高斯消元法解线性方程组
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Gauss主元素消去法，最常用的是
➢ 列主元素消去法 ➢ 全主元素消去法。
§2 Gauss―Jordan消去法
前面所述的消去法均要进行两个过程,
即消元过程和回代过程。但对消元过程稍
加改变可以把方程组(6―1)化为对角形
Dx b*
(6―21)
d1
D
O
dn
此时求解就不要回代了。这种无回代过 程的主元素消去法称为Gauss―Jordan消 去法
➢“小主元”对解的精度的影响
中断分析
实际应用当中，常常难以事先判断系数 矩阵A的奇异性，会出现
➢消元过程某一步找不到非零元素 ➢消元可以进行，但最终 =0，使得回
代过程无法继续 在实际应用当中应该考虑这两种特殊情形
计算量估计
计算机完成一次乘（除）法的时间，远远超过一次 加（减）法的时间，因此，评估一个算法的计算量， 常常用做乘除法的次数来衡量
由消元过程所得的矩阵，求出x3、x2、x1的 过程称为回代过程。
用Gauss消去法求解性方程组要经过消元和 回代两个过程
Gauss存在的问题和改进方法
Gauss消去法原理简单，计算量相对Cramer 法则也有很大的减少，但也存在一下的不足
➢实际应用中，需进行中断分析
➢根据矩阵阶数的大小进行计算量估计
（2-1）
§2 Gauss消去法
根据线性代数知识，当
时，方程组
的解存在且唯一，对增广矩阵（ A , b）施
行行初等变换，将A变成上三角矩阵A (n) ，
相应得到
A (n) x= b (n)
其解便是原方程的解，这种求解过程，称 为Gauss消去法
§2 Gauss消去法
如果线性方程组(2―1)的系数矩阵A具备 某种特殊形式,例如其为上三角矩阵
线性方程组及其解法概述（2/2）
线性方程组解法
直接法——化为一个或多个三角形方程组
Gauss消去法 Gauss-Jordon消去法 其他变形方法
迭代法——逐次用新分量来计算下一个分量
简单迭代法 Seidel迭代法 松驰法 其他方法
§2 Gauss消去法
设有线性方程组 其中
特别是方程组(6―21)还可化为
1
O
1
x1
x2
M
xn
bb12((nn
) )
M
bn(n)
显然等号右端即为方程组的解。
算例
① ② ③
将线性方程式组写成增广矩阵的形式
对列施行行变化，化为上三角行列式，得到
1 2 3 13
（A，b）=
1.5
2
8.5
0.5 1
继续对第2列进行消元，得到标准的Gauss-Jordon
1 0 0 2
（A，b）=
1.5
0
4.5
0.5 0.5
对角线元素进行归一，得到
1 0 0 2
（A，b）=
1 0 3
1 1
方程组的解为：x1=2，x2=3，x3=1
对第一列施行行变化，②÷2-①， ③ -①，得到
从方程组方程③解出x3,将所得的结果代入 方程②求出x2,再把x3、x2同时代入方程①解出 x1。这样可求出方程组的解为
x1 1, x2 3, x3 2
上述求解方程组的方法就是Gauss消去法。 从原方程组，到将系数矩阵化为上三角增广矩阵， 这个过程称为消元过程
Gauss消元过程中，矩阵的主对角线 元素aii称为主元素，由于被作为除数，因 此，存在小数作为除数，舍入误差变大， 影响了解的精度
改进方法，是采用Gauss主元素消去 法，加入了选主元过程，即在准备消元 的xi的系数中，挑选最大的行和待计算行， 进行行交换
Gauss主元素消去法
Gauss主元素消去法是顺序消去法的一 种改进。它的基本思想是在逐次消元时总是 选绝对值最大的元素(称之为主元)做除数,按 顺序消去法的步骤消元。
线性方程组的解法
§1 线性方程组及其解法概述 §2 Gauss消去法 §3 Gauss―Jordan消去法
线性方程组及其解法概述（1/2）
线性方程组应用
线性方程组求解问题在许多科学计算问题中都 会遇到，如应力分析，电学网络，自由振动问题等
线性方程组分类方式
含零元素多少：稠密和稀疏 阶数高低：高阶和低阶 形状和性质：正定，三对角线对角占优等
Gauss消去法的计算量，包含消元过程与回代过程 这两部分的计算量
消元过程的计算量: 消元的第k步, 计算用于消元的 乘子需n − k次除法, 消元需要(n − k)(n − k + 1)次乘法 故第k步的工作量为(n − k)(n − k + 2)次乘除法 所以, 整个消元过程的工作量为
“小主元”对解的精度的影响
(2―2)
依次将所得的 会代到2-2中，可以依次得到
n
xi (bi aik xk ) / aii ,i n, n 1, ,1
k i1
综上所述，如果矩阵A非奇异，总可以通过带行交换 或不带行交换的方式，得到非奇异的上三角行列式，进 而进行消元求解。
以上讨论告诉我们,对具有上三角形系 数矩阵的方程组(2―2)，即
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
求解极为方便，于是对于一般形式的方程组 (2―1),我们总设法把它化为系数矩阵呈上(或下) 三角形的方程组来求解。为了达到目的,可利用 消去法进行。
算例
① ② ③
将线性方程式组写成增广矩阵的形式
且aii≠0,i=1,2,…,n
这时方程组(2―1)实际为
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
பைடு நூலகம்
由方程组(2―2)的最后一个方程直接可得
xn bn / ann
将其代入倒数第二个方程可求得
xn1 (bn1 an1n xn ) / an1n1
➢ 列主元素消去法 ➢ 全主元素消去法。
§2 Gauss―Jordan消去法
前面所述的消去法均要进行两个过程,
即消元过程和回代过程。但对消元过程稍
加改变可以把方程组(6―1)化为对角形
Dx b*
(6―21)
d1
D
O
dn
此时求解就不要回代了。这种无回代过 程的主元素消去法称为Gauss―Jordan消 去法
➢“小主元”对解的精度的影响
中断分析
实际应用当中，常常难以事先判断系数 矩阵A的奇异性，会出现
➢消元过程某一步找不到非零元素 ➢消元可以进行，但最终 =0，使得回
代过程无法继续 在实际应用当中应该考虑这两种特殊情形
计算量估计
计算机完成一次乘（除）法的时间，远远超过一次 加（减）法的时间，因此，评估一个算法的计算量， 常常用做乘除法的次数来衡量
由消元过程所得的矩阵，求出x3、x2、x1的 过程称为回代过程。
用Gauss消去法求解性方程组要经过消元和 回代两个过程
Gauss存在的问题和改进方法
Gauss消去法原理简单，计算量相对Cramer 法则也有很大的减少，但也存在一下的不足
➢实际应用中，需进行中断分析
➢根据矩阵阶数的大小进行计算量估计
（2-1）
§2 Gauss消去法
根据线性代数知识，当
时，方程组
的解存在且唯一，对增广矩阵（ A , b）施
行行初等变换，将A变成上三角矩阵A (n) ，
相应得到
A (n) x= b (n)
其解便是原方程的解，这种求解过程，称 为Gauss消去法
§2 Gauss消去法
如果线性方程组(2―1)的系数矩阵A具备 某种特殊形式,例如其为上三角矩阵
线性方程组及其解法概述（2/2）
线性方程组解法
直接法——化为一个或多个三角形方程组
Gauss消去法 Gauss-Jordon消去法 其他变形方法
迭代法——逐次用新分量来计算下一个分量
简单迭代法 Seidel迭代法 松驰法 其他方法
§2 Gauss消去法
设有线性方程组 其中
特别是方程组(6―21)还可化为
1
O
1
x1
x2
M
xn
bb12((nn
) )
M
bn(n)
显然等号右端即为方程组的解。
算例
① ② ③
将线性方程式组写成增广矩阵的形式
对列施行行变化，化为上三角行列式，得到
1 2 3 13
（A，b）=
1.5
2
8.5
0.5 1
继续对第2列进行消元，得到标准的Gauss-Jordon
1 0 0 2
（A，b）=
1.5
0
4.5
0.5 0.5
对角线元素进行归一，得到
1 0 0 2
（A，b）=
1 0 3
1 1
方程组的解为：x1=2，x2=3，x3=1
对第一列施行行变化，②÷2-①， ③ -①，得到
从方程组方程③解出x3,将所得的结果代入 方程②求出x2,再把x3、x2同时代入方程①解出 x1。这样可求出方程组的解为
x1 1, x2 3, x3 2
上述求解方程组的方法就是Gauss消去法。 从原方程组，到将系数矩阵化为上三角增广矩阵， 这个过程称为消元过程
Gauss消元过程中，矩阵的主对角线 元素aii称为主元素，由于被作为除数，因 此，存在小数作为除数，舍入误差变大， 影响了解的精度
改进方法，是采用Gauss主元素消去 法，加入了选主元过程，即在准备消元 的xi的系数中，挑选最大的行和待计算行， 进行行交换
Gauss主元素消去法
Gauss主元素消去法是顺序消去法的一 种改进。它的基本思想是在逐次消元时总是 选绝对值最大的元素(称之为主元)做除数,按 顺序消去法的步骤消元。
线性方程组的解法
§1 线性方程组及其解法概述 §2 Gauss消去法 §3 Gauss―Jordan消去法
线性方程组及其解法概述（1/2）
线性方程组应用
线性方程组求解问题在许多科学计算问题中都 会遇到，如应力分析，电学网络，自由振动问题等
线性方程组分类方式
含零元素多少：稠密和稀疏 阶数高低：高阶和低阶 形状和性质：正定，三对角线对角占优等
Gauss消去法的计算量，包含消元过程与回代过程 这两部分的计算量
消元过程的计算量: 消元的第k步, 计算用于消元的 乘子需n − k次除法, 消元需要(n − k)(n − k + 1)次乘法 故第k步的工作量为(n − k)(n − k + 2)次乘除法 所以, 整个消元过程的工作量为
“小主元”对解的精度的影响
(2―2)
依次将所得的 会代到2-2中，可以依次得到
n
xi (bi aik xk ) / aii ,i n, n 1, ,1
k i1
综上所述，如果矩阵A非奇异，总可以通过带行交换 或不带行交换的方式，得到非奇异的上三角行列式，进 而进行消元求解。
以上讨论告诉我们,对具有上三角形系 数矩阵的方程组(2―2)，即
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
求解极为方便，于是对于一般形式的方程组 (2―1),我们总设法把它化为系数矩阵呈上(或下) 三角形的方程组来求解。为了达到目的,可利用 消去法进行。
算例
① ② ③
将线性方程式组写成增广矩阵的形式
且aii≠0,i=1,2,…,n
这时方程组(2―1)实际为
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
பைடு நூலகம்
由方程组(2―2)的最后一个方程直接可得
xn bn / ann
将其代入倒数第二个方程可求得
xn1 (bn1 an1n xn ) / an1n1