基于压缩感知的贪婪迭代重构算法

一种贪婪自适应压缩感知重构

Ｇｒｅｙａｐｔｖｅｏｅｙａｇｒｔｅｄｄａｉｅｒｃｖｒｌｏｉｈｍｏｏｐｒｓｅｅｉｇｆｒｃｍｅｓｄｓｎｓｎ
ＧＡＮｅ，ＸＵｐｉｇ，ＺＨＡＮＧｕａ，ＳＵＷｉＬｕｎＨＺｈｅ
２１０２年６月第３９卷第３期
西安电子科技大学学报（自然科学版）
Ｊ０ＵＲＮＡＬ０ＦＸＩＡＮＵＮＩＤＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｊｎ２２ｕ．０
Ｖｏ．９Ｎｏ３１３．
ｄｉ１３６／．ｓｎ１０ — ４０．０２０．０ｏ：０．９９ｊｉｓ．０１２０２１．３０８
优于原算法．
关键词：压缩感知；缩采样匹配追踪；糊阙值；压模约束等距性
中图分类号：Ｎ９１７Ｔ１．２文献标识码：Ａ文章编号：０１２０（０２０ —０００１０—４０２１）３０５—８
ｐｏｏｓｄ．ＣｏｍｐｅｉｈｈｅｏｉｉａＳａＰ，ｔｌｏｒｔｄｔｈｅｆｚｙｔｅｈｏｄｐｅｉｉｒｕｅｒｐｅａｒｄｗｔｔｒｇｎｌＣｏＭｈｅａｇｉｈｍａｏｐｓｔｕｚｈｒｓｌｒｌｍｎａｙｒｌｗｉｈｔｏｅｉａａａｔｅｔｖｏｄｓｎｇａｒｏｒｎｆｍａｉｉｎａｓｉｈｅｐｒｍａｙｅｅｔｏｔｈｅｒｔｃｌｇｕｒｎｅｏａｉｕｉｐｉｉｉｏｒｔｏｎｏｎｓｇｌｎｔｉｒｌｃｉｎｐｈａｅ，ｓｔｓｅｓｔｎｉｉｌｐｒｎｔｅｈｄｏｅｃｕｈｅｉｔａｕｎｉｇｈｒｓｏｌｔｒｄｕｅｎｎｅｅｓｒｔｒｔｏｎｓｉｐｒｖｅｈｅｒｉｇｍｏｏｎｈａｅｔｃｓａｙｉｅａｉ，ｍｏｓｔｐｕｎｎｄｅｔｅｎｃｈｅ

压缩感知重构算法

4.2.1 高斯白噪声影响
高斯白噪声均值为0，方差为0.01
图A 受高斯白噪声影响OMP算法重构
图B 受高斯白噪声影响信号CoSAMP算法重构
4.2.2 椒盐噪声影响
椒盐噪声噪声密度为0.05
图A 受椒盐噪声影响信号OMP算法重构
图B 受椒盐噪声影响信号IRLS算法重构
4.2.3 受噪声影响结果比较
4
2
0
SAMP
-2 -4
-6
0
50
100
150
200
250
300
2.7.2 各算法仿真实验分析
重构算法时间都较短，误差也都较小
2.7.2 各算法性能分析
随着稀疏度K的增加，到达一定的临界值以后，信号重构的概率逐步降低
3.1 改进算法

基于变步长的正则化回溯自适应追踪算法 2018年,王欣等人针对压缩感知重构过程中稀疏度未知以及步长大小固定的情况，基于SAMP 算法存在的而不足，提出一种基于变步长的正则化回
每次迭代时选择多列
2.4 压缩采样匹配追踪CoSaMP
每次迭代选择多个原子，选择的原子在下次迭代中可能会被抛弃
2.5 压缩采样匹配追踪SP
后向追踪的方式，在每次迭代中将找出的错误的原子剔出，再把新找的原子放入支撑集中，最后进行逼近
2.6 压缩采样匹配追踪SAMP
稀疏度自适应匹配追踪算法(SAMP)解决了需己知稀疏度才能准确重构信号的要求。该算法沿用SP算法的回溯思想，加入步长和分阶段选择的思想，通过迭代次数的增加，支撑集增加，从而达到每次选择更多的原子，更快的重构信号。但是，如何选择初始步长及固定步长对该算法有一定影响。
3.3 迭代硬阈值算法IHT

《2024年分布式压缩感知的重构算法研究》范文

《分布式压缩感知的重构算法研究》篇一一、引言随着信息技术的飞速发展，大数据时代已经到来。

面对海量的数据，如何高效地进行数据压缩与重构成为了研究的热点。

分布式压缩感知（Distributed Compressive Sensing，DCS）技术应运而生，其利用压缩感知理论，通过分布式的方式对数据进行压缩与重构，大大提高了数据处理效率。

本文旨在研究分布式压缩感知的重构算法，为解决实际问题提供理论支持。

二、分布式压缩感知理论基础分布式压缩感知理论是基于压缩感知理论发展而来，其核心思想是将原始信号投影到低维空间进行压缩感知，然后通过优化算法进行信号重构。

在分布式压缩感知中，多个传感器节点对数据进行分布式采集与压缩，然后将压缩后的数据传输至中心节点进行统一处理与重构。

这种分布式的方式可以大大降低通信开销与计算复杂度。

三、分布式压缩感知的重构算法（一）基于贪婪算法的重构算法基于贪婪算法的重构算法是分布式压缩感知中常用的一种算法。

其基本思想是利用信号的稀疏性，在每一次迭代中选取局部最优解，逐步逼近原始信号。

常见的贪婪算法包括匹配追踪（Matching Pursuit）算法、正交匹配追踪（Orthogonal MatchingPursuit）算法等。

这些算法具有较低的计算复杂度，但重构精度受所选策略的影响。

（二）基于凸优化算法的重构算法基于凸优化算法的重构算法利用信号的稀疏性进行凸优化求解，能够获得更高的重构精度。

常见的凸优化算法包括基追踪（Basis Pursuit）算法、最小绝对收缩和选择算子（LASSO）等。

这些算法可以有效地处理高维数据，但在计算复杂度上相对较高。

（三）联合重构算法联合重构算法是将多个传感器节点的数据进行联合处理，以提高重构精度与效率。

该类算法利用多个传感器节点的数据之间的相关性，采用分布式协作的方式进行信号重构。

常见的联合重构算法包括分布式迭代最小二乘法、分布式最大似然估计法等。

这些算法能够充分利用多节点数据的信息，提高重构性能。

基于压缩感知理论的重构算法介绍

压缩感知重构算法综述李珅1,2，马彩文1，李艳1，陈萍1（1.中国科学院西安光学精密机械研究所光电跟踪与测量室,陕西省西安市 710119; 2.中国科学院研究生院,北京 100039）摘要：现代社会信息量的激增带来了信号采样、传输和存储的巨大压力，而近年来出现的压缩感知理论(Compressed Sensing,CS)为解决该问题提供了契机。

该理论指出：对于稀疏或可压缩的信号，能够以远低于奈奎斯特频率对其进行采样，并通过设计重构算法来精确的恢复该信号。

本文介绍了压缩感知理论的基本框架，综述了压缩感知理论的重构算法，其中着重介绍了最优化算法和贪婪算法并比较了各种算法之间的优劣，最后探讨了压缩感知理论重构算法未来的研究重点。

关键词：信号采样; 压缩感知; 稀疏; 重构算法中图法分类号： TP301.6 文献标识码：ASurvey on reconstruction algorithm based on compressivesensingLi Shen1,2, Ma Cai-wen1, Li Yan1, Chen Ping1(1.Xi’an Institute of Optics and Precision Mechanics of CAS, Xi’an Shaanxi 710119, China；2.Graduate University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China）Abstract：With the rapid demanding for information, the existing systems are very difficult to meet the challenges of high speed sampling, large volume data transmission and storage. Recently, a new sampling theory called compressive sensing (CS) provides a golden opportunity for solving this problem. CS theory asserts that a signal or image, unknown but supposed to be sparse or compressible in some basis, can be subjected to fewer measurements than traditional methods use, and yet be accurately reconstructed. This paper gives a brief overview of the CS theory framework and reviews the reconstruction algorithm of CS theory. Next, this paper introduces the basis pursuit algorithm and greedy algorithms and explores the difference between them. In the end, we briefly discuss possible implication in the areas of CS data reconstruction.Key words：information sampling; compressive sensing; sparse; reconstruction algorithm0引言随着现代科技的飞速发展，人们对信息量的需求也在剧增。

几种压缩感知算法

.1 压缩感知部分压缩感知算法主要可分为三类：贪婪迭代算法、凸凸优化（或最优化逼近方法）和基于贝叶斯框架提出的重构算法。

由于第三类方法注重信号的时间相关性，不适合图像处理问题，故目前的研究成果主要集中在前两类中。

目前已实现6中算法，分别为正交匹配追踪法（OMP）、迭代硬阈值法（IHT）、分段正交匹配追踪法（StOMP）、分段弱正交匹配追踪法（SwOMP）、广义正交匹配追踪（GOMP）、基追踪法（BP）。

1.1 正交匹配追踪法（OMP）在正交匹配追踪OMP中，残差是总与已经选择过的原子正交的。

这意味着一个原子不会被选择两次，结果会在有限的几步收敛。

OMP的算法如下(1)用x表示你的信号，初始化残差e0=x；(2)选择与e0内积绝对值最大的原子，表示为φ1；(3)将选择的原子作为列组成矩阵Φt，定义Φt列空间的正交投影算子为通过从e0减去其在Φt所张成空间上的正交投影得到残差e1；(4)对残差迭代执行(2)、(3)步；其中I为单位阵。

需要注意的是在迭代过程中Φt为所有被选择过的原子组成的矩阵，因此每次都是不同的，所以由它生成的正交投影算子矩阵P每次都是不同的。

(5)直到达到某个指定的停止准则后停止算法。

OMP减去的Pem是em在所有被选择过的原子组成的矩阵Φt所张成空间上的正交投影，而MP减去的Pem是em在本次被选择的原子φm所张成空间上的正交投影。

经OMP算法重构后的结果如下所示：算法的使用时间如下：1.2 迭代硬阈值法（IHT）目标函数为这里中的M应该指的是M-sparse，S应该指的是Surrogate。

这里要求：之后我们利用式对目标函数进行变形。

接着便是获得极值点：利用该式进行迭代可以得到极值点，我们需要的是最小值。

此时目标函数的最小值就得到了。

此时便得到我们需要的公式：我们要保证向量y的稀疏度不大于M，即，为了达到这一目标，要保留最大的M项（因为是平方，所以要取绝对值absolute value），剩余的置零（注意这里有个负号，所以要保留最大的M项）。

压缩感知重构算法——SP算法

压缩感知重构算法——SP算法SP（subspace pursuit）算法是压缩感知中⼀种⾮常重要的贪婪算法，它有较快的计算速度和较好的重构概率，在实际中应⽤较多。

本⽂给出了SP算法的matlab代码，以及相应的测试函数。

参考⽂献：Dai W, Milenkovic O. Subspace pursuit for compressive sensing signal reconstruction[J]. Information Theory, IEEE Transactions on, 2009, 55(5): 2230-2249.⽂献下载地址：Matlab代码：SP_paper.mfunction x=SP_paper(Phi,y,K)%SP算法%获取Phi矩阵的⾏数和列数[M,N]=size(Phi);%初始化步骤%将Phi的每列与y做相关，得到⼀个N*1的矩阵(列向量)correlation=Phi'*y;%对correlation取绝对值后排序，按从⼤到⼩的顺序[var,pos] = sort(abs(correlation),'descend');%声明⼀个空集T，⽤于记录Phi的列数标值T=[];T=union(T,pos(1:K));y_r=resid_paper(y,Phi(:,T));%迭代%使⽤如下形式的do---while结构% while(1)% if(condition)% break;% end% endcount=1;while(1)%根据残差计算待增加的列数，得到T_addcorrelation=Phi'*y_r;[var,pos] = sort(abs(correlation),'descend');T_add=union([],pos(1:K));%合并已有的T和T_addT=union(T,T_add);%x_p=((Phi(:,T)'*Phi(:,T))\eye(length(T)))*Phi(:,T)'*y;%proj_paper(y,Phi(:,T));%更新下标记录T[var,pos] = sort(abs(x_p),'descend');%取前K个最⼤值T=union([],T(pos(1:K)));%计算新的残差y_r_n=resid_paper(y,Phi(:,T));%判断是否退出循环,且置为最⼤迭代100次if(norm(y_r_n)>=norm(y_r) || count>100)break;end%若不退出循环,进⾏新⼀轮的迭代y_r=y_r_n;count=count+1;end%退出循环后，做最后的数据输出x=zeros(N,1);x(T)=((Phi(:,T)'*Phi(:,T))\eye(length(T)))*Phi(:,T)'*y;endfunction y_r=resid_paper(y,Phi)%计算y在Phi上的投影残差%获取矩阵Phi的⾏数和列数,M没有⽤[M,N]=size(Phi);%判断矩阵(Phi'*Phi)是否可逆if(rank(Phi'*Phi)~=N)error('矩阵不可逆');endy_p=Phi*((Phi'*Phi)\eye(N))*Phi'*y;y_r=y-y_p;end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%dataGen.mfunction [y,Phi,x]=dataGen(M,N,K)% 产⽣贪婪算法所需要的数据%⽣成-1/+1的原始信号xx = zeros(N,1);q = randperm(N); %y=randperm(n),是把1到n这些数随机打乱得到的⼀个数字序列。

压缩感知的重构算法

压缩感知的重构算法算法的重构是压缩感知中重要的一步，是压缩感知的关键之处。

因为重构算法关系着信号能否精确重建，国内外的研究学者致力于压缩感知的信号重建，并且取得了很大的进展，提出了很多的重构算法，每种算法都各有自己的优缺点，使用者可以根据自己的情况，选择适合自己的重构算法，大大增加了使用的灵活性，也为我们以后的研究提供了很大的方便。

压缩感知的重构算法主要分为三大类：1.组合算法2.贪婪算法3.凸松弛算法每种算法之中又包含几种算法，下面就把三类重构算法列举出来。

组合算法：先是对信号进行结构采样，然后再通过对采样的数据进行分组测试，最后完成信号的重构。

(1) 傅里叶采样（Fourier Representaion）(2) 链式追踪算法（Chaining Pursuit）(3) HHS追踪算法（Heavy Hitters On Steroids）贪婪算法：通过贪婪迭代的方式逐步逼近信号。

(1) 匹配追踪算法（Matching Pursuit MP）(2) 正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit OMP）(3) 分段正交匹配追踪算法（Stagewise Orthogonal Matching Pursuit StOMP）(4) 正则化正交匹配追踪算法（Regularized Orthogonal Matching Pursuit ROMP）(5) 稀疏自适应匹配追踪算法（Sparisty Adaptive Matching Pursuit SAMP）凸松弛算法：(1) 基追踪算法（Basis Pursuit BP）(2) 最小全变差算法（Total Variation TV）(3) 内点法（Interior-point Method）(4) 梯度投影算法（Gradient Projection）(5) 凸集交替投影算法（Projections Onto Convex Sets POCS）算法较多，但是并不是每一种算法都能够得到很好的应用，三类算法各有优缺点，组合算法需要观测的样本数目比较多但运算的效率最高，凸松弛算法计算量大但是需要观测的数量少重构的时候精度高，贪婪迭代算法对计算量和精度的要求居中，也是三种重构算法中应用最大的一种。

《2024年分布式压缩感知的重构算法研究》范文

《分布式压缩感知的重构算法研究》篇一一、引言随着信息技术的快速发展，数据量的增长呈指数级增长，这给数据的存储、传输和处理带来了巨大的挑战。

压缩感知（Compressed Sensing，CS）作为一种新兴的信号处理技术，以其高效的数据压缩能力和稀疏信号的恢复能力受到了广泛关注。

然而，传统的压缩感知技术主要适用于集中式处理场景，在分布式场景下存在一定局限性。

因此，分布式压缩感知（Distributed Compressed Sensing，DCS）技术应运而生，其通过将信号在多个节点上进行分布式采样和压缩，实现了在分布式环境下对信号的有效处理和恢复。

本文旨在研究分布式压缩感知的重构算法，探讨其理论原理、实现方法和应用前景。

二、分布式压缩感知理论原理分布式压缩感知是一种将原始信号分解为多个子信号，并在多个节点上进行分布式采样的技术。

这些节点通过网络进行协同工作，实现对原始信号的恢复。

与传统的压缩感知相比，分布式压缩感知更适用于分布式环境下的信号处理。

在分布式压缩感知中，每个节点对子信号进行采样和压缩，然后将压缩后的数据通过网络传输到中心节点。

中心节点利用全局的测量矩阵和稀疏基对接收到的数据进行重构，最终恢复出原始信号。

这个过程涉及到的关键技术包括分布式采样、数据压缩、网络传输和信号重构等。

三、分布式压缩感知的重构算法研究针对分布式压缩感知的重构算法，目前已经有很多研究成果。

其中，基于贪婪算法、凸优化方法和组合批处理等方法的重构算法是研究热点。

1. 贪婪算法贪婪算法是一种启发式搜索算法，通过局部最优的选择来逐步逼近全局最优解。

在分布式压缩感知的重构算法中，贪婪算法通过迭代的方式选择非零元素，逐步恢复出原始信号。

常见的贪婪算法包括正交匹配追踪（OMP）算法、稀疏度自适应匹配追踪（SAMP）算法等。

这些算法具有较低的计算复杂度和较好的重构性能，适用于实时性要求较高的场景。

2. 凸优化方法凸优化方法是一种通过求解凸优化问题来恢复原始信号的方法。

压缩感知重构算法

压缩感知重构算法
日期：2018.11.27
目录
1 2 3
4 5
压缩感知理论
经典贪婪迭代算法理论和实验改进的重构算法
二维信号仿真及抗噪声分析
结论和展望
1 压缩感知理论
1.1 压缩感知重构算法

0范式重构算法：贪婪迭代算法(MP,OMP,ROMP等) 迭代算法（IHT，NIHT,AIHT） 1范式重构算法：凸优化算法（ADMM，Interior point，Gradient Projection，GPSR，Homotopy
每次迭代时选择多列
2.4 压缩采样匹配追踪CoSaMP
每次迭代选择多个原子，选择的原子在下次迭代中可能会被抛弃
2.5 压缩采样匹配追踪SP
后向追踪的方式，在每次迭代中将找出的错误的原子剔出，再把新找的原子放入支撑集中，最后进行逼近
2.6 压缩采样匹配追踪SAMP
稀疏度自适应匹配追踪算法(SAMP)解决了需己知稀疏度才能准确重构信号的要求。该算法沿用SP算法的回溯思想，加入步长和分阶段选择的思想，通过迭代次数的增加，支撑集增加，从而达到每次选择更多的原子，更快的重构信号。但是，如何选择初始步长及固定步长对该算法有一定影响。
溯自适应追踪算法( RBAPVS) ．

该算法充分融合了已经存在的ROMP 算法的正则化思想和SP 算法的回溯思想，并加入了变步长的设计，使其重构精度和速度与同类算法相比能达到更好效果.
3.1 RBAPVS算法
稀疏度估计
正则化二次筛选
3.1 RBAPVS算法
回溯思想再筛选
4.2.1 高斯白噪声影响
高斯白噪声均值为0，方差为0.01

基于压缩感知理论的重构算法

2023-11-11contents •压缩感知理论概述•基于压缩感知的重构算法基础•基于压缩感知的信号重构算法•基于压缩感知的图像重构算法•基于压缩感知的重构算法优化•基于压缩感知的重构算法展望目录01压缩感知理论概述在某个基或字典下，稀疏信号的表示只包含很少的非零元素。

稀疏信号通过测量矩阵将稀疏信号转换为测量值，然后利用优化算法重构出原始信号。

压缩感知压缩感知基本原理压缩感知理论提出。

2004年基于稀疏基的重构算法被提出。

2006年压缩感知技术被应用于图像处理和无线通信等领域。

2008年压缩感知在雷达成像和医学成像等领域取得重要突破。

2010年压缩感知发展历程压缩感知应用领域压缩感知可用于高分辨率雷达成像，提高雷达系统的性能和抗干扰能力。

雷达成像医学成像无线通信图像处理压缩感知可用于核磁共振成像、超声成像和光学成像等领域，提高成像速度和分辨率。

压缩感知可用于频谱感知和频谱管理，提高无线通信系统的频谱利用率和传输速率。

压缩感知可用于图像压缩和图像加密等领域，实现图像的高效存储和传输。

02基于压缩感知的重构算法基础重构算法的基本概念基于压缩感知的重构算法是一种利用稀疏性原理对信号进行重构的方法。

重构算法的主要目标是恢复原始信号，尽可能地保留原始信号的信息。

重构算法的性能受到多种因素的影响，如信号的稀疏性、观测矩阵的设计、噪声水平等。

重构算法的数学模型基于压缩感知的重构算法通常采用稀疏基变换方法，将信号投影到稀疏基上，得到稀疏表示系数。

通过求解一个优化问题，得到重构信号的估计值。

重构算法的数学模型包括观测模型和重构模型两个部分。

重构算法的性能评估重构算法的性能评估通常采用重构误差、重构时间和计算复杂度等指标进行衡量。

重构误差越小，说明重构算法越能准确地恢复原始信号。

重构时间越短，说明重构算法的效率越高。

计算复杂度越低，说明重构算法的运算速度越快。

03基于压缩感知的信号重构算法基于稀疏基的重构算法需要选择合适的稀疏基，使得信号能够稀疏表示，同时需要解决稀疏基选择不当可能导致的过拟合或欠拟合问题。

基于压缩感知的贪婪类重构算法原子识别策略综述

基于压缩感知的贪婪类重构算法原子识别策略综述
刘素娟;崔程凯;郑丽丽;江书阳
【期刊名称】《电子与信息学报》
【年(卷),期】2023(45)1
【摘要】在压缩感知(CS)重构算法中,贪婪类算法因其硬件实现的简易性与良好的恢复精度得到了广泛研究,但算法多样化的同时出现了算法选择困难的问题。

原子识别策略作为贪婪类算法的核心,其差异往往决定了算法重构性能的优劣。

该文以贪婪类算法最关键的一环原子识别作为研究对象,对贪婪类重构算法的原子识别策略进行了提取与分类。

根据不同策略的适用阶段和特点归纳提炼出3种一步式原子识别策略、8种进阶式原子识别策略以及3种稀疏度自适应原子识别策略。

最后对原子识别策略所对应原始算法的重构性能进行了分类仿真对比。

整理后的策略方便于实际应用中对算法的选择,同时为贪婪类重构算法的进一步优化提供了参考。

【总页数】10页(P361-370)
【作者】刘素娟;崔程凯;郑丽丽;江书阳
【作者单位】北京工业大学微电子学院
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.72
【相关文献】
1.压缩感知中四种贪婪类算法重构信号性能研究
2.压缩感知中基于梯度的贪婪重构算法综述
3.压缩感知中基于变尺度法的贪婪重构算法的研究
4.压缩感知中贪婪重构算法研究
5.基于压缩感知的贪婪迭代重构算法
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基于压缩感知的重构算法研究

基于压缩感知的重构算法研究作者：庞影影来源：《电脑知识与技术》2016年第23期摘要：由于传统的信号处理技术对信号频率的限制，越来越不能满足日益增长的信号需求，因而一种新的信号处理技术—压缩感知技术被提出。

压缩感知技术由于其打破了奈奎斯特采样定理对信号采样频率的限制因而被广泛应用于信号处理方面，而压缩感知技术的关键部分就是重构算法的运用，本文主要介绍基于压缩感知的几种重构算法，并且比较各个算法的优缺点，从而为今后的运用提供有利的指导。

关键词：压缩感知；MP算法；OMP算法中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）23-0153-021引言压缩感知（Compressive Sensing）[1，2]技术是信号处理领域提出的一种新的信号处理技术，由D. Donoho（美国科学院院士）、E. Candes及华裔科学家陶哲轩等人提出。

奈奎斯特采样定理在进行A/D信号的转换过程表明：当采样信号的频率大于信号2倍带宽时，经过采样后的数字信号才能保留了原始信号中的完整信息。

由于压缩感知表明：如果信号在某一个正交空间是稀疏性的，就可以以较低的频率即远低于2倍带宽的频率来采样该信号，并有很大可能来精确的重构该信号，从而打破了奈奎斯特采样定理，因此在现代信号处理领域展现出突出的优势和广阔的前景。

2压缩感知与恢复算法2.1 压缩感知理论压缩感知理论一般分为三部分：2.1.1信号的稀疏表示信号的稀疏性可以表示为进行采样和重构的信号本身能是被压缩的，或者在某些稀疏变换基下是稀疏的，实际中大部分信号均具有这种特性，因此信号的稀疏表示就是将信号转变为它们的稀疏形式。

比较常见的稀疏转换基有快速傅里叶变换基（FFT）、离散余弦变换基（DCT）、Curvelet基、Gabor基以及冗余字典[3]等。

2.1.2观测矩阵的设计假定有一稀疏信号X，理论上可以用X的M个线性测量精确重构X，其中，通常情况下方程具有无穷解，因此提出了唯一解的充要条件就是：观测矩阵[4，5]要满足有限等距准则（Restricted Isometry Property， RIP）即等效求解为[x=arg mi nx0 s.t. y=Θx] （1）由于上式是NP问题，计算求解复杂度高，因此提出了恢复算法即重构算法。

压缩感知的重构算法

压缩感知的重构算法算法的重构是压缩感知中重要的一步，是压缩感知的关键之处。

因为重构算法关系着信号能否精确重建，国内外的研究学者致力于压缩感知的信号重建，并且取得了很大的进展，提出了很多的重构算法，每种算法都各有自己的优缺点，使用者可以根据自己的情况，选择适合自己的重构算法，大大增加了使用的灵活性，也为我们以后的研究提供了很大的方便。

压缩感知的重构算法主要分为三大类：1.组合算法2.贪婪算法3.凸松弛算法每种算法之中又包含几种算法，下面就把三类重构算法列举出来。

组合算法：先是对信号进行结构采样，然后再通过对采样的数据进行分组测试，最后完成信号的重构。

(1) 傅里叶采样（Fourier Representaion）(2) 链式追踪算法（Chaining Pursuit）(3) HHS追踪算法（Heavy Hitters On Steroids）贪婪算法：通过贪婪迭代的方式逐步逼近信号。

(1) 匹配追踪算法（Matching Pursuit MP）(2) 正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit OMP）(3) 分段正交匹配追踪算法（Stagewise Orthogonal Matching Pursuit StOMP）(4) 正则化正交匹配追踪算法（Regularized Orthogonal Matching Pursuit ROMP）(5) 稀疏自适应匹配追踪算法（Sparisty Adaptive Matching Pursuit SAMP）凸松弛算法：(1) 基追踪算法（Basis Pursuit BP）(2) 最小全变差算法（Total Variation TV）(3) 内点法（Interior-point Method）(4) 梯度投影算法（Gradient Projection）(5) 凸集交替投影算法（Projections Onto Convex Sets POCS）算法较多，但是并不是每一种算法都能够得到很好的应用，三类算法各有优缺点，组合算法需要观测的样本数目比较多但运算的效率最高，凸松弛算法计算量大但是需要观测的数量少重构的时候精度高，贪婪迭代算法对计算量和精度的要求居中，也是三种重构算法中应用最大的一种。

基于压缩感知理论的重构算法研究

压缩感知基本原理
压缩感知广泛应用于图像处理、音频处理、通信、生物医学工程、雷达等领域。
在图像处理方面，压缩感知可用于图像压缩、图像重建、图像分类等任务；在音频处理方面，压缩感知可用于音频压缩、音频重建等任务；在通信方面，压缩感知可用于信道编码、信道估计等任务。
压缩感知应用领域
近年来，压缩感知理论得到了广泛关注和研究，其理论和应用都得到了快速发展。
目前，压缩感知理论已经形成了一套完整的体系，包括压缩感知基本原理、采样方法、重构算法等方面。同时，压缩感知在实际应用中也取得了许多成功案例，如医学图像处理、无线通信等领域。
压缩感知发展现状
02
基于压缩感知的重构算法
重构算法定义
重构算法是一种从部分信息中恢复出完整信息的方法。在压缩感知理论中，重构算法用于从经过压缩的信号中恢复出原始信号。
要点三
Байду номын сангаас
05
结论与展望
研究结论
基于压缩感知的重构算法可以有效提高重构精度
本文提出的重构算法在图像处理中取得了良好的效果
压缩感知理论在信号处理中有广泛的应用前景
03
压缩感知理论在视频处理等领域的应用尚待研究
工作不足与展望
01
算法优化程度有待进一步提高
02
在处理大规模数据时，算法效率需要进一步提高
详细描述
04
实验与分析
实验所用的数据集是公共可用的，经过严格筛选和标注，确保数据的真实性和有效性。
数据来源
实验设备包括高性能计算机、GPU加速设备等，能够满足大规模数据计算和模型训练的需求。
实验设备
实验采用基于Python的深度学习框架，如TensorFlow、PyTorch等，以及相关的压缩感知库和工具。

压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法研究的开题报告

压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法研究的开题报告一、研究背景和意义视觉重建是计算机视觉领域中的一个重要研究方向，其中相机重建和场景重建是其中的两个关键问题。

随着计算机存储技术和计算能力的提高，传感器技术的普及和发展，视觉重建技术已经在很多领域得到了广泛应用，如三维建模、运动捕捉、虚拟现实、医学影像等。

然而，目前的视觉重建技术仍存在一些问题，如重建结果质量不高、处理时间较长等。

因此，如何提高重建质量和效率成为了当前视觉重建研究的热点问题。

压缩感知技术是一种新兴的信号处理技术，广泛应用于图像、视频和音频等领域。

压缩感知利用稀疏性和复杂度约束，实现对高维信号的高效采样和重构。

与传统重构技术相比，压缩感知技术具有更好的稀疏性和复杂度约束，因此可以有效地提高重建质量和效率。

本文研究的是压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法，该算法可以有效地解决视觉重建中的一些问题，如快速采样、高质量重建等。

因此，本研究对于提高视觉重建技术的研究水平具有重要的理论和实际意义。

二、研究内容和方法1. 研究内容本文将主要研究压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法。

具体包括以下内容：(1) 分析压缩感知算法的基本原理，研究其适用范围和限制。

(2) 分析贪婪匹配追踪类算法的基本原理，研究其适用范围和限制。

(3) 研究压缩感知贪婪匹配追踪类算法基本原理和算法流程。

(4) 通过实验验证压缩感知贪婪匹配追踪类算法的性能和效果，并与传统方法进行比较分析。

2. 研究方法本研究将采用以下方法：(1) 文献调研和研究：通过搜集相关文献和资料，综合和分析压缩感知和贪婪匹配追踪类算法的基本原理和应用，为后续研究提供理论支持和思路指导。

(2) 实验设计和数据处理：通过编写程序，实现压缩感知贪婪匹配追踪类算法，并通过对不同数据集的实验验证算法的性能和效果，并进行数据分析和处理，为算法优化和改进提供实验数据支持。

三、论文结构和进度安排1. 论文结构本论文主要包括以下几个部分：(1) 前言：简述研究背景、研究内容和意义。

压缩感知理论及两种贪婪算法详解

矩阵的设计３个方面详细介绍。贪婪算法是重构算法中效率最高的算法，文章介绍其最开始提出的比较经典的两种算法：匹配追踪和正交匹配追踪，并详细给出了两个算法的本质思想、数学框架以及推导过程，也分析并证明了其收敛性。
关键词：压缩感知；匹配追踪；测量矩阵；正交匹配追踪
其中Ｏ是感知矩阵，Ｙ是匡的测量向量，是测量矩
论（ＣｏｍｐｒｅｓｓｅｄＳｅｎｓｉｎｇ，ＣＳ），其核心思想就是把采样与影得到的）不会丢失或破坏原始信号的信息。由上述可得：压缩合并起来，对可稀疏表示的信号以较低的采样率进行测量矩阵与稀疏基矩阵的乘积（即感知矩阵Ｏ）满足有限等压缩采样，并用与稀疏基不相干的测量矩阵将高维信号投距性质（ＲｅｓｔｒｉｃｔｅｄＩｓｏｍｅｔｒｙＰｒｏｐｅｒｔｙ，ＲＩＰ）是保证从少量影到一个低维空问上以获得测量向量（即投影值），使用测量向量中精确重建出原始信号的一个重要条件。了较少的测量数据但实现了信号的精确重构，达到了“ 少
进行压缩采样势必会造成硬件功率的浪费，但由于在某些
变换域中可以将自然信号变为可稀疏的，因此压缩感知一
由（４）可得到稀疏系数Ｓ的估计 ’ ，进而可得到原始信
号的近似估计Ｘ’ ： ’ ，但由于求解ｆｎ范数在多项式时间内难般先通过某种变换域得到原始信号的稀疏表示，重构时以求解，是一个ＮＰ难问题，而且甚至无法验证解的可靠性，先重构出原始信号的稀疏表示逼近值，再进一步变换可得所以用，范数替换求解，因为，最小范数和『ｎ范数在一定条件到原始信号的逼近值。设长度为Ｎ的信号ｘ并用一组稀疏下具有等价性，可得到相同的解。

贪婪算法与压缩感知理论

第37卷第12期自动化学报Vol.37,No.12 2011年12月ACTA AUTOMATICA SINICA December,2011贪婪算法与压缩感知理论方红1杨海蓉2摘要贪婪算法以其重建速度快、重建方法实现简便的特点在压缩感知(Compressed sensing,CS)理论中获得了广泛的应用.本文首先介绍压缩感知的基本理论;然后,着重介绍现有几种重要的贪婪重建算法,包括MP,OMP,IBOOMP,StOMP, SP,ROMP和CoSaMP等,详细给出每种算法的数学框架和本质思想,着重从最优匹配原子的选择策略和残差信号的更新方式这两个方面对各种算法进行对比分析,以限制等容常数为条件讨论各种算法在实现重建时的性能,包括重建时间、重建的稳定性等;最后,通过模拟实验进一步验证了各种算法的重建效果,同时模拟实验结果还进一步得出各种算法的重建效果与待重建信号本身的稀疏度及测量次数这三者之间的关系,这也为新的更优算法的提出打下理论基础.关键词贪婪算法,压缩感知,限制等容常数,残差,稀疏度DOI10.3724/SP.J.1004.2011.01413Greedy Algorithms and Compressed SensingFANG Hong1YANG Hai-Rong2Abstract Recently a family of iterative greedy algorithms have received extensive application in compressed sensing (CS)due to their fast reconstruction and low reconstruction complexity.In this paper,the basic theory of CS isﬁrst introduced and then we put emphasis on the main greedy algorithms for reconstruction,which include MP,OMP,IBOOMP, StOMP,SP,ROMP,CoSaMP and so on and provide their mathematical frameworks,respectively.Next,we classify all the algorithms according to the strategy of element selection and the update of the residual error.Under the condition of restricted isometry constant,further discussion on the performance of reconstruction algorithms such as running time, reconstruction stability and so on is st,the reconstruction results from simulated experiments further show the performance of all algorithms.And from those results we also acquire the relationship among the performance of the algorithms,the sparsity of signals to be reconstructed and the number of measurements,which lays a good basis for proposing new and better algorithms.Key words Greedy algorithms,compressed sensing(CS),restricted isometry constant,residual error,sparsity传统的Shannon/Nyquist采样定理指出,带限信号的采样频率必须大于其带宽的两倍以上才能确保由采样值完全重构原始信号,而压缩感知(Com-pressive sensing,CS)理论作为Shannon/Nyquist 采样定理的另一种选择正在被广泛研究.CS理论是由Donoho[1]和Candes[2]从信号稀疏分解和逼近理论进一步发展的一种新的信号处理理论.该理论的提出者之一,美国科学院院士、斯坦福大学的统计学家Donoho在信号处理的众多领域,如信号稀疏分解、逼近理论、小波变换、图像压缩等都做收稿日期2010-09-06录用日期2011-07-14Manuscript received September6,2010;accepted July14,2011上海市优秀青年教师科研专项基金(EGD08006),上海第二工业大学校基金(XQD208008),安徽高校省级自然科学研究项目(KJ2011B131)资助Supported by Research Fund for the Excellent Youth Schol-ars of Ministry of Education of Shanghai(EGD08006),Founda-tion of Shanghai Second Polytechnic University(XQD208008), and Anhui Provincial Natural Science Foundation Project (KJ2011B131)1.上海第二工业大学理学院上海2012092.合肥师范学院数学系合肥2306011.School of Science,Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai2012092.Department of Mathematics,Hefei Nor-mal University,Hefei230601出了巨大贡献[3−4].CS理论的本质内容是稀疏或可压缩信号(在某个基上具有稀疏描述)的少量随机的线性投影即包含了重构和处理的足够信息,也就是仅仅利用信号稀疏或可压缩的先验和少量的全局线性测量可以获得精确重建.这个研究思想挑战了Shannon/Nyquist采样定理的理论极限,对整个信号处理领域产生了极其重要的影响.目前,在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许多国家的知名大学(例如麻省理工学院(Massachusetts In-stitute of Technology)、斯坦福大学(Stanford Uni-versity)、普林斯顿大学(Princeton University)、莱斯大学(Rice University)、杜克大学(Duke Uni-versity)、慕尼黑工业大学(Technical University of Munich)、爱丁堡大学(Edinburgh University)等)都成立专门课题组对CS进行研究;2008年西雅图Intel、贝尔实验室、Google等知名公司也开始组织研究CS,这使得信号处理的许多应用领域也随着CS理论的研究发生根本性的发展和变化[5−7].在CS理论中,随机编码的鲁棒性关键在于要使随机化测量具有相等的优先等级,这种随机编码与当前的变换编码(例如Fourier或Wavelet)中的系数不同,1414自动化学报37卷它同时具有通用性、加密性、鲁棒性和可渐近性、可缩放性、计算的非对称性.同时,这种随机编码过程非常简单,仅需计算非相干投影而不做任何其他的处理.从而,可以把大部分的计算复杂性都放在解码器上.换句话说,这种随机编码采用了“少采样,后计算”的原则,把技术的负担从传感器转移到处理器上.因此,高效、快速、鲁棒的重建算法是将CS理论推向实用化的关键之一,也是CS理论研究的核心内容之一.1基于CS理论的重建算法目前基于CS理论的重建算法主要分成4类:凸优化方法、组合算法、统计优化方法及贪婪算法.凸优化方法的本质思想是针对最小化 1模提出的线性规划方法,现有的凸优化方法主要包括基追踪(Ba-sis pursuit,BP)[8],梯度投影稀疏重建(Gradient projection for sparse reconstruction,GPSR)[9],迭代阈值法(Iterative thresholding,IT)[10],迭代硬阈值法(Iterative hard thresholding,IHT)[11]以及Bregman迭代法(Bregman iterative,BI)[12−15]等.在4类重建算法中凸优化方法给出了最强的稀疏恢复的保证,在测量矩阵满足一定的条件下它能精确重建所有的稀疏信号,同时需要测量的次数也较少,然而,其最大的缺点在于重建速度慢,对于大尺度的重建问题实现困难;组合算法的本质思想是针对信号进行高度的结构化采样,经由群测试来快速获得信号支撑,主要包括稀疏傅里叶描述法[16],链追踪(Chaining pursuit,CP)[17],以及HHSP追踪(Heavy hitters on steroids pursuit,HHSP)[18−19]等,组合算法所需要的测量次数较凸优化方法少,重建速度也较快,但是它只给出了在测量次数一定的条件下可以以高概率获得任何可压缩信号重建的保证而不是精确保证,同时组合算法没有给出确定性测量矩阵的限制条件,只是针对特定矩阵给出理论证明,这也为新的测量矩阵的提出带来困难.目前的统计优化方法主要包括两类:一类是贝叶斯统计框架下的稀疏重建算法[20−22];另一类是基于训练集合学习的统计优化方法[23],该方法的思想类似于主成分或者独立成分分析,利用典型信号的训练集通过学习的方法找出最优的线性投影集合.统计优化方法能在精确和非精确测量条件下给出精确重建信号的保证,它所需要的测量次数较凸优化方法多,但是重建时间较凸优化方法少,较好地平衡了重建中对测量次数和测量时间的要求.在CS理论中,由于图像重建过程可以看作已知信号在给定冗余字典上获得最稀疏分解的过程,而贪婪算法在信号稀疏分解任务中已经得到了成熟的应用,因此,借助于信号稀疏分解的思想,贪婪算法就很自然地被应用到CS 理论中.目前贪婪算法的种类很多,主要包括匹配追踪(Matching pursuit,MP)[24]、正交匹配追踪(Or-thogonal matching pursuit,OMP)[25]、分级正交匹配追踪(Stagewise orthogonal matching pursuit, StOMP)[26]、正则化的正交匹配追踪(Regularized orthogonal matching pursuit,ROMP)[27]、压缩采样匹配追踪(Compressive sampling matching pur-suit,CoSaMP)[28]、子空间追踪(Subspace pursuit, SP)[29]及改进的后退型OOMP(Improved back-ward optimized OMP,IBOOMP)[30]等.贪婪算法是4类算法中重建速度最快的算法,尽管最初提出的OMP算法在重建效率上并不是很理想,但是随后提出的各种改进算法无论是在重建速度还是重建精度上都得到了很大改进.本文首先介绍压缩感知的基本理论;其次,着重介绍现有几种重要贪婪重建算法,详细给出每种算法的数学框架,并根据算法中最优匹配原子的选择机制与残差更新方式的不同进行分类解析,以限制等容常数为条件来讨论各种算法在实现重建时的性能;最后,通过模拟实验对各种算法进行性能验证.2CS理论CS理论的本质是一种非适应性的、非线性的可压缩信号的重建方法.其主要内容是:在某组基(称为稀疏基)Ψ=[ψ1,ψ2,···,ψN]上具有m-稀疏描述的N采样的信号x∈R N,即x=Nn=1θ(n)ψn=ml=1θ(n l)ψ(n l)可以通过它在另一组非相干的基(称为测量基)Φ=(φT1,φT2,···,φTM)上的M(m≤M<<N)个线性投影y(i)= x,φTi,i∈{1,2,···,M}获得精确重建.利用矩阵的形式,测量过程可以记为y=Φx=ΦΨα.其中,α表示m-稀疏变换系数向量,称M维列向量y为测量向量,称由测量基Φ构成的M×N维矩阵为测量矩阵.其目标是通过M(M<<N)次测量得到的测量向量y精确重建或者逼近信号x.由条件m≤M<<N可以看出CS理论主要解决的是欠采样情况下的信号重建问题.由于M<<N,从而使得信号x的重建本质上成为一个病态求逆问题,但是原始信号x自身的稀疏性是使得从少量测量恢复信号成为可能的第一个原因,而第二个原因则在于测量基与稀疏基之间的不相关性,因此,为保证重建测量矩阵必须满足一定的限制条件.Candes等[31]给出如下结论:为了重建稀疏或可压缩信号,测量矩阵Φ要满足一定参数的限制等容条件(Restricted isometry property,RIP).下面我12期方红等:贪婪算法与压缩感知理论1415们首先给出RIP 的定义.定义1(RIP).对矩阵Φ∈R M ×N ,若对所有满足|I |≤m <M 的索引集合I ⊂{1,2,···,N }及任意向量v ∈R |I |,存在常数0<δ<1,使得:(1−δ) v l 2≤ ΦI v l 2≤(1+δ) v l 2(1)成立,则称该矩阵为满足参数(m,δ)的RIP,其中:ΦI 表示由索引集合I ⊂{1,2,···,N }所指的Φ中列向量所构成的子矩阵,而使得式(1)成立的所有参数δ的下确界称作限制等容常数(Restricted isometry constant,RIC),记为δm .性质1(RIC 与特征值).如果测量矩阵Φ∈R M ×N 为具有参数(m,δ)的RIP,那么对所有满足|I |≤m 的集合I ⊂{1,2,···,N },有:1−δm ≤λmin (ΦT I ΦI )≤λmax (ΦTI ΦI )≤1+δm (2)这里λmin 和λmax 分别表示矩阵的最小和最大特征值.1)分析1:根据式(1)在理想状态下,即当δ=0时,则 v l 2≤ ΦI v l 2≤ v l 2成立,即 ΦI v l 2= v l 2,此时,ΦI 类似一个完全正交系统,保持了信号的全部能量,从而使得信号的精确重建成为可能;当0<δ<<1时,从空间几何的角度来看,此时测量系统几乎保持了不同稀疏信号之间的l 2模距离,从而保证了重建的稳定性;为了保证稀疏信号的精确重建,则要在尽可能少的采样条件下,寻找具有较小的限制等容常数δm 和较大参数m 的测量矩阵.2)分析2:从式(2)可以看出为了计算RIC,需要计算C mN 个子矩阵的最大最小特征值,因此,确定矩阵的RIC 的计算是一个NP 难问题.目前关于RIP 的研究主要针对不同算法给出可以获得精确重建的RIC 条件,例如文献[32]中证明了当测量矩阵Φ的RIC 满足δm +δ2m +δ3m <1时,基于最小化l 1模的线性规划方法可以获得所有m -稀疏信号的精确重建;文献[33]中将条件修改为δ3m +3δ4m <2;文献[34]中给出RIC 满足δ2k <√2−1的充分条件的证明;文献[35]中又将条件修改为δ2k <0.4531;文献[36]中进一步将条件修改为δ2k <0.472.而最近,文献[37]中又给出更理想的充分条件形式δk <0.307,并证明了这个δk 上限不可再被实质性的修改.目前满足一定RIP 的测量矩阵有很多,其中包括高斯随机测量矩阵、贝努里随机测量矩阵、部分傅里叶随机矩阵及文献[38]中提出的稀疏投影矩阵和非常稀疏投影矩阵等.本文中,为实现简便,我们都采用高斯随机测量矩阵,在下面的理论讨论中,不失一般性,假设信号为绝对稀疏信号.3贪婪算法3.1信号稀疏重建与信号稀疏分解在CS 理论中,稀疏信号的重建即通过该信号在已知测量矩阵Φ上的M 个非相干的线性投影y =Φx 来获得重建.由于待重建信号x 仅有m 个非零元,因此,测量向量y 可以看作Φ中m 个列向量的线性组合.那么,利用y 和Φ重建x 就等价于在测量向量集合Φ中准确找到参与测量的m 个列向量(原子).这用稀疏分解的语言来描述即:获得向量y 在冗余字典Φ(M <N )上精确的m -稀疏描述,而所求的x 就是该分解所获得的系数向量.因此,CS 理论中的稀疏或可压缩信号的重建问题可以简单地看成信号稀疏分解过程,但是两者之间也存在着一定的区别,稀疏分解的目的是用尽可能少的原子去稀疏描述原始信号,所求描述中原子的个数越少越好,而稀疏重建的目的则是精确找到参与测量的原子,重建的精度取决于原子寻找的正确度而不是原子的个数.3.2贪婪算法的数学框架贪婪算法的基本思想就是通过迭代的方法依次找出待重建信号的支撑,基于某种贪婪准则一次求出一个或多个待估信号的构成元素.以MP 和OMP 为代表的贪婪算法,其寻找x 信号支撑的思想最为简单,即每次迭代以对应ΦT y 中绝对值最大元的列作为支撑候选,一次迭代确定一个入选原子,见算法1和算法2.算法1.MP 算法1)初始化冗余向量r 0=y ,迭代计数t =1;2)找到索引λt ,使得:λt =argmax j =1,2,···,N| r t −1,Φj |;3)计算新的近似a t 和冗余r t :a t = r t −1,Φλt Φλt ,r t =r t −a t4)t =t +1,如果t <K ,返回第2)步.MP 算法与OMP 算法具有相同的最优原子选择策略,每次迭代均以测量矩阵Φ中与当次冗余向量r t −1具有最大内积的列向量作为待估信号的支撑候选.但是两者在残差信号的更新方式上不同,MP 算法由其最新误差r t 与当次所选原子Φλt 的正交性( r t ,Φλt = r t −1−a t ,Φλt =0)来保证算法的收敛性,然而这点仅保证了冗余向量r t 与Φλt 的正交性,而不能保证r t 与已选原子集合{Φλ1,Φλ2,···,Φλt }的正交性,这使得MP 求得的近似解在最优K 项近似的意义下都是次最优的,这也是MP 算法需要较多次数的迭代才能保证收敛的原因.OMP 算法通过递归的对已选原子集合正交化(见算法2中的第4)1416自动化学报37卷步)求出正交投影P t ,利用r t =y −P t y 的残差更新方式,克服了MP 算法的次最优性.算法2.OMP 算法1)初始化冗余向量r 0=y ,索引集合Λ0=φ,迭代计数t =1;2)找到索引λt ,使得:λt =argmax j =1,2,···,N| r t −1,Φj |;3)令Λt =Λt −1∪{λt };4)计算{Φλ:λ∈Λt }张成空间的正交投影P t ;5)计算新的近似a 和冗余r :a t =P t y ,r t =y −a t ;6)t =t +1,如果t <m ,返回第2)步;7)获得的估计 sλ在索引Λm 位置的元非零,且在该位置的测量向量逼近为:a m =λ∈ΛmsλΦλ.OMP 与MP 的共同缺点在于原子选择机制相对于新的冗余误差的非最优性,也就是说待选原子一旦进入支撑候选中,则永久添加不会再被删除,缺少“回溯”的思想.这里“回溯”表示在当前迭代的步骤中,仍对上次迭代中所入选的原子进行同步检验,如果仍然满足当次最优意义则保留,否则剔除作为下次待选.其意义在于它可以最大程度保证重建的全局最优性,因为在某次迭代中达到贪婪条件的原子并不能保证在以后迭代步骤中仍能达到,所有原子都应做到“删除”和“添加”自由,这种思想在后续产生的多种贪婪算法中得到了广泛的应用.针对OMP 中原子选择机制的缺点并引入简单的“回溯”思想,本文作者提出了IBOOMP 算法[30],见算法3.算法3.IBOOMP 算法1)初始化冗余r 0=y ,记γj =Φj ,j =1,2,···,N ,取索引λ1=arg max 1≤j ≤N | Φj ,y |,索引集合Λ1={λ1},正交投影函数ψ1=Φλ1=β1和分解系数c 1= Φλ1,y ,迭代计数t =1;2)对j =1,2,···,N ,分别计算:γj =γj −ψj ψt ,Φt ,b j = γj ,y ,d j =d j −| ψt ,Φj |2,e j =|b j |2/d j ;3)令t =t +1,寻找λt ,使得λt =arg max 1≤j ≤N e j ,记索引集合Λt =Λt −1∪{λt }.分别记:R t 2= R t −1 2−e λt ,ψt =γλt√λt,βt =γλt d λt;4)对j =1,2,···,t −1计算新的投影和分解系数:βj +1=βj −βt Φλt ,βj ,c j +1=c j − Φλt ,βj c t ;5)重复2)∼4)直到对于给定的小的正数δ,满足R t 2≤δ时,迭代停止,并得到系数估计向量c ,且|c |=M >m ;6)归一化c 并向后剔除多余M −m 元素.模拟实验证明:IBOOMP 算法在相对误差一定的条件下较大程度地减少了重建对测量次数的要求,但是它与MP 及OMP 具有相同的最优原子选择机制,每次迭代只选择一个原子,为进一步提高重建速度及重建精度,一次迭代选择多个原子的思想被采用到贪婪算法中.下面首先介绍ROMP 和SP 算法,分别见算法4和算法5.算法4.ROMP 算法1)初始化残差r 0=y ,指标集合I =∅,迭代t =1,重复下面步骤m 次或者直到|I |≥2m ;2)计算u = r t −1,Φj ;3)原子选择准则:m 个最大的非零坐标构成的集合或者它的所有非零坐标,选其中较小的坐标设为J ;4)正则化:在所有具有可比较坐标的子集J 0⊂J 中:|u (i )|≤2|u (j )|,对所有的i,j ∈J 0,选择具有最大能量 u |J 0 l 2的集合J 0;5)更新:增加J 0到指标集:I ←I ∪J 0,更新残余:x =arg min z ∈R Iy −Φz l 2,r =y −Φx算法5.SP 算法1)初始化: T={相应于ΦT y 的绝对值最大的m 个指标}y r =resid(y ,Φ T );2)迭代:如果y r =0,迭代停止;否则继续;3)T = T∪{相应于ΦT y r 的绝对值最大的m 个指标}x p =Φ†T y , T ={相应于x p 最大元的m 个指标},y r =resid(y ,Φ T );4)更新:若 yr l 2> y r l 2,迭代停止;否则,设 T= T 以及y r = y r ,继续迭代;输出:满足 x {1,2,···,N }− T =0和x T =Φ†T y 的估计信号 x .ROMP 和SP 具有相同的原子选择机制,每次迭代都以ΦT y r (y r 表示当前冗余)中前m 个绝对值最大的非零坐标所对应的原子作为候选;其中,ROMP 利用正则化的方法找出候选原子集合中能量最大的原子集合J 0,在所有支撑集为J 0的稀疏信号中利用最小二乘法找出使得 y −Φz l 2最小的解x 作为当前估计,并以y −Φx 作为残差更新公式,没有“回溯”的思想,每次迭代都在一个“可靠”候选集中选择出满足正则条件的原子添加到上次迭代中,并且这些原子一直保持到迭代停止.SP 与ROMP 在残差更新方式上则不同,它以相邻两次迭代冗余的差作为迭代停止条件,每次迭代中在当次迭代支撑和前次迭代支撑集合的并集(T )上利用最小二乘求出当前估计x T =Φ†T y ,可见SP 采用了“回溯”思想,与ROMP 相比更好地保证了重建的最优性.然而,SP 算法也有其自身的缺点,尽管在每次迭代更新都能保证新的原子的增加(取并集),但是在当次支撑集合上,并没有对利用最小二乘所求出的解进行定量的评估(即增加或删除原子对误差冗余的影响),同时也不能给出当次迭代残差一定小于前次迭代残差的理论保证.针对这两个缺点,文献[39]中给出一种改进的SP 算法—逐步最优的子空间追踪(Stepwise optimal SP,SOSP).SOSP 算法12期方红等:贪婪算法与压缩感知理论1417中,通过交替使用Greedy Add和Greedy Remove这两个步骤,以严格保证冗余误差递减的原则,在当前支撑候选中删除或者添加原子.本质上说,SOSP区别SP主要在于对候选支撑 T的进一步优化.最后我们介绍StOMP和CoSaMP算法,见算法6和算法7.算法6.StOMP算法1)初始解x=0,初始残差r0=y,计数器s=1;2)第s阶段,计算C s=ΦT r s−1= Φ,r s−1 ;3)设立软阈值h=t sσs,获得该阈值下的原子集合Js={j:|C s(j)|>t sσs},其中,规范噪音水平为σs=r s l2/√,阈值参数2≤t s≤3;4)I s=I s−1∪J s,计算支撑I s上的逼近系数向量:(x s)Is =(ΦTI sΦIs)−1ΦTI sy;5)更新残差为:r s=y−Φx s;6)检查终止条件(例如s=10),若未到停止时间,则假设s=s+1,转到第2)步,若到达停止时间,设 x s=x s,为算法的最终输出.算法7.CoSaMP算法输入:采样矩阵算子Φ,噪音测量向量y,稀疏度m输出:待估信号x一个m-稀疏逼近a1)初始解a0=0,初始残差r0=y,计数器s=1;2)计算信号代理:c=ΦT r s−1;3)鉴定大的成分,合并支撑集:Ω=supp(c2m),T=Ω∪supp(a s−1);4)通过最小二乘法的信号估计:b|T=Φ†Ty,b|T c=0从而获得新的逼近a s=b m;5)更新残差:r s=y−Φa s;6)若满足停止标准,则输出a=a s,若不满足,则可以令s=s+1,回到第2)步.StOMP与CoSaMP在本质上都采用了“代理”的思想,即如果测量矩阵满足限制等容常数δm<<1,则向量v=ΦTΦx=ΦT y可以看做待估信号x的一个“代理”,其合理性在于:根据RIC的定义,当δm<<1时,v中每m个元素构成的集合所包含的信息近似于x中m个元素所构成的集合,那么从v中前m个最大元所对应的支撑也应该对应于这些元素在x中的支撑.StOMP与CoSaMP 的区别在于最优匹配原子的选择机制不同,StOMP 通过设立软阈值h=t sσs直接判断入选的原子集合,利用最小二乘求出待估信号在所得支撑上的系数,其缺点在于阈值参数选择较难;CoSaMP则在每次迭代中计算代理信号(即ΦT r s−1)中前2m个最大元所对应的支撑与前次逼近解的支撑并作为当次候选支撑,再利用最小二乘求出该支撑上的系数估计.从算法6的第4)步和算法7的第3)步可以看出两者都采用了“回溯”思想.3.3算法的性能比较在给出上述贪婪算法的数学框架后,我们以δm 为条件来讨论各种算法的性能.尽管RIP给出了通过算法可以获得重建的一个充分条件,但是由RIP 的定义可知,为了获得更好的重建,我们希望在尽可能少的测量次数的条件下,获得尽可能小的限制等容常数,这是因为δm越小则整个测量系统的正交性越强,然而越是小的限制等容常数的RIP越难获得.1)以OMP为代表的一次迭代选择一个原子的贪婪算法,没有给出确定的RIP条件保证,只是在精确测量的条件下,针对特殊的测量矩阵,例如高斯和贝努里随机测量矩阵等分别给出了获得近似重建的概率,既没有精确重建的保证也不能保证重建的稳定性,程序的运行时间取决于算法的第2)步,因此时间为O(mMN).2)ROMP算法给出了噪声测量y=Φx+e 下获得近似测量的保证,这里e表示误差向量,文献[27]中指出只要测量矩阵满足参数为(4m,δ)的RIP,其中,δ=0.01/√log m,则对任意稀疏度为m的向量都可以获得重建精度范围为 x−ˆx l2≤√log n e l2的结果,而当e=0时,可以获得精确重建,ROMP算法虽然添加了正则化的步骤,但是并没有额外增加运行时间,其总的运行时间与OMP 相当.3)SP算法在精确测量的条件下也能给出精确重建的保证,条件是测量矩阵必须满足参数(3m,0.06)为RIP,而在误差噪声测量条件下,SP 则给出了重建误差为 x−ˆx l2≤1+δ3mδ3m(1−δ3m)e l2的保证.SP运行时间可以达到O(log(m)MN).4)StOMP算法最大的优点在于重建速度较快,能较好地解决高维信号的重建问题,但是它和OMP 一样需要精确测量的保证,也不能给出确定的RIP 条件,只能针对某些特殊矩阵给出一定的重建保证,其运行时间接近O(MN).5)CoSaMP在测量矩阵满足(4m,0.1)的RIP 的条件下给出了噪声测量的重建保证,与ROMP和SP不同的是,CoSaMP可以对任意噪声测量下保证重建,但是在精确测量的条件下并不能保证精确重建,其运行时间下限为O(MN).总结前面的分析给出算法的性能对照,见表1.1418自动化学报37卷表1主要贪婪算法的性能比较Table 1Comparison of performances for maingreedy algorithmsOMPROMP SP StOMP CoSaMP 精确是否否是否测量运行O(mMN )O(mMN )O(log(m )MN )O(MN )O(MN )时间精确否是是否否重建重建的否是是否是稳定性为了进一步讨论算法的性能,我们先给出RIC 的一个简单性质:性质2(δm 单调性).对任意的整数m,m ,如果有m ≤m ,则有δm ≤δm .由性质2,我们有δ3m <δ4m ,则若δ4m <0.1,则一定有δ3m <0.1;另一方面,一般情况下因为m 表示信号的稀疏度,因此,显然有δ4m <0.01/√log m <0.01成立.从而可以看出ROMP 、SP 和CoSaMP 中ROMP 对限制等容常数的要求最高(即限制等容常数最小),而CoSaMP 其次,SP 最低.因此,在相同测量矩阵的条件下,为达到相同的相对重建误差水平,ROMP 需要较多的测量次数来抵消限制等容常数的高要求性.由于计算一个矩阵的RIC 是NP 难问题,因此,本文以高斯随机矩阵和部分傅里叶矩阵为测量矩阵,获得精确重建时测量次数M 的相关结论来讨论M 与RIC 之间的逻辑关系:1)高斯测量矩阵:定义为Φ∈RM ×N,Φ(i,j )=φij /√M ,其中φij ∼N(0,1),当M 满足:M ≥Cm logNmε2(3)时,以大小为1−εcM 的概率有RIC,δm ≤ε成立,这里C,c 为正的常数[40].2)部分傅里叶矩阵:定义为Φ∈R M ×N ,由随机地从N ×N 维离散傅里叶变换矩阵中抽取M 行构成.当M 满足:M ≥C m log 5N ·log(ε−1)ε2(4)时,以大小为1−1/N 的概率有RIC,δm ≤ε成立,这里C 为正的常数[41].从式(3)和式(4)中显然看出,RIC 常数与测量次数成反比,因此越小的限制等容常数就需要越多的测量次数作为精确重建的保证.4模拟实验为了保证重建算法性能比较的客观性,我们采用绝对稀疏0–1随机信号.模拟实验在CPU 为In-tel E5300(双核2.60GHz),内存为2.00GB 的联想品牌机上运行.首先,假设稀疏信号长度N =512,稀疏度为m =40,测量次数M =256,高斯随机测量矩阵Φ∈R M ×N :Φ(i,j )=1√M φi,j,其中φi,j ∼N(0,1),用算法2∼算法7的6种算法进行重建性能验证(见图1),由图1可以看出,在一定的测量次数下,这6种算法都能精确地恢复信号.由于重建中测量矩阵的随机性,为了进一步比较各种算法的重建效果和信号稀疏度以及测量次数之间的关系,我们通过多次的实验来比较上述6种算法的重建性能.比较的标准分别为稀疏度与信号重建概率、测量次数与信号重建概率之间的关系.这里仍然采用绝对稀疏的0–1随机信号,通过假设N =256,M =128,改变信号的稀疏度(从m =20开始),假设N =256,m =30,改变测量次数(从M =60开始),分别进行500次模拟实验,结果如图2和图3所示.图1当N =512,m =40,M =256时,贪婪算法OMP,ROMP,CoSaMP,SP,StOMP 和IBOOMP 的重建结果Fig.1Reconstruction results based on OMP,ROMP,CoSaMP,SP,StOMP,and IBOOMP,respectively,withN =512,m =40,and M =256由图2可以看出:在测量次数一定的条件下,随着稀疏度的增加,信号重建概率逐渐减小,在信号非常稀疏的情况下,各种算法都以高概率重建原始信号.为了更好地比较各种算法在不同稀疏度的表现,我们让m 从20开始,由图2明显可以看出OMP 和ROMP 成功的概率相对比较小,而CoSaMP 和SP。

《2024年分布式压缩感知的重构算法研究》范文

《分布式压缩感知的重构算法研究》篇一一、引言在数字化信息时代，大数据和机器智能在各种领域广泛应用。

数据的收集和处理的规模不断增大，其背后要求的信息获取、传输、处理与存储等技术手段亟待革新。

而分布式压缩感知作为一种新颖的信息处理方法，旨在结合了分布式技术和压缩感知（CS）理论的优点，被广泛应用于图像处理、信号处理和无线通信等领域。

本文将重点研究分布式压缩感知的重构算法，分析其性能及优缺点，并探讨其未来的研究方向。

二、分布式压缩感知概述分布式压缩感知（Distributed Compressive Sensing, DCS）是一种基于压缩感知理论的新型信息处理技术。

它将传统集中式信号处理的方法，如传统信号压缩，进行改进，使之可以分布处理不同区域或节点上的数据。

分布式压缩感知具有信息量巨大、信噪比高、信息质量可靠等优点，可有效地应用于大尺度信号或数据网络。

三、重构算法介绍在分布式压缩感知中，重构算法是关键部分。

其基本思想是利用已知的测量值和稀疏性约束条件，通过优化算法来恢复原始信号或数据。

目前常见的重构算法包括贪婪算法、凸优化算法和组合算法等。

1. 贪婪算法：通过局部最优的搜索策略，在每一步迭代中寻找最匹配的元素进行迭代求解。

这类算法简单且效率高，但在信号复杂度较高时效果较差。

2. 凸优化算法：利用信号的稀疏性特点，将重构问题转化为凸优化问题，使用传统的凸优化技术求解。

该类算法具有良好的数学理论基础和全局收敛性，但在面对复杂度高且大规模的数据时效率可能有所下降。

3. 组合算法：结合压缩感知理论的多种特点进行优化。

这种算法更加复杂但可以在复杂的网络环境中更有效地恢复原始信号或数据。

四、重构算法性能分析不同的重构算法在分布式压缩感知中各有优劣。

贪婪算法在简单信号的恢复上表现出色，但面对复杂信号时可能无法得到满意的恢复效果。

而凸优化算法虽然具有强大的数学理论基础和全局收敛性，但在处理大规模数据时可能效率较低。

压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法研究

解数Ｈ少瞰¨．信息完备，不仪呵以使信号重建更加精确，而Ⅱ还有利于相：信号厂Ｋ
缩感知阶段减少存储、传输信ｒ丁ｒｔ－：１所Ｉ与用的资源。常用的稀疏基【９】有：离散余弦变换基、快速傅ｑ［Ｊｒｔ。变换基、离散小波变换基、Ｃｕｒｖｅｌｅｔｓ基、Ｇａｂｏｒ螭以及儿余字
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感知甜ｉ阵【９】的－陀质彳ｉ仪对信号的压缩和采样过程有着蓖要的影响，ｊ￡性质的好坏也“接影响了信号霞建效果的好坏和重建速度的快慢。２００７年Ｃａｎｄｄｓ，Ｒｏｍｂｅｒｇ和Ｔａｏ等人建说了著私的限制等距特性（ＲｅｓｔｒｉｃｔｅｄＲＩＰ）１１３】，ｔ！Ｐｘ，ｔ］：任意向醚ｘ，如果矩阵０满足：
北京交通大学硕士学位论文压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法研究姓名：任晓馨申请学位级别：硕士专业：信号与信息处理指导教师：赵瑞珍 201206
北京交通大学硕士学位论文
中文摘要
中文摘要
压缩感知是针对稀疏信号或可压缩信号，在信号采样的同时进行压缩的一种新的信息采集处理方法，其可以大大缩短采样压缩时间和数据存储空间。重建算法是压缩感知关键部分之一。本文在充分研究分析现有重建算法的基础上，总结现有算法的优缺点，在保持其优点的前提下寻找新的方法克服其缺点，以得到具有更优重建性能的新算法。首先本文对已有的贪婪匹配追踪类重建算法进行了深入的研究分析和介绍。根据贪婪匹配追踪类算法的特点，将其分为基础贪婪匹配追踪类算法、回溯型贪婪匹配追踪类算法和稀疏度自适应贪婪匹配追踪类算法这三大类，分析总结了这三个类别重建算法的优缺点，基于其优缺点进行思考。其次本文在分析总结了稀疏度自适应贪婪匹配追踪类算法及其优缺点的基础上，提出了一种新的算法，稀疏度自适应的正则回溯型匹配追踪算法ＳＡＭＰ—ＲＢ，该算法能更准确的与真实稀疏度相匹配。该算法即继承了已有的稀疏度自适应算法的优势，对已有的固定步长逐步逼近稀疏度思想作了进一步的改进，又结合了回溯算法的优势，并且用新的正则化回溯法去实现回溯筛选，以达到原子二次筛选的准确性和更准确的稀疏度自适应性。通过实验验证该算法具有更好的重建质量，更快的重建速度，和更稳定的重建性能。最后本文在分析总结了基础贪婪匹配追踪类算法中的正则化正交匹配追踪算法及其优缺点之后，针对原正则化方法的不合理性作了改进，从而得到一种新的方法，该改进方法通过设定一个能量阈值来作为正则化结果的组别选择标准，使得能量级在一定阂值之上的原子一次性都选入候选原子集，而不是分为多次分别选入，使得整个过程避免冗余更有效。并且为了验证改进方法的有效性，分别将其应用在正则化正交匹配追踪算法ＲＯＭＰ和正则化自适应匹配追踪算法ＲＡＭＰ中，分别得到阈值正则化正交匹配追踪算法ＴＲＯＭＰ和阈值正则化白适应匹配追踪算法ＴＲＡＭＰ。通过实验验证两种新算法较之原算法在重建效果上具有较明显提高。关键词：压缩感知；重建算法；匹配追踪；稀疏度自适应；正则回溯法；阈值正则化分类号：ＴＮ９１１．７