水文学与水文地质学课件教学配套课件杨维第三章1基本概念
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xp f(x)
x
xp
F(x)
F(xp)
0
f(x)
概率密度函数
0p
F(x)(％Baidu Nhomakorabea 100
概率分布函数
P ( X xi ) F ( xi )
f ( x)dx
xi
（3-4）
正态分布例子
水文统计中常用的概率分布 — 正态分布 概率密度函数为：
f (x)
1
(x x )2
e 2 2
2
正态分布密度曲线特征：
( x )
特点：
1）单峰；
2）以均值为对称轴；
3）曲线两端趋于 ±∞，且以x轴为渐近 线。
其分布函数
正态分布函数：
F ( x) 1
x (xx)2
e 2 2 dx
2
P(x x x ) 68.3% P(x 2 x x 2) 95.4% P(x 3 x x 3) 99.7%
随机变量与其概率一一对应的关系，称为随机变量 的概率分布规律，简称概率分布。
P( X xi ) Pi
√ 对于连续性随机变量，实际工程更关注：
P ( X x i ) ? （3-3）
水专业图-工程例
例题
【例题3-1】已知某站62年实测年降水量资料（下表）。
年雨量 / mm 组距 △x=200
出总体的特征。
2 概率与频率
2、概率与频率(Probability and frequency) (1) 概率:
基本性质： 0≤P(A)≤1
(3-1)
(2) 频率：
(3) 概率与频率关系： lim W ( A ) P ( A ) 0 （3-2）
n
概率 = 频率
概率分布
(4) 随机变量的概率分布：
1 有关概念 2 概率与频率 3 累积频率与重现期 4 设计频率标准 5 收集资料要求
1、有关概念
◆ 事件 (Events) ：
必然事件 不可能事件 随机事件
◆ 水文统计（Hydrologic statistics）
随机变量
◆ 随机变量(Random variables) ：
随机变量 离散型 连续型
第3章 水文统计基本原理与方法
Chapter 3 Basic Principles and Methods of Hydrological Statistics
§3-1 概述 §3-2 统计参数与抽样误差 §3-3 经验频率曲线与理论频率曲线 §3-4 水文频率计算方法 §3-5 相关分析
§3-1 概 述
组内 累积 △p P
1.6 3.2 4.8 11.3 21.0 29.1 24.2 3.2 1.6
1.6 4.8 9.6 20.9 41.9 71.0 95.2 98.4 100.0
100.0 —
组内平均频率密度 △p/△x (10-4)
0.80 1.60 2.40 5.65 10.50 14.55 12.10 1.60 0.80
550.1 550.2
564 575.6
1982
99.6
1983
104
1984
115.2
1985
119.3
1986
121.3
88.7 580.6
1987
130.2
91.8 97.1 98.4 95.1 97.5
602 610.2 610.7 612.1
646
1988
141.7
1989
146
1990
152
1991
110.4
1992
79.8
X 648.8 697.9 735.4 750.9 792.2 829.9 855.8 874.8 943.4 705.7 503.4
总体与样本
◆ 总体与样本 (collectivity and sample) :
总体
有限 无限
容量一定 容量无限
样本
容量
● 水文特征值系列的总体是无限的。 ● 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映
例题
【例题3-2】某测站有40年的实测枯水位记录，各种 水位出现的频率如表所示，试求确定水位H≥2.7m 的概率。
序号
水位Hi （m）
1
4.0
2
3.5
3
2.7
4
2.0
5
1.9
∑
频数 mi （年）
2 10 16
9 3 40
频率 W (Hi) （%）
5 25 40 22.5 7.5 100
累积频率/重现期定义
相邻两个随机变量之间，不存在中间值
随机变量的一个有限区间内可以取得任何数值
例：QX数值表
年份
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
某水文站22年实测流量与降水量
Q
X
年份
Q
78.9 82.8 83.7 86.4 87.3
468.1
3、累积频率与重现期 (1) 累积频率（Accumulated frequency）：
等量或超量值的累积频数(m)与总观测次数(n)之比。
有：
P( X
xi )
m n
(%)
（3-6）
※
频率
累积频率
频率特性
√ 累积频率特性：
P(X xi ) P(X xi ) ？
√累计频率分类： 年频率(P) 次频率(P’ )
重现期
（2）重现期（Reoccurrence period）: 指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现 一次（多少年一遇）。
※ 重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定的周期。
T计算公式
√重现期表示方法： ① 实测水文系列由最大值组成时，设计频率标准<50%
T1 P
或：
T(X
xi )
1 P(X
2099～1900 1899～1700 1699～1500 1499～1300 1299～1100 1099～900
899～700 699～500 499～300
总计
频数 / 年
组内
mi 1 2 3 7 13 18 15 2 1
累积 ∑mi
1 3 6 13 26 44 59 61 62
62 —
频率 / %
—
题的图
x(mm)
x(mm)
2300 1300
300 0
f(x) 频率密度曲线
频率密度直方图
5
10 15
△△PX（×10-4）
2300 P(X≥xi) 累积频率曲线
1300
300
累积频率直方图
0 20 40 60 80 100
P（％）
F(x)与P(x>x)关系式
x P(X≥xp)=F(xp)
∫x∞p f(x)dx
相加定理
概率相加定理：
互斥事件 A1，A2，…… An-1，An中，至少有一
个事件出现的概率等于各事件出现的概率之和。
即：
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
（3-5）
√ 互斥事件：不可能同时发生的事件。 √ 独立事件：彼此发生的概率相互无影响。
x
xp
F(x)
F(xp)
0
f(x)
概率密度函数
0p
F(x)(％Baidu Nhomakorabea 100
概率分布函数
P ( X xi ) F ( xi )
f ( x)dx
xi
（3-4）
正态分布例子
水文统计中常用的概率分布 — 正态分布 概率密度函数为：
f (x)
1
(x x )2
e 2 2
2
正态分布密度曲线特征：
( x )
特点：
1）单峰；
2）以均值为对称轴；
3）曲线两端趋于 ±∞，且以x轴为渐近 线。
其分布函数
正态分布函数：
F ( x) 1
x (xx)2
e 2 2 dx
2
P(x x x ) 68.3% P(x 2 x x 2) 95.4% P(x 3 x x 3) 99.7%
随机变量与其概率一一对应的关系，称为随机变量 的概率分布规律，简称概率分布。
P( X xi ) Pi
√ 对于连续性随机变量，实际工程更关注：
P ( X x i ) ? （3-3）
水专业图-工程例
例题
【例题3-1】已知某站62年实测年降水量资料（下表）。
年雨量 / mm 组距 △x=200
出总体的特征。
2 概率与频率
2、概率与频率(Probability and frequency) (1) 概率:
基本性质： 0≤P(A)≤1
(3-1)
(2) 频率：
(3) 概率与频率关系： lim W ( A ) P ( A ) 0 （3-2）
n
概率 = 频率
概率分布
(4) 随机变量的概率分布：
1 有关概念 2 概率与频率 3 累积频率与重现期 4 设计频率标准 5 收集资料要求
1、有关概念
◆ 事件 (Events) ：
必然事件 不可能事件 随机事件
◆ 水文统计（Hydrologic statistics）
随机变量
◆ 随机变量(Random variables) ：
随机变量 离散型 连续型
第3章 水文统计基本原理与方法
Chapter 3 Basic Principles and Methods of Hydrological Statistics
§3-1 概述 §3-2 统计参数与抽样误差 §3-3 经验频率曲线与理论频率曲线 §3-4 水文频率计算方法 §3-5 相关分析
§3-1 概 述
组内 累积 △p P
1.6 3.2 4.8 11.3 21.0 29.1 24.2 3.2 1.6
1.6 4.8 9.6 20.9 41.9 71.0 95.2 98.4 100.0
100.0 —
组内平均频率密度 △p/△x (10-4)
0.80 1.60 2.40 5.65 10.50 14.55 12.10 1.60 0.80
550.1 550.2
564 575.6
1982
99.6
1983
104
1984
115.2
1985
119.3
1986
121.3
88.7 580.6
1987
130.2
91.8 97.1 98.4 95.1 97.5
602 610.2 610.7 612.1
646
1988
141.7
1989
146
1990
152
1991
110.4
1992
79.8
X 648.8 697.9 735.4 750.9 792.2 829.9 855.8 874.8 943.4 705.7 503.4
总体与样本
◆ 总体与样本 (collectivity and sample) :
总体
有限 无限
容量一定 容量无限
样本
容量
● 水文特征值系列的总体是无限的。 ● 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映
例题
【例题3-2】某测站有40年的实测枯水位记录，各种 水位出现的频率如表所示，试求确定水位H≥2.7m 的概率。
序号
水位Hi （m）
1
4.0
2
3.5
3
2.7
4
2.0
5
1.9
∑
频数 mi （年）
2 10 16
9 3 40
频率 W (Hi) （%）
5 25 40 22.5 7.5 100
累积频率/重现期定义
相邻两个随机变量之间，不存在中间值
随机变量的一个有限区间内可以取得任何数值
例：QX数值表
年份
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
某水文站22年实测流量与降水量
Q
X
年份
Q
78.9 82.8 83.7 86.4 87.3
468.1
3、累积频率与重现期 (1) 累积频率（Accumulated frequency）：
等量或超量值的累积频数(m)与总观测次数(n)之比。
有：
P( X
xi )
m n
(%)
（3-6）
※
频率
累积频率
频率特性
√ 累积频率特性：
P(X xi ) P(X xi ) ？
√累计频率分类： 年频率(P) 次频率(P’ )
重现期
（2）重现期（Reoccurrence period）: 指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现 一次（多少年一遇）。
※ 重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定的周期。
T计算公式
√重现期表示方法： ① 实测水文系列由最大值组成时，设计频率标准<50%
T1 P
或：
T(X
xi )
1 P(X
2099～1900 1899～1700 1699～1500 1499～1300 1299～1100 1099～900
899～700 699～500 499～300
总计
频数 / 年
组内
mi 1 2 3 7 13 18 15 2 1
累积 ∑mi
1 3 6 13 26 44 59 61 62
62 —
频率 / %
—
题的图
x(mm)
x(mm)
2300 1300
300 0
f(x) 频率密度曲线
频率密度直方图
5
10 15
△△PX（×10-4）
2300 P(X≥xi) 累积频率曲线
1300
300
累积频率直方图
0 20 40 60 80 100
P（％）
F(x)与P(x>x)关系式
x P(X≥xp)=F(xp)
∫x∞p f(x)dx
相加定理
概率相加定理：
互斥事件 A1，A2，…… An-1，An中，至少有一
个事件出现的概率等于各事件出现的概率之和。
即：
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
（3-5）
√ 互斥事件：不可能同时发生的事件。 √ 独立事件：彼此发生的概率相互无影响。