[名校联盟]河南省焦作市博爱县第一中学高中数学必修五《基本不等式求函数最值》课件解析

合集下载

利用基本不等式求最值(解析版)-高中数学

利用基本不等式求最值题型梳理【题型1直接法求最值】【题型2配凑法求最值】【题型3常数代换法求最值】【题型4消元法求最值】【题型5构造不等式法求最值】【题型6多次使用基本不等式求最值】【题型7实际应用中的最值问题】【题型8与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型1直接法求最值】1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+1a+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a>0，所以a+1a+1≥2a⋅1a+1=3，当且仅当a=1a即a=1时取等号；故选：B.【变式训练】1(2023·北京东城·统考一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.22【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x-4≥2x×4x-4=0，当且仅当x=4x即x=2时等号成立．故选：B．2(2023上·山东·高一统考期中)函数y=x2-x+9x(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5D.9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2-x+9x=x+9x-1≥2x⋅9x-1=5，当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，故选：C.3(2023下·江西·高三校联考阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+43【解题思路】依题意可得3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2≥7+21x2⋅12x2=7+43，当且仅当1x2=12x2，即x4=112时，等号成立，故3+1 x21+4x2的最小值为7+4 3.故选：D.【题型2配凑法求最值】1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知a>1，则a+16a-1的最小值为()A.8B.9C.10D.11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1，所以由a+16a-1=a-1+16a-1+1≥2a-1⋅16a-1+1=9，当且仅当a-1=16a-1时取等号，即a=5时取等号，故选：B.【变式训练】1(2023上·吉林·高一校考阶段练习)已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由x-3>0，则y=2x-3+2(x-3)+6≥22x-3⋅2(x-3)+6=10，当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.2(2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习)设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x-2>0，所以y=4x-1+4x-2=4x-2+4x-2+7≥24x-2⋅4x-2+7=15，当且仅当4x -2 =4x -2，即x =3时等号成立，所以函数y =4x -1+4x -2的最小值为15，故选:D ．3(2023上·辽宁·高一校联考期中)若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则2xx -1+4y y -1的最小值为()A.6+26B.4+62C.2+46D.6+42【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则有1x +1y=1，所以x >1，y >1，2x x -1+4y y -1=2x -1 +2x -1+4y -1 +4y -1=6+2x -1+4y -1≥6+22x -1⋅4y -1=6+28xy -x +y +1=6+42，当且仅当2x -1=4y -1，即x =1+22,y =1+2时等号成立.所以2x x -1+4y y -1的最小值为6+4 2.故选：D .【题型3 常数代换法求最值】1(2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习)已知a >0，b >0，若2a +3b=1，则2a +b3的最小值是()A.8B.9C.10D.11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得a >0，b >0，2a +3b=1，所以2a +b 3=2a +b 3 2a +3b =4+1+2b 3a +6ab ≥5+22b 3a ×6a b=9，当且仅当2b 3a =6ab 时，即a =3，b =9，取等号，故B 项正确.故选：B .【变式训练】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，点M 1,4 在直线xa +y b=1上，则a +b 的最小值为()A.4B.6C.9D.12【解题思路】根据题意可得1a+4b=1，结合基本不等式运算求解.【解答过程】由题意得1a+4b=1，且a>0,b>0，故a+b=a+b⋅1a+4b=5+b a+4a b≥5+2b a×4a b=9，当且仅当ba=4ab，即a=3，b=6时，等号成立.故选：C.2(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.19【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴2y+8x=1,x+y=x+y2y+8x=2x y+8+2+8y x≥22x y×8y x+10=18,∴2 x+y ≤218=19.故选:D.3(2023·重庆·统考一模)已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解题思路】首先根据题意求出0≤a<12，0<b≤1，然后将原式变形得2a2a+1+b2+1b=2a+1+1b-1，最后利用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2a+b=1，且a,b为非负实数，b≠0，则a≥0,b>0则b=1-2a>0，解得0≤a<12，2a=1-b≥0，解得0<b≤1，∴2a2 a+1+b2+1b=2(a+1)2-4(a+1)+2a+1+b2+1b=2(a+1)-4+2a+1+b+1b=(2a+b-2)+2a+1+1b=2a+1+1b-12 a+1+1b=42a+2+1b=13(2a+2)+b⋅42a+2+1b=135+4b2a+2+2a+2b≥135+24b2a+2⋅2a+2b=3，当且仅当4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，2a+b=1时,即b=1,a=0时等号成立，故2a+1+1b-1min=2，故选：B.【题型4消元法求最值】1(2023上·江苏·高一校联考阶段练习)已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为12.【解题思路】根据指数方程，得出x,y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3x-4=9y，可得x-4=2y，即x=2y+4，代入x+8y中，可得2y+4+8y=2y+8y+4≥22y⋅8y+4=12,当且仅当y=2,x=8时，取等号，所以x+8y的最小值为12.故答案为：12.【变式训练】1(2023上·安徽池州·高一统考期中)已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为62-5.【解题思路】根据题意，化简得到x+2y=x2-3x+14x+1，设t=x+1，求得x2-3x+14x+1=t+18t-5，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得y=7-2xx+1，则x+2y=x+2×7-2xx+1=x2-3x+14x+1，设t=x+1，可得x=t-1且t>1，可得x2-3x+14x+1=t2-5t+18t=t+18t-5≥2t⋅18t-5=62-5，当且仅当t=18t时，即t=32时，等号成立，所以x+2y的最小值为62-5.故答案为：62-5.2(2023上·山东淄博·高一校考阶段练习)已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为13.【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b-2>0，由于b>0，所以b>2，故a+2b=b+6b-2+2b=8b-2+2b-2+5，由于b>2，所以8b-2+2b-2≥216=8，当且仅当b=4时等号成立，故a+2b=8b-2+2b-2+5≥13，故a+2b的最小值为13，故答案为：13.3(2023·上海崇明·统考一模)已知正实数a, b, c, d满足a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=22+1．【解题思路】将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，进而转化为a,b与圆心0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【解答过程】可将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，由a2-ab+1=0，得b=a+1 a，而c2+d2=1表示以0,0为圆心，1为半径的圆，c,d为圆上一点，则a,b与圆心0,0的距离为：a2+b2=a2+a+1 a2=2a2+1a2+2≥22a2⋅1a2+2= 22+2，当且仅当2a2=1a2，即a=±412时等号成立，此时a,b与圆心0,0的距离最小，即a,b与c,d两点间距离的平方最小，即(a-c)2+(b-d)2取得最小值.当a=412时，ab=a2+1=22+1，故答案为：22+1.【题型5构造不等式法求最值】1(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是()A.ab的最大值为8B.1a-1+2b-2的最小值为2C.a+b有最小值3+2D.a2-2a+b2-4b有最大值4【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式化成a-1b-2=2，即可得1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，即B正确；不等式变形可得2b+1a=1，利用基本不等式中“1”的妙用可知a+b≥3+22，C错误；将式子配方可得a2-2a+b2 -4b=(a-1)2+(b-2)2-5，再利用基本不等式可得其有最小值-1，无最大值，D错误.【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥22ab，即ab≥22，故ab≥8，当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8，A错误；对于B选项，原式化为a-1b-2=2,b=2aa-1>0，故a-1>0；a=bb-2>0，故b-2>0；所以1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，当且仅当a=2,b=4时等号成立，B正确；对于C选项，原式化为2b+1a=1，故a+b=a+b2b+1a=2a b+1+2+b a≥3+22，当且仅当a=2+1,b=2+2时等号成立，C错误；对于D选项，a2-2a+b2-4b=(a-1)2+(b-2)2-5≥2a-1b-2-5=-1，当且仅当a=1+2,b=2+2时等号成立，故有最小值-1，D错误．故选：B.【变式训练】1(2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是8D.x+2y的最大值是42-3【解题思路】利用基本不等式得x+y+xy-3≥(xy+3)(xy-1)、x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3分别求xy、x+y的最值，注意取等条件；由题设有x=3-yy+1且0<y<3代入x+4y、x+2y，结合基本不等式求最值，注意取等条件.【解答过程】由x+y+xy-3≥xy+2xy-3=(xy+3)(xy-1)，当且仅当x=y=1时等号成立，即(xy+3)(xy-1)≤0，又x>0，y>0，故0<xy≤1，仅当x=y=1时等号成立，所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A错误；由x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以(x+y)24+(x+y)-3≥0，即(x+y+6)(x+y-2)≥0，又x>0，y>0，则x+y≥2，仅当x=y=1时等号成立，故x+y的最小值是2，B正确；由x+y+xy-3=0，x>0，y>0，可得x=3-yy+1，且0<y<3，所以x +4y =3-y y +1+4y =4y 2+3y +3y +1=4(y +1)2-5(y +1)+4y +1=4(y +1)+4y +1-5≥24(y +1)⋅4y +1-5=3，当且仅当y +1=1，即y =0、x =3时等号成立，故x +4y >3，C 错误；同上，x +2y =3-y y +1+2y =2y 2+y +3y +1=2(y +1)2-3(y +1)+4y +1=2(y +1)+4y +1-3≥22(y +1)⋅4y +1-3=42-3，当且仅当y +1=2，即y =2-1、x =22-1时等号成立，故x +2y ≥42-3，D 错误；故选：B .2(2023上·江苏·高一专题练习)下列说法正确的是()A.若x >2，则函数y =x +1x -1的最小值为3B.若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y 的最小值为5C.若x >0，y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1D.若x >1，y >0，x +y =2，则1x -1+2y的最小值为3+22【解题思路】选项A ：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项B ：由基本不等式进行判断即可，选项C ：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项D ：对式子进行变形得到1+yx -1+2x -1 y+2，再利用基本不等式进行判断即可．【解答过程】解：选项A ：y =x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2x -1·1x -1+1=3，当且仅当x -12=1时可以取等号，但题设条件中x >2，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y =153x +1y 5x +4y =1519+5x y +12y x ≥1519+25x y ·12y x=19+4155，当且仅当5xy =12y x时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：3-xy =x +y ≥2xy ⇒xy +2xy -3≤0当且仅当x =y 时取等号，令xy =t t ≥0 ，t 2+2t -3≤0，解得-3≤t ≤1，即0<xy ≤1，故xy 的最大值为1，故C 错误；选项D ：x +y =2，(x -1)+y =1，1x -1+2y =1x -1+2y·x -1 +y =1+y x -1+2x -1 y+2≥3+2y x -1·2x -1y=3+22，当且仅当y =2x -2时取等号，又因为x +y =2，故x =2y =2-2 时等号成立，即1x -1+2y最小值可取到3+22，故D 正确．故选：D ．3(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设正实数x ,y 满足x +2y =3，则下列说法错误的是()A.y x +3y 的最小值为4 B.xy 的最大值为98C.x +2y 的最大值为2D.x 2+4y 2的最小值为92【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A ，y x +3y =y x +x +2y y =y x +x y +2≥2yxxy+2=4，当且仅当x =y =1时取等号，故A 正确；对于B ，xy =12⋅x ⋅2y ≤12×x +2y 2 2=12×94=98，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时取等号，故B 正确；对于C ，(x +2y )2=x +2y +22xy ≤3+22×98=3+3=6，则x +2y ≤6，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时，故C 错误；对于D ，x 2+4y 2=(x +2y )2-4xy ≥9-4×98=92，当且仅当x =32,y =34时取等号，故D 正确.故选：C .【题型6 多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，满足a +b ≥92a +2b，则a +b 的最小值为()A.5B.52C.52D.522【解题思路】先根据基本不等式求出92a +2ba +b ≥252.然后即可根据不等式的性质得出a +b2≥92a +2ba +b ≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a >0，b >0，a +b >0.因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab≥29b2a×2ab+132=6+132=252，当且仅当9b2a=2ab，即2a=3b时等号成立.所以，a+b2≥92a+2ba+b≥252，当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即a=322b=2时，两个等号同时成立.所以，a+b≥322+2=522.故选：D.【变式训练】1(2023·山东菏泽·统考一模)设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为()A.22-1B.22+1C.2-1D.2+1【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【解答过程】当x>0时，1x+2xy=x+yx+2xy=yx+2xy+1≥2yx⋅2xy+1=22+1，当且仅当yx=2xy，即x=2-1，y=2-2时等号成立，此时有最小值22+1；当x<0时，1x+2xy=x+y-x+-2xy=y-x+-2xy-1≥2y-x⋅-2xy-1=22-1.当且仅当y-x=-2xy，即x=-1-2，y=2+2时等号成立，此时有最小值22-1.所以，1x+2xy的最小值为22-1.故选：A.2(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为()A.1B.32C.2 D.52【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，所以xy +zx=2≥2xy ×z x =2yz ⇒yz ≤1，当且仅当z =yx 2时，yz =1，所以4y +1z≥24y ×1z=24yz≥241=4，当且仅当4y =1z且yz =1时，等号成立；所以当yz =1且4y =1z 时，4y +1z取得最小值4，此时解得y =2z =12 ⇒y +z =52，故选：D .3(2023上·辽宁大连·高一期末)若a >0,b >0,a +b =1，则a 2+3ab a +2b +2b +1-1b 的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-22【解题思路】由已知可得a 2+3ab a +2b +1b +1=3-2b -1b +1，进而有a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【解答过程】由题设，a 2+3ab a +2b +1b +1=a (a +3b )+1b +1=a (2b +1)+1b +1，而a =1-b >0，b >0，所以a (2b +1)+1b +1=2+b -2b 2b +1=1+1-2b 2b +1=1+2(1-b 2)-1b +1=3-2b -1b +1，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b 且0<b <1，又2b +1b≥22b ⋅1b =22，当且仅当b =22时取等号，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b ≤3-22，当且仅当a =1-22,b =22时取等号，即目标式最大值为3-2 2.故选：D .【题型7 实际应用中的最值问题】1(2023上·四川眉山·高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为400m 2的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为8400元/m 2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m 2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m 2.设总造价为y (单位：元)，AD 长为x (单位：m ).(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【解题思路】(1)由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM=400-x2 4x；(2)先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.【解答过程】(1)由题意可得，矩形AMQD的面积为S AMQD=400-x24,因此AM=400-x24x，∵AM>0，∴0<x<20.(2)y=8400x2+420×400-x2+160×4×12×400-x24x2=8000x2+3200000x2+152000，0<x<20，由基本不等式y≥28000x2×3200000x2+152000=472000，当且仅当8000x2=3200000x2，即x=25时，等号成立，故当x=25时，总造价y最小，最小值为472000元.【变式训练】1(2023上·山东·高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a x+2x元(a>0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【解题思路】(1)根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】(1)设甲工程队的总造价为y 元，则y =150×2x +16x×3+400×16+800=900x +16x+7200≥900×2x ⋅16x +7200=14400当且仅当x =16x时，即x =4时等号成立.即当宽为4m 时，甲工程队的报价最低，最低为14400元.(2)由题意可得900x +16x +7200>900a x +2 x.对∀x ∈2,6 恒成立.即a <x 2+8x +16x +12令y =x 2+8x +16x +2=x +2 +4x +2+4∵2≤x ≤6,∴4≤x +2≤8.令t =x +2,t ∈4,8 ，则y =t +4t+4在4,8 上单调递增.且t =4时，y min =9.∴0<a <9.即a 的取值范围为0,9 .2(2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x 米(1≤x ≤5)．(1)记y 为甲工程队整体报价，求y 关于x 的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t (x +1)x元，问是否存在实数t ，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t 满足的条件；若不存在，请说明理由．【解题思路】(1)根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;(2)由题意可得不等关系240184x +10x-3120>4800t (x +1)x,对任意x ∈[1,5]都成立，进而转化t <10x 2-13x +18420(x +1)恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.【解答过程】(1)由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为24x米，正面费用为3604×24x-2×6,故y=3604×24x-2×6+4×24x×100+2×300×4x+1200=240184x +10x-3120，1≤x≤5.(2)由题意知, 240184x +10x-3120>4800t(x+1)x，对任意x∈[1,5]都成立,即t<10x2-13x+18420(x+1)对任意x∈[1,5]恒成立，令k=x+1,则x=k-1,k∈[2,6]，则t<10(k-1)2-13(k-1)+18420k=10k2-33k+20720k=k2+20720k-3320，而k2+20720k≥2k2⋅20720k=20710，当且仅当k=20710∈[2,6]取等号，故0<t<20710-3320，即存在实数0<t<20710-3320，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.3(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【解题思路】(1)根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.(2)根据(1)利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时AD和CD的值.【解答过程】(1)根据题意DC=xcm，矩形海报纸面积为36000cm2，所以AD=36000xcm，又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，所以四个宣传栏的总面积y =CD -5×10 AD -2×10 =x -50 36000x-20 ，其中x -50>036000x -20>0 所以x ∈50,1800 .即y =x -50 36000x-20,x ∈50,1800 .(2)由(1)知y =x -50 36000x-20 ,x ∈50,1800 ，则y =x -50 36000x -20 =37000-20x +1800000x,x ∈50,1800 20x +1800000x≥220x ×1800000x =12000，当且仅当x =300时取等号，则y =37000-20x +1800000x≤25000，当且仅当x =300时取等号，即CD =300cm ,AD =36000300=120cm 时，可使用宣传栏总面积最大为25000cm 2.【题型8 与其他知识交汇的最值问题】1(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足c +b cos2A =2a cos A cos B A ≤B .(1)求A ；(2)若角A 的平分线交BC 于D 点，且AD =1，求△ABC 面积的最小值.【解题思路】(1)由已知结合正弦定理边化角即可求解;(2)表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【解答过程】(1)由已知和正弦定理可得：sin C +sin B cos2A =2sin A cos A cos B ，所以sin C =sin2A cos B -sin B cos2A =sin (2A -B )>0.又因为C ∈(0,π)，2A -B ∈(0,π)，所以C =2A -B 或者C +2A -B =π.当C =2A -B 时，A +B +2A -B =π，A =π3；当C +2A -B =π时，A =2B 与题设A ≤B 不符.综上所述，A =π3.(2)△ABC 面积S =12bc sin π3=34bc ，由AD 是角平分线，∠BAD =∠CAD =π6，因为S △ABC =S △ABD +S △ADC ，得12bc sin π3=12b sin π6+12c sin π6，即b +c =3bc ，由基本不等式3bc ≥2bc ，bc ≥43，当且仅当b=c=233时等号成立.所以面积S=34bc≥34×43=33.故△ABC面积的最小值3 3.【变式训练】1(2023上·安徽铜陵·高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l 都经过点(0,2)，且l⊥l ，直线l交圆C于M，N两点，直线l 交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．【解题思路】(1)根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；(2)根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【解答过程】(1)由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r=3．所以圆C的方程为x2+y2=9．(2)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2，圆心到直线l的距离为d，则d=2k2+1，|MN|=232-d2=29-4k2+1，同理可得|PQ|=29-41k2+1=29-4k2k2+1，则S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×29-4k2+1×29-4k2k2+1=29-4k2+19-4k2k2+1≤9-4 k2+1+9-4k2k2+1=14，当且仅当9-4k2+1=9-4k2k2+1，即k2=1时等号成立．当直线l的斜率不存在时，|MN|=6，|PQ|=232-22=25，此时S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×6×25=65．当直线l的斜率为0时，根据对称性可得S PMQN=65．综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．2(2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f x 满足f f x +12x+1-ln x=23恒成立．(1)设f x +12x+1-ln x=k，求实数k的值；(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；(3)设g x =f x -ln x，若g x ≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．【解题思路】(1)由题意列方程求解；(2)由函数的单调性转化后求解；(3)参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.【解答过程】(1)由题意得f x =ln x-12x+1+k，f k =ln k-12k+1+k，由于y=ln k-12k+1+k在k∈0,+∞上单调递增，观察ln k-12k+1+k=23，可得k=1；(2)由于f x 在定义域内单调，所以f x +12x+1-ln x为常数，由(1)得f x =ln x-12x+1+1，f x 在x∈0,+∞上单调递增，f-x=ln-x-12-x+1+1=ln-ex-2x2x+1，故原不等式可化为f7+2x>-2x2x+1+ln-ex=f-x，由2x+7>0-x>07+2x>-x，解得-73<x<0，故原不等式的解集为-7 3 ,0；(3)g x =f x -ln x=-12x+1+1=2x2x+1>0，g x ≥mg2x可化为m≤2x2x+1⋅4x+14x=4x+14x+2x=1+-2x+14x+2x对于任意的x∈1,2恒成立，设t=-2x+1∈-3,-1，则-2x+14x+2x=t1-t2+1-t=1t+2t-3，t∈-3,-1，由基本不等式得t+2t=--t+2-t≤-22，当且仅当-t=2-t即t=-2时等号成立，故当t=-2时1t+2t-3min=22-3，故m≤22-2，当且仅当x=log22+1等号成立.实数m的取值范围为-∞,22-2.3(2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.(1)证明：点P 在A 1C 1上；(2)若AB =BC ，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值.【解题思路】(1)由二面角定义知AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，利用线面垂直的判定及性质可证PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，结合面APC 与面ACC 1A 1有交线，确定它们同平面，进而证结论；(2)构建空间直角坐标系，令P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，求直线方向向量、平面法向量，应用空间向量夹角坐标表示、基本不等式求线面角正弦值的最大值，注意取值条件.【解答过程】(1)由∠APC 是二面角A -PD 1-C 的平面角，则AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，又AP ∩CP =P ，AP ,CP ⊂面APC ，则PD 1⊥面APC ，又AC ⊂面APC ，即PD 1⊥AC ，由长方体性质知A 1C 1⎳AC ，故PD 1⊥A 1C 1，由长方体性质：AA 1⊥面A 1B 1C 1D 1，又PD 1⊂面A 1B 1C 1D 1，则PD 1⊥AA 1，又A 1C 1∩AA 1=A 1，A 1C 1,AA 1⊂面ACC 1A 1，故PD 1⊥面ACC 1A 1，而面APC ∩面ACC 1A 1=AC ，且PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，根据过AC 作与PD 1垂直的平面有且仅有一个，所以面APC 与面ACC 1A 1为同一平面，又P ∈面A 1B 1C 1D 1，面ACC 1A 1∩面A 1B 1C 1D 1=A 1C 1，所以点P 在A 1C 1上；(2)构建如下图示的空间直角坐标系A -xyz ，令AB =BC =1，AA 1=k ，由题设，长方体上下底面都为正方形，由(1)知PD 1⊥A 1C 1，则P 为A 1C 1中点，所以P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，则AP =12,12,k ，PC =12,12,-k ，PD =-12,12,-k ，若m =(x ,y ,z )是面PCD 的一个法向量，则m ⋅PC =12x +12y -kz =0m ⋅PD =-12x +12y -kz =0，令y =2，则m =0,2,1k，所以|cos ‹AP ,m ›|=|AP ⋅m||AP ||m |=212+k 2⋅4+1k 2=23+4k 2+12k 2≤23+22=2(2-1)，仅当k =422时等号成立，故直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值为2(2-1).直击真题1(2022·全国·统考高考真题)若x ，y 满足x 2+y 2-xy =1，则()A.x +y ≤1B.x +y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【解答过程】因为ab ≤a +b 2 2≤a 2+b 22(a ,b ∈R )，由x 2+y 2-xy =1可变形为，x +y 2-1=3xy ≤3x +y 2 2，解得-2≤x +y ≤2，当且仅当x =y =-1时，x +y =-2，当且仅当x =y =1时，x +y =2，所以A 错误，B 正确；由x 2+y 2-xy =1可变形为x 2+y 2-1=xy ≤x 2+y 22，解得x 2+y 2≤2，当且仅当x =y =±1时取等号，所以C 正确；因为x 2+y 2-xy =1变形可得x -y 2 2+34y 2=1，设x -y 2=cos θ,32y =sin θ，所以x =cos θ+1 3sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ-13cos2θ+13=43+23sin2θ-π6∈23,2，所以当x=33,y=-33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC．2(2020·山东·统考高考真题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2【解题思路】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【解答过程】对于A，a2+b2=a2+1-a2=2a2-2a+1=2a-1 22+12≥12，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；对于B，a-b=2a-1>-1，所以2a-b>2-1=12，故B正确；对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2a+b22=log214=-2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；故选：ABD.3(2020·全国·统考高考真题)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.32【解题思路】因为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.【解答过程】∵C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=bax，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=-bax，解得{x=ay=-b故E(a,-b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8当且仅当a=b=22取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.4(2021·天津·统考高考真题)若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为22．【解题思路】两次利用基本不等式即可求出.【解答过程】∵a>0,b>0，∴1 a +ab2+b≥21a⋅ab2+b=2b+b≥22b⋅b=22，当且仅当1a=ab2且2b=b，即a=b=2时等号成立，所以1a+ab2+b的最小值为2 2.故答案为：2 2.5(2020·天津·统考高考真题)已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为4【解题思路】根据已知条件，将所求的式子化为a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4，当且仅当a+b=4时取等号，结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3，或a=2+3,b=2-3时，等号成立.故答案为：4.6(2020·江苏·统考高考真题)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是45．【解题思路】根据题设条件可得x 2=1-y 45y 2，可得x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵5x 2y 2+y 4=1∴y ≠0且x 2=1-y 45y 2∴x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y2+4y 25≥215y 2⋅4y 25=45，当且仅当15y2=4y 25，即x 2=310,y 2=12时取等号.∴x 2+y 2的最小值为45.故答案为：45.7(2019·天津·高考真题)设x >0, y >0, x +2y =5，则(x +1)(2y +1)xy的最小值为43【解题思路】把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．【解答过程】∵(x +1)(2y +1)xy =2xy +x +2y +1xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴2xy +6xy ≥2⋅23xyxy =43，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立，故所求的最小值为43．8(2017·江苏·高考真题)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【解题思路】得到总费用为4x +600x ×6=4x +900x，再利用基本不等式求最值．【解答过程】总费用为4x +600x ×6=4x +900x≥4×2900=240，当且仅当x =900x，即x =30时等号成立．故答案为30.。

高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2.1利用基本不等式求最值课件北师大版必修5

.
(2)已知x>0,y>0,且2x+3y=1,则xy的最大值为
.
�� 9��
解析 :(1)∵x>0,y>0, + = 1,
��
1
9
∴x+y=
1 ��
�� + �� = +
��
��
1 1 1
1
1
题型一
题型二
题型三
题型三易错辨析易错点:忽视不等式成立的条件致误
【例 3】若 x<0,则 x+ 有最
�� 1 1 1 ��
1
值,是
.
错解 ∵x+ ≥2 ��· =2,∴x+ 有最小值 2. 答案小 2 错因分析不等式 a+b≥2 ��成立的条件是 a>0,b>0.错解中忽视了这个条件,导致出错. 正解 ∵x<0,
6 1 1 2�� +3�� 2 6
1 24
2
= × =
6 4 1 4
1
1
1 24
,
1 6
当且仅当 2x=3y,且 2x+3y=1,即 x= , �� = 时,等号成立 .
答案:(1)16 (2)
题型一
题型二
题型三
反思由 x+y≥2 ��(�� > 0, �� > 0)知,和为定值时,积有最大值; 积为定值时,和有最小值.

利用基本不等式求最值

复习:
1.基本不等式:
a
2
b
ab (a 0，b 0)
（当且仅当a=b时取“ =”）
2.其他形式:
①a2 b2 2ab (a, b R) ②ab a2 b2 (a, b R) 2
③a b 2
ab
（a,b
R※）④ab
a b 2 2
(a, b R※)
探求方法：
1：求函数 y (10 x)(50 x) x [10， 50]的最大值
5 2
小结
练习：
1.已知函数y tan cos ， (0, ),求函数y的最小值
s in
2
2.已知x 1, y 1,且lg x lg y 4, 求lg x lg y的最大值
3.若x (0, ],求函数y sin x 4 的最小值
2
sin x
小结
思考:
已知x, y为正实数，且x y 1，求 2 1 的最小值
3.已知0 x 1 ,求函数y x(1 2x)的最大值 2
4：设0 x 2,求函数f (x) 3x(8 3x)的最大值, 并求相应的x值
活学活用
例3：若x > 3 ,求 y x 1 的最小值
x3
变：若x 5呢？
温馨提示:当运用基本不等式求最值,等号无法成立时,一般地改用函数的单调性
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
例1：求函数y x + 1（x > 0)的最小值， x
并求函数取最小值时的x 的值
变1：若x<0,求y = x + 1的最大值 x
变2：求y x 1 (x 0)的值域 x
例2：求函数y x(3 x) 0 x 3的最大值并求函数取得最大值时的x的值

基本不等式求最值课件

证明方法一
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。

人教版高中数学必修五《基本不等式求最值问题》

几个常用的不等式变形
(1)a ＋b ≥2ab (a，b∈R)．
a＋b 2 (2)ab≤ 2 (a，b∈R)．
2 2
b a (3) ＋ ≥2 (ab>0)． a b
4 例 1: 已知 x>2，求 y=x＋的最小值； x－2
解：
x 2
x2 0
4 4 4 y x x2 2 2 ( x 2) 26 x2 x2 ( x 2)
运用以上结论求最值要注意下列三个问题： (1)要求各数均为正数； (2)要求“和”或“积”为定值； (3)要注意是否具备等号成立的条件．简称 “
一正、二定、三相等
”．
总结利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a， b 为正实数，且 a＋b 为定值，则 ab≤
PART1 PART2 PART3
了解基本不等式
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
进一步培养学生化未知为已知以及发现问题、解决问题的能力.
教学过程：
导思、议
展、评
检
a＋b 基本不等式： ab≤ 2 [知识梳理] (1)基本不等式成立的条件 a>0，b>0. (2)等号成立的条件当且仅当 a＝b 时取等号． a＋b (3)其中称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 2 a，b 的几何平均数.
（a b ) 2 4
，等号当且仅当
a b 时成立． (简记：和定积最大) ________
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a， b 为正实数，且 ab 为定值，则 a＋b≥________ 2 ab ，等号当且仅
a b 时成立．(简记：积定和最小) 当________

基本不等式的最值求法

基本不等式的最值求法基本不等式的最值求法1. 介绍基本不等式的概念和重要性基本不等式是数学中一种常见且重要的理论工具，它能够帮助我们求解不等式中的最值。

不等式在数学领域中具有广泛的应用，例如在优化问题、经济学、物理学等领域中都有其身影。

掌握基本不等式的最值求法，对于我们的数学学习和实际应用都具有深远的影响。

2. 基本不等式的最值求法的基本思路在求解基本不等式的最值时，我们可以采用以下的基本思路：第一步，根据不等式的形式，我们需要对不等式进行一些变形和整理，以便更好地理解和处理不等式。

第二步，我们需要注意观察不等式中的各个项，找出其中的极大值和极小值，这些值将有助于我们进行进一步的推导和求解。

第三步，我们可以通过一些常见的不等式定理和方法来简化不等式，例如使用柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。

第四步，根据不等式的说明和要求，我们可以使用方法如二分法、递归法、均分法等来逐步缩小不等式的范围，以便更精确地求得最值。

第五步，最后我们需要对求解过程进行总结和回顾，确保我们找到了最值，并且可以解释和应用这个结果。

3. 利用基本不等式的最值求法解决实际问题基本不等式的最值求法不仅在数学领域有重要的应用，同样在实际问题中也具有广泛的运用。

例如在优化问题中，我们可以利用基本不等式的最值求法找到一组变量的最优取值，使得问题的目标函数达到最大或最小值。

在经济学中，基本不等式的最值求法可以帮助我们确定投资策略，寻找最佳的资源分配方案。

在物理学中，我们可以利用基本不等式的最值求法分析物体的稳定性或者求解问题的最优解。

4. 个人观点和对基本不等式的理解作为一种基础的数学概念，我认为基本不等式的最值求法对于我们的数学学习和思维能力的培养都具有重要意义。

不等式作为一种较为复杂的描述方式，可以帮助我们更全面和深入地理解数学中的不等关系。

通过运用基本不等式的最值求法来解决实际问题，我们可以培养自己的逻辑思考能力和数学建模能力。

总结回顾：基本不等式的最值求法是数学中一种重要的理论工具，能够帮助我们解决不等式中的最值问题。

必修五数学基本不等式知识点总结

必修五数学基本不等式知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用范文，如学习资料、英语资料、学生作文、教学资源、求职资料、创业资料、工作范文、条据文书、合同协议、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides various types of practical sample essays, such as learning materials, English materials, student essays, teaching resources, job search materials, entrepreneurial materials, work examples, documents, contracts, agreements, other essays, etc. Please pay attention to the different formats and writing methods of the model essay!必修五数学基本不等式知识点总结想要学好数学就要勤于思考，不能偷懒。

必修五数学基本不等式知识点总结

必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下：1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式，将所有的不等式相加得到不等式。

2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，则有：（1）算术平均值和几何平均值：(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)（2）加权平均值和几何平均值：(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中，w1、w2、…、wn是正实数，满足w1+w2+…+wn=1。

3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，m和p同为实数且m < p，则有：(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。

4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有：(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时，等号成立。

其中，k1和k2是实数。

5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn，则有：a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn，其中，k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。

6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，如果a1 <= a2 <= … <= an，则有：（1）(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)（2）(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。

高中数学必修5 30.基本不等式求最值

30.基本不等式求最值教学目标班级______ 姓名___________1.掌握基本不等式.2.能运用基本不等式求最值.教学过程一、基本不等式.1.重要不等式：（R b a ∈,），当b a =时，取等.2.基本不等式：ab b a ≥+2（0,>b a ）当b a =时，取等. 3.基本不等式的常用形式：（1）ab b a 2≥+（0,>b a ）；（2）2)2(b a ab +≤. （2）用基本不等式求最值：①用前看条件是否满足：b a ,均为正数.②求“和”b a +的最小值，使“积”ab 为定值；求“积”ab 的最大值，使“和”b a +为定值.③判断能否取等.二、例题分析.1.求“和”的最小值.例1：若0>x ，求函数x x y 4+=的最小值，并求此时x 的值.练1-1：求函数31-+=x x y （3>x ）的最小值,并求此时x 的值.练1-2：若1<a ，则11-+a a 有最_____（填“大”或“小”）值，为________.2.求“积”的最大值.例2：已知10<<x ，求函数)1(x x y -=的最大值.练2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值.3.其他类型求最值.例3：已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值.练3：求162)(2++-=x x x x f （1->x ）的最小值.规律总结利用基本不等式求最值的方法：①判断条件是否满足（即0,>b a ）；②运用基本不等式求最值，消除未知数使“和”或“积”为定值； ③分析取等条件；④作答.作业：已知310<<x ，求函数)31(x x y -=的最大值.。

高中数学必修五：3.3基本不等式与最值

3.3《基本不等式与最值》教学设计一、教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了基本不等式的基础上展开的。

最值问题能有效地考察学生思维品质和学习潜能，最值问题与函数联系密切，内容丰富，遍及代数、几何及三角之中，贯穿于高中数学的各个知识模块。

求最值问题，需要学生具有全面的分析问题及灵活的解决问题的能力，是高考数学中的热点和难点内容。

所以要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

就知识的应用价值上来看，本节课利用基本不等式求函数最值能够让学生充分的理解基本不等式，体会基本不等式的数学应用价值，掌握用基本不等式求最值得基本思想方法。

就内容的人文价值上来看，基本不等式使用的条件构造需要学生观察、分析、思考、转化，有助于培养学生探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

二、学情分析在前面两节的学习中，学生已经学习了基本不等式及使用条件，并能应用基本不等式求简单的最值，而本节课是在前面学习的基础上，系统的探究利用基本不等式求函数最值。

本节内容变换灵活，条件有限制，考查了学生换元、转化和化归等数学思想，对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高。

教法设计在本节课的教学中，采用启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以教师为主导，以基本不等式求最值为主线，放手让学生探究思索。

四、教学目标知识与技能：掌握应用基本不等式求最值得方法，会灵活的创造基本不等式成立的条件求最值。

过程与方法：通过问题设置，模型转化，对定理应用过程的研究，渗透转化和化归的数学思想方法，（把未知问题转化成已知问题），培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在学习和解决问题的过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察和勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

五、教学重难点重点：利用基本不等式求最值。

难点：利用化归思想创造基本不等式使用的条件。

教学工具的应用教学中有效利用多媒体课件，使课堂教学环节的衔接更加流畅，利用形象、直观的展示方式增强学生对知识的理解。

浅析用基本不等式求函数最值

浅析用基本不等式求函数最值作者：李莎来源：《学校教育研究》2017年第25期基本不等式：在使用基本不等式时，要注意把握四个方面，即“一正，二定，三相等，四同时”。

一正即各项都是正实数；二定即和为定值或积为定值；三相等即等号能否取得到，若取不到，可以利用“对勾函数“的单调性解题；四同时即多次使用基本不等式，等号要同时成立。

一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证若时，满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值；若时，需要先转化成，才能利用基本不等式求最值。

例1 若，求函数的值域.解：因为，所以，则，因为所以，当且仅当时，即时， .故函数的值域为 .二、通过代数变换配凑成使用基本不等式的形式通常会出现“二次比一次”，“一次比二次”，“二次比二次”这三种类型.（1）对于“二次比一次”和“一次比二次”的类型，基本思路都是对一次函数整体换元，求出新的变量的范围，转化为对勾函数；（2）对于“二次比二次”的类型，一般先分离常数，然后转化成一次比二次的类型，再来求解。

.例2 已知，求的最小值.解：令，则，代回原式可得，由和对勾函数的性质可知，当时，此时， .三、“1”的变换或正常数a的变换利用题目中的条件“1”或正常数a代换成给定的代数式，然后将需求解的函数乘以该代数式，化成可以使用基本不等的形式。

例3 已知，且，求的最小值.解：因为，，所以，當且仅当，即时， .四、在求二元函数最值中应用转化思想和方程消元思想例4 若实数，满足，求的最小值。

由等量关系可知，只要将需要求解的部分之外的部分利用不等式转化为所求形式，然后解不等式即可。

解法一（基本不等式）：由，当且仅当时取等号.令，则，整理得，解得或（舍去），即，此时， =3.解法二（判别式法）：令，则，代入原式得，，整理得：，，解得或（舍去），，解得 =3满足题意，即 .五、灵活选择和运用基本不等式的变式要灵活选择和运用基本不等式，主要在于能观察出所求式子与题目中给的条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的联系。

高中数学中基本不等式的最值问题-精选文档

高中数学中基本不等式的最值问题高三的复习课对课堂效率提出了更高的要求，老师需要对课堂进行准确的调控，对复习题进行合理的安排，以更好地提高课堂教学效率，减轻学生的学习负担. 在课前的准备中，题目的选取是其中关键的一步，而题目的选取又取决于题目难度的循序渐进，既要考虑到学生对已有知识的掌握程度，又要考虑到学生能否通过典型题目的练习与训练，达到温故而知新的目的，加深学生对题目的理解程度，从而提高学生对数学学习的兴趣，锻炼学生思维的深度与广度.在教学基本不等式时，学生对于概念的掌握比较轻松，ab≤■（a>0，b>0），能够总结三点要求，做到一正，即a>0，b>0；二定，即a+b能取到最小值时，ab为定值，或者ab能取到最大值时，a+b为定值；三相等，当且仅当a=b时，等号成立. 在熟练掌握了这三个条件后，要求学生能够顺利解决各类基本不等式的问题. 但是，实际上，有些问题在运用基本不等式时，会有多种解题方法与思路，而有些解题方法看似简单，实则不具有解题的完备性和代表性，这里充分体现了基本不等式知识点的灵活性. 其中有一类基本不等式问题，形式相似，但是却遇到了适合各自的不同的解题方法，不妨看下面几道题目.例1 已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求a+b的最小值.解法一：由a+b-ab=0？圯a+b=ab. 因为a+b≥2■，所以ab≥2■？圯ab≥4.所以a+b≥4，当且仅当a=b时，等号成立.解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1，则a+b=（a+b）■+■=1+■+■+1≥4. 当且仅当■=■，即a=b时，等号成立.解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，则a+b=■+b=■=■=b-1+■+2≥4，当且仅当a=b=2时，等号成立.解法一中，直接利用基本不等式，由已知条件出发，利用不等式的传递性，直接找到已知条件与求解之间的关系，学生比较容易想到，属于解基本不等式中的基本方法. 解法二中，在运用基本不等式时借助了“1”的代换，也是从已知条件出发，结合求解式子的特征，巧妙地运用了基本不等式特殊的结构，在这儿虽然“1”的代换的方法具有一定的技巧性，但是便于学生掌握和运用，学生也乐于接受，另外一方面也体现了数学的整体思想. 解法三中，通过减元的思想，把二元转化为一元，再利用基本不等式求解. 对于解法三，虽然学生比较好理解，但是，开始的时候，学生却不喜欢运用这种方法，主要是因为解题过程比较繁琐，计算结果又容易出错，吃力还不一定讨好. 所以，尽管学生能够接受这样的方法，但是很少有学生采纳，在实际的解题过程中，真正运用这种方法的学生很少，而在后面的解题过程中，学生就会体会到这种方法的重要性. 再看第二例.例2 已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求3a+2b的最小值.这道题目的已知条件与第一题一样，结论由原来的a+b改成了现在的3a+2b，这么微小的变化，会不会影响到解题的方法呢.不妨用上面的三种解法依次解下去，看看解题过程中，发生了什么样的变化.解法一：由a+b-ab=0？圯ab≥4，而3a+2b≥2■≥4■.解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1，所以3a+2b=（3a+2b）■+■=3+■+■+2≥5+2■.当且仅当2b2=3a2？圯b=■a时，等号成立.解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，则3a+2b=■+2b=■=■=2（b-1）+■+5≥5+2■，当且仅当b=■+1时，等号成立.通过观察，上面三种解法，与例1的三种解法一模一样，但是，这道题目的三种解法却出现了不一致的结果――解法一与解法二、三的结果不一致. 很明显，解法一出了问题，问题的关键是，解法一的问题出在哪里是否有问题？在此，笔者稍作停顿，留出时间给学生思考；然后，笔者让学生四人一个小组进行讨论，尽量让他们自己发现问题，这个地方要做到尽量让学生自己找到问题，在必要的时候做出适当的引导，提醒学生从基本不等式成立的条件出发. 学生的反应还算比较快，通过学生的思考与讨论，有的小组已经发现了问题，稍做整理后，小组代表站起来发言：因为在运用基本不等式解决问题时，需要做到“一正二定三相等”，解法一实际上用了两次基本不等式，两次中虽然都具备了“一正”，但“二定”与“三相等”不能够保持一致. 第一次由已知条件推出结论的基本不等式等号成立的条件是a=b，而第二次由求解推出的基本不等式等号成立的条件是3a=2b，前后出现矛盾，所以结果是错误的，此方法不对. 可见，在运用基本不等式时，它的三个限制条件是很重要的，从这道例题，学生体会到了条件三的重要性. 基本不等式并不是想象中的那么简单，当且仅当两个量相等的时候，不等式才能成立，从例2很明显可以看出来，解法一看似简单，实则容易出现混乱，简单的问题里面所蕴含的东西其实不简单. 就在笔者准备拿出第三个例题时，这时又有位同学站起来说：我这儿还有个方法，我们小组内一致认为方法是对的. 他把解题过程写到黑板上，书写如下：a+b-ab=0？圯a+b=ab，a+b≥2■？圯ab≥2■？圯ab≥4（当且仅当a=b时，等号成立），因为a>0，b>0此时a=2，b=2，所以3a+2b的最小值为10.开始的时候，大家觉得很有道理，刚才不是说当且仅当a=b 时，基本不等式能够成立吗，现在不就是只有一次相等的条件吗？实际上，大家不难发现，在这位学生的解题过程中，实际是在求a+b的最小值，而题目要求的是3a+2b的最小值，所以此方法是不对的. 如果按照刚才这位学生的说法，题目应该改写如下：已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求a+b取得最小值时3a+2b的值. 所以这位学生的解法可以说是偷换了概念. 就在笔者刚刚解释完时，又有一个小组提出新的解法：因为3a+2b≥2■，当且仅当3a=2b时，等号成立，而a+b-ab=0，可与3a=2b组成方程组，解出a与b的值了. 再代入2■，则3a+2b的最小值也就解出来了. 虽然结果与上面的正确答案不符，但是，看着这样一个很完备的解题过程，大家一时找不到推翻他的理由，当这位学生写完后，大家又开始激烈地讨论起来，很快，有的小组发现了问题，有了结果：“一正”有了，可是“二定”不满足，在用基本不等式时，ab的值不是定值，所以此方法不行，如果要这样解题，题目就要改成：当ab=3时，求3a+2b的最小值. 而原题中的解法二和解法三的乘积都是定值，这样看来，通过大家的实践与讨论，大家对基本不等式的认识已经越来越深刻. 在用解法一解决第一个例题时，很简单，学生也容易接受，但是，在用同样的解法解决第二个例题时，却出现了错误，通过这样的对比，学生能够对基本不等式有更加清晰的认识. 可见，在解决不等式的问题时，不仅仅要注意解题的方法，更要注意解题的方法的多样性. 再看第三例：例3 已知a>0，b>0，a+b+ab=1，求a+b的最小值.解法一：由a>0，b>0，a+b+ab=1，可得ab=1-（a+b）；又由a+b≥2■可得ab≤■，即1-（a+b）≤■，解一元二次不等式，可得a+b≥2■-2.或者：由a>0，b>0，a+b+ab=1，a+ab+b+1=2？圯a（b+1）+（b+1）=2？圯（b+1）（a+1）=2，由a+1+b+1≥2■可得a+b≥2■-2.解法二：■+■+1=■？圯■+■-■=-1？圯a+b=（a+b）-■-■+■=-1-■+■-■-1+■，能够看出来，解法二在这里不能解决问题了.解法三：a+b+ab=1？圯a=■，可得a+b=■+b=■+b+1-2≥2■-2，当且仅当b=■-1时等号成立.例4 已知a>0，b>0，a+b+ab=1，求3a+2b的最小值.如果还用上面的解法一，肯定不行. 再来模仿上面的解法二，两边同时除以ab得到■+■+1=■？圯■+■-■=-1，则3a+2b=（3a+2b）-■-■+■=-3-■+■-■-2+■.很明显，利用基本不等式已经不可以继续解决问题了. 看来，在这里解法二也行不通，那么，解法三如何呢，不妨试一试：由a+b+ab=1？圯a=■，代入3a+2b=■+2b=■=■=2（b+1）+■-5≥4■-5，当且仅当b=■-1时等号成立.第一道例题可以运用三种方法；第二道例题仅仅是结论发生了变化，解题方法就已经受到了限制，只能用解法二和解法三解决；第三道例题的结论与第一道例题一样，仅仅是条件的0改成了1，就只能运用解法一和解法三了；第四道例题的要求更高，只能运用解法三了. 如果仅仅从形式上来看，这四道题目如果不仔细观察，很难看出他们的区别，但是，解题方法却发生了很大的变化. 仔细推敲解题过程当中发生的变化，不难发现在运用解法一时，受到基本不等式的条件的限制比较大，特别是对结论的形式要求比较高，所以不能够适用于后面的其他题目；解法二对于题目条件的要求比较高，而且解法二具有一定的技巧性，不具有解题的代表性；而解法三，对于上面的四道例题全部适用，显示出了解题的通法通解. 可以看出来，在基本不等式里，运用减元的思想，具有解题的普遍性. 这四道题目，通过仔细推敲他们的相同点和不同点，发现虽然题目的形式结构类似，但解题的方法要求却越来越高，有同学只掌握了解法一，但在用这个方法解第二与第三题时，遇到困难；同样，有同学只掌握了解法二，但在用它解决第三题时，也遇到了困难，体现了思维的单一性. 总之，无论哪一种方法，都各有它的优势，可见，平时在练习题目时，不仅要重视解题方法的简洁化，更要重视解题方法的多样性和灵活性；不仅要重视思维的广度，更要重视思维的深度. 这样，学生在遇到不同类型的题目时，才能灵活地采取不同的策略，优化解题的思路，提炼思维灵活度，达到快速解题的目的. 当然，数学题目是千变万化的，要能够在变化中找到解题的一般规律，就要在平时的解题中多观察，多发现，多思考，多比较，才能够练出解题的火眼精心.。

高一数学必修5基本不等式总结和例题[1]

高一数学必修5基本不等式总结和例题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学必修5基本不等式总结和例题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学必修5基本不等式总结和例题(word版可编辑修改)的全部内容。

基本不等式典题精讲例1(1）已知0＜x ＜31，求函数y=x （1—3x)的最大值;(2)求函数y=x+x1的值域。

思路分析：（1）由极值定理，可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2）中,未指出x ＞0,因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜31，∴1—3x ＞0。

∴y=x （1—3x ）= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二:∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0。

∴y=x（1-3x ）=3x(31—x ）≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2)解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2xx 1•=2,当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x1=—［（—x ）+)(1x -］。

∵—x ＞0,∴(—x)+)(1x -≥2，当且仅当-x=x-1,即x=—1时,等号成立。

∴y=x+x1≤—2. 综上,可知函数y=x+x1的值域为（—∞,—2］∪［2，+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f （x)=x+11+x 的最小值. 思路分析：x ＞—1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数。

高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2.2利用基本不等式求最值及实际应用题课件北师大版必修5

题型一
题型二
题型三
【变式训练2】某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单 �� 位:万元)(m≥0)满足 x=3-��+1 (k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将2017年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单位:万元)的函数. (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 求出最大利润.
第2课时利用基本不等式求最值及实际应用题
1.能利用基本不等式求最大(小)值. 2.通过运用基本不等式解决实际问题,提高运用数学手段解决实际问题的意识与能力.
应用基本不等式 �� ≤
�� +�� 2
求最值时需要的条件
第一,a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误答案. 第二,ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最小值;当 a+b 是定值时,可以求 ab 的最大值. 第三,等号能够成立,即存在正数 a,b 使基本不等式两边相等,也就是存在正数 a,b 使得 �� =
4 ��
解:∵x>0,∴x+ ≥4.
4 ��
∴y=2− �� + �� ≤2-4=-2. ∴当且仅当 x= �� (�� > 0), 即x=2 时,等号成立,

[名校联盟]河南省焦作市博爱县第一中学高中数学必修五《基本不等式求函数最值》课件解析

利用基本不等式求最值(解析版)-高中数学

高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2.1利用基本不等式求最值课件北师大版必修5

利用基本不等式求最值

基本不等式求最值课件

人教版高中数学必修五《基本不等式求最值问题》

基本不等式的最值求法

必修五数学基本不等式知识点总结

必修五数学基本不等式知识点总结

高中数学 必修5 30.基本不等式求最值

高中数学必修五：3.3基本不等式与最值

浅析用基本不等式求函数最值

高中数学中基本不等式的最值问题-精选文档

高一数学必修5基本不等式总结和例题[1]

高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2.2利用基本不等式求最值及实际应用题课件北师大版必修5

高中数学必修5 30.基本不等式求最值