《图论模型：最短路》PPT课件
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图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
择的边组成图为无圈图，②新选边是满足①的尽可能 小的权。
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
2
u5
3
2
7
5
3
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u1
u3
u6
0
8
7
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
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u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
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u3
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5
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u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
图论之最短路问题等PPT文档共24页
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉Hale Waihona Puke 60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
图论之最短路问题等
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
第三节 最短路问题PPT课件
定义: 给定一个赋权有向图，即给了一个有向图
G=（V，A，W） ，对每一个弧aij =(vi,vj)∈A ， 相应地有权w（aij ） =wij ∈V1 ，又给定 G中的 两个顶点vs ,vt 。设 P是G 中从vs 到 vt的一条路，
定义路 P的权是 P中所有弧的权之和，记为W(P)
。最短路问题就是要在所有从vs 到vt 的路中，求 一条权最小的路，即求一条从vs 到vt 的路P* ，
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
则resent= vk,
， 。 Sk Sk1 vk
Tk Tk1 vk
若k=n，则结束，否则转第二步。
6
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
v2 1
6 2
v5
2
v9
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
7
图上标号法:
v2 v1,6 1
v5
v1, ∞ 2
转步骤二。
29
用逐次逼近算法求从V1到V6的最短路
v2
5
4
v1
-3
5
7
v3
v6 v4 6
2
v5
30
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
数学建模最短路问题课件ppt
b(1,j-1)=1; b(2,j-1)=j; b(3,j-1)=a(1,j); end
while size(T,2) < n-1 [min,i]=min(b(3,:)); %在候选边中找最短边。 T(:,size(T,2)+1)=b(:,i); e = e + b(3,i); v = b(2,i); ％v表示新涂的红点。 temp = find(sb == b(2,i)); sb(temp) = [ ]; b(:,i) = [ ]; for j =1:length(sb) %调整候选边 d = a(v,b(2,j)); if d<b(3,j) b(1,j) = v; b(3,j) = d; end end
权，并称图 G 为赋权图.
规定用记号 和 分别表示图的顶点数和边数.
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．
（３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
通路Wv1v4 v1e4v4e5v2e1v1e4v4 道路 Tv1v4 v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v4 路径 Pv1v4 v1e1v2e5v4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
4
22 3 4 35
5
78 inf 1965
3
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
while size(T,2) < n-1 [min,i]=min(b(3,:)); %在候选边中找最短边。 T(:,size(T,2)+1)=b(:,i); e = e + b(3,i); v = b(2,i); ％v表示新涂的红点。 temp = find(sb == b(2,i)); sb(temp) = [ ]; b(:,i) = [ ]; for j =1:length(sb) %调整候选边 d = a(v,b(2,j)); if d<b(3,j) b(1,j) = v; b(3,j) = d; end end
权，并称图 G 为赋权图.
规定用记号 和 分别表示图的顶点数和边数.
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．
（３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
通路Wv1v4 v1e4v4e5v2e1v1e4v4 道路 Tv1v4 v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v4 路径 Pv1v4 v1e1v2e5v4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
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78 inf 1965
3
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
运筹学——.图与网络分析-最短路课件
运筹学——.图与网络分析-最短路
v2 (4) 5 v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
① ②
64
v 3(6)
7 v 5 (8) 6
1
v7
③
④
4）接着往下考察，有四条路可走：(v2,v4), (v2,v5).
可选择的最短路为
(v3,v4), (v3,v5).
m k 2 , ik 4 2 n ,k 5 3 ,{ k 4 3 } 5m 9 ,8 , i 1 , n 1 } 0 { 3 8
(v5,v6), (v5,v7 ).
m k 2 ,i k 4 3 n ,k 4 5 ,k { 6 5 } 7 m 9 ,1 i ,1 n ,1 0 } 3 { 4 9
① 给(v2,v4) 划成粗线。
② 给 v 4 标号（9）。
③ 划第5个弧。
运筹学——.图与网络分析-最短路
v 2 ( 4 ) 5 v 4(9 ) 9 v 6 (13 )
运筹学——.图与网络分析-最短路
引言
随着科学技术的进步，特别是电子计算机 技术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展， 应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问 题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目 和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到 工程技术人员和经营管理人员的重视。
运筹学——.图与网络分析-最短路
树图的各条边称为树枝假定各边均有权重一般图g2含有多个部分树其中树枝总长最小的部分树称为该图的最小部分树也称最小支撑树?定理1图中任一个点i若j是与i相邻点中距离最近的则边ij一定必含在该图的最小部分树内
第6章 图与网络分析
本章内容重点 图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
教案图论.ppt
∴ 修改临时标号u6= 10 ，6=5 ， u7=9 ，7=5 ， u8= 12 ，8=5 ，
K=3 +1=4 ∵ min{u6，u7，u8，u9} =min{10，9，12，} =9= u7
∴ 点v7得永久标号， 7=5 ，
X2={v1，v4 ，v3 ， v2， v5，v7}，X2={v6 ，v8 ，v9}， 在vj∈X5中，临时标号不变。
vi Xk
ui
w( vi , v' )
v 'X k
使上式达到最小值的点v’ 可取为vk+1。
计算过程中可采用标号方法。
Xk中的点，ui 值是vs 到vi 的最短路长度，相应的 点记“永久”标号；
XK中的点，ui值是vs到vi的最短路长度的上界， 相应的点记“临时”标号，供进一步计算使用。
前点标号i : 表示点vs到vj的最短路上vj的前一点。 如i=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
∴ 点v8得永久标号， 8=5 ，
即从v1到v8的最短路长为u8=12，
∵ 8=5 ， 5=2 ， 2=3 ， 3=1 ，
知从v1到v8 的最短路为：
P1，8=P（v1，v3 ， v2， v5，v8）
v2 1
v5
2
v9
6 2
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
问题：①本例中，v1到v9的最短路？
6
1
2
10
v4
1,1
v5 1, ∞ 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
K=3 +1=4 ∵ min{u6，u7，u8，u9} =min{10，9，12，} =9= u7
∴ 点v7得永久标号， 7=5 ，
X2={v1，v4 ，v3 ， v2， v5，v7}，X2={v6 ，v8 ，v9}， 在vj∈X5中，临时标号不变。
vi Xk
ui
w( vi , v' )
v 'X k
使上式达到最小值的点v’ 可取为vk+1。
计算过程中可采用标号方法。
Xk中的点，ui 值是vs 到vi 的最短路长度，相应的 点记“永久”标号；
XK中的点，ui值是vs到vi的最短路长度的上界， 相应的点记“临时”标号，供进一步计算使用。
前点标号i : 表示点vs到vj的最短路上vj的前一点。 如i=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
∴ 点v8得永久标号， 8=5 ，
即从v1到v8的最短路长为u8=12，
∵ 8=5 ， 5=2 ， 2=3 ， 3=1 ，
知从v1到v8 的最短路为：
P1，8=P（v1，v3 ， v2， v5，v8）
v2 1
v5
2
v9
6 2
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
问题：①本例中，v1到v9的最短路？
6
1
2
10
v4
1,1
v5 1, ∞ 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
最短路算法上课ppt
优点
缺点
优点
优点
效率低，需要遍历所有点（特别是有时候不需要最优解）、运算中占用空间大
缺点
算法简明易懂、并且一定能得到最优解
优点
Dijkstra算法可能不是最优先使用的方法，因为算法的运算速度效率，往往要比精确度更加重要
实际运用
但似乎在实际运行时效果并不理想！ 这样利用Dijkstra算法设计一个属于我们自己的导航系统啦。
最佳优先搜索简介
这个算法的运算流程跟Dijkstra的流程类似，只不过它考察的是选取点到终点的距离，并且这个距离的权值是评估出来的，这也就是启发式的思想。举例说明，如果说目标的终点在北面，那么越靠近北面的点权值就越小，那么算法在搜索过程中，所加入点集的点就会倾向于北面，因此不用搜索全图东南西北，更多的是搜索北面的点，速度来说会优于Dijkstra算法很多。
01
A*算法能够解决有固定障碍物的路径规划问题，并且能很快地给出解，但是当障碍物是移动的时候，我们又应该如何对算法进行改从而给出解呢？
02
一个典型问题：AGV小车线路规划！
智能码头：AGV
AGV中文名：自动导引小车
是自动化码头水平运输系统中用于搬运集装箱的搬运设备。
其主要职责：就是在规定的时间窗口范围内完成堆场和岸桥之间实现集装箱的传送。
一
算法的描述上看去相当复杂，我们给出下面例子来具体说明整个算法的运行流程！
首先我们要有如下概念：
假设P：v→km是从顶点v到km的一条最短路径，那对这条路径上任意其他一点ki，都有 P上关于v→ ki的子路径为v到点ki的最短路径。
即最短路径的子路径仍然是最短路径，最短路算法本质上上基于这种思想展开的。
最短路问题及相关算法介绍
最短路问题(课堂PPT)
5
5
0
5
V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
6
(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
3 2 4 1
时间
2 3 3 2
25
0
5
V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
0
5
V2
3
6 5 5 V6
5
0
5
V2
3
6 6 5 5 V6
V1 4
7 2
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6
8
V5 4
V3
V7
4
7
(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
5
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3
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V1 4
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6
8
V5 4
V3
V7
4
6
(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
3 2 4 1
时间
2 3 3 2
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5
V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
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V5 4
V3
V7
4
(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
0
5
V2
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6 6 5 5 V6
V1 4
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V4 7
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V5 4
V3
V7
4
7
(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
图论模型：最短路24页PPT
T ( v 1 , n 0 ) f 0 { } 1 m , 0 i2 } n 2 {
T ( v 2 ) m T ( v 2 ) i P ( v , 0 n ) f 0 { } 2 m , 0 i 8 } n 8{
T ( v 3 ) m T ( v 3 ) P i ( v , 0 n ) f 0 } { 3 m , 0 i 1 } n 1{
称其为图解。凡是有向图，在图解上用箭头标明其方 向。
例 设 V ＝ v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } ， E 如 { v 1 v 2 , v 1 v 3 , v 1 v 4 , v 2 v 3 , v 2 v 4 , v 3 v 4 }
则G＝（V,E）是一个有4个顶点、6条边的图，其
v的路径，用E(P)表示路径P(u,v)的全部边的集合，
记为，
，则称F(P)为路径P(u,v) 的权或长
度。
F(P) F(e)
eE(P)
▪ 定义2 若P0(u,v)是G中连接u,v的路径，且对任意
在G中连接u,v的路径P(u,v)，都有F(P0)≤F(P),则
称P0(u,v)是G中连接u,v的最短路径。
▪ 定义4 任意两点都有通路的图称为连通图。
▪ 定义5 连通而无圈的图称为树，常用T表示树。
§7.2 最短路模型及其算法
▪ 最短路问题是网络理论中应用最为广泛的问题之一， 不少优化问题可化为这个模型。如管道的铺设、运 输网络的设计、线路安排、设备更新、厂区布局等。
▪ 定义1 设P（u,v）是赋权图G=(V,E,F)中从点u到点
定若 理 v0v1v2 vk是 G 中v0 从 到 vm 的最短 路 i,j, ，
1ijm , vivi1 vj必G 为 中vi从 到 vj的最 . 短
相关主题
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 给vi点一个P标号时，表示从v0（起点）到点vi的 最短路权，vi点的标号不再改变；给vi点一个T标 号时，表示从v0到vi的估计最短路权，是一种临时 标号。凡没有得到P标号的点都标有T标号。
• 算法每一步是把某一点的T标号改为P标号，当终点 得到P标号时全部计算结束。其具体步骤如下：
• （1）赋初值：给起点v0以P标号，P(v0)＝0，其余 各点vi均为T标号,T（vi）＝+∞；
• 定义2 若将图G的每条边e都对应一个实数F(e)，则称F （e） 为该边的权，并称图G为赋权图，记为G=(V,E,F)。
• 定义3 设G=(V,E)是一个图，
，
v0 , v1, v2 ,, vk V ,且1 i k, vi1vi E
• 则称是G的一个通路。如果通路中没有相同的边，则称此 通路为道路；始点和终点相同的道路称为圈或回路；如果 通路中既没有相同的边，又没有相同的顶点，则称此通路 为路径，简称路。
(6)v1为 刚 得 到P标 号 的 点 ， 考 察 边v1 v2 , v1 v4的 端 点v2 , v4 :
v的路径，用E(P)表示路径P(u,v)的全部边的集合，
记为，
，则称F(P)为路径P(u,v) 的权或长
度。
F(P) F(e)
eE(P)
• 定义2 若P0(u,v)是G中连接u,v的路径，且对任意
在G中连接u,v的路径P(u,v)，都有F(P0)≤F(P),则
称P0(u,v)是G中连接u,v的最短路径。
6
8 V2
V0
17
5
3
1
6
V5 2
4
8
V7 3
(2)由于边v0v1 , v0v2 , v0v3 E,
V3
9
V6
且v1 , v2 , v3为T标号，所以修正这些点的标号.
T (v1) min{T (v1), P(v0 ) f01} min{ ,0 2} 2
T (v2 ) min{T (v2 ), P(v0 ) f02} min{ ,0 8} 8
例 如 设V＝v1, v2 , v3, v4}，E {v1v2 , v1v3, v1v4 , v2v3, v2v4 , v3v4}
则G＝（V,E）是一个有4个顶点、6条边的图，其
图解如下图： v3
v4
e6
v3e2 e3来自e6v4e4
e5
v1
e1
v2
e3 e2
e5
e4
v1
e1
v2
一个图会有许多外形不同的图解，如上图。
• 如果G的每条边都是无向边，则称G为无向图；如果G 的每条边都是有向边，则称G为有向图。否则称G为 混合图。并且常记E＝{e1,e2,…,em},
• (ek=vivj,i,j=1,2,…,n), • 对于一个图G=（V,E），人们通常用一个图形来表示，
称其为图解。凡是有向图，在图解上用箭头标明其方 向。
第六章 图论方法
§7.1 图论的基本概念
• 定义1 一个有序二元组（V,E）称为一个图，记为G= （V,E），其中① V称为G的顶点集，V≠Φ，V中的元 素称为顶点或结点，简称点；② E称为G的边集，其 元素称为边，它连接V中的两个点，如果这两个点是 无序的，则称该边为无向边；否则，称为有向边。
• 如果V＝｛v1,v2,…,vn}是有限非空点集，则称G为有 限图或n阶图。
定 理若v0v1 v2 vk 是G中 从v0到vm的 最短 路 ， 则 对i, j,
1 i j m,
vi
vi
1
v
必
j
为G中
从vi
到v
的
j
最
短
路.
定义3 设v0v1v2 vm是G中从v0到vm的最短路，则对k,
1 k m，称vk1为vk的父点.
• 根据上述定理，著名计算机专家狄克斯特拉 （Dijkstra）给出了求G中某一点到其他各点最短 路径的算法——标号法：T标号与P标号。T标号为 试探性标号，P标号为永久性标号。
• 当存在两个以上最小时，可同时改为P标号，若全 部点均为P标号，则停止；
否则，用vj*代替vi ,转回（2）.
• 例2 求下图中V0到其余各点的最短路。
解 ：(1)首 先 给v0以P标 号 ， P(v0 ) 0,其 余 各 点 为T标 号 ， T(vi ) ,i 1,2,,7.
V1
1
V4
2
• 称点vi,vj为边vivj的端点。在有向图中，称点vi,vj分 别为有向边vivj的始点和终点；称边vivj为点vi的出 边，为点vj入边。
• 由边连接的两个点称为相邻的点；有一个公共端点的边称 为相邻边；边和它的端点称为互相关联。常用d(v)表示图 G中与顶点v关联的边的数目，d(v)称为顶点v的度数；用 N（v）表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合。
• （2）更新所有的T标号：若vi点为刚得到的P标号 的点,考虑这样的点vj，边vivj∈E，且vj为T标号，对 vj的T标号进行如下的更改： T(vj ) min{T(vj ), P(vi ) f i j}, fij 为边vi vj的权数.
• （3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，
即：P(vj* ) min{T (v j )}
V1
1
V4
T (v2 ) min{T (v2 ), P(v3 ) f32} min{8,1 7} 8
2
6
5
3
8
T (v6 ) min{T (v6 ), P(v3 )
T (v1) 2
f 36 } V0
8miVn2{
17
1,1
V5
2
96 }
4
3
9
V7
(5)比 较 所 有T标 号 ，T(v1 )最 小 ，V3 所9以 令P(vV16 ) 2
• 定义4 任意两点都有通路的图称为连通图。
• 定义5 连通而无圈的图称为树，常用T表示树。
§7.2 最短路模型及其算法
• 最短路问题是网络理论中应用最为广泛的问题之一， 不少优化问题可化为这个模型。如管道的铺设、运 输网络的设计、线路安排、设备更新、厂区布局等。
• 定义1 设P（u,v）是赋权图G=(V,E,F)中从点u到点
T (v3 ) min{T (v3 ), P(v0 ) f03} min{ ,0 1} 1
(3)比 较 所 有 的T标 号 ，T(v3 )最 小 ， 所 以 令 ：P(v3 ) 1;
(4)v3为 刚 得 到P标 号 的 点 ， 考 察 边v3v2 , v3v6的 端 点v2 , v3 :