第6章 信号的矢量空间分析
基础物理学上册习题解答和分析第六章习题解答和分析
习题六6-1频率为Hz 41025.1⨯=ν的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量211/1090.1m N E ⨯=，棒的密度33/106.7m Kg ⨯=ρ.求该纵波的波长. 分析 纵波在固体中传播，波速由弹性模量与密度决定。
解：波速ρ/E u =,波长νλ/u = 2/0.4E m λρν==6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为：))(5.2cos(04.0SI x t y ππ-=(1)求波的振幅、波速、频率及波长；(2)求绳上的质点振动时的最大速度；(3)分别画出t=1s 和t=2s 的波形，并指出波峰和波谷.画出x=1.0m 处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.解：（1）用比较法，由)2cos()5.2cos(04.0x t A x t y λπϕωππ-+=-=得0.04A m = ； /2 2.5/2 1.25Hz νωπππ===；2, 2.0m ππλλ== 2.5/u m s λν==（2）0.314/m A m s νω==（3）t=1(s)时波形方程为：)5.2cos(04.01x y ππ-= t=2(s)时波形方程为：)5cos(04.02x y ππ-=x=1(m)处的振动方程为：)5.2cos(04.0ππ-=t y6-3 一简谐波沿x 轴正方向传播，t=T/4时的波形图如题图6－3所示虚线，若各点的振动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为（-π，π].求各点的初相.分析 由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图。
依旋转矢量法可求t=0时的各点的相位。
解:由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图(图中实线),依旋转矢量法可知 质点1的初相为π; 质点2的初相为π/2; 质点3的初相为0; 质点4的初相为-π/2.6-4 有一平面谐波在空间传播,如题图6－4所示.已知A 点的振动规律为)t cos(A y ϕ+ω=，就图中给出的四种坐标,分别写出它们波的表达式.并说明这四个表达式中在描写距A 点为b 处的质点的振动规律是否一样? 分析 无论何种情况，只需求出任意点x 与已知点的相位差，同时结合相对坐标的传播方向（只考虑相对于题图题图6-3t=坐标方向的正负关系）即可求解波的表达。
中国科学院大学-2019年-硕士研究生入学考试大纲-859信号与系统
中国科学院大学硕士研究生入学考试
《信号与系统》考试大纲
一、考试科目基本要求及适用范围
本《信号与系统》考试大纲适用于中国科学院大学通信与信息系统、信号与信息处理以及相关专业的硕士研究生入学考试。
信号与系统是电子、通信、控制科学与工程等许多学科专业的基础理论课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法，认识如何建立信号与系统的数学模型，通过时间域与变换域的数学分析对系统本身性能和系统输出信号进行求解与分析，并对所得结果赋予物理解释、物理意义。
要求考生熟练掌握以上基本概念与基本运算，并能加以灵活运用。
二、考试形式和试卷结构
考试采取闭卷笔试形式，考试时间180分钟，总分150分。
试题采用填空、选择、判断对错及计算等形式。
三、考试内容
（一）概论
1.信号的描述、分类及典型示例；
2.信号的运算；
3.系统的模型与分类；
4.系统分析方法。
（二）连续时间系统的时域分析
1.微分方程的建立与求解；
2.零输入响应与零状态响应的定义和求解；
3.冲激响应与阶跃响应；
4.卷积的定义、性质、计算等。
（三）傅里叶变换
1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；
2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；
3.傅里叶变换的性质与运算；
4.周期信号的傅里叶变换；
5.抽样定理、抽样信号的傅里叶变换；
6.连续时间系统的傅里叶分析应用。
（四）拉普拉斯变换
—1—。
第6章状态变量分析法
间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
ch6_信号的矢量空间分析2_111113_789809404
5
E f1 = ∫ a 2 dt = 5a 2
0 5 0
5
E f 2 = ∫ e-2at dt = 21a (1- e-10 a ) ,
(1)
(2) (3)
1 5×5a 2
2a
⎧+1 a > 0 a d t = ⎨ ∫0 ⎩−1 a < 0
5
5
相关系数从信号能量误差的角度描述了两个信号的相关特 性，利用矢量内积运算给出了定量描述。 数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。
e − at dt = 5(1-e-10 a ) ∫0
1 5E f 3
∫
5
1 1 − e-5 a ⎧0.961 a = 0.2 =⎨ -5 a 2.5a 1 + e ⎩0.628 a = 1
0
sin πtdt = 0
相关系数→相关函数
相关系数表示的两信号 的相似程度
ρ12 =
1 E f1 E
f2
11
f1 (t )
雷达微波
物 行 波 回
19
§6.5 能量谱和功率谱
能量谱和功率谱描述信号的一种方法：
• 能量谱和功率谱表示信号的能量和功率密度 在频域中随频率的变化情况； • 能量谱和功率谱对决定信号所占频带等问题有 重要作用。
20
f2
(t)飞
R12 (τ ) =
∫
+T 2 −T 2
f1 ( t ) f 2 ( t + τ ) dt
§6.4 相关
• 意义
– 研究信号之间的相似程度； – 广泛应用于信号分析、图像处理，尤其是随机 信号分析 • 具体而言：
3
§6.4 相关
空间矢量的原理和应用教案
空间矢量的原理和应用教案1. 引言空间矢量是计算机图形学中的重要概念，它用于描述和操作物体在三维空间中的位置和方向。
空间矢量的原理和应用对于学习和理解计算机图形学以及三维建模和动画等领域均具有重要意义。
本教案旨在介绍空间矢量的基本原理和常见应用，帮助学生全面理解和掌握该领域的知识。
2. 空间矢量的定义空间矢量是一个有方向和大小的量，用于表示物体在三维空间中的位置和方向。
在计算机图形学中，常常使用三维坐标系来表示空间矢量，其中包括横轴（X轴）、纵轴（Y轴）和垂直轴（Z轴）。
一个空间矢量可以由三个分量表示，分别表示矢量在X轴、Y轴和Z轴上的分量。
3. 空间矢量的运算3.1 空间矢量的加法空间矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
当两个矢量相加时，将它们对应的分量分别相加，得到新矢量的三个分量。
例如，对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)。
3.2 空间矢量的减法空间矢量的减法是指将两个矢量相减得到一个新的矢量。
当两个矢量相减时，将它们对应的分量分别相减，得到新矢量的三个分量。
例如，对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：A - B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)。
3.3 空间矢量的数乘空间矢量的数乘是指将一个矢量乘以一个标量得到一个新的矢量。
当一个矢量与一个标量相乘时，将矢量的每个分量分别与标量相乘，得到新矢量的三个分量。
例如，对于一个矢量A和一个标量k，它们的数乘可以表示为：k * A = (k * Ax, k * Ay, k * Az)。
3.4 空间矢量的点乘空间矢量的点乘是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果求和得到一个标量。
点乘的结果可以用来计算两个矢量之间的夹角。
例如，对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：A · B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz。
高级通信原理第4章 信号的矢量表示
例5 : 4ASK(或4PAM频带信号)
2
c23 s3 t f 2 t dt
0
0
s3 t s2 t dt 0 2
f 3t s3 t 2 f1 t 0 f 2 t 1 s3 t s1 t 0
2 t 3 otherwise
第4章
信号的矢量表示
设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,..,N，即
0 f n t f m t dt 1
m n m n
信号s(t)可以由fn(t)的线性组合来近似 这一近似的误差为
ˆ et st st
ˆ st sn f n t
正交化过程继续下去，直到所有M个信号波形处理完毕，
则N≤M个标准正交波形构造完成。
信号的矢量空间表示
例
设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。
解:
f1 t
2
s1 t
s1 t 1 2
2 0
c12 s2 t f1 t dt
0
s2 t s1 t dt 0 2
f 2t s2 t 0
f 2 t s2 t
3 0
s2 t 2 2 f 2 ' t dt
2
c13 s3 t f1 t dt
3
0
s3 t s1 t dt 2 2
f1 t
s1 t
s1 t 1 2
f 2 t
s2 t
s2 t 2 2 t dt f2 '
801通信原理
801通信原理一、考试内容1．预备知识希尔伯特变换、解析信号、频带信号与带通系统、随机信号的功率谱分析、窄带平稳高斯过程。
2．模拟调制DSB-SC、AM、SSB、VSB、FM的基本原理、频谱分析、抗噪声性能分析。
3．数字基带传输数字基带基带信号，PAM信号的功率谱密度分析；数字基带信号的接收，匹配滤波器，误码率分析；码间干扰的概念，奈奎斯特准则，升余弦滚降，最佳基带系统，眼图；均衡的基本原理，线路码型的作用和编码规则，部分响应系统，符号同步算法的基本原理。
4．数字信号的频带传输信号空间及最佳接收理论，各类数字调制（包括OOK、2FSK、PSK、2DPSK，QPSK、DQPSK、OQPSK、MASK、MPSK、MQAM）的基本原理、频谱分析、误码性能分析，载波同步的基本原理。
5．信源及信源编码信息熵、互信息；哈夫曼编码；量化（量化的概念、量化信噪比、均匀量化）；对数压扩，A率13折线编码、TDM。
6．信道及信道容量信道容量（二元无记忆对称信道、AW GN信道）的分析计算；多径衰落方面的概念（平衰落和频率选择性衰落、时延扩展、相干带宽、多普勒扩展、相干时间）7．信道编码信道编码的基本概念，纠错检错、汉明距线性分组码，循环码、CRC；卷积码的编码和Viterbi译码8．扩频通信及多址通信沃尔什码及其性质；m序列的产生及其性质，m序列的自相关特性；扩频通信、DS-CDMA及多址技术、扰码二、考试时间3小时，满分150分。
804 信号与系统一．考试要求掌握确定性信号的时域变换特性和奇异信号的特点，系统零输入响应、零状态响应和全响应的概念，冲激响应的概念和求解，利用卷积积分求系统零状态响应的方法和物理意义。
理解信号正交分解；掌握周期信号和非周期信号的频谱及其特点，重点掌握傅里叶变换及其主要性质，了解在通信系统中的应用，熟悉连续系统的频域分析方法。
掌握单边拉氏变换及其主要性质，熟悉连续时间系统的复频域分析方法，重点理解系统函数的概念和由系统函数分析系统的特性。
第三章傅里叶变换0
6.3 信号的正交函数分解 6.4 完备正交函数集
信号的分解-已学过的
1
已学过的知识
信号可分解为：
直流分量+交流分量
偶分量+奇分量
实部分量+虚部分量
e(t ) e( ) (t )d 正交函数分量
脉冲分量
2
已学过的知识
时域中，利用信号分解求响应。
1 2 [ f (t ) cr g r (t )] dt t2 t1 t1 r 1
2 t2
n
2 0 ci
(6-62)
t1 f (t ) gi (t )dt 1 t2 ci t2 2 t1 f (t ) gi (t )dt Ki t1 gi (t )dt
t2
t1
f 2 (t )dt cr2 K r
r 1
(6-81)
(6-82) （Parserval定理）
t2
t1
f (t )dt c
2 r 1
2 r
物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒 等于此信号在完备正交函数集中各分量能量 （功率)之和。
18
常用完备正交函数集
1、三角交函数集 cos(n t), sin(n t)
在最佳近似条件下，给定项数的 2 ：
n 1 t2 2 2 [ t1 f (t )dt cr K r ] r 1 t2 t1 2
t2
(6-64)
归一化正交函数集：
t2
t1
g (t )dt K i 1
2 i t2 t1
ci f (t ) g i (t )dt
矢量数据的空间分析
地理信息系统中的矢量数据应用
01
地图制作与编辑
02
空间查询与分析
03
地理信息可视化
矢量数据是地理信息系统的基础， 用于地图的制作、编辑和更新。
基于矢量数据，进行空间查询、 距离和面积计算、缓冲区分析等 操作。
通过矢量数据，实现地图的动态 显示和交互，提高地理信息的可 视化效果。
遥感影像中的矢量数据提取与分析
空间分析的基本方法与技术
空间数据查询
通过SQL查询语言等工具，对空间数据 进行筛选、检索和查询，获取所需的空
间信息。
空间统计分析
利用统计学方法对空间数据进行统计 分析，如全局和局部的空间自相关分
析、空间回归分析等。
地图代数
利用地图代数方法对空间数据进行处 理和分析，如地图叠加、地图代数运 算等。
三维分析
空间数据聚合与分类
空间数据聚合
将多个空间对象组合成一个或多个更大的对象，以进行更高层次的分析。例如， 将多个点聚合为线或面。
空间数据分类
根据空间对象的属性或关系将其分组。例如，根据对象的密度或形状对点进行分 类。
空间数据插值与预测
空间数据插值
通过已知点或对象的数据估算未知点的值。例如，使用已知点的温度数据估算未知点的 温度。
04
矢量数据的空间分析案例
城市规划中的矢量数据分析
城市道路网络分析
通过矢量数据分析城市道 路的走向、连通性以及交 通流量，为城市规划提供 依据。
居民区分布研究
利用矢量数据对居民区的 分布、规模和人口密度进 行分析，有助于合理规划 城市居住用地。
公共设施布局优化
通过对公共设施（如学校、 医院等）的矢量数据分析， 优化其布局，提高服务效 率。
矢量信号分析基础
4
传统的扫描频谱分析 1 实际上是让一个窄带滤波器扫过一系列频率，按 顺序每次测量一个频率。对于稳定或重复信号，这种扫描输入的方法是可行 的，然而对扫描期间发生变化的信号，扫描结果就不能精确地代表信号了。 还有，这种技术只能提供标量 ( 仅有幅度 ) 信息，不过有些信号特征可以通过 进一步分析频谱测量结果推导得出。
图 1 显示了一个简化的 VSA 方框图。VSA 采用了与传统扫描分析截然不 同的测量方法 ; 融入 FFT 和数字信号处理算法的数字中频部分替代了模拟中频 部分。传统的扫描调谐式频谱分析是一个模拟系统 ; 而 VSA 基本上是一个使 用数字数据和数学算法来进行数据分析的数字系统。VSA 软件可以接收并分 析来自许多测量前端的数字化数据，使您的故障诊断可以贯穿整个系统框图。
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模拟数据
数字化数据流
t
射频 输入
IF 输入 抗混叠 滤波器
本地振荡器
t
ADC
LO 90 度
时间
正交检波器、 数字滤波
快速傅立叶 变换
解调器
f 频域 Q
I
调制域
数字 IF 和 DSP 技术
t 时域
I
Q 0 code 15 码域
图 1. 矢量信号分析过程要求输入信号是一个被数字化的模拟信号，然后使用 DSP 技术处理 并提供数据输出 ; FFT 算法计算出频域结果，解调算法计算出调制和码域结果。
第六章信号的矢量空间分析new
第六章信号的矢量空间分析信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的上的类似信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。
本章主要内容•利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；信号的交函数分解；•信号的正交函数分解；•完备正交函数集、帕塞瓦尔定理•相关函数；相关函数•能量谱和功率谱；•相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用技术。
62§6.2信号矢量空间的基本概念•线性空间•范数数•内积•柯西－施瓦茨不等式第一．线性空间3页定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实此集合内的另素任意素与任意数以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:⎧15页常用范数页“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。
的上确界一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有个。
却只有一个。
页信号表示其幅度值(3)常用的范数一阶范数可见，一阶范数表示信号作用的强度。
页二阶范数物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。
第9页三．内积直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号将矢量长度分别写作利用范数符号，将矢量长度分别写作于是第10页上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况即之间相对位置的“校准”情况。
即推广三维多维第11页信号空间内的两连续信号的内积对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为已知有如下关系()21cos y xφφ−对于二维矢量空间，已知有如下关系221≤−则有1≤x y,y x x,§6.3 信号的正交函数分解•矢量的正交分解•正交函数•正交函数集•复变函数的正交特性第14页将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号信号分解的目的的特性。
第六章：信号的空间分析
2c12
t2
t1
f
2 2
(t )dt 0
解得
c12
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t ) dt
t2 t1
f (t ) dt
11
2 2
正交条件
若c12 0,则f1 (t )不包含f 2 (t )的分量 ,则称正交。
正交的条件：
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
12
例： f (t ) 1
4
( t 2 ) 1 试用sint 在区间（0，2 ）来近似 f (t )
(0 t )
y1
1
2 x2
y2
两矢量夹角 90 两矢量夹角 0
0
0
cos(1 2 ) 0 内积为零 cos(1 2 ) 1 内积为最大值
多维情况内积符号及表达式
离散 : x, y x i yi x T y
i 1 N
连续: x.y x ( t ) y( t )dt
e
jn1t
பைடு நூலகம்
n
21
*.信号的表示 1.规范量:用信号在其定义域内的总量来表示信号的 大小(Norm).
2.摸可积或摸可和
x ( t ) dt
或
n
x (n )
x (n )
3.信号的一阶规范量 x(t) x(t) x (n )
第六章 空间数据管理技术
GIS 空间信息 系统 地理信息系统（根据其服务对象）
专题信息系统 区域信息系统 栅格
信息系统
非 GIS（根据其使用的数据模型） 非空间信息系统（一般指管理信息系统） 图 3-2 信息系统分类
矢量 混合信息系统
空间信息系统特征
与一般的管理信息系统相比，空间信息系统具有以下 特征： （1）空间信息系统使用了空间数据与非空间数据，并通 过DBMS将两者联系在一起共同管理、分析和应用；而 MIS只有非空间数据库的管理，即使存贮了图形，也往往 以文件形式等机械形式存贮，不能进行有关空间数据的操 作，如空间查询、检索、相邻分析等，不能进行复杂的空 间分析。 （2）通过利用空间解析式模型来分析空间数据，空间信 息系统的成功应用依赖于空间分析模型的研究与设计。
3S技术与现代物流管理信息化
（一）3S技术与物流网络 完整的GIS物流分析软件集成了：车辆路线模型(地图)、最 短路径模型、网络物流模型、分配集合模型、设施定位模 型—解决物流网络布局与分析的问题； 屏幕—网点分布、周边企事业单位、居民结构等数据，配 送中心的覆盖范围、所覆盖的街道、单位名称等。可分析 增加、删除某一网点回影响到的用户，需增设的点选哪个 位置，这些分析会变得方便快捷。
第六章 空间数据管理技术
• • • • • 空间数据管理概述 地理信息系统 全球定位系统 移动通信定位系统 移动商务中物流定位的架构
6.1 空间数据管理概述
空间信息是有关空间实体的性质、特征和运 动状态的表征进行描述的数据，它是对表达空间 特征与空间现象之间关系的空间数据的解释。 空间信息包括空间位置（单个物体的定位信 息）、空间形态（物体的形状和结构）、空间分 布（群体空间对象的定位信息）、空间相关（空 间物体基于属性数据的关系）与空间关系等信息。 地理信息系统（GIS）、全球定位系统 （GPS）、空间决策支持系统（SDSS）等属于空 间信息技术的范畴。
信号空间分析
[例 1.4] 区间[a,b]上的连续函数的全体，对于通常意义的 函数加法和数乘函数，构成线性空间，记之为 C[a,b]。
[例 1.5] 实数域 R 上的多项式全体，按通常意义上的多 项式加法及数与多项式乘法，构成实线性空间，记为 P(t)。
注：（多项式定义）设 ai∈F，0≤i≤m，t 为变量，则 p(t)=a0tm+ a1tm-1 + …… +am-1t+am 称为 F 上的一个多项式。当 a0≠0 时， p(t)称为 m 次多项式，a0tm 称为 p(t)的首项。系数全为 0 的多 项式称为零多项式，记为 0。零多项式是唯一不定义次数的 多项式，它与零次多项式是不同的。
m
∑ kiαi = 0 。
i =1
若仅当 k1= k2=…= km=0 时上式才成立，则称此向量组是 线性无关的。
[推论 1.1] 当 m≥2 时，向量组{α1, α2,…, αm}线性相关的 充分必要条件是，其中至少有一个向量 αi (1≤i≤m)可由组中其 余向量线性表出。
[定义 1.5] 如果在线性空间 V 中能够找到无线多个线性 无关的向量，则称 V 为无限维的；而若在 V 中只能找到有限 多个线性无关的向量，则称 V 是有限维的，并且把最大线性 无关向量的个数称为 V 的维数，记为 dimV。dimV=n 的线性 空间称为 n 维线性空间，记为 Vn。
xi (1≤i≤n)称为 ξ 在下 β 的第 i 个坐标。
[例 1.6] 在 p2(t)中取基 β＝{1,t,t2}，则多项式 p(t)=2t2-t+2 在 β 下的坐标向量是[1 -1 2]T，因为
⎡1⎤ 2t2 − t +1 = 1 1+ (−1) • t + 2 • t2 = ⎡⎣1 t t2 ⎤⎦ ⎢⎢−1⎥⎥
《矢量分析》PPT课件
2021/5/28
3
第一章 矢量分析
2.电磁场与电磁波的概念
• 电场 • 磁场 • 电磁场 • 电磁波
2021/5/28
4
第一章 矢量分析
1.2 电磁波谱
1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在
目前人类通过各种方式已产生或观测到的电磁波的最低频率 为 f 2102H z，其波长为地球半径的 5103 倍，而
2021/5/28
33
第一章 矢量分析
6、高斯公式(散度定理)
dF iv lim 1 F d S
v 0 vs
dF i v vlim F d S v 0s
对于有限大体积v，可将其按 如图方式进展分割，对每一小体 积元有
dF i v v 1s1F d S 1
dF i v v 2s2F d S 2
2021/5/28
7
第一章 矢量分析
3.课程内容和章节安排
按教材顺序，课程包括11章。第一章矢量分 析，主要介绍矢量场的散度和旋度以及标量场 的梯度，介绍亥姆霍兹定理，是数学根底。第 二章电场、磁场与麦克斯韦方程，根本理论以 及推导出麦克斯韦方程组；第三章介质中的麦 克斯韦方程；其次第四章利用矢量位和标量位 求解位函数；第五章静态场的解，如何根据场 量的边界条件来求解场的分布；第六章自由空 间中的电磁波，研究波的方程以及波的极化。 第七章非导电介质中的电磁波，学习电磁波在 介质中传播特性。
5
第一章 矢量分析
注意 1. 由于辐射强度随频率的减小而急剧下降，因此波
长为几百千米〔105米〕的低频电磁波强度很弱，
通常不为人们注意。
2. 实际使用的无线电波是从波长约几千米〔频率为几百千赫
〕开场：
波长3000米－50米〔频率100千赫－6兆赫〕的属于中波段
信号空间分析
∑ kiαi = 0 。
i =1
若仅当 k1= k2=…= km=0 时上式才成立，则称此向量组是 线性无关的。
[推论 1.1] 当 m≥2 时，向量组{α1, α2,…, αm}线性相关的 充分必要条件是，其中至少有一个向量 αi (1≤i≤m)可由组中其 余向量线性表出。
[定义 1.5] 如果在线性空间 V 中能够找到无线多个线性 无关的向量，则称 V 为无限维的；而若在 V 中只能找到有限 多个线性无关的向量，则称 V 是有限维的，并且把最大线性 无关向量的个数称为 V 的维数，记为 dimV。dimV=n 的线性 空间称为 n 维线性空间，记为 Vn。
[定义 1.6] Vn 中给定顺序的 n 个线性无关向量 α1, α2,…,
第4页
αn 所组成的向量组称为 Vn 的一个基，记为 β＝{α1, α2,…, αn}。 Vn 中的向量 αi (1≤i≤n)称为第 i 个基向量。
[定理 1.1] 设 β 是 Vn 的一个基，则 Vn 中的任一向量 ξ 都 可由 β 唯一地线性表出。
|2
dt
。由该范
a
第8页
数的定义可知，||x||2 表示该信号的能量。
[定义 1.12] 定义在区间[a,b]上的实信号的全体构成的线
性空间 S 中，两信号 x(t)和 y(t)之间的距离定义为
∫ d[x(t), y(t)] = x − y =
b
|
x(t)
−
y(t)
|2
dt
a
1.8 标准正交基
[定义 1.13] 欧氏空间 V 中的两个向量 α，β 称为是正交 的，如果有〈α，β〉＝0，并记为 α⊥β。
第1页
①对任意 α、β∈V，有 α+β＝β+α； ②对任意 α、β、γ∈V，有(α+β)+γ＝α+(β+γ)； ③存在０∈V，使得对任意 α∈V，都有 α+０＝α，这个 元“０”称为 V 的零元； ④对任意 α∈V，存在－α∈V，使得 α+(－α)＝０，这个 元“－α”称为 V 的负元； ⑤对任意的 k∈F 和任意 α、β∈V，有 k(α+β)＝kα+kβ； ⑥对任意 α∈V 和任意的 k,l∈F，有(k+l)α=kα+lα； ⑦对任意 α∈V 和任意的 k,l∈F，有 k(lα)=(kl)α； ⑧F 中存在数 1,使得对任意 α∈V，有 1α＝α； 那么称 V 为 F 上的线性空间（或向量空间），记为 V(F)； V 中的元称为向量。定义的加法运算和数乘运算称为 V 的线 性运算。
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
第六章 信号的矢量空间分析
t2
t1
[ f ( t ) cr g r ( t )]2 d t
r 1
n
fe 误差信号能量 误差信号功率
2 2 2 2 令 0, 0,, 0,, 0可得c r 表达式 C1 C2 Cr Cn
理解
cr
t2
t1
f (t ) g r (t ) d t
V1 c12V2 Ve 误差矢量 c12V2 V1 cos(V1V2 ) V1 cos(V1V2 ) V1V2 cos(V1V2 ) V1 V2 c12 V2 V2V2 V2 V2
V1 V2 0
系数
§6.5 相关
一．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
瞬时功率为
i (t )
R
p( t ) i 2 ( t ) R
在一个周期内，R消耗的能量
E
T0 2 T0 2 T0 2 T0 2
v(t )
p( t ) d t R
i 2 (t ) d t 或
2离散时间信号空间中, 元素xn的p阶范数 x p的定义 l
x
p 1 p p x n n sup x n
1 p p
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
t2
t1
f 1 ( t ) f ( t )dt f 2 ( t ) f 1 ( t )dt 0
2 t1
t2
内，复变函数集 gr t r 1,2,, n满足关系 若在区间 t1 , t 2
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第
13 页
x, x y , y
对于二维矢量空间，已知有如下关系 x1 y1 x 2 y 2 x 2 y 2 cos1 2 即
x x, y
2
y
cos1 2
2
则有
2
1
x, y x
2
y
1
2
x, y
x, x y, y
1
所以
x, y
2
x, x y , y
2
3
0
t π sin t d t 3 3
3 2
O
3 t
f 1 t C 12 f 2 ( t )
3 t
π sin t d t 0 3
2 π
1
O 1 fe (t )
所以
2 π f1 ( t ) sin t π 3
( 0 t 3)
f e (t ) f1 (t ) c12 f 2 (t )
V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？ 误差矢量
c2V2
c12V2 c1V2
系数 两矢量正交
第
正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。 •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。 •一个三维空间矢量 V xi yj zh，必须用三个正交
17 页
§6.3 信号的正交函数分解
•矢量的正交分解 •正交函数 •正交函数集
•复变函数的正交特性
第
信号分解的目的
将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号
15 页
的特性。
简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。
一．矢量的正交分解
方式不是惟一的：
V1 Ve 2 Ve
第
16 页
Ve1
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数定义:
第
44 页
可以证明：
τ的偶函数
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数: 相关函数：
第
45 页
同时具有性质：
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数：
第
46 页
§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 •范数
•内积
•柯西－施瓦茨不等式
一．线性空间
定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:
第 4 页
二．范数
线性空间中元素 x的范数以符号 x 表示，满足以下公理 1 正定性 x 0,当且仅当x 0时 x 0；
r 1 t1 r 1 t1
t2
t2
信号的 能量
基底信号的 能量
各信号分量的 能量
物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。
6.6
§6.6 相关
•能量信号与功率信号 •相关系数与相关函数 •相关与卷积的比较 •相关定理
四．相关定理
若已知 则 若 则自相关函数为
第
50 页
第
于是
第
10 页
上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即
推广 三维 多维
第
11 页
信号空间 内的两连续信号的内积
对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式
第
12 页
证明柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式 x, y 证明:
t1
f ( t ) d t 2 c r c r g r ( t ) d t c
t2 2
g r (t ) d t
r 1 t1
2
t2
1
t2
t1
f (t ) g r (t ) d t c r g r (t ) d t
t1
2 r
r 1
t2
t1
g r2 ( t ) d t 0
O
3
t
三．正交函数集
任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：
原函数 近似函数
第
25 页
基底函数 r =0,1,2,...n
第
分解原则是误差函数方均值最小
26 页
第
理解
27 页
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
• 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 •正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该 函数集是正交函数。
第 5 页
2 正齐性 对所有数 量α , 有 αx α x； 3 三角形不等式 xy x y。
1 N p p xi x p def i 1 max xi 1 i N
对于1 p 对于p
自相关函数：
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数:
第
47 页
相关函数：
自相关函数：
三．相关与卷积的比较
与 卷积表达式：
第
48 页
与 两者的关系 即
相关函数表达式：
反褶与
之卷积即得
与
的相关函数
与
为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
第
说明
① ②
49 页
③ 相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步 骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。
2 2 f ( t ) f ( t ) d t 2 c f 1 2 t t 12 2 (t )dt 0 t2
1
t2
1
可得系数为
c12
t2
t1
f 1 (t ) f 2 (t ) d t
t2
t1
f 22 ( t ) d t
f1 ( t ), f 2 ( t ) c12 f 2 ( t ), f 2 ( t )
第
常用范数
6 页
第 7 页
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
可见，一阶范数表示信号作用的强度。
第 8 页
二阶范数
物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
第 9 页
利用范数符号，将矢量长度分别写作
t2
2
t2
t1
f ( t ) d t 2 c r g r ( t ) f ( t ) d t c
2 t2
因为 c r
2
t2
r 1
t1
r 1
2 r
t2
t1
g r2 ( t ) d t 0
t2 2
t1
f (t ) g r (t ) d t
t2 t1
代入
即
t2
(1)
(2)
(3)
第
20 页
先微分
再积分
d (1) f12 ( t ) 0 (因为f1 ( t )不含c12 ) d c12 d 2c12 f 1 (t ) f 2 (t ) 2 f 1 (t ) f 2 (t ) ( 2) d c12 d 2 ( 3) c12 f 22 ( t ) 2c12 f 22 ( t ) d c12
f t c12 sin t
2π
f t
4
1
o
为使方均误差最小， c12 应满足
c12
2π
π
t
0
f ( t ) sin t d t
2π
0
sin t d t
2
4 π
1 4
(a)
所以
4 f t sin t π 4 近似波形是振幅为 的正弦波, 如图虚线所示。 π
38 页
二．相关系数与相关函数
数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的 具体表现。 物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。
第
39 页
1．相关系数
由两个信号的内积所决定：
第
相关系数
40 页
此时，能量误差为
第
41 页
令相对能量误差为
其中
12称为f 1 t 与f 2 t 的相关系数。
第
例6-3-1
设矩形脉冲 f t 有如下定义
1
f t
21 页
1 f t 1
0 t π π t 2π
o
2
t
1
0,2 之间内近似表 波形如图 (a)，试用正弦波 sint在区间
示此函数，使方均误差 最小。
(a)
第
22 页
0,2 内近似为 函数f t 在区间
满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。
第
一般规律
一般周期信号为功率信号。 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非功率非能量信号;
37 页
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
第
例6-5-1