空间曲线积分的计算方法

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线面积分

y =0 a x
4
x = x L1 y=0
x = x L3 y = x
I =∫
a
0
+ ∫ eaad θ e dx 0
x
4
π
2. 第二类曲线积分变力沿曲线所作的功. 变力沿曲线所作的功设一质点受如下变力作用
恒力沿直线所作的功
F
W = F AB cosθ
B
= F ⋅ AB
F( x, y, z) = (P , Q, R)
z
n
Σ
y
第二类曲 o Γ 化面积分 x 空间的封闭曲线弧为空间曲面∑的边界线. Γ是空间的封闭曲线弧, 为空间曲面∑的边界线曲线弧
Γ
∫
Pd x + Qd y + Rd z =
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R ( − )d yd z + ( − )d z d x + ( ∂x − ∂y )d xd y ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∑
求其质量. 求其质量
M = ∫∫ f ( x, y, z)d S
o x
y
又称为对面积的曲面积分若 f ( x, y, z) ≡ 1 得曲面面积为 S =
∫∫ d S
Σ
第一类曲面积分计算
转化
二重积分
∫∫ g( x, y)dxdy
Dxy
1. 把空间曲面写成方程: z = z( x, y) Σ xoy 并将Σ投影到面上: ( x, y) ∈ Dxy
t :α → β ,
dx = x′(t )dt dy = y′(t )dt dz = z′(t )dt
=∫
+ Q[ x(t ), y(t ), z (t )]y′(t ) + R[ x(t ), y(t ), z (t )] z′(t )}d t

第4讲曲线积分

③、对方程 ,
④、空间曲线 ,
例1．计算曲线积分，为圆周上对应于从到的一段弧。
解：
例2．设有一平面力场，一质点在作用下运动，求下列情形下所作的功。
（1）质点从点到点沿抛物线的一段弧；
（2）质点从点到点的直线段；
（3）质点从点沿直线到点，再沿直线到点的折线。
解：（1）
例2计算 ,其中是以为顶点的三角形边界.
例3计算 ,其中是螺旋线上对应于从0到1的一段弧.
例4计算 ,其中为圆 .
几何解释: ,当时,表示以平面上的曲线段为准线,母线平行于轴,高度为的柱面面积.
二、向量值函数在有向曲线上的积分
1、向量场
若场中每一点对应的物理量是向量，则称该场为向量场。如力场，流量场。
单连通区域的边界曲线的正方向为逆时针方向;
复连通区域的外边界曲线的正方向为逆时针方向,而内边界曲线的正方向为顺时针方向.
定理1(格林公式)设平面闭区域是由分段光滑的曲线围成的单连通区域,函数及在上有一阶连续偏导数,则有
其中是的正方向边界曲线.
应用：(1)在格林公式中,取 ,则有
因此可用下面的公式计算区域的面积: ；
解:
例4.计算 .
(1) 为 ( ),其方向取为逆时针方向;
(2) 为一条不过原点的光滑闭曲线,取逆时针方向.
解: , ，
(1) ，一阶偏导数不连续，所以不能直接用格林公式，但曲线上的点满足，所以
(2)当时,由格林公式得 =0
当时,取充分小正数 ,以原点为圆心,以为半径,在内作一个小圆周 , 的方向取顺时针方向，并设与所围成的区域为，由格林公式，得
例4求解微分方程 .

曲线积分与曲面积分常见题型攻略

曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。

（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。

②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。

（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。

例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。

（完整版）曲线积分与曲面积分（解题方法归纳）

1 / 13第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分利用性质计算曲线积分和曲面积分. .(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. . (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. . (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. . 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则轴对称，则10 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y dsf x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,)2(,)LL Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分.若积分曲线L 关于x 轴对称，则轴对称，则10 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y dsf y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数10 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则对称，则 ()()=⎰⎰L L f x ds f y ds .（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在xOy 面上方部分.若积分曲面∑关于yOz 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在yOz 面前方部分.若积分曲面∑关于zOx 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分.（4）若曲线弧():()()αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ，则，则 []22(,)(),()()()()βααβ''=+<⎰⎰Lf x y ds f x t y t x t y t dt若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则，则[]22(,)()cos ,()sin ()()βαθθθθθθθ'=+⎰⎰Lf x y ds f r r r r d若空间曲线弧():()()()αβ=⎧⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则，则[]222(,,)(),(),()()()()()βααβΓ'''=++<⎰⎰f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt （5）若有向曲线弧():(:)()αβ=⎧→⎨=⎩x x t L t y y t ，则，则[][]{}(,)(,)(),()()(),()()βα''+=+⎰⎰LP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则，则(,,)(,,)(,,)Γ++⎰P x y z dx Q x y z dy R x y z dz[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()βα'''=++⎰P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则，则[]22(,,),,(,)1(,)(,)xyx y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy ∑''=++⎰⎰⎰⎰ 其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则，则[]22(,,)(,),,1(,)(,)yzy z D f x y z dS f x y z y z x y z x y z dydz ∑''=++⎰⎰⎰⎰其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则，则[]22(,,),(,),1(,)(,)zxz x D f x y z dS f x y x z z y y z y y z dzdx ∑''=++⎰⎰⎰⎰其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则，则(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰（上“+”下“-”）其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则，则(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰（前“+”后“-”）其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.若有向曲面:(,)y y x z ∑=，则，则(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰（右“+”左“-”）其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域.（8）d d +⎰⎰L P x Q y 与路径无关d d 0⇔+=⎰⎰Ñc P x Q y （c 为D 内任一闭曲线）内任一闭曲线）(,)⇔=+du x y Pdx Qdy （存在(,)u x y ） ∂∂⇔=∂∂P Q y x其中D 是单连通区域，(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式）格林公式(,)(,)⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑL DQ P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式）高斯公式(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdydv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 或 (cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式）斯托克斯公式dydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q RΓ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰Ñ 其中Γ为曲面∑的边界曲线，且Γ的方向与∑的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1.计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤：）计算曲线积分的步骤： 1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2+=++⎰Ldx dyI x y x，其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++⎰⎰⎰⎰LL L L dx dy dx dy dx dy I x y x x x x由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称，被积函数211==+P Q x对x 、y 均为偶函数，因此函数，因此220,011==++⎰⎰LLdx dy xx故 20+==++⎰L dx dyI x y x 『方法技巧』『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用同，记清楚后再使用..事实上，本题还可应用格林公式计算事实上，本题还可应用格林公式计算..例 2 计算曲面积分2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS ，其中∑为球面2222++=x y z R .解 2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS 2222222(222222)∑=+++++++++⎰⎰a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS又由轮换对称性知又由轮换对称性知222∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dS y dS z dS故2222222∑∑∑∑=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I a x dS by dS cz dS ndS22222()∑∑=+++⎰⎰⎰⎰a b c x dS ndS22222222()43π∑++=+++⎰⎰a b c x y z dS R n 22222222222244[()]33ππ∑++=+=+++⎰⎰a b c R R dS R n R a b c n 『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些同，理解起来更容易些..若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分222()∑++⎰⎰Òx y z dS ，其中∑为球面2222++=x y z ax .解 2222()22()2∑∑∑∑++==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙乙x y z dS axdS a x a dS a dS222402248ππ∑=+==⎰⎰g Òa dS a a a 『方法技巧』积分曲面积分曲面∑是关于0-=x a 对称的，被积函数-x a 是-x a 的奇函数，因此()0∑-=⎰⎰Òx a dS例4 计算曲线积分2222-+⎰ÑLxy dy x ydxx y，其中L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆时针方向解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式表示为参数方程形式cos :(:02)sin θθπθ=⎧→⎨=⎩x a L y a 代入被积函数中得代入被积函数中得22232222[cos sin cos cos sin (sin )]πθθθθθθθ-=--+⎰⎰ÑLxy dy x ydxad x y2232232202sin cos 2sin (1sin )ππθθθθθθ==-⎰⎰a d ad324332013118(sinsin )8224222πππθθθπ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰g g g ad a a解法2 利用格林公式利用格林公式2222222211()-=-=++⎰⎰⎰⎰蜒L L Dxy dy x ydx xy dy x ydx x y dxdy aa x y 其中222:+≤D x y a ，故，故2222322112πθρρρπ-==+⎰⎰⎰g ÑaLxy dy x ydxd d a ax y『方法技巧』『方法技巧』本题解法本题解法1用到了定积分的积分公式：用到了定积分的积分公式：213223sin 13312422πθθπ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰g g Lg g g Lg g g n n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数解法2中，一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分22()()+--+⎰Lx y dx x y dyx y ，其中L 为沿cos π=y x 由点由点(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.解直接计算比较困难. 由于由于 2222,+-+==++x yx y P Q x y x y ，222222()∂--∂==∂+∂P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周2222π+=x y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ，其参数方程为：2cos 5:(:)442sin πθππθπθ⎧=⎪'-→⎨=⎪⎩x L y ，代入被积函数中得，代入被积函数中得222()()1()()2π'+--=+--+⎰⎰L L x y dx x y dy x y dx x y dy x y544[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]ππθθθθθθθ-=+---⎰d54432ππθπ-=-=-⎰d『方法技巧』『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段本题的关键是选取积分弧段'L ，既要保证'L 简单，又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分∑++⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，其中∑为1++=x y z 的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面解由于曲面∑具有轮换对称性，∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，∑投影到xOy 面的区域{}(,)1=+≤xy D x y x y ，故，故233(1)∑∑∑++==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy zdxdy x y dxdy21(1)22003(1)3(1)-=--=--⎰⎰⎰⎰xyx D x y dxdy dx x y dy 1401(1)2=-⎰x dx 04111(1)30=---=⎰t x t t dt『方法技巧』『方法技巧』由于积分曲面由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ，∑只要投影到xOy 面即可.例7 计算曲面积分222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中∑为锥面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.解利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ，取下侧，则，取下侧，则222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑+∑=-+-+-⎰⎰x ydydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑--+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy 123()Ω∑=---⎰⎰⎰⎰⎰dxdydz h x dxdy 23()Ω=-+-⎰⎰⎰⎰⎰xyD dxdydz h x dxdy其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域，xy D 为∑投影到xOy 面的区域，即{}222(,)=+≤xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有的轮换对称性，有2221()2=+⎰⎰⎰⎰xyxyD D x dxdy x y dxdy 故 222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy222113()32π=-+-+⎰⎰⎰⎰g g xyxyD D h h h dxdy x y dxdy23234001124πππθρρπ=-+-=-⎰⎰g hh h h d d h『方法技巧』『方法技巧』添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求..本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号例8 计算曲线积分()()()-+-+-⎰ÑLz y dx x z dy x y dz ，其中221:2⎧+=⎨-+=⎩x y L x y z 从z 轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.解应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧，∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ，则，则()()()∑∂∂∂-+-+-=∂∂∂---⎰⎰⎰ÑL dydzdzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z yx zx y222π∑==-=-⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy『方法技巧』本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面∑的选取都是关键，∑既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下： (1) 曲线或曲面形物体的质量曲线或曲面形物体的质量. . (2) 曲线或曲面的质心（形心）曲线或曲面的质心（形心）. . (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）平面曲线形物体）平面曲线形物体 (,)ρ=⎰LM x y ds空间曲线形物体空间曲线形物体 (,,)ρ=⎰LM x y z ds 曲面形构件曲面形构件 (,,)ρ∑=⎰⎰M x y z dS（2）质心坐标质心坐标平面曲线形物体的质心坐标：平面曲线形物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρρρρ==⎰⎰⎰⎰LLLLx x y dsy x y dsx y x y dsx y ds空间曲线形物体的质心坐标：空间曲线形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,)(,)(,)ρρρρρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰LLLLLLx x y z dsy x y z dsz x y z dsx y z x y dsx y dsx y ds曲面形物体的质心坐标：曲面形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑∑∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dSy x y z dSz x y z dSx y z x y z dSx y z dSx y z dS当密度均匀时，质心也称为形心.（3）转动惯量转动惯量平面曲线形物体的转动惯量：22(,),(,)ρρ==⎰⎰x y L L I y x y ds I x x y ds 空间曲线形物体的转动惯量：空间曲线形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+⎰⎰x y L LI y z x y z ds I z x x y z ds22()(,,)ρ=+⎰z LI x y x y z ds11 / 13曲面形物体的转动惯量：曲面形物体的转动惯量： 2222()(,,),()(,,)ρρ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dS I z x x y z dS22()(,,)ρ∑=+⎰⎰zI x y x y z dS其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4）变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功所做的功»(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy 空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功所做的功»(,,)(,,)(,,)=++⎰ABW P x y z dx Q x y z dy R x y z dz （2）矢量场沿有向曲面的通量矢量场沿有向曲面的通量矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量(,,)(,,)(,,)∑Φ=++⎰⎰P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy（3）散度和旋度散度和旋度矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度的散度div A ∂∂∂=++∂∂∂P Q R x y z 矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度的旋度rot A ()∂∂=-∂∂R Q y z i ()∂∂+-∂∂P R z xj +()∂∂-∂∂Q P x y k xy z P Q R∂∂∂=∂∂∂ 1.曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤： i j k12 / 13 （1）根据所求物理量，代入相应的公式中；）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分）计算曲线积分或曲面积分. .例9 设质点在场力F {}2,=-k y x r 的作用下，沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2πA 移动到(,0)2πB ，求场力所做的功（其中22,=+r x y k 为常数）为常数）解积分曲线积分曲线L 如图11.7所示. 场力所做的功为场力所做的功为»(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy »22=-⎰AB y xk dx dy r r 令22,==-y x P Q r r ，则22224()(0)∂-∂==+≠∂∂P k x y Q x y y r x 即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径：的路径：1πππ:cos ,sin (:0)222θθθ==→L x y 1022222π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=⎰⎰L y xW k dx dy kk r r 『方法技巧』本题的关键是另取路径本题的关键是另取路径1L ，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如U AO OB ，但不可以选取此路径，，但不可以选取此路径，因为因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径1L 的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ，曲面∑是由曲线21(12)0⎧⎪=+≤≤⎨=⎪⎩y z z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .解旋转曲面为旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ，令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧，2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧，则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧，故(,,)(,,)(,,)∑=++⎰⎰Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 2sin ∑=+⎰⎰xz dydz xdxdy1L A B o y L x 图11.713 / 13 1212222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy122sin sin Ω∑∑=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z dxdydz xdxdy xdxdy2222222221125sin sin +≤++≤+≤=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z x y x y z dz dxdy xdxdy xdxdy2221128(1)0015ππ=-+-+=-⎰z z dz 『方法技巧』本题的关键是写出旋转曲面本题的关键是写出旋转曲面∑的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分. .。

第二类空间曲线积分的投影算法

第二类空间曲线积分的投影算法第二类空间曲线积分是在三维空间中曲线上逐点积分，常用于求解场力沿着特定曲线的功。

在工程和物理学中，该类型的曲线积分广泛应用于电场、磁场、引力场等科学问题中。

在计算机图形学与计算机视觉中，第二类空间曲线积分的投影算法可以解决物体轮廓的计算问题。

一、定义对于参数化曲线C：r(t)，其中r(t)=(x(t),y(t),z(t))其中P(x,y,z)为场量，ds为曲线微元长度，r′(t)为曲线在参数为t时刻的单位切向量（即速度矢量与速率的比值）。

二、投影算法对于一个物体的三维数据，我们可以通过第二类空间曲线积分算法在二维空间中绘制出它的轮廓。

该算法的基本思路是将物体的边界曲线在一个平面上投影，然后根据投影线的连接关系绘制物体的轮廓。

以下是该算法的具体步骤：1.选择一个坐标系作为投影平面，并确定该坐标系的x和y轴。

这通常是根据常规绘图的要求来选择的。

3.将曲线C在投影平面上投影，将C的参数式变为C′：r′(t)=(x(t),y(t),0)5.计算曲线C′的单位切向量t(t)：t(t)=v(t)/|v(t)|7.根据切向量和法向量，计算出向后偏移量d和向前偏移量d′，即从投影点P(x,y)到曲线C上的投影点P′(x′,y′)的距离。

其中，d和d′可以根据需要进行调整，以达到更好的效果。

8.使用第二类空间曲线积分计算投影线上的轮廓点，并根据投影点连接关系绘制物体的轮廓。

三、总结第二类空间曲线积分的投影算法可以将三维物体的轮廓投影到二维平面上，使物体的形状更易于观察和处理。

该算法的核心是将曲线在投影平面上投影，并计算出投影点间的连接关系。

由于该算法基于第二类空间曲线积分的原理，因此计算精度较高，适用于需要高精度计算的应用场景。

求曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。

例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1：A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx xx x x x x ⎰--+-=222]2)1(2[dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析：解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。

曲线积分

第十二讲曲线积分一、主要知识点1．曲线积分的概念（1）对弧长的曲线积分概念1）定义：设函数),(y x f 在xoy 面内的一条光滑曲线弧L 上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对弧长的曲线积分，即1(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰． 2）性质： ① 与积分路线方向无关，即⎰⎰=A BB AL L ds y x f ds y x f ),(),(．② 对曲线具有可加性，即若21L L L +=，则⎰⎰⎰+=21),(),(),(L L Lds y x f ds y x f ds y x f ．（2）对坐标的曲线积分概念1）定义：设L 为xoy 面上从点A 到点B 的一条有向光滑曲线弧，函数),(),,(y x Q y x P 在L 上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲线积分，即i i i i i i ni Ly Q x P dy y x Q dx y x P ∆+∆=+∑⎰=→),(),(lim ),(),(1ηξηξλ．2）性质： ① 与积分路线方向有关，即ABBAL L Pdx Qdy Pdx Qdy +=-+⎰⎰．② 对曲线具有可加性，即若21L L L +=，则⎰⎰⎰+++=+21L L LQdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx ．（3）空间曲线情况对弧长的曲线积分ini iiis f ds z y x f A B∆=∑⎰=→Γ1),,(lim ),,(τηξλ．对坐标的曲线积分 ⎰∑Γ=→∆+∆+∆=++A Bn i i i iiiiz R y Q x P Rdz Qdy Pdx 1]),,([lim τηξλ．（4）两种曲线积分联系设平面曲线AB L 在点),,(y x 的切向量方向余弦为βαcos ,cos ，则ds Q P ds ds dyQ ds dx PQdy Pdx A BA BA BL ⎰⎰⎰ΓΓ+=+=+)cos cos ()(βα．设空间曲线AB Γ在点),,(z y x 的切向量方向余弦γβαcos ,cos ,cos ，则()ABABdx dy dzPdx Qdy Rdz PQ R ds ds ds dsΓΓ++=++⎰⎰(cos cos cos )ABP Q R ds αβγΓ=++⎰．（5）曲线积分与路径无关的等价条件（设G 是单连通区域，且,P Qy x∂∂∂∂在G 内连续）．曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关⇔ 在G 内xQ y P ∂∂=∂∂恒成立 ⇔ 0=+⎰LQdy Pdx ，其中L 为G 内任一闭曲线⇔在G 内存在函数),(y x u ，使得全微分Qdy Pdx y x du +=),(．（6）全微分方程若微分方程0),(),(=+y x Q dx y x P 满足xQ y P ∂∂=∂∂，则称为全微分方程． 2．曲线积分的计算方法（1）对弧长的曲线积分――化为定积分．计算方法与步骤 1) 画出积分路线图形；2) 写出积分曲线L 方程⎩⎨⎧<==)(,)()(βαt y y t x x L ：；3) 利用三代换将其化为定积分① 曲线参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ；②弧长元素ds =；③ 积分曲线L 换为βα<．则(,)((),(Lf x y ds f x t y t βα=⎰⎰．注这里α<β（积分下限一定小于积分上限）．（2）对坐标的曲线积分――化为定积分或二重积分（同1或利用格林公式）．计算方法与步骤000?(,)(,),0,,()P y ()x y yes x y D L no L L L D L I P x y dx Q x y dy L I Pdx Qdy Q P L I dxdy x y Q Pdx Qdy I Pdx Qdy Pdx Qdy x L L Q P dxdy Pdx Qdy x y ''+⎧=+⎪⎨⎪=+=⎩∂∂=-∂∂∂∂+⇒=+-+∂∂'+∂∂=--+∂∂⎰⎰⇒⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⇒⎰⎰ 当不封闭,沿着折线积分，当封闭,沿闭曲线积分为零，即当曲线封闭利用格林公式当封闭，则,()()[((),())()((),())()]L x t L y t I P t t t Q t t t dt βαϕψϕψϕϕψψ'⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=⎧⎪⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎪⎪''=+⎪⎪⎩⎩⎰⎰化为定积分，曲线参数方程，则有定积分说明若空间曲线Γ参数方程为)(),(),(),(βα≤≤===t t z z t y y t x x ，则化为定积分计算[((),(),())()((),(),())()((),(),())()]I P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt βα'''=++⎰．注意这里α为曲线Γ起点对应的参数值，β为曲线Γ终点对应的参数值，且α不一定小于β．（3）二元函数全微分的求积问题若Q P ,在单连通区域D 内偏导数连续，则1）曲线积分与路径无关的充要条件是xQ y P ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立． 2）表达式Qdy Pdx +为某函数),(y x U 全微分的充要条件是xQ y P ∂∂=∂∂，且该函数为 00(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰．（4）全微分方程1）全微分方程 0),(),(=+y x Q dx y x P ，且xQy P ∂∂=∂∂，则积分与路径无关．通解为 00(,)(,)(,)x y x y u x y Pdx Qdy C =+=⎰，（沿着折线积分）即 000(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰0(,)(,)x yx y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰．2）非全微分方程 0),(),(=+y x Q dx y x P ，且xQy P ∂∂≠∂∂，找一个函数),(y x μ(称积分因子)乘以该方程0),(),(=+y x Q dx y x P μμ两边，则xQ y P ∂∂=∂∂)()(μμ为全微分方程．注 1）求积分因子一般说来不是意见容易的事，且积分因子不是唯一的，因而通解可能具有不同的形式．2）熟悉以下全微分公式对寻找积分因子是有帮助的．()ydx xdy d xy +=；2()xdy ydx y d x x -=；2()xdy ydx xd y y-=-； (ln )xdy ydx y d xy x -=；22(arctan )xdy ydx yd x y x-=+． 3．曲线积分的应用（1）几何应用曲线L 的长度 ⎰=Lds s ；由曲线L 所围成区域D 的面积 ⎰-=Lydx xdy A 21．（2）物理应用线密度为(,)x y μ的曲线构件，① 质量： (,)LM x y ds μ=⎰；② 重心坐标： 1(,)Lx x x y ds M μ=⎰，1(,)Ly y x y ds M μ=⎰③ 转动惯量： 2x LI y d s μ=⎰，2y LI x ds μ=⎰，22()o LI x y ds μ=+⎰．④ 变力→→→+=j y x Q i y x P F ),(),(沿曲线AB L 所作功为W=)()(→→→→→→+⋅+=⋅⎰⎰j dy i dx j Q i P ds F A BA BL L =⎰+A BL Qdy Pdx ．二、例题分析1．对弧长的曲线积分的计算计算方法：1) 画出积分路线图形；2) 写出积分曲线L 方程： ⎩⎨⎧<==)(,)()(βαt y y t x x L ：；3) 利用三代换① ⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ；② ds =；③ L 换为βα<．（1）当积分曲线弧参数方程为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ)(βα≤≤t ，则)()()()](),([),(22βαψϕψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f L．（2）当积分曲线弧直角坐标方程为L ：X x x x y ≤≤=0),(ϕ，则(,)(,(XLx f x y ds f x x ϕ=⎰⎰（将x 看作参数）．（3）当积分曲线弧直角坐标方程为L ：Y y y y x ≤≤=0),(ψ，则⎰⎰'+=Yy Ldy y y y f ds y x f 0)(1)),((),(2ψψ（将y 看作参数）．（4）当空间积分曲线弧参数方程为Γ：βαψϕ≤≤===t t w z t y t x ),(),(),(，则⎰⎰'+'+'=Γβαψϕψϕdt t w t t t w t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222．（5）当积分曲线弧极坐标方程为L ：(),ρρθαθβ=≤≤，由直角坐标与极坐标关系，cos ()cos sin ()sin x y ρθρθθρθρθθ==⎧⎨==⎩，将θ看作参数，则(,)(cos ,sin Lf x y ds f βαρθρθθ=⎰⎰．特别注意：积分的下限一定小于积分的上限．例1．计算曲线积分ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22)0(>a ．解：方法1：利用参数方程计算．因为曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=π20,sin 2)cos 1(2t ta y t a x L ：，所以 dt adt t t a ds 2)cos (sin 4222=+=，于是ds y x L⎰+22⎰⎰+=++ππ20220222)c o s 22(4s i n )c o s 1(4dt t a dt t t a ＝⎰⎰⎰=-=ππππ20220222]2cos 2cos [2|2cos |2a dt tdt t a dt t a ＝方法2：利用极坐标计算．因为曲线的极坐标方程为 cos ,22a ππρθθ=-≤≤，所以ds ad θθθ===，cos a ρθ==，于是L=22222cos a d a =⎰-θθππ．例2．设曲线L 为椭圆13422=+y x ，其周长为a ，求曲线积分ds y x xy L⎰++)432(22．解：设椭圆的参数方程为π20sin 3cos 2≤≤⎩⎨⎧==t ty tx ，椭圆方程也可写为223412x y +=于是ds y x xy L⎰++)432(22ds xy L⎰=2＋ds y x L⎰+)43(22 ⎰⎰++-=Lds dt t t t t 12)cos 3()sin 2(sin 3cos 222220π34=a dt t t t 12sin 3sin cos 220++⎰π32==+++⎰a t d t 12)sin 3(sin 32202πa 12．例3．计算曲线积分Lxyds ⎰ ，其中L 是球面2222xy z R ++=与平面0x y z ++=的交线．解：记LIxyds ⎰ ，由对称性有1()3LI xy xz yz ds =++⎰ ，因为 2222()222x y z x y z x y y z x z++=+++++，则22221[()]2xy yz xz x y z x y z ++=++---有因为 22220x y z R x y z ⎧++=⎨++=⎩，所以 2211()(0)36L L I xy xz yz ds R ds =++=-⎰⎰ 2231112663LR ds R R R ππ--===-⎰ ．练习题：2．对坐标的曲线积分的计算沿平面曲线L 对坐标的曲线积分⎰+LQdy Pdx 有三种计算方法：（1）化为定积分计算：1）若曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，当参数t 单调地由α变到β，作三代换化为定积分；① )(),(t y t x ψϕ==； ② dt t dy dt t dx )(,)(ψϕ'='=； ③ 积分区间],[βα或],[αβ．则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰'+'=βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{．注意：积分限的下限α不一定小于积分上限β，下限α对应于曲线L 的起点，上限β对应于曲线L 的终点．2）若积分曲线直角坐标方程为)(x y L ϕ=：，则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(dx x x x Q x x P ba})()](,[)](,[{⎰'+=ϕϕϕ下限a 对应L 的起点，上限b 对应L 的终点． 3）若积分曲线直角坐标方程为)(y x L ψ=：，则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰+'=dcdy y y Q y y y P ]}),([)(]),([{ψψψ．下限c 对应L 的起点，上限d 对应L 的终点．4）若空间曲线Γ参数方程为)(),(),(t w z t y t x ===ψϕ，则⎰Γ++Rdz Qdy Pdx⎰'=βαϕψϕ)}()](),(),([{t t w t t P dt t w R t t w t t Q )}()()](),(),(['+'+ψψϕ 下限α对应于Γ的起点，上限β对应于Γ的终点．（2）当xQy P ∂∂=∂∂时，曲线积分与路径无关，可以选折线*L (平行于坐标轴的直线)积分，即⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰+=*),(),(L dy y x Q dx y x P ．（3）应用格林公式化为二重积分计算．例4．计算曲线积分,||||⎰++=A B CDAL y x dydx I 其中ABCDA 是以点)0,1(A ，)0,1(),1,0(-C B)1,0(-D 为顶点的正方形．解：方法1：将积分化为定积分计算由于曲线的方程分别为,,1,1,,1,1dy dx y x L dy dx y x L dy dx y x L dy dx y x L DA CD BC AB ==--=-=+==+--==+：；：：；：于是||||ABCDAL dx dy I x y +==+⎰⎰⎰⎰⎰+++++++DACDB CA BL L L L dy dx dy dx dy dx dy dx )()()()(0)11()11()11()11(10111=++-+++-=⎰⎰⎰⎰--dx dx dx dx ，方法2：利用格林公式计算，但是不可以直接应用格林公式，因为Q y x P =+=||||1在点)0,0(不连续，所以在该点没有连续的偏导数．但是可以利用积分路径的方程代入被积函数后，再利用格林公式计算．由于积分路径的方程为1||||=+y x L ：，故有 ⎰++=A B CDAL y x dy dx I ||||⎰+=A B CDAL dy dx00)(==∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰DDdxdy dxdy y Px Q ．例5．计算积分⎰Γ=xyzdz I ，其中Γ是用平面z y =截球面1222=++z y x 所得截线从z轴的正向看去，沿逆时针方向．解：由于曲线的参数方程为π20,sin 21sin 21cos ≤≤⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t t z t y tx ，且tdt dz cos 21=，所以222220sin cos sin 2I t tdt tdt ππ==⎰20(1cos 4)t dt π=-=⎰162π．练习题：例6．求曲线积分22Lydx xdyx y-+⎰，其中22(1)19x L y -+=：的上半平面内部分，从点(2,0)-到(4,0)的一段．解：因为在ABDCA 中，P Qy x∂∂=∂∂且连续，所以积分与路径无关，则有*0LBDL CA+++=⎰⎰⎰⎰因为220BDydx xdy x y -=+⎰， 220CAydx xdyx y -=+⎰（0y =）所以 222222*00(sin cos )L L ydx xdyr dx y r ππθθθ---=-=-=+⎰⎰⎰⎰．例7．计算曲线积分22323L ydx xdyx xy y --+⎰ ，其中L 为1x y +=解：因为 22323y P x xy y =-+，22323xQ x xy y-=-+ 且在闭区域 *0L AB L BA+++=内，P Qy x∂∂=∂∂所以*0LABL BA+++=⎰⎰⎰⎰，其中 0ABBA+=⎰⎰，即**LL L -=-=⎰⎰⎰，其中*cos sin x r L y r θθ=⎧⎨=⎩：，于是22323L ydx xdy x xy y --+⎰ 2222222220sin cos 3(sin cos )2sin cos r r d r r πθθθθθθθ---=+-⎰220032sin cos 3sin 2d d ππθθθθθ=-=---⎰⎰222(cos sin )d πθθθ=-+-⎰202()422sin ()4d ππθπθ-=-+-⎰ 7424121sin d ππθθ-=-+⎰222200tan 222cos 2sec 1d d ππθθθθ=-=---⎰⎰ tan 22200tan 222tan 121t d dtt πθθθ=+∞=-===-++⎰⎰2+∞==-．例8．计算曲线积分22(1)(1)Lydx x dyI x y --=-+⎰积分，其中1．L 为圆周2220x y y +-=的正向； 2．L 为椭圆周22480x y x +-=的正向．解：这里 2222222(1)()(1)[(1)]P y x y Qy y x y x y x∂∂--∂===∂∂-+-+∂， 1．在圆22(1)1x y +-≤中，P Qy x∂∂=∂∂，所以0L I ==⎰ ； 2．因为函数2222(1),(1)(1)y x P Q x y x y --==-+-+在(1,0)处定义，所以函数在22480x y x +-=即椭圆22(1)112x y -+=中除椭圆中心(1,0)外，恒有P Q y x∂∂=∂∂，于是以(1,0)为中心作一个圆周*1cos sin x L y θθ-=⎧⎨=⎩：（θ从2π变到0）所以 2022*2sin sin cos cos sin LL I d πθθθθθθ--==-=-+⎰⎰⎰202d πθπ=-=-⎰．例9．设椭圆22149x y +=在点(1,2A 的切线交y 轴与点B ，设L 为从A 到B 的直线段，试计算曲线积分sin ()[cos ln(1)1LyI dx y x dy x =+++-+⎰ 解：先求切线方程，因为斜率94Ax k y=-=所以切线方程为2y x =-+ 令0x =，得y =B点的坐标为，C点坐标为．于是有ABABB CC AB CLL L LLLL==++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()BC CA L L DP Qd y xσ∂∂=---∂∂⎰⎰⎰⎰102(1Ddx x σ=+-+⎰⎰⎰1093([sin 1)]222x x =--+-（其中12A ==39222=--+21sin 24=-．例10．计算曲线积分[()cos ][()sin ]AMBI y x y dx y x dy ϕπϕπ'=-+-⎰其中 AMB 为连接(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 下方的任意路线且该线段与 AB 所围成的图形面积为2．解：这里(()c o s )()c o s P y x y y x y yϕπϕπ∂∂'=-=-∂∂(()sin )()cos Q y x y x x xϕπϕ∂∂''=-=∂∂ 对于含有抽象函数，一般是加边使曲线封闭，再用格林公式，因此ABAMBBABAAMAI =+-=-⎰⎰⎰⎰⎰对于()2DDAMAQ P d dxdy x y σππ∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，又直线AB 方程为 2423y x πππ--=--，即1xy π=+，所以[()cos ()sin ]BABABAy xdx y xdy ydx dy ϕϕππ'=+-+⎰⎰⎰(,2)(3,4)(()sin )BAd y x ydx dy ππϕπ=++⎰⎰3(,2)(3,4)1[()sin ][(1)]x y x dx ππππϕπππ=+++⎰2323111[][(1)]22x x x x x ππππππππ=++=++ 262ππ=+．于是 222(62)6I ππππ=-+=-．练习题：1．已知曲线)2(x x y -=与x 轴交于原点O 和点)0,2(A ，曲线在点A 处的切线交y 轴于点B ，试计算沿从A 到B 的直线段的积分⎰+⋅++++-+=ABdy x y x dx y xyI )]1ln(cos 1[)11sin (．（10） 2．3．曲线积分与路径无关问题曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关⇔ 在G 内xQy P ∂∂=∂∂； ⇔ 0=+⎰LQdy Pdx ，L 为G 内任一闭曲线；⇔在G 内存在),(y x U ，使得Qdy Pdx y x dU +=),(．例11．设2)0(-=f ，试决定函数)(x f ，使积分⎰+-)4,4()0,0()()tan )(2sin (ππdy x f dx x x yf x y与路径无关，并计算该积分．解： 1）先求出未知函数)(x f ．因为 sin 2()tan P y x yf x x =-，()Q f x =，又积分与路径无关，所以)(tan )(2sin x f xQ x x f x y P '=∂∂=-=∂∂，即 x x x f x f 2sin tan )()(=+'．初值问题 ⎩⎨⎧-==+'2)0(2sin tan )()(f xx x f x f ，这是一阶线性微分方程，其满足初始条件的特解是x x f 2cos 2)(-=．2）求积分因为积分与路径无关，所以沿折线积分，即⎰+-)4,4()0,0()()tan )(2sin (ππdy x f dx x x yf x y2440002cos 4dx dy πππ=+-⎰⎰444cos 22πππ-=⋅-=．练习题：1．设函数)(x ϕ一阶连续可导，1)0(=ϕ，曲线积分⎰+-Ldy x dx x x y x )(]tan )(2[sin ϕϕ与路径无关，（1）求)(x ϕ，（2）计算dy x dx x x y x )(]tan )(2[sin )4,4()0,0(ϕϕππ+-⎰-．（（1）()cos x x ϕ=，（2）128+ ） 2．曲线积分b a dy y x x by dx x y y ax I L,()sin cos ()sin cos (22⎰-+-=均为常数）在整个xoy 平面上与路径无关，试求b a ,．并求当b a ,取上述值时，L 是曲线x y sin =上从)0,0(到)1,2(π这一段时曲线积分的值．（1cos 4,2,22π===I b a ）4．二元函数全微分求积问题若Q P ,在单连通区域D 内偏导数连续，则1）曲线积分与路径无关的充要条件是xQy P ∂∂=∂∂． 2）表达式Qdy Pdx +为某函数(,)u x y 全微分的充要条件是xQ y P ∂∂=∂∂，且该函数为 00(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰．例12．设函数22()f x y +连续可微，求22()f x y +使得22()[()()]f x y x y dx x y dy +-++ 在除了原点外的任何平面域D 内为某二元函数的全微分．解：因为22()[()()]f x y x y dx x y dy +-++为某函数全微分，则有xQ y P ∂∂=∂∂成立，这里2222()(),()()P f x y x y Q f x y x y =+-=++，所以()2'()2'P Q x y yf f x y xf f y x∂∂=--==++∂∂ 化简得 222222()()()0f x y x y f x y '++++=，令22u x y =+，有()()0f u uf u '+=，这是可分离变量的一阶微分方程，求出其解为()(0)Cf u C u=≠），即2222()(0)Cf x y C x y +=≠+为所求．5．曲线积分的应用例13．设空间曲线构件的线密度为μ=，且曲线方程是由曲面2222x y z a ++=与平面0x y -=的交线，求曲线构件的质量M ．解：相交的曲线方程为2222y x x y z a =⎧Γ⎨++=⎩：，消去x 得到一个过曲线Γ的柱面方程2222y z a +=．又该曲线构件质量222M a ds a a a ππΓ=====⎰⎰⎰ ．例14．质点P 沿着以AB 为直径的半圆周，从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F的作用，F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP ，且F与y 轴正向的夹角小于2π，求变力F 对质点P 所做的功．解：我们知道变力F对质点P 所做的功LLW Fds Pdx Qdy ==+⎰⎰本题的关键是求出力F Pi Q j =+ .方法1 ：设动点(,)P x y ，则OP xi y j =+ ，又设与OP 垂直的力为F ai b j =+，具题意 0O P F ⋅=，即0ax by +=且2222a b x y +=+，因为F 与y 轴正向的夹角小于2π，有{0,1}0F > ，即0b >．解方程组22220ax by a b x y +=⎧⎨+=+⎩，将by a x =代入2222a b x y +=+中得到 22b x =，因为0b >得到b x =．将b x =代入bya x=中得a y =-．因此F yi x j =-+方法2：设OP 用复数表示为z x iy =+，F复数形式为22()i i u zex iy eππ±±==+因为F 是OP 逆时针方向转到，所以取2π+，即有2()()(cossin )()22iu x iy e x iy i x iy i y ix πππ=+=++=+=-+ 因此所求的力为 F y ix =-+于是 LW ydx xdy =-+⎰求弧AB 方程：因为AB 中点是圆心，即0013242,322x y ++====，半径R ==，所以圆方程为 22(2)(3)2x y -+-=，用参数方程表示为23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩．当1x =时，12t =，cos 2t =-，当2y =时，23t =，sin 2t =- 因此得到34t π=-，当3x =时，32t =，cos 2t =，当4y =时，43t =，sin 2t =，因此得到4t π=，于是434)sin )cos ]2(1)W t t t t dt πππ-=+=-⎰．例15．有一方向指向原点，大小等于作用点到原点的距离的力构成的力场，试确定当质点沿螺旋线cot,sin ,x a y t z kt ===，从0t =的点移到2t π=的点时场力所做的功．分析：质点在力F Pi Qj Kk =++作用下，沿曲线Γ从点A 到点B 时，力F 所做的功为LW Pdx Qdy Rdz =++⎰关键是求力F的表达式．解：设力F 的作用点为(,,)M x y z ，则力的方向与{,,}MO x y z =---相同，所以与F 同方向的单位向量为0MO F MO == 又力的大小为F MO == 从而 0{,,}F F F x y z ==---于是 W xdx ydy zdz Γ=---⎰2220[cos cos sin sin ]2a tda t a tda t ktdkt k ππ=---=-⎰．练习题：1．设曲线构件成半圆形π≤≤==t t a y t a x L 0,sin ,cos ：，其上每一点处的线密度等于该点的纵坐标的平方，求曲线构件的质量M ．(321a π)2．一空间力场，力的方向垂直与z 轴且指向z 轴，其大小与作用点到z 轴的距离成反比，一质点沿圆周cos ,1,sin x t y z t ===从点0A t =运动到点2B t π=，求力场对质点所作的功．（022xi y j F F F k x y +=-=-+）6．综合题例16．在过点)0,()0,0(πA o 和的曲线族)0(,sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使得沿该曲线从点o 到点A 的积分⎰+++=Ldy y x dx y I )2()1(3的值最小．解： 1）先计算该曲线积分因为 y x Q y P +=+=2,13，且 23,2y yPx Q =∂∂=∂∂．利用格林公式计算，33()(1)(2)(1)(2)L L L I a y dx x y dy y dx x y dy ''+=+++-+++⎰⎰3()(1)(2)DL Q Pdxdy y dx x y dy x y '∂∂=---+++∂∂⎰⎰⎰ 02(32)Dy dxdy dx π=--⎰⎰⎰sin 20(32)a x dx y dy ππ=-+⎰⎰3sin 00[2]a xdx y y ππ=-+⎰ 330(sin 2sin )a x a x dx ππ=-+⎰π+-=a a 4343．2）求)(a I 的最小值由2()440I a a '=-=得，1±=a ，又因为0>a ，所以1=a ，因此，当1=a 时，I 最小，且最小值38)1(-=πI ．例17．质点在变力→→→→++=k xy j zx i yz F 的作用下，由原点沿直线运动到椭球面1222222=++c z b y a x 上第一卦限的点),,(000z y x P ，问),,(000z y x P 取何值时，力→F 作功最大，最大值是多少？解： 1）先求所作的功原点0到点P 的方程00000000--=--=--Γz z y y x x ：，为方便，曲线方程化成参数方程t y y t x x 00,==Γ：)10(,0≤≤=t t z z ，于是所作的功⎰⎰ΓΓ→→++=⋅=xydz zxdy yzdx s d F W ＝000120003z y x dt t z y x =⎰，2）再求最大功求函数),,(000z y x W 在条件1220220220=++cz by ax 下的极值，设拉格朗日函数λ+=000000),,(z y x z y x F （1220220220-++cz by ax ），对其求偏导数，并令它们为令，得解方程组0000002000200022220002222020201x y z x F y z ay F x z b z F x y c x y z ab c λλλ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎪⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪++=⎪⎩，得,3,3,3000c z b y a x ===由实际问题的性质可知这样的问题存在最大值，因此当3,3,3000c z b y a x ===时，所作的功W 有最大值，且最大功为abc W 93max =．。

曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)

1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2a 3 ds 3 3

x 2d s y 2 d s z 2d s

( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线

是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3

2
2
2

通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L

第一类曲线积分计算

第一类曲线积分计算【原创实用版】目录一、曲线积分的概述二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程2.圆参数方程3.一般曲线参数方程三、第一类曲线积分的应用实例正文一、曲线积分的概述曲线积分是一种数学工具，用于计算空间曲线上的向量场在某一段曲线上的积分。

它可以用来求解物理量，如质点在曲线路径上的速度、加速度等。

曲线积分分为两类，本篇主要介绍第一类曲线积分的计算方法。

二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程假设有一条直线 L，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为直线上的点。

我们可以通过以下步骤计算直线 L 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在直线 L 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算直线 L 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

2.圆参数方程假设有一个圆 C，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为圆上的点。

我们可以通过以下步骤计算圆 C 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在圆 C 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算圆 C 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

3.一般曲线参数方程对于一般的曲线，我们可以将其参数方程表示为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为曲线上的点。

我们可以通过以下步骤计算一般曲线上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在曲线上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算曲线上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

两类曲线积分定义及计算公式

上连续时, 第二类曲线积分存在.
推广
空间有向曲线弧

n i 1 n

Pdx Qdy Rdz .

P ( x , y , z )dx lim P ( i ,i , i )xi .
0
Q ( i , i , i )yi . Q( x, y, z )dy lim 0 i 1 R( i , i , i )zi . R( x, y, z )dz lim 0 i 1
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x (t ) ( 3) 推广 : y ( t ), t起点 , 终点 . z (t )

Pdx Qdy Rdz

{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt

f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
第一类曲线积分的计算
设 f ( x , y )在曲线弧L上有定义且连续 , x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 则
2 f [ x , ( x )] 1 ( x )dx. ( a b )

L
f ( x , y )ds
b
a
( 2) L : x ( y )
c y d.

第一类曲线积分公式

第一类曲线积分公式第一类曲线积分公式曲线积分是微积分中一种重要的概念，它是对曲线上某个向量场在曲线上积分的扩展。

曲线积分类别有很多，其中之一就是第一类曲线积分。

本文将介绍第一类曲线积分公式。

1. 第一类曲线积分的定义第一类曲线积分是指在曲线C上对向量场的切向量和曲线弧微元的乘积进行积分。

其公式表示如下：∫C Pdx+Qdy+Rdz其中，P,Q,R是空间内的标量函数，而dx,dy,dz是曲线C的切向量在x,y,z三个方向上的投影。

2. 第一类曲线积分的计算方式第一类曲线积分的计算方式包括参数化和非参数化两种。

2.1 参数化方法对于一般的光滑曲线C，可以用参数化方程r(t)表示，如下所示：x=x(t), y=y(t), z=z(t)式中，t是参数，其取值范围为[a,b]。

则曲线弧微元ds的长度为：ds=√(dx²+dy²+dz²)=|r'(t)|dt其中，r'(t)表示r(t)对于t的导数。

因此，第一类曲线积分可以通过参数化后再求解来计算。

即：∫C Pdx+Qdy+Rdz=∫<a,b>{P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)}dt2.2 非参数化方法对于某些简单的曲线，如直线、圆等，可以不用参数化的方式计算第一类曲线积分。

例如，对于一条直线，可以给出两个点P和Q的坐标，其中P为起点，Q为终点。

则曲线积分可以表示为：∫C Pdx+Qdy+Rdz=∫PQ Pdx+Qdy+Rdz同理，对于一个平面曲线，也可以不用参数化的方式计算。

3. 注意事项在计算第一类曲线积分时，需要注意以下几点：- 曲线C必须为连续曲线，即曲线的端点必须相同；- 曲线C必须方向一致；- 曲线C上的向量场必须连续可微。

4. 总结第一类曲线积分是微积分中的一个重要概念，其应用广泛，特别是在物理学、工程学等学科中。

空间曲线积分

空间曲线积分空间曲线积分是向量分析中的一个重要概念，用于描述曲线在三维空间中的积分性质。

它在物理学、工程学和数学等领域中具有广泛的应用。

在本文中，将介绍空间曲线积分的基本定义、计算方法以及一些实际应用。

一、基本定义空间曲线积分是对曲线上的向量场进行积分的一种方式。

设有参数化曲线C，可以用向量函数r(t)表示，其中t为参数。

向量函数r(t)的曲线可写为C:r(t)= (x(t), y(t), z(t))，t∈[a, b]，a和b为参数的起始和终止值。

向量函数r(t)描述了曲线上点的位置。

二、计算方法1. 第一种类型：标量场的空间曲线积分如果曲线积分中的被积函数为标量场，则空间曲线积分的计算方法如下：∫f(x, y, z) ds = ∫f(x(t), y(t), z(t)) |r'(t)| dt其中，f(x, y, z)为被积函数，|r'(t)|为曲线的切向量长度，也可以表示为|r'(t)|= √((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²)。

2. 第二种类型：向量场的空间曲线积分如果曲线积分中的被积函数为向量场，则空间曲线积分的计算方法如下：∫F · ds = ∫F(x(t), y(t), z(t)) · r'(t) dt其中，F(x, y, z)为向量场，F(x(t), y(t), z(t))为曲线上每一点的向量值，·表示向量的点乘运算。

三、实际应用空间曲线积分在物理学和工程学中有广泛的应用。

以下是几个实际应用的例子：1. 力学中的功在力学中，空间曲线积分可以用来计算力在曲线上的做功。

假设物体沿曲线C移动，受到力场F的作用，那么力在曲线上的做功可以表示为∫F · ds。

通过计算力场在曲线上的积分，可以得到物体在移动过程中所做的总功。

2. 电磁学中的感应电动势在电磁学中，当导体运动穿过磁感应线时，会感应出电动势。

从一道考研题谈空间曲线积分的计算

从一道考研题谈空间曲线积分的计算
作者：崔登兰
来源：《科技创新导报》2016年第25期
摘要：第二类曲线积分的计算是高等数学的一个难点。

该文从2015年的一道考研题出发，探讨沿空间曲线的第二类曲线积分的计算方法，给出了沿空间曲线的第二类曲线积分的3种计算方法，分别是：参数化法，即利用空间曲线的参数方程计算曲线积分；Stocks公式法，即利用Stocks公式计算沿空间闭曲线的第二类曲线积分；降维法，即将沿空间曲线的积分化为沿平面曲线的积分。

关键词：第二类曲线积分参数化 Stocks公式降维
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（a）-0181-02
第二类曲线积分的计算是高等数学的一个难点，有许多文献对其计算方法进行了研究，但基本限于平面情形。

该文从一道全国硕士研究生招生考试数学（一）试题出发，探讨空间第二类曲线积分的计算。

参考文献
[1] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2008.
[2] 苏化明，苏灿荣.一类曲线积分的计算方法[J].高等数学研究，2002，5（1）：23-24.。

空间曲线积分与曲面积分的计算方法

空间曲线积分与曲面积分的计算方法空间曲线积分与曲面积分是《数学分析》中的重要内容之一，但由于它计算的复杂性及灵活多变性，使我们在学习时感到很难掌握，缺乏必要而行之有效的方法，因此，本文将给出空间曲线积分与曲面积分的一些典型计算方法，为这部分的学习提供参考．1 空间曲线积分与曲面积分的定义及性质定义1.1[]()1981P 设L 为空间可求长度的曲线段，(),,f x y z 为定义在L 上的函数，对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L ()1,2,,i n =，i L 的弧长记为i s ∆，分割T 的细度为1max i i nT s ≤≤=∆，在i L 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξης=，若有极限()01lim ,,ni i i i T i f s J ξης→=∆=∑ 且J 的值与分割T 与点(),,i i i ξης的取法无关，则称此极限为(),,f x y z 在L 上的第一型曲线积分，记作()⎰Lds z y x f ,,．第一型曲线积分具有和定积分类似的性质，略．定义1.2[]()2031P 设函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 为定义在空间有向可求长度曲线L ：弧AB 上．对L 的任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段弧i i M M 1-()1,2,,i n =，其中0,n M A M B ==，记各小曲线段弧i i M M 1-的弧长为i s ∆，分割T 的细度为1max i i nT s ≤≤=∆，又设T的分点i M 的坐标为(),,i i i x y z ，并记111,,i i i i i i i i i x x x y y y z z z ---∆=-∆=-∆=-()1,2,,i n =．在每个小曲线段弧i i M M 1-上任取一点(),,i i i ξης()1,2,,i n =，若极限()()()0111lim ,,lim ,,lim ,,nnni i i i i i i i i i i i T T T i i i P x Q y R z ξηςξηςξης→→→===∆+∆+∆∑∑∑存在且与分割T 与点(),,i i i ξης的取法无关，则称此极限为函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记为()()(),,,,,,LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰或 ()()(),,,,,,ABP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰．常简写成LPdx Qdy Rdz ++⎰或⎰++ABRdz Qdy Pdx ．第二型曲线积分具有线性性质和积分区域的可加性．定义1.3[]()2801P 设S 是空间中可求面积的曲面，(),,f x y z 为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块i S ()1,2,,i n =，以i S ∆记小曲面块i S 的面积，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点(),,i i i ξης()1,2,,i n =，若极限()01lim ,,ni i i i T i f s ξης→=∆∑存在，且与分割T 与(),,i i i ξης()1,2,,i n =的取法无关，则称此极限为(),,f x y z 在S 上的第一型曲面积分，记作(),,Sf x y z ds ⎰⎰．第一型曲面积分具有和定积分类似的性质，略．定义1.4[]()2841P 设,,P Q R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块12,,,n S S S ，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，以,,yz zx xy i i i S S S ∆∆∆分别表示i S 在三个坐标面上的投影区域上的面积，它们的符号由i S 的方向来确定，若i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面的投影区域面积xyi S ∆为正，反之，若i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，它在xy 平面的投影区域面积xy i S ∆为负．在各个小曲面块i S 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξης=，若()()(),0111lim ,lim ,,lim ,,yz zx xy nnni i i i i i i i i i i i T T T i i i P S Q S R S ξηςξηςξης→→→===∆+∆+∆∑∑∑存在，且与曲面S 的分割T 和(),,i i i ξης在i S 上的取法无关，则称此极限为函数,,P Q R 在曲面S 所指定一侧上的第二型曲面积分，记作()()(),,,,,,SP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰．第二型曲面积分具有线性性质和区域可加性．2 三个重要定理定理2.1（Green 公式）[]()2241P 若函数()()y x Q y x P ,,, 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx d y P x Q σ，这里L 为区域D 的边界曲线，并取正方向．定理 2.2（Gauss 公式）[]()2901P 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成．若函数R Q P ,,在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V SRdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，其中S 取外侧．定理2.3（Stokes 公式）[]()2921P 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线，若函数P 、Q 、R 在S ()L 连同上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S L Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ，其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．定理3.2'（Stokes 公式）[]()9922P （1）设S 是3R 中的分片光滑曲面，（2）设S 的边界是有限条封闭光滑曲线L ，（3）设函数P 、Q 、R 是在曲面S 及其附近有定义，在S 直到L 上有连续的偏导数，则⎰⎰⎰++∂∂∂∂∂∂=++LS dS R Q P z y x Rdz Qdy Pdx γβαcos cos cos⎰⎰∂∂∂∂∂∂=sRQPz y x dxdy dzdx dydz，其中+S 与+L 呈右手关系（即站在+S 的法线上看，+L 为逆时针方向），αcos ，βcos ，γcos 为+S 的法线方向余弦．3 空间曲线积分的计算方法3.1 对称法对称方法是数学中的一种重要方法，在曲线积分的计算（证明）中注意到被积式与积分区域的对称性，运用对称性质计算，能够起到化繁为简的作用．例1 设L 为对称于坐标轴的光滑闭曲线，证明()()⎰=-+++Ly y dy y xe xy dx e y x0233．证明设L 为正向闭曲线，其包围的区域为D ，由Green 公式得()()⎰-+++Ly y dy y xe xy dx e y x233＝()33Dy x dxdy -⎰⎰＝33DDy dxdy x dxdy -⎰⎰⎰⎰因为L 是对称于坐标轴的光滑曲线，所以区域D 关于坐标轴对称．因为3y 是变量y 的奇函数，从而30Dy dxdy =⎰⎰，同理30Dx dxdy =⎰⎰，所以33D Dy dxdy x dxdy -⎰⎰⎰⎰0=．故()()⎰=-+++Ly y dy y xe xy dx e y x0233．除了上述对称性之外，还可利用轮换对称性．例2 计算积分2Lx ds ⎰，其中02222=++=++z y x a z y x L 与为的交线．解积分曲线L 关于,,x y z 有轮换对称性，因此2Lx ds ⎰=2Ly ds ⎰=2Lz ds ⎰=()22213Lx y z ds ++⎰ 22133L L a a ds ds ==⎰⎰232233a a a ππ==． 3.2 参数法根据积分路径或被积函数的特点选用适当的参数表示，化第二型曲线积分为定积分，有时多采用极坐标，或广义极坐标．例3 计算()⎰++L ds z y x222，其中L 是球面29222=++z y x 与平面1=+z x 的交线．解将L 的两个方程式联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++129222z x z y x ，消去z ，得141212122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．令θρθρsin 2,cos 221==-y x ，代入可知1=ρ，从而L 的参数方程为()．πθθθθ20cos 221,sin 2,cos 221≤≤-==+=z y x ()()()θθθθθd d ds 2sin 2cos 2sin 2222=++-=所以()πθπ1822920222=⋅=++⎰⎰d ds z y xL．例4[]()9252P 计算曲线积分Lydx zdy xdz ++⎰．其中L 是曲线0,0,0,1,1222222≥≥≥=+=++z y x c z a x c z b y a x （1）（0,0,0>>>c b a 为常数）从点)0,0,(a 到),0,0(c ．解方法一如图1所示(利用坐标面上的投影椭圆)在式（1）中消去z ，得2222212a x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 这是xy 平面上，以,02a ⎛⎫⎪⎝⎭为中心，以2a 为半轴的椭圆，从而可改写成参数方程cos ,22a a x y θθ=+=，代入1x z a c +=，得cos 22c cz θ=-．因0x y z θπ≥≤≤、、，故0．则Lydx zdy xdz ++⎰θθθθθθθπd ca abc c a b ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=sin 2cos 22cos 2cos 22sin 2sin 2 ⎰⎰⎰+--=20202022sin 2cos 2sin 2πππθθθθθθd ac d bcd ab()c a bac +-=242π．图1方法二（在截平面上引用极坐标）令,,x ax y by z cz ===，则L 变成2221,1x y z x z ++=+=，作旋转变换，令,,22x z x zu y v ω+-===，这时L 变成2221,u v v ω++==，在v =L 是圆周222112u ω+=-=，引用极坐标,u ωθθ==，于是可得L 的参数方程()()()1cos 2221cos 22v ax ax aby bybu c cz czv ωθθωθ+===+=====-=-其余同方法一．方法三（因为曲线上,y z 都可写成x 的函数）令x at=，则()1,z c t y =-=点1t =，终点0t =．于是原积分=1112t t act dt ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 2θt 令=2220cos cos cos sin 2222ac d πθθθθθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ()224ac c a b++-=π．3.3 Stokes 公式法在空间曲线积分的参数方程不易求得时，用Stokes 公式将第二型曲线积分化为曲面积分，常可使计算简单．例5 求曲线积分⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222，其中L 为球面在第一卦限部分的边界线，从球的外侧看去L 的方向为逆时针方向．解如图2所示不妨设球面在第一卦限部分为S ，其边界为L ，根据右手法则，S 取外法向，由Stokes 公式得⎰⎰+-+-+-=Sdxdy y x dzdx x z dydz z y I )(2)(2)(2．设S 三个坐标平面上的投影区分别为,,yz zx xy D D D ，则()()()222yzzxxyD D D I y z dydz z x dzdx x y =-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由坐标的轮换对称性，得41212)(62101-=-=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-x D D xdy dx xdxdy dxdy y x I xyxy．图2例6 求⎰++=Lxdz zdy ydx I ，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，且从z 轴正向看去圆周L的方向为逆时针方向．解不妨设S 为平面0x y z ++=上以L 为边界的部分，其法向量为{}11,1,13n =．根据Stokes 公式得{}{}dSdxdy dzdx dydz I SS1,1,1311,1,1⎰⎰⎰⎰⋅---=---=233a dS Sπ-=-=⎰⎰．3.4 曲线积分与路径无关法当曲线积分与路径无关时，选择特殊的路径，例如选平行于坐标轴的直线段或折线段来计算曲线积分，会使计算变得容易．例7 求⎰-+-+-=Ldz xy z dy xz y dx yz xI )()()(222，其中L 是沿螺旋线,cos θa x =()πθπθθ202,sin ≤≤==h z a y 从点(),0,0A a 到(),0,B a h 的有向曲线．解这里()()()222,,,,,,,,P x y z x yz Q x y z y xz R x y z z xy =-=-=-．因为,,R Q P R Q P x y z y z z x x y∂∂∂∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂∂∂，所以曲线积分与积分路径无关．分路径为有向线段AB :()h t t z y a x ≤≤===0,0,，则⎰-+-+-=Ldz xy z dy xz y dx yz x I )()()(222⎰-+⋅-+⋅-=ABdt t a )0(0)00(0)0(2230231h dt t h ==⎰．例8 验证：()()22cos sin y y xe dx x e z dy y z dz --+-++-是全微分，并求它的一个原函数．解这里()()()2,,2,,,cos ,,,sin y y P x y z xe Q x y z x e z R x y z y z --==-+=-，则sin ,0,2y R Q P R Q Pz xe y z z x x y-∂∂∂∂∂∂==-====-∂∂∂∂∂∂，所以()()22cos sin y y xe dx x e z dy y z dz --+-++-是全微分．设所求的原函数为()z y x I ,,，点()()()12,0,0,,,0,,,,M x M x y M x y z 取积分路径为折线段12OM M M 得()z y x I ,,()()()()⎰-++-+=--z y x y y dz z y dy z e x dx xe ..0,0,02sin cos 2()()dz z y dy z e x dx xe y y MM M M OM sin cos 2)(22211-++-+++=--⎰⎰⎰()⎰⎰⎰-++-+=-zyvxwdw y dv ex udu 020sin 12z y e x ycos 2+=-．4 曲面积分的计算方法4.1 对称法例9 计算()⎰⎰+Sdydz z yx 22，其中S 为2222R z y x =++的外侧．解设V 为球：2222R z y x ≤++，则由Gauss 公式及对称性，得()⎰⎰+Sdydz z y x 22()⎰⎰⎰+=Vdxdydz z y 22⎰⎰⎰=Vdxdydz z 22()⎰⎰⎰++=Vdxdydz z y x 22232 523983432R R R ππ=⋅⋅=．例10 设()f z 为奇函数，试求积分()()()22;;SSSI f z dS J f z dS K yf z dS ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中S 为锥面22z xy =位于球面2222x y z a ++=内的部分．解如图3所示 22z xy =是以原点为顶点的双叶锥面，对称轴是xy 平面上1、3象限的分角线． S 关于xy 平面上、下对称，在对称点上()f z 的大小相等，符号相反，因此积分()0sI f z dS ==⎰⎰．又由于S 在1、3卦限内的部分与它在7、5卦限内的部分关于原点对称，在对称点上()2yf z 的大小相等，符号相反，所以积分()20SK yf z dS ==⎰⎰．除了上、下对称，原点对称之外，S 还关于y x =平面（前后）对称．在对称点上()z f 2大小相等符号相同，因此()128S J f z dS =⎰⎰，其中1S 表示S 位于第一卦限内夹于0y y x ==与之间的部分．图34.2 直接使用公式法可以选择适当的坐标平面，利用直角坐标方程求解曲面积分，也可利用参数方程把曲面积分化为二重积分求解曲面积分．例11 计算曲面积分⎰⎰+++=Sa z y x dS I 222)(，其中S 为以原点为中心，()0a a >为半径的上半球面．解上半球面ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos cos :a z a y a x S === ，0,022πϕθπ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭因此⎰⎰++++=Saaz z y x dSI 2222220202πϕθπ≤≤≤≤=⎰⎰202aππϕ=⎰22ππ=-(22a π=．例12 计算积分()⎰⎰+=Szds y xI 22，S 是上半球面()02222≥=++z R z y x ，含在柱面Rx y x =+22的内部．解 S :222y x R z --=在xy 平面上的投影D :Rx y x ≤+22，222221yx R R y z x z --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+()⎰⎰--⋅--⋅+=Ddxdy yx R R y x R y x I 22222222()⎰⎰+=Ddxdy y xR22（令θcos r x =，θsin r y =）52244cos 0322323cos 41R d R R dr r d RR πθθθππθππ===⎰⎰⎰--． 4.3 Gauss 公式法利用Gauss 公式将曲面积分化为三重积分，使被积函数简化，从而使计算简单化．例13 试证：若S 为封闭的光滑曲面，l 为任意固定的已知方向，则()⎰⎰=SdS l n 0,cos ，式中n为曲面的外法线向量．证明设),,(1c b a l = 为l 方向的单位向量，1n 是外法线的单位向量：()γβαcos ,cos ,cos 1=n，则()γβαcos cos cos ,cos 11c b a n l l n ++=⋅=．应用Gauss 公式()()⎰⎰⎰⎰++=SsdS c b a dS l n γβαcos cos cos ,cos ⎰⎰++=Scdxdy bdzdx adydz00V Va b c dxdydz dv x y z ⎛⎫∂∂∂=++== ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰．例14 记()ϕθ,r r =为分片光滑封闭曲面S 的球面坐标方程．试证明S 所围的有界区域V 的体积⎰⎰=SdS r V φcos 31，其中φ为曲面S 在动点的外法线方向与向径所成的夹角．证明 ()z y x r ,,=表示动点的径向量，则模222z y x r ++=，()γβαcos ,cos ,cos =n表示S 的外法线单位向量，则γβαφcos cos cos cos rzr y r x n r r ++=⋅=因此()⎰⎰⎰⎰++=S S dS z y x dS r γβαφcos cos cos 31cos 31⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz 31 V dxdydz V==⎰⎰⎰所以原题得证．5 空间曲线积分与曲面积分之间的关系Stokes 公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系．例15 试计算积分()⎰+-+-+-=L dz x y dy z x dx y z I )()(，其中L +是从(),0,0A a 经 ()0,,0B a 到()0,0,C a 回到(),0,0A a 的三角形．解方法一如图4所示+S 表示ABC ∆所围平面块之上侧，则⎰⎰+---∂∂∂∂∂∂=S xy zx yz z y x dxdydzdx dydz I ⎰⎰+++=S dxdy dzdx dydz 2 轮换对称⎰⎰∆=⋅ABCa dxdy 3332．图4方法二 ()().1,1,1,,,0:='''=-++≡z y x F F F a z y x F S ，因此法线方向余弦()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31,31,31cos ,cos ,cos γβα， 23323323cos cos cos a S dS dS xy zx yz z y x I ABC S S=⋅=⋅=---∂∂∂∂∂∂=∆⎰⎰⎰⎰γβα．例16 计算积分⎰+++=L xdz zdy ydx I ，其中+L为圆周0,0,2222=++>=++z y x a a z y x从z 轴正方向看为逆时针方向．解方法一如图5所示（用Stokes 公式化为第一型曲面积分）+S 表示L 所围成的平面圆块（上侧），())1,1,1(,,,0:='''=++≡+z y x F F F z y x F S ，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31,31,31cos ,cos ,cos γβα，故dS xzyz y x I S ⎰⎰+∂∂∂∂∂∂=313131()⎰⎰+⋅-⋅=S dS 3113 233a dS S π-=-=⎰⎰+．图5方法二（用Stokes 公式化为第二型曲面积分） +S 表示L 所围成的平面圆块（上侧），⎰⎰+∂∂∂∂∂∂=S xzy z y x dxdy dzdx dydz I ⎰⎰+---=S dxdy dzdx dydz轮换对称性⎰⎰⎰⎰∆-=-+dxdy dxdy S 33，其中∆是+S 在xy 平面的投影区域：2222a xy y x ≤++．令2,2ηξηξ+=-=y x ，则121212121=-=J ，(){}2223:,a ≤+=∆'ηξηξ ，故 ππ2233133a a S I -=⋅-=⋅-=∆'．通过上面讨论，总结归纳了一些空间曲线积分与曲面积分的典型计算方法，希望本文对学习《数学分析》的同学提供参考和帮助．。

空间曲线弧长积分公式

空间曲线弧长积分公式
空间曲线弧长积分公式：ds=√(dx²+dy²)，在数学中，曲线积分是积分的一种。

积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。

曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。

空间曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分f(x，y)ds。

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。

积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。

带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。

空间第二类曲线积分计算方法

空间第二类曲线积分计算方法作者：董红昌来源：《课程教育研究》2017年第37期【摘要】研究了空间第二类曲线积分的三种基本计算方法，并通过实例来说明每种方法的具体应用和解题时需注意的问题。

【关键词】第二类曲线积分参数方程斯托克斯公式【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）37-0151-02初学者对平面第二类曲线积分计算掌握比较熟练，对处理空间第二类曲线积分问题往往无从下手。

本文介绍计算空间第二类曲线积分常用的三种方法，并说明具体解题时需注意的问题。

一、参数方程法根据曲线参数方程计算空间第二类曲线积分是参数法计算平面曲线积分情形的推广，也是计算空间第二类曲线积分最常用的方法之一。

参数方程法内容如下：设有向曲线的参数方程为x= （t）y=？鬃（t）z=？棕（t），则 P （x，y，z）dx+Q（x，y，z）dy+R（x，y，z）dz= {P[ （t），？鬃（t），？棕（t）] '（t）+Q[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？鬃'（t）+R[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？棕'（t）]}dt.其中下限？琢对应的起点，上限？茁对应的终点。

用参数法计算空间第二类曲线积分，关键是写出曲线的参数方程。

高等数学习题和考研题中，第二类曲线积分涉及的空间曲线最常见的是线段和圆两种类型。

下面各举一例说明算法和需要注意问题。

例1 计算 xdx+ydy+（2x+y-z）dz，其中为由A（1，1，1）到B（2，3，4）的直线段。

解直线段AB的方程是 = = ，化为参数方程得：x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t从0变到1.所以 xdx+ydy+（2x+y-z）dz= [（t+1）+（2t+1）·2+（t+2）·3]dt=13.注1 当直线段垂直某个坐标轴时，则直线段对该坐标的第二类曲线积分为零。

例2 计算 xyz d z，其中是由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得曲线，从z轴正向看去，沿逆时针方向。

曲线积分计算公式

曲线积分计算公式曲线积分是微积分中的重要概念，可以用于计算曲线上的一些向量场沿曲线的积分。

在学习曲线积分之前，我们首先需要了解曲线的参数化表示和向量场的概念。

曲线的参数化表示:在平面或者三维空间中，曲线可以通过参数化来表示。

具体来说，如果曲线是平面上的曲线，可以使用以下形式的参数方程来表示：r(t)=(x(t),y(t))其中，t是参数，x(t)和y(t)是关于t的函数。

类似地，如果曲线是三维空间中的曲线，可以使用以下形式的参数方程来表示：r(t)=(x(t),y(t),z(t))向量场的概念：向量场是一个定义在多维空间上的向量函数，它将每个点映射到一个向量。

在曲线积分中，我们通常考虑的是二维空间中的向量场。

一个二维向量场可以表示为：F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))其中，P(x,y)和Q(x,y)是关于x和y的函数。

对于三维空间中的向量场，可以使用类似的方式表示。

曲线积分的计算公式：有两种类型的曲线积分：第一类是沿曲线的标量场积分，第二类是沿曲线的向量场积分。

第一类曲线积分（标量场积分）的计算公式是：∫(r(t)) f(r(t)) ，r'(t)， dt其中，r(t)是曲线的参数化表示，r'(t)是r(t)的导数向量，f(r(t))是定义在曲线上的标量函数。

第二类曲线积分（向量场积分）的计算公式分为两种类型：第一种是切向量场沿曲线的积分，第二种是法向量场沿曲线的积分。

第一种情况下的计算公式是：∫(r(t)) F(r(t)) • T(t) ds其中，r(t)是曲线的参数化表示，F(r(t))是定义在曲线上的向量函数，T(t)是单位切向量。

第二种情况下的计算公式是：∫(r(t)) F(r(t)) • n(t) ds其中，r(t)是曲线的参数化表示，F(r(t))是定义在曲线上的向量函数，n(t)是单位法向量。

在实际应用中，曲线积分的计算可以根据具体情况和曲线的参数化表示选择合适的公式进行计算。

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法.(1)曲线积分的计算例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 为平面1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向．方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x AB ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-⎰32])1[(0122-=+-=⎰dx x x ．同理可得：222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰2222222()()()3DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-⎰．所以 2AB BD DA I =++=-⎰⎰⎰．方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=⎰⎰⎰-=-=Ddxdy 24．化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．方法三根据对称性求曲线积分．轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形．解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知原式dz y x dy x z dx z y AB )()()(3222222-+-+-=⎰2])1[(0122-=+-=⎰dx x x ．同样由对称性知原式012222103()3{(1)(1)}2C I y z dx x dx x dx =-=---=-⎰⎰⎰．方法四根据Stokes 公式求曲线积分Stokes 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来．解法四: 设1S x y z ++=：，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为 31cos cos cos ===γβα 由Stokes 公式化为第一型曲面积分得原式222222cos cos cos S dS xy z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰()2ABC S S x y z dS dS ∆=++===-⎰⎰． ABC ∆为解法一中所设的点组成的三角形．另解: 根据上面解法中所设，并设xy D 为∑在xoy 面上的投影．用Stokes 公式化为第二型曲面积分得原式222222S dydz dzdx dxdy xy z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰ 2()()()S y z dydz z x dzdx x y dxdy =-+++++⎰⎰2)(6-=+-=⎰⎰dxdy y x xy D ．用Stokes 公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．。

求曲线、曲面积分的方法与技巧概要

例一．计算曲线积分其中是圆上从原点到的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1：的方程为由由分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧上取点，的方程为由由的方程为由由分析：解2是选用参变量为利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。

不同的是以为参数时，路径不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。

解3：的参数方程为由由解4：的极坐标方程为因此参数方程为由由分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。

可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解5：添加辅助线段，利用格林公式求解。

因于是而故得分析：在利用格林公式将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。

是的正向边界曲线。

解5中添加了辅助线段使曲线为正向封闭曲线。

解6：由于于是此积分与路径无关，故分析：由于在闭区域上应具有一阶连续偏导数，且在内因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在上的积分为在上积分，注意点对应的起点。

一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。

计算空间曲线积分的向量点积法-精选文档

空间曲线积分的“向量点积法”是斯托克斯公式的一种改进的方法。
在计算空间曲线积分时，通常是先利用斯托克斯公式把曲线积分化为曲面积分，再将曲面积分化为二重积分。
而“向量点积法”则是直接将曲线积分化为二重积分，减少了中间环节。
四川大学数学学院
徐小湛
May 2012
11.7 斯托克斯公式 3
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空间曲线积分的向量点积法rotrotds117斯托克斯公式rotds其中单位法向量教材98页再利用对面积的曲面积分的计算公式教材217页rot117斯托克斯公式pdxqdyrdz以上公式可以写成行列式的形式
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空间曲线积分的
向量点积法
四川大学数学学院
徐小湛
May 2012
11.7 斯托克斯公式 2
例1 计算积分
zdxxdyydz

其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个边界, 方向如图所示. z
解: 记三角形域为 , 取上侧
1
z z z 1x y 1 , 1 x y
O
1
zdxxdyydz 由前面的公式

1 y
{ z ,z , 1 } x y 2 2 原式 r o t Α 1 z z d x d y x y 2 2 1 z z D x y
r o t Α { z , z , 1 } d x d y x y
徐小湛四川大学数学学院
D
May 2012

Dxy
1 x y2 z2
1 y z2 x2
1 dxdy z x2 y2

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