数学建模飞行计划
研究生数学建模竞赛F题 多约束条件下飞行器航迹快速规划
2019年第十六届中国研究生数学建模竞赛F题多约束条件下智能飞行器航迹快速规划复杂环境下航迹快速规划是智能飞行器控制的一个重要课题。
由于系统结构限制，这类飞行器的定位系统无法对自身进行精准定位，一旦定位误差积累到一定程度可能导致任务失败。
因此，在飞行过程中对定位误差进行校正是智能飞行器航迹规划中一项重要任务。
本题目研究智能飞行器在系统定位精度限制下的航迹快速规划问题。
假设飞行器的飞行区域如图1所示，出发点为A点，目的地为B点。
其航迹约束如下：(1)飞行器在空间飞行过程中需要实时定位，其定位误差包括垂直误差和水平误差。
飞行器每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加个专用单位,，以下简称单位。
到达终点时垂直误差和水平误差均应小于个单位，并且为简化问题，假设当垂直误差和水平误差均小于个单位时，飞行器仍能够按照规划路径飞行。
(2)飞行器在飞行过程中需要对定位误差进行校正。
飞行区域中存在一些安全位置（称之为校正点）可用于误差校正，当飞行器到达校正点即能够根据该位置的误差校正类型进行误差校正。
校正垂直和水平误差的位置可根据地形在航迹规划前确定（如图1为某条航迹的示意图, 黄色的点为水平误差校正点，蓝色的点为垂直误差校正点，出发点为A点，目的地为B点，黑色曲线代表一条航迹）。
可校正的飞行区域分布位置依赖于地形，无统一规律。
若垂直误差、水平误差都能得到及时校正，则飞行器可以按照预定航线飞行，通过若干个校正点进行误差校正后最终到达目的地。
图1：飞行器航迹规划区域示意图(3)在出发地A点，飞行器的垂直和水平误差均为0。
(4)飞行器在垂直误差校正点进行垂直误差校正后，其垂直误差将变为0，水平误差保持不变。
(5)飞行器在水平误差校正点进行水平误差校正后，其水平误差将变为0，垂直误差保持不变。
(6)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行垂直误差校正。
(7)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行水平误差校正。
飞行管理 数学建模
B 题：飞行管理问题摘要：飞行管理问题是一个既现实又重要的课题，本文利用偏转角度尽可能的小建立两个非线性规划模型。
模型一：时间模型。
考虑到各架飞机的偏转角有正有负，在此模型中，对于各架飞机调整选取各个偏转角的绝对值的和作为目标函数，要求任意两架飞机任意时刻的距离大于8公里，则可以求出任意两架飞机的距离ij d 。
此时，两架飞机距离ij d 是时间t 与各个飞机偏转角i θ∆的函数，编写程序时将t 离散化，且t 有最大值0.2828s （沿对角线飞过的时间），这样可得到表1-1的结果：表1-1模型二：闭塞区域模型。
在两架飞机中，将其中一架看成“静止”，另一架相对于它而运动。
而以“静止”飞机为圆心，km 8为半径的圆形区域构成该飞机的闭塞区域，任意一架飞机的方向角均不能在此区域内，则为不相撞。
为此，本文用复变函数的知识表示各架飞机的速度，从而算出相对速度，再求出相对位移，以相对速度与相对位移的夹角大于每两架飞机的临界夹角来刻画不相撞。
目标函数为每架飞机偏转角的平方和。
利用计算机编程得到表1-2的结果：表1-2对于上述两个非线性规划，在理论方面，本文利用SUTM 内点法（障碍函数法）进行算法描述，在操作方面，分别利用lingo 语言与MATLAB 语言直接编写程序进行计算关键词：非线性规划、复变函数、SUMT 内点法、闭塞区域、禁飞角一、问题重述1.背景知识与其他交通工具相比，飞机以其速度快、安全舒适等特点在交通领域占据了绝对地位。
而近年来飞机事故的频繁发生也预示着飞机存在一定的安全隐患。
经调查造成飞机相撞事故的原因主要是人、飞机（设备）、环境，而人的因素是事故中通常起主体作用的因素，直接影响事故的发生和结局。
飞机事故的发生难以预测且死亡率极高，所以航空安全机制的健全，航空人员素质的提高已变得刻不容缓。
2.问题重述在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
飞行管理数学建模
摘要近年来，随着现代航空运输不断发展，为了维护航空器的航空秩序，保证飞机飞行安全，对于同一区域的飞行管理问题提出了要求。
本文讨论了在一定区域范围内飞机飞行管理的最优化问题，通过建立数学模型计算求解，对飞机是否发生碰撞冲突进行预测，根据计算机求解结果对如何解脱冲突给出了较好的解决方法。
对于飞机是否发生碰撞冲突问题，本文提出了基于飞机位置速度矢量关系的碰撞冲突检测方案，证明了只有位置差与速度差矢量内积小于零，即0△△<∙ V P这样的航迹才存在潜在碰撞冲突,并根据安全飞行间隔规定,采用线性预测方法对冲突进行有效性确认,解决了飞机碰撞冲突检测的同时也避免了碰撞虚警问题。
在此基础上，对于存在潜在碰撞冲突的飞行问题，运用航向调整的方法解脱冲突，建立非线性数学模型∑=∆61mini iθ通过引入新的决策变量i m 、i n ，将原来的非线性模型转换成线性模型()∑=+=61min i n m i iij ij jj i i n m n m αβ>+-+-2ij ij jj i i n m n m απβ-<+-+-226/0pi m i << 6/0pi m j <<其中2i i i m θθ∆∆+=，2i i i n θθ∆∆-=。
再运用LINGO11编程求得该模型最优解为 3.6326，第3架飞机的调整角为 2.8419，第6架飞机（新进入的飞机）的调整角为 0.7907，其余飞机不进行调整，从而给出了冲突解决方案。
之后，本文对计算结果做出了分析和评价，同时还分析了滞后时间和转弯半径和限定在区域范围内对飞机航向调整的影响，使问题更符合实际情况。
在对模型进行评价与分析的同时，本文又对模型进行了推广，对速度不同、飞行高度不同的情况下进行了分析，并给出了合理的解释；增强了模型的实际应用意义。
关键词：飞行管理碰撞冲突线性规划一．问题重述本题主要分析了在同一高度，一定范围内的飞行管理问题。
16127-数学建模-培训课件-28无人机自主飞行规划问题1
无人机自主飞行规划问题摘要在军事科技不断发展的今天，无人机不但在执行作战，侦察与信息搜集，探测与攻击对方雷达等军事方面显得特别有利，而且其在飞机主体，发动机，燃料消耗，操作训练等方面也具有着得天独厚的优势。
然而无人机在战术运用中，为了尽量避开敌方雷达网和一些障碍物的不利影响而设计一条合理的航线都显得十分重要。
鉴于无人机执行任务航迹的特殊性质和最优规划处理，我们采用了二维的VORONOI图算法，在处理中只考虑雷达的影响，并将雷达看成一个质点。
通过利用软件matlab7.0将无人机飞行区域中的危险点的VORONOI图（见图1）画出来，找到了危险度最小的若干线路，并计算出每条路线的危险代价，再结合考虑每条路线的燃料代价，建立其综合代价评价模型，算出每一条线路的综合代价。
此时求出最合理的航迹转化为求图论中的最短路径问题，利用flord算法对模型进行求解最后得出了无人机在只考虑雷达威胁和燃料消耗情况下的合理航迹(见图2)。
对于第二问，考虑到要对无人机进行空间的三维规划，影响其航迹的因素增多了。
针对三维空间，利用DELAUNAY图将图形进行分化，找出无人机航迹的导航点。
综合雷达威胁代价和燃料消耗代价（飞机航迹的水平方向飞行燃料消耗量与路径成正比，竖直方向的燃料消耗量与升降破有关）建立起路径总指标模型，再根据图论中的flord算法，找出从目标点到目的地的最短路径。
（见图）。
最后本文对此模型的可行性进行了评价，基于VORONOI图对网络威胁进行了分析，利用flord算法找出了最短路径（见图);在三维建模的过程中，我们将雷达看为质点，只考虑了雷达与无人机距离的关系，忽略了其他因素的影响。
关键词：VORONOI图，flord算法，Delaunay图，无人机，威胁代价，燃料消耗代价一、问题重述无人机的发展至今已有70多年的历史，其军事应用主要是遂行各种侦察任务。
随着无人机平台技术和机载遥感技术的不断发展，它的军事应用范围已经并将继续扩展，如通信中继、军事测绘、电子对抗、信息攻击等。
民航飞行中的数学模型与计算
民航飞行中的数学模型与计算一、数学模型概述1.数学模型的定义与分类2.数学模型在民航飞行中的应用价值3.建立数学模型的基本步骤二、民航飞行基本概念1.飞行速度与飞行时间2.飞行高度与飞行距离3.飞机性能指标（如推力、阻力、燃油消耗等）三、民航飞行中的数学模型1.飞行轨迹模型–直线飞行模型–曲线飞行模型（如圆周飞行、螺旋飞行等）2.飞行性能模型–动力学模型（牛顿运动定律、空气动力学方程等）–燃油消耗模型（如Wright公式、燃油流量公式等）3.飞行环境模型–大气模型（如国际标准大气模型、局部大气模型等）–气象模型（如风速、风向、降水等）4.飞行安全模型–避障模型（如圆柱避障、多边形避障等）–飞行间隔模型（垂直间隔、水平间隔等）四、计算方法与技巧1.数学建模方法–假设与简化–参数估计与优化–模型验证与修正2.数值计算方法–欧拉法、龙格-库塔法等数值积分方法–蒙特卡洛模拟、有限元分析等数值模拟方法3.计算机编程与软件应用–编程语言（如MATLAB、Python、C++等）–专业软件（如Mathematica、ANSYS、FLUENT等）五、民航飞行中的实际应用1.航线规划与航班调度–最佳航线规划算法（如遗传算法、蚁群算法等）–航班调度优化模型（如时间窗口、飞机利用率等）2.飞行管理与导航–飞行管理计算机（FMC）及其算法–卫星导航系统（如GPS、GLONASS等）3.飞行仿真与训练–飞行仿真器（如Flight Simulator、X-Plane等）–飞行训练大纲与教学方法六、发展趋势与展望1.人工智能与机器学习在民航飞行中的应用2.大数据与云计算在民航飞行领域的应用3.绿色航空与可持续发展知识点：__________习题及方法：一、数学模型概述习题习题1：定义一个数学模型，并说明其应用于民航飞行中的价值。
答案：定义：数学模型是用来描述现实世界中的某个特定系统的数学关系和规律的抽象表示。
在民航飞行中，数学模型可以用来预测飞机的飞行性能、优化航线规划、提高飞行安全性等。
航空公司的最佳飞行数学模型
航空公司的最佳飞行方案摘要随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。
各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。
假设我们是某航空公司的策划者，根据给出的数据建立数学模型，综合评价各客机的性能，并制定最佳飞行方案。
对于问题一，我们运用层次分析法来构建数学模型。
我们先构建了性能评价层次结构模型，对各性能进行两两比较得到判断矩阵，并应用Matlab软件求解得到综合评价方程。
我们对该判断矩阵进行一致性检验，检验通过了。
通过该方程我们计算得到这17种客机的综合性能，对其分组，我们得出，型号为B747-100的客机综合性能最好，型号为MD-80，B737-300，DC-9-50，B737-100，F-100，DC-9-30，DC-9-10的客机综合性能最差，其余的性能适中。
对于问题二，我们采用线性规划法来建立模型。
建立目标函数，给出约束条件后，我们通过LINGO软件求解得到最佳飞行方案，即DC-10，1架，飞行航线4；B747-100，1架，飞行航线2；A300B4，2架，飞行航线2；B767-300，1架，飞行航线3；B757-200，1架，飞行航线5；MD-80，2架，飞行航线1,2；DC-9-30，2架，飞行航线4,5；B727-100，2架，飞行航线4,5，此时成本最低。
关键字：最佳飞行方案；层次分析法；线性规划法；综合性能；Matlab软件；LINGO软件1.问题重述1.1问题背景随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。
各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。
1.2问题提出随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。
各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。
表 1给出了目前在我国民航业运营的各种客机的性能参数，假设你现在是某航空公司的策划者。
请回答以下问题：1. 试根据表 1的数据综合评价各客机的性能。
2. 如果你的公司目前承担表 2中的运输计划，请制定满足旅客需求（方便快捷）同时又节约成本的最佳飞行方案（即在每条航线上布置何种客机、布置多少）。
航班计划的合理编排-数学建模竞赛优秀论文
湖南省首届研究生数学建模竞赛题目航班计划的合理编排摘要:本文从提高飞机利用率，降低运行成本，提高航空公司经济效益等角度出发，来研究航班计划的合理编排。
我们先后建立了，相关性分析模型，0-1整数规划模型，改进的0-1整数规划，鲁棒性评价模型等模型，并运用matlab，spss等相关软件对各模型进行求解，进而对题中各问题给出了相应的解答。
针对问题1，首先对附件1中的数据进行了检查，并合理地更改了一些不合理的数据，例如对附件1中餐食费为0的数据我们进行了合理的更改（见附录附表1）。
其次，为了找到影响航班收益的主要因素，我们求出了各航线的收益，建立了相关性分析模型，并给出了附件1中各因素与航班收益的相关系数。
通过对相关系数排序，我们找出了8各主要因素（见表1）。
同时基于这8个主要因素，我们对亏损航线提出了相应的整改措施。
针对问题2，首先根据问题中的假设条件，我们将求解航空公司收益最大化问题转化为了求解飞机利用率最高的问题。
为使飞机利用率最高，我们假设每架飞机每天的最大飞行时间为17.5小时，并针对西安、天津两个独立基地以及A320、E190两种机型分别建立了4个0-1整数规划模型，并将其转化为NP-hard 问题求解。
我们利用动态规划算法，通过matlab软件求解，计算出航空公司最少需要再去租4架A320机型和2架E190机型的飞机。
同时，我们还制定了下个月的航班计划（见附录附表1），并计算出公司的最大收益为4237.1万元。
针对问题3，在问题2的基础上，我们进一步考虑了飞机累计飞行130小时就必须在维修基地停场维修24小时的条件，进而建立了改进的0-1整数规划模型。
通过对模型进行求解，我们计算出在问题2的基础上至少需要增加A320机型和E190机型的飞机各2架，同时列出了一份各飞机停场排班表（见表11-14）。
针对问题4，首先给出了评价航班计划“鲁棒性”的评判标准。
基于该评判标准，我们对问题2中制定的航班计划的“鲁棒性”进行了评价。
飞行问题
三、基本假设:1、飞机数量限制,4个月中执行飞行任务的飞机分别为100,150,150,200架，但只有80,120,120,160架能够返回供下个月使用。
2、飞行员数量限制,4个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为300,450,450,600人，但只有240,360，360,480人能够返回(下个月一定休假)。
3、如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练，则应将教练与新飞行员分开。
4、休假后的飞行员不仅能再投入飞行，也能充当教练。
四、符号说明:x1,x2,x3,x4分别为4个月开始时甲方新购买的飞机数量；y1,y2,y3,y4分别为闲置的飞机数量；u1,u2,u3,u4分别为4个月中飞行员中教练和新飞行员数量；v1,v2,v3,v4分别为闲置的的熟练飞行员数量；w1,w2,w3,w4分别为新飞行员数量。
五、模型的建立及求解决策变量设4个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为x1,x2,x3,x4架,闲置的飞机数量分别为y1,y2,y3,y4架。
4个月中,飞行员中教练和新飞行员数量分别为u1,u2,u3,u4人,闲置的的熟练飞行员数量分别为v1,v2,v3,v4人。
优化建模目标函数优化目标是,Min 200x1+195x2 +190x3+185x4+10u1+9.9u2+9.8u3+9.7u4+7v1+6.9v2+6.8v3+6.7v4约束条件需要考虑的约束包括：1）飞机数量限制,4个月中执行飞行任务的飞机分别为100,150,150,200架，但只有80,120,120,160架能够返回供下个月使用。
第1个月,100+y1=110第2个月,150+y2=80+ y1+ x1第3个月,150+y3=120+ y2+ x2第4个月,200+y4=120+ y3+ x3优化建模2）飞行员数量限制,4个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为300,450,450,600人，但只有240,360，360,480人能够返回(下个月一定休假)。
飞行管理问题-数学建模
d ( xi x ) ( y y ) 2
0 0 2 j i j
0
0
不碰撞的条件(在区域内)
r
满足
2 ij
(t ) 64
t在区域内时间
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 ij
(t ) 64 0
即为碰撞时时间
令 c=d-64
条件为:
b 2 4ac 0 b b 4ac tij 2a
另外的非线性规 划模型
min Z s.t. ij ij ij ij i j 2
i i 30
0
0 0 30 0
通过条件简化最终化为线性规划模型
另类非线性规 划模型
min f ( i i 0 ) 2 s.t. 或 minD 2 ( i , j ) 64 t 0
非线性规划化为线性规划
确定ij 8 8 ij [ij arcs in , ij arcs in ] d ij d ij i j (i j ) 2 2 i j ij (i j ) 2 2 无方向（i j）
关于目标函数的讨论 第一种目标函数 第二种目标函数
sign i min i 1 且 i min
jJ 6
i min
jJ
第三种目标函数 第四种目标函数
1 i 6
max i min
i2 min
i 1
6
约束条件思考
约束条件
非线性规划化为线性规划图示
2
(i, j 1,2,...,6, i j), t 0 y ijSij x ijC ij C ij Sij
飞行管理问题-数学建模
关键量
建模
(
xi
(t
),
y i
(t
))
-----------------------时刻t第i架飞机的坐标
0 i
-----------------------第i架飞机的方向角
i
------------------------第i架飞机的方向角的调整
r (t) ij
------------时刻t第i架飞机与第j架飞机的距离
•飞机位置、飞机方向记录数据：
飞机编号 1 2 3 4 5
新进入
横坐标X 150 85 150 145 130 0
纵坐标Y 140 85 155 50 150 0
方向角(度) 243 236 220.5 159 230 52
摘要
从形式上看，该问题属于最优控制问题，若考虑6架飞 机，该问题便有六个可控制对象，相当复杂。基于此， 首先对问题进行一些必要的简化，然后从不同的侧重 角度，讨论并确定了目标函数和约束条件，建立了非 线性模型；在具体计算中，根据计算的需要，将非线 性模型化为了线性模型，再选用合适的初始解，利用 分枝定界法的思想最终得到解。在问题的最后，还考 虑了利用逐步逼近搜索方法、能量梯度求解法及球状 模型求解法等其它方法对该问题的解决进行了讨论。
hi (X) (Ci,i0 c osi0 )2 (Si,i0 sin i0 )2 1
第一种解法的补充：
1995年全国大学生数学建 模竞赛A题
飞行管理问题
一个飞行管理问题
在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平 飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞 行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达边界区域边缘时, 记录其数据后,要立 即 计算并判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞 ,则应计算如何 调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞.现假设条件如下:
基于线性规划的空中加油飞行计划
基于线性规划的空中加油飞行计划空中加油是一种重要的空军战术技术，其主要用途是延长军用飞机的飞行时间和作战半径。
在现代作战环境中，空中加油飞行计划是极为重要的，可以有效地提高军用飞机的战术灵活性和作战能力。
本文基于线性规划的空中加油飞行计划，将对如何最大化飞机的飞行时间和作战半径进行分析和优化。
一、问题描述设有一支由n架军用飞机组成的航空编队，每架飞机的飞行距离和燃油消耗率均已知。
编队需要在一个特定的作战区域执行作战任务，但是由于飞机的燃油有限，因此需要在空中进行加油。
假设有m架加油飞机可供使用，每架加油飞机的加油速率和可加油量均已知。
现在的问题是如何设计最佳的空中加油飞行计划，使得整个编队的飞行时间和作战半径都能够得到最大化。
二、数学建模假设Pi表示第i架飞机的飞行距离，Ci表示第i架飞机的燃油消耗率，Vi表示第i架飞机的巡航速度，Ti表示第i架飞机的飞行时间，Fi表示第i架飞机的燃油容量，J表示加油飞机，k表示第k架加油飞机，Rk表示第k架加油飞机的加油速率，Gk表示第k架加油飞机的可加油量。
根据上述变量和参数的定义，可以得到以下的数学模型：目标函数：Max ΣTi约束条件：1. 飞机i的飞行距离Pi不得超过其燃油容量Fi；2. 飞机i的飞行时间Ti为Pi/Vi；3. 飞机i需要的燃油量为Ci*Ti；4. 加油飞机k的加油时间为Gk；5. 所有飞机的燃油消耗不得超过其燃油容量；6. 加油飞机的加油总时间不得超过整个任务执行时间。
三、求解方法对于上述数学模型，可以采用线性规划方法进行求解。
线性规划是一种常用的数学优化方法，可用于解决多种优化问题。
在本文中，线性规划方法可以很好地解决空中加油飞行计划的优化问题，并得到最佳的飞行时间和作战半径。
四、实例分析假设有一支由4架军用飞机组成的航空编队，飞机的飞行距离和燃油消耗率如下表所示：飞机i 飞行距离Pi（km）燃油消耗率Ci（L/min）1 1000 102 1200 123 800 84 1500 15加油飞机的加油速率和可加油量如下表所示：根据上述参数，可以建立线性规划模型，求解得到最佳的空中加油飞行计划，从而最大化整个编队的飞行时间和作战半径。
数学建模报告飞行问题
数学建模报告飞⾏问题《数学建模》课程设计报告课题名称：___飞⾏管理问题系（院）：理学院专业：数学与应⽤数学班级：10122111学⽣姓名：邵仁和学号：1012211122指导教师：陈宏宇开课时间：2011-2012 学年⼆学期飞⾏管理问题的优化模型摘要为了避免较多飞机在区域内会发⽣碰撞，让飞机在某正⽅形区域内安全飞⾏，便于进⾏飞⾏管理，所以在飞机飞⾏过程中，要适当调整各架飞机的⽅向⾓（调整幅度尽量⼩），所以这是个优化问题。
本⽂我们根据题⽬所给的数据，利⽤matlab软件绘制出飞机的位置图标及飞⾏路径，并利⽤lingo软件找出了碰撞发⽣的飞机、碰撞发⽣的点和时间。
同时再寻找判断两架飞机是否会相撞的⽅法，我们发现可以在飞机飞出区域之前每隔⼀段较短的时间对飞机进⾏监控，看是否与别的飞机相撞。
然后，我们根据问题讨论了飞⾏⽅向⾓的调整时间和次数对最优解的影响，发现调整时间越早，调整⾓度就越⼩，所以我们决定在第六架飞机刚飞到区域边缘的时候就进⾏飞⾏⾓度的调整，并且达到了优化⽬标：∑=?=61|)( |miniia。
由题意，我们找到约束条件，然后把这些约束条件在lingo中⽤语⾔描述出来，再针对运算⽅⾯进⾏改进，得到我们的lingo程序，运⾏后我们得到了飞机调整的飞⾏⽅向⾓和⽅案。
关键词：简化，最⼩调整幅度，最优⼀、问题重述6. 飞⾏管理问题(优化模型)在约10000⽶⾼空的某边长160km的正⽅形区域内,经常有若⼲架飞机作⽔平飞⾏.区域内飞⾏的每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进⾏飞⾏管理.当⼀架欲进⼊该区域的飞机到达区域的边界时,记录其数据后,须⽴即判断是否将与区域内的飞机相碰撞.若可能发⽣碰撞,则应计算如何调整各架飞机的飞⾏的⽅向⾓，以避免碰撞。
作如下假设:(1)任意两架飞机的安全飞⾏距离为8公⾥;(2)所有飞机的飞⾏速度为800公⾥/⼩时;(3)进⼊该区域的飞机在到达区域边界时,与区域内的飞机的距离应在60公⾥以上;(4)最多考虑6架飞机;(5)不必考虑飞机离开此区域后的情况.请你对这个避免碰撞的飞⾏管理问题建⽴数学模型，列出计算步骤，对以下数据进⾏计算（⽅向⾓误差不超过0.01），要求飞机飞⾏⽅向⾓调整的幅度尽量⼩。
数学建模-最优飞行计划
1110100420 徐杰伊电气学院最优飞行计划模型摘要：以某次战争中甲方四个月内的物资供给为背景，经过简化提出了安排飞行计划的一些问题，利用优化方法建立数学模型，并根据模型求解结果给出了物资供给的最优飞行方案。
关键词：飞行计划；线性规划；1 问题提出：在甲乙双方的一场战争中，部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，乙方封锁了所有水陆交通通道，因此被包围的甲方只能依靠空中交通维持补给，运送4个月的供给依此分别需要2次、3次、3次、4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成，每架飞机都需要3名飞行员，每架飞机每月只能飞行一次，每名飞行员每月也只能飞行一次，每次执行完运输飞行任务后的返回途中有20%的飞机被乙方部队击落，导致机上的飞行员也牺牲或失踪。
在第一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查磨合后才可以投入使用，新飞行员也必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能成为熟练飞行员而投入飞行（作为教练的熟练飞行员本月不能参与飞行任务），每名熟练飞行员作为教练每月指导20名飞行员（包括自己在内）进行训练，每名飞行员在完成本月的飞行任务后必须有一个月的带薪休假，然后返回待命可再次投入飞行，已知各项费用平均单价如下表所示（单位：千元）。
第一个月第二个月第三个月第四个月新飞机价格200 195 190 185闲置的熟练飞行员报酬7 6.9 6.8 6.7教练及飞行员报酬和训练10 9.9 9.8 9.7费用9 8.9 9.8 9.7执行飞行任务的飞行员报酬休假期的飞行员报酬 5 4.9 4.8 4.7 （1）为甲方安排一个总费用最小的飞行计划。
（2）如果每名熟练飞行员作为教练每月指导不超过20名飞行员（包括自己在内）进行训练，相应的模型和安排将会发生怎样的改变？2 问题的分析首先，根据题意，我们对完成每个月的飞行任务所需的飞行员人数和飞机数列表如下：其次，因为在四个月中执行任务的飞行员和带薪休假的飞行员的总花费是个定值，故在决定最优飞行计划时可以不考虑。
数学建模论文_无人机自主飞行航迹规划问题
题目无人机自主飞行航迹规划问题摘要本文分别研究了基于二维平面和三维空间的最优航迹规划问题。
对于第一问，我们在忽略地形和无人机操作性能等因素影响的基础上，将影响无人机飞行的“敌方雷达威胁”和“飞行燃油代价”两个因素进行了量化处理，建立了雷达威胁模型和燃油代价模型，并在这两个模型的基础上建立了基于二维平面的最优航迹规划模型。
在求解该模型时，我们依据图论中的相关理论，将二维平面划分成了若干网格，然后使用Dijkstra算法来求最优航迹。
对于第二问，我们在第一问的模型的基础上，同时考虑了地形因素和无人机的操作性能（主要是拐弯），增加了“无人机飞行高度代价”和“无人机操作性能”两个指标，并对其进行了量化处理。
同时，我们对雷达威胁模型进行了适当的简化，建立了一个较复杂的、基于三维空间的最优航迹规划模型。
在求解该模型时，我们将三维空间划分为若干个小方块，在“无人机操作性能”作为补充约束条件的基础上，采用蚁群算法，得到了最优航迹。
在建立以上两个模型的基础上，我们对每个模型的可行性分别进行了分析。
由于规划的约束条件众多而且模糊性大、研究的各因素之间的相互联系及不同种类无人机的控制方式和任务情况各异，因而模型存在着一定的缺陷。
我们用MATLAB对建立的两个模型进行了仿真，分别得到了基于二维平面的最优航迹和基于三维空间最优航迹。
此外，我们分析了所建模型的优缺点，并对模型的完善进行了进一步的探索。
关键词：最优航迹Dijkstra算法蚁群算法 MATLAB仿真目录1. 问题的重述------------------------------------------------------------------------------------22. 问题的分析------------------------------------------------------------------------------------23. 模型假设----------------------------------------------------------------------------------------34. 符号说明----------------------------------------------------------------------------------------35. 模型的建立-------------------------------------------------------------------------------------35.1问题一模型的分析、建立与求解-----------------------------------------------------35.2问题二模型的分析、建立与求解-----------------------------------------------------66. 模型的可行性分析与仿真-------------------------------------------------------------------96.1模型的可行性分析-----------------------------------------------------------------------96.2模型的仿真-------------------------------------------------------------------------------107. 模型的评价、改进及推广-------------------------------------------------------------------128. 参考文献----------------------------------------------------------------------------------------149. 附录----------------------------------------------------------------------------------------------15一、问题的重述无人机的发展至今已有70多年的历史，其军事应用主要是执行各种侦察任务。
数学建模飞行计划
数学建模飞行计划 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】问题在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。
由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。
运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员)，可以运送10万t物资。
每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。
在执行完运输任务后的返回途中有20％的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。
在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。
在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。
新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。
每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进行训练。
每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。
已知各项费用(单位略去)如下表所示，请为甲方安排一个飞行计划。
问题分析分析题目由于四个月的新飞机价格逐渐降低，为减少费用每个月只购买下个月所需的新飞机，新飞行员下个月全部投入使用，新飞行员是教练数量的19倍。
每月参与飞行任务的飞机数量依次为100，150，150，200架，这些飞机最后能返回甲方，参与下个月的飞行任务的数量依次为80，120，120。
每月参与飞行任务的飞行员数量依次为300，450，450，600人，这些飞行员最后能返回甲方的人数依次为240，360，360。
模型建立设x1,x2,x3,x4分别为4个月开始时甲方新购买的飞机数量；y1,y2,y3,y4分别为4个月闲置的飞机数量；j1,j2,j3,j4分别为4个月中飞行员中教练数量；f1,f2,f3,f4分别为4个月新飞行员数量；a1,a2,a3,a4分别为闲置的的熟练飞行员数量；总费用为s。
飞行计划问题
飞行计划问题摘要本文针对飞行经费问题，通过对被困甲方飞机，飞行员以及飞行时间进行优化配置的分析，给出了关于飞行计划问题及资源优化配置等问题的一个数学模型。
甲方新招聘飞行员和新购买的飞机飞行可用线性规划的方法实现，求解目标为在满足供给的前提下，使总的费用最低的最优解。
总费用为购买新飞机的花费、闲置的熟练飞行员报酬、教练和飞行员报酬（包括培训费用）、执行飞行任务的熟练飞行员报酬、休假期间的熟练飞行员报酬之和。
对于这一类约束最优解的模型，首先，我们可以根据题目给出的要求写出对应的目标函数，其次再根据题目中的约束条件建立相应的约束函数，最后用matlab软件输入相应的代码，求出约束条件下目标函数的最优解。
关键词：飞行员数量飞机数量教练数目约束最优化模型费用最低一、问题提出在甲、已双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围，需坚守长达4个月。
由于乙方封锁了所有水、陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。
运送4个月的供给分别需要2，3，3，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员），可以运送10万吨物资。
每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。
在执行完运输任务后的返回途中有20%的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。
在第一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。
在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。
新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。
每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员（包括他自己在内）进行训练。
每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。
已知各项费用（单位略去）如下表所示，请为甲方安排一个飞行计划，使得所需要的费用最低。
模型分析有题目的条件知，飞行计划的新购飞机与新招聘的飞行员的可以分开计算，只要二者各自所需的费用都达到最低时，甲方的飞行计划所需的总的费用即为最低。
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j2=19f2
jJ3=19f3
j4=19f4
且所有变量都为整数。
第二问
问题分析
这一问其实只改变了一个条件就是教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练，这样教练与新飞行员的总报酬就可能会改变；只需把上一问中的约束条件中教练与新飞行员数量的约束关系改变即可。
模型建立
设
x1,x2,x3,x4分别为4个月开始时甲方新购买的飞机数量；
约束条件
飞机：
100+y1=110
150+y2=80+ y1+ x1
150+y3=120+ y2+ x2
200+y4=120+ y3+ x3
飞行员：
300 +j1+a1=330
450 +j2+a2=f1+a1
450 +j3+a3=f2+a2+240
600 +j4+a4=f3+a3+360
教练与新飞行员：
问题
在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员)，可以运送10万t物资。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有20％的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用(单位略去)如下表所示，请为甲方安排一个飞行计划。
j1≥19f1
j2≥19f2
j3≥19f3
j4≥19f4
且所有变量都为整数。
y1,y2,y3,y4分别为4个月闲置的飞机数量；
j1,j2,j3,j4分别为4个月中飞行员中教练数量；
f1,f2,f3,f4分别为4个月新飞行员数量；
a1,a2,a3,a4分别为闲置的的熟练飞行员数量；
总费用为s。
可列出关系
S=200x1+195x2+190x3+185x4+10j1++++10j1++++9*300+*450+*450+*600+5a1+++
模型建立
设
x1,x2,x3,x4分别为4个月开始时甲方新购买的飞机数量；
y1,y2,y3,y4分别为4个月闲置的飞机数量；
j1,j2,j3,j4分别为4个月中飞行员中教练数量；
f1,f2,f3,f4分别为4个月新飞行员数量；
a1,a2,a3,a4分别为闲置的的熟练飞行员数量；
总费用为s。
可列出关系
S=200x1+195x2+190x3+185x4+10j1++++10j1++++9*300+*450+*450+*600+5a1+++
约束条件
飞机：
1பைடு நூலகம்0+y1=110
150+y2=80+ y1+ x1
150+y3=120+ y2+ x2
200+y4=120+ y3+ x3
飞行员：
300 +j1+a1=330
450 +j2+a2=f1+a1
450 +j3+a3=f2+a2+240
600 +j4+a4=f3+a3+360
教练与新飞行员：
时间
第1个月
第2个月
第3个月
第4个月
新飞机价格
闲置的熟练飞行员报酬
教练和飞行员报酬（包括培训费用）
执行飞行任务的熟练飞行员报酬
休假期间的熟练飞行员报酬
问题分析
分析题目由于四个月的新飞机价格逐渐降低，为减少费用每个月只购买下个月所需的新飞机，新飞行员下个月全部投入使用，新飞行员是教练数量的19倍。每月参与飞行任务的飞机数量依次为100，150，150，200架，这些飞机最后能返回甲方，参与下个月的飞行任务的数量依次为80，120，120。每月参与飞行任务的飞行员数量依次为300，450，450，600人，这些飞行员最后能返回甲方的人数依次为240，360，360。