第11讲算符特点证明题
量子力学习题
= Ly z − Lz y + yLz − zLy = ( Ly z − zLy ) + ( yLz − Lz y ) = [ Ly , z ] + [ y, Lz ] = 2ix = (2ir ) x
= Ly pz − Lz p y + p y Lz − pz Ly = ( Ly pz − pz Ly ) + ( p y Lz − Lz p y ) = [ Ly , pz ] + [ p y , Lz ]
① 写出Ψ（ｘ，ｔ）； ② 求在Ψ（ｘ，ｔ）态中测量粒子的能量的可能值及其概率。 ③ 求 ｔ＝０ 时的＜ｘ＞（即坐标的平均值），并问＜ｘ＞是否随时间 ｔ 变化。
x 2 + y 2 + z 2 ， k、α 是实
的正常数。求： ① 粒子的角动量是多少？ ② 角动量 ｚ 方向的分量的平均值。 ③ 若角动量的 ｚ 分量 L z 被测量，求 L z = + 的概率有多大？ ④ 发现粒子在θ、φ方向上 ｄΩ立体角内的概率是多少？θ、φ是通常球 坐标中的方向角。
二、 算符的本征态及力学量的测量
１、证明：若两个算符具有共同的本征态，而且这些本征态构成体系状态的完备 集，则这两个算符对易。
Axe− λ x ( x > 0) ψ ( x) (λ > 0) = 0( x < 0) ２、一维运动的粒子处在 求动量和坐标的不确定度，
并验证不确定关系
并说明算符 Ａ、Ｂ 厄米性。 ５、证明：设 A、B 都是矢量算符 Ｆ 是标量算符，证明： F , A ⋅= B F , A ×= B F , A ⋅ B + A ⋅ F , B F , A × B + A × F , B
证明角动量算符是厄米算符
证明角动量算符是厄米算符要证明角动量算符是厄米算符，我们需要证明它的本征值是实数，以及它满足厄米算符的性质。
首先，我们考虑角动量算符的本征值问题。
设一个态函数$|\psi\rangle$是角动量算符$\hat{L}$的本征态，对应的本征值为$\lambda$，即$\hat{L}|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle$。
我们希望证明$\lambda$是实数。
首先我们将$|\psi\rangle$在坐标表象下展开：$|\psi\rangle = \int d^3x\psi(\mathbf{x})|\mathbf{x}\rangle$，其中$\psi(\mathbf{x})$是态函数的波函数表示，$|\mathbf{x}\rangle$是坐标算符的本征态。
那么角动量算符在坐标表象下的表示为$\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\rangle$。
我们来考虑$\hat{L}|\psi\rangle$在坐标表象下的表示：$$\hat{L}|\psi\rangle = \intd^3x'\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\rangle\intd^3x\psi(\mathbf{x})|\mathbf{x}'\rangle\\=\intd^3x'\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\rangle\psi(\mathbf{x}') $$然后我们来考察$|\psi\rangle$与$\hat{L}|\psi\rangle$的内积：$$\langle\psi|\hat{L}|\psi\rangle = \int d^3x\intd^3x'\psi^*(\mathbf{x})\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\rangle\psi(\mathbf{x}')\\=\int d^3x\intd^3x'\psi^*(\mathbf{x})\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\ran gle\psi(\mathbf{x}')\\=\int d^3x\intd^3x'\psi^*(\mathbf{x'})\langle\mathbf{x}'|\hat{L}|\mathbf{x}\ra ngle\psi(\mathbf{x})$$上述的两行等式中，我们可以交换积分顺序，因为积分是与算符无关的。
高二物理竞赛课件：算符的一般特性
( I ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与x对 易 ， 但 是pˆ x 与x不 对 易 ； ( II ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与z对 易 ， 而pˆ x 与z对 易 。
对易括号
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上， 对波函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu=v
表示 Ô 把函数 u 变成 v，
Ô 就是这种变
换的算符。
du / dx = v
d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
当 m n 时，氦激发态 4 度交换简并，应该使用简并
微扰论。
I II
S(A(00))((rr11,,rr22))AS((ss11zz,,ss22zz))S(A(00))130m
s
(ms 0,1.)
其中：
(0) S
(r1
,
r2
)
(0) A
(r1
,
r2
)
1 2
[
n
(r1
)
m
(r2
)
n
(r2
对易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
算符的运算规则
y
y
x
Rz ( )
x
当 1 ，即在无穷小转动下，对 R (r) 做泰勒展开，精确
到一级项有 R (r) 1 i Lz (r)
（3.2.42）
3.2 算符旳运算规则
所以，状态 (r) 在空间转动后变为另一状态 R (r) ，它
等于某个变换算符作用于原来态上旳成果，而该变换算
符 ia Lz
➢ 算符之和 A B A B
（3.2.4）
为任意波函数。显然，算符之和满足互换率和结合律
AB B A
A B C A B C
显然，线性算符之和仍为线性算符。
➢ 算符之积
( AB) A(B )
注：一般情形
AB BA
（3.2.5） （3.2.6）
3.2 算符旳运算规则
Lx
i
(sin
ctg cos )
Ly
i
( cos
ctg sin )
Lz i
（3.2.28）
（3.2.29） （3.2.30） （3.2.31） （3.2.32）
3.2 算符旳运算规则
由此可得：Lx 2
2[sin2 2 2ctg sin cos 2 ctg 2 cos2 2
同理： LzYlm ( ,) m Ylm ( ,)
（3.2.41）
即在 Ylm 态中，体系旳角动量在 z 轴方向投影为 Lz m
一般称 l 0 旳态为s 态，l 1, 2,3旳态依次为 p, d, f 态。
3.2 算符旳运算规则
目前考虑角动量算符旳物理意义。设体系绕 z 轴滚
动 角并以 Rz ( )算符变换表达：rR Rz ( ) (r) ，
所以
2
2
量子力学— —算符
，都是厄米算符。
对于任意量子态
，
。所以，动量算符确实是一个厄米算符。 动量算符确实是一个厄米算符
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1.2 （位置算符）本征值与本征函数
假设，位置算符 的本征值为 的本征函数是 。用方程表达， 这方程的一般解为，
其中， 虽然
是常数， 无法归一化：
是狄拉克δ函数。
设定
= 1，我们可以使
满足下述方程：
们立刻再测量可观察量
，得到的答案必定是
可是，假若，我们改为测量可观察量 为
，则量子态不会停留于本征态
的本征态。假若，得到的测量值为其本征值
，则量子态几率地坍缩为本征态
根据不确定性原理， 的不确定性与 与 之间， 与 的不确定性的乘积 之间，也有类似的特性。 ，必定大于或等于 。
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3.1 角动量算符 简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系 统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力 学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计 算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现 于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是 以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定 性(deterministic)行为。
量子力学
算 符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋 7.3.4 自旋与统计
二、动量算符
力学的算符表示和表象
(18)
对于 p y ， p z 也有同样的等式。如果 G px 是 p x 的解析函数，且可展成 p x 的幂级数 G p x Cn p x n (19)
n
则有
n ˆx G px G px Cn * r , t p r , t dr n
(1)
等均代表对 的运算。概括起来讲，设某种运算将函数 变为函数 u，记作
ˆ u Fv
ˆ 称作算符。若算符 F ˆ 满足 则表示这种运算的符号 F
(2)
ˆ c v c v c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 v1 c2 Fv2
(3)
ˆ 为线性算符。动量算符， 其中 v1 和 v2 是任意函数， c1 和 c2 是常数（一般为复数） ，则称 F
(3)
（二）再论(归一化的) r , t 和 C r , t 的物理意义
2 2
与波函数相联系的粒子，一般既不具有精确的位置，有不具有精确的动量。一般 地，对于 ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量 时，我们不能对测量结果做确定的预言，但是对于 N 个大量数目、彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数 ψ 描述） ，如果我们对它们中的每一个做位置测量，则 给
（一）统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态参量 ξ，得到相应的值为 A1,A2……AS，在 总的试验次数 N 中，得到这些值的次数分别是 N1,N2,……NS，则 ξ 的（算数）平均值为
AN
i 1 s i
s
i
N
i 1
Ai
i 1
s
Ni N
(1)
i
当总的试验次数 N 时，量 ξ 的平均值的极限便是ξ的统计平均值
量子力学 算符
ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
三年级上奥数第11讲 巧添算符
【例 1】在下面每两个数字之间填上“＋”或“－”，使等式成立． 2 4 （ 1） 1 3 5 6 ＝ 1
（ 2 ）1
2
3
4
5
6
7
8
9 ＝ 1
【巩固 1】在下面每两个数字之间填上“＋”或“－”，使等式成立． 1 2 4 3 5 6 ＝ 3
【例 2】在合适的地方填上“ ”，使等式成立.（位置相邻的两个数字可以组成一个数）. （ 1） 1 2 3 4 5 60
8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8
） ，使下列各个等式成立. 8= 0 8= 1 8= 2 8= 3
【例 6】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立.
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1
2
3
4
5 = 10
1
2
3
4
5 = 10
（ 2 ）1
2
3
4
5
6 75
【巩固 2】在合适的地方填上“ ”，使等式成立.（位置相邻的两个数字可以组成一个数）.
1
2
3
4
5
6 102
【例 3】填上适当的运算符号，使算式成立 . （ 1 ）3 10 5 4=24
（ 2 ）11
5
6
高量2-算符ppt课件
显然它符合普通代数中的二项式定理
[ A B]n
n! Ani Bi
i0 (n i)!i!
我们知道，根据定义
e AB 1( A B)i i0 i!
当 [ A, B] 0 时， e AB e AeB（利用定义式可以证明）
现在规定
e AeB e[ AB] 1 [ A B]i
下面规定一种符号[ A B]n ，其意义是，不管A, B是 否对易，( A B)n中A一律写在B前面所得的式子，如
[ A B]2 A2 2AB B2 [ A B]3 A3 3A2B 3AB2 B3
21
[ A B]2 A2 2AB B2
[ A B]3 A3 3A2B 3AB2 B3
对于[B, A(i) ]型的多重对易式亦有类似的公式。
n
例1 证明： AnB
n! [ A(i) , B]Ani
i0 (n i)!i!
[证]利用数学归纳法
1) 当n=1时，上式变为 AB BA[A, B] 这是显然的。
15
2) 若原式成立，即
n
AnB
n! [ A(i) , B]Ani
A | |
若算符A所建立的这个对应关系是一一对应的， 则由 | 到 | 的逆对应关系存在。这种关系称 为A的逆算符，用 A-1表示，即
A-1 | |
显然
A-1A AA1
逆算符A1的定义域和值域分别是 A的值域和定义域
逆算符相当于算符的除法，有时也可写为
(6)算符的函数
(AB)C A(BC) A3 AAA
可用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数
1-05 算符
(壹x上) 量子力学基础第五节算符一、算符的定义和运算二、算符的本征方程、本征值、本征函数三、线性算符四、厄米算符小结作业思考题一、算符的定义和运算返回上页下页返回上页下页设符号代表某个运算规则，按此规则，由一个函数f 可唯一地确定另一个函数g ，记作符号称为算符.[算符的定义]Af g ˆ=AˆAˆ返回上页下页通常，算符记号上带有抑扬符“∧”.但是，对于单纯做乘法的算符，“∧”可省略.注可直接写做x ； ˆ()xx ⋅(5⋅)可直接写作5 .5ˆ例如，返回上页下页算符的等价性设和是两个算符，若对任意函数f 都有，则称和相等，记作.AˆB ˆf B f A ˆˆ=B A ˆˆ=[算符的运算]AˆB ˆ返回上页下页算符的加法(减法)AB f Af Bf ˆˆˆˆ()±=±Df x Df x f x ˆˆˆˆ(3)()()3()+=+例如，f x f x ()3()′=+规定：称为与的和(差).A ˆB ˆA Bˆˆ±运算规律：AB B A [交 换律 ]ˆˆˆˆ+=+AB C A B C 结合律] ˆˆˆˆˆˆ()()[++=++返回上页下页一般而言，(算符的乘法不满足交换律).ABBA ˆˆˆˆ≠对易子如果，即，则称和可对易；否则，就是不可对易的.A B ˆˆ[,]0=A BˆˆAB AB BA ˆˆˆˆˆˆ[,]=−规定：称为与的对易子.AB ˆˆ[,]A ˆB ˆAB BA ˆˆˆˆ=但不排除对某些特定的算符有.ABBA ˆˆˆˆ=返回上页下页对易子的恒等式(证明留作练习)：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A−=n A A ˆˆ[,]0=二、算符的本征方程、本征值、本征函数返回上页下页返回上页下页则⎯⎯常数a 称为的本征值;非零函数f 称为的属于(对应于)本征值a 的本征函数;ˆAaf f A =ˆ设：是算符，f 是非零函数，a 是常数.如果AˆˆA称为的本征方程.ˆA af f A=ˆ返回上页下页(3)本征函数总是和本征值联系在一起，一个本征函数不能同时属于两个不同的本征值；(4)对应于同一个本征值，可能有不止一个线性无关的本征函数.说明(1) 本征函数f 要求是非零函数(不恒等于零)；(2)一般而言，本征值(复数域)，相应的，本征函数f 是复函数.a ∈ 假设，则有.本征函数f 是非零函数，于是a =b ，矛盾., 其中ˆˆ()Afaf Af bf a b ==≠()0a b f −=三、线性算符返回上页下页返回上页下页线性算符有如下的对易子恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A B Ak ==]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A+=+]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B C A C B A+=+C B A C A B C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[+=B C A C B A C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[+=[线性算符的对易子]例6. 由，计算对易子和D xˆˆ[,]1=x i D ˆ[,]− x D 2ˆ[,]]ˆ,[2D x x i Dˆ[,]− i x D ˆ[,]=− i D x ˆ[,]= D ˆ2−=D D ˆˆ−−=D D x D x Dˆ]ˆ,[]ˆ,[ˆ+=i = 解返回上页下页112211221122ˆˆˆ()D c f c f c f c f c Df c Df ′′+=+=+都是线性算符，2ˆˆˆ,,xD D 222112211221122ˆˆˆ()D c f c f c f c f c D f c D f ′′′′+=+=+11221122()x c f c f c xf c xf ⋅+=⋅+⋅因此，返回上页下页[线性算符的性质]若f 1,f 2是线性算符的属于同一个本征值a 的本征函数，则它们的任意非零线性组合c 1f 1+c 2f 2(即c 1,c 2是任意常数但要保证c 1f 1+c 2f 2是非零函数)仍然是属于a 的本征函数.证2211ˆ ,ˆ af f A af f A==∵ 1122ˆ()A c f c f ∴+2211ˆˆf A c f A c +=注此性质对更多本征函数也成立.Aˆ2211af c af c +=)(2211f c f c a +=当c 1f 1+c 2f 2为非零函数时，是对应于a 的本征函数.四、厄米算符返回上页下页返回上页下页如果算符满足：则称算符是厄米算符.d d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫AˆAˆ[厄米算符的定义](f ,g 是任意的品优函数)说明(1)一般来说，算符的本征值是复数域上的数.但是，厄米算符的本征值一定是实数.(2)一般来说，算符的本征函数不一定正交.但是，对于线性厄米算符，①非简并本征值：有且有一个线性无关的本征函数，任选一个；②简并本征值：能够选出一个两两正交的最大线性无关组[线性厄米算符的性质2(2)].所选的的这一系列本征函数必定是两两正交的[线性厄米算符的性质2(1)].返回上页下页四、小结作业思考题返回上页下页小结返回上页下页1算符的概念；算符的加法、乘法、幂及其运算规则.m n m n m n mn A A A A A； ˆˆˆˆˆ()+==[加法交换律] ˆˆˆˆAB B A +=+加法结律 合 ]ˆˆˆˆˆˆ()()[AB C A B C ++=++ [乘法结合律]ˆˆˆˆˆˆ()()ABC AB C =返回上页下页2对易子ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA =−如果(即)，则称和可对易.ˆA ˆB 重要的恒等式:ˆˆ[,]0AB =ˆˆˆˆAB BA =]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A−=n A A ˆˆ[,]0=ˆˆ[,]AB返回上页下页3算符的本征方程、本征值、本征函数.af f A =ˆa 为常数，称为本征值；f 是非零函数，称为属于本征值a 的本征函数.的本征方程：ˆA4线性算符的概念和性质.()A c f c f c Af c Af 11221122ˆˆˆ+=+( f 1和f 2是任意函数；c 1和c 2是任意常数)返回上页下页线性算符的运算规律：线性算符的对易子恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A B Ak ==ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A C B C +=+[左分配律] ˆˆˆˆˆˆˆ()AB C AB AC +=+[分 律] 右配ˆˆˆˆˆˆˆ()BC A BA CA +=+ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+C B A C A B C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[+=B C A C B A C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[+=返回上页下页(本征值的简并度：属于该本征值的全体本征函数中，最大线性无关组所含的函数个数)线性算符的性质：线性算符的属于同一个本征值的本征函数的任意非零线性组合，仍是属于同一个本征值的本征函数.返回上页下页5厄米算符的概念和性质. d d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫(f ,g 是任意的品优函数)线性厄米算符的性质：1. 厄米算符的本征值必然是实数；2.(1)厄米算符属于不同本征值的本征函数必然是相互正交的;(2)线性算符的属于简并本征值的全体本征函数中，能够选出一个两两正交的最大线性无关组.作业p.145，第26，27，28题返回上页下页返回上页下页思考题下列哪些算符可对易⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) ˆˆ,x y (B),x y ∂∂∂∂(C),x x ∂∂ (D),y x∂∂返回上页下页[提示]可对易⇔.将作用于二元函数f (x ,y )可得.[答案] (A)(B)(D)即 ˆˆˆˆˆˆ[,]00A B AB BA =−=ˆˆ,AB ˆˆˆˆABBA −ˆˆ[,]A B附录线性厄米算符性质的证明返回上页下页返回上页下页线性厄米算符的性质2(1)厄米算符的属于不同本征值的本征函数必然是相互正交的;(2)线性算符的属于同一个简并本征值的全体本征函数中，可选出两两正交的最大线性无关组.(1) 设是厄米算符，f , g 是分别属于两个不同特征值a , b 的本征函数，即ˆAd d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫证； ()ˆˆAf af Agbg a b ==≠根据厄米算符的定义，有d d **()f bg g af ττ=∫∫d d ***b f g a gf ττ=∫∫返回上页下页上式中a *≠b (∵厄米算符的本征值是实数，a*=a ，而a ≠b )，从而有是相互正交的d 即*0,,g f g f τ=∫一般而言，{f 1,f 2,…,f n }不是两两正交的.但是，从最大线性无关组{f 1,f 2,…,f n }出发，利用施密特正交化方法，能够构造出一个等价的非零正交函数组{ϕ1,ϕ2,…,ϕn }.方法如下(参见数学复习)：(2)设是线性算符，f 1,f 2,…,f n 是属于简并本征值a 一个最大线性无关组.ˆA。
第11讲3厄米算符和连续谱3-4
ˆ ˆ * * O * O n m 取共轭 O n n n
ˆ O O O 所以 n m n m m m n m
得到 On n m Om n m Om On m n 结论 m n 0——正交 合并： m n mn 正交归一
量子力学
主讲：林洁丽
alishalin@
电子与信息工程学院光信息工程系
2012年9月
第三章 矩阵力学
提纲
§3.1 力学量的平均值 §3.2 算符的运算规则 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数（简介） §3.5 量子力学中力学量的测量值 §3.6 不确定性原理
厄密算符的本征值是实数的证明
厄密算符的本征值是实数的证明（经典题目） 利用厄密算符定义：ψ*ÂΦdx=(Âψ)*Φdx，可以 证明密算符的本征值是实数。 设厄密算符Â属于本征态ψ的本征值为λ，则 Âψ=λψ 令Φ=ψ则有：ψ*Âψdx=(Âψ)*ψdx 利用本征方程上式左边和右边分别得到： 左边=ψ*λψdx=λψ*ψdx，右边=(λψ)* ψdx=λ*ψ*ψdx， 所以λψ*ψdx =λ*ψ*ψdx，即λ=λ*，因此λ 是实数。
返回
厄米算符典型特性
厄米算符的本征值是实数
ˆ dr O ˆ dr O O
ˆ O dr
O
逆定理：在任何状态下平均值为实数的算 符必定是厄米算符。
返回
厄米算符本征函数系的完备性
通过算符本征方程求得的一组本征函数是
n
任何满足同样边界条件且在同样区间内定 义的波函数都可以由它展开（因为）：
第三章 算符之间的对易关系 ppt课件
• 例题三 求粒子处于Ylm 时角动量x分量和 y分量的平均
值 Lx , Ly , L2x 。
解：首先应注意，Y lm
是
L2
,
Lz
的共同本征函数，而 Lx , Ly , Lz
不对易，故Y lm 不是 L x , L y 的本征函数。
利用对易关系
[Ly,Lz]iLx
，则
Lx Yl*mLxYlmd
ddFtddt*(x,t)F(x,t)dx
*
Fd
t
*
x t
Fd
x*F t d
x
• 利用（38）式及其共轭式，考虑到 F 的厄米性，可得
dF dt
Ft i1[F,H]
（39）
力学量平均值随时间的变化规律
• 4.2运动恒量（守恒量）
（39）式中，若算符 F 不显含时间，则
i1 Yl*mL yL zYlmd
Yl*mLz
L yYlm d
i1 Yl*mL y(L zYlm)d (L zYlm)*L yYlm d i1mYl*mL yYlm dmYl*mL yYlm d0
• 同理
Ly 0
• 由于坐标 x与 y的对称性，可得 L2x L2y ，故
p * pdxiA2 x ex d(x ex)dx
0
0
dx
iA 2 (xx2)e2xd x0 0
p2 0
* p2
dx2A2
x ex
0
dd22 x(x ex)dx
2 A 20 ( 2 x 2 x 2 ) e 2 x d x 2 A 2 2( 2 1 ) 2 2 ( 2 2 ) 3 2 2
力学量守恒定理不确定关系逆定理共同本征态定理包括算符之间的对易关系11算符的基本运算关系之和定义为为任意函数一般例如粒子的哈与势能算符之和算符之积对函数的作用有先后作用次序问题一般不能颠倒个相同算符下面几个经常使用的对易关系请自行证明12坐标算符与动量算符的对易关系坐标算符是乘数因子相互对易动量算符是微分算符因为坐标算符与动量算符
小学三年级奥数第11课巧填算符1试题附答案-精品
小学三年级上册数学奥数知识点讲解第11课《巧填算符1》试题附答案第十一讲巧填算符（一）所谓填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
在填算符的问题中，所填的算符包括+、-、X、+、0、口、{}O解决这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推法，有时两种方法并用。
凑数法是根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，然后，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。
逆推法常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
例1在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。
88888888=1000例2在下列算式中合适的地方添上+、二X使等式成立。
①987654321=1993②123456789=1993例3在下面算式合适的地方添上+、-、X号，使等式成立。
3333333333333333=1992例4在下面算式合适的地方添上+、=X,使等式成立。
12345678=195在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号使等式成立。
123456789=100例6在下列算式中合适的地方，添上0口，使等式成立。
①1+2X3+4X5+6X7+8X9=303②1+2X3+4X5+6X7+8X9=1395③1+2X3+4X5+6X7+8X9=4455答案笫十一讲巧填算符（一）所谓填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
在填算符的问题中，所填的算符包括+、-、X、+、O、口、。
解决这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推法，有时两种方法并用。
凑数法是根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，然后，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。
逆推法常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
例1在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。
第11讲算符特点证明题
（2）例子证明坐标算符和动量算符是线性厄密算符。
而对数算符不是线性算符。
证明：以一维情况为例。
坐标算符为x，动量算符为pˆ=-iћ∂/∂x。
i．因为rˆ=x，则有rˆ(c1ψ1+c2ψ2)=x(c1ψ1+c2ψ2)=c1xψ1+c2xψ2=c1rˆψ1+c2rˆψ2，所以坐标算符x是线性算符。
又因为x是实数，⎰ψ*xΦdx=⎰xψ*Φdx=⎰(xψ)*Φdx，因此坐标算符是厄密算符。
同理y、z分量的算符也是线性厄密算符。
ii．对于动量算符，有pˆ(c1ψ1+c2ψ2)=-iћ∂/∂x(c1ψ1+c2ψ2)=c1(-iћ∂ψ1/∂x)+c (-iћ∂ψ2/∂x)=c1pˆψ1+c2pˆψ2，2所以动量算符pˆ是线性算符。
又因为⎰ψ*pˆΦdx=-iћ⎰ψ*∂Φ/∂xdx=-iћ⎰ψ*dΦ=-iћψ*Φ|∞+iћ⎰Φdψ*=iћ⎰∂ψ*/∂xΦdx（该等号成立的条件是：ψ*(-∞)=ψ*(∞)和Φ(-∞)=Φ(∞)，讨论：当ψ、Φ表示束缚态时显然成立；都是自由态的平面波时，也有结论ψ(-∞)=ψ(+∞)和Φ(-∞)=Φ(+∞)；当表示不同本征值的本征态时，由于此时这两个函数必正交，故有：ψ*Φ|∞=⎰∞d(ψ*Φ)= ∂/∂x⎰∞ψ*Φdx=∂/∂x0=0，正交特点：⎰∞ψn*Φm dτ=δnm）=⎰(iћ∂/∂x)ψ*Φdx=⎰pˆ*ψ*Φdx=⎰(pˆψ)*Φdx因此动量算符是厄密算符。
同理p y、p z分量的算符也是线性厄密算符。
iii．设Â=log，则有Â(c1ψ1+c2ψ2)=log(c1ψ1+c2ψ2)≠c1logψ1+c2logψ2=c1Âψ1+c2Âψ2可见对数算符不是线性算符，不能作为表示量子力学中的力学量。
厄米算符的和仍为厄米算符证明
厄米算符的和仍为厄米算符证明我们得知道什么是厄米算符。
你可以把它想成一个神秘的宝箱，打开的时候里面的东西绝对不会乱。
比如说，如果你有一个厄米算符A，和另一个厄米算符B，它们各自的特性都很鲜明。
A的共轭就是A自己，B的共轭也是B自己，明白吗？这就像每个宝箱都有自己的钥匙，开了之后，里面的东西不会变。
好啦，现在咱们来加起来。
A+B是不是也应该有自己的宝箱？当然是的！这就像朋友聚会，大家一起嗨，不会有人突然变得奇怪。
嘿，数学也是如此。
我们要验证A+B的共轭。
咱们先来看A+B的共轭是什么。
根据公式，A+B的共轭其实是A的共轭加B的共轭。
没错，听上去简单吧？所以你把A和B的共轭加起来，结果依然是两个厄米算符，没啥好担心的。
它们的“身份”没有变化，依然是忠诚的守卫。
想想看，如果你有两只小狗，它们都是乖巧的狗狗，那么你把它们放在一起，它们肯定还是乖乖的，不会突然变成猫咪！再说了，算符的和是线性的。
这句话听起来好像有点抽象，但其实它就是告诉你，加法不会改变原有的特性。
你可以随意组合，只要是厄米算符，加起来的结果一定是厄米算符。
比如说，牛肉面和炸酱面，虽然风格不同，但只要都是面，放在一起还是能吃的！所以我们可以大胆地说，厄米算符们聚在一起，一定会组成一个新的大家庭。
再来看看一些实际例子，方便理解。
想象你在调音台上调节音量，A和B分别是两个音轨。
它们的声音都清脆动人，但你想把它们合成一首新曲子。
只要音轨没有变调，最后的音量和效果一定是和谐的，不会变得刺耳。
这就像物理学里的量子力学，多个厄米算符组合在一起，形成一个全新的状态，绝对不会破坏它们原本的特性。
所以说，厄米算符的和依然是厄米算符，这个道理不难理解。
可以说，这是数学中的“乐观主义”，无论怎么组合，结果总是充满希望的。
它告诉我们，合并的力量是巨大的，不管遇到什么问题，只要我们保持真诚和信任，就能得到理想的结果。
在生活中，我们也可以借鉴这个道理。
朋友之间，团队合作，只要每个人都贡献自己的力量，大家齐心协力，最后一定能达成目标。
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（2）例子
证明坐标算符和动量算符是线性厄密算符。
而对数算符不是线性算符。
证明：以一维情况为例。
坐标算符为x，动量算符为=-iћ/x。
i．因为=x，则有(c1ψ1+c2ψ2)=
x(c1ψ1+c2ψ2)=c1xψ1+c2xψ2=c1ψ1+c2ψ2，
所以坐标算符x是线性算符。
又因为x是实数，
ψ*xΦdx=xψ*Φdx=(xψ)*Φdx，因此坐标算符是厄密算符。
同理y、z分量的算符也是线性厄密算符。
ii．对于动量算符，有
(c1ψ1+c2ψ2)=-iћ/x(c1ψ1+c2ψ2)=c1(-iћψ1/x)+c2(-
iћψ2/x)=c1ψ1+c2ψ2，
所以动量算符是线性算符。
又因为ψ*Φdx=-iћψ*Φ/xdx
=-iћψ*dΦ=-iћψ*Φ|+iћΦdψ*
=iћψ*/xΦdx
（该等号成立的条件是：ψ*(-)=ψ*()和Φ(-)=Φ()，讨论：当ψ、Φ表示束缚态时显然成立；都是自由态的平面波时，也有结论ψ(-)=ψ(+)和Φ(-)=Φ(+)；当表示不同本征值的本征态时，由于此时这两个函数必正交，故有：ψ*Φ|=d(ψ*Φ)= /xψ*Φdx=/x0=0，正交特点：ψn*Φm d=nm）
=(iћ/x)ψ*Φdx=*ψ*Φdx=(ψ)*Φdx
因此动量算符是厄密算符。
同理p y、p z分量的算符也是线性厄密算符。
iii．设Â=log，则有
Â(c1ψ1+c2ψ2)=log(c1ψ1+c2ψ2)c1logψ1+c2logψ2=c1Âψ1+c2Âψ2可见对数算符不是线性算符，不能作为表示量子力学中的力学量。