变限积分的性质

变限积分的性质

摘要

变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用

引言

随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

1. 变限积分的概念与理解

1.1变限积分的定义

[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也

可积，于是，由

x,,,()(),[,]xftdtxab (1) ,a

定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x 限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:

b,,,(),(),[,].xftdtxab (2) ,x

与统称为变限积分; 变量复合函数定义为: ,,

uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(), ,,,avxvx()()

[,],,,[,]abux()vx()ux()vx() 其中、是定义在上的函数且，.

xfxdx() 注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a 以免与积分上、下限的混淆。 x

1.2对变限积分基本概念的理解

,x2sin;xdxsin;xdx 例题，计算(1)(2)(3)并由此说明不sin.xdx,,,0o 定积分、定积分、变上限积分三者之间的联系。

(,)xcsincos;xdxxc,,，解:(1)= I1,

xxIxxdxcosxxx()sincos0cos1cos;,,,,,,, (2) 20,0

,,,22Ixdx,,,,,,sincoscos0cos1. (3) 30,02

xsinxdxsinxsinxdx 不定积分表示的含有任意常数的原函数;积分是,,0 ,2sinx上限变量的函数，也是的一个原函数;而定积分表示xsinxdx,0

,sinxx,0一个数，它是的任意一个原函数在与两点处函数值之x,2

差。笼统地说，定积分是数，变上限积分是一个函数，而不定IIx()32 c,1积分是一族函数。即为;此处取可得，;Ixc(,)III,Ixc()，111221

,取时，，三者既有联系又有区别。 x,II,232

2. 变限积分的性质

2.1连续性:

fx()[,]ab 若在上可积，则

xb FxftdtGxftdt()(),()(),, ,,ax

[,]ab在都连续.

2.2可微性(原函数存在定理)

fx()[,]abFxGx(),()[,]ab 若在上连续，则2.1中的在上可导且

xd, ()()(),[,]Fxftdtfxxab,,,,adx

bd, . ()()(),[,]Gxftdtfxxab,,,,,xdx

[,]ab[,]abffG 这就是说:函数是在上的一个原函数;函数是在上的一F

个原函数。

注:2.2建立了导数、积分这两个看起来似乎毫不相关的概念之间的内在联xftdt()系，它证明了“连续函数必有原函数”的基本结论，而且说明了,a f是的一个原函数。此2.2的这个结论在微积分学中具有十分重要的地位，

被称为“微积分基本定理”.

2.2.1推论

fx()[,]ab[,],,x,[,],,uxab()[,],ux()若在连续，在上可导且，，

ux()[,],,Hxftdt()(),则在上可导，且 ,a

,,Hxfuxux()(())(), .

2.2.2推论

fx()[,]ab[,],,x,[,],,ux()vx()ux()若在连续，、在上可导且，、

ux()vxab()[,],[,],,Hxftdt()(),，则在上可导，且 ,vx()

,,,Hxfuxuxfvxvx()(())()(())().,,

2.2.3牛顿-莱布尼茨公式

由微积分基本定理，我们还能得出一个重要的公式，即牛顿-莱布尼茨公式: [,]abFx()fx()[,]abf若函数在上连续，且是在上的一个原函数，则bbfxdxFbFaFx()()()(),,, a,a

例1 下列计算是否正确,若有错，请订正.

x22,dtx,, (1); ,edte,0dx

sinx22d,,txsin (2); ,edte,0dx

024d,,tx2.x (3)) ,edte2,xdx

x22t,,tfte(),edt 解 (1)正确.因被积函数是连续函数，变上限定积分 ,0 2,tfte(),对上限变量求导数，就等于被积函数在上限变量x处的值，即

,x22,,txedte,. ，，,0

sinx (2)错误.因为上限是的函数，需要利用复合函数求导公式， x

sinsinxx22dddxsin,,,ttxsin ,,edtedtexcos.，，,,00dxdxdxsin

2x (3)错误. 因为下限是的函数，需转化为变上限函数积分求导x

问题

20x224dd,,,ttx ,,,,2.edtedtxe2,,x0dxdx

x12,,,gx()fxfx(),(). 例2 设函数连续，且，试求 fxxtgtdt,,()()(),a2

fx() 分析由于的变上限积分表示式的被积函数中出现了积分

xd,fx()上限变量，故不能直接利用公式来求导数.,,()(),xtdtx,adx

fx()需先将改写成积分的被积表达式中只含积分变元t的形式，在对其求导. x12 解 fxxtgtdt,,()()(),02

2xxxx12 = gtdtxtgtdttgtdt()()(),,，,,,00022

2xx,()()() fxxgtdtgx,，,02

2xx2()()() - tgtdtxgxgx,，,02

xx =xgtdttgtdt()(),, ,,00

xx，，,, fxgtdtxgxxgxgtdt()()()()().,，,,,,0,,o，，

如果忽略了被积函数中含有积分上限变量这一事实，而硬套变上限

积分求导公式，就会酿成错误结果: