[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷278.doc

合集下载

数学一考研模拟试题及答案

数学一考研模拟试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，满足f(-x) = f(x)的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 设函数f(x)在点x=a处连续，且lim (x→a) [f(x) - f(a)]/(x-a) = L，那么f'(a) = （）A. LB. 0C. 不存在D. 13. 曲线y = x^2 在点(1,1)处的切线斜率为（）A. 1B. 2C. 4D. 04. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k) = e^(-λ) *λ^k / k!，k=0,1,2,...，则E(X)等于（）A. λB. λ^2C. kD. e^λ5. 以下哪个数列是发散的？（）A. 1, 1/2, 1/3, ...B. 1, 2, 4, 8, ...C. 1, 0, 1, 0, ...D. -1, 1, -1, 1, ...6. 设A和B是两个n阶方阵，|A| = 2，|B| = 3，则|AB| = （）A. 6B. 5C. 1D. 无法确定7. 以下哪个选项是正确的？（）A. ∫(0 to 1) x^2 dx = 1/3B. ∫(0 to 1) x^2 dx = 1/2C. ∫(0 to 1) x^2 dx = 2/3D. ∫(0 to 1) x^2 dx = 3/28. 设函数f(x)在区间[a,b]上可积，且f(x) ≥ 0，则（）A. ∫(a to b) f(x) dx ≥ 0B. ∫(a to b) f(x) dx > 0C. ∫(a to b) f(x) dx = 0D. 无法确定9. 以下哪个级数是收敛的？（）A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...10. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a) = 2，则曲线y = f(x)在点(x=a, y=f(a))处的切线方程为（）A. y = 2x - aB. y = 2x - 2aC. y = 2x + f(a)D. y = 2x - f(a)/2二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在点x=1处取得极小值，则f'(1) = ____。

[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷26.doc

[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷26一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设场A＝{x3＋2y，y3＋2z，z3＋2x}，曲面S：x2＋y2＋z2＝2z内侧，则场A穿过曲面指定侧的通量为( )．（A）32π（B）一32π（C）（D）2（A）｜r｜＜1（B）｜r｜＞1（C）｜r｜＝一1（D）r＝134 设幂级数在x＝6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为( )．（A）2（B）4（C）（D）无法确定5二、填空题67 ＝_________，其中L：(x2＋y2)2＝a2(x2一y2)(a＞0)．8 设向量场A＝2x3yzj—x2y2zj—x2yz2k，则其散度divA在点M(1，1，2)沿方向l＝{2，2，一1}的方向导数＝__________．9 设L是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段y＝x(2一x)，则＝__________。

10 设f(u)连续可导，且，L为半圆周，起点为原点，终点为B(2，0)，则＝__________.11 ＝__________。

12 ＝__________。

1314 设级数条件收敛，则p的取值范围是_________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 设f(x，y，z)连续，∑为曲面2z＝x2＋y2位于z＝2与z＝8之间部分的上侧，计算[yf(x，y，z)＋x]dydz＋[xf(x，y，z)＋y]dzdx＋[2xyf(x，y，z)＋z]dzdy.16 设＋xcosydy＝t2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求f(x，y)．17 设L为曲线｜x｜＋｜y｜＝1的逆时针方向，计算18 位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为(其中常数k＞0，且r＝｜AM｜)，质点M沿曲线L：自点B(2，0)到点(0，0)，求质点A对质点M所做的功．19 在变力F＝{yz，xz，xy)的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点M(ξ，η，ζ)，问ξ，η，ζ取何值时，F所做的功最大?求最大的功．20 质点P沿以AB为直径的半圆从点A(1，2)到点B(3，4)运动，受力F的作用，力的大小等于｜OP｜，方向垂直于线段OP且与y轴的夹角为锐角，求力F所做的功．21 设f(x)二阶连续可导，且曲线积分与路径无关，求f(x)．22 计算，其中S为圆柱x2＋y2＝a2(a＞0)位于z＝一a与z＝a之间的部分。

考研《数学一》模考试题+解析

一、选择题：（1）〜（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.设f（x）的导函数为222)1(1x x +-，则f（x）的一个原函数是（）。

A.x arctan 1+B.xarctan 1-C.)1ln(2112x ++D.)1ln(2112x +-2.设二维随机变量（X，Y）的分布函数为的值依次为和则常数πB A yB x A y x F 2arctan )(arctan 2(),(++=（）。

A.π和π22B.41π和πC.212π和πD.21π和π3.设向量组（Ⅰ）β1，β2，…，βt，（Ⅱ）α1，α2，…，αs，则下列命题：①若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且s＜t，则必有（Ⅰ）线性相关，②若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，且s＜t，则必有（Ⅰ）线性相关，③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且（Ⅰ）线性无关，则必有s≥t，④若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，且（Ⅰ）线性无关，则必有s≥t，正确的是（）。

A.①④B.①③C.②③D.②④4.设当x→0时，tdt x x x x x x x xsin )(,11)(,sin tan )(cos 1022⎰-=--+=-=γβα都是无穷小，将它们关于x 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（）。

A.)(x α，)(x β，)(x γB.)(x α，)(x γ，)(x β考研《数学一》模考试题＋解析C.)(x γ，)(x α，)(x βD.)(x β，)(x α，)(x γ5.设矩阵).(3E)-A r )r ,~,220210000300000=+--=（（则矩阵E A B A B A.6B.7C.5D.46.设处则在a x a x a f x f ax =-=--→,1)()()(lim2（）。

A.0)()(≠'=a f a x x f 处可导且在B.的极大值（为))(x f a fC.的极值（不是))(x f a fD.处不可导在a x x f =)(7.设⎰=40sin ln πxdx I ，⎰=40cot ln πxdx J ，⎰=40cos ln πxdx K ，则I，J，K 的大小关系为（）。

考研数学一(选择题)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（选择题）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜α1，α2，β2，α3｜＝n，则4阶行列式｜α3，α2，α1，β1，β2｜等于( )A．m＋nB．－(m＋n)C．n－mD．m－n正确答案：C解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得｜α3，α2，α1，(β1＋β2)｜＝｜α3，α2，α1，β1｜＋｜α3，α2，α1，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜α1，α2，β2，α3｜＝n－m 所以应选C．知识模块：行列式2．设有向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B 涉及知识点：向量3．极限( )．A．等于1B．为∞C．不存在但不是∞D．等于0正确答案：C解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选(C)．知识模块：高等数学4．原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+|2|=0对称的点为A．(12，8，3)．B．(一4，1，3)C．(2，4，8)．D．(一12，一4，18)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学5．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( ) A．不可导。

B．可导且f’(0)≠0。

C．取得极大值。

D．取得极小值。

正确答案：D解析：当x→0时，1-cosx～x2，故极限条件等价于=2。

从而可取f(x)=x2，显然满足题设条件。

而f(x)=x2在x=0处取得极小值，故选D。

知识模块：高等数学6．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0两端左乘矩阵A，得k1α1+k2α2+…+ks αs=0因k1，k2，…，ks不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数7．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s．又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ)＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D．知识模块：向量8．设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=z(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D 涉及知识点：综合9．已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1＝α1＋α3＋α4，β2＝α2－α4，β3＝α3＋α4，β4＝α2＋α3，β5＝2α1＋α2＋α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)＝( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)＝(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C．因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A＝(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)＝r(AC)＝r(AC)＝r(β1，β2，β3，β4，β5) 故知r(β1，β2，β3，β4，β5)＝r(C)＝3，因此应选C．知识模块：向量10．曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长的( )A．1倍．B．2倍．C．3倍．D．4倍．正确答案：A解析：设s1为曲线y=sinx的一个周期的弧长，s2为椭圆2x2+y2=2的周长，由弧长计算公式，有将椭圆2x2+y2=2化为参数方程则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，有从而s1=s2. 知识模块：高等数学11．设f(x)=，F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，则( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：当0≤x≤1时，F(x)=∫0xt2dt=；当1＜x≤2时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫01t2dt＋∫1x(2－t)dt=，选(B)．知识模块：高等数学12．已知且a与b不平行，则以OA和OB为邻边的平行四边形OACB的对角线OC上的一个单位向量为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由向量加法运算的几何意义，以a，b为邻边的平行四边形对应的对角线向量为a+b，故它的单位向量为应选A．知识模块：向量代数与空间解析几何13．设级数收敛，则必收敛的级数为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为级数收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数收敛，故选D。

[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷116.doc

[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷116一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设A为3阶非零矩阵，且A2＝0，则A的线性无关的特征向量的个数为（A）0个．（B）1个．（C）2个．（D）3个．2 已知A是3阶矩阵，α1，α2是A的两个线性无关的特征向量，特征值都是2，α3也是A的特征向量，特征值是6．记①P＝(α2，－α1，α3)．②P＝(3α3，α2，α1)．③P＝(α1，α1－α2，α3)．④P＝(α1，α2＋α3，α3)．则满足P-1AP＝的是（A）①，④．（B）①，③．（C）②，③．（D）②，④．二、填空题3 已知A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝_______．4 设n阶矩阵A的各行元素之和均等于2，且满足A2＋kA＋6E＝0，其中E为n阶单位矩阵，则参数k＝_______．5 设A是3阶矩阵，向量α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，0，1)T，β＝(－1，2，－2)T．已知λ＝2是矩阵A的一个特征值，α1，α2是A的属于λ＝2的特征向量，则Aβ＝_______．6 已知矩阵A第一行3个元素分别是3，－1，－2，又α1＝(1，1，1)T，α2＝(1，2，0)T，α3＝(1，0，1)T是矩阵A的三个特征向量，则矩阵A＝_______．7 设二次型4χ22－3χ32＋2aχ1χ2－4χ1χ3＋8χ2χ3经正交变换化为标准形y12＋6y22＋by32，则a＝_______．8 若f(χ1，χ2，χ3)＝(aχ1＋2χ2－3χ3)2＋(χ2－2χ3)2＋(χ1＋aχ2－χ3)2是正定二次型，则a 的取值范围是_______．9 已知α1＝(1，1，1)T，α2＝(1，2，4)T，α3＝(1，－1，1)T是3维空间的一组基，则β＝(1，3，9)T在基α1，α2，α3下的坐标是_______．10 已知α1＝(1，1，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(0，0，1)T与β1＝(1，0，－1)T，β2＝(1，1，0)T，β3＝(0，－1，1)T是3维空间的两组基，那么坐标变换公式为_______．11 已知α1＝(1，1，1)T，α2＝(1，0，－1)T，α3＝(1，0，1)T与β1＝(1，2，1)T，β2＝(3，3，3)T，β3＝(2，4，3)T是R3的两组基，那么在这两组基下有相同坐标的向量是_______．12 已知A＝，则A的解空间的规范正交基是_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一-278_真题-无答案

考研数学一-278(总分100,考试时间90分钟)选择题1. 假设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数f(x)=af。

(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正态分布N(O，σ2)的密度函数，f2(x)是参数为λ的指数分布的密度函数，已知，则A．a=1，b=0．B．C．D．2. 设随机变量X的分布函数为F(x)A．当x＜a时F(x)=0，则F(a)=0．B．当x>a时F(x)=1，则F(a)=1．C．当时，则D．当时，则3. 设随机变量Xi的分布函数为Fi(x)，概率密度函数为fi(x)，(i=1，2)．对任意常数a，(0＜a＜1)A. F2(x)+a[F2(x)-F1(x)]也是分布函数．B. aF1(x)F2(x)也是分布函数．C. f2(x)+a[f1(x)-f2(x)]也是概率密度函数．D. f1(x)f2(x)也是概率密度函数．4. 已知随机变量X1与X2具有相同的分布函数F(x)，设X=X1+X2的分布函A. G(2x)=2F(x)．B. G(2x)=F(x)·F(x)．C. G(2x)≤2F(x)．D. G(2x)≥2F(x)．5. 设随机变量X服从正态分布N((1，σ2)，其分布函数为F(x)，则对任意实数x，有A. F(x)+F(-x)=1．B. F(1+x)+F(1-x)=1．C. F(1+x)+F(x-1)=1．D. F(1-x)+F(x-1)=1．6. 设随机变量X的分布函数为F(x)，则可以作出分布函数A.F(ax)．**(x2+1)．**(x3-1)**(|x|)7. 设随机变量X的概率密度为f(x)，则可以作出密度函数A.f(2x)．**(2-x)．**(x)．**(x2)．8. 假设随机变量X的密度函数如果常数k使P{X＞k}=P{X＜k}，则k的取值范围是A. (-∞，-2]．B. [-1，0]．C. [1，2]．D. [3，+∞)．9. 设随机变量X的密度函数为(λ＞0)，则概率P＜X＜λ+a}(a＞0)的值A. 与a无关随λ的增大而增大．B. 与a无关随λ的增大而减小．C. 与λ无关随a的增大而增大．D. 与λ无关随a的增大而减小．10. 设随机变量X～N(0，1)，其分布函数为Φ(x)，则随机变量y=min{x，0}的分布函数F(y)为A．B．C．D．11. 设随机变量X的分布函数为F(x)，其密度函数为其中A为常数，则的值为A．B．C．D．12. 连续型随机变量X的分布函数其中的常数a和b为A．B．C．D．13. 设随机变量X的概率密度为，则P{X≤2|X≥1}的值为A.e-2．**．**．**．14. 已知X～N(15，4)，若X的值落入区间(-∞，x1)，(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)，(x4，+∞)内的概率之比为7:24:38:24:7，则x1，x2，x3，x4分别为附：标准正态分布函数值Φ(1.5)=0.93，Φ(0.5)=0.69．A. 12，13.5，16.5，18．B. 11.5，13.5，16.5，18.5．C. 12，14，16，18．D. 11，14，16，19．15. 设随机变量X～N(μ,σ2)，σ＞0，其分布函数F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为A．(μ，σ)．B．C．D．(0，σ)．16. 假设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ的指数分布，Y的分布律为P{Y=1)=P{Y=-1)=，则X+Y的分布函数A. 是连续函数．B. 恰有一个间断点的阶梯函数．C. 恰有一个间断点的非阶梯函数．D. 至少有两个间断点．17. 设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，边缘分布为FX(x)和FY(y)，则概率P{X＞x，Y＞y)等于A. 1-F(x，y)．B. 1-FX(x)-FY(y)．C. F(x，y)-FX(x)-FY(y)+1．D. FX(x)+FY(y)+F(x，y)-1．18. 设随机变量Xi的分布函数分别为Fi(x)，i=1，2．假设：如果Xi为离散型，则Xi～B(1，pi)其中0＜Pi＜1，i=1，2．如果Xi为连续型，则其概率密度函数为fi(x)，i=1，2．已知成立F1(x)≤F2(x)，则A. p1≤p2．B. p1≥p2．C. f1(x)≤f2(x)．D. f1(x)≥f2(x)．19. 假设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则可以作出服从参数为2λ的指数分布的随机变量如A．X+Y．B．X-Y．C．max(X，Y)．D．min(X，Y)．20. 设随机变量X和Y相互独立同分布．已知P{X=k)=pqk-1(k=1，2，3，…)其中0＜p＜1，q=1-p，则P{X=Y}等于A．B．C．D．21. 已知随机变量X与Y相互独立且都服从正态分布，如果P{X+Y≤1}=，则μ等于A．-1．B．0．C．D．1．22. 设随机变量X与Y相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，则A．B．C．D．23. 设随机变量X和Y相互独立，均服从分布，则成立A．P{X=Y)=1．B．C．D．P{X=Y}=0．24. 设随机变量(i=1，2)且满足条件P{X1+X2=0)=1，则P{X1=X2)等于A．0．B．C．D．1．25. 已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|-1＜x＜1，-1＜y＜1}上服从均匀分布，则A．B．C．D．26. 设(X，Y)具有密度函数，则A. (X，Y)服从二维正态，且X与Y服从一维正态分布．B. (X，Y)服从二维正态，但X与Y不服从一维正态分布．C. (X，Y)不服从二维正态，且X与Y不服从一维正态分布．D. (X，Y)不服从二维正态，但X与Y服从一维正态分布．27. 设二维随机变量(XfY)与(U，V)有相同的边缘分布，则A. (X，Y)与(U，V)有相同的联合分布．B. (X，Y)与(U，V)不一定有相同的联合分布．C. (X+Y)与(U+V)有相同的分布．D. (X-Y)与(U-V)有相同的分布．28. 设随机变量(XfY)的分布函数为F(x，y)，则概率P{X＞a，y＞b}等于A. 1-F(a，b)．B. 1-F(a，+∞)-F(+∞，b)．C. F(a，b)-F(a，+∞)-F(+∞，b)+1．D. F(a，b)+F(a，+∞)+F(+∞，b)-1．29. 设相互独立的两随机变量X和Y，其中，而Y具有概率密度则的值为A．B．C．D．30. 设相互独立的两随机变量X和Y均且艮从分布，则P{X≤2Y}=A．B．C．D．31. 设随机变量X1，X2，X3，X4均服从分布，则A.X1+X2与X3+X4同分布．**与X3-X4同分布．C.(X1，X1)与(X3，X4)同分布．**，X22，X32，X42同分布．。

考研数学一(高等数学)模拟试卷20(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷20(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求的最大项．正确答案：令f(x)＝(x≥1)，由f(x)＝得f’(x)＝，令f’(x)＝0得x＝e．当x∈(0，e)时，f’(x)＞0；当x∈(e，＋∞)时，f’(x)＜0，则x＝e为f(x)的最大点，于是的最大项为，因为，所以最大项为涉及知识点：高等数学部分2．设，求y’．正确答案：当｜x｜＜1时，；当x＞1时，y’＝1；当x＜一1时，y’＝一1；由得y在x＝一1处不连续，故y’(一1)不存在；由得，由得，因为y－’(1)≠y ＋’＋(1)，所以y在x＝1处不可导，故涉及知识点：高等数学部分3．设x＝x(t)由sint一＝0确定，求．正确答案：将t＝0代入sint一＝0得再由＞0得x＝1，两边对t求导得，从而＝e＋1，两边再对t求导得涉及知识点：高等数学部分4．设x3一3xy＋y3＝3确定y为x的函数，求函数y＝y(x)的极值点．正确答案：x3一3xy＋y3＝3两边对x求导得3x2一3y一＝0，解得，令得y＝x2，代入x3—3xy＋y3＝3得x＝一1或x＝，因为，所以x＝一1为极小点，极限值为y＝1；因为，所以x＝为极大点，极大值为涉及知识点：高等数学部分5．x＝φ(y)是y＝f(x)的反函数，f(x)可导，且f’(x)＝，f(0)＝3，求φ”(3)．正确答案：涉及知识点：高等数学部分6．设f(x)连续，，且，求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x＝0处的连续性．正确答案：涉及知识点：高等数学部分7．设函数f(x)在x＝1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)－2ex｜≤(x一1)2，研究函数f(x)在x＝1处的可导性．正确答案：把x＝1代入不等式中，得f(1)＝2e．当x≠1时，不等式两边同除以｜x一1｜，得涉及知识点：高等数学部分8．设f(x)在x＝0的邻域内二阶连续可导，，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的曲率．正确答案：涉及知识点：高等数学部分9．设且f”(0)存在，求a，b，c．正确答案：因为f(x)在x＝0处连续，所以c＝0，即由f(x)在x＝0处可导，得b＝1，即于是涉及知识点：高等数学部分10．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，＝1，f(1)＝0．证明：(1)存在，使得f(η)＝η；(2)对任意的k∈(一∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]＝1．正确答案：(1)令φ(x)＝f(x)一x，φ(x)在[0，1]上连续，＞0，φ(1)＝一1＜0，由零点定理，存在η∈，使得φ(η)＝0，即f(η)＝η．(2)设F(x)＝e－kx(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)＝F(η)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)＝0，整理得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]＝1．涉及知识点：高等数学部分11．设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且，又f(2)＝，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f”(ξ)＝0．正确答案：由积分中值定理得f(2)＝＝f(c),其中c∈，由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)＝0．令φ(x)＝exf’(x)，则φ(1)＝φ(x0)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝ex[f’(x)＋f”(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)＋f”(ξ)＝0．涉及知识点：高等数学部分12．设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．正确答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得｜f(x0)｜＝M．当x0＝0时，则M＝0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；当x0≠0时，M＝｜f(x0)｜＝｜f(x0)一f(0)｜＝｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)｜≤｜f(ξ)｜≤，其中ξ∈(0，x0)，故M＝0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．涉及知识点：高等数学部分13．设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η＝(ea ＋eb )[f’(η)＋f(η)]．正确答案：令φ(x)＝ex f(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得再由f(a)＝f(b)＝1，得＝eη[f’(η)＋f(η)]，从而＝(ea ＋eb )eη[f’(η)＋f(η)]，令φ(x)＝e2x ，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得＝2e2ξ．即2e2ξ＝(ea ＋eb)eη[f’(η)＋f(η)]，或2e2ξ－η＝(ea＋eb)[f’(η)＋f(η)]．涉及知识点：高等数学部分14．设f(x)二阶可导，f(0)＝f(1)＝0且＝一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f”(ξ)≥8．正确答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0，＝一1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)＝一1，再由费马定理知f’(c)＝0，根据泰勒公式f(0)＝f(c)＋f’(c)(0—c)＋(0一c)2，ξ1∈(0，c) f(1)＝f(c)＋f’(c)(1一c)＋(1一c)2，ξ2∈(c，1)整理得涉及知识点：高等数学部分15．一质点从时间t＝0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．正确答案：设运动规律为S＝S(t)，显然S(0)＝0，S’(0)＝0，S(1)＝1；S’(1)＝0．由泰勒公式两式相减，得S”(ξ2)一S”(ξ1)＝一8→｜S”(ξ1)｜＋｜S”(ξ2)｜≥8．当｜S”(ξ1)｜≥｜S”(ξ2)｜时，｜S”(ξ1)｜≥4；当｜S”(ξ1)｜＜｜S”(ξ2)｜时，｜S”(ξ2)｜≥4．涉及知识点：高等数学部分16．设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f”(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：正确答案：由泰勒公式得f(0)＝f(x)一f’(x)x＋f”(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)＝f(x)＋f’(x)(1一x)＋f”(ξ2)(1一x)2，ξ2∈(x，1)，两式相减，得f’(x)＝．两边取绝对值，再由｜f”(x)｜≤1，得涉及知识点：高等数学部分17．设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f”(x)≠0．证明：(1)对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]；(2)正确答案：(1)对任意x∈(一1，1)，根据微分中值定理，得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f”(x)∈C(－1，1)且f”(x)≠0，所以f”(x)在(一1，1)内保号，不妨设f”(x)＞0，则f’(x)在(一1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．(2)由泰勒公式，得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋[*361]，其中ξ介于0与x之间，而f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得涉及知识点：高等数学部分18．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)＝f’(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：由泰勒公式得涉及知识点：高等数学部分19．f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．正确答案：由泰勒公式得两式相减得f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)＝6．因为f(x)在[一1，1]上三阶连续可导，所以f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．涉及知识点：高等数学部分20．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有涉及知识点：高等数学部分设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．21．写出f(x)在x＝c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；正确答案：f(x)＝f(c)＋f’(c)(x—c)＋(x—c)2，其中ξ介于c与x之间．涉及知识点：高等数学部分22．证明：．正确答案：分别令x＝0，x＝1，得f(0)＝f(c)一f’(c)c＋c2，ξ1∈(0，c)，f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋(1－c)2，ξ2∈(c，1)，两式相减，得f’(c)＝f(1)一f(0)＋，利用已知条件，得｜f’(c)｜≤2a＋[c2＋(1一c)2]，因为c2＋(1一c)2≤1，所以｜f’(c)｜≤2a＋．涉及知识点：高等数学部分设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．23．写出f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；正确答案：由存在，得f(0)＝0，f’(0)＝0，f”(0)＝0，则f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式为其中ξ介于0与x之间．涉及知识点：高等数学部分24．证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得正确答案：上式两边积分得因为f(4)(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，两边在[一a，a]上积分得从而于是根据介值定理，存在ξ1∈[一a，a]，使得f(4)(ξ1)＝，或a5f(4)(ξ1)＝再由积分中值定理，存在ξ2∈[一a，a]，使得a5f(4)(ξ1)＝＝120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)＝120f(ξ2)．涉及知识点：高等数学部分25．设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x’为x关于x0的对称点．正确答案：涉及知识点：高等数学部分26．设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f’＋(a)f’_(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g”(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：设f’＋(a)＞0，f’－(b)＞0，由f’＋(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)＝0；由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)＝0，因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0．令h(x)＝，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ2)＝0，而，所以令φ(x)＝f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，而φ‘(x)＝f”(x)g(x)－f(x)g”(x)，所以．涉及知识点：高等数学部分27．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)＜0．正确答案：涉及知识点：高等数学部分28．设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f”(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．正确答案：不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a ＋b)，使得两式相减得f(a＋b)一f(a)一f(b)＝[f’(ξ2)一f’(ξ1)]a．因为f”(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)，故f(a＋b)一f(a)一f(b)＝[f’(ξ2)一f’(ξ1)]a＞0，即f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．涉及知识点：高等数学部分29．设f(x)在[a，b]上连续，且f”(x)＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：f[λx1＋(1一λ)x2]≤λf(x1)＋(1一λ)f(x2)．正确答案：令x0＝λx1＋(1一λ)x2，则x0∈[a，b]，由泰勒公式得f(x)＝f(x0)＋f’(x0)(x—x0)＋(x—x0)2，其中ξ介于x0与x之间，因为f”(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x—x0)，于是两式相加，得f[λx1＋(1一λ)x2]≤λf(x1)＋(1一λ)f(x2)．涉及知识点：高等数学部分30．设f(x)二阶可导，且f”(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．正确答案：由，得f(0)＝0，f’(0)＝1，又由f”(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)＋f’(0)x＝x．涉及知识点：高等数学部分31．设f(x)在[0，＋∞)内可导且f(0)＝1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex (x＞0)．正确答案：令φ(x)＝e－xf(x)，则φ(x)在[0，＋∞)内可导，又φ(0)＝1，φ’(x)＝e－x (x)－f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)＝1，所以有f(x)＜ex (x ＞0)．涉及知识点：高等数学部分32．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f”(x)＞0，取xi∈[a，b](i＝1，2，…，n)及ki＞0(i＝1，2，…，n)且满足k1＋k2＋…＋kn＝1．证明：f(k1x1＋k2x2＋…＋knxn)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)．正确答案：令x0＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn，显然x0∈[a，b]．因为f”(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x—x0)，分别取x＝xi(i＝1，2，…，n)，得由ki＞O(i＝1，2，…，n)，上述各式分别乘以ki(i＝1，2，…，n)，得将上述各式分别相加，得f(x0)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)，即f(k1x1＋k2x2＋…＋knxn)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)．涉及知识点：高等数学部分33．证明：当x＞0时，(x2一1)Inx≥(x一1)2．正确答案：令φ(x)＝(x2一1)lnx一(x一1)2，φ(1)＝0．故x＝1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)＝0，所以x＞0时，φ(x)≥0，即(x2一1)lnx≥(x一1)2．涉及知识点：高等数学部分34．当x＞0时，证明：正确答案：涉及知识点：高等数学部分35．设0＜a＜b，证明：正确答案：涉及知识点：高等数学部分36．求由方程x2＋y3一xy＝0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．正确答案：根据隐函数求导数法，得涉及知识点：高等数学部分37．设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f’(0)＝f(1)＝f’(1)＝0．证明：方程f”(x)一f(x)＝0在(0，1)内有根．正确答案：令φ(x)＝e－x[f(x)＋f’(x)]．因为φ(0)＝φ(1)＝0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)＝0，而φ’(x)＝e－x[f”(x)一f(x)]且e－x≠0，所以方程f”(c)一f(c)＝0在(0，1)内有根．涉及知识点：高等数学部分38．设f(x)＝3x2＋Ax－3(x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20．正确答案：f(x)≥20等价于A≥20x3一3x5，令φ(x)＝20x3一3x5，由φ’(x)＝60x2一15x4＝0，得x＝2，φ”(x)＝120x一60x3，因为φ”(2)＝一240＜0，所以x＝2为φ(x)的最大值点，最大值为φ(2)＝64，故A至少取64时，有f(x)≥20．涉及知识点：高等数学部分39．设f(x)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝一2，f’(0)＝1，f”(x)≥0．证明：f(x)＝0在(0，＋∞)内有且仅有一个根．正确答案：因为f”(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)＝1．当x＞0时，f(x)一f(0)＝f’(ξ)x，从而f(x)≥f(0)＋x，因为＝＋∞，所以．由f(x)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＝一2＜0，＝＋∞，则f(x)＝0在(0，＋∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．涉及知识点：高等数学部分。

[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷60.doc

[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷60一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是（A）E(X－Y)＝0．（B）D(X—Y)＝0．（C）E(X2－Y2)＝0．（D）E[X(Y－EY)]＝0．2 设A1，A2是两个随机事件，随机变量X i＝(i＝1，2)，已知X1与X2不相关，则（A）X1与X2不一定独立．（B）A1与A2一定独立．（C）A1与A2不一定独立．（D）A1与A2一定不独立．二、填空题3 每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字0，三张卡片都写有数字1，另两张卡片上分别写有数字2与9．将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为2001911的概率是_______．4 设A、B、C是三个随机事件，A C，B C，P(A)＝0．7，P(A－C)＝0．4，P(AB)＝0．5，则P(AB)＝_______．5 设A、B是两个随机事件，0＜P(B)＜1，AB＝，则P(A｜)＋P(｜B)＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6 将3个球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1，2，3的概率．7 将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线y＝χ2＋Bχ＋C与χ轴没有交点的概率p．8 随机地向半圆Ω＝{(χ，y)：0＜y＜}内投掷一点(r＞0)，事件A表示“掷点与原点连线和χ轴正方向夹角小于，π／6”，求P(A)．9 设A、B是两个随机事件，P(A)＝0．4，P(B｜A)＋P()＝1，P(A∪B)＝0．7，求P()．10 某批产品优质品率为80％，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是90％，而将非优质品错判为优质品的概率是20％，为了提高检验信度，每个产品均由3人组成的检查组，每人各自独立进行检验1次，规定3人中至少有2名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品．假设各检验员检验水平相同．求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率．11 甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为0．7，乙为0．6，试求二人试验成功次数相同的概率．12 一条旅游巴士观光线共设10个站，若一辆车上载有30位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车．求：(Ⅰ)这辆车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第i站停车的概率；(Ⅱ)判断事件“第i站不停车”与“第i站不停车”是否相互独立．13 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X＝n}＝a2p n，n＝0，1，2，…，试确定a 与p的取值范围．14 设钢管内径服从正态分布N(μ，σ2)，规定内径在98到102之间的为合格品；超过102的为废品，不足98的是次品，已知该批产品的次品率为15．9％，内径超过101的产品在总产品中占2．28％，求整批产品的合格率．15 设连续型随机变量X的分布函数为求使得｜F(a)－｜达到最小的正整数n．16 假定某街道有n个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1：2．今有一汽车沿该街道行驶，若以X表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求X的分布律．17 设1000件产品中有150件次品，从中一次抽取3件，求：最多取到1件次品的概率．18 一大批种子的发芽率是99．8％，从中随机地选取1000粒进行试验，求这1000粒种子中发芽数目X的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率．19 一批玻璃杯整箱出售，每箱装有12只，其中含有0个，1个，2个次品的概率分别是0．6，0．2，0．2．一顾客需买该产品5箱，他的购买方法是：任取一箱，打开后任取3只进行检查，若无次品就买下该箱，若有次品则退回另取一箱检查，求他需要检查的箱数X的概率分布及检查箱数不超过6箱的概率β．20 连续进行射击直到第二次击中目标为止，假定每次射击的命中率为p(0＜p＜1)，X1表示首次击中目标所需进行的射击次数，X2表示从首次击中到第二次击中目标所进行的射击次数；Y表示第二次击中目标所需进行的射击总次数，求X1，X2，Y的概率分布．21 在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0＜p1，p2＜1)．求： (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布； (Ⅱ)乙攻擂次数X2的概率分布； (Ⅲ)擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X3的概率分布． (Ⅳ)假设乙对丙的胜率p2是1／4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率．22 设一条生产线调试后启动时立即烧坏的概率为0．001，但它一旦启动，则无故障工作的时间服从参数为0．01的指数分布．若随机变量X表示生产线无故障工作的时间，求X的分布函数F(χ)以及P{X＞100}．23 设离散型随机变量X的概率分布为P{X＝n}＝，n＝1，2，…，求Y＝tan的分布函数．24 将一枚均匀的硬币接连掷5次．(Ⅰ)求正面出现次数X的概率分布；(Ⅱ)在反面至少出现一次的条件下，求正面与反面出现次数之比Y的概率分布．25 若随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量Y＝X lnX的概率密度函数．26 设随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，Y＝X2，求Y的概率密度f Y(y)．27 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y＝e X，求Y的概率密度．28 设随机变量U服从标准正态分布N(0，1)，随机变量求：(Ⅰ)X与Y的联合分布； (Ⅱ)X与Y的相关系数ρXY．29 设随机变量X与Y同分布，X～，并且P{XY＝0}＝1．求(X，Y)的联合概率分布与X＋Y的概率分布．30 已知(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(χ，y)，并问X与Y是否独立?为什么? (Ⅱ)求条件概率密度f X｜Y(χ｜y)，f Y｜X(y｜χ)及条件概率P{X＋Y＞1｜X＜}； (Ⅲ)记Z1＝Y－X，求证Z1服从参数λ＝1的指数分布，并计算Z2＝X＋Y的概率密度．31 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其分布参数μ1＝μ2＝0，σ12＝σ22＝1，ρ＝／2．求证： (Ⅰ)关于X的边缘分布是正态分布； (Ⅱ)在X＝χ条件下，关于Y的条件分布也是正态分布．32 设随机变量X1与X2是关于χ的一元二次方程χ2＋Y1χ＋Y2＝0的两个根，并且X1与X2相互独立都服从参数为的0－1分布． (Ⅰ)求随机变量Y1与Y2的联合分布； (Ⅱ)求DY1，DY2，cov(Y1，Y2)； (Ⅲ)若U＝Y1＋Y2，V＝Y1－Y2，求DU，DV，cov(U，V)．33 设随机变量X与Y独立，其中X服从参数p＝0．7的0－1分布，Y服从参数λ＝1的指数分布，令U＝X－Y，求U的分布函数G(u)．34 设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为 f(u，v)＝．求证：(Ⅰ)X＝U＋V服从正态分布； (Ⅱ)Y＝U2＋V2服从指数分布．35 设随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0＜χ＜2．0＜y＜2}上服从均匀分布， (Ⅰ)求U＝(X＋Y)2的概率密度； (Ⅱ)求V＝max(X，Y)的概率密度； (Ⅲ)求W＝XY的概率密度．36 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为令随机变量U＝－X，V＝X＋Y，W＝X－Y，求： (Ⅰ)U的分布函数F1(u)； (Ⅱ)V的分布函数F2(v)； (Ⅲ)W的分布函数F3(w)； (Ⅳ)PV≤v，W≥w}(v＞w＞0)．37 设二维随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0≤χ≤2，0≤y≤1}上服从二维均匀分布，随机变量 (Ⅰ)求U和V的联合概率分布； (Ⅱ)讨论U和V的相关性与独立性．。

考研数学一(高等数学)模拟试卷289(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷289(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设M=cos(cosx)dx，则有A．M＜1＜N．B．M＜N＜1．C．N＜M＜1．D．1＜M＜N．正确答案：A解析：sin(sinx)，cos(cos)均在[0，]上连续，由sinx≤x→sin(sinx)，即N＞1．因此选A．知识模块：高等数学2．函数F(x)=∫xx+2πf(t)dt，其中f(t)=(1+sin2t)cos2t，则F(x)A．为正数．B．为负数．C．恒为零．D．不是常数．正确答案：B解析：由于被积函数连续且以π为周期(2π也是周期)，故F(x)=F(0)=∫02πf(t)dt=2∫0πf(t)dt，即F(x)为常数．由于被积函数是变号的，为确定积的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即2∫0πf(t)dt=∫0π(1+sin2t)d(sin2t)=∫0π一sin22t(2+sin2t)dt＜0，故应选B．知识模块：高等数学填空题3．设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=_________．正确答案：一2sinx解析：由题设及原函数存在定理可知，F(x)=∫f(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]’=(cos2x+C)’=一2sinxcosx，从而f(x)=一2cosx，于是F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x一2cost=一2sinx．知识模块：高等数学4．设f(x)为连续函数，且满足f(x)=x+∫01xf(x)dx，则f(x)=____________．正确答案：x+解析：定积分是积分和的极限，当被积函数和积分区间确定后，它就是一个确定的数．从而由题设知可令∫01xf(x)dx=A，只要求得常数A就可得到函数f(x)的表达式．为此将题设等式两边同乘x并从0到1求定积分，就有A=∫01x2dx+∫01Axdx ．故f(x)=x+．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023考研数学模拟卷(一)数学一答案

2023考研数学模拟卷（一）数学一答案考题分析本次考试主要围绕数学一的基本概念、定理和方法展开，涵盖了高等数学中的微积分、线性代数和概率统计等内容。

共计包含8个小题，覆盖了整个考纲，难度适中。

1. 选择题1.1 题目已知函数f(f)=2f3−3f2−12f+5，则使得f(f)在区间[−2,3]上递减的f的个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 31.2 答案答案：C. 21.3 解析函数的递减区间对应于一阶导数小于零的区间，因此需要先求出函数f(f)的一阶导数：f′(f)=6f2−6f−12然后求出f′(f)的零点，即：6f2−6f−12=0解得f1=−1,f2=2。

将f1,f2代入函数f(f)中可得：f(−1)=−20,f(2)=−11可见f(−1)和f(2)均小于零，因此使得f(f)在区间[−2,3]上递减的f的个数为 2，故选 C。

2. 填空题2.1 题目已知向量 $\\mathbf{a} = (1, 2, 3)^T$，$\\mathbf{b} = (2, -1, 4)^T$，则 $\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}$ 等于 \\\\。

2.2 答案答案：142.3 解析向量的点积（内积）定义为两个向量对应分量的乘积之和，即：$$ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 +a_3b_3 $$代入已知向量的值可得：$$ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot (-1) + 3 \\cdot 4 = 14 $$故答案为 14。

3. 判断题3.1 题目正态分布是一个离散概率分布。

A. 正确B. 错误3.2 答案答案：B. 错误3.3 解析正态分布是连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。

在实际问题中，许多现象都服从正态分布，例如测量误差、身高体重等。

[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷345.doc

[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷345一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 曲面x2 +cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，-1)处的切平面方程为（A）x-y+z=-2（B）x+y+z=0（C）x-2y+z=-3（D）x-y-z=02 的定义域是[ ]．（A）(－∞，5)∪(5，+∞)（B）(－∞，6)∪(6，+∞)（C）(－∞，4)∪(4，+∞)（D）(－∞，4)∪(4，5)∪(5，6)∪(6，+∞)3567 商店出售10台洗衣机，其中恰有3台次品．现已售出一台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品．则原先售出的一台是次品的概率为（A）（B）（C）（D）8二、填空题9 设矩阵A满足A2+A-4层=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=________.10111214 (2004年试题，一)欧拉方程的通解为______________.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14 设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且满足等式.15 验证.16 若f(1)=0，f'(1)=1，求函数f(μ)的表达式．17 试确定常数A，B，C的值，使得 e x(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小．1819202122 (2002年试题，五)计算二重积分其中D={(x，y)10≤x≤1，0≤y≤1}23 (2004年试题，三)设有方程x n+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根x n，并证明当α>1时，级数收敛．24 一个计算机硬件公司生产一种型号的微型芯片，每一芯片有0．1％的概率为次品，且各芯片是否成为次品是相互独立的．求1 000块芯片中至少有两块是次品的概率，分别用二项分布和泊松分布近似来计算．。

考研数学一(选择题)模拟试卷89(题后含答案及解析)

考研数学一（选择题）模拟试卷89(题后含答案及解析) 题型有：1.1．函数f(x)=xsinx( )A．当x→∞时为无穷大B．在(一∞，+∞)内有界C．在(一∞，+∞)内无界D．当x→∞时极限存在正确答案：C解析：令xn=2nπ+，yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ+=0。

因为f(xn)=+∞，(yn)=0，所以f(x)在(一∞，+∞)内无界，且当x→∞时不一定为无穷大，故选C。

知识模块：函数、极限、连续2．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为( ) A．“甲种产品滞销，乙种产品畅销”．B．“甲、乙两种产品均畅销”．C．“甲种产品滞销”．D．“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．正确答案：D解析：设A1={甲种产品畅销}，A2={乙种产品滞销}，则A=A1A2，由德摩根定律得={甲种产品滞销}∪{乙种产品畅销}，即为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，故选D．选项A、B中的事件与事件A都是互斥但非对立(互逆)的；选项C中事件的逆事件显然包含事件A，故选项A，B，C都不正确．知识模块：概率与数理统计3．设当x→0时，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，则( )．A．a=1／3，b=1，c=0B．a=－1／3，b=1，c=0C．a=1／3，b=－1，c=0D．a=0，b=2，c=0正确答案：D解析：因为x→0时，ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，得a=0，b=2，选(D)．知识模块：高等数学4．一台仪器由5只不太可靠的元件组成，已知各元件是否出故障是独立的，且第k只元件出故障的概率为Pk=，则出故障的元件数的方差是( ) A．1．3。

B．1．2。

C．1．1。

D．1．0。

正确答案：C解析：由于每个元件出故障概率不同，故采用(0—1)分布，即Xk=k=1,2,…,5于是D(X1)=故有D(X)=1．1。

故选(C)。

知识模块：随机变量的数字特征5．设f(x)连续，且f’(0)>0，则存在δ>0，使得( )．A．f(x)在(0，δ)内单调增加B．f(x)在(一δ，0)内单调减少C．对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)>f(0)D．对任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)正确答案：D解析：知识模块：高等数学部分6．设函数z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且，则( )A．f’x(0，0)不存在．B．f’x(0，0)存在但不为零．C．f(x，y)在点(0，0)处取得极大值．D．f(x，y)在点(0，0)处取得极小值．正确答案：C解析：(特殊函数法) 由于即当(x，y)→(0，0)时f(x，y)与一(x2+y2)是等价无穷小．取f(x，y)=-x2-y2，则f(x，y)满足题目条件．f’x=-2x，f’y=-2y，f’’xx=-2，f’’xy=0，f’’yy=-2、显然f’x(0，0)=0，排除A、B．在驻点(0，0)处，A=-2，B=0，C=-2，B2-AC=-4＜0，A=-2＜0，由二元函数极值的充分条件，f(x，y)在点(0，0)处取得极大值，排除D．故选C．知识模块：高等数学7．设则( )A．I1＞I2＞1。

考研数学一(高等数学)模拟试卷270(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷270(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且在点x0处间断，则下列函数在点x0处必定间断的是( )A．f(x)sinxB．f(x)+sinxC．f2(x)D．｜f(x)｜正确答案：B解析：反证法．若f(x)+sinx在点x0处连续，则f(x)=[f(x)+sinx]－sinx 也在点x0处连续，与已知矛盾．知识模块：函数、极限、连续2．下述命题：①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(－∞，+∞)上连续；②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(－∞，+∞)上有界；③设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(－∞，+∞)上也是正值的连续函数；④设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，则在(－∞，+∞)上也是正值的有界函数．其中正确的个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：①与③是正确的，②与④是不正确的，理由如下：①是正确的．设x0∈(－∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中，由于题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x0处连续，所以在(－∞，+∞)上连续．论证的关键之处是函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续．③是正确的．设x0∈(－∞，+∞)，则f(x0)＞0，且在x0处连续．由连续函数的四则运算法则知，在x0处也连续，所以且在(－∞，+∞)上连续．②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间[a，b]上｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜6｜}M，这个界与[a，6]有关，容易看出，在区间(－∞，+∞)上f(x)=x就无界了．④是不正确的．反例：f(x)=e－x2，在区间(－∞，+∞)上0＜f(x)≤1．所以f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，而=ex2在(－∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时，+∞．故应选B．知识模块：函数、极限、连续3．设周期函数f(x)在(－∞，+∞)内可导，周期为4，又则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为( )A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：因为函数f(x)周期为4，曲线在点(5，f(5))处的切线斜率与曲线在点(1，f(1))处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率即为函数f(x)在点x=1处的导数．即f’(1)=－2．知识模块：一元函数微分学4．由曲线(0≤x≤π)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：知识模块：一元函数积分学5．设则f(x)=( )A．B．C．lnx－2exD．lnx+2ex正确答案：A解析：由题中所给式子变形得记则在式①两端作(1，e)上的积分，得解得故应选A．知识模块：一元函数积分学6．设力f=2i－j+2k作用在一质点上，该质点从点M1(1，1，1)沿直线移动到点M2(2，2，2)，则此力所做的功为( )A．2B．－1C．3D．4正确答案：C解析：因为W=f.s，故W=(2，－1，2).(1，1，1)=3．知识模块：多元函数积分学7．设Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；Ω2：x2+y2+z2≤R2，且x≥0，y≥0，z≥0．则有( )A．B．C．D．正确答案：C解析：Ω1关于yOz面及zOx面对称，当f(x，y，z)是关于x或y的奇函数时，而f(x，y，z)=z关于x及y都是偶函数，故知识模块：多元函数积分学8．设级数收敛，则( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因为也收敛，将此两级数逐项相加所成的级数(an+an+1)也收敛．也可以举例说明A，B，D均不正确．知识模块：无穷级数填空题9．=______．正确答案：e－2解析：所以原极限=e－2．知识模块：函数、极限、连续10．曲线在t=1处的曲率K=______．正确答案：解析：因为知识模块：一元函数微分学11．设=∫－∞atetdt，则a=_____．正确答案：2解析：又∫－∞atetdt=∫－∞atd(et)=tet｜∫－∞a－∫－∞aetdt=aea－et｜∫－∞a=(a－1)ea，所以ea=(a－1)ea，a=2．知识模块：一元函数积分学12．xOz坐标面上的抛物线z2=x－2绕x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是______．正确答案：y2+z2=x－2解析：xOz面上曲线f(x，z)=0绕x轴旋转而得的旋转曲面方程为即y2+z2=x －2．知识模块：向量代数与空间解析几何13．曲面z－ex+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为______．正确答案：19．2x+y－4=0解析：令F(x，y，z)=z－ex+2xy－3，则Fx’(x，y，z)｜(1，2，0)=4，Fy’(x，y，z)｜(1，2，0) =2，Fx’(x，y，z)｜(1，2，0) =0，所以切平面的法向量为(4，2，0)，由点法式得出切平面的方程为2z+y－4=0．知识模块：向量代数与空间解析几何14．设=______．正确答案：0解析：本题属于基本计算，考研中考过多次这种表达式．知识模块：多元函数微分学15．设C为闭区域D的正向边界闭曲线，则∮C(ex2－y)dx+(x+siny2)dy可通过A(A为D的面积)表示为______．正确答案：2A解析：设P=e2－y，Q=x+siny2．因由格林公式，有知识模块：多元函数积分学16．级数的和为______．正确答案：解析：因级数知识模块：无穷级数17．幂级数在收敛区间(－a，a)内的和函数S(x)为______．正确答案：解析：知识模块：无穷级数18．设一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1，y2，若αy1+βy2也是该方程的解，则应有α+β=______．正确答案：1解析：由y’1+P(x)y1=Q(x)及y’2+P(x)y2=Q(x)得(αy1+βy2)’+P(x)(αy1+βy2)=(α+β)Q(x)．知识模块：常微分方程19．特征根为r1=0，r2，3=±i的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为______．正确答案：解析：特征方程为即r3－r2+r=0，其对应的微分方程即如上所填．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(解答题)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设A是3阶实对称矩阵，满足A2+2A=0，并且r(A)=2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ2+2λ是A2+2A的特征值．而A2+2A=0，因此λ2+2λ=0，故λ=0或一2．又因为r(A—0E)=r(A)=2，特征值0的重数为3一r(A—0E)=1，所以一2是A的二重特征值．A的特征值为0，一2，一2．(2)A+kE 的特征值为k，k一2，k一2．于是当k＞2时，实对称矩阵A+kE的特征值全大于0，从而A+kE是正定矩阵．当k≤2时，A+kE的特征值不全大于0，此时A+kE不正定．涉及知识点：线性代数2．已知向量的三个解，求此线性方程组的通解．正确答案：记此线性方程组为Ax=b，因为是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，所以系数矩阵A的秩r(A)≤4—2=2，又由A的第一行与第二行不成比例知，r(A)≥2，故r(A)=2．因此η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，进而可得非齐次线性方程组Ax=b的通解为：α=α1+k1η1+k2η2=其中k1，k2为任意常数．涉及知识点：线性代数3．在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：(Ⅰ)f(x)=tanx(x3)；(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3)．正确答案：(Ⅰ)设tanx=A0+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx 为奇函数，A0=0，A2=0)，又tanx=，则[A1x+A3x3+o(x3)][1－x2+o(x3)]=x－x3+o(x3)，即A1x+(A3－A1)x3+o(x3)=x－x3+o(x3)．比较系数可得A1=1，A3－A1=A1=1，A3=因此tanx=x+x3+o(x3)．(Ⅱ)已知sinu=u－u3+o(u3)(u→0)，令u=sinxsin(sinx)=sinx－sin3x+o(sin3x)．再将sinx=x－x3+o(x3)，代入得sin(sinx)=(x－x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y′+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e－kx[C+f(t)ektdt]．y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．解析：本题实际上求该方程的特解．对此，我们先求通解，然后利用周期性确定常数C．知识模块：常微分方程5．设矩阵A满足(2E－C－1B)AT=C－1，且求矩阵A．正确答案：由(2E－C－1B)AT=C－1，得AT=(2E－C－1B－1)－1C－1=[C(2E －C－1B)]－1=(2C－B)－1，AT=(2C－B)－1 涉及知识点：线性代数6．若正项级数都收敛，证明下列级数收敛：正确答案：(1)(2)因为收敛．涉及知识点：高等数学7．已知方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T。

考研数学(数学一)模拟试卷500(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷500(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设当|x|＜1时f(x)＝展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝，则关于它的系数an(n＝0，1，2，…)成立的关系式为A．an＋2＝an＋1＋an．B．an＋3＝an．C．an＋4＝an＋2＋an．D．an＋6＝an．正确答案：D2．当x→0时，下列3个无穷小a＝按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是A．α，β，γ．B．γ，β，α．C．γ，α，βD．α，γ，β正确答案：D3．设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f＇(x)，则设f＇(x)存在)，则以下结论中不正确的是A．f＇(x)必以T为周期．B．必以T为周期．C．必以T为周期．D．必以T为周期．正确答案：B4．设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(常数R＞0)的上半部分，方向为上侧．则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是A．B．C．D．正确答案：B5．设a1，a2，…，as，是线性方程组的s个互不相同的解向量，则向量组{ai一aj| i≠j，i＝1，2，…，s；j＝1，2，…，s}的秩r取值范围为A．1或2．B．2或3．C．D．1.正确答案：A6．已知P－1AP＝，α1是A的属于λ1＝1的特征向量，α2，α3是A 的属于λ2＝－1的线性无关的特征向量，则矩阵P是A．(α2，α1，α3)．B．(α1，α2一α3，α3－α1)．C．(3α1，α2＋α3，α2一α3)．D．(2α2，3α3，α1)．正确答案：C7．将一枚均匀硬币连续抛n次，以A表示“正面最多出现一次”，以B表示“正面和反面各至少出现一次”，则A．n＝2时，A与B相互独立．B．n＝2时，．C．n＝2时，A与B互不相容．D．n＝3 时，A与B相互独立．正确答案：D8．设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是正确答案：C填空题9．设空间曲线L : 其中常数a＞0．则空间第一型曲线积分＝_____________.正确答案：解析：平面x—y＝0经过球面．x2＋y2＋z2＝a2的中心，所以L是一个半径为a的圆周．今建立它的参数方程．将L投影到xOz平面上去，为此，消去y，得所以L在xOz平面上的投影是一个椭圆．引入此椭圆的参数方程：x＝，0≤t ≤2π由于L在平面x—y＝0上，所以L的参数方程为x＝于是ds＝所以10．设an＝x(1－x)n－1dx,则＝_____________.正确答案：1—21n 2解析：an＝11．微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex＋1)的通解为y＝___________．正确答案：，其中C1，C2为任意常数解析：该常系数线性微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2＋2r一3＝(r 一1)(r＋3)＝0，特征根r1＝1，r2＝一3，对应的齐次方程的通解为Y＝C1ex＋C2e-3x，其中C1，C2为任意常数．原给非齐次微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex ＋1)＝xex＋x，可分解成两个非齐次方程y2＋2y＇一3y＝xex与y＂＋2y＇一3y＝x，用常用的待定系数法，可求得各自的特解分别为所以原给方程的通解为y＝其中C1，C2为任意常数．或写成如上所填．12．设y＝y(x)由方程x＝确定，则＝_____________.正确答案：一2π解析：将x＝0代入x＝有y＝1．再将所给方程两边对x求导，得1＝于是y＇＝将x＝0，y＝1代入，得＝一2π．13．设xi≠0，i＝1，2，3，4．则行列式D＝＝_______________.正确答案：解析：将D的第1行的一l倍加到2，3，4行，再将第i列(i＝2，3，4)的倍加到第1列，得D14．已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X＝x条件下Y服从参数为x的指数分布，则E(XY2)＝_____________．正确答案：21n 2解析：由题设知所以(X，Y)的联合概率密度为F(x，y)＝所以E(XY2)＝解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷275(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷275(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：显然=f(0)=0，f(x)在x=0点连续．由于所以f－’(0)=0．又故f+’(0)=0，从而f’(0)存在，且f’(0)=0，应选D．知识模块：一元函数微分学2．设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2－t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与x’是同阶无穷小，则k等于( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：用洛必达法则，极限存在且不为0，所以k=3，选C．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有( ) A．0个B．1个C．2个D．无穷多个正确答案：B解析：令则F(x)在[a，b]上连续，而且F(b)=∫abf(t)dt＞0，故F(x)=0在(a，b)内至少有一个根．又所以F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个零点．故F(x)=0在(a，b)内仅有一个根．应选B．知识模块：一元函数积分学4．已知曲面z=x2+y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，则点P的坐标是( )A．(1，－1，2)B．(11，1，2)C．(1，1，2)D．(－1，－1，2)正确答案：D解析：切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，可知切平面的法向量为(2，2，1)．又由z=x2+y2可得曲线切平面的法向量(zx’，zy’，－1)=(2x，2y，－1)．令(2x，2y，－1)∥(2，2，1)，解得x=－1，y=－1，代入z=x2+y2，解得z=2．所以P点坐标为(－1，－1，2)．知识模块：向量代数与空间解析几何5．化为极坐标系中的累次积分为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由可得x2+(y－1)2=1(y≥1)，所以积分区域D是圆x2+(y－1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，其极坐标形式为D= 知识模块：多元函数积分学6．设区域其中常数a＞b＞0．D1是D在第一象限部分，f(x，y)在D上连续，等式成立的一个充分条件是( )A．f(－x，－y)=f(x，y)B．f(－x，－y)=－f(x，y)C．f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)D．f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)正确答案：D解析：当C成立时，f(x，y)关于x和y都是奇函数，积分应为零，不选C，因为题中未说类似于C，可知也不选A，B．当D成立时，f(x，y)关于x和y分别都是偶函数，将D在各个象限中的部分分别记为D1，D2，D3与D4，于是故选D．知识模块：多元函数积分学7．微分方程y’’+4y=sin2x有特解形如( )A．Asin2xB．Acos2xC．x(A+Bcos2x+Csin2x)D．A+x(Bcos2x+Csin2x)正确答案：D解析：原方程可以写成由待定系数法可知该方程有形如(Ⅰ))的特解．知识模块：常微分方程填空题8．极限=______．正确答案：2解析：知识模块：函数、极限、连续9．曲线v的全部渐近线为______．正确答案：x=0；和y=1解析：因为x=0为铅直渐近线；y=1为水平渐近线．知识模块：一元函数微分学10．设曲线y=y(x)在点与直线4x－4y－3=0相切，且y=y(x)满足方程则该曲线在相应x∈[一1，1]上(x，y)点的曲率为______ ．正确答案：解析：由时，p=1，得c1=0．从而在(x，y)点的曲率知识模块：一元函数微分学11．xx(1+lnx)的全体原函数为_______．正确答案：x2+C，其中C为任意常数解析：因为(xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx)，所以∫xx(1+lnx)dx=xx+C．知识模块：一元函数积分学12．设f(x)连续，则[∫0xtf(x2－t2)dt]=_____．正确答案：xf(x2)解析：知识模块：一元函数积分学13．向量场A(z，3x，2y)在点M(x，y，z)处的旋度rotA=______．正确答案：(2，1，3)解析：设向量场A=Pi+Qj+Rk，则因P=z，Q=3x，R=2y，则知识模块：多元函数积分学14．设由平面图形a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕x轴旋转所成旋转体力的密度为1，则该旋转体＄对x轴的转动惯量为______．正确答案：解析：由题意有知识模块：多元函数积分学15．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=±π处收敛于______．正确答案：解析：由狄利克雷收敛定理及f(x)的周期性可知，无论f(x)在x=±π处是连续还是间断，其傅里叶级数的和S(±π)都可用统一表示．因f(π－)=5，f(－π+)=x2｜x=－π=π2，故知识模块：无穷级数16．函数在[－π，π]上展开为傅里叶级数(ancos nx+bnsin nx)，则an=______ ，bn=______，和函数S(x)=______．正确答案：解析：f(x)在[－π，π]上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈(－π，π)．由收敛定理可知：其中傅里叶级数的系数为：an=0，n=0，1，2，…(在[－π，π]上，f(x)除去间断点x=0外，是奇函数，所以其傅里叶级数必为正弦级数)，知识模块：无穷级数17．设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数．则=______．正确答案：解析：傅里叶系数又由狄利克雷定理知，知识模块：无穷级数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(解答题)模拟试卷80(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷80(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)在[0，1]上连续，求∫01xnf(x)dx．正确答案：因为∫01xndx=，且连续函数｜f(x)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是｜∫01xnf(x)≤∫01xn｜f(x)｜dx≤M∫01xndx=．又∫01xnf(x)dx=0．涉及知识点：高等数学2．设函数f(x)=并记F(x)=∫0xf(t)dt(0≤x≤2)，试求F(x)及∫f(x)dx.正确答案：根据牛顿一莱布尼兹公式，当0≤x≤1时，有∫f(x)dx=F(x)+ C．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用3．已知随机变量X的概率密度(Ⅰ)求分布函数F(x)．(Ⅱ)若令Y=F(X)，求Y的分布函数FY(y)．正确答案：直接根据F(x)=P{X≤x}，FY(y)=P|F(X)≤y}求解．涉及知识点：概率与数理统计4．证明：当x＞1时0＜lnx+(x－1)3．正确答案：对x≥1引入函数f(x)=lnx+－2，则f(x)在[1，+∞)可导，且当x ＞1时从而f(x)在[1，+∞)单调增加，又f(1)=0，所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即lnx+－2＞0．令g(x)=lnx+(x－1)3，则g(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时故g(x)在区间[1，+∞)上单调减少，又g(1)=0，所以当x＞1时g(x)＜g(1)=0，即lnx+－2＜(x－1)3当x＞1时成立．涉及知识点：微分中值定理及其应用5．设z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1，求。

正确答案：=f′1(xy，yg(x))y+f′2(xy，yg(x))yg′(x)，=f″11(xy，yg(x))xy+f″12(xy，yg(x))yg(x)+f′1(xy，yg(x))+f″21(xy，yg(x))xyg′(x)+f″22(xy，yg(x))yg(x)g′(x)+f′2(xy，yg(x))g′(x)。

考研数学(数学一)模拟试卷278(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷278(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则( )。

A．φ[f(x)]必有间断点B．[φ(x)]2必有间断点C．f[φ(x)]必有间断点D．φ(x)/f(x)必有间断点正确答案：D解析：(D)反设g(x)=φ(x)/f(x)在(-∞，+∞)内连续，则咖φ(x)=g(x)f(x)在(-∞，+∞)内连续，矛盾．所以(D)是答案．2．设常数λ＞0，而级数收敛，则级数( )．A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．收敛性与A有关正确答案：C解析：又级数均收敛，所以由级数的运算性质得级数收敛，于是，由正项级数的比较判别法，得级数绝对收敛，故应选(C)．3．在曲线z=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线A．只有1条B．只有2条C．至少有3条D．不存在正确答案：B解析：求曲线上的点，使该点处的切向量τ与平面x+2y+z=4的法向量n={1，2，1)垂直．曲线在任意点处的切向量τ={x’(t)，y’(t)，z’(t)}={1，-2t，3t2}．n ⊥τn*τ=0，即1-42+3t2=0．解得t=1，t=1/3．(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 因此，只有两条这种切线，应选(B)．4．设函数f(x，y)连续，则二次积分等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由二次积分∫π/2πdx∫sinx1f(x,y)dy的积分上、下限知积分区域为y=sinx(π/2＜x＜π)的反函数为x=π-arcsiny，则积分区域可变为，于是积分变为，故应选(B)．5．设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC 的秩为r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r=r1D．r与r1的关系由C而定正确答案：C解析：由B=AC知r1≤r(A)=r，又B=AC两边同时右乘C-1，得A=BC-1，于是r≤r(B)=r。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷278
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则( )。

（A）φ[f(x)]必有间断点
（B）[φ(x)]2必有间断点
（C）f[φ(x)]必有间断点
（D）φ(x)/f(x)必有间断点
2 设常数λ＞0，而级数收敛，则级数( )．
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛
（D）收敛性与A有关
3 在曲线z=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线
（A）只有1条
（B）只有2条
（C）至少有3条
（D）不存在
4 设函数f(x，y)连续，则二次积分等于
( )．
5 设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则( )．
（A）r＞r1
（B）r＜r1
（C）r=r1
（D）r与r1的关系由C而定
6 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1，a2，则a1，A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( )．
（A）λ1=0
（B）λ2=0
（C）λ1≠0
（D）λ2≠0
7 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )．
（A）3p(0＜P＜1)2
（B）6p(0＜P＜1)2
（C）3p2(0＜P＜1)2
（D）6p2(0＜P＜I)2
8 设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P{｜X-μ｜＜σ}( )．
（A）单调增大
（B）单调减小
（C）保持不变
（D）增减不定
二、填空题
9 设=__________．
10 设曲面∑是z=x2+y2介于z=0与z=4之间的部分，则
__________．
11 设，则a=__________．
12 幂级数的和函数为__________．
13 若f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是
_________．
14 已知随机变量X和Y相互独立，则X～N(1，1)，Y～(1，4)，又
P{aX+bY≤0}=1/2，则a与b应满足关系式__________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 设f(x)连续，满足f(x)=sinx-∫a x(x-t)f(t)dt，求f(x)．
16 设曲线积分∫c2xye x22dx+φ(x)dy与路径无关，其中φ(x)具有连续的导数，具
φ(0)=1，计算的值．
17 计算二重积分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．
18 设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件f(1)=，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf'(ξ)=0．
19 试证：当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．
20 若矩阵A=相似于对角矩阵Λ，试确定常数口的值，并求可逆矩阵P 使P-1AP=Λ．
21 求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-82x3为标准形．
22 设总体X～N(μ，8)，μ未知，X1，X2，…，X36是取自X的一个简单随机样本，如果以区间(-1，+1)作为肛的置信区间，求置信度
23 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，1)，而X1，X2， (X9)
Y1，Y2，…Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，求统计量
所服从的分布，并指明参数．。