,y ＝π２,得f (π＋t )＋f (t )＝０． 令x ＝π２,y ＝π２＋t ,得f (π＋t )＋f (－t )＝－２b s i n t ．⑩＋ － ,得f (t )＝a c o s t ＋b s i n t ．所以f (x )＝a c o s x ＋b s i n x ．方法与技巧:本题所给的条件中出现了f (x ),f (x ＋y ),f (x －y )三种函数表达式,情况比较复杂,又已知f (０),f (π２)及考虑到还有c o s y ,所以在运用赋值法的过程中,充分挖掘和利用了题设中的隐含条件,做到了化隐为显㊁化繁为简．本题在运用赋值法的同时,还用到了构造方程㊁换元㊁配凑等多种手段．６代入法代入法求函数解析式的特点是,知道已知函数图象或者方程曲线的一个点A ,通过题目中的关系,用所求的函数图象或者方程曲线上点B 的坐标表示出点A 的坐标,再将点A 的坐标代入已知的函数或者方程中,即可求出所需的函数解析式或曲线方程．例１１㊀已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝２对称,并且在[０,２]上的解析式为y ＝２x －１,求函数f (x )在[２,４]上的解析式．解:设M (x ,y )x ɪ[２,４]在函数f (x )的图象上,点M ᶄ(x ᶄ,yᶄ)与M 关于直线x ＝２对称,则x ᶄ＝４－x ,yᶄ＝y ．{又y ᶄ＝２x ᶄ－１．所以y ＝２(４－x )－１,即y ＝７－２x ．故函数f (x )在[２,４]上的解析式为y ＝７－２x ．方法与技巧:从本题的求解过程可以看出,求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,采用代入法比较简捷．图１例１２㊀如图１,某地有一座形如抛物线的石拱桥,已知其跨度为３７．４m ,拱高为７．２m ,求此石拱桥所在抛物线的解析式．图２解:如图２,以抛物线的对称轴为y 轴,以宽A B 的中点为原点,建立平面直角坐标系x O y ,令抛物线的解析式为y ＝a x ２＋７．２．将点B (１８．７,０)代入,得０＝(１８．７)２a ＋７．２．解得a ＝－７．２１８．７２＝－７２０３４９６９．所以,此石拱桥所在抛物线的解析式为y ＝－７２０３４９６９x ２＋３６５．方法与技巧:本题属于抛物线的实际应用题,体现了数形结合的思想,解题技巧在于把抛物线放在合适的平面直角坐标系中,设出相应的解析式,这样能够使解题过程变得简洁．通过对上述典例的解析,我们可以看到,娴熟地运用 六法 可以应对绝大多数求函数解析式类的题型, 六法 各自既有其独特性,相互之间又有联系,有时一种题型可以用几种方法来求解,达到一题多解的效果．Z０７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
5 例析利用观察法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用观察法解题题型在中学数学解题中，观察是一种很重要的思维活动；要学好数学，首先得学会观察；遇到问题时，要学会耐心观，细心察；最终找到问题的突破口，抓住解决问题的关键，从而有效地解答数学问题。
所谓观察法：就是通过视觉对数学问题的特征、形式、结构及关系的辨析，从而发现本质的方法；在数学研究上，正确地运用观察的方法能使我们找到解问题的根本途径。
通常观察的对象可分为两类：一类是用符号（数字、字母、运算符号、关系式）或文字所表示的关系式、命题或数学问题；另一类是几何图形、图像及图表；所以，观察法是数学解题的重要方法，通过对题目的结构形式、整体条件及相关图形等的观察，找出解决问题的方法, 它能有效的拓宽解题思路。
从观察的方法来分，则可分为： 一、整体观察法数学问题通常是由各个具有一定关系的量构成的总体，这些量与量之间是互相依赖且不矛盾的，通过观察总体, 抓住其特征及各组成部分间的关系；从整体中看部分，由部分来把握整体，这样才能紧紧抓住问题的关键所在，看出被观察对象的特点，往往能得到较好的解题思路。
例1、已知2x x 10++=，求20102009200832x x x x x x 1+++++++的值。
【提示】 【解析】 【评注】例2、在ABC ∆中，求证：222222(a b c )tan A (a b c )tan B 0--+-+=； 【提示】 【解析】 【评注】 二、归纳观察法在解决某些问题时，往往需要通过观察有限个或特殊例子来得出一般性的结论，通常适用于含有正整数n 的一些数学对象。
例3、平面上有n条直线，两两相交且没有三线共点，问这n条直线最多能把平面分成多少个平面块?（用nS表示平面块的总数）。
【提示】【解析】【评注】三、特征观察法从问题的题设与结论进行观察，主要通过观察分析题设与结论构建二者间的桥梁，从而找出解题途径；在某些数学问题中，题目蕴含的性质比较隐蔽，但只要稍加注意观察、分析就可以寻求到其隐含的已知条件，然后紧紧抓住其本质特征，应用这些隐含条件去寻找解决问题的思路及途径，使得问题迎刃而解。
例析椭网中最值求解的六种策略
y2 -2 2(
=3
|
8-4
s
i
n(
α+
π
)
|≥3|8-4|=1
2,
4
π
当且仅当 α= 时 取 等 号。 故 3|x2 -x1|+
4
6
|
2。
y2 -y1|的最小值为 1
例 4
已 知 椭 圆 C 的 焦 点 分 别 为 F1 、
若 椭 圆 C 上 存 在 点 M ,使 得
F2 ,
|F1F2|=2,
∠F1MF2 =9
逻 辑 推 理、
数学运算等核心素养。解 决 这 类 问 题 可 采 用
函数 f (
y)
max = f
1
2
1-a
2
1
2
=(
1- a )·
2
1-a
2
1
2
2
=
2 +a +1=a +1+ 2
1-a
a -1
。
解得 a= 2(
舍去)
4,
综上所述,
1<a≤ 2。故选 A。
以下几种解题策略,
下面分类进行例析。
策略一、
|ME|-|MN|取 最 大 值,且 最
(
责任编辑
徐利杰)
33
要求|MF|+|MN|的 最 小 值,只 需 求
相关 数 学 知 识、思 想 方 法、综 合 运 用 能 力,能
。
|MN|=6- (
|ME|-|MN|)
有效提升学习备考的 针 对 性、
有 效 性,
提高对
|ME|-|MN|的 最 大 值。 显 然,当 M ,
物理解题中的科学方法构建模型法
物理解题中的科学方法——构建模型法世界各国的教育概括起来有两大基本模式。
一大模式是以德国教育家赫耳巴特的理论为基础的以学生知识和基本技能掌握为核心的传统教育模式，即知识中心教育模式。
另一种是与之相对应的模式，是以美国教育家杜威的教育思想为基础的“现代教育”,用当今中国教育界的时尚语言来说，很接近于素质教育模式。
杜威主张“教育即生活”、“学校即社会”、“在做中学”。
杜威提出“以儿童为中心”和“在做中学”的主张是“现代教育”区别于传统教育的根本特点，它更看重师生互动的教学过程，看重学生获得知识和技能的过程，至于知识和技能的掌握程度并不是最重要的，重要的是学生能力的培养和建设，教学的出发点和归宿都是学生发展的需求。
这是以能力培养和建设为中心的教育模式。
近10多年来，世界各国为提高教育教学质量，培养21世纪的新型人才，不断探索教学方法的改革。
先后曾实验了多种教学方法。
其中，20世纪80年代从美国兴起的“以问题解决为核心的课堂教学”，在世界教育界影响最为广泛。
“问题解决”是指启发培养学生多向思维的意识和习惯，并使学生认识到解决问题的途径不是单一的，而是多种的，及开放式的。
学生多向思维的意识和习惯的培养是中学物理教学中的一项艰巨而重要的任务，在解决物理问题的教学活动中，教师应该十分重视对学生进行方法思路的训练，让学生学会分析处理问题的方法。
已有的基本方法掌握了，思维得到训练，学生多向思维的意识和习惯的培养才不是一句空话。
物理学科难学的原因之一是“多变”。
为了解决多变的物理问题，必须扎实地掌握好其中基本的、不变的知识和方法，进而探索新的知识和方法。
而方法的掌握又比知识显得更为重要。
诸如隔离法、整体法、临界状态分析法、图象法、等效法、构建模型法等等，都是物理学科中应该掌握好的基本方法。
本文拟以构建模型法为例，通过对高中物理中常见的六种模型的分析，说明基本方法的重要性及其构建模型的基本思路。
处理物理问题时，往往要建立起正确的物理模型。
初中数学常用的9种经典解题方法(附实例)
初中数学常用的9种经典解题方法(附实例)1、配方法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。
配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
例：用配方法将二次函数一般式变为顶点式2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
例：用因式分解法解一元二次方程3，换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
例：换元法化简整式换元法1令a= x+2y，b= x-2y=（a+b）（a-b）a+b=2x， a-b=4y∴ 原式=2x•4y=8xy换元法2令a=x， b=2y=4ab=8xy4，判别式法与韦达定理韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
例：判别式：△=b2-4ac韦达定理5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
小学数学常用的解题思路+详细分析+例子说明
小学数学常用的11种解题思路+详细分析+例子说明一、直接思路"直接思路〞是解题中的常规思路。
它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。
【顺向综合思路】从条件出发，根据数量关系先选择两个数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的条件，与其他的条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。
这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫"综合法〞。
例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？分析〔按顺向综合思路探索〕：〔1〕根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。
〔2〕根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。
〔3〕通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。
〔4〕狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是一样的。
〔5〕狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？可以求出这时狗总共跑了多少距离？这个分析思路可以用下列图〔图2.1〕表示。
例2 下面图形〔图2.2〕中有多少条线段？分析〔仍可用综合思路考虑〕：我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做根本线段，则就可以这样来计数。
〔1〕左端点是A的线段有哪些？有AB AC AD AE AF AG共6条。
6 利用演绎法解题题型例析 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用演绎法解题题型数学证明以逻辑推理为基础，它是从假定假设的真实性出发，运用有效的演绎推理确定结论的真实性的过程；总的来说，数学证明也可以叫演绎证明；演绎法作为一种数学逻辑方法，在当前高中数学的教育与学习中发挥着重要的作用。
所谓演绎法：又称演绎推理，就是指从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；演绎推理的一般模式：（1）大前提：已知一般原理；（2）小前提：所研究的特殊情况；（3）结论：根据一般原理，对特殊情况做出判断；也就是：根据一类事物都有的一般属性、关系、本质来推断其中的个别事物具有的属性、关系和本质的推理形式和思维方法；是从该认识的已知部分推知事物的未知部分思维方法；是由一般到个别的认识方法。
在高中数学中，演绎法可用下面两种形式；1、直接证法：它的格式可以写成“因为……，所以……，于是……，从而……，这就证明了所需要的结果”。
2、间接证法：常用的是反证法，它的格式可以写成“假设所需要的结果不成立，则……，于是……，从而……，这就导出矛盾，因此所需要的结果成立”，反证法有时要与穷举法结合起来运用，即将所需要的结果的反面的所有可能情况一一列出，然后分别导出矛盾。
演绎推理的相关知识：（1）、概念：由定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,叫做演绎推理；（2）、特点：当前提为真且推理形式正确时，结论必然为真，演绎推理是由一般到特殊的推理；（3）、三段论推理规则：如果a b ⇒，b c ⇒，则a c ⇒。
例1、试用演绎法，证明：函数2f (x)x 2x =-+在x (,1]∈-∞上是增函数。
【提示】 【解析】 【评注】例2、已知函数y f (x)=是R 上的增函数．（1）、若a ，b R ∈且a b 0+≥，求证：f (a)f (b)f (a)f (b)+≥-+-； （2）、写出（1）中的命题的逆命题，判断真假并证明你的结论。
例3、在不等边三角形中，a 为最大边, 要想得到A ∠为钝角的结论, 则三边a ，b ，c 应满足例4、已知正数a ，b ，c 成等差数列且公差d 0≠，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列。
机械振动常用解题方法例析
机械振动常用解题方法例析上海师范大学附属中学李树祥一、等效模型法:水平方向的弹簧振子和小摆角条件下的单摆是简谐振动的两个最基本最典型的模型，某一物理问题中的研究对象如果与它们具有类似的运动规律，我们就可利用原有模型的已知结论，以简化求解。
因此解题时可把一些物体的运动等效为单摆模型，等效单摆的周期公式可以广义地表示为，式中为等效摆长，为等效重力加速度。
等效摆长等于等效摆球的重心到等效悬点的距离（也就是摆球做圆周运动的半径）。
等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力F与摆球的质量m之比），即。
求的基本步骤如下：（1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡位置）。
（2）计算摆球的视重。
（3）利用，求出等效重力加速度。
应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向的力（法线方向）包括在内。
因为只有对回复力有贡献的力，才能改变振动周期。
例1、如图1所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过角。
若绳长为l，摆球质量为m，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为（）。
A. B.C. D.析解：平衡时摆球受重力mg，风力，线的拉力，受力分析如图2所示。
由力的平衡可得，摆球的视重为，等效重力加速度为图1图2所以摆的周期为，故选项B 正确。
例2、如图3所示，光滑圆弧槽半径为R ，A 为最低点，C 到A距离远小于R ，两小球B 和C 都由静止开始释放，问哪一个小球先到A 点？析解：B 球到A 点时间用自由落体运动规律求解，其时间：，由于C 到A 距离远小于R ，故小球C 的运动可等效为单摆。
C 球第一次到达A 点用单摆周期公式：。
显然，，即B 球先到。
讨论：要使两球在A 点相遇，可使B 球上移，问此时B 球高度h 为多少？分析：B 球下落时间为：，又C 点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相应的h 值亦应有多解：，解得：，故选项B 正确。
二、对称法：就是利用简谐运动相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可能等值反向，动能、势能一定相同的这些特点来分析问题的方法。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1设－2≤x≤3，求函数的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1.转化为求直线斜率的最值。
例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。
而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。
因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。
8 例析利用配方法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用配方法解题题型配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，其作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、化简根式、解方程、解函数最值和解析式、证明等式和不等式问题等方面有广泛的应用。
所谓配方法：是把代数式通过“凑”、“配”等手段，善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法；配方法主要适用于含“二次项”的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解与证明及二次曲线的讨论。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222)b a (b ab 2a ±=+±；将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式；如：ab 2)b a (ab 2)b a (b a 2222+-=-+=+；222222)b 23()2b a (ab 3)b a (ab )b a (b ab a ++=+-=-+=++；])a c ()c b ()b a [(21ca bc ab c b a 222222+++++=+++++； 2)x cos x (sin x cos x sin 21x 2sin 1+=+=+；2)x1x (2)x 1x (x 1x 2222+-=-+=+。
一、运用配方法解方程对有一类方程的求解，可运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，则就需要配方。
例1、求方程05y 4x 2y x 22=+-++的解x ，y 。
【提示】 【解析】 【评注】例2、证明：无论m 取何值，关于x 的方程05m x 4x )10m 6m (22=-++-都是一个一元二次方程。
二、运用配方法解（证明）不等式根据完全平方的非负性，结合配方，可解决不等式的证明与建立不等量关系，解决不等式问题。
例3、设方程2x kx 20++=的两实根为p 、q ，若22p q ()()7qp+≤成立，求：实数k 的取值范围。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
解决排列组合问题的常用方法
按分类计数原理有 种
2、在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
第一类办法从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有C C 个；第二类办法从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C C 个；第三类办法从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C C 个由加法原理共有N=C C +C C +C C 个三角形
【例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？
解（1）分三步：①先选百位数字．由于0不能作百位数，因此有5种选法；
分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；
插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法
点评：以上问题归纳为
分给人（有序）
分成堆（无序）
非均匀
均匀
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科学解题中常用的六种方法例析科学试题侧重对学习和研究方法的考查，本文主要归纳了几种重要的的解题方法，供同学们参考。
一、控制变量法两个以上的因素影响一个变化过程的现象在自然界十分多，在物理学中这种问题则采取控制变量法，也就是只让其中一个因素变化，而控制其他因素不变，考察这个变化的因素与这个变化过程的关系。
例1：小蓝在观察提琴、吉他、二胡等弦乐器的振动时猜测：即使在弦紧张程度相同的条件下，发声的音调高低还可能与弦的粗细、长短及弦的材料有关，于是他想通过实验来探究一下自己的猜想是否正确，下表是她在实验时控制的琴弦条件：1）如果小兰想探究弦发声的音调与弦的粗细的关系，你认为她应该选用表中编号为的琴弦2）探究过程通常采用下列一些步骤：①分析归纳；②实验研究；③提出问题（或猜想）④得出结论等。
你认为小兰完成本探究的全过程，所采取步骤的合理顺序应该是。
解析：如果小兰想探究弦发声的音调与弦的粗细的关系，就得控制琴弦的长度和琴弦的材料不变，所以选择A和B小兰完成本探究的全过程，所采取步骤的合理顺序应该是③②①④。
例2：晒在太阳下的湿衣服会变干，衣服上的水蒸发掉了，请你根据这一现象提出问题并验证？1）提出问题：影响蒸发快慢的因素有哪些？根据你的生活经验猜想：①可能与晾晒衣服的时间长短有关；②可能与晾在太阳光下或背荫处有关；③有风的天干的快，可能晾在通风处干的快；④把衣服展开干的快；2）制定计划与设计实验。
按图选两块相同的玻璃板，酒精灯，滴管和一些水3）进行实验与收集数据：①在两块玻璃板上分别滴一滴水，把其中一块玻璃板上的水滴摊平，过一段时间观察，发现摊平的水滴蒸发的快。
②在两块玻璃板上分别滴一滴水，把其中的一块玻璃板放在酒精灯上加热，过一段时间观察，发现加热的水滴蒸发的快。
③在两块玻璃板上分别滴一滴水；然后在其中一块玻璃板上方用扇子扇，过一段时间观察，发现被扇子扇的水滴蒸发的快4）分析与论证：影响蒸发快慢的因素有：液体表面积的大小；液体温度的高低；液体表面上空气流动的快慢。
使蒸发加快（或减慢）的措施（或手段）：增大（减少）液体的表面积，提高（降低）液体的温度，加快（减慢）液体表面上的空气流动，都可以影响液体的蒸发。
例3：要研究水蒸发和温度的之间关系，给出了容器A、B和C，如图所示，其中容器B和容器C完全相同，另外还有三角架，酒精灯，小型电风扇，火柴、石棉网以及水。
（1）这些东西中，找出需要的物件。
（2）说说你怎么做这个实验。
分析：需要的物件的有：容器B和C，三角架，酒精灯、火柴、石棉网以及水。
向容器B和C中加入相同多的水，将其中的容器B放在垫有石棉网的三角架上，用酒精灯加热，过一段时间观察，发现容器B中的水比C容器中的水蒸发得快。
二、理想实验法理想实验法是指在做某个实验的时候，忽略外界一切与实验无关的因素，是实验的一种假设因素，假设某些真实的因素不存在，来达到实验的目的，得出结论。
例4：牛顿第一定律是不能用实验直接证明的，而是在经验事实的基础上，伽利略、牛顿等科学家通过研究阻力对小车运动的影响，推理得出的结论．下列探究过程中与上述方法相同的是（）A．放在玻璃钟罩内的电铃正在发声，把玻璃钟罩内的空气抽去—些后，铃声明显减弱，得到真空不能传声的结论；B．把正在发声的音叉放到平静的水面上，看到溅起水花，说明发声的物体在振动；C．取相同的瓶子，倒入不同深度的水，吹瓶口时发出的声调不相同，说明声调与空气柱的长度有关；D．把发声的收音机装在塑料密封袋内放入水中还能听到声音，说明水能传声。
分析:我们并不能把玻璃钟罩内的空气抽成绝对真空，所以实际上我们不可能创造出完全真空的实验条件，所以得出真空不能传声结论并不是实际实验的结果，而是在有一定空气条件下，空气越稀薄传声性能越差的规律基础上推理出来的．所以这种方法与牛顿第一定律经历了相同的实验和思维过程．而Ｂ是转化的方法；Ｃ体现了控制变量的思想；而Ｄ就是直接实验．解：选Ａ．点评：推理的基础是在近似条件下得出一定的规律，所以，实验基础必须牢固，对于同学们来说，分析实验规律得出正确结论是关键，而对于理想情况下的结论，有了前面的基础也就水到渠成了．实际上实验和推理是密不可分的，只有实验而没有合理而大胆的推理，我们也就不能得到更加本质的认识．例5：以下哪些是运用了理想实验法进行研究的？A．爱因斯坦提出光子假说B．麦克斯韦提出电磁场理论C．卢瑟福提出原子的核式结构模型D．伽利略得出力不是维持物体运动原因的结论解析：选D。
伽利略是通过假设无一切阻力的理想状态而得出力不是维持物体运动原因的结论的。
三、等效替代法等效替代法指在保证最终效果相同的情况下，用较为简便的事件或条件将原事件或条件代替转化来考虑问题。
如利用电压源和电流源的等效变换简化电路。
运用等效替代法处理问题的一般步骤为：（1）分析原事物（需研究求解的物理问题）的本质特性和非本质特性。
（2）寻找适当的替代物（熟悉的事物），以保留原事物的本质特性，抛弃非本质特性。
（3）研究替代物的特性及规律。
（4）将替代物的规律迁移到原事物中去。
（5）利用替代物遵循的规律、方法求解，得出结论。
例6：物理研究中常用到“控制变量法”、“等效替代法”、“理想实验法”等科学方法．在下列研究实例中，运用了“等效替代法”的是（）A．比较物体运动快慢时，在相同时间内比较物体通过的路程B．探究牛顿第一定律的实验C．研究滑动摩擦力与压力大小关系时，保持接触面的粗糙程度不变D．在力的合成中，引入合力的概念解：A．比较物体运动快慢时，在相同时间内比较物体通过的路程，采用的研究方法是控制变量法，不符合题意；B．探究牛顿第一定律的实验，采用的是极端假设法，是一种理想实验，不符合题意；C．研究滑动摩擦力与压力大小关系时，保持接触面的粗糙程度不变，采用的研究方法是控制变量法，不符合题意；D．在力的合成中，引入合力的概念，采用的是等效替代法，符合题意；故选D．点评：解决此类物理学方法问题，要结合研究对象判断所用的研究方法．例7：我们要比较两电流的大小，可以通过观察流过同一灯泡时其明亮程度得知，这种方法叫做“转换法”．以下探究实验属于转换法的是（）A．为了形象直观地描述磁场，引入磁感应线B．探究物体吸热与哪些因素有关C．探究两串联电阻总电阻的大小相当于一个较大的电阻D．通过两磁体吸引大头针的多少来比较其磁性的强弱分析：转换法是中学物理中一种重要的研究方法，也就是借助某些物体的特性来研究看不到或不易观察到物质，形象直观．解：A、为了形象直观地描述磁场，引入磁感应线，采用的是“等效替代法”，不符合题意．B．探究影响物体吸热的因素时，使用了控制变量法，故此选项不符合题意；C．探究两串联电阻总电阻的大小相当于一个较大的电阻，采用的是“等效替代法”；符合题意．D．通过两磁铁吸引大头针的多少来比较其磁性的强弱，采用的是转化法；符合题意．故选D．点评：本题主要考查学生对一些常用的物理学方法的了解和掌握，此题还涉及到类比法、控制变量法、模型法．例8：探究平面镜成像时，由于平面镜成_____像，无法用光屏承接。
为了找到像的位置，小马用透明玻璃代替平面镜，将一支点燃的蜡烛放在玻璃前，将另一支未点燃的饿同样的蜡烛放在玻璃后面，使它与点燃的蜡烛的像的位置__________。
这在物理学中称作等效法。
分析：（1）要解决此题，需要掌握平面镜成像的特点．同时掌握等效法在实验中的应用，为了探究平面镜的成像特点在实验中用一个与物体完全相同的蜡烛放在像的位置．（2）要解决此题，需要掌握凸透镜成像的规律内容．凸透镜成像规律：物距小于焦距成正立放大虚像．应用是放大镜．物距大于一倍焦距小于二倍焦距成倒立放大实像，像距大于二倍焦距．应用是幻灯机、投影仪．物距等于二倍焦距成倒立等大实像，像距等于二倍焦距．物距大于二倍焦距成倒立缩小实像，像距大于一倍焦距小于二倍焦距．应用是照相机．解：（1）平面镜成的像是反射光线的反向延长线的交点，所以是虚像，不能成在光屏上．为了找到像的位置，并判断像与物之间的关系，实验中用一个相同的蜡烛放在像的位置，使蜡烛与像重合．这种方法是等效法．故答案为：虚；重合．（2）凸透镜成的是倒立的实像，而表格中f＜u＜2f时，成了正立的实像，所以错误．应将正立改为倒立．点评：此题主要是探究平面镜成像的特点与凸透镜成像的特点，其中考查了平面镜成像的操作，为了确定像与物的关系，实验中用了一个相同的蜡烛，这种方法是等效法．同时考查了凸透镜成像的规律，要熟记规律的内容，总结里面规律性的东西．四、比较法比较法是通过观察，分析，找出研究对象的相同点和不同点，它是认识事物的一种基本方法。
例9：为了比较酱油和醋这两种液体的密度大小，现有器材如下：①托盘天平（已调平衡，不含砝码），②弹簧测力计，③刻度尺，④两个相同的烧杯，⑤拴着细线的物块A（密度大于两种液体的密度），⑥立方体物块B（密度小于两种液体的密度）．请写出用两种方法比较它们密度大小所需器材的组合．方法一：；方法二：．如果是在家里，你能迅速而又巧妙地完成这件事吗？说说看，你是怎么做的？分析：本题的关键是选择的器材搭配是否合理，引导学生逐一分析各种器材测量的物理量是什么，学生明白了这些知识点，就会正确做出选择．利用手中的器材，测出液体的质量和体积，然后利用公式ρ=mV就可比较两种液体密度的大小．解：在引导学生分析各种器材的作用后，总结如下：方法一：两种液体及①托盘天平（已调平衡，不含砝码）、④两个相同的烧杯，从天平的读数中可比较出两种液体密度大小．方法二：两种液体及④两个相同的烧杯、③刻度尺、⑥立方体物块B，可比较出两种液体密度大小．本题还有第三种方法见（方法三）：两种液体及②弹簧测力计、④两个相同的烧杯、⑤拴着细线的物块A（密度大于两种液体的密度）．在家里用相同容器量取相同体积的酱油和醋，称质量大小，质量小的密度小．点评：本题考查的知识点较多，有天平的使用，刻度尺，弹簧测力计，密度的应用，是一道综合题，本题贴近生活，体现了从物理走向生活这一理念．例10：有两杯不同的液体，现提供如下器材：①托盘天平（已调节平衡，不含砝码），②弹簧测力计，③两个质量和形状完全相同的烧杯，④拴着细线的物块（其密度大于这两种液体的密度），⑤刻度尺。
请你用两种方法比较它们的密度大小。
要求写出：所选用器材的序号，并简要说明比较的方法。
分析：用天平比较液体的密度大小，可用质量和形状完全相同的烧杯分别装相同体积的液体作为砝码，放在两盘，比较其质量大小，质量大的则密度大．用弹簧测力计比较液体的密度大小，可先测出一物体的重力，再分别浸入两种液体中，看弹簧测力计的示数变化，即比较所受浮力大小，体积相同时，所受浮力越大，液体密度越大．解：方法一：所选用器材：①③⑤或①③在两个质量和形状完全相同的烧杯内分别装入这两种不同的液体．用刻度尺测量这两杯液体等高．（或者将这两种不同的液体装满在两个质量和形状完全相同的烧杯中亦可）；将这两杯等体积的液体分别放入已调节平衡的托盘天平的左右盘中．指针偏向的一边质量要大，即该盘杯中所装液体的密度大．方法二：所选用器材②④在两个质量和形状完全相同的烧杯内分别装入这两种不同的液体．用弹簧测力计测出栓细线的物体的重．（此步骤可省略）再将物体分别浸入这两种液体中，读出此时弹簧测力计的示数，其示数越小，表示所受浮力越大，则该杯中所装液体密度大．方法三：所选用器材①②③或①③在两个质量和形状完全相同的烧杯中装入这两种不同液体．将这两杯不同的液体分别放入已调平衡的托盘天平的左右盘中，调节天平中的液体使天平重新平衡．利用刻度尺比较这两杯等质量液体的体积，体积小的那杯所装液体的密度大．点评：此题用不同的器材要比较出两种液体的密度大小，学生要对密度的测量非常熟练，同时还要用到浮力知识来比较．难度较大．考查了学生的综合分析能力和实验能力．五、图象法利用图象这种特殊且形象的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律，这种方法称为图象法。