离散型随机变量及分布分析
离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析
离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机事件的可能结果。
离散型随机变量是指可能取有限个或者可数个值的随机变量。
在概率论中，我们通常通过概率函数和分布函数来描述离散型随机变量的性质和分布情况。
概率函数是离散型随机变量的重要工具，它定义了随机变量取某个特定值的概率。
对于一个离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=x)，其中x为X可能取的某个值。
概率函数具有以下性质：1. 非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0。
2. 正则性：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
通过概率函数，我们可以计算离散型随机变量的期望值、方差等统计量。
例如，对于一个服从二项分布的离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。
通过计算概率函数，我们可以得到二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
除了概率函数，分布函数也是描述离散型随机变量的重要工具。
分布函数描述了随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)。
分布函数具有以下性质：1. 单调性：对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
2. 有界性：对于任意的x，0≤F(x)≤1。
3. 右连续性：对于任意的x，有lim[F(x+Δx)]=F(x)，其中Δx→0。
通过分布函数，我们可以计算离散型随机变量落在某个区间的概率。
例如，对于一个服从泊松分布的离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=∑(k=0 to x)P(X=k)=e^(-λ)∑(k=0 to x)λ^k/k!，其中λ为平均发生率。
通过计算分布函数，我们可以得到泊松分布在某个特定值x处的概率P(X=x)=e^(-λ)λ^x/x!。
概率函数和分布函数是描述离散型随机变量的重要工具，它们可以帮助我们了解随机变量的性质和分布情况。
2.2 离散型随机变量及其分布
}
满足下列性质 性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
离散型随机变量分布列的求法 求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算 性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用 应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数； 求分布函数； 求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布 两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯 离散型随机变量X 函数. 函数.
离散型随机变量及其分布函数_图文
5.超几何分布
设X的分布律为
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布
几何分布 超几何分布
两点分布
二项分布
泊松分布
则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为 或
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号
灯.每盏灯以
的概率禁止汽车通过.以
表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信
号灯的工作是相互独立的），求 的分布律.
Байду номын сангаас
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系 ：
也就是： 分布律
分布函数
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布
设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布律为
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
离散型随机变量及其分布函数_图文.ppt
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
离散型随机变量及其分布
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量的概率分布的性质：
（1）pi≥0（i=1,2,3,…） （2）p1+p2+…+pi+…=1（i=1,2,3,…）
例1 从放有4个白球和3个黑球的口袋中， 同时取出2个球，写出其中所含白球个数ξ 的分布列.
解：ξ的可能的取值有0，1，2.
P(
0)
C32 C72
1; 7
P(
1)
P( 7) 0.11 0.27 0.29 0.21 0.88.
引例
某人射击一次，可能出现命中0环，1环， 2环，…，10环等结果，这些结果可以用0，1 2，…，10这11个数表示吗？
1.离散型随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来 表示，那么这样的变量叫做随机变量.
随机变量一般用大写英文字母X,Y,…, 或小写希腊字母ξ,η,…来表示.
如果变量ξ的所有可能取得的数值能够
一一列举出来，则称ξ为离散型随机变量.
2. 离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量ξ可能的取值为x1， x2，…xi，…，ξ取每个值xi（i=1，2…）的 概率为P(ξ=xi)=pi，则随机变量ξ的概率分布 （ξ的分布列）为
…
ξ
x1
x2
…
xi
…
…
P
p1
p2
pi
P(ξ=xi)=pi （i=1，2，…）
C14 C13 C72
4; 7
P(
2)
C42 C72
P
77 7
例2某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.03 0.07 0.11 0.27 0.29 0.21
求此射手“射击一次命中环数ξ≥7”的概率.
第二节 离散性随机变量及其分布
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
离散型随机变量的概率函数和分布函数的计算与分析
离散型随机变量的概率函数和分布函数的计算与分析随机变量是概率论中的重要概念，它描述了一个随机事件的结果。
离散型随机变量是指其取值为有限个或可数个的随机变量。
在概率论中，离散型随机变量的概率函数和分布函数是非常重要的工具，用于描述和分析随机变量的取值及其概率分布。
一、离散型随机变量的概率函数离散型随机变量的概率函数，也称为概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF），用于描述随机变量取各个值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=x)，其中x为随机变量X可能取的某个值。
概率函数的计算通常需要依赖于具体的问题和随机变量的分布特征。
以掷骰子为例，假设一个公正的六面骰子，其每个面的概率相等。
那么，掷骰子的结果可以表示为一个离散型随机变量X，其取值范围为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
对于这个离散型随机变量X，其概率函数可以表示为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6通过计算每个取值的概率，我们可以得到离散型随机变量的概率函数。
二、离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数，也称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF），用于描述随机变量小于或等于某个值的概率。
对于离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)，其中x为随机变量X的某个取值。
分布函数的计算需要累计每个取值的概率。
以掷骰子为例，假设我们想计算掷骰子的结果小于或等于3的概率。
根据离散型随机变量的分布函数定义，我们可以计算得到：F(1) = P(X<=1) = 1/6F(2) = P(X<=2) = 2/6F(3) = P(X<=3) = 3/6F(4) = P(X<=4) = 4/6F(5) = P(X<=5) = 5/6F(6) = P(X<=6) = 6/6通过计算每个取值的累计概率，我们可以得到离散型随机变量的分布函数。
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布离散型随机变量在概率论中扮演着重要的角色。
它们描述了一系列可能的取值以及各个取值的概率分布。
本文将介绍离散型随机变量的概念、分布以及如何计算相关的概率。
一、离散型随机变量的定义离散型随机变量是指在有限或可数的取值范围内取值的随机变量。
其取值集合可以是离散的整数或者某种离散的事物。
例如，掷骰子的点数、抛硬币的结果等都属于离散型随机变量。
二、离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
概率质量函数是一个函数，它计算每个可能取值的概率。
以掷一颗均匀骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数。
由于骰子的点数是1到6之间的整数，我们可以定义X的取值集合为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
对于每个可能的点数，我们可以计算出其概率。
X的概率质量函数可以写成如下形式：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6其中，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
三、计算离散型随机变量的概率在已知离散型随机变量的概率质量函数的情况下，我们可以计算出各种事件的概率。
以随机变量X为例，假设我们想计算X小于等于3的概率。
我们可以使用概率质量函数中相关取值的概率相加来计算：P(X<=3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2同样地，我们可以计算出其他事件的概率。
四、常见的离散型随机变量分布除了均匀分布之外，还有一些常见的离散型随机变量分布，包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
1. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
每次试验都有两个可能的结果，成功和失败。
例如，抛硬币n次，成功可以定义为正面朝上的次数。
二项分布的概率质量函数可以写为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示组合数，p表示每次试验成功的概率，k表示成功的次数。
离散型随机变量及其分布
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
2-2离散型随机变量及其分布律
P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
思考：本例中的“有放回”改为”无放回” 思考： 本例中的“有放回”改为”无放回”？ 不是伯努利试验。 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验 此时, 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验。此时, 1 2 只能用古典概型求解. 古典概型求解 只能用古典概型求解. C C
3. 泊松分布
定义 若一个随机变量 X 的概率分布为 λke−λ P{ X = k} = , k = 0,1,2,⋯, k! 则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布， 泊松分布， 记为 X ~ P (λ ) 或 X ~ π (λ ). 易见， 易见，1) P { X = k } ≥ 0; ( k −λ ∞ ∞ ∞ λk λe −λ (2)∑P{X = k} = ∑ =e ∑ k! k=0 k ! k=0 k=0
泊松分布是常见的一种分布： 泊松分布是常见的一种分布： 地震 火山爆发 特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
4. 二项分布的泊松近似
很大时， 对二项分布 b( n, p ), 当试验次数 n 很大时， 计 算其概率很麻烦. 例如， 算其概率很麻烦 例如，b(5000, 0.001), 要计算
.
二、几种常见分布
1. 两点分布 只可能取x 设随机变量 X 只可能取 1与x2两个值 , 它的 分布律为 x x
X pi
p 1− p
1
2
0< p<1
则称 X 服从x1 , x2处参数为 的两点分布。 处参数为p的两点分布。
说明： 只可能取0与 两个值 说明：若随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的 分布律为 0 1
则随机变量 X的分布律为 X 的分布律为
2.2离散型随机变量及其分布
例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
2.2离散型随机变量及其概率分布
a P X k , k 1,2,, N , N
试确定常数a.
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，
a a P{ X k} N N N 1 k 1 k 1
N
N
a 1
旧书（56页1题）
1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由．
易于验证：
1) P{ X k}
k
k!
e 0, k 0,1,2,, 非负性
2)
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e
k
规范性
e
k!
k 0
e e
1
例6：某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每 月的销售量可以用参数为 5 的泊松分布来描述,求： (1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
的概率为：
记为
k n k n k
X ~ B(n, p).源自P X k C p (1 p)
(k 0,1 n)
练习：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现 进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则
X 的概率分布为
参数为 np 1 的泊松分布近似计算，得
1 解 因为 500 个错字随机分布在 500 页书上，所以错字出现在每一页的概率都是 ． 500 1 )， 设 X 表示在给定的某一页上出现错字的个数，则 X ~ B(500 , 500
1, X ( ) 0,
X
反面, 正面.
1
离散型随机变量及其函数的分布
对于两个离散型随机变量X和Y，它们的联合分布可以表示为P(X=x,Y=y)，其中x和y是 所有可能取值的集合。联合分布可以用来计算两个随机变量的期望和方差。
04
离散型随机变量的函数
线性函数
线性函数
$Y = aX + b$，其中$a$和 $b$为常数。
分布性质
线性函数会改变随机变量的 均值和方差，但不会改变其 离散性。
离散型随机变量的分布函数
定义
离散型随机变量的分布函数是描述随机 变量取值概率的函数，通常用F(x)表示。
VS
性质
分布函数F(x)的值等于随机变量X小于等 于x的所有可能取值的概率之和。
离散型随机变量的概率分布
定义
离散型随机变量的概率分布是描述随机变量 取各个可能值的概率的函数，通常用P(X=x) 表示。
组合概率
如果事件A和B是独立的，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
条件概率
如果事件A和B是独立的，那么P(B|A)=P(B)。
独立性与期望、方差的关系
期望
如果随机变量X和Y是独立的，那么E(XY)=E(X)E(Y)。
方差
如果随机变量X和Y是独立的，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y) 。
性质
方差具有线性性质，即D(aX+b)=a^2D(X)，其中a和b是常 数。
方差的期望
对于离散型随机变量X，有D(D(X))=D(X)。
离散型随机变量的期望与方差的计算
期望的计算
根据离散型随机变量的定义和概率分布，计算每个可能取值的概率加权和。
方差的计算
根据离散型随机变量的定义和概率分布，计算每个可能取值的概率加权平方与期望值的 差的平方。
离散型随机变量与分布
离散型随机变量与分布一、离散型随机变量的概念离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可数个值的随机变量。
通常用字母X来表示离散型随机变量，例如X={x1, x2, x3, ...}。
每个xi表示X取某个值的情况，对应的概率为P(X=xi)，概率取值介于0和1之间，且所有xi对应的概率之和等于1。
二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律描述了X取不同值的概率分布情况。
记为P(X=xi)或P(X)。
其中，xi表示随机变量X可能取到的某个值，P(X=xi)表示X取xi时的概率。
常见的离散型随机变量分布律包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是一类只有两种结果的随机试验，例如抛硬币或投骰子。
若随机变量X表示试验成功的概率，则伯努利分布的分布律为：P(X=x) = p^x(1-p)^(1-x)，其中p表示试验成功的概率。
2. 二项分布：二项分布是n重伯努利试验的离散型随机变量分布。
它描述了进行n次独立的成功-失败试验（伯努利试验）中成功次数X的概率分布。
其分布律为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中选k次成功的组合数。
3. 泊松分布：泊松分布适用于描述一段时间或一定空间内随机事件发生的次数。
其分布律为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
4. 几何分布：几何分布适用于描述在n次独立的伯努利试验中，首次获得成功的次数。
其分布律为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中p表示每次试验成功的概率。
5. 二项负分布：二项负分布描述了在一系列独立的伯努利试验中，获得r次成功时需要进行的试验次数。
其分布律为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中p表示每次试验成功的概率。
三、离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望和方差是对离散型随机变量分布的特征进行度量的指标。
2.2离散型随机变量及其分布律
2. 等可能分布
如果随机变量 X 的分布律为
X
pk
a1 1 n
a2 an 1 1 n n
其中 (ai a j ), ( i j ) , 则称 X 服从等可能分布.
例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
3. 贝努里(伯努利)试验和二项分布
C C P( X 2) 0.00618 C
1 2 95 5 3 100
例9 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 k 3k P( X k )C (0时数看作一次试验 .8) (0.2) , k , 0,1,2,3 “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+ P{X=1} 视为事件 A .每次试验, 2 0.8 出现的概率为 =(0.2)3A +3(0.8)(0.2)
k e
,
k 0,1,2, ,
X ~ P( ).
泊松分布是常见的。 例如
地震 火山爆发 特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
n k n k p ( 1 p ) 二项分布与泊松分布的关系 k 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837年由法国数学家泊松引入的 .
k 0,1,, n
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( n, p).
二项分布
n1
两点分布
显然, 若X~B(n,p), 则 P{X=k} 表示在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率; P{X≤k} 表示A发生的次数不超过k次的概率;
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P X ai pi ,
⑴
满足
pi 0i 1,2,
, pi 1.
i 1
称⑴式为随机变量 X 的分布（分布律）, 又称为概率函 数. 上式又可用表格的形式给出:
X a1 a2 P p1 p2
an
pn
.
注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率 为零的项不必列出.
第二章 离散型随机变量及分布
本章要点 本章引入随机变量的概念, 讨论几种类型的随机变量 及相应的分布. 主要内容有: 一、一维离散型随机变量及分布 二、一维离散型随机变量的常用分布 三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布 四、随机变量的独立性 五、随机变量函数的分布
一、随机变量
1.随机变量 例1 设随机试验 E 为抛硬币试验, 我们以符号H表示出 现的是正面, 符号 F表示出现的是反面, 为了更好的刻画 这类随机试验, 我们 用一个数对应一个试验的结果，由 此引入一个变量 X
钉包成一包出售, 并保证若发现包内多于一个次品就可
退款. 问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？ 解 由条件, 以 X表示包内螺丝钉为次品的件数, 则包
同理,
2 P X 2 , 5
及
2 P X 3 . 5 从而随机变量 X的分布律为
X P 1 1 5 2 2 5 3 2. 5
例 设袋中有5球, 编号分别为
1, 2,3, 4,5,
从袋中随
机地取3个球, 以 X 表示取到的3个球中的最大编号,求
X
解
的分布律.
X
的取值为
3, 4,5.
P X 8 P X 8 P X 9 P X 10
C 0.95 0.05 C 0.95 0.05 0.95
8 10 8 2 9 10 9 1
10
0.9885.
例7 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01, 并设 各个螺丝钉是否为次品是独立的. 这家公司将10个螺丝
X
B n, p .
在概率论中, 二项分布是一个重要的分布. 在许多独
立重复试验中, 都具有二项分布的形式.
0 1 分布是二项分布在
n 1 时的特殊情况.
例6 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问 至少有8人治愈的概率有多少？ 解 设 X 为10人中治愈的人数，则 X
B 10,0.95 ,
对应的概率可以表示为
P A P 0 X 1000 .
二、概率函数
在上节的几个例子中, 我们看到问题中所涉及的几个 随机变量的取值为有限多个或“可列”多个, 这类随机 变量称为离散型随机变量.
1.离散型随机变量和概率函数 设 X为离散型随机变量,
X 的可能取值为
a1, a2 , , an , ,
引入了随机变量以后, 随机事件及相应的概率可以用 随机变量方式加以刻画. 例如, 某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时
间应该不小于1000 小时. 此时 0, .
记 A表示“取到的一只产品是不合格品”, 再以 X表 示取出的灯泡的寿命, 则事件
Hale Waihona Puke A可以表示为 A 0 X 1000.
X 0,1, 2,
,10.
例3 设随机试验 E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时 所进行过的射击次数. 则 X 的取值为1,2,
, n, .
将上面的问题一般化, 我们引入下面概念.
定义
设 E为随机试验,
为样本空间, 定义在上的函
数称为 上的（一维）随机变量. 记为
R, X : i X i .
, n, 相应的概率为:
P X k
分布律为
X P 0
k Cn
p 1 p
k
nk
k 0,1,
k C p 1 p
k n k
n .
⑸
1
n
n
nk
1 p
C p 1 p
1 n
n 1
p
n
.
⑹
其中 p为事件A发生的概率. 则称 X 服从参数为 n, p 的 二项分布, 记成
X
X P
的分布律为：
1 1 P X 3 3 . C5 10
C32 3 P X 4 3 . C5 10
3
4
5
1 3 6. 10 10 10
C42 6 P X 5 3 . C5 10
例
设随机试验 E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时
所进行过的射击次数. 则 X 的取值为1,2,
, n, .
设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律 及
P X 3 .
X 1 2 n 0.2n1 0.8
解： 分布律为
P 0.8 0.2 0.8
P X 3 0.8 0.2 0.8 0.22 0.8 0.992.
三、常用离散型随机变量
⑴ 0 1分布 若随机变量 X的取值为0, 1, 相应的概率记为
1 出现正面, X 0 出现反面.
例2 设随机试验 E为一次打靶试验, 其基本结果是中与 不中. 同样可以引入变量: 1 击中目标,
X 0 未击中目标.
也有很多试验，其结果本身就用数来表示的. 例如 在一大批产品中有5%的次品，从中抽取10件产 品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以 引进变量 X 来表示其中的次品数，其取值为
P X 1 p, P X 0 1 p 0 p 1 ,
则称服从 0 1分布. 记为
⑶
X
分布.
B 1, p .
一个只有两个基本结果的随机试验, 都可转化为 0 1
习惯上, 0 1分布又常写成
X
0
1 p
P 1 p
,
⑷
⑵二项分布 在 n 重贝努利试验中, 若以 X 表示事件A在 n 次试验中 出现的次数. 则 X的取值为 0,1,2,
P X K
ai K
P X a .
i
其中 K 为某一实数集.
例4 设袋中有5球, 编号为1,2,2,3,3, 从袋中随机地 取一球, 以 X表示取到的球的编号, 求 X 的分布. 解 以 X 表示取到球的编号, 则 X的取值为1, 2,3. 因1
号球只有一个, 故
1 P X 1 . 5