《多边形及其内角和》ppt课件75598
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多边形及其内角和ppt课件
∵ ∠7+∠ 8+∠9+ ∠10 +∠11+ ∠12 =（6－2）×180 °= 720°, ∴ ∠1+∠ 2+∠3+ ∠4 +∠5+ ∠6 = 6×180 °－720 ° = 360°.
对于 n 边形，结论仍然成立！
结论： 多边形的外角和等于
360°.
探索与思考
探索多边形的外角和
多边形边 数
多边形的 内角和
4、正方形的内角和是 3600 度，长方形的内 角和是 3600 度。
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.（重点） 3.会求多边形的对角线的条数.（难点）
情境引入
导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你 能找到由一些线段围成的图形吗？
5.若两个多边形的比是1:2，内角和的度数比是1:3，求这 两个多边形的边数。
课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容? (2)我们是怎样得到多边形内角和公式的? (3)在探究多边形内角和公式的过程中， 连接对角线起到什么作用?
∠C=108°,∠D=144° A
B
例题讲解
3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这 个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形 ？它的内角和是多少？ 解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
n-2=5 n=7 内角和=(n-2)x180°
=(5-2)x180° =900°
答：这个多边形是七边形，它的内角和是900°
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，把 多边形分成＿＿n-＿2＿个三角形．
n边形的内角和等于＿(n＿-2＿) ×＿1＿8＿00
对于 n 边形，结论仍然成立！
结论： 多边形的外角和等于
360°.
探索与思考
探索多边形的外角和
多边形边 数
多边形的 内角和
4、正方形的内角和是 3600 度，长方形的内 角和是 3600 度。
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.（重点） 3.会求多边形的对角线的条数.（难点）
情境引入
导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你 能找到由一些线段围成的图形吗？
5.若两个多边形的比是1:2，内角和的度数比是1:3，求这 两个多边形的边数。
课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容? (2)我们是怎样得到多边形内角和公式的? (3)在探究多边形内角和公式的过程中， 连接对角线起到什么作用?
∠C=108°,∠D=144° A
B
例题讲解
3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这 个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形 ？它的内角和是多少？ 解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
n-2=5 n=7 内角和=(n-2)x180°
=(5-2)x180° =900°
答：这个多边形是七边形，它的内角和是900°
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，把 多边形分成＿＿n-＿2＿个三角形．
n边形的内角和等于＿(n＿-2＿) ×＿1＿8＿00
《多边形及其内角和》_优秀PPT课件人教版1
的边数是 8
.
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2. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角 的度数是 140° .
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请回答： 若在 n 边形的一边上或外部任取一点 O，并
把点 O 与各顶点连接起来，那么如何说明 n 边 形的内角和为（n-2）·180°？
解：①若点O在一边上， 连接O与各顶点， 则共构成n-1个三角形， 这n-1个三角形的内角和为（n-1）·180°， 再减去以点O为顶点的一个平角， 即（n-1）·180°-180°＝（n-2）·180°；
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②若点O在外部，连接O与各顶点， 则共构成n个三角形， 这n个三角形的内角和为n·180°， 再减去以点O为顶点的多出的两个三角形的内角和， 即n·180°-180°×2＝（n-2）·180°.
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谢谢！
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《多边形及其内角和》PPT课件人教版数学八年级上册
2.已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的角度
之比都是7:2，则这个多边形是__九___边形，共有__2_7__
条对角线.
解析：设这个多边形的一个内角为7x°，则与其相邻 的外角为2x°,因为每一个内角与其相邻的外角之和为 180°， 所以7x°+2x°= 180° ，解得x=20，外角为40°. 边对数角为线3的6条0°数÷为40°9（ 29=-39）， 则27 这. 个多边形是九边形.
内角=
,
知识回顾
1.什么是多边形？ 2.什么是多边形的对角线？多边形的对角线具有什么性 质？ 3.什么是正多边形？ 4.由三角形内角和定理可以得到哪些推论？ 5.三角形外角具有什么性质？
学习目标
1.了解并掌握多边形内角和与外角和公式. 2.理解多边形内角和与外角和公式的推导过程. 3.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
通过以上的探究，我们发现多边形的内角和与边数之间 ∴∠A1，∠A2，∠A3所相邻的外角和为270°.
性质：多边形的外角和等于360°. 上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ （2）四边形的内角和为360°，
了内解角有并 = 掌密握多切边, 形内的角和关与外系角和公.从式. n边形的一个顶点出发，可以作出（n-
例2 一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
因为各内角都等于120°，所以内角和为120°×n.
由内角和公式得：（n-2）× 180°.
则120° ×n=（n-2）× 180° ，解得n=6.
所以它是六边形.
你能从多边形外角和的 角度想出另外的解法吗？
例2 一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？ 方法二 解：设这个多边形的边数为n， 因为各内角都等于120 ° ，所以各外角都 等于180 °-120 °=60 °. 由外角和性质得：n×60°=360°， 解得n=6. 所以它是六边形.
《多边形及其内角和》ppt课件
0 0
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 这就是说，如果四边形的一组对角互补， 四边形的一组对角互补 那么另一组对角也互补。 那么另一组对角也互补。
清晨， 清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。 按逆时针方向跑步。 •（1）小明每从一条 （ ） 街道转到下一条街 道时， 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？ • （2）他每跑完一圈，身体转过的角 ）他每跑完一圈， 度之和是多少？ 度之和是多少？ • （3）在上图中，你能求出∠1+ ∠ 2+ ）在上图中，你能求出∠ ∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=吗？你是怎样得到的？ 吗 你是怎样得到的？
边数
从一个顶点引出 对角线数
三角形个数
内角和
5 6 7
. . .
2 3 4
. . .
3 4 5
. . .
3×180°=540 ° × ° 4×180°=720° × ° ° 5×180°=900° × ° °
. . .
n
n-3
n-2
(n-2)×180° × °
综上所述，设多边形的边数为 ， 综上所述，设多边形的边数为n， 则 n边形的内角和等于 n一2）•180° 边形的内角和等于 一 ） （ °
= 2×180 = 360 多边形的外角和等于360ْ 多边形的外角和等于
0
0
n ×180 − (n − 2) ×180
0
0
已知一个多边形， 例1. 已知一个多边形，它的内角和 等于外 角和的2倍 求这个多边形的边数。 角和的 倍，求这个多边形的边数。
设多边形的边数为n 解： 设多边形的边数为 ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， ° 多边形外角和等于360º， ， 多边形外角和等于 ∴ (n-2)•180°=2× 360º。 ° × 。 解得: 解得 n=6
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 这就是说，如果四边形的一组对角互补， 四边形的一组对角互补 那么另一组对角也互补。 那么另一组对角也互补。
清晨， 清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。 按逆时针方向跑步。 •（1）小明每从一条 （ ） 街道转到下一条街 道时， 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？ • （2）他每跑完一圈，身体转过的角 ）他每跑完一圈， 度之和是多少？ 度之和是多少？ • （3）在上图中，你能求出∠1+ ∠ 2+ ）在上图中，你能求出∠ ∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=吗？你是怎样得到的？ 吗 你是怎样得到的？
边数
从一个顶点引出 对角线数
三角形个数
内角和
5 6 7
. . .
2 3 4
. . .
3 4 5
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3×180°=540 ° × ° 4×180°=720° × ° ° 5×180°=900° × ° °
. . .
n
n-3
n-2
(n-2)×180° × °
综上所述，设多边形的边数为 ， 综上所述，设多边形的边数为n， 则 n边形的内角和等于 n一2）•180° 边形的内角和等于 一 ） （ °
= 2×180 = 360 多边形的外角和等于360ْ 多边形的外角和等于
0
0
n ×180 − (n − 2) ×180
0
0
已知一个多边形， 例1. 已知一个多边形，它的内角和 等于外 角和的2倍 求这个多边形的边数。 角和的 倍，求这个多边形的边数。
设多边形的边数为n 解： 设多边形的边数为 ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， ° 多边形外角和等于360º， ， 多边形外角和等于 ∴ (n-2)•180°=2× 360º。 ° × 。 解得: 解得 n=6
多边形的内角和课件ppt
想一想
你知道n边形的内角和吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 …… n边形
边数
3
4
5
6
7
……
n
？ 内角和 180° 360° 540° 720° 900° ……
五边形的内角和180° ×5－ 360° = 540° 六边形的内角和180° ×6－ 360° = 720° 七边形的内角和180° ×7－ 360° =900°
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
议一议
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
想一想
A B
D
如图1，连接四边形 ABCD的一条对角线AC， 将四边形分成两个三角 形，四边形内角和等于 180°×2 = 360°
C
120 0
75 0
你知道n边形的内角和吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 …… n边形
边数
3
4
5
6
7
……
n
？ 内角和 180° 360° 540° 720° 900° ……
五边形的内角和180° ×5－ 360° = 540° 六边形的内角和180° ×6－ 360° = 720° 七边形的内角和180° ×7－ 360° =900°
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
议一议
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
想一想
A B
D
如图1，连接四边形 ABCD的一条对角线AC， 将四边形分成两个三角 形，四边形内角和等于 180°×2 = 360°
C
120 0
75 0
多边形的内角和ppt课件
6. 一个多边形的每个内角都等于144°，求这个多边 形的边数． 解：设这个多边形的边数为n， 则144°n＝(n－2)×180°. 解得n＝10. ∴这个多边形的边数为10.
7.一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的 边数． 解：设这个多边形的边数为n， 则135°n＝(n－2)×180°. 解得n＝8. ∴这个多边形的边数为8.
∴∠E＝∠EDC＝∠C
(5 2)180
＝ 5 ＝108°.
∴∠1＝180
2
108
＝36°，
180 108
∠3＝ 2 ＝36°.
∴x＝108°－(∠1＋∠3)＝108°－72°＝36°.
13.(RJ八上P29改编)如图，在四边形ABCD中，∠B＝ ∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分 线，则AE与FC有什么关系？请说明理由． 解：AE∥FC.理由如下：
∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAD＋∠BCD＝360°－2×90°＝180°.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD， ∴∠BAE＋∠BCF＝ 12∠BAD＋ 12∠BCD
1
＝2 (∠BAD＋∠BCD)＝90°. ∵∠BAE＋∠BEA＝90°， ∴∠BEA＝∠BCF. ∴AE∥FC.
11. 如图，画出五边形ABCDE的全部对角线． (1)从一个顶点可以作_2___条对角线，五边形一共有 __5__条对角线；
(2)从n边形的一个顶点可以作__n_-_3_条对角线，n边
n(n 3)
形共有___2___条对角线．
12.如图，五边形ABCDE的内角都相等，∠1＝∠2，∠3 ＝∠4，求x的值． 解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
第十一章 三角形 11.3.1 多边形的内角和
多边形的内角和ppt课件
求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° .
A
C
B
11.3.2 多边形的内角和
已知：四边形 ABCD， 求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° . 方法1 证明：如图，连接 AC， ∠BAD +∠B +∠BCD +∠D =∠1 +∠2 +∠B +∠3 +∠4 +∠D =(∠1 +∠3 +∠B) +(∠2 +∠4 +∠D) = 180°+180° = 360°.
互补
A
1
B
2
C3
5
E
4
D
2.五边形的6个外角加上与它们相邻的内角的总和是多少？
5×180°=900°
11.3.2 多边形的内角和
解： 五边形的任何一个外角加上与它相邻的内
角都等于 180°，因此六边形的 5 个外角加上它们
A
相邻的内角，所得的总和等于 5 × 180°.
1
5
B
E
这个总和就是五边形的外角和加上内角和，所以 2
外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
4
C3
D
5× 180° - ( 5 - 2 ) × 180°= 2 × 180°=360°
结论：五边形的外角和等于360°.
11.3.2 多边形的内角和
思考
如果将五边形换成n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结
果吗？ n边形外角和
归纳 n边形的外角和等于360°.
E
A
A
F
类比上面的过程， 你能推导出五边形
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4
4×180°=720°
7
4
.
.
.
.
.
.
5
5×180°=900°
.
.
.
.
.
.
n
n-3
n-2
a
(n-2)×180° 23
综上所述，设多边形的边数为n， 则 n边形的内角和等于（n一2）•180°
a
24
百家争鸣 其他方法
C
P
图1
D 图2 B
C B
图3
C
B
如图1，在四边形内任取一点P,
连接PA、PB、PC、PD将四边
a
6
多边形的对角线
连结多边形不相邻的两个顶点的线段， 叫做多边形的对角线。
请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数 ：
……..
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
探究
……
三角形
四边形
五边形
六边形
从同一顶点引出的对角线的条数：
n边形
0 1 23
分割出的三角形的个数：
n－3
1 2 3 4 n－2
5
6
8
=108° =120°
=135°
（n-2）×180° n
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角有什么关系？
C
解：如图四边形ABCD中， D
AC1800 A
B
因为：
A B C D(42)18 0 036 0 0
所 : B 以 D 30 6 ( 0 A C ) 10 80
人教版数学教材八年级上
11.3多边形
探究1
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一 条直线上的三条线段首尾顺次连 接而成的图形直线上的一些线段首尾顺 次相接组成的图形叫做多边形 。
……
五边形
六边形 七边形
多边形按组成它的线段条数
分成三角形、四边形、五边形
5、从六边形的一个顶点出发可以画 ３ 条对角线，它 们将六边形分成 ４ 个三角形．
6、正多边形的 边 相等, 角 相等．
E
7、多边形分为凸多边形 和 凹多边形两类A ．
D
a
14
B
C
想一想
浙江金华兰溪诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
3× 180°
=5400
探索过程一掠:
三角形 A
B
1800
四边形
A D
B
CB
C
2× 180°
= 3600
五边形 A
E
C
D
3× 180°
=5400
那么六边形、七边形的内角和呢？
六边形
七边形
4× 180°
=7200
5× 180°
=9000
边数 从一个顶点引出 三角形个数 对角线数
内角和
5
2
6
3
3
3×180°=540 °
A
B
C
D
A
C B
四边形ABCD是 凹四边形，因为画 出边CD（或BC）所 在直线，整个四边 形不都在这条直线 D 的同一侧。
正多边形
正方形的各个角都相等，各条 边都相等。
像正方形这样，各个角都相等，各 条边都相等的多边形叫做正多边形.
例如：
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
1、填空：如图，此多边形应记作 五 边形 ABCDE，AB
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。
•（1）小明每从一条 街道转到下一条街 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？
• （2）他每跑完一圈，身体转过的角 度之和是多少？
• （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？
你能算出八卦图的内角和吗？
你能算它的内角和吗？
想一想
它们的内角和该怎么计算呢？ 其他多边形的内角和呢？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
（都是360°）
其它四边形的内角和是多少？
四边形内角和
A
D
B
C
那么如何求说此说五你边的形探的索内思角路和？呢?
2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5
答：这个多边形是五边形。
Now I can ……
那么正五边形、正六边形、正八边形、 正n边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°（6-2）×180° （8-2）×180°
……其中三角形是最简单的多边
形。
如果一个多边形由n条线段组 成，那么这个多边形就叫做n边
形。
n3
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
A
内角
概多
顶点
念边
E
形
外角
的B
相
1
关边
D
C 对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
总结1
n边形有___n__个顶点， ___n__条边， ___n__个内角， __2_n__个外角， _____条对角线。
1A
B
5
2
E
E' A'
θ
α Oδ
B'
βγ
C'
C 3
4 D
结论：
1， 2， 3， 4， D' 5的和等于
边的邻边是 AE、 BC ，顶点E处的内角为 ∠AED ，过
顶点A画出这个多边形的对角线，共有 2 条，它们
把多边形分成 3 个三角形。
2、n边形有 n 个顶点， n 条边，有 n
有
n个不同顶点的外角．
个角，
3、四边形有 2 条对角线。五边形有
5条
对角线。
4、四边形的一条对角线将它分成 2 个三角形．
总结2
n边形从一个顶点出发的对角线条
数为：(n－3) 条(n≥3) n边形共有对角线 n(n 3) 条(n≥3)
2
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
多边形的分类
如图，画出四边形ABCD的任何一条边 所在直线，整个四边形都在这条直线的同 一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
形变成有一个公共顶点的四个
A
案 其 三角形，四边形内角和等于
180°×4 － 360°= 360°
A
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公
他
共顶点的三个三角形，四边形内角和
P
等于180° ×3－ 180° = 360°
D
方
A
P D
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分
割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
A1
A5
A4
An
A1
A5
A4
A2
A3
An
A5
A2
p
An
A3
A5
A1 A2
A4 A3
A1
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°