《勾股定理》章末重难点题型汇编

《勾股定理》章末重难点题型汇编【考点1 利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系. 【例1】在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ∆的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．5B ．25C ．7D ．10【分析】根据勾股定理得到225AD AE DE +=，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【答案】解：在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，225AD AE DE ∴=+=， 四边形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．24B ．56C ．121D ．100【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知： E F G S S S =+ A B C D S S S S =+++100=；即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100； 故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式1-2】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以AC 、BC 为直径作半圆1S 和2S ，且122S S π+=，则AB 的长为( )A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】根据勾股定理得到222AC BC AB +=，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【答案】解：由勾股定理得，222AC BC AB +=， 2222111()()()222228AC BC AC BC ππππ⨯+⨯=⨯+=， 解得，2216AC BC +=， 则22216AB AC BC =+=， 解得，4AB =， 故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．【变式1-3】如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等于( )A ．25B ．31C ．32D ．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出2AB 、2AC ，进而得到2BC ，即可解决问题． 【答案】解：如图，由题意得：21213AB S S =+=，23418AC S S =+=， 22231BC AB AC ∴=+=， 231S BC ∴==．故选：B ．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点． 【考点2 判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 【例2】在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( ) A ．4a =，5b =，6c = B ．::5:12:13a b c =C ．2a 3b =5c =D ．4a =，5b =，3c =【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：A 、222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B 、设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C 、(22)(+23)(=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式2-1】a 、b 、c 为ABC ∆三边，不是直角三角形的是( )A ．::3:4:5ABC ∠∠∠= B ．54a =，1b =，34c = C ．222a c b =-D ．8a k =，17b k =，15c k =【分析】利用勾股定理的逆定理判断B 、C 、D 选项，用直角三角形各角之间的关系判断A 选项．【答案】解：A 、::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=， 180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得，15x =︒， 55157590x ∴=⨯︒=︒<︒，故本选项错误；B 、2226810+=，222a b c ∴+=，故本选项正确；C 、222a b c =-，222a c b ∴+=，故本选项正确；D 、22281517k k k +=，222a b c ∴+=，故本选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断． 【变式2-2】下列说法中，正确的有( )①如果0A B C ∠+∠-∠=，那么ABC ∆是直角三角形； ②如果::5:12:13A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形；③ABC ∆为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC ∆是直角三角形； A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案． 【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C ∠为90度； ②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90︒的角；③，，则有2271017x +=； ④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个． 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为90︒来判定． 【变式2-3】如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A 、B 、C 、D 、E 、F 、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )A ．点A 、点B 、点CB ．点A 、点D 、点GC ．点B 、点E 、点FD ．点B 、点G 、点E【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：A 、213637AB =+=，2162541AC =+=，21910BC =+=，371041+≠，不可以构成直角三角形；B 、2161632AD =+=，293645AG =+=，2145DG =+=，32545+≠，不可以构成直角三角形；C 、2361652BE =+=，2252550BF =+=，2112EF =+=，50252+=，可以构成直角三角形D 、225934BG =+=，2361652BE =+=，29110GE =+=，341052+≠，不可以构成直角三角形． 故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【考点3 利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股 定理即可求解.【例3】如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A．20cm B．13cm C．14cm D．18cm【分析】根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可．【答案】解：如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C∠=︒，11052AC cm cm=⨯=，20BC cm=，35PC BC=，12CP cm∴=，由勾股定理得：222251213()AP AC CP cm=+=+=，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【变式3-1】如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为()A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为(23)3dm +⨯，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ， 由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++⨯=， 解得17x =． 故选：B ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【变式3-2】如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )A ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A 、B '， 则13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=， 根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式3-3】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：P A '→，将圆柱展开，2222(162)(6 1.5 1.5)10PA PE EA cm ''+÷+-+=，最短路程为10PA cm '=． 故选：B ．【点睛】此题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【考点4 勾股数相关问题】 【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a 为1个大于1的奇数，b ，c 是两个连续的自然数，且有a ²=b+c ，则a,b,c 为一组勾股数；（2）如果a,b,c 为一组勾股数，那么na ，nb ，nc 也是一组勾股数，其中n 为自然数. 【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）23，24，25（4）7，24，25 （5）【分析】根据勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案． 【答案】解：因为2226810+=；22272425+=，6，8，10，7，24，25都是正整数∴勾股数有2组，故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足222a b c +=，则三角形ABC 是直角三角形．【变式4-1】勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数(a ，b ，)c 通常叫做勾股数．如果三角形最长边2221c n n =++，其中一短边21a n =+，另一短边为b ，如果a ，b ，c 是勾股数，则b = （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数） 【分析】根据勾股定理解答即可． 【答案】解：2221c n n =++，21a n =+ 222b n n ∴=+，故答案为：222n n +【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键． 【变式4-2】观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26⋯⋯ 请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n 组数，则这组数中的第一个数是2(1)n +，第二个是：(2)n n +，第三个数是：2(1)1n ++．根据这个规律即可解答．【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(1)n +；第二个是：(2)n n +；第三个数是：2(1)1n ++．所以第⑦组勾股数：16，63，65． 故答案为：16，63，65．【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．【变式4-3】探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)⋯可发现，23142-=，251122-=，271242-=⋯请写出第5个数组： ． 【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【答案】解：①3211=⨯+，242121=⨯+⨯，2521211=⨯+⨯+；②5221=⨯+，2122222=⨯+⨯，21322221=⨯+⨯+；③7231=⨯+，2242323=⨯+⨯，22523231=⨯+⨯+；④9241=⨯+，2402424=⨯+⨯，24124241=⨯+⨯+；⑤11251=⨯+，2602525=⨯+⨯，26125251=⨯+⨯+，故答案为：11，60，61．【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．【考点5 利用勾股定理求长度】【例5】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC cm =，4BC cm =，求AD ，CD 的长．【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得AD 的长．【答案】解：90ACB ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，5AB cm ∴=．根据直角三角形的面积公式，得 2.4AC BC CD cm AB==． 在Rt ACD ∆中，22 1.8AD AC CD cm -．【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式5-1】在等腰ABC ∆中，已知AB AC =，BD AC ⊥于D ．（1）若48A ∠=︒，求CBD ∠的度数；（2）若15BC =，12BD =，求AB 的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得CBD ∠的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB 的长．【答案】解：（1）在等腰ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥，ABC C ∴∠=∠，90ADB ∠=︒，48A ∠=︒，66ABC C ∴∠=∠=︒，42ABD ∠=︒，24CBD ∴∠=︒；（2）BD AC ⊥，90BDC ∴∠=︒，15BC =，12BD =，9CD ∴=，设AB x =，则9AD x =-，90ADB ∠=︒，12BD =，22212(9)x x ∴+-=， 解得，22518x =， 即22518AB =． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】如图，在ABD ∆中，90D ∠=︒，C 是BD 上一点，已知9BC =，17AB =，10AC =，求AD 的长．【分析】先设CD x =，则9BD BC CD x =+=+，再运用勾股定理分别在ACD ∆与ABD ∆中表示出2AD ，列出方程，求解即可．【答案】解：设CD x =，则9BD BC CD x =+=+．在ACD ∆中，90D ∠=︒，222AD AC CD ∴=-，在ABD ∆中，90D ∠=︒，222AD AB BD ∴=-，2222AC CD AB BD ∴-=-，即22221017(9)x x -=-+，解得6x =，22210664AD ∴=-=，8AD ∴=．故AD 的长为8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据AD 的长度不变列出方程是解题的关键．【变式5-3】如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，16AB cm =，正方形BCEF 的面积为2144cm ，BD AC ⊥于点D ，求BD 的长．【分析】根据正方形的面积公式求得12BC cm =．然后利用勾股定理求得20AC cm =；则利用面积法来求BD 的长度． 【答案】解：正方形BCEF 的面积为2144cm ，14412BC cm ∴=，90ABC ∠=︒，16AB cm =，∴2220AC AB AC cm =+=．BD AC ⊥，∴1122ABC S AB BC BD AC ∆==， ∴485BD cm =． 【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．【考点6 利用勾股定理作图】【例6】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为5的线段；（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，5为直角边的直角三角形．【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；（3）先画出边长为5的线段，再画出直角三角形即可．【答案】解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式6-1】在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为25210+的ABC∆，并求它的面积．【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可．【答案】解：ABC∆是一个周长为25210+三角形，ABC∆的面积111 342413135222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．【变式6-2】正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为101010可；（2）①22210②5510【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．【变式6-3】如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个三边长分别为3，22，5的三角形，一共可画这样的三角形 个．【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出结果．【答案】解：（1）22345+=，ABC ∴∆即为所求， 如图1所示：（2）如图2所示： 222222+=22125+ABC ∴∆，DBC ∆，⋯，都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图--应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．【考点7 勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，a b >．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．【答案】解：选择的是图2，证明：2S c =大正方形，2144()2S S S ab b a =+=⨯+-大正方形小正方形， 2214()2c ab b a ∴=⨯+-， 整理，得22222ab b ab a c +-+=，222c a b ∴=+．故答案为：2，【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．【变式7-1】我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德()Garfield 证明勾股定理所用的图形：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C 、B 、D 三点在一条直线上．（1）求证：90ABE ∠=︒；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：222)a b c +=．【分析】（1）由全等三角形Rt ACB Rt BDE ∆≅∆的判定于性质解答；（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【答案】解：（1）Rt ACB Rt BDE ∆≅∆，CAB DBE ∴∠=∠．90CAB ABC ∠+∠=︒，90ABC DBE ∴∠+∠=︒，1809090o o ABE ∴∠=︒-=．（2）由（1）知ABE ∆是一个等腰直角三角形，212ABE S c ∆∴=． 又21()2ACDE S a b =+梯形，212ABC BDE ABE ACDE S S S S ab c ∆∆∆=++=+梯形， ∴2211()22a b ab c +=+，即222a b c +=． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底⨯高2÷，和梯形的面积公式：（上底+下底）⨯高2÷证明勾股定理．【变式7-2】如图，将Rt ABC ∆绕其锐角顶点A 旋转90︒得到Rt ADE ∆，连接BE ，延长DE 、BC 相交于点F ，则有90BFE ∠=︒，且四边形ACFD 是一个正方形．（1）判断ABE ∆的形状，并证明你的结论；（2）用含b 代数式表示四边形ABFE 的面积；（3）求证：222a b c +=．【分析】（1）利用旋转的性质得出90BAE BAC CAE CAE DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，AB AE =，即可得出ABE ∆的形状；（2）利用四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，即可得出答案；（3）利用四边形ABFE 面积等于Rt BAE ∆和Rt BFE ∆的面积之和进而证明即可．【答案】（1）ABE ∆是等腰直角三角形，证明：Rt ABC ∆绕其锐角顶点A 旋转90︒得到在Rt ADE ∆，BAC DAE ∴∠=∠，90BAE BAC CAE CAE DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，又AB AE =，ABE ∴∆是等腰直角三角形；（2）四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，∴四边形ABFE 的面积等于：2b ．（3）BAE BFE ACFD S S S ∆∆=+正方形 即：1122()()22b c b a b a =++-， 整理：222()()b c b a b a =++-222a b c ∴+=．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出BAE BFE ACFD S S S ∆∆=+正方形是解题关键．【变式7-3】ADE ∆和ACB ∆是两直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中90DAB ∠=︒，求证：222a b c +=．【分析】连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，根据ACD ABC ADB DCB ADCB S S S S S ∆∆∆∆=+=+四边形即可求解．【答案】证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-．21122ACD ABC ADCB S S S b ab ∆∆=+=+四边形． 又()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a ∆∆=+=+-四边形 ∴221111()2222b abc a b a +=+- 222a b c ∴+=【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．【考点8 勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例8】如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC ∠=︒．（1）连结AC ，求AC 的长；（2）求ADC ∠的度数；（3）求出四边形ABCD 的面积【分析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，20AB cm =，15BC cm =，∴由勾股定理可得：2222201525AC AB BC cm =+=+=；（2）在ADC ∆中，7CD cm =，24AD cm =，222CD AD AC ∴+=，90ADC ∴∠=︒；（3）由（2）知，90ADC ∠=︒，∴四边形ABCD 的面积2112015724234()22ABC ACD S S cm ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=， 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．【变式8-1】如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC ∠=︒，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，在Rt ADC ∆中，已知AB ，BC 的长，运用勾股定理可求出AC 的长，在ADC ∆中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt ACD ∆与Rt ABC ∆的面积之差．【答案】解：连接AC ，90ABC ∠=︒，12AB =，9BC =，15AC ∴=，39CD =，36DA =，222215361521AC DA +=+=，22391521CD ==，ADC ∴∆为直角三角形，ACD ABC ABCD S S S ∆∆∴=-四边形 1122AC AD AB BC =⨯-⨯ 11153612922=⨯⨯-⨯⨯ 27054=-216=．故四边形ABCD 的面积为216．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出ACD ∆的形状是解答此题的关键．【变式8-2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，12DC =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，然后根据勾股定理求出AC 的长度，再根据勾股定理逆定理计算出90ACD ∠=︒，然后根据四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ACD +∆的面积，列式进行计算即可得解．【答案】解：连接AC ，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，2222345AC AB BC ∴++=，12DC =，13AD =，222251225144169AC DC ∴+=+=+=，2213169AD ==，222AC DC AD ∴+=，ACD ∴∆是90ACD ∠=︒的直角三角形，四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ACD +∆的面积， 1122AB BC AC CD =+ 113451222=⨯⨯+⨯⨯ 630=+36=．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接AC ，构造出直角三角形是解题的关键．【变式8-3】如图，四边形ABCD 中，4AB BC CD AD ====，90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 和CD 边上的点，且14CE BC =，F 为CD 的中点，问AEF ∆是什么三角形？请说明理由．【分析】根据正方形的性质和勾股定理能求出AE ，AF ，EF 的长，从而可根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状．【答案】解：4AB BC CD AD ====，4AB =，14CE BC =， 1EC ∴=，3BE =，F 为CD 的中点，2DF FC ∴==，90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒，22215EF ∴+，224220AF =+=，224325AE =+=．222AE EF AF ∴=+．AEF ∴∆是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．【考点9 勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，∴旗杆的高度为15米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式9-1】如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【分析】在Rt ABC ∆中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC ∆中：90CAB ∠=︒，17BC =米，8AC =米， 2215AB BC AC ∴=-=（米)，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD ∴=-⨯=（米)，22100646AD CD AC ∴=-=-=（米)，1569BD AB AD ∴=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式9-2】某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km 的A 、B 两站之间E 点修建一个土特产加工基地，使E 点到C 、D 两村的距离相等，如图，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，15DA km =，10CB km =，求土特产加工基地E 应建在距离A 站多少km 的地方？【分析】设AE x =千米，则(25)BE x =-千米，再根据勾股定理得出2222DA AE BE BC +=+，进而可得出结论．【答案】解：设AE x =千米，则(25)BE x =-千米，在Rt DAE ∆中，222DA AE DE +=，在Rt EBC ∆中，222BE BC CE +=，CE DE =，2222DA AE BE BC ∴+=+，22221510(25)x x ∴+=+-，解得，10x =千米．答：基地应建在离A 站10千米的地方．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．【变式9-3】勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 向外移了多少米？（注意：3.15 1.77)≈【分析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB =-即可得出结论． 【答案】解：Rt OAB ∆中， 2.6AB m =， 2.4AO m =，222226241OB AB AO m ∴=-=-=；同理，Rt OCD ∆中，2.6CD m =， 2.40.5 1.9OC m =-=，22222619 3.15 1.77OD CD OC m ∴=-=-=，1.7710.77()BD OD OB m ∴=-=-=．答：梯子底端B 向外移了0.77米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【考点10 利用勾股定理解折叠问题】【例10】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE ∆的面积．【分析】由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得6AC AE cm ==，90DEB ∠=︒，由勾股定理可求DE 的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：6AC cm =，8BC cm = 2210AB AC CB cm ∴=+=将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，6AC AE cm ∴==，90DEB ∠=︒1064BE cm ∴=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB ∆中，2224(8)x x +=-解得3x =，即DE 等于3cmBDE ∴∆的面积14362=⨯⨯= 答：BDE ∆的面积为26cm【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．【变式10-1】如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，且90FPH ∠=︒，3BF cm =，求FH 的长．【分析】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，根据222FH PH PF =+，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，90FPH ∠=︒，222FH PH PF ∴=+，222(9)3x x ∴=-+，5x ∴=，FH ∴的长是5cm ．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式10-2】如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD '处，AD '交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC =；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA ∠=∠，就可以得出AE CE =，（2）设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理就可以求出结论；（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．【答案】解：（1）四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，AD BC =，90B ∠=︒，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠．ADC ∆与△AD C '关于AC 成轴对称ADC ∴∆≅△AD C '，DAC D AC ∴∠=∠'，D AC ACB ∴∠'=∠，AE EC ∴=；（2）2AB cm =，4BC cm =，2CD cm ∴=，4AD cm =．设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理，得224(4)x x +-=，解得： 2.5x =．答：EC 的长为2.5cm ；（3）2AEC EC AB S ∆=， 22.52 2.52AEC S cm ∆⨯==． 答：重叠部分的面积为22.5cm ．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时运用勾股定理求出EC 的值是关键．【变式10-3】如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ．（1）求线段CN 长．（2）连接FN ，并求FN 的长．【分析】（1）设NC x =，则8DN x =-，由翻折的性质可知8EN DN x ==-，在Rt ENC ∆中，由勾股定理列方程求解即可；。