空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法.

(1)曲线积分的计算

例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 为平面

1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向．

方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算

根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．

解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有

dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-⎰

32])1[(0122-=+-=

⎰dx x x ． 同理可得：

222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰

2222222()()()3

DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-⎰． 所以 2AB BD DA I =++=-⎰⎰⎰．

方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算

格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．

解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得

原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=⎰

⎰⎰-=-=D

dxdy 24．

化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．

方法三 根据对称性求曲线积分．

轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形． 解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=⎰

2])1[(0122-=+-=

⎰dx x x ．

同样由对称性知 原式01222210

3()3{(1)(1)}2C I y z dx x dx x dx =-=---=-⎰⎰⎰． 方法四 根据Stokes 公式求曲线积分

Stokes 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来．

解法四: 设1S x y z ++=：，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为 3

1cos cos cos =

==γβα 由Stokes 公式化为第一型曲面积分得 原式22

2222cos cos cos S dS x y

z y z z x x y α

βγ∂∂

∂=∂∂∂---⎰⎰

()2ABC S S x y z dS dS ∆=++===-⎰⎰． ABC ∆为解法一中所设的点组成的三角形．

另解: 根据上面解法中所设，并设xy D 为∑在xoy 面上的投影．用Stokes 公式化为第二型曲面积分得

原式22

2222S dydz

dzdx dxdy x y

z y z z x x y ∂∂

∂=∂∂∂---⎰⎰ 2

()()()S y z dydz z x dzdx x y dxdy =-+++++⎰⎰

2)(6-=+-=⎰⎰dxdy y x xy D ．

用Stokes 公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．